BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— BÙI THỊ LINH TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ VỚI ĐIỀU KIỆN LIÊN TỤC YẾU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— BÙI THỊ LINH TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ VỚI ĐIỀU KIỆN LIÊN TỤC YẾU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Đình Kế Hà Nội, 2015 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Bùi Thị Linh Lời cảm ơn Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Trần Đình Kế, người đặt đề tài tận tình hướng dẫn để luận văn hoàn thành Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn nhiệt tình giảng dạy giảng viên suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới đại gia đình, bạn bè anh chị em đồng nghiệp, người động viên khích lệ giúp hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Học viên Bùi Thị Linh Mục lục Mở đầu Đặt vấn đề Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị với điều kiện liên tục yếu 1.1 Độ đo không compact 1.2 Tính compact nửa dòng đa trị 1.3 Tính liên tục tính đóng nửa dòng đa trị 11 1.4 Kết tổng quát tồn tập hút toàn cục 13 Áp dụng 20 2.1 Tập hút toàn cục L2 (Ω) cho phương trình truyền nhiệt với điều kiện biên đa trị 21 2.2 Tập hút toàn cục L2 (Ω) Lp (Ω) hệ phản ứng khuếch tán với phần phi tuyến đa trị 27 Tài liệu tham khảo 41 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết tập hút toàn cục xây dựng từ kỷ 20 trở thành công cụ quan trọng việc nghiên cứu dáng điệu nghiệm hệ vi phân tiến hóa phi tuyến không gian vô hạn chiều Lý thuyết tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện Đối với hệ vi phân không nghiệm (ví dụ bao hàm thức vi phân), khái niệm tập hút toàn cục mở rộng cho nửa dòng đa trị (multi-valued semiflows) Kết nghiên cứu tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị áp dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phức tạp phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên phi tuyến, phương trình đạo hàm riêng với nhiễu phi tuyến đa trị Kết theo hướng công bố công trình [48], điều kiện nửa liên tục nửa dòng đa trị thay điều kiện liên tục yếu Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị, chọn vấn đề "Tập hút toàn cục nửa dòng đa trị với điều kiện liên tục yếu" cho đề tài nghiên cứu luận văn Các kết trình bày dựa công trình [48] 2 Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu điều kiện đủ cho tồn tập hút toàn cục nửa dòng đa trị liên tục yếu Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu độ đo không compact; Tìm hiểu lý thuyết hệ động lực đa trị Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiêu cứu: Hệ động lực đa trị • Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị thỏa mãn điều kiện liên tục yếu Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng số phương pháp công cụ giải tích bao gồm: • Giải tích đa trị, giải tích hàm phi tuyến; • Lý thuyết hệ động lực đa trị không gian vô hạn chiều; • Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tiến hóa Dự kiến đóng góp Chứng minh chi tiết kết công trình [48] Đặt vấn đề Có ba cách tiếp cận để chứng minh tồn tập hút toàn cục cho toán không nghiệm: phương pháp nửa nhóm/nửa dòng đa trị đề xuất Babin Vishik [1] (xem thêm [2]), phương pháp nửa dòng suy rộng Ball ( [3]), phương pháp tập hút quỹ đạo ( [4–7]) Phương pháp tập hút quỹ đạo liên quan đến nghiên cứu [8] dựa vào toán tử dịch chuyển tập quỹ đạo cách tiếp cận đề cập [9] nghiên cứu tập đạt sau khoảng thời gian, nửa dòng đa trị ánh xạ từ R+ × H ∋ (t, x) → G(t, x) ⊂ 2H , H không gin Banach chứa quỹ đạo Để chứng minh tồn tập hút toàn cục, người ta phái kiểm tra ba tính chất: tồn tập hấp thụ, tính chất compact tiệm cận G tính chất liên tục x → G(t, x) Tính liên tục hiểu nửa liên tục hàm đa trị (xem [2, 3]) Trong công trình Zhong, Yang Sun [10] tính nửa liên tục thay tính liên tục mạnh-yếu Kết tiếp tục phát triển công trình [11] cho nửa dòng đa trị không ô-tô-nôm Các kết khác gần cho hệ động lực đơn trị sinh phương trình parabolic tìm thấy [12–14] Luận văn trình bày kết gần công trình [48], tác giả mở rộng kết [2, 3] cho trường hợp nửa dòng có tính chất liên tục yếu (NW -liên tục), mặt khác mở rộng kết [10, 11] cho trường hợp nửa dòng đa trị Các mô hình ứng dụng đề cập sử dụng tính chất NW -liên tục, nửa dòng đa trị có giá trị compact yếu có tính chất nửa liên tục yếu Các điều kiện dễ dàng kiểm tra trường hợp bao hàm thức vi phân gắn với vi phân Clarke Luận văn có bố cục sau: Chương trình bày kết tổng quát điều kiện cho tồn tập hút toàn cục Chương ứng dụng kết Chương vào toán cụ thể Chương Tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị với điều kiện liên tục yếu Cho H không gian Banach, P (H) họ tập khác rỗng H Ký hiệu B(x, r) hình cầu đóng tâm x ∈ H với bán kính r ∈ R+ Ở R+ = [0, ∞) Nếu H không gian metric với hàm khoảng cách ρ(·, ·), với x ∈ H B ⊂ H , ta định nghĩa distH (x, B) = inf y∈B ρ(x, y) Hơn A, B ⊂ H ta dịnh nghĩa nửa khoảng cách Hausdorff từ A đến B distH (A, B) = supx∈A distH (x, B) Định nghĩa tương tự cho không gian định chuẩn ρ(x, y) thay x − y Định nghĩa 1.0.1 Ánh xạ G : R+ → P (H) gọi nửa dòng đa trị (msemiflow) nếu: (1) G(0, z) = z với z ∈ H (2) G(t + s, z) ⊂ G(t, G(s, z)) với z ∈ H t, s ≥ Định nghĩa 1.0.2 Nửa dòng đa trị G gọi chặt G(t + s, z) = G(t, G(s, z)) với z ∈ H t, s ≥ 31 Ta ước lượng tích phân cuối với (t, x) ∈ ΩT \Nδ sau lim sup n→∞ λ→0+ jn (vn (t, x) + λw(t, x)) − jn (vn (t, x)) λ = lim sup n→∞ λ→0+ ̺n (τ ) R j(vn (t, x) − τ + λw(t, x)) − j(vn (t, x) − τ ) dτ λ ≤ lim sup j(vn (t, x) − τ + λw(t, x)) − j(vn (t, x) − τ ) λ = lim sup j(v(t, x) + (t, x) − v(t, x) − τ + λw(t, x)) − j(v(t, x) + (t, x) − v(t, x) − τ ) λ n→∞ λ→0+ τ →0 n→∞ λ→0+ τ →0 = j (v(t, x); w(t, x)) Do j (v(t, x); w(t, x))dxdt ξ(t, x)w(t, x)dxdt ≤ ΩT \Nδ (2.2.12) ΩT \Nδ Do w bất kỳ, ta có ξ(t, x) ∈ ∂j(v(t, x)) a.e (t, x) ∈ ΩT \Nδ Do δ > chọn m(Nδ ) < δ , bao hàm thức cuối với x ∈ ΩT Định lý chứng minh Ta chứng minh với v nghiệm (2.2.1) với hầu khắp t ta có v ′ (t) + Av(t) + ξ(t) = F, (2.2.13) phương trình hiểu V ∗ + Lq (Ω) Ta chứng minh số ước lượng cho nghiệm toán (P2 ) Bổ đề 2.2.1 Nếu v ∈ W(R+ ) nghiệm toán (P2 ), ta có F 2H d v(t) 2H + v(t) 2V + 2d v(t) pLp (Ω) ≤ − 2cm(Ω), (2.2.14) dt λ1 dp dp p−2 d (|v(t)| − M)+ pLp (Ω) + (|v(t)| − M)+ 2p−2 M (|v(t)| − M)+ pLp (Ω) 2p−2 (Ω) + L dt p ≤ F 2H , (2.2.15) d 32 (2.2.15) thỏa mãn với M ≥ −2c 1/p d Chứng minh Ước lượng (2.2.14) cách lấy tích đối ngẫu (2.2.13) với v(t) ∈ V ∩ Lp (Ω) với hầu khắp t ∈ R+ Để chứng minh (2.2.15) ta bắt đầu với ước lượng hình thức, sau chứng minh ước lượng cách chặt chẽ Làm tương tự Bổ p−1 đề 3.1 [35] Lấy tích đối ngẫu (2.2.13) với (v(t) − M)+ , (v(t) − M)+ phần dương v(t) − M , ta có, với hầu khắp t ∈ R+ 1d (|v(t)| − M)+ p dt + Ω p Lp (Ω) p−1 ξ(t)(v(t) − M)+ dx = Ω Ω p−1 F (v(t) − M)+ dx Từ giả thiết H(j)(ii) ta có, với s ≥ − ta giả sử M ≥ − |∇(v(t) − M)+ |2 |(v(t) − M)+ |p−2dx + (p − 1) 2c 1/p d 2c 1/p , d (2.2.16) ξ ≥ d2 sp−1 với ξ ∈ ∂j(s) với hầu khắp (x, t) ∈ Ω × R+ d p−1 p−1 ξ(x, t)(v(x, t) − M)+ ≥ |v(x, t)|p−1(v(x, t) − M)+ M p−2 d ≥ M (v(x, t) − M)p+ + (v(x, t) − M)2p−2 + 4 (2.2.17) Hơn với hầu khắp t ∈ R+ x ∈ Ω d p−1 + F (x)2 ≤ (v(x, t) − M)2p−2 F (x)(v(x, t) − M)+ + d (2.2.18) Áp dụng (2.2.17) (2.2.18) cho (2.2.16) ta có d (|v(t)| − M)+ dt 2p F 2H ≤ d p Lp (Ω) + dp (|v(t)| − M)+ 2p−2 L2p−2 (Ω) + dp p−2 M (|v(t)| − M)+ p Lp (Ω) (2.2.19) p−1 hàm thử cho (2.2.13), với (|v(t)| + M)− phần âm Lấy (|v(t)| + M)− v(t) + M ta nhận d (|v(t)| + M)− dt 2p ≤ F 2H d p Lp (Ω) + dp (|v(t)| + M)− 2p−2 L2p−2 (Ω) + dp p−2 M (|v(t)| + M)− p Lp (Ω) (2.2.20) 33 Kết hợp (2.2.19) (2.2.20) ta (2.2.15) p−1 p−1 Để chứng minh (2.2.15) chặt chẽ ta cần (v(t)+M)− , (v(t)−M)+ ∈ V ∩Lp (Ω) Nếu điều không xảy ra, ta sử dụng lý luận Mục III.6.2 [47] Trước tiên xét θN ∈ C ∞ ([0, ∞)) xác định θN (s) = s với s ∈ [0, N], θN (s) = 2N với p−1 s ≥ 2N θN hàm trơn, tăng ngặt Lấy θN ((v(t) − M)+ ) hàm thử cho (2.2.13) ta thu ước lượng tương tự (2.2.19) Sau qua giới hạn n → ∞ để nhận ước lượng (2.2.19) trước Ước lượng (2.2.20) thực tương tự Bây ta xét nửa dòng đa trị G : R+ × H → P (H) liên kết với toán (P2 ) Bổ đề 2.2.2 Giả sử t ≥ 0, v0 ∈ B ⊂ H , w H ≤ R với w ∈ B v ∈ G(t, v0 ) Khi v H ≤ e−λ1 t R2 + F H − 2cm(Ω)λ1 λ21 (2.2.21) Nói cách khác G : R+ × H → P (H) có tập hấp thụ bị chặn Chứng minh Nhân (2.2.14) với eλ1 t , ta có d λ1 t (e v(t) dt H) ≤ F H − 2cm(Ω) λ1 eλ1 t Lấy tích phân từ đến t ta nhận (2.2.21) Bổ đề 2.2.3 Nếu v0 ∈ Lp (Ω) G(t, v0 ) ⊂ Lp (Ω) G nửa dòng đa trị Lp (Ω) Hơn G : R+ × Lp (Ω) → P (Lp (Ω)) có tập hấp thụ bị chặn Lp (Ω) Chứng minh Ta bỏ qua thành phần có chuẩn L2p−2 vế trái dp (2.2.15), nhân hai vế với e M p−2 d ( (|v(s)| − M)+ ds t, ta có với s ∈ R+ dp p−2 p e M s) Lp (Ω) ≤ p F d M p−2 s dp He 34 Lấy tích phân từ đến t ta (|v(t)| − M)+ p Lp (Ω) dp ≤ e− M dp ≤ e− M p−2 p−2 t t (|v0 | − M)+ p Lp (Ω) p Lp (Ω) v0 + + M p−2 d2 M p−2 d2 F (2.2.22) H F H Bây giả sử v ∈ G(t, v0 ) với t ≥ v0 ∈ Lp (Ω) Ta có v p Lp (Ω) |v(x)|p dx + = {|v|≤M } |v(x)|p dx {|v|>M } ≤ M p m(Ω) + (|v(x)| − M + M)p dx {|v|>M } ≤ M p m(Ω) + 2p−1 M p M(Ω) + 2p−1 Ω (|v(x)| − M)p+ dx Sử dụng (2.2.22) ta v p Lp (Ω) ≤ M p m(Ω)(1 + 2p−1 ) + 2p+1 F M p−2 d2 H dp + 2p−1 e− M p−2 t v0 p Lp (Ω) (2.2.23) Kết luận bổ đề suy từ (2.2.23) Bổ đề 2.2.4 Nửa dòng đa trị G : R+ × H → P (H) thỏa mãn điều kiện (NW ) Chứng minh Giả sử {vn }∞ n=1 dãy nghiệm toán (P2 ) với dãy giá trị ban đầu tương ứng {vn0 } cho vn0 → v0 H Cố định t > Từ (2.2.14) ta suy bị chặn V(0, t) Hơn nữa, lý luận chứng minh Định lý 2.2.1, điều kiện H(j)(i) tính bị chặn V(0, t) suy vn′ bị chặn V ∗ (0, t) Do tính chất phản xạ không gian này, ta có ⇀ v W(0, t) (theo dãy con) Lý luận chứng minh Định lý 2.2.1 ta chuyển qua giới hạn (2.2.1) để có v nghiệm toán (P2 ) với giá trị ban đầu v0 Hơn W(0, t) nhúng liên tục vào C([0, T ]; H) ta có ⇀ v C([0, T ]; H) (t) ⇀ v(t) H Bổ đề 2.2.5 Nửa dòng đa trị G : R+ × Lp (Ω) → P (Lp (Ω)) thỏa mãn điều kiện (NW ) 35 Chứng minh Cho t ≥ Giả sử vn0 → v0 Lp (Ω) nghiệm (P2 ) với giá trị ban đầu vn0 Bởi Bổ đề 2.2.4, G thỏa mãn điều kiện (NW ) H, ta có (t) ⇀ v(t) H, v nghiệm toán (P2 ) với giá trị ban đầu v0 Do (2.2.23), (t) bị chặn Lp (Ω), (t) ⇀ w Lp (Ω) Do ta phải có (t) ⇀ w H, tính giới hạn ta có w = v(t) Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.2.6 Nếu v nghiệm toán (P2 ) với v0 ∈ B, B ⊂ L2 (Ω) bị chặn, với ε > tồn số M phụ thuộc ε, B cho với t ≥ ta có (|v(t)| − M)+ p Lp (Ω) ≤ ε Chứng minh Từ (2.2.15) Bổ đề 2.0.1 suy với t ≥ ta có p Lp (Ω) (|v(t+2)|−M)+ dp ≤ e− M t+1 p−2 (|v(s)|−M)+ t F 2H p ds+ Lp (Ω) d2 M p−2 (2.2.24) Để ước lượng tích phân phải (2.2.24), ý với x ∈ Ω s ∈ R+ ta có (|v(x, s)| − M)p+ ≤ |v(x, s)|p t+1 (|v(s)| − t M)+ pLp (Ω) ds t+1 ≤ v(s) t p ds Lp (Ω) (2.2.25) F 2H λ1 (2.2.26) Lấy tích phân (2.2.14) từ t đến t + ta có với t ≥ t+1 2d v(s) t p ds Lp (Ω) ≤ v(t) H − 2cm(Ω) + Sử dụng Bổ đề 2.2.2 ta nhận t+1 2d v(s) t p ds Lp (Ω) ≤ e−λ1 t R2 + ( F H − 2cm(Ω)λ1 (1 + λ1 )) λ21 Do từ (2.2.24) (2.2.25), với t ≥ ta có (|v(t + 2)| − M)+ dp ≤ e− M p−2 p Lp (Ω) R2 ( F + 2d H − 2cm(Ω)λ1 )(1 + λ1 ) 2dλ21 Chú ý M phụ thuộc vào ε, d, c, p, R, m(Ω), F + H , λ1 F 2H d2 M p−2 (2.2.27) 36 Bổ đề 2.2.7 Nửa dòng đa trị G : R × H → P ∗ (H) thỏa mãn điều kiện làm phẳng H Chứng minh Chứng minh tương tự Bổ đề 2.1.5 Xét dãy giá trị riêng A ký hiệu < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ký hiệu Hn không gian sinh n hàm riêng đầu tiên, Pn : H → Hn phép chiếu tắc Khi v nghiệm toán (P2 ), ta đặt v1 (t) = Pn v(t) v2 (t) = v(t) − v1 (t) Giả sử v0 ∈ B, với B thỏa mãn w H ≤ R với w ∈ B t ≥ t0 ≥ Lấy tích đối ngẫu (2.2.13) với v2 (t) ta 1d v2 (t) dt H + v2 (t) V ≤ F H v2 (t) H + ξ H v2 (t) H Từ bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Poisson ta có d v2 (t) dt H + v2 (t) V ≤ ( F λ1 H + ξ H ) Áp dụng công thức Courant–Fischer ta nhận d v2 (t) dt H + λn+1 v2 (t) H ≤ ( F λ1 H + ξ H ) Từ bất đẳng thức Gronwall Bổ đề 2.0.1 ta có, với t ≥ 0, H v2 (t + 2) t+1 −λn+1 ≤e v2 (t) t H ds + F 2H e−λn+1 (t+2) + λ1 λn+1 λ1 t+2 eλn+1 s ξ(s) t H ds (2.2.28) Để ước lượng tích phân cuối ta sử dụng điều kiện tăng trưởng H(j)(i) Ta có ξ(s) H |v(x, s)|2p−2dx (a + b|v(x, s)|p−1 )2 dx ≤ 2a2 m(Ω) + 2b2 ≤ Ω Ω Ta thấy |v(x, s)|2p−2 ≤ 22p−3 (M 2p−2 + (|v(x, s)| − M)2p−2 ), + ξ(s) H ≤ 2a2 m(Ω) + b2 22p−2 Ω M 2p−2 + (|v(x, s)| − M)2p−2 dx + 37 Sử dụng đánh giá (2.2.28) cho ta t+1 H v2 (t + 2) −λn+1 ≤e v2 (s) t + b2 22p−2 λ1 H F H ds + + m(Ω)(2a2 + b2 22p−2 M 2p−2 ) λ1 λn+1 t+2 −λn+1 (t+2) eλn+1 s (|v(x, s)| − M)+ e t 2p−2 L2p−2 ds (2.2.29) Để đánh giá tích phân cuối (2.2.29) ta nhân (2.2.15) với eλn+1 t lấy tích phân từ t đến t + 2: t+2 eλn+1 s t ≤ p F d H d (|v(s)| − M)+ ds eλn+1 (t+2) λn+1 p ds + Lp (Ω) dp t+2 eλn+1 s (|v(s)| − M)+ t 2p−2 ds L2p−2 (Ω) Sau tích phân phần dp t+2 eλn+1 s (|v(s)| − M)+ t 2p−2 ds L2p−2 (Ω) ≤ p F d + λn+1 λn+1 (t+2) e H λn+1 t+2 λn+1 s e + eλn+1 t (|v(t)| − M)+ (|v(s)| − M)+ t p ds Lp (Ω) Bởi Bổ đề 2.1.2, với δ > ta tìm M = M(δ, R) cho với t ≥ t0 ta có (|v(t)| − M)+ dp p Lp (Ω) ≤ δ Sau tính toán trực tiếp, ta nhận t+2 eλn+1 s (|v(s)| − M)+ t 2p−2 ds L2p−2 (Ω) ≤ p F d λn+1 (t+2) e H λn+1 + 2eλn+1 (t+2) δ Sử dụng đánh giá (2.2.29) ta thấy t+1 v2 (t + 2) H ≤ e−λn+1 v2 (s) t + b2 22p−2 λ1 H ds + F 2H 16δ + d2 λn+1 dp F H + m(Ω)(2a2 + b2 22p−2 M 2p−2 ) λ1 λn+1 (2.2.30) Bởi Bổ đề 2.2.2 ta có, với t ≥ t+1 t+1 v2 (s) t H ds ≤ v(s) t H ds ≤ e−λ1 t R2 + F H − 2cm(Ω)λ1 λ21 p Lp (Ω) 38 Sử dụng đánh giá (2.2.30) ta có v2 (t + 2) H H − 2cm(Ω)λ F 2H + 2a2 m(Ω) + λ1 λn+1 λ21 b2 22p+2 δ b2 22p−2 M 2p−2 m(Ω) b2 22p+1 F 2H + + + λ1 λn+1 d2 λ1 λn+1 dpλ1 ≤ e−λn+1 e−λ1 t R2 + e−λn+1 F := I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 Chọn δ cho I6 ≤ 6ε Cố định M , chọn n cho λn+1 đủ lớn Ii ≤ i = 2, 3, 4, Cuối chọn t0 đủ lớn cho I1 ≤ ε ε với với t ≥ t0 Bổ đề chứng minh Định lý 2.2.2 Nửa dòng đa trị G : R+ × H → P (H) có tập hút toàn cục H Chứng minh Kết luận suy từ Bổ đề 2.2.2, 2.2.4, 2.2.7 Hệ 1.4.1 Bổ đề sau suy từ Bổ đề 5.3 [10] Bổ đề 2.2.8 Giả sử G nửa dòng đa trị H Lp (Ω) (p ≥ 2) cho (i) G : R+ × H → P (H) có tính chất ω -tiệm cận compact H, ¯ =M ¯ (¯ (ii) với ε¯ > tập bị chặn B ⊂ Lp (Ω) tồn số M ε, B) T = T (¯ ε, B) cho với v0 ∈ B , t ≥ T với v ∈ G(t, v0 ) ta có ¯} {|v|≥M |v(x)|p dx ≤ ε¯ Khi G : R+ × Lp (Ω) → P (Lp (Ω)) có tính chất ω -tiệm cận compact Lp (Ω) Định lý 2.2.3 Nửa dòng đa trị G : R+ × Lp (Ω) → P (Lp (Ω)) có tập hút toàn cục Lp (Ω) 39 Chứng minh Từ Bổ đề 2.2.3 2.2.5, ta có G thỏa mãn điều kiện (NW ) có tập hấp thụ bị chặn Lp (Ω) Do Bổ đề 2.2.7 ta có G thỏa mãn điều kiện làm phẳng H và, Bổ đề 1.2.3, ta có G ω -tiệm cận compact H Đề có tính chất ω -tiệm cận compact Lp (Ω) ta sử dụng Bổ đề 2.2.8 Với t ≥ v0 ∈ B , B tập bị chặn Lp (Ω), ta lấy ε M Bổ đề 2.2.6 Khi với v ∈ G(t, v0 ) ta có |v(x)|p dx ≤ {|v|≥2M } (|v(x)| − M + M)p dx {|v|≥2M } M p dx (|v(x)| − M)p dx + ≤ 2p−1 {|v|≥2M } ≤ 2p−1 {|v|≥M } {|v|≥2M } (|v(x)| − M)p+ dx ≤ 2p ε, M ≤ |v| − M , |v| ≥ 2M Từ (ii) Bổ đề 2.2.8 thỏa mãn Do G ω -tiệm cận compact Lp (Ω) từ Định lý 1.4.1 ta khẳng định G có tập hút toàn cục Lp (Ω) 40 Kết luận Luận văn trình bày nghiên cứu tổng quan lý thuyết tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị với kết cải tiến gần công trình [48] Cụ thể Trình bày lý thuyết tập hút tổng quát không gian metric đầy không gian Banach, nửa dòng đa trị không cần thỏa mãn điều kiện nửa liên tục kết trước Trình bày ứng dụng lý thuyết cho hai lớp toán biên ban đầu với điều kiện biên hàm phi tuyến đa trị Lý thuyết cho phép ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm nhiều lớp toán biên ban đầu xác lập phương trình đạo hàm riêng phi tuyến 41 Tài liệu tham khảo [1] A.V Babin, M.I Vishik, Maximal attractors of semigroups corresponding to evolution differential equations, Mat Sb (N.S.) 126 (1985) 397-419 [2] V.S Melnik, J Valero, On attractors of multivalued semiflows and differential inclusions, Set-Valued Anal (1998) 83-111 [3] J.M Ball, Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations, Nonlinear Sci (1997) 475-502 [4] V.V Chepyzhov, M.I Vishik, Trajectory attractors for evolution equations, C.R Acad Sci., Paris I 321 (1995) 1309-1314 [5] V.V Chepyzhov, M.I Vishik, Evolution equations and their trajectory attractors, J Math Pures Appl 76 (1997) 913-964 [6] J Malek, J Neˇcas, A finite-dimensional attractor for three-dimensional flow of incompressible fluids, J Differential Equations 127 (1996) 498-518 [7] G.R Sell, Global attractors for the three dimensional Navier-Stokes equations, J Dynam Differential Equations (1996) 1-33 [8] O.V Kapustyan, J Valero, Comparison between trajectory and global attractors for evolution systems without uniqueness of solutions, Int J Bifurcation Chaos 20 (2010) 2723-2734 42 [9] T Caraballo, P Martin-Rubio, J.C Robinson, A comparison between two theories for multivalued semiflows and their asumptotic behavior, Set-Valued Anal 11 (2003) 297-322 [10] Cheng-Kui Zhong, Mei-Hua Yang, Chun-You Sun, The existence of global attractors for the norm-to-weak continuous semigroup and application to the nonlinear reaction-diffusion equations, J Differential Equations 223 (2006) 367-399 [11] Yejuan Wang, Shengfan Zhou, Kernel sections and uniform attractors of multivalued semiprocesses, J Differential Equations 232 (2007) 573-622 [12] M Boukrouche, G Lukaszewicz, On the existence of pullback attractor for a twodimensional shear flow with Trescas boundary condition, Banach Center Publ 81 (2008) 81-93 [13] J Cholewa, T Dlotko, Global Attractors in Abstract Parabolic Problems, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2000 [14] J.C Robinson, Dimensions, Embeddings, and Attractors, Cambridge University Press, UK, 2011 [15] P.O Kasyanov, Multivalued dynamics of solutions of an autonomous differentialoperator inclusion with pseudomonotone nonlinearity, Cybernet Systems Anal 47 (2011) 800-811 [16] P.O Kasyanov, Multivalued dynamics of solutions of autonomous operator differential equations with pseudomonotone nonlinearity, Math Notes 92 (2012) 205218 [17] P.O Kasyanov, L Toscano, N.V Zadoianchuk, Long-time behaviour of solutions for autonomous evolution hemivariational inequality with multidimensional “reaction-displacement” law, Abstr Appl Anal 2012 (2012) Article ID 450984 43 [18] M.Z Zgurovsky, P.O Kasyanov, N.V Zadoianchuk, Long-time behavior of solutions for quasilinear hyperbolic hemivariational inequalities with application to piezoelectricity problem, Appl Math Lett 25 (2012) 1569-1574 [19] M Coti Zelati, On the theory of global attractors and Lyapunov functionals, SetValued Var Anal 21 (2013) 127-149 [20] F Balibrea, T Caraballo, P.E Kloeden, J Valero, Recent developments in dynamical systems: three perspectives, Int J Bifurcation Chaos 20 (2010) 2591-2636 [21] J.M Arrieta, A Rodriguez-Bernal, J Valero, Dynamics of a reaction-diffusion equation with a discontinuous nonlinearity, Int J Bifurcation Chaos 16 (2006) 2695-2984 [22] O.V Kapustyan, P.O Kasyanov, J Valero, Structure and regularity of the global attractor of a reaction–diffusion equation with non-smooth nonlinear term arXiv: http://arxiv.org/abs/1209.2010 [23] P.O Kasyanov, L Toscano, N.V Zadoianchuk, Regularity of weak solutions and their attractors for a parabolic feedback control problem, Set-Valued Var Anal 21 (2013) 271-282 [24] K Deimling, Nonlinear Funcional Analysis, Springer, Berlin, 1985 [25] Q.F Ma, S.H Wang, C.K Zhong, Necessary and sufficient conditions for the existence of global attractors for semigroups and applications, Indiana Univ Math J 51 (2002) 1541-1559 [26] Z Denkowski, S Migorski, N.S Papageorgiou, An Introduction to Nonlinear Analysis: Theory, Kluwer Academic Publishers, Boston, 2003 [27] V.S Melnik, J Valero, Addendum to “On attractors of multivalued semiflows and differential inclusions”, Set-Valued Anal 16 (2008) 507-509; Set-Valued Anal (1998) 83-111 44 [28] M.Z Zgurovsky, P.O Kasyanov, O.V Kapustyan, J Valero, N.V Zadoianchuk, Evolution Inclusions and Variation Inequalities for Earth Data Processing III, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2012 [29] F.H Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia, 1990 [30] M Miettinen, P.D Panagiotopoulos, On parabolic hemivariational inequalities and applications, Nonlinear Anal 35 (1999) 885-915 [31] S Migorski, A Ochal, A unified approach to dynamic contact problems in viscoelasticity, J Elasticity 83 (2006) 247-276 [32] Z Naniewicz, P.D Panagiotopoulos, Mathematical Theory of Hemivariational Inequalities and Applications, Dekker, New York, 1995 [33] S Carl, V.K Le, D Motreanu, Nonsmooth Variational Problems and Their Inequalities, Springer, New York, 2007 [34] S Migorski, A Ochal, M Sofonea, Nonlinear Inclusions and Hemivariational Inequalities Models and Analysis of Contact Problems, in: Advances in Mechanics and Mathematics, vol 26, Springer, New York, ISBN: 978-1-4614-4231-8, 2013, p 285 [35] G Lukaszewicz, On pullback attractors in Lp for nonautonomous reactiondiffusion equations, Nonlinear Anal TMA 73 (2010) 350-357 [36] G Wang, X Yang, Finite difference approximation of a parabolic hemivariational inequalities arising from temperature control problem, Int J Numer Anal Model (2010) 108-124 [37] S Migorski, A Ochal, Boundary hemivariational inequality of parabolic type, Nonlinear Anal 57 (2004) 579-596 [38] P Kalita, Semidiscrete θ-scheme for a parabolic operator differential inclusion, submitted for publication 45 [39] R Rossi, G Savare, Tightness, integral equicontinuity and compactness for evolution problems in Banach spaces, Ann Sc Norm Super Pisa (2003) 395-431 [40] Z Naniewicz, Hemivariational inequalities governed by the p-Laplacian-Dirichlet problem, Control Cybernet 33 (2004) 181-210 [41] P Kalita, G Lukaszewicz, Attractors for some Navier-Stokes flows with nonmonotone boundary conditions governed by a hemivariational inequality arXiv: http://arxiv.org/abs/1307.3496 [42] J.-P Aubin, A Cellina, Differential Inclusions, Springer, Berlin, 1984 [43] J.C Robinson, Infnite-dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2001 [44] S Migórski, A Ochal, Navier-Stokes models modeled by evolution hemivariational inequalities, Discrete Contin Dyn Syst Suppl (2007) 731-740 [45] P Kalita, Decay of energy for second-order boundary hemivariational inequalities with coercive damping, Nonlinear Anal TMA 74 (2011) 1164-1181 [46] E Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications Vol II/A: Linear Monotone Operators, Springer, New York, 1992 [47] R Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, second ed., Springer-Verlag, New York, 1997 [48] P Kalita, G Lukaszewicz, Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties, Nonlinear Anal 101 (2014), 124-143 [...]... G(t, ·) là nửa liên tục trên mạnh -yếu) ⇔ (NW ) ⇓ (G nửa đóng) =⇒ (G đóng) 1.4 Kết quả tổng quát về sự tồn tại tập hút toàn cục Định nghĩa 1.4.1 Tập A ⊂ H được gọi là tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị G nếu: (1) A là tập compact trong H (2) A ⊂ G(t, A) với mọi t ≥ 0 (A bất biến âm) (3) Với mọi tập bị chặn B ⊂ H , A hút B theo nghĩa distH (G(t, B), A) → 0, t → ∞ Định lý dưới đây cho ta điều kiện cần... cho ta điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại tập hút toàn cục Định lý này cũng đúng cho nửa dòng đơn trị liên tục (xem Định lý 3.9 trong [25]) Định lý 1.4.1 Giả sử H là không gian Banach và nửa dòng đa trị G : R+ ×H → P (H) là đóng Khi đó tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị G tồn tại nếu và chỉ nếu 14 (i) G có một tập hấp thụ B0 bị chặn trong H (tưc là với mọi tập bị chặn B ⊂ H tồn tại t0 > 0 sao cho... ξµ của dãy ξn sao cho ξµ → ξ trong H , và điều này có nghĩa ξ ∈ A˜, đây là điều mâu thuẫn Vậy A = A˜ Ta có hệ quả sau 16 Hệ quả 1.4.1 Nếu nửa dòng đa trị G trên không gian Banach lồi đều H có tập hấp thụ bị chặn và thỏa mãn điều kiện làm phẳng cùng với điều kiện (NW ) thì nó có một tập hút toàn cục Định lý 1.4.2 Nếu nửa dòng đa trị G trên không gian Banach H là đóng, và tồn tại một tập compact K hút. .. 1.3 Tính liên tục và tính đóng của nửa dòng đa trị Định nghĩa 1.3.1 Giả sử H là không gian định chuẩn và X là một không gian tô-pô Hàm đa trị G : H → 2X là nửa liên tục trên nếu với mọi dãy xn → x trong H và với mọi tập mở V ⊂ X sao cho G(x) ⊂ V tồn tại n0 ∈ N sao cho G(xn ) ⊂ V với mọi n ≥ n0 Định nghĩa 1.3.2 Nửa dòng đa trị G : R+ ×H → P (H) trên không gian Banach H được gọi là đóng nếu với mọi t... Khi đó với mọi tập con A của H , ta có κ(A) = κ(A¯ws ) 1.2 Tính compact của nửa dòng đa trị Định nghĩa 1.2.1 Giả sử H là không gian metric đầy Nửa dòng đa trị G : R+ × H → P (H) được gọi là ω -tiệm cận compact nếu với mọi tập bị chặn B ⊂ H ta có G(t, B) κ → 0, τ → ∞ t≥τ Định nghĩa 1.2.2 Giả sử H là không gian metric đầy Nửa dòng đa trị G : R+ × H → P (H) được gọi là tiệm cận compact nếu với mọi tập bị... Giả sử G là một nửa dòng đa trị chặt, có tính đóng trên không gian Banach H Khi đó G có tập hút toàn cục khi và chỉ khi (i) G là tán xạ điểm (ii) G có tinhc chất ω -tiệm cận compact Tập hút toàn cục khi đó là tập đóng nhỏ nhất có tính chất hút tất cả các tập bị chặn trong H 17 Chứng minh Từ Định lý 1.4.1 suy ra nếu G có tập hút toàn cục thì G có tính chất ω -tiệm cận compact và có một tập hấp thụ bị... compact Từ Định lý 1.4.1 ta thấyG có tập hút toàn cục Tính cực tiều của tập hút này được chứng minh tương tự như trong [2] Định nghĩa 1.4.2 Nửa dòng đa trị G được gọi là tán xạ điểm nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ H sao cho với mọi x ∈ H ta có distH (G(t, x), B0 ) → 0 khi t → ∞, tức là B0 hút mọi điểm trong H Điều kiện cần của định lý sau đã được chứng minh cho nửa dòng chặt có tính đóng (Bổ đề trong... nửa liên tục ta tìm được m0 ∈ N sao cho G(t, xn ) ⊂ V với mọi n ≥ m0 Do đó với n ≥ max{N0 , m0 } ta có V ∋ ξn ∈ G(t, xn ) ⊂ V, 13 đây là điều mẫu thuẫn Bổ đề 1.3.2 Nếu G : R+ × H → P (H) là một nửa dòng đa trị trên không gian Banach H thỏa mãn điều kiện (NW ) thì nó là nửa đóng Chứng minh Suy ra từ định nghĩa Tóm tắt kết quả mục này đối với nửa dòng đa trị trên không gian Banach (G(t, x) compact yếu. .. tồn tại của tập hút toàn cục suy ra từ Bổ đề 2 trong [27] Từ các Định lý 1.4.1 và 1.4.3 ta có hệ quả sau Hệ quả 1.4.2 Giả sử G là nửa dòng đa trị chặt trên không gian Banach H có tính đóng và ω -tiệm cận compact Khi đó G là tán xạ điểm nếu và chỉ nếu nó có tập hấp thụ bị chặn Định lý sau đây không đòi hỏi nửa dòng đa trị phải có tập hấp thụ bị chặn Định lý 1.4.4 Giả sử G là một nửa dòng đa trị trên... 2.1.5 và 2.1.6 ta thấy tất cả các giả thiết của Hệ quả 1.4.1 được thỏa mãn và do đó ta có khẳng định sau Định lý 2.1.2 Nửa dòng đa trị G sinh bởi bài toán (P1 ) có tập hút toàn cục 2.2 Tập hút toàn cục trong L2(Ω) và Lp(Ω) của hệ phản ứng khuếch tán với phần phi tuyến đa trị Giả sử Ω ∈ Rm là miền bị chặn có biên Lipschitz Cho p > 2, gọi q là số mũ liên hợp của p xác định bởi công thức 1 p + 1 q = 1