BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI TẠ NGỌC HỒNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HÀM Ẩ n đ a t r ị TRONG KHÔNG GIAN BANACH C h u y ê n n g n h : T o n giải tíc h M ã số: 60 46 01 02 LUẬN VẢN THẠC s ĩ TOÁN HỌC Người hư n g d ẫ n k h o a học: PGS TS N g u y ễ n Q u a n g H uy HÀ NỘI, Lời cảm ơn Trước k h i t r ì n h b y nội d u n g c ủ a l u ậ n v ă n , xin b ày tỏ lòng b iế t ơn s â u sắc tới PGS TS N g u y ễ n Q u a n g H u y người đ ị n h h ng chọn đề t i t ậ n t ì n h h ng d ẫ n có t h ể h o n t h n h l u ậ n v ă n Tôi xin b y tỏ lòng b i ế t ơn c h â n t h n h tới P h ò n g S a u đại học, t h ầ y cô g iả n g dạy c h u y ê n n g n h T o n giải tíc h T rư ò n g Đ H S P H Nội giúp đỡ t r o n g s u ố t q u t r ì n h học t ậ p v m l u ậ n v ăn Cuốĩ cùng, xin gửi lời cảm ơn c h â n t h n h tới gia đ ì n h b n bè động viên, giúp đỡ tạo đ iề u k iệ n m ặ t t r o n g q u t r ì n h học t ậ p để h o n t h n h k h ó a l u ậ n H Nội, t h n g n ă m 2015 Tác giả Tạ Ngọc Hồng Lời cam đoan Dưới hướ ng d ẫ n c ủ a PGS TS N g u y ễ n Q u a n g H u y l u ậ n v ă n t h c sĩ c h u y ê n n g n h T o n giải tíc h đề t i “T ín h ổn đ ịn h c ủ a h m ẩ n đa t r ị t r o n g k h ô n g g ia n B a n a c h ” h o n t h n h bỏi n h ậ n th ứ c tá c giả k h ô n g t r ù n g với b ấ t l u ậ n v ă n khác T ro n g q u t r ì n h n g h i ê n cứu h o n t h n h l u ậ n v ă n tá c giả k ế t h a n h ữ n g t h n h t ự u c ủ a n h k h o a học vói tô n t r ọ n g b i ế t ơn H Nội, t h n g n ă m 2015 Tác giả Tạ Ngọc Hồng MỤC LỤC Lời cảm ơn i Lòi cam đ o a n ii B ả n g kí h i ệ u v iế t t ắ t iv Mở đ ầ u C hương 1: K iến th ứ c c h u ẩ n bị 1.1 Á n h xạ đa t r ị 1.2 Dưới vi p h â n C la r k e c ủ a h m liê n tụ c L ip s c h itz C hương 2: T ín h qui khoảng cách th e o nghĩa R o b in s o n v t í n h c h ấ t L ip s c h itz k i ể u A u b in 19 2.1 T ín h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R ob in so n 21 2.2 T ín h c h ấ t L ip s c h itz k i ể u A u b in 27 C hương 3: Mối q u a n h ệ g iữa t í n h c h ín h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R ob in so n t í n h c h ấ t L ip s c h it z k iể u A u b in 30 3.1 Sự k h ô n g tư n g đương c ủ a t í n h c h ín h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in 30 3.2 Mối q u a n hệ t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in 32 K ết l u ậ n 35 T ài liệ u t h a m k h ả o 36 Bảng kí hiệu viết tắt ||.|| : C h u ẩ n t r o n g k h ô n g g i a n B a n a c h X*: K hông g ia n đôi n g ẫ u c ủ a X t r a n g bị topo y ếu w* B x, B x' \ H ì n h c ầ u đóng đơn vị c ủ a k h ô n g g ia n X k h ô n g g ia n đối n g ẫ u X Tích vô hướ ng B(x, p ) \ H ì n h c ầ u t â m X, b n k í n h p domi^: M iền h ữ u h i ệ u F gphF: Đồ t h ị c ủ a F d f ( x) \ Dưới vi p h â n C la r k e c ủ a / t i X I n t Q : P h ầ n t r o n g Q D * F ( x ,ỳ ) \ Đối đạo h m C la r k e F t i ( x , ỵ ) Mỏ đầu Lý chọn đề t i Các t í n h c h ấ t t h ú vị c ủ a h m ẩ n đa t r ị, c h ẳ n g h n n h tính n a liê n tụ c t r ê n , nửa liê n tụ c dưới, t í n h chất L ip s c h itz k iể u A ubin, t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách, t í n h mở t í n h k h ả vi suy rộ n g n g h i ê n cứu n h i ề u tá c giả t r o n g n h ữ n g n ă m g ầ n M o rd u k h o v ic h đưa r a đ iề u k i ệ n c ầ n đủ cho t í n h c h ấ t L ip s c h it z k iể u A u b in (A L l p ) cho sô" d n g đặc b i ệ t h m ẩ n đ a trị; Xem t r o n g [15,16] t i liệ u t h a m k h ả o tr o n g T ín h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n (R m r ) c ủ a h m ẩ n đ a t r ị n g h i ê n cứu t r o n g [5,1 3,14,17,18,20] G ần đây, L e d y a e v Z hu [17], N g a i v T h é r a [14] đ ã t h i ế t lập đ iề u k i ệ n đủ cho t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n h m ẩ n đa t r ị d ự a t r ê n k h i n iệ m đốì đạo h m F r é c h e t Các đ iề u k i ệ n đủ cho t í n h c h ấ t tư n g ứ n g t r ì n h b y d ự a t r ê n k h i n iệ m đôi đạo h m M o rd u k h o v ic h v t h i ế t lập Lee, T am , Yen [18] Yen, Yao [13] G ầ n hơn, mối liê n h ệ t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in t í n h c h ín h qui k h o ả n g cách theo n g h ĩ a R o b in so n c ủ a h m ẩ n đa t r ị t r ì n h b y t r o n g [10] C h ú n g t a t h ấ y r ằ n g h ầ u h ế t k ế t q u ả t h i ế t lập bị h n c h ế t r o n g k h ô n g g ia n A sp lu n d T ro n g [12], tá c giả đưa r a điều k i ệ n đủ cho t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in t í n h c h ín h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o bin so n c ủ a h m ẩ n đa t r ị mối q u a n h ệ h a i t í n h c h ấ t n y t r o n g k h ô n g g ia n B a n a c h tổ n g q u t d ự a t r ê n k h i n iệ m vi p h â n đối đạo h m C la rk e Đề t i “T ín h ổn đ ị n h c ủ a h m ẩ n đa t r ị t r o n g k h ô n g g ia n B a n a c h ” n h ằ m tì m h i ể u Lý t h u y ế t đối đạo h m k ế t q u ả đ t t r o n g [12] Mục đích n g h i ê n cứu Tìm h i ể u Lý t h u y ế t đôi đạo h m áp d ụ n g n g h i ê n cứu t í n h ổn đ ịn h c ủ a h m ẩ n đa t r ị t r o n g k h ô n g g ia n Banach 3.N h iệ m v ụ n g h i ê n cứu Đ iều k i ệ n đủ cho t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n v t í n h c h ấ t L ip s c h it z k i ể u A u b in c ủ a h m ẩ n đa tr ị, n g u y ê n lý b iế n p h â n E k e la n d , vi p h â n đốì đạo h m C la rk e Đối tư ợ n g n g h i ê n cứu p h m vi n g h i ê n cứu T ín h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R obinson, t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in v môi q u a n hệ c húng P h n g p h p n g h i ê n cứu Tổng hợp, p h â n tích, đ n h giá N h n g đóng góp c ủ a đề t i Hệ t h ố n g lại, đưa r a ví dụ m i n h h ọ a để k iể m t r a đ iề u k i ệ n đủ cho t í n h c h ấ t L ip s c h itz k iể u A u b in t í n h c h í n h qui k h o ả n g cách th e o n g h ĩ a R o b in so n c ủ a h m ẩ n đa t r ị t r o n g k h ô n g g ia n B a n a c h tổ n g q u t Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Á n h xạ đa t r ị T ro n g chương n y c h ú n g ký h i ệ u X, Y , z k h ô n g g ia n B a n a c h th ự c với c h u ẩ n ||.|| (c h u ẩ n n y có t h ể k h c n h a u t ù y th e o t n g k h ô n g gian) Đ ịn h n g h ĩ a 1.1 (Ánh xạ đa trị) Cho k h ô n g g ia n X, Y v F: X =3 Y n h xạ t X vào t ậ p hợp gồm t o n t ậ p c ủ a Y (được kí h iệ u 2*) Ta nói F n h xạ đa t r ị t X vào Y N h v ậy với X e X , F ( x ) t ậ p hợp c ủ a Y K hông loại t r k h ả n ă n g m ột sô" p h ầ n t x & X t a có F{x) t ậ p rỗng Ta ký h i ệ u F: X F n h xạ đa t r ị t X vào Y Cho F: X ^ Y ánh xạ đa trị, ta định nghĩa đồ thị F ký hiệu g p hF c X x Y xác đ ịn h n h s a u g p h F = Ị(x,y) I y e i^(jr)Ị M iền h ữ u h i ệ u c ủ a F ký h i ệ u d om F := [x e X I F {x ) * } d o m F cho Ví dụ 1.2 Á n h xạ đa t r ị F: R =3 2R, F ( x ) = c^sinjK-jCOSx- Đ ịn h n g h ĩ a 1.3 (Tính n a liê n tụ c c ủ a n h xạ đa trị) Cho n h x đa t r ị F: X Y, F gọi n a liê n tục t r ê n t i X GX n ế u với t ậ p mỏ V c F ( x ) c V t n t i l â n c ậ n mở í / c X X cho Fix) c V, Vx e u Á n h xạ đa t r ị F gọi n a liê n tụ c t i x e X n ế u với t ậ p mở V œ Y t h ỏ a m ã n F ( j c ) n V ^ tồ n t i lâ n c ậ n mỏ u (.—X X cho F { x ) r \ V ^ , Vx e u Ví dụ 1.4 Á nh xạ đa t r ị F: R R {0},AT < F(x) = [-l,l],x = {!},*> n a liê n tụ c t r ê n ỏ t r o n g R Ví dụ 1.5 Á n h xạ đa t r ị F(x)=< {0},jr = [ ,1 ],* * n h xạ đa t r ị i ^ l n a liê n tụ c t i jr = Đ ịn h n g h ĩ a 1.6 H m f ' - X ^ > R lân cận gọi L ip s c h itz J v ổ i h ằ n g số L ip s c h itz k, n ế u t n t i £■>0 cho If ( x ) - f ( ỵ ) |< k I IX - y I I ;M x ,y e B ( x , s ) 22 Ta đ ặ t a:=dist(0,F(x,y)), t (2.4),(2.5) a < c t a suy r a dist(x,G(x,y))< — c (2.6) Ta t h ấ y (2.6) đ ú n g với a = Giả sử a > 0, x ét h m số /(m,z):=||z|| N ế u z&Fy(u) v f ( u , z ) : = + 00 k h i h m f n a liê n tục t r ê n đ oạ n [(jt0,0) + p(Bx xBz y] T h ậ t vậy, lấy b ấ t kì ỵ g R t a c ầ n r a M :={(u,x)e(x0,0) +p(Bx xBz)\ f(u ,z)< ỵ} đóng Xét {(wn,z„)}cAf, k h i n ế u n-> lim(un,zn) = (u,z) t h ì 0o cun,zn) e ( x 0,ơ) + p(Bx xBz) f ( un,zn) < +°0 Từ đ ị n h n g h ĩ a c ủ a h m / t a có f ( Un’ = h \ \ l Z n ^ F y ( Un) Đ iều có n g h ĩ a (un,zn)tgphF y n[(x0,0) + p(Bx xBz )] Từ (i) t a có (u,z)^gphFy n[(x0,0) + p(Bx xBz )], ng o ài r a f(ũ,z)= Z = hm\\zn\ \ = ỉimf(un,zn)2 t a có * -Xo2 Thực vậy, t a c ầ n r a * + — z 02 0,z*(z0) > k h i ù { u ữ) + z * { ^ ị = H*(i¿|)+ Z = m a x Ị | u * ( u ) ■ ||u|| < l | + m a x ■ k 1^1 < l | Do m a iu) + z*{z) • m a x |||i/||,^ r ||^ ||| < l | > m a x | | * ( w ) : ||w|| > l | + m a x | | ^ * ( ^ ) : ü r | | ^ | | < l j Từ (2.20) -»(2.22) t a có t h ể k h ẳ n g đ ịn h r ằ n g (u*,z*) =max|w*(w) + ^*(^) : m a x |||w||,kllalli < l | (2 2 ) (2 ) 26 = max|iz*(iz) : ||u|| > l | + m ax|^ *(^) : k ||^ ||< l| = maxjỉ/*(ỉ/) : ||w|| > l | + —max||^*(k^) •||ẫ^ | |< i | * u + z k * — K ết hợp với (2.19) t a r a (2.18) T (2.14), (2.15) (2.18) r a < t Từ (2.14), (2.17) (2.18) t a GO * - — * * CO có Z1 * < * z z ~ z \ cho với b ấ t kì r e [ , ^ ] int B { y ữ, cr) c o B{ x ữ, z ) (b) N ếu t n t i JU> p2 > cho d i s t i x ^ ^ i y ï ï ù - d i s t i y ^ i x ) ) với Vjr e B { x ữ, p ^ ) y y e B { y ữ,p^) c t h ỏ a m ã n distiy,(x)), t a k iể m t r a giả t h i ế t c ủ a Đ ị n h lý 2.6 cố đ ịn h F t i w0 ' - ( x 0, ỵ 0,Ò), h i ể n n h i ê n t a có G(ỵ) = 0~1(ỵ ) dist(0 ,F (x,ỵ)) = dist(ỵ,Q>(x)) Chọn //>0,yO>0 cho p < ju(x)), c (2.26) với V x e B ( x 0, p ),\/ỵ e B { y ữ,p) t h ỏ a m ã n dist(y,Q>(x)) < ỊẦ Ta t h lạ i k ế t l u ậ n h ệ q u ả (a) Chọn P1 > cho cp1 < p , t a có B { y ữ,cp^) c B ( y , p ) từ suy r a ỵ eO(jr0) Từ (2.26) t a suy r a W) [...]... a n h (jr0, ^ 0,0) Thc vy, Cho u = x , v = 1 1 ,7 = 2 v 22 // = 1 t a cú u e N(x0),v e N(0) v d ( 0 ,F ( x , ) - d { x ,G { y )) = +1) - - JST- (1 + ) ~ \ ^ >0 Vjc e , J e V Theo (Bm r) c n h G trong lõn cn ca Gr0, y 0,0) n h n g (A Llp ) l i k h ụ n g gi G t r o n g l õ n c n ( 0, x 0) Thc vy, núi cỏch khỏc, 37 > 0 sao cho b t kỡ y k, y k ^>0,yk ^ y k t a cú