Sở GD&ĐT Nghệ An. Trờng THPT Diễn Châu 2. ***====*****====***==== Đề thi chọn HSG cấp trờng năm học 2007 2008. Môn Toán Lớp 10- Chơng trình cơ bản. (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề) Câu 1. a,(4,25 điểm) Giải phơng trình: x x x x- + =- - 2 2 2 3 2 1 4 . b, (2,5 điểm) Tìm a để phơng trình: ( )x x x a- + - = 2 2 4 3 0 , có đúng 3 nghiệm phân biệt. Câu 2(5,0 điểm) Cho hệ phơng trình (1) (2) x my m mx y ỡ - = + ù ù ớ ù - = ù ợ 3 3 3 5 a, Tìm m để hệ phơng trình đã cho có nghiệmduy nhất. b, Trong trờng hợp hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, hãy tìm m để y >- 3 . Câu 3. a, (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(2; 1), B(3; -1), C(-2; 3). Tìm điểm E Oyẻ để tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh đáy AB và CE. b, (3,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình x y- + =2 2 0 và hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho độ dài vectơ AM BM+ uuur uuur có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 4.(2,25 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0. Chứng minh rằng: a b b c c a c a b + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hết. Đáp án và biểu điểm đề thi chọn HSG môn Toán 10- ch ơng trình cơ bản.(gồm có 02 trang) Câu 1 Tổng điểm a Đk: (0,25đ) hoặc x x x x+ Ê - 2 2 0 0 2 .(0,25đ) Pt đã cho tơng đơng với ( )x x x x+ - + + = 2 2 2 2 3 2 1 0 .(0,25đ) Đặt ,t x x t= + 2 2 0 (0,25đ). Ta có phơng trình: t t- + = 2 2 3 1 0 (1).(0,25đ) Pt (1) hoặc t=t = 1 1 2 (thỏa mãn đk t 0 ).(0,5đ) Với t =1 ta có phơng trình: x x+ = 2 2 1 x x x x + = + - = 2 2 2 1 2 1 0 (0,5đ) x =- 1 2 .(0,5đ) Với t = 1 2 ta có phơng trình: x x+ = 2 1 2 2 x x x x + = + - = 2 2 1 1 2 2 0 4 4 (0,5đ) x =- 5 1 2 .(0,5đ) Đối chiếu với điều kiện phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là: x =- 1 2 (0,25đ) và x =- 5 1 2 .(0,25đ). 4.25đ b Đk: x a x a- 2 2 0 .(0,5đ) Pt đã cho tơng đơng với hoặc (0,5đ) x x x x x a x a ộ ộ = = - + = ờ ờ ờ ờ = - = ờ ở ở 2 2 2 1 3 4 3 0 0 .(0,5đ) Vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt (0,5đ)a a < - < < 2 1 1 1 . Vậy với -1< a < 1 thì phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.(0,5đ) 2.5đ Câu 2 a Th1: Nếu m = 0, thay vào hệ ta đợc x x y y ỡ = ù ỡ ù = ù ù ù ớ ớ ù ù - = =- ù ợ ù ù ợ 3 3 5 3 5 3 . (0,5đ) Vậy khi m = 0, hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x y ỡ = ù ù ù ớ ù =- ù ù ợ 3 5 3 . (0,25đ) Th2: Nếu m ạ 0 , hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất m m - ạ - 1 3 (0,5đ) m mạ ạ 2 3 3 . (0,5đ) Vậy m ạ 3 . (0,25đ) 2.0 đ b Hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất m ạ 3 . (0,5đ) Từ (1) ta có: x m my= + +3 3 , (0,25đ) thay vào (2) ta có, ( )m m my y+ + - =3 3 3 5 ( )m y m m- =- - + 2 2 3 3 3 5 (0,25đ) m m y m - - + = - 2 2 3 3 5 3 (vì m ạ 3 ) (0,5đ) y >- 3 m m m - - + >- - 2 2 3 3 5 3 3 m m m - - + + > - 2 2 3 3 5 3 0 3 m m - - > - 2 4 3 0 3 (0,5đ) 3.0đ ( ; ) ( ; )m ẻ - Ơ - ẩ - 4 3 3 3 . (0,75đ) Vậy: ( ; ) ( ; )m ẻ - Ơ - ẩ - 4 3 3 3 . (0,25đ) Câu 3 a E Oyẻ nên E có tọa độ (0; y). (0,5đ) Tứ giác ABEC là hình thang đáy AB và CE AB uur và EC uuur cùng phơng. (0,5đ) Ta có: AB uur (1; -2), EC uuur (-2; 3 y). (0,5đ) AB uur và EC uuur cùng phơng y- - = - 2 3 1 2 (0,5đ) y =- 1 . (0,25đ). Vậy E(0; -1). (0,25đ) 2,5đ b ( ; ) ( )M x y dẻ 0 0 (0,25đ) x y y x - + = = + 0 0 0 0 2 2 0 2 2 (0,25đ) Vậy M( ; )x x + 0 0 2 2 (0,25đ) Ta có: ( ; )AM x x- - 0 0 4 2 4 uuur (0,25đ) , ( ; )BM x x - 0 0 2 2 uuur (0,25đ) ( ; )AM BM x xị + = - - 0 0 2 4 4 6 uuur uuur .(0,25đ) ( ) ( )AM BM x x+ = - + - 2 2 0 0 2 4 4 6 uuur uuur (0,25đ) = x x- + 2 0 0 20 64 52 (0,25đ) ( )x= - + 2 0 8 4 2 20 5 5 5 (0,5đ). Dấu = xảy ra khi x = 0 8 5 , khi đó y = 0 26 5 (0,5đ). Vậy min ,AM BM+ = 2 5 uuur uuur tại M( ; ) 8 26 5 5 .(0,5đ) 3.5đ Câu 4 Ta có: ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b a c b c c a b b a c a c b + + + + + = + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (0,5đ) Do , ,a b c khác 0 nên , ,a b c 2 2 2 là các số dơng. áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có: a b b a + 2 2 2 2 a b b a = 2 2 2 2 2 2 , (0,5đ) a c c a + 2 2 2 2 a c c a = 2 2 2 2 2 2 , (0,5đ) b c c b + 2 2 2 2 b c c b = 2 2 2 2 2 2 . (0,5đ) Vậy a b b c c a c a b + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a b c= = 2 2 2 . (0,25đ) 2.25đ Tổng 20.0đ Ghi chú: Thí sinh làm theo các ph ơng pháp đúng chặt chẽ vẫn cho điểm tối đa. Ngô Trí Thụ. . Sở GD&ĐT Nghệ An. Trờng THPT Diễn Châu 2. ***====*****====***==== Đề thi chọn HSG cấp trờng năm học 2007 2008. Môn Toán Lớp 10-. 2 2 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Hết. Đáp án và biểu điểm đề thi chọn HSG môn Toán 10- ch ơng trình cơ bản.(gồm có 02 trang) Câu 1 Tổng điểm a Đk: