SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,… Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện cực trị Đây là dạng Toán khó, chỉ có chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học cao đẳng Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu thấy là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán về một bài toán quen thuộc Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích môn,với tích lũy qua số năm trực tiếp giảng dạy, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu Được sự động viên, giúp đỡ của các thầy hội đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp tổ Toán – Tin học trường THPT Trần Phú Tôi mạnh dạn cải tiến bổ sung chuyên đề “ Một số bài toán cực trị hình học giải tích lớp 12” II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi - Kiến thức học, tập luyện tập nhiều - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học yêu thích môn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực chuyên đề - Được động viên BGH, nhận động viên đóng góp ý kiến cuả đồng nghiệp Khó khăn - Giáo viên nhiếu thời gian để chuẩn bị dạng tập Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 1/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 - Nhiều học sinh bị mất kiến thức bản hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ không gian - Đa số học sinh yếu môn hình học Số liệu thống kê Trong năm trước, gặp toán liên quan đến Cực trị hình học số lượng học sinh biết vận dụng thể qua bảng sau: Không Nhận biết, nhận biết vận dụng Số lượng Tỉ lệ ( %) 60 66,7 20 22,2 Nhận biết biết vận dụng ,chưa giải hoàn chỉnh 9,9 Nhận biết biết vận dụng , giải hoàn chỉnh 1.1 III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt hoc sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao) Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ không gian để giải các bài toán được đặt Nội dung 2.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng a Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) −Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α) −Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vuông góc với (α)) −Tìm giao điểm H của MH và (α) • Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếu H của M lên (α), dùng công thức trung điểm suy tọa độ M’ b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 2/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 − Viết phương trình tham số của d − Gọi H ∈d có tọa độ theo tham số t r uuuur u − H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d d MH = − Tìm t, suy tọa độ của H 2.2 Các bài toán cực trị liên quan đ ến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ và đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M đường thẳng d hay mặt phẳng (α) cho uuur uuuur uuuur k1 MA1 + k2 MA2 + + kn MAn có giá trị nhỏ nhất Lời giải: uur uuur uuur r k IA + k IA + + k IA 2 n n =0 − Tìm điểm I thỏa − Biến đổi uuuur uuuuur uuuuur uuur uuur k1 MA1 + k MA + + k n MA n = (k + k + + k n )MI = k MI − Tìm vị trí của M Ví dụ 1: Cho đường thẳng B ( 0;3;3) 1) 2) ( d) : uuur MI đạt giá trị nhỏ nhất x- y+1 z = = 1 hai điểm A ( 0;1;5) , Tìm điểm M d cho uuuur uuur MA + MB uuuur uuur MA - 4MB có giá trị nhỏ có giá trị nhỏ Giải: uur uur r 1) Gọi điểm I thỏa IA + IB = thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4) uuuur uuur uuur uuur uuur uur uuur MA + MB = MI + IA + MI + IB = MI Khi đó có giá trị nhỏ Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 3/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 uuur MI nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d x = + t  y = -1 + t r z = t Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham số d:  uuur IM = ( t+4; t-3 ; t - 4) M là hình chiếu vuông góc Tọa độ M(t + 4; -1 + t; t), uuur r IM u = hay 3t – = t = của I lên đường thẳng d thì Vậy M( 5; 0; 1) uur uur r JA - 4JB = 2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa Ta có: (0 –x; –y; – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0) 13 13 ; =>x = 0; y = , z = , vậy J(0; ) Khi đó uuuur uuur uuur uur uuur uur uuur uuur MA - 4MB = MJ+ JA- 4(MJ + JB ) = −3MJ = MJ có giá trị nhỏ M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d uuur 18 17 JM = ( t+ 4; t ;t) 5 Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), M là hình chiếu vuông uuur r JM u = hay 3t – = t = góc của J lên đường thẳng d thì uuuur uuur MA - 4MB Vậy M( 5; 0; 1) thì có giá trị nhỏ Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = ba điểm A ( 1;0;1) , B ( -2;1;2 ) C ( 1;-7;0 ) , 1) 2) Tìm điểm M mặt phẳng (α) cho : uuuur uuur uuur MA + MB + MC uuuur uuur uuur MA -2MB + 3MC có giá trị nhỏ có giá trị nhỏ Giải: Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 4/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 uuur uuur uuur r GA + GB +GC = thì G là trọng tâm của tam giác ABC 1) Gọi điểm G thỏa và G(0;-2;1) Ta có uuuur uuur uuur MA + MB + MC = uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur MG + GA + MG + GB + MG + GC MG = có giá trị nhỏ r M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α) MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương x = 2t  y = -2-2t z = 1+3t Phương trình tham số MG  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = ⇔ 17t + 17 = ⇔ t = −1 Vậy với M(-2; 0; -2) thì uuuur uuur uuur MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất uur uur uur r IA -2IB + 3IC = 2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0) ⇒ x = 4; y = - Ta có: 23 23 ;z=I(4; − ; − ) 2 , vậy 2 uuuur uuur uuur MA -2MB + 3MC = uuur uur uuur uur uuur uur MI+IA -2(MI + IB) + 3(MI + IC ) = uuur 2MI có giá trị nhỏ M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)  x = 4+2t  23  y = − -2t   z = − +3t Phương trình tham số MI: Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 73 73 23 =0⇔ t=− 2(4 + 2t) − 2( − − 2t) + 3( − + 3t) + 10 = ⇔ 17t + 34 2 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 5/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Vậy với M( − 245 135 uuuur uuur uuur ;− ;− ) MA -2MB + 3MC 17 34 17 thì đạt giá trị nhỏ nhất Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) cho 2 tổng T = k1MA1 + k2 MA2 + + kn MAn đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất Lời giải: uur uuur uuur r k IA + k IA + + k n IA n = - Tìm điểm I thỏa 2 - Biến đổi : T = k1MA1 + k 2MA + + k nMA n = uuur uur uuur 2 2 (k + + k )MI k IA + k IA + + k IA MI(k IA + + k n IA n ) n 1 2 n n = + +2 2 2 = kMI + k1IA1 + k 2IA + + k n IA n 2 Do k1IA1 + k 2IA + + k n IA n không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng Chú ý: - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất - Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất MI nhỏ nhất Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + = và ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm M mặt phẳng (α) cho MA - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất Giải: 3 I(2; ; − ) uur uur r 2 IA + IB = 1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa thì I là trung điểm AB và Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 6/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 uuur uur uuur uur (MI + IA) +(MI + IB) Ta có: MA + MB = 2 uuur uur uur = IA + IB2 +2MI +2MI(IA + IB) = IA + IB2 +2MI 2 Do IA + IB không đổi nên MA + MB2 nhỏ nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc củarI lên (α) Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp n α = (1; 2; 2)  x = 2+t   y = + 2t   z = − +2t Phương trình tham số MI: Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 3 + t + 2( + 2t) + 2(− + 2t) + = ⇔ 9t + = ⇔ t = −1 2 ⇒ M (1; − ; − ) 2 M (1; − ; − ) 2 thì MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất Vậy với Nhận xét: AB Với I là trung điểm AB thì MA + MB2 = 2MI2 + , AB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất MI có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α) uur uur uur r 2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = Hay (1 − x; − y; −1 − z) − (3 − x;1 − y; −2 − z) − (1 − x; −2 − y;1 − z) = (0;0;0) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 7/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12  −3 + x =  ⇔ 3 + y = ⇔ J(3; −3;0) z =  uuur uur uuur uur uuur uur (MJ + JA) - (MJ + JB) − (MJ + JC) Ta có: MA - MB – MC = 2 uuur uur uur uur = J A − JB2 − JC − MJ + 2MJ(JA − JB − JC) = JA − JB2 − JC − MJ 2 2 Do JA − JB − JC không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất MJ nhỏ nhất hay M là hình chiếu của J mặt phẳng (α) r Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n α = (1; 2; 2) Phương trình tham số MJ: x = 3+t  y = -3+ 2t z = 2t  Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: + t + 2(−3 + 2t) + 2.2t + = ⇔ 9t + = ⇔ t = − ⇒ M( 23 35 ;− ;− ) 9 x-1 y-2 z-3 = = và các điểm Ví dụ 2: Cho đường thẳng d có phương trình: A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất 2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất 23 35 M( ; − ; − ) 9 thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất Vậy với Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 8/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Giải: uur uur r 1) Gọi điểm I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2 IB = Hay: (−x;1 − y; −2 − z) − 2(2 − x; −1 − y; − z) = (0; 0;0)  −4 + x =  ⇔ 3 + y = ⇔ I(4; −3;6) - 6+z =  uuur uur uuur uur (MI + IA) − 2(MI + IB) Ta có MA - 2MB = 2 uuur uur uur = IA − 2IB2 − MI + 2MI(IA − IB) = IA − 2IB2 − MI 2 Do IA - IB không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d x = 1+t  y = 2+ 2t r  Đường thẳng d có vtcp u = (1; 2;1) , phương trình tham số d: z = 3+ t uuur M ∈ d ⇒ M(1 + t; + 2t; + t) , IM = ( t-3; 2t + ; t - 3) M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì uuur r IM.u = 2 ⇔ 6t + = ⇔ t = − ⇒ M ( ; ; ) 3 3 M( ; ; ) 3 thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất Vậy với Nhận xét: Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M Với M ∈ d ⇒ M(1 + t; + 2t; + t) Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2 = - 6t2 – 8t +5 Xét hàm số f (t ) = − 6t – 8t + 5, t ∈ R Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 9/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Có đạo hàm f '(t ) = − 12t – 8t , f '(t ) = ⇔ t = − Bảng biến thiên t − −∞ f’(t) + +∞ 23 f(t) −∞ Từ bảng biến thiên ta thấy f(t) đạt giá trị lớn nhất −∞ t=− M( ; ; ) 3 Hay MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất uuur uuur uuur r GA + GB +GC = thì G là trọng tâm 2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa tam giác ABC và G(2; 1; 1) uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur 2 2 (MG + GA) + (MG + GB) +(MG + GC) Ta có: MA + MB + MC = uuuur uuur uuur uuur 2 2 = GA + GB + GC +3MG + 2MG(GA + GB + GC) 2 2 = GA + GB + GC +3MG 2 Do GA + GB + GC không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông uuuugó r c của G lên đường thẳng d M ∈ d ⇒ M(1 + t; + 2t; + t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) uuuur r GM u = Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì 1 ⇔ 6t + = ⇔ t = − ⇒ M ( ;1; ) 2 Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 10/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 r uuur u = (1;0; -1 ) MB = (−2;2;0) 1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp d , uur uuur uur [u d , MB] = (2;2;2) = 2(1;1;1) = 2nα uur n (α) qua B nhận α = (1;1;1) làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): x + y + z – = 2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α), để d(A, ∆ 1) nhỏ nhất ∆1 qua hai điểm B,H x = + t  y = + t  Phương trình tham số AH: z = −1 + t Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình: + t + + t -1 + t – = ⇔ 3t + = ⇔ t = − −4 ⇒ H( ; ; ) 3 3 uuur −4 −4 4 uur uur BH = ( ; ; ) = (2; −1; −1) = u1 u 3 3 ⇒ ∆1 nhận làm véc tơ chỉ phương uur r u u Ta thấy và d không cùng phương nên d và ∆1 cắt (do cùng thuộc mặt phẳng (α)) x+1 y-2 z = = −1 −1 Vậy phương trình ∆1: 3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆ ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆ ) lớn nhất uu Kr≡ B hay ∆2 nằm (α)và uu vuông góc với AB r uuu r uur Ta có [nα , AB] = (0; −4;4) = −4(0;1; −1) = −4u ⇒ ∆2 nhận u làm véc tơ chỉ uur r u u phương, mặt khác và d không cùng phương nên d và ∆2 cắt (do cùng thuộc mặt phẳng (α)) x = −1  y = + t  Phương trình ∆2: z = −t Chú ý : Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 26/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý và ý ví dụ Gọi ∆ là đường thẳng tuỳ ý qua Buuu vàr cắt d, giả sử ∆ cắt d tại điểm N(1+t, 0;-t), đó ∆ có véc tơ chỉ phương NB = (−2 − t ;2; t ) uuur uuur uuur AB = ( − 3;1;1) [ NB , AB] = (2 − t ;2 − 2t; − t ) Ta có , uuur uuur [NB, AB ] (2 − t ) + (2 − 2t ) + (4 − t ) = uuur NB (−2 − t ) + 22 + (t ) Và d(A;∆) = 3t − 10t + 12 = t + 2t + 16t − 64t 3t − 10t + 12 f '( t ) = f (t ) = (t + 2t + 4) , với mọi t ∈ R t + 2t + có Xét hàm số t = f '(t ) = ⇔  t = −2 Bảng biến thiên của f (t ) t −∞ f’(t) -2 + +∞ - + 11 f(t) 3 Từ bảng biến thiên ta thấy: • d(A;∆) lớn nhất bằng 11 t = -2 ⇒ N(-1; 0;2) uuur NB = (0;2; −2) = 2(0;1; −1) x = −1  y = + t  và đường thẳng cần tìm có phương trình là: z = −t Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 27/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 • d(A;∆) nhỏ nhất bằng t = ⇒ N(3; 0;-2) uuur NB = (−4;2;2) = −2(2; −1; −1) x+1 y-2 z = = −1 −1 và đường thẳng cần tìm có phương trình là : Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm (α) và không qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất Lời giải: Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với (α) Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vuông góc của B lên (P) và d1 Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là uur uur uur u BH và BH ≤ BI nên BH lớn nhất I ≡ H, đó ∆ có vtcp ∆ = [BI, nα ] x-1 y-2 z -3 = = −1 , mặt phẳng (α): 2x – y – z + Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: = và điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α), qua A cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất Giải: uur r n Đường thẳng d có vtcp u = (1; 2; -1), (α) có vtpt α = (2; -1; 1) x = + t  y = + 2t  Phương trình tham số d: z = − t Gọi B là giao điểm của d và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 2+ 2t – – 2t – 3+ t + = ⇔ t = -1 ⇒ B(0; 0; 4) Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 28/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x = −1 + t  y = + 2t  Phương trình tham số đường thẳng d1: z = − t Gọi I là hình chiếu vuônguugó r c của B lên d1 ⇒ I(-1 + t; + 2t; – t), BI = (-1 + t; + 2t;-5– t) uur r BI u = ⇔ -1 + t + 2(1 + 2t) –(-5– t) = ⇔ t = -1 ⇒ I(-2; -1; 2) Ta có uur uur uur u Đường thẳng ∆ có vtcp ∆ = [BI, nα ] = (-5; -10; 4) x+1 y-1 z -1 = = Phương trình ∆: −5 −10 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường x+1 y z-4 = = −3 Trong các đường thẳng qua A và song song thẳng ∆ : song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất Giải: Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= => d nằm (α) uur r u = (2;1;-3), (α) có vtpt nα = (1;1;-1) Đường thẳng ∆ có vtcp x = −1 + 2t  y = t  Phương trình tham số ∆: z = − 3t Gọi B là giao điểm của ∆ và (α), tọa độ B ứng với t là nghiệm phương trình: 1 -1+ 2t + t – (4- 3t) + = ⇔ t = ⇒ B(0; ; ) Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆ Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 29/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x = + t  y = −1 + t  Phương trình tham số đường thẳng ∆1: z = − 3t uuur Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên ∆ ⇒ H(1 + 2t; -1 + t; – 3t), BH = (1 + 2t; t - ; -3t) uur r − Ta có BI.u = ⇔ + 4t + t - + 9t = ⇔ t = 28 1 r uuur 13 − 43 ⇒ BH =( 14 ; 28 ; 28 ) = 28 (26; -43; 3) = 28 u1 uur uur uur u Đường thẳng d có vtcp d = [u1, nα ] = (40; 29; 69) x-1 y+1 z -2 = = 69 Phương trình d : 40 29 Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song với Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ và tạo với ∆2 một góc lớn nhất Lời giải: Vẽ một đường thẳng bất kỳ ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 tại M Gọi I là điểm cố định ∆3 và H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(α), kẻ IJ ⊥ ∆1 · Góc giữa (α) và ∆2 là góc IMH Trong tam giác vuông HMJ có · cos IMH = HM MJ ≥ IM IM không đổi · Suy góc IMH lớn nhất MJ = MI hay H ≡ · J, đó IMH =(∆1,∆2) và (α) là mặt phẳng chứa ∆1 đồng thời vuông góc với mặt phẳng (∆1,∆2) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 30/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 r r r [ u Khi đó (α) nhận ∆1 ,[u ∆1 , u ∆2 ]] làm véctơ pháp tuyến x-2 y+1 z-1 = = −1 và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: -3; 4) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và tạo với d một góc lớn nhất Giải: r uuur u = (2; − 1; 1) AB = (1;1;2) Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcp , r r uuur => n = [u, AB] = (−3; −3;3) = −3(1;1; −1) r uuur [ n Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận , AB] = (3; −3;0) = 3(1; −1;0) làm vecto pháp tuyến Phương trình mp(α): 1(x – 3) - 1(y + 4) = hay x – y – = −1+ = 5 Khi đó cos((α),d) = Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = Trong các mặt phẳng qua A và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với trục Oy góc lớn nhất Giải: uur Mp(p) có vecto pháp tuyến n P = (2; −1; 2) , Xét đường thẳng d qua uu Arvà vuông góc với (P), r n = (2; − 1; ) P d có véctơ chỉ phương , Oy có véctơ chỉ phương j = (0;1;0) nên d và Oy không song song Theo bài toán nếu (α) tạo với trục Oy góc lớn nhất thì (α) chứ r a rd vàr vuông góc với mp(d,Oy) Do đó (α) nhận [n P ,[n P , j ]] = -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến Phương trình (α): 1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = hay x + 4y + z – = Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 31/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Bài toán 6: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song hoặc nằm (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α), qua A và tạo với d góc lớn nhất, nhỏ nhất Lời giải: Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là hình chiếu vuông góc của B lên (α) và ∆ · Ta có góc (d, ∆) = BAH BH BK · và sin(d, ∆) = sin BAH = AB ≥ AB Do vậy góc (d, ∆) nhỏ nhất K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK uur uur uur u Góc (d, ∆) lớn nhất bằng 90 ∆ ⊥ d và ∆ có vtcp ∆ = [ud , nα ] Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường x+2 y-1 z -3 = = 1 thẳng d: 1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm (α), qua A và tạo với d một góc lớn nhất 2) Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm (α), qua A và tạo với d một góc nhỏ nhất Giải: r r n = (2;2; -1 ) u α (α) có vectơ pháp tuyến , d có vectơ d = (1;1;1) qua điểm r r n M(-2; 1; 3) Ta thấy A ∈ (α) mặt khác α u d ≠ nên d không song song hoặc nằm (α) 1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất ∆1 ⊥ d uur uur uur u Do đó ∆ có vectơ chỉ phương = [ud , nα ] = (-3; 3; ) = -3(1; -1; 0) Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 32/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x = + t  y = − t  Phương trình tham số của ∆1: z = −2 2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d x-1 y-2 z +2 = = 1 , lấy điểm B(2; 3; -1) ∈ d1 Phương trình d1: Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) x = + 2t  y = + 2t  Phương trình tham số của BK z = −1 − t , tọa độ của K ứng với t là nghiệm của phương trình : 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t) – (- – t) – = 10 19 −5 ⇒ K( ; ; ) ⇔ 9t + = hay t = 9 9 − uuur 1 13 AK = ( ; ; ) 9 ∆2 tạo với d một góc nhỏ nhất nó qua hai điểm A và K, uur uuur u = AK = (1;1;13) ∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ chỉ phương x-1 y-2 z +2 = = 1 13 Phương trình ∆2 : Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d: x-1 y-2 z -3 = = 1 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông Giải: Đường thẳng d có vectơ góc với d và tạo với AB một góc nhỏ nhất r u d = (2;1;1) Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d ⇒ ∆ nằm (α) r u (α) nhận d = (2;1;1) làm vectơ pháp tuyến Phương trình (α): 2x + y + z – = Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 33/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 r u Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α), BH có vectơ d = (2;1;1) x = 2t  y = −2 + t  Phương trình tham số của BH z = t , tọa độ của H ứng với t là nghiệm của phương trình: 4t -2 + t + t – = ⇔ 6t – = ⇔t= −4 ; ; hay H( 3 ) ∆ tạo với AB một góc nhỏ nhất nó qua hai điểm A và H, uuur −4 AH = ( ; ; ) 3 uur uuur u = AH = (1; −4;2) ∆ ∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ chỉ phương x-1 y z = = Phương trình ∆ : −4 2.3 Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) và mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y – 2z + = 1) Tìm điểm M (α) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm điểm N (α) cho NA + NC có giá trị nhỏ nhất 3) Tìm điểm S (α) cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn nhất 4) Tìm điểm P (α) cho Bài 2: Cho đường thẳng ( d) : uuur uur uuur PA +2PB − 4PC có giá trị nhỏ nhất x-2 y + z+2 = = -1 và hai điểm A(3; 1; 1), B(-1; 2; -3) Hãy tìm điểm M d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Bài 3: Cho đường thẳng ( d) : x-2 y - z-2 = = 2 và hai điểm A(0; 1; 1), B(1; 2; 3) Tìm điểm M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 34/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x = − 3t  y = 2t x-1 y-2 z +1 = = z = − 2t Trong các mặt Bài 4: Cho đường hai thẳng d 1:  d2 : cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất Bài 5: Cho hai điểm C(1; -2; 2) và đường thẳng d có phương trình x-1 y- z +1 = = −2 −1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và khoảng cách từ C đến (P) là lớn nhất x = + t  y = + (1 − m)t  Bài 6: Cho họ đường thẳng dm: z = + mt , với t ∈ ¡ và m là tham số 1) Chứng minh họ dm qua một điểm cố định và nằm một mặt phẳng cố định 2) Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ nhất 3) Tìm m để khoảng cách từ dm và trục Oy lớn nhất 4) Tìm m để dm tạo với trục Ox góc lớn nhất, nhỏ nhất Bài 7: Cho hai điểm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) và đường thẳng d có phương trình x-3 y+2 z -1 = = −2 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm I(-1; 1; 0), vuông góc với trục Oy và tạo với d một góc Nhỏ nhất Lớn nhất Bài 8: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + = và đường thẳng x-1 y-2 z -3 = = −1 Trong các mặt phẳng qua B và vuông góc với (P), viết d: phương trình mặt phẳng (α) tạo với d một góc lớn nhất x+1 y z-4 = = −3 , Bài 9: Cho điểm A(0; -1; 1) và ba đường thẳng ∆ : Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 35/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 x y −1 z x+3 y+1 z-4 = = = = 1 , d2: −3 d1: 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với hai đường thẳng d1, d2 2) Trong các đường thẳng qua A và nằm (P), hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất Bài 10: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0; 1; 0),C(0; 0;1) và D(-2;-1;-2) 1) Tìm điểm M cho uuuur uuur uuur uuuur MA + MB + MC + MD có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm điểm N mặt phẳng (ABC) cho NA – NB2 – 2ND2 có giá trị lớn nhất 3) Cho (P) là mặt phẳng qua D và song song với (ABC), các đường thẳng qua D mp(P) Hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và trục Oz lớn nhất x-1 y-2 z-3 = = Bài 11: Cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) và đường thẳng d: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn nhất x-2 y-2 z-3 = = 2 −1 Bài 12: Cho hai điểm C(1; 1; -1), D(2; 2; 1) và đường thẳng d: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua C, nằm mặt phẳng (P): x + y + z -1 = cho khoảng cách từ D đến ∆ là nhỏ nhất Bài 13: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (α): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với (α) và tạo với Oz một góc lớn nhất Bài 14: Cho điểm A(2; -1; 0) và hai đường thẳng có phương trình x-1 y+1 z-1 x-2 y-1 z+3 = = = = 1 , ∆2: −1 Trong các đường thẳng qua A và cắt ∆1: ∆1 hãy viết phương trình đường thẳng ∆ cho khoảng cách giữa ∆ và ∆2 là lớn nhất Bài 15: Trong các mặt cầu qua điểm E(1; 2; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2x – 2y + z – = Hãy viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 36/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Bài 16: Cho đường thẳng ( d) : x y z = = 1 hai điểm A ( 0;0;3) , B ( 0;3;3) Tìm tọa độ điểm M ∈ ( d ) cho: 1) MA + MB nhỏ 2 2) MA + 2MB nhỏ uuur uuur MA − 3MB 3) nhỏ 4) MA − MB lớn Bài 17: Trên tia Ox, Oy,Oz vuông góc với đôi ,lấy điểm A,B,C cho OA = a;OB = b;OC = c 1) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) 2) Giả sử A cố định B,C thay đổi luôn thỏa OA=OB + OC Hãy xác định vị trí B,C cho thể tích tứ diện OABC lớn Bài 18: Cho tia Ox, Oy,Oz vuông góc với đôi ,một mặt phẳng (P) qua điểm N cố định cắt Ox,Oy,Oz điểm A,B,C.Giả sử N nằm tam giác ABC khoảng cách từ N đến mp(OBC),(OCA) , (OAB) a,b,c a b C + + =1 1) Chứng minh : OA OB OC 2) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC 3) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhỏ Bài 19: Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a ; SC ⊥ (ABC) ,tam giác ABC vuông A ,các điểm M thuộc SA , N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a) 1) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn 2) Khi MN ngắn chứng minh MN đường vuông góc chung SA BC Bài 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có : AB = a ; AD = 2a ; AA'=a Trên AD lấy điểm M gọi K trung điểm B’M Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M để thể tích khối tứ Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 37/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 diện A’KID lớn IV KẾT QỦA Chuyên đề thực giảng dạy tham gia dạy 12NC Luyện thi Đại học hai năm gần Trong trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin, biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết sau thực chuyên đề: Không Nhận biết, nhận biết vận dụng Số lượng Tỉ lệ ( %) 0.0 2.2 Nhận biết biết vận dụng ,chưa giải hoàn chỉnh 48 53.3 Nhận biết biết vận dụng , giải hoàn chỉnh 50 44.5 V GIẢI PHÁP MỚI Dạng toán cực trị hình học giải tích không gian nói chung đa dạng phong phú Mỗi toán lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan VI THỰC TIỄN GIẢNG DẠY Quá trình áp dụng Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải Hiệu sau sử dụng Sau học sinh học xong chuyên đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 38/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học và tự nghiên cứu Bài học kinh nghiệm Từ thực tế giảng dạy vận dụng chuyên đề này, số kinh nghiệm rút trước hết học sinh phải nắm kiến thức bản, biết vận dụng linh hoạt kiến thức này, từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp lý với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chuyên đề chủ yếu đưa tập từ đơn giản đến nâng cao từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư của học sinh Kết luận Một toán có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ Do chuyên đề rất nhiều chuyên đề, phương pháp hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể toán từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh không sợ đứng trước toán khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn người viết ví dụ, toán điển hình Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện VII TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008 Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010 Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002 Các trang Web: hocmai.vn; Violet.vn… Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 39/40 SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 Long khánh,ngày 20 tháng 05 năm 2012 Người thực Nguyễn Ngọc Duật Giáo viên: Nguyễn Ngọc Duật - THPT Trần Phú - Thị xã Long Khánh Trang 40/40