Phương pháp ritz và ứng dựng trong giải bài toán biên phương trình vi phân (LV01729

78 1.4K 0
Phương pháp ritz và ứng dựng trong giải bài toán biên phương trình vi phân (LV01729

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỖ THỊ NGỌC PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh, người thầy tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Trong suốt trình thực luận văn, nhờ gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo tận tình thầy Khuất Văn Ninh giúp tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao để hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 06 năm 2015 Tác giả Đỗ Thị Ngọc LỜI CAM ĐOAN Luận văn tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong trình nghiên cứu luận văn có sử dụng sách tham khảo số tác giả, nhà nghiên cứu nêu mục tài liệu tham khảo Tôi xin cam đoan luận văn trung thực, không chép từ tài liệu có sẵn, tên đề tài không trùng lặp với tên đề tài khác Hà Nội, ngày tháng 06 năm 2015 Tác giả Đỗ Thị Ngọc Mục lục MỞ ĐẦU CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian định chuẩn toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 1.1.1 Không gian định chuẩn 1.1.2 Không gian Banach 1.1.3 Toán tử tuyến tính 1.1.4 Ví dụ 1.2 Phép tính vi phân không gian định chuẩn 10 1.3 Không gian Hilbert 12 1.3.1 Tích vô hướng 12 1.3.2 Không gian Hilbert 13 1.3.3 Toán tử tuyến tính 13 1.3.4 Ví dụ 14 Bài toán biên phương trình vi phân 15 1.4 1.4.1 Một số khái niệm phương trình vi phân 15 1.4.2 Bài toán biên phương trình vi phân 16 PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 19 2.1 Phương pháp Ritz 19 2.2 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải toán biên phương trình vi phân thường 2.3 24 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải toán biên phương trình đạo hàm riêng 28 2.4 Các hệ cực tiểu 31 2.5 Những hệ cực tiểu mạnh hệ trực giao 35 2.6 Nhận xét trình Ritz 38 2.6.1 Một số phương pháp biến phân khác 45 2.6.2 Phương pháp chiếu trực giao 47 2.6.3 Phương pháp Trephsa 48 Tính chất giới hạn dãy Ritz 49 2.7 THỬ NGHIỆM SỐ 60 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán giải xấp xỉ phương trình toán tử có phạm vi ứng dụng lớn ý nghĩa thực tiễn cao Xét phương trình Ax = f Đây trường hợp tổng quát phương trình toán tử không gian định chuẩn Trong thực tiễn, có nhiều yếu tố làm cho toán có tính chất gần nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử vấn đề mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ phương trình phương pháp biến phân Phương pháp biến phân hiểu phương pháp tìm nghiệm phương trình thông qua việc tìm cực tiểu phiếm hàm xây dựng từ yếu tố toán giải phương trình toán tử Một phương pháp biến phân phương pháp Ritz giải phương trình toán tử không gian Hilbert Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu vấn đề em chọn đề tài: “Phương pháp Ritz ứng dụng giải toán biên phương trình vi phân” Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương 1: Các kiến thức sở Chương 2: Phương pháp Ritz ứng dụng giải toán biên phương trình vi phân Chương 3: Ứng dụng phương pháp Ritz Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử phương pháp Ritz ứng dụng phương pháp vào giải toán biên phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biến phân giải xấp xỉ phương trình toán tử Trình bày số ứng dụng phương pháp biến phân vào giải toán biên phương trình vi phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phương pháp biến phân giải xấp xỉ phương trình toán tử - Ứng dụng vào giải toán biên phương trình vi phân Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có từ hệ thống lại vấn đề liên quan tới đề tài Đóng góp đề tài nghiên cứu - Hệ thống lại vấn đề phương pháp Ritz - Nêu số ứng dụng phương pháp Ritz vào giải xấp xỉ toán biên phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian định chuẩn toán tử tuyến tính không gian định chuẩn 1.1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính X trường P (P = R P = C) với ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không θ); ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ; iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn X Các tiên đề i), ii), iii) gọi tiên đề chuẩn 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.2 (Sự hội tụ không gian định chuẩn) Dãy điểm {xn} không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim ||xn − x|| = Ký hiệu lim xn = x hay xn → x (n → ∞) n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.2.3 (Dãy bản) Dãy điểm {xn} không gian định chuẩn X gọi dãy lim ||xn − xm || = m,n→∞ Định nghĩa 1.1.2 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ 1.1.3 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường P (P = R P = C) Ánh xạ A từ không gian X vào Y gọi tuyến tính, ánh xạ A thỏa mãn điều kiện: 1) (∀x, x ∈ X) A(x + x ) = Ax + Ax ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) Aαx = αAx Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính Khi toán tử A thỏa mãn điều kiện 1) A gọi toán tử cộng tính, toán tử A thỏa mãn điều kiện 2) A gọi toán tử Khi Y = P toán tử tuyến tính A thường gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian định chuẩn X Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào Y gọi bị chặn tồn số C > cho: Ax ≤ C x , ∀x ∈ X (1.1.1) Định nghĩa 1.1.5 Cho A toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C ≥ nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.1.1) gọi chuẩn toán tử A kí hiệu A Từ định nghĩa dễ thấy chuẩn toán tử có tính chất: 1) (∀x ∈ X) Ax ≤ A x ; 2) (∀ε > 0) (∃xε ∈ X) ( A − ε) xε ≤ Axε 1.1.4 Ví dụ Ví dụ Cho không gian vectơ l2 ∞ l2 = {x = (x1 , x2 , , xi , )|xi ∈ R, ∀i ∈ N∗ , |xi |2 < +∞ i=1 Với vectơ x = (xn ) ∈ l2 ta đặt ∞ |xn |2 x = i=1 Dễ dàng chứng minh công thức nêu xác định chuẩn l2 Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu l2 Dễ dàng thấy l2 không gian Banach Ví dụ Cho không gian vectơ C[a,b] Đối với hàm số x(t) ∈ C[a,b] ta đặt x = max |x(t)| a≤t≤b phiếm hàm J(x) Lấy dãy hàm khả vi liên tục đoạn [0, 1] , ϕk (t) = tk (t − 1), k = 1, 5; cho chúng thỏa mãn điều kiện sau đây: a) ϕk (0) = ϕk (1) = 0; k = 1, 5; b) với n = hệ hàm số {ϕ1 (t), ϕ2 (t), ϕ3 (t), ϕ4 (t), ϕ5 (t)} hệ độc lập tuyến tính; c) với hàm liên tục ϕ(t), số ε > chọn đa thức suy rộng P5 (t) = α1 ϕ1 (t) + α2 ϕ2 (t) + α3 ϕ3 (t) + α4 ϕ4 (t) + α5 ϕ5 (t), cho ϕ(t) − P5 (t) < ε, ≤ t ≤ Xét dãy hàm x5 (t) = αk ϕk (t) k=1 Ta thấy J(x5 ) = Aij αi αj + i,j=1 Ai αi , i=1 ϕi (t)ϕj (t) + et ϕi (t)ϕj (t) dt Aij = ti (t − 1)tdt; (i = 1, 2, 3, 4, 5) Ai = αi xác định từ hệ phương trình tuyến tính sau Ai + Aki αk = 0, i = 1, 2, 3, 4, k=1 Ta có: ϕ1 (t) = t(t − 1) ⇒ ϕ1 (t) = 2t − 63 ϕ2 (t) = t2 (t − 1) ⇒ ϕ2 (t) = 3t2 − 2t ϕ3 (t) = t3 (t − 1) ⇒ ϕ3 (t) = 4t3 − 3t2 ϕ4 (t) = t4 (t − 1) ⇒ ϕ4 (t) = 5t4 − 4t3 ϕ5 (t) = t5 (t − 1) ⇒ ϕ5 (t) = 6t5 − 5t4 Ta có: 1 (t3 − t2 )dt = t(t − 1)tdt = A1 = 0 1 t2 (t − 1)tdt = A2 = t3 (t − 1)tdt = A3 = t4 (t − 1)tdt = A4 = t5 (t − 1)tdt = 1 = − 20 (t5 − t4 )dt = 6t − 51 t5 1 = − 30 (t6 − t5 )dt = 7t − 61 t6 1 = − 42 (t7 − t6 )dt = 8t − 71 t7 1 = − 56 1 = − 12 − 41 t4 A5 = 1 5t 1 − 13 t3 (t4 − t3 )dt = 1 4t ϕ1 (t) + et ϕ21 (t) dt A11 = A11 = (2t − 1)2 + et t2 (t − 1)2 dt Sử dụng công thức tích phân phần nhiều lần ta tính được: A11 = 0, 13 ϕ1 (t)ϕ2 (t) + et ϕ1 (t)ϕ2 (t) dt A21 = A12 = (2t − 1) 3t2 − 2t + et t(t − 1)t2 (t − 1) dt = A21 = A12 = 1, 37 64 ϕ1 (t)ϕ3 (t) + et ϕ1 (t)ϕ3 (t) dt A31 = A13 = (2t − 1) 4t3 − 3t2 + et t(t − 1)t3 (t − 1) dt = A31 = A13 = −6, ϕ1 (t)ϕ4 (t) + et ϕ1 (t)ϕ4 (t) dt A41 = A14 = (2t − 1) 5t4 − 4t3 + et t(t − 1)t4 (t − 1) dt = A41 = A14 = 44, 47 ϕ1 (t)ϕ5 (t) + et ϕ1 (t)ϕ5 (t) dt A51 = A15 = (2t − 1) 6t5 − 5t4 + et t(t − 1)t5 (t − 1) dt = A51 = A15 = −343, 75 ϕ2 (t) + et ϕ22 (t) dt A22 = 3t2 − 2t A22 = + et t4 (t − 1)2 dt A22 = −6, 47 ϕ3 (t)ϕ2 (t) + et ϕ3 (t)ϕ2 (t) dt A23 = A32 = 4t3 − 3t2 = 3t2 − 2t + et t2 (t − 1)t3 (t − 1) dt A23 = A32 = 44, 65 ϕ4 (t)ϕ2 (t) + et ϕ4 (t)ϕ2 (t) dt A24 = A42 = 6t5 − 5t4 = 3t2 − 2t + et t2 (t − 1)t5 (t − 1) dt A25 = A52 = 3016, 86 ϕ3 (t) + et ϕ23 (t) dt A33 = 4t3 − 3t2 A33 = + et t6 (t − 1)2 dt A33 = −343, 71 ϕ4 (t)ϕ2 (t) + et ϕ4 (t)ϕ2 (t) dt A43 = A34 = 4t3 − 3t2 = 5t4 − 4t3 + et t3 (t − 1)t4 (t − 1) dt A43 = A34 = 3016, 87 ϕ3 (t)ϕ5 (t) + et ϕ3 (t)ϕ5 (t) dt A35 = A53 = 4t3 − 3t2 = 6t5 − 5t4 + et t3 (t − 1)t5 (t − 1) dt A53 = A35 = −29563, 14 ϕ4 (t) + et ϕ24 (t) dt A44 = 5t4 − 4t3 A44 = + et t8 (t − 1)2 dt A44 = −29563, 14 66 ϕ4 (t)ϕ5 (t) + et ϕ4 (t)ϕ5 (t) dt A45 = A54 = 5t4 − 4t3 = 6t5 − 5t4 + et t4 (t − 1)t5 (t − 1) dt A45 = A54 = 319782, 65 ϕ5 (t) + et ϕ25 (t) dt A55 = 6t5 − 5t4 A55 = + et t10 (t − 1)2 dt A55 = −3783693, 65 αk xác định hệ phương trình sau:    A1 + α1 A11 + α2 A21 + α3 A31 + α4 A41 + α5 A51 =       A + α1 A12 + α2 A22 + α3 A32 + α4 A42 + α5 A52 =    A3 + α1 A13 + α2 A23 + α3 A33 + α4 A43 + α5 A53 =      A4 + α1 A14 + α2 A24 + α3 A34 + α4 A44 + α5 A54 =       A5 + α1 A15 + α2 A25 + α3 A35 + α4 A45 + α5 A55 =    + 0, 13α1 + 1, 37α2 − 6, 5α3 + 44, 47α4 − 343, 75α5 = − 12       − 20 + 1, 37α1 − 6, 47α2 + 44, 5α3 − 343, 72α4 + 3016, 86α5 =        − − 6, 5α1 + 44, 5α2 − 343, 71α3 + 3016, 87α4 − 29563, 14α5 =   30 − 42 + 44, 47α1 + −343, 72α2 + 3016, 87α3 − 29563, 14α4      +319782, 65α5 =       − 56 − 343, 75α1 + 3016, 86α2 − 29563, 14α3 + 319782, 65α4       −3783693, 65α5 = Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình Ta tiến hành khai báo ma trận nhờ lệnh 67 [>A:=array ([0.13, 1.37, −6.5, 44.47, −343.75], [1.37, −6.47, 44.5, −343.72, 3016.86], [−6.5, 44.5, −343.71, 3016.87, −29563.14], [44.47, −343.72, 3016.87, −29563.14, 319782.65], [−343.75, 3016.86, −29563.14, 319782.65, −3783683.65]); Ta kết  1, 37 −6, 44, 47 −343, 75  0, 13   1, 37 −6, 47 44, −343, 72 3016, 86   A= 44, −343, 71 3016, 87 −29563, 14  −6,   44, 47 −343, 72 3016, 87 −29563, 14 319782, 65   −343, 75 3016, 86 −29563, 14 319782, 65 −3783693, 65             Sau khai báo tiếp vectơ b nhờ lệnh [> b := vector([1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56]) Kết quả: b := [1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56] Để giải phương trình Ax=b, ta đưa lệnh [>linsolve(A,b); Kết [0.1683796251, 0.09122128135, 0.0153762448, 0.000963874631, 0.00001875516217] ⇒ α1 ≈ 0.1683796251; α2 ≈ 0.09122128135; α3 ≈ 0.0153762448; α4 ≈ 0.000963874631; α5 ≈ 0.00001875516217 Do hàm x5 (t) = 0.1683796251t(t − 1) + 0.09122128135t2 (t − 1) +0.0153762448t3 (t − 1) + 0.000963874631t4 (t − 1) +0.00001875516217t5 (t − 1) nghiệm gần toán biên 68 Ví dụ Ký hiệu G miền bị chặn mặt phẳng G = ([0, 1]×[0, 1]), có Γ biên trơn khúc Xét toán biên phương trình vi phân eliptic − ∂ 2u ∂ 2u − + u = −x, ∂x2 ∂y (2) u|Γ = 0, q(x, y) = ≥ q0 > f (x, y) = −x hàm số liên tục G ∪ Γ Đặt H = L2 (G), Au ≡ − ∂ 2u ∂ 2u − + u, ∂x2 ∂y HA không gian hàm hai lần khả vi liên tục G ∪ Γ thỏa mãn điều kiện u|Γ = Khi toán (2) viết dạng sau Au = f Ta chứng minh toán tử A toán tử đối xứng, xác định dương Giả sử u, v ∈ HA Khi sử dụng công thức Green ta có 69 (Au, v) = vAudxdy G =− v ∂ 2u ∂ 2u + dxdy + ∂x2 ∂y uvdxdy G G ∂u∂v ∂u∂v + dxdy + ∂x∂x ∂y∂y = G = uvdxdy G uAvdxdy = (u, Av) G (Au, v) = (u, Av) Vì toán tử A toán tử đối xứng Giả sử u ∈ HA Lại lần sử dụng công thức Green ta (Au, u) = uAudxdy G ∂ 2u ∂ 2u u + dxdy + ∂x2 ∂y =− G u2 dxdy G ∂u ∂x = + ∂u ∂y + u2 dxdy G u2 dxdy ≥ G u2 dxdy ≥ q0 G = u Vì toán tử A toán tử xác định dương Rõ ràng ta có ∂u ∂x J(u) = + ∂u ∂y G 70 + u2 + 2xu dxdy Theo định lý 2.1.1, 2.1.2, để giải gần toán (2) cần xây dựng dãy cực tiểu hóa phiếm hàm Xét dãy hàm số ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y), ϕ3 (x, y), ϕ4 (x, y), ϕ5 (x, y) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) ϕi (x, y), i = 1, 2, 3, 4, 5; hai lần khả vi liên tục G ∪ Γ; b) ϕi (x, y)|Γ = 0, i = 1, 2, 3, 4, 5; c) hệ {ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y), ϕ3 (x, y), ϕ4 (x, y), ϕ5 (x, y)} tạo nên hệ độc lập tuyến tính; d) với ε > 0, hàm số liên tục ϕ(x, y) G ∪ Γ tìm đa thức suy rộng P5 (x, y) = αi ϕi (x, y), i=1 cho (A (ϕ − P5 (x, y)) , ϕ − P5 (x, y)) < ε Số hạng dãy cực tiểu hóa có dạng u5 (x, y) = αi ϕi (x, y), i=1 αi xác định từ hệ phương trình tuyến tính Aij αj = Bi , i = 1, 2, 3, 4, , j=1 ∂ ϕj ∂ ϕj ϕj − − ϕi dxdy, ∂x2 ∂y Aij = G −xϕi dxdy Bi = G 71 Chọn ϕi (x, y) = xi y i (x − 1)(y − 1), i = 1, 2, 3, 4, ϕ1 (x, y) = xy(x − 1)(y − 1) ⇒ ∂ϕ1 ∂x = (2x − 1)(y − y); ∂ ϕ1 ∂2x = 2(y − y); ⇒ ∂ϕ1 ∂y = (2y − 1)(x2 − x); ∂ ϕ1 ∂2y = 2(x2 − x); ϕ2 (x, y) = x2 y (x − 1)(y − 1) ⇒ ∂ϕ2 ∂x = (3x2 − 2x)(y − y ); ∂ ϕ2 ∂2x = (6x − 2)(y − y ); ⇒ ∂ϕ2 ∂y = (3y − 2y)(x3 − x2 ); ∂ ϕ2 ∂2y = (6y − 2)(x3 − x2 ) ϕ3 (x, y) = x3 y (x − 1)(y − 1) ⇒ ∂ϕ3 ∂x = (4x3 − 3x2 )(y − y ); ⇒ ∂ϕ3 ∂y = (4y − 3y )(x4 − x3 ) ∂ ϕ3 ∂2x ∂ ϕ3 ∂2y = (12x2 − 6x)(y − y ); = (12y − 6y)(x4 − x3 ) ϕ4 (x, y) = x4 y (x − 1)(y − 1) ⇒ ∂ϕ4 ∂x = (5x4 − 4x3 )(y − y ); ⇒ ∂ϕ4 ∂y = (5y − 4y )(x5 − x4 ) ∂ ϕ4 ∂2x ∂ ϕ4 ∂2y = (20x3 − 12x2 )(y − y ); = (20y − 12y )(x5 − x4 ) ϕ5 (x, y) = x5 y (x − 1)(y − 1) ⇒ ∂ϕ5 ∂x = (6x5 − 5x4 )(y − y ); ∂ ϕ5 ∂2x = (30x4 − 20x3 )(y − y ); ⇒ ∂ϕ5 ∂y = (6y − 5y )(x6 − x5 ); ∂ ϕ3 ∂2y = (30y − 20y )(x6 − x5 ) Ta có: B1 = xϕ1 dxdy = G B2 = G xϕ2 dxdy = G B3 = G B4 = G xϕ4 dxdy = G B5 = x(x3 y − xy )dxdy = − 60 ≈ 0.016666666 x(x4 y − xy )dxdy = xϕ3 dxdy = G x(x2 y − xy )dxdy = − 72 ≈ −0.013888888 G xϕ5 dxdy = G G 60 ≈ −0.016666666 x(x5 y − xy )dxdy = − 63 ≈ −0.015873015 ≈ −0.014880952 x(x6 y − xy )dxdy = − 336 A11 = 0.023333333 72 A12 = A21 = 5.833333333 × 10−3 A13 = A31 = 1.995464853 × 10−3 A14 = A41 = 8.290816327 × 10−4 A15 = A51 = 3.936758889 × 10−4 A22 = 2.630385488 × 10−3 A23 = A32 = 1.225907029 × 10−3 A24 = A42 = 6.204333585 × 10−4 A25 = A52 = 3.384038801 × 10−4 A33 = 6.960191484 × 10−4 A34 = A43 = 4.045414462 × 10−4 A35 = A53 = 2.445814567 × 10−4 A44 = 2.606148061 × 10−4 A45 = A54 = 1.706458525 × 10−4 A55 = 1.190857834 × 10−4 α k xác định hệ phương trình sau:   B1 + α1 A11 + α2 A21 + α3 A31 + α4 A41 + α5 A51       B + α1 A12 + α2 A22 + α3 A32 + α4 A42 + α5 A52    B3 + α1 A13 + α2 A23 + α3 A33 + α4 A43 + α5 A53      B4 + α1 A14 + α2 A24 + α3 A34 + α4 A44 + α5 A54       B5 + α1 A15 + α2 A25 + α3 A35 + α4 A45 + α5 A55 Ta có: 73 =0 =0 =0 =0 =0    0.023333333α1 + 5.833333333 × 10−3 α2 + 1.995464853 × 10−3 α3       +8.290816327 × 10−4 α4 + 3.936758889 × 10−4 α5 = 0.013888888       5.83333333310−3 α1 + 2.630385488 × 10−3 α2 + 1.225907029 × 10−3 α3       +6.204333585 × 10−4 α4 + 3.384038801 × 10−4 α5 = 0.016666666       1.995464853 × 10−3 α1 + 1.225907029 × 10−3 α2 + 6.960191484 × 10−4 α3   +4.045414462 × 10−4 α4 + 2.445814567 × 10−4 α5 = 0.016666666       8.290816327 × 10−4 α1 + 6.204333585 × 10−4 α2 + 4.045414462 × 10−4 α3       +2.606148061 × 10−4 α4 + 1.706458525 × 10−4 α5 = 0.015873015        3.936758889 × 10−4 α1 + 3.384038801 × 10−4 α2 + 2.445814567 × 10−4 α3      +1.706458525 × 10−4 α4 + 1.190857834 × 10−4 α5 = 0.014880952 Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình Ta tiến hành khai báo ma trận nhờ lệnh [>A:=array ([0.023333333, 5.833333333 × 10−3 , 1.995464853 × 10−3 , 8.290816327×10−4 , 3.936758889×10−4 ], [5.833333333×10−3 , 2.630385488× 10−3 , 1.225907029×10−3 , 6.204333585×10−4 , 3.384038801×10−4 ], [1.995464853× 10−3 , 1.225907029×10−3 , 6.960191484×10−4 , 4.045414462×10−4 , 2.445814567× 10−4 ], [8.290816327×10−4 , 6.204333585×10−4 , 4.045414462×10−4 , 2.606148061× 10−4 , 1.706458525×10−4 ], [3.936758889×10−4 , 3.384038801×10−4 , 2.445814567× 10−4 , 1.706458525 × 10−4 , 1.190857834 × 10−4 ]) Ta kết 74  0.0233333333    5.833333333 × 10−3    1.995464853 × 10−3    8.290816327 × 10−4   3.936758889 × 10−4 8.29081632710−4 6.204333585 × 10−4 4.045414462 × 10−4 2.606148061 × 10−4 1.706458525 × 10−4 5.833333333 × 10−3 1.995464853 × 10−3 2.630385488 × 10−3 1.225907029 × 10−3 1.225907029 × 10−3 6.960191484 × 10−4 6.204333585 × 10−4 4.045414462 × 10−4 3.384038801 × 10−4 2.445814567 × 10−4  −4 3.93675888910   3.38403880110−4    2.44581456710−4    −4  1.70645852510   −4 1.19085783410 Sau khai báo tiếp vectơ b nhờ lệnh [>b:=vector ([0.013888888, 0.016666666, 0.016666666, 0.015873015, 0.014880952]) Kết b := [0.013888888, 0.016666666, 0.016666666, 0.015873015, 0.014880952] Để giải phương trình Ax=b, ta đưa lệnh [>linsolve(A,b); Kết [11.22618586, −277.7443449, 1841.103885, −4372.117861, 3360.897782] Do hàm u5 (x, y) = 11.22618586xy(x−1)(y −1)−277.7443449x2 y (x−1)(y −1)+ 1841.103885x3 y (x − 1)(y − 1) − 4372.117861x4 y (x − 1)(y − 1) + 3360.897782x5 y (x − 1)(y − 1) nghiệm gần toán biên 75 KẾT LUẬN Luận văn sâu vào nghiên cứu phương pháp Ritz ứng dụng phương pháp vào giải toán biên phương trình vi phân Luận văn thu số kết sau: - Trình bày nội dung phương pháp Ritz - Một số phương pháp biến phân - Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải toán biên phương trình vi phân thường - Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải toán biên phương trình đạo hàm riêng - Ứng dụng phần mềm Maple vào trình tính toán Với phạm vi luận văn thời gian có hạn, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo góp ý thầy cô bạn đọc để vấn đề nghiên cứu hoàn thiện luận văn trở thành tài liệu hữu ích 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội B Tài liệu Tiếng Anh Tiếng Nga [5] Kendall Atkinson, Weimin Han (2001), Theoretical Numerical Analysis, A Functional Analysis Framework, Springer-Verlag New York, Inc [6] Michlin C.G (1966), Thể số phương pháp biến phân, NXB Nauka Moskva (Tiếng Nga) [7] Vainberg M.M.,(1972), Phương pháp biến phân phương pháp toán tử đơn điệu, NXB Nauka Moskva (Tiếng Nga) 77 [...]... xác định và liên tục trên G ∪ Γ, G bị chặn 17 trong không gian R2 , Γ là biên của G Xét bài toán   ∆u = ∂ 2 u2 + ∂ 2 u2 = f (x, y) ∂x ∂y  u| = ϕ Γ ϕ là hàm hai biến xác định trên Γ Bài toán nói trên gọi là bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic Hàm cần tìm là hàm u = u(x, y) 18 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP RITZ VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BÀI TOÁN BIÊN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Phương pháp Ritz Giả... hệ phương trình đại số tuyến tính đối xứng, định thức của hệ này khác không Vì vậy hệ đó có nghiệm duy nhất Ký hiệu nghiệm 23 của hệ đó là α1∗ , α2∗ , , αn∗ Khi đó có thể chứng minh rằng dãy {x∗n } mà n x∗n αk ϕ k = k=1 là dãy cực tiểu hóa 2.2 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán biên phương trình vi phân thường Phương pháp Ritz được ứng dụng để giải bài toán biên tuyến tính đối với phương trình. .. niệm về phương trình vi phân Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo hàm của nó Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình vi phân thường Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai hay nhiều biến độc lập ta có phương trình đạo hàm riêng Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình trong đó có chứa hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những... x∗n (t) αk∗ ϕk (t), = k=0 hội tụ đến nghiệm của bài toán (2.2.1) 2.3 Ứng dụng phương pháp Ritz vào giải bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng Ký hiệu G là miền bị chặn của mặt phẳng và Γ là biên trơn từng khúc của G Xét bài toán biên đối với phương trình vi phân eliptic − ∂ 2u ∂ 2u − + qu = f, ∂x2 ∂y 2 (2.3.1) u|Γ = 0, trong đó q(x, y) ≥ q0 > 0 và f (x, y) là những hàm số liên tục trên G ∪... thức Vj (y) = gj ; j = 1, m, (1.4.5) trong đó gj là những số được gọi là điều kiện biên của phương trình (1.4.4) Nếu gj = 0 thì điều kiện (1.4.5) được gọi là điều kiện biên thuần nhất Phương trình (1.4.1) cùng các điều kiện (1.4.5) lập thành bài toán biên Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu gj = 0; j = 1, m và f (x) = 0 Trong các trường hợp khác ta gọi bài toán biên không thuần nhất Đôi khi cũng... biến x đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.4.1) nếu: i) ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra c = ϕ(x, y) ii) Hàm y = ϕ(x, c), c ∈ R thỏa mãn (1.4.1) khi (x, y) chạy khắp D với mọi c ∈ R 1.4.2 Bài toán biên phương trình vi phân Giả sử hàm f (x), fi (x) liên tục trên [a, b] và fn = 0 Lập phương trình vi phân tuyến tính n fi (x)y (i) (x) = f (x) L(y)... trình vi phân thường Xét bài toán biên x = q(t)x + f (t), (2.2.1) x(0) = x(T ) = 0, trong đó q(t) ≥ q0 > 0, f (t), (0 ≤ t ≤ T ) là những hàm số thực liên tục Đặt H = L2[0, T ], và Ax ≡ −x + qx Kí hiệu HA là tập hợp những hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục và thỏa mãn điều kiện biên x(0) = x(T ) = 0 Khi đó bài toán (2.2.1) có thể vi t dưới dạng toán tử Ax = −f Ta chứng minh rằng A là toán tử đối xứng... Phương pháp Ritz Giả sử H là không gian Hilbert thực, A là toán tử tuyến tính xác định trên một tập hợp HA trù mật khắp nơi trong H Xét phương trình toán tử Ax = f, (2.1.1) trong đó f ∈ H là phần tử cho trước, x ∈ HA là phần tử cần tìm Phương pháp Ritz được dựa trên định lý sau đây: Định lý 2.1.1 Giả sử toán tử A dương và đối xứng Nếu phương trình (2.1.1) có nghiệm x∗ , thì tại giá trị đó phiếm hàm... đó: F x, y(x), y (x), , y (n) (x) = 0, 15 hay vi t gọn là: F x, y, y , , y (n) = 0, (1.4.1) trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình Hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4.1) nếu thay y = ϕ(x),y = ϕ (x), , y (n) = ϕ(n) (x), vào (1.4.1) thì ta thu được phương trình đồng nhất thức Hàm số y = ϕ(x, c), c... không gian hữu hạn chiều X = Rn và ánh xạ tuyến tính A : Rn → Rn Giả sử với một cơ sở cố định cho trước ánh xạ A cho bởi ma trận (aij )n i,j=1 Khi đó ta có ba chuẩn thường dùng trong Rn là: n +) x +) x +) x 1.2 1 2 = |xi | i=1 n = ∞ |xi |2 1 2 i=1 = max |xi | 1≤i≤n Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn Đạo hàm và vi phân Fréchet Cho X,Y là hai không gian Banach và toán tử f : X → Y 10 Định

Ngày đăng: 14/08/2016, 23:12

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan