Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là chuyên đề luyện thi THPT quốc gia phần hình học không gian đầy đủ các dạng toán theo các đề từ năm 2010 đến nay. Được tác giả biên soạn theo dạng và có gợi ý phương pháp và lời giải chi tiết. Đây là tài liệu tốt phục vụ cho việc giảng dạy và phục vụ cho việc tự ôn thi của học sinh.
THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN A Một số định nghĩa định lý I Các định nghĩa +) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 +) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a ⊥ (α ) ⇔ ∀b ⊂ (α ) : a ⊥ b +) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 (α ) ⊥ ( β ) ⇔ ((α ),( β )) = 900 +) Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song (hoặc trùng) với a b +) Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (α) 900 Nếu đường thẳng a không vng góc với mặt phẳng (α) góc a hình chiếu a’ mặt phẳng (α) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng +) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆) +) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng +) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng II Các định lý thường sử dụng a ∩b Định lý 1: a, b ⊂ ( P ) ⇒ d ⊥ ( P ) d ⊥ a, d ⊥ b a ⊂ (P) Định lý 2: d ⊥ ( P ) ⇒ d ⊥ a ∀a ⊂ ( P) Định lý 3: +/ +/ d ⊥ ( P) ⇒ d ' ⊥ ( P) d '/ / d ( P ) / /(Q) ⇒ d ⊥ (Q ) d ⊥ (P) Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN +/ d / /( P ) ⇒d'⊥d d ' ⊥ ( P) d ⊥ ( P) ⇒ ( P ) ⊥ (Q ) d ⊂ (Q) ( P) ⊥ (Q) ( P) ∩ (Q) = ∆ Định lý 5: ⇒ d ⊥ (Q) d ⊂ ( P) d ⊥∆ ( P ) ∩ (Q) = ∆ Định lý 6: ( P ) ⊥ ( R ) ⇒ ∆ ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R) Định lý 4: III Các cơng thức tính thể tích Thể tích khối lăng trụ V = Βh B: Là diện tích đáy lăng trụ h: Là độ dài đường cao lăng trụ Thể tích khối chop V = Βh B: Là diện tích đáy khối chóp h: Là độ dài đường cao hình chóp Ngơ Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN B Các dạng tốn thể tích, khoảng cách góc I Các dạng tốn khoảng cách - thể tích Cách xác định a/ Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) Cách 1: + Tìm mp(Q) chứa M vng góc với mp(P) theo giao tuyến ∆ + Từ M hạ MH vng góc với ∆ ( H ∈ ∆ ) + MH = d(M,(P)) Cách 2: + Kẻ ∆//(P) Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P)) ( ) ( + Chọn N ∈ ∆ Lúc đó, d M, ( P ) = d( ∆,(P))=d N , ( P ) Cách 3: + Nếu MN ∩ ( P ) = I Ta có: ( + Tính d N , ( P ) ( ) + d M, ( P ) = ) d ( M, ( P ) ) d ( N ,( P) ) = ) MI NI MI NI MI d ( N , ( P ) ) NI Chú ý: Điểm N ta phải chọn cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ tìm khoảng cách từ M đến mp(P) b/ Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Cách 1: + Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ + Tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: +Tìm mp(P) chứa d’ song song với d + Khi d (d , d ') = d (d ,( P )) = d ( A,( P )) với A điểm thuộc d Chú ý: mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm B ∈ d ' dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc mp(P)≡(d’,∆)) Ngơ Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN II Các kỹ thuật tính khoảng cách thể tích Kỹ thuật chọn điểm rơi toán khoảng cách Một kỹ thuật mà ta thường làm gặp tốn khoảng cách, việc chuyển khoảng cách cần tính khoảng cách từ điểm đặc biệt toán đến mặt phẳng xác định Tơi xin gọi kỹ thuật chọn điểm rơi toán khoảng cách a/ Một số kỹ thuật dời điểm rơi ♥/ + Kẻ ∆ // (P) Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P)) ( ) ( + Chọn N ∈ ∆ Lúc đó, d M, ( P ) = d( ∆,(P))=d N , ( P ) ♥/ + Nếu MN ∩ ( P ) = I Ta có: ( + Tính d N , ( P ) ( ) + d M, ( P ) = ) d ( M, ( P ) ) d ( N ,( P ) ) = ) MI NI MI NI MI d ( N , ( P ) ) NI ♥/ d (d , d ') = d (d ,( P )) = d ( A,( P )) với A điểm thuộc d b/ Ví dụ minh họa Ví dụ 1.(Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AC= a , SA ⊥ ( ABCD) , góc SB đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM), với M trung điểm CD Giải Ta có AD = 2a, SA = a S ABCD = AB.AD = 2a Do đó: VS ABCD 2a3 = SA.S ABCD = (dvtt) 3 Nhận xét: Điểm đặc biệt (điểm rơi) toán điểm A (SA ⊥ (ABCD)) Dựng AN ⊥ BM ( N thuộc BM) AH ⊥ SN (H thuộc SN) Ta có: BM ⊥ AN, BM ⊥ SA suy ra: BM ⊥ AH Và AH ⊥ BM, AH ⊥ SN suy ra: AH ⊥ (SBM) Do d(A,(SBM)) = AH, d(C,(SBM)) = d(A,(SBM)) Ta có: Ngơ Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN S ABM = S ABCD − 2S ADM = a S ABM 2a 4a = AN.BM = a ⇒ AN = = BM 17 Trong tam giác vng SAN có: 1 4a 2a = + ⇒ AH = ⇒ d (C, ( SBM )) = 2 AH AN SA 33 33 Ví dụ 2.(Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với cạnh AB = 2a, AD = a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB, SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD) Giải S P A D H B M C Ta có HC hình chiếu vng góc SC lên mặt phẳng (ABCD) suy (SC;(ABCD))=(SC;AC)=¼ SCH =45 Ngơ Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN HC=a suy SH=a VSABCD 1 2 a3 = SH S ABCD = SH AB.AD = 3 Gọi M trung điểm CD, P hình chiếu H lên SM HM ⊥ CD; CD ⊥ SH suy CD ⊥ HP mà HP ⊥ SM suy HP ⊥ (SCD) Lại có AB//CD suy AB// (SCD) suy d(A;(SCD)) = d(H; (SCD)) = HP Ta có HP = HM + HS suy HP= a Vậy d(A;(SCD))= a 3 Nhận xét: Điểm đặc biệt (điểm rơi) toán điểm H (SH ⊥ (ABCD)) Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng C D, BC = 2a, AD = a , CD = a , SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , góc đường thẳng SC mặt phẳng ( ABCD ) 60 Gọi H chân đường vng góc hạ từ C xuống BD, M trung điểm BH Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách từ D đến mp(SAM ) Giải · Ta có AC hình chiếu vng góc SC mp(ABCD) ⇒ SCA = 600 , AC = AD + CD = 2a ⇒ SA = AC tan 600 = 2a , SABCD = 3a2 AD + BC CD = ( ) 2 1 3a Vậy V = SA.SABCD = 2a = 3a3 3 Gọi E trung điểm CH ⇒ ME / / AD, ME = AD nên tứ giác ABEM hình bình hành ME ⊥ BC ⇒ E trực tâm tam giác DCM ⇒ DE ⊥ CM I, DI // AM ⇒ CM ⊥ AM ⇒ CM ⊥ (SAM) ⇒ d(D,(SAM)) = d(I,(SAM)) = IM Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN CH đường cao tam giác vuông BCD ⇒ CH = ⇒ HB = 4a ⇒ HM = 2a , ∆CHB vuông H 2a ∆CHM vuông H ⇒ CM = 4a , BD = a ⇒ DM = a − 2a = 5a 1 CH DM 5a S∆DCM = CH DM = DI CM ⇒ DI = = 2 CM ∆DIM vuông I ⇒ IM = DM − DI = Vậy d(D,(SAM)) = IM = 5a 14 5a 14 Nhận xét: Điểm đặc biệt (điểm rơi) tốn điểm I (IM ⊥ (SAM)) Ví dụ (Đề thi thử Violet) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' ( ABC ) trung điểm cạnh AB , góc A ' C mặt đáy 600 Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACC ' A ') Giải A' C' B' K N A M C H B S day a2 Gọi H trung điểm AB Góc A ' C mặt ( ABC ) ·A ' CH = 600 = Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Có CH = a 3a 3a a 3a 3 VABC A ' B 'C ' = A ' H S day = , A ' H = CH tan 600 = = 2 Gọi M trung điểm AC , HN ⊥ AC HN = a BM = ( A ' HN ) ⊥ ( ACC ' A ') Ta có ( A ' HN ) I( ACC ' A ' ) = A ' N ⇒ HK ⊥ ( ACC ' A ' ) ⇒ d ( H , ( ACC ' A ' ) ) = HK HK ⊥ A ' N HK = HN HA '2 3a 13 3a 13 = ⇒ d ( B, ( ACC ' A ' ) ) = 2d ( H , ( ACC ' A ' ) ) = HK = 2 HN + HA ' 26 13 Nhận xét: Điểm đặc biệt (điểm rơi) tốn điểm H (A’H ⊥ (ABC)) Ví dụ (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S A BCD có đáy A BCD hình thoi cạnh a, · BC = 60°, cạnh SA vng góc với đáy SC tạo với đáy góc 60° Tính theo a thể tích A khối chóp S A BCD khoảng cách hai đường thẳng A B SD Giải Ta có D A BC nên A C = a Có BD = A B + A D - 2A B A D cos 120° = a Suy S A BCD = A C BD = a2 Mặt khác SA = A C t an 60° = a Vậy V S A BCD = a3 SA S A BCD = ( ) ( ( Do A B / / CD nên d A B , SD = d A B , SCD ) ) = d ( A , ( SCD ) ) Gọi H trung điểm CD Do D A CD nên A H ^ CD Trong tam giác SA H kẻ A K ^ SH ( ( Khi d A , SCD Ta có AH = ( )) = AK A H SA 15 a , AK = = a 2 A H + SA ) Vậy d A B , SD = a 15 Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SC tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 450 Gọi E trung điểm BC Tính Thể tích khối chóp SABCD khoảng cách hai đường thẳng DE SC Giải Có SA ⊥ ( ABCD ) → SA đường cao chóp AC hình chiếu vng góc SC (ABCD) · → SCA = 450 ABCD hình vng cạnh a Nên AB = BC = CD = AD = a, AC = a S ABCD = AB = a Tam giác ∆SAC vuông cân A → SA = AC = a +Thể tích khối chóp S.ABCD 1 a3 V = SA.S ABCD = a 2.a = 3 + Có DE SC hai đường thẳng chéo + Trong (ABCD) kẻ CF // DE cắt AD kéo dài F AK vng góc với CF cắt ED H CF K DE / / CF ⊂ (SCF) DE / /( SCF ) → Ta có DE ⊄ ( SCF ) d ( SC , DE ) = d ( DE , ( SCF )) = d(H, (SCF)) SC ⊂ ( SCF ) tứ giác CEDF hình bình hành từ giả thiết CE = DF = S ∆ACF a a 3a a2 a , AF = AD + DF = a + = DE = CF = CD + CE = a + = 2 a.a 1 AF CD 5a = AF.CD= AK CF → AK = = = 2 CF a AH AD a HK 1 = = = → = → d ( H , ( SCF )) = d ( A, ( SCF )) Trong tam giác AFK ta có AK AF 3a AK 3 CF ⊥ AK → CF ⊥ ( SAK ) Có CF ⊥ SA Trong tam giác vuông ∆SAK kẻ đường cao AI ta có Ngơ Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN AI ⊥ SK → AI ⊥ ( SCF ) → AI = d ( A, ( SCF )) AI ⊥ CF 1 1 19 38a 38a = 2+ = 2+ = → AI = → d (SC; DE) = 2 AI SA AK 2a 9a 18a 19 19 Nhận xét: Điểm đặc biệt (điểm rơi) tốn điểm A (SA ⊥ (ABCD)) Ví dụ (Đề thi thử Violet) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A ' B'C' D ' có đáy hình thoi cạnh a, · BAD = 120o AC' = a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B'C' D ' khoảng cách hai đường thẳng AB' BD theo a A' D' Giải Gọi O tâm hình thoi ABCD · Do hình thoi ABCD có BAD = 120o C' B' ⇒ ∆ABC, ∆ACD ⇒ AC = a A Ta có: SABCD = 2S∆ABC = a2 Mà ABCD.A ' B'C' D ' lăng trụ đứng D H 120o O B C ⇒ ∆ACC' vuông C ⇒ CC' = AC'2 − AC = 5a2 − a = 2a a2 Vậy VABCD.A 'B'C'D' = CC'.SABCD = 2a × = a3 Tứ giác AB'C' D hình bình hành ⇒ AB' // C' D ⇒ AB' // (BC' D) ⇒ d(AB',BD) = d(AB',(BC' D)) = d(A,(BC' D)) = d(C,(BC ' D)) Vì BD ⊥ AC,BD ⊥ CC' ⇒ BD ⊥ (OCC') ⇒ (BC' D) ⊥ (OCC') Trong (OCC'), kẻ CH ⊥ OC' (H ∈ OC') ⇒ CH ⊥ (BC' D) ⇒ d(C,(BC' D)) = CH ∆OCC' vuông C ⇒ Vậy d(AB',BD) = 1 2a = + = + ⇒ CH = 2 CH CO CC' a 4a 17 2a 17 × Ngơ Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN + Mặt khác, ta có: BD ⊥ AC (gt) , AA ' ⊥ ( ABCD) ⇒ AA ' ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( ACA ') ⇒ BD ⊥ A ' C (2) Từ (1) (2) suy ra: A ' C ⊥ ( BDH ) ⇒ A ' C ⊥ DH Do đó, (( BA ' C ),( DA ' C )) = ( HB, HD ) + Xét tam giác vng BCA’ có: 1 = + = 2 2 BH BC BA ' 2a ⇒ BH = a 2 ⇒ DH = a 3 · + Ta có: cos BHD = BH − BD · = − ⇒ BHD = 120 Vậy (( BA ' C ),( DA ' C )) = 60 2 BH Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cân · AB=AC=a, BAC = 1200 , BB’=a, I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mp(ABC) (AB’I) Giải: + Ta thấy tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC) Gọi φ góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Theo cơng thức hình chiếu ta có cos ϕ = S ABC ó: S AB ' I + Ta có: S ABC a2 = AB AC.sin120 = AI = AC + CI = a a 13 , AB ' = AB + BB '2 = a 2, IB ' = B ' C '2 + IC '2 = 2 Suy ra: Tam giác AB’I vuông A nên S AB ' I = cos ϕ = S ABC S AB ' I = a 10 AB ' AI = Vậy 10 Một số tập vận dụng Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Bài 1.(Đề thi thử Violet) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông B, · BAC = 600 Hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC, góc đường thẳng AA ' mặt phẳng ( ABC ) 600 AG = 7a Tính theo a thể tích khối lăng trụ cosin góc đường thẳng AC mặt phẳng ( ABB ' A ') Giải A' C' B' H F A C G N M E B Gọi M trung điểm BC, góc AA’ mặt phẳng (ABC) ·A ' AG = 600 , suy chiều cao lăng trụ A ' G = AG.tan 60o = a 21 Đặt AB = x,( x > 0) ⇒ AC = x, BC = 3x Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABM ta 7a 3x 3a có: AM = AG ÷ = Từ thể tích lăng trụ = x2 + ⇒ x = a ⇒ S ABC = 4 2 cho là: V = A ' G.S ABC = a3 (đvtt) Kéo dài CG cắt AB N, kẻ GE vuông góc với AB (E thuộc AB), hạ GF vng góc với A’E (F AB ⊥ A ' G ⇒ AB ⊥ ( A ' GE ) ⇒ AB ⊥ GF ⇒ GF ⊥ ( ABB ' A ') AB ⊥ GE thuộc A’E) Ta có Qua C kẻ đường thẳng song song với GF cắt tia NF H, suy H hình chiếu vng góc C · (ABB’A’) Hay góc AC mặt phẳng (ABB’A’) HAC Dễ thấy GE = a 1 3 24 a BM = ⇒ = + = + = ⇒ GF = 3 GF GE GA '2 a 7a 7a Suy CH = 3GF = 7a CH 21 · Xét tam giác AHC vng H, có sin HAC = = AC 2 Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN 22 · Bài 2.(Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S ABC có BAC = 1200 , AB = a , AC = 2a Cạnh bên SA · Từ cos HAC = vng góc với đáy Mặt bên ( SBC ) tạo với mặt phẳng đáy góc 300 Gọi M , N thứ tự trung điểm cạnh SB, SC Tính thể tích khối chóp S ABC cosin góc hai đường thẳng AM BN Giải · Hạ AK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAK ) nên góc ( SBC ) đáy SKA = 300 a a 21 a3 21 , SA = S∆ABC = a V= 7 42 BN ∩ CM = E , EF PAM , F ∈ AC (·AM,BN ) = (·EF,BN ) Tính Tính BC = a , AK = SB2 = 2 8a2 29a2 85a2 , BE2 = BN = 85a EF = AM = SB2 = 8a BF = 19a ,SC2 = ,BN2 = 7 28 63 9 63 · cos BEF =− 170 170 ⇒ cos ( AM,BN ) = 17 17 Cách 2: uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur AM = AB + AS ,BN = AS + AC − AB ⇒ AM.BN = − a2 AM2 = 2a ,BN2 = 85 a2 2 7 28 uuuur uuur AM.BN uuuur uuur 170 ⇒ cos ( AM,BN ) = cos AM,BN = = AM.BN 17 ( ) ( ( ) ) Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Bài 3.(Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD = 2a góc tạo đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) 300 a Tính diện tích hình chữ nhật ABCD khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD) b Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Giải a · Gọi H trung điểm AB Suy SH ⊥ ( ABCD) SCH = 300 Ta có: ∆SHC = ∆SHD ⇒ SC = SD = 2a Xét tam giác SHC vuông H ta có: SH = SC.sin SCH = SC.sin 300 = a 3, HC = SC.cos SCH = SC.cos 300 = 3a Vì tam giác SAB mà SH = a nên AB = 2a Suy BC = HC − BH = 2a Do đó, S ABCD = AB.BC = 4a b Vì BA = HA nên d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) Gọi I hình chiếu H lên AC K hình chiếu H lên SI Ta có: AC ⊥ HI AC ⊥ SH nên AC ⊥ ( SHI ) ⇒ AC ⊥ HK Mà, ta lại có: HK ⊥ SI Do đó: HK ⊥ ( SAC ) Vì hai tam giác SIA SBC đồng dạng nên HI AH AH BC a Suy ra, HK = = ⇒ HI = = BC AC AC Vậy , d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H , ( SAC ) ) = HK = HS HI = a 66 HS + HI 11 2 2a 66 11 Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHÔNG GIAN Bài (Đề thi thử Violet) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD tính góc đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) Giải - Tính thể tích +) Ta có: AB = AC − BC = 4a +) Mà·( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ·SDA = 450 nên SA = AD = 3a Do đó: VS ABCD = SA.S ABCD = 12a (đvtt) - Tính góc… uuur uuur +) Dựng điểm K cho SK = AD Gọi H hình chiếu vng góc D lên CK, đó: DK ⊥ ( SBC ) Do đó:·( SD, ( SBC ) ) = ·DSH +) Mặt khác DH = DC.DK 12a = , SD = SA2 + AD = 3a KC SH = SD − DH = 3a 34 SH 17 Do đó:·( SD, ( SBC ) ) = ·DSH = arccos = arccos ≈ 340 27 ' SD Bài Cho hình chóp S.ABCD, đáy có cạnh a có tâm O.Gọi M,N trung điểm SA,BC.Biết góc MN (ABCD) 60° Tính MN,SO (·MN , ( SAO)) Giải Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi P trung điểm AO Khi MP // SO SO ⊥ (ABCD) đó: · (· MN , ( ABCD)) = MNP = 60° Trong V NCP theo định lí hàm số cosin ta có 5a 2 2 ° NP = CN + CP − 2CN CP.cos 45 = Trong tam giác vuông MNP ta có PN 15 15 PM=PN.tan 60° = a =a ⇒ SO = MP = a ° cos60 · Gọi H trung điểm OC.Suy NH // BD mà BD ⊥ (SAC) Do (·MN , ( SAC )) = NMH MN = a Ta có NH = OB = , MN = a Do tam giác vng MHN ta có NH sin ·NMH = = Vậy góc MN mặt phẳng (SAC) α thỏa mãn MN π 2 Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy có cạnh a,cạnh bên có độ dài b.Gọi M sin α = ,0 ≤ α ≤ trung điểm AB α góc tạo đường thẳng MC’ mặt phẳng (BCC’B’) Tính tan α Giải Gọi M’, N trung điểm A’B’ BC Gọi P trung điểm BM · ' P Ta có Ta có AN ⊥ BC AN ⊥ BB’ nên AN ⊥ (BCC’B’) Do α = MC MP = a AN = Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN MC ' = MM '2 + M ' C '2 = b + 3a 9a ⇒ PC ' = b + 16 MP a = PC ' 16b + 9a Trong tam giác vng C’PM ta có tan α = Bài Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc · BAC = 120o , cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh ∆ AB'I vuông A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC ∆ ABH nửa tam giác cạnh AB = a ⇒ AH = a vaø BH = ⇒ BC = a ∆IB/ C/ vuông có: IB/ = IC/ + B/ C/ = a 13a + 3a2 = 4 Ta coù: AI2 + AB/ = 2 2 C/ A/ a 5a ∆ AIC vuông có: AI = IC + AC = + a2 = 4 B/ B a I H C 30o A 5a 13a + 2a2 = = IB/ 4 (AB/ đường chéo hình vuông AA/B/B cạnh a) Vậy, ∆ AB/I vuông A Ta có: SAB/ I 1 a a2 10 / = AI.AB = a = 2 1 a a2 SABC = AH.BC = a = Gọi α góc hai mặt phẳng (ABC) (AB/I), theo 2 SABC a2 a2 10 30 = : = coâng thức chiếu, ta có: cos α = SAB/ I 4 10 Cách 2: Gọi H trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC a ∆ ABH nửa tam giác cạnh AB = a ⇒ AH = C/ z a a vaø BH = ⇒ BC = a 2 Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông góc, A(0; 0; 0), A/ B/ I C A z 60o H y B Ngơ Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN a a a a / B ; ; ÷, C − ; ; ÷, A (0; 0; a), 2 2 a a / a a a a a B/ ; ; a ÷, C − ; ; a ÷, I − ; ; ÷ 2 2 2 2 uuur/ a a uur a a a AB = ; ; a ÷, AI = − ; ; ÷ 2 2 2 uuur/ uur a a a a a 3a2 a2 2a2 − + + =0 Ta có: AB AI = ÷+ + a = − 2 4 uuur/ uur ⇒ AB ⊥ AI Vaäy, ∆ AB/I vuông A r * Phương trình mp(ABC): z = có pháp vectơ n1 = (0; 0; 1) uuur/ uur * mp (AB/I) có cặp vectơ phương AB , AI , nên có pháp vectơ: uuur/ uur a2 3a2 2a2 a2 a2 r [AB ; AI] = − ; − ; = − (1; 3; − 3) = − n ÷ 4 4 r với n = (1; 3; − 3) Gọi α góc (ABC) (AB/I), ta coù: cos α = 0+0−2 + + 1 + 27 + 12 = 30 = 10 40 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SA = a a) Tính góc (SAD) (SBC) b) Tính góc (SBC) (SCD) Hướng dẫn giải: Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN a) Gọi I = AD ∩ BC =>SI giao tuyến (SAD) (SBC) BD ⊥ AD => BD ⊥ ( SAD) => BD ⊥ SI Ta có : BD ⊥ SA · Dựng DE ⊥ SI E => ( BDE ) ⊥ SI suy BED góc (SAD) (SBC) · · Mặc khác # AIB tam giác (do IAB = IBA = 60o ) Nên AI = AB = 2a, SI = SA2 + AI = a => SI = a # SAI ~# DEI (do tam giác vng có góc nhọn I chung) => DE DI a SA a = = = = => DE = SA SI a 7 7 Ta có BD ⊥ ( SAD) nên BD ⊥ DE Trong # BDE , ta có : tan BED = BD a = = · => BED BE a = arctan Vậy ((·SAD, ( SBC )) = arctan b) Dựng AP ⊥ SH P, ta có AP ⊥ CD ( CD ⊥ ( SAH ) ) Nên AP ⊥ ( SCD ) Tương tự dựng AQ ⊥ SC Q AQ ⊥ ( SBC ) 1 · = + = Do PAQ = ((·SBC ), ( SCD)) Xét # vuông SAH, ta có : 2 AP AH AS 3a => AP = a => AQ = # SAC có SA ⊥ AC , SA = SC = a nên # SAC vuông cân A a , AP ⊥ (SCD) nên AP ⊥ PQ SC = SA = 2 = 10 cosPAQ = a a Trong # vng APQ, ta có: 10 10 · Suy : PAQ Vậy ((·SBC ), ( SCD)) = arccos = arccos 5 · Bài Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông B, BDC = 45o Gọi ·ADB = α Xác định α để góc mặt phẳng (ADC) (BDC) 60o Hướng dẫn giải: Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Dựng BI ⊥ AC Ta có : BI ⊥ DA( DA ⊥ ( ABC )) => BI ⊥ ( DAC ) => BI ⊥ DC Dựng BJ ⊥ DC => DC ⊥ ( BIJ) · Ta có # BJI vuông I ( BI ⊥ ( DAC ) ) Vậy (· ( ADC ), ( BDC ) ) = BJI · = 60o nên # BJI nửa tam giác Theo đề BJI · Mặt khác# DBC vuông B BDC BJ => = = 45o BI 3BJ AB AB = => AB = BC = sinα =># DBC vng cân B=>BD = BC Ta có: Sinα = BD BC 1 1 = + = + 1÷ Hơn # ABC vng B, ta có : 2 2 BI AB BC BC sin α · Trong # DJB vng J có JDB = 45o nên # DJB vng cân J, đó: Suy BI = DB = BJ => 1 2 + 1÷ = = = 2 2 => BC sin α BJ DB BC BC 15 15 => + 1÷ = => sinα = Vậy => α = arcsin 5 sin α Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có dáy hình thang vng A,B với AB = BC = a, AD = 2a , SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi I trung điểm SC a) Chứng minh AI ⊥ (SCD) b) Tính góc α hai mp (ABCD) (SCD), góc β hai mp (SAB) (SCD) Hướng dẫn giải: a) SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC,SA=AC= a Tam giác SAC vuông cân A nên AI ⊥ SC Gọi K trung điểm AD, tứ giác ABCK hình vng nên: CK = KA = KD = a ⇒ tam giác ACD vuông C ⇒ CD ⊥ AC Mà CD ⊥ AS, SA ⊥ (ABCD) nên: CD ⊥ (SAC) ⇒ CD ⊥ AI Ta có: AI ⊥ SC CD ⇒ AI ⊥ (SCD) b) Ta có giao tuyến (ABCD) (SCD) CD Theo câu a), CD ⊥ (SAC) nên CD ⊥ AC CD ⊥ SC · Do góc (ABCD) (SCD) α = SCA Mà tam giác SAC vuông cân A nên α = 45o Ta có AD ⊥ AB SA,nên AD ⊥ (SAB) Ngơ Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Theo cmt, AI ⊥ (SCD) Vậy góc (SAB) (SCD) β =góc (AI,AD) · Vì AI ⊥ (SDC) nên AI ⊥ ID Tam giác AID vuông I cos IAD = với AD=2a,AI= AI AD SC 1 · = AC =a Vậy cos IAD = ⇒ β = 60o 2 Bài 11 Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vuông góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SE AF Hướng dẫn giải: S H K A C F E M B · AF) = (EM; · · Gọi M trung điểm BF ⇒ EM // AF ⇒ (SA; AF) = SEM ∆ SAE vuông A có: SE2 = SA + AE = a2 + 2a2 = 3a2 ⇒ SE = a AF = 2a a a = a ⇒ EM = ; BF = a 2;BM = MF = 2 SB2 = SA + AB2 = a2 + 8a2 = 9a2 ⇒ SB = 3a SF = SA + AF = a2 + 6a2 = 7a2 ⇒ SF = a 2 AÙp dụng định lý đường trung tuyến SM ∆ SBF coù: SB + SF = 2.SM + BF 2 15a2 ⇔ 9a + 7a = 2SM + 2a ⇔ SM = 2 2 Gọi α góc nhọn tạo SE AF Áp dụng định lý hàm Côsin vào ∆ SEM coù: 2 ES + EM − SM · cos α = cosSEM = = 2.ES.EM 3a2 15a2 − 2 = − = 2 a .a 3a2 + Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN a ⇒ α = 45o Dựng AK ⊥ ME; AH ⊥ SK Ta có: AK = MF = AH ⊥ (SME) Vì AF // ME ⇒ d(SE; AF) = d(AF; (SME)) = AH ∆ SAK vuông có: 1 1 a = + = + = ⇒ AH = 2 AH SA AK a a a Vaäy, d(SE; AF) = a Bài 12 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B' C ' có AB = 1, CC ' = m ( m > 0) Tìm m biết góc hai đường thẳng AB ' BC ' 60 Hướng dẫn giải: A KỴ BD // AB ' ( D ∈ A ' B ') ⇒ (·AB ', BC ') = (·BD, BC ') = 600 B · · ⇒ DBC ' = 600 hc DBC ' = 1200 · NÕu DBC ' = 600 Vì ABC.ABC lăng trụ nên C BB ' ⊥ ( A ' B ' C ') p dụng định lý Pitago định lý cosin ta cã BD = BC ' = m + DC ' = Ã Kết hợp DBC ' = 600 ta suy ∆BDC ' ®Ịu Khi : m + = ⇔ m + = ⇔ m = A’ m D B’ 120 C’ · Nếu DBC ' = 1200 áp dụng định lý cosin cho ∆BDC ' suy m = (lo¹i) VËy m = Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy.Gọi M,N trung điểm AB,BC Tính Cos góc hai đường thẳng SM,DN Hướng dẫn giải: Ta có: SA = a, SB = a , AB = 2a Dễ dàng chứng minh # ASB vuông B ( SAB ) ∩ ( ABCD) = AB Lại có : ( SAB ) ⊥ ( ABCD) Nên kẻ SH ⊥ AB SH ⊥ ( ABCD ) SA a · = SAB = 60o 2 AD a = Kẻ MP // DN => AP = Kẻ HK ⊥ PM (trong mp(ABCD)) Ta thấy : AH = Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN => SK ⊥ PM ( định lí đường vng góc) · , DN ) = ( SM · , MP) = SMK · Do MP // DN nên : ( SM =α · , DN ) = Cosα = MK Ta có : Cos( SM SM AB =a Ta có : SM = a AM · Mặt khác : MK = HMCosHMK = PM a a a = = a2 a2 + a · => · , DN ) = = => ( SM , DN ) = arccos Cos( SM a 5 Bài 14 Cho hình chóp S.SBC,đáy ABC là tam giác cân đỉnh C,SA ⊥ (ABC).Giả sử SC=a;tìm góc Vậy góc hai đường thằng SM DN arccos giữa mp(SBC) và (ABD) cho thể tích khối chóp là lớn nhất Giải ˆ = α ,SA=SC sin α và AC=SC cos α Ta thấy SCA S a cos α a3 a sin α = cos α sin α (1) Từ (1) suy :V.SABC nhạn giá trị lớn nhất và chỉ biểu thứ P= cos α sin α nhan GTLN.Vì sin α >0 nên Pmax Suy V.SABC= C ⇔ P2max ⇔ (1 − sin α ) sin α giá trị lớn nhất Ta có: B A (1 − sin α ) sin α = (1 − sin α )(1 − sin α )(2sin α ) (1 − sin α ) + (1 − sin α ) + 2sin α 2 (1 − sin α )(1 − sin α )(2sin α ) ≤ Theo BĐT cô si thì: = 27 Do đó :Pmax = ⇔ − sin α = 2sin 2α ⇔ sin α = a 3 ⇔ sin α = 27 Bài 15 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD mà d(A;(SBC))=2a.Với giá trị nào của α ( α là góc Vậy VS.ABC nhận GTLN là giữa mp bên và mp đáy của hình chóp)thì thể tích khối chóp là nhỏ nhất?tìm GTNN đó Ngô Quang Vân Sưu tầm biên soạn THỂ TÍCH - KHOẢNG CÁCH - GĨC TRONG KHƠNG GIAN Giải S H D C o M N B Gọi M,N.lần lượt là trung điểm của AD,BC;kẻ MH vuông góc SN(H ∈ SN) ˆ = α Do DA//BC suy AD//(SBC),suy d(M,(SBC))=MH=2a Ta có: SNM Ta có :MN= MH 2a = sin α sin α Từ đó : SO = ON tan α = a 2a a = sin α sin α cos α 2a a 4a Do đó: V.SABCD= ( (1) ) = sin α cos α 3sin α cos α Từ (1) suy ra:VSABCD bé nhất và chỉ sin α cos α lớn nhất Xét P= sin α cos α = (1 − cos α ).cos α = cos α − cos α (2) Từ (2) dẫn đến xét hàm số:y=x-x3 (0