CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Tích phân xác định Công thức đạo hàm dấu tích phân  b( x ) ′  ∫ f (t )dt ÷ = f (b( x)).b′( x) − f (a ( x)).a′( x )  a( x) ÷   cos x Ví dụ: Tính đạo hàm theo x f ( x) = ∫ cos(t )dt sin x f ′( x) = cos(cos x)(− sin x) − cos(sin x)cos x Tích phân xác định x (arctan t ) dt ∫ Ví dụ: Tính giới hạn Vì x lim x →+∞ x2 + lim ∫ (arctan t ) dt = +∞ tức giới hạn có x →+∞ ∞ dạng , nên ta áp dụng quy tắc L’Hospital ∞ x (arctan t ) dt ∫ x2 + (arctan x)2 x + π = lim = x x →+∞ Tích phân xác định Công thức Newton – Leibnitz: Nếu hàm f(x) liên tục [a,b] G(x) nguyên hàm f(x) [a,b] ta có b ∫ f ( x)dx = G (b) − G (a ) a 2ln dx Ví dụ: Tính tích phân I = ∫ x ln e − x 2ln 2ln  1  x = ∫  − ÷de I2 = ∫ x x x x ln  e − e  ln e (e − 1) e dx x ln = ln(e − 1) − ln(e ) = ln − ln + ln = ln ln ln 2 x ln 4 Tích phân xác định Phương pháp đổi biến  f ( x) liên tục [a,b]  Nếu ϕ (t ) khả vi, liên tục [t1,t2] ϕ [t , t ] ⊂ [a, b], ϕ (t ) = a,ϕ (t ) = b  ( ) Thì b t2 a t1 ∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt Tích phân xác định dx Ví dụ: Tính I3 = ∫ 1 + 3x − Đặt x − = t ⇒ dx = 2t dt , x = 1, t = x = 6, t = 4 2tdt 4  I3 = ∫ = ∫ 1 − ÷dt 1 t +1 1+ t = ( t − ln t + ) 2 5 =  − ln ÷ 3 2 Tích phân xác định Tích phân xác định Phương pháp tích phân phần Nếu hàm u(x), v(x) khả vi, liên tục [a,b] b b b ∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v( x ) a − ∫ u′( x)v ( x)dx a a arcsin xdx Ví dụ: Tính I = ∫ 1+ x 1 I = ∫ arcsin xd ( + x ) = arcsin x + x − ∫ + x d (arcsin x) 0 1+ x π π = − 2∫ dx = + − x = 2π − 2 − x2 Tích phân xác định Lưu ý 2: Các tích phân không áp dụng công thức Newton – Leibnitz e dx e = ln | x | −e = ∫ −e x Cách tính sai hàm dấu không liên tục [-e,e] Để tính trên, ta phải chia làm với điểm chia điểm gián đọan hàm: x=0 e dx ∫ −e x dx = ∫ −e x e dx +∫ x Hai thành phần ta gọi hàm không bị chặn suy rộng lọai Tích phân suy rộng lọai Cho đường cong y= x Giả sử ta cần tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đường cong nửa dương trục Ox, Oy Khi đó, theo phần ta có +∞ S ( D) = ∫ x dx 10 Tích phân suy rộng loại Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho hàm f(x), g(x) không âm, khả tích [a,b), f ( x) Ta có: không bị chặn b lim = K x →b − g ( x ) b b a b a b a a K = : ∫ g ( x)dx HT ⇒ ∫ f ( x)dx HT K = ∞ : ∫ f ( x)dx HT ⇒ ∫ g ( x)dx HT < K < ∞ : HT PK Ta tìm hàm g(x) để so sánh khảo sát suy rộng lọai x→b- 36 Tích phân suy rộng loại xdx 1− x Ví dụ: Khảo sát HT I = ∫ Hàm không xác định điểm x = 1, hàm không bị chặn điểm đọan lấy mà hàm không bị chặn Ta xét x → 1-, f ( x) = Mà: x 1− x = x 1− x 1+ x + x : dx HT ⇒ I3 HT ∫ 1/2 3(1 − x ) 1/2 3(1 − x) 37 Tích phân suy rộng loại Tích phân hàm có dấu - Hội tụ tuyệt đối Với hàm f(x) khả tích [a,b) không bị chặn b b b a a Nếu ∫ f ( x) dx HT ∫ f ( x)dx HT ln x Ví dụ: Khảo sát HT I = ∫ dx 01− x Xét điểm đặc biệt x=0, x=1 ln x 1 ln x = −∞ lim− = lim− = − , lim 2 x →1 − x x →1 ( −2 x ) x x →0+ − x Tức hàm không bị chặn x=0 38 Tích phân suy rộng loại ln x I4 = ∫ dx 01− x Ta xét x → 0+ − x2 → Và chọn hàm g(x) để so sánh với hàm f(x) f ( x) − ln x =1 Ta có lim f ( x) = , g ( x) = − ln x + g ( x) x → 1− x 1 1 Tính tích phân ∫ g ( x)dx = ∫ − ln xdx = − x ln x + ∫ xd ln x 0 ln x 1 = −1.ln1 + lim + ∫ dx = + x = x →0 x Tích phân HT nên -I4 HT.Suy I4 HT 39 Tích phân suy rộng loại 2 dx Ví dụ: Khảo sát HT I = ∫ x (2 − x ) Hàm dấu không bị chặn đầu dx dx I6 = ∫ +∫ x (2 − x ) x (2 − x ) + Khi x → : f ( x) = − Khi x → : f ( x) = : x(2 − x) : x(2 − x) dx ,∫ HT 1/2 2.x 1 x1/2 dx ,∫ HT 1/ 2.(2 − x)1/2 2.(2 − x ) Như vậy, I6 tổng HT nên I6 HT 40 Tích phân suy rộng loại +∞ Ví dụ: Khảo sát HT I = ∫ dx x e − cos x Tp vừa suy rộng lọai 1, vừa suy rộng +∞ dx dx I7 = ∫ x +∫ x e − cos x e − cos x +∞ dx −1 +∞ 1 Khi x → +∞ : f ( x) = : , ∫ = = HT x x x x e e e − cos x e e loại Khi x → 0+ : 1 dx f ( x) = = : ,∫ x x e − cos x (e − 1) + (1 − cos x) x x 1 PK Như vậy, I7 tổng HT PK nên I7 PK 41 Tích phân suy rộng loại x − ln(1 + x ) dx Ví dụ: Tìm α để sau HT I9 = ∫ α x Ta xét x→0 ( ) x + O( x ) x − x − x − ln(1 + x) f ( x) = = : = g ( x) α α α −2 x x 2x Tp I9 HT ∫ g ( x ) dx = ∫ α − dx HT 0 2x Vậy I9 HT α − ÷ Khi x → +∞ : f ( x) : 5α +  1 x HT+PK -3/5 -1/5 HT+PK  −3 −1  Rõ ràng, với α ∈  , ÷ I10 HT  5  43 Tích phân suy rộng - Phụ lục Tính I1 = ∫ x − x2 − +∞ dx I2 = ∫ x +1 +∞ dx I3 = ∫ x −1 +∞ arctan x I4 = ∫ dx 3/2 (1 + x ) +∞ I = ∫ xe − x2 I6 = ∫ I7 = ∫ +∞ I11 = ∫ x arcsin xdx |1 − x | +1 x dx I12 = ∫ dx (1 + x ) − x +∞ dx I13 = ∫ x 1− 2x − x −1 dx x + 2x − x − +∞ dx I9 = ∫ ,t = 1+ 2 x (1 + x ) + x +∞ dx I10 = ∫ 2 ( x − 1) x − I8 = ∫ dx +∞ x+2 dx 2− x dx ( x − 1) x − x + x 2dx −3 9− x I14 = ∫ 44 Tích phân suy rộng - Phụ lục Tìm α để sau HT +∞ dx I1 = ∫ α + x α I2 = ∫ ( x − 1)( x − 2) ∞ I3 = ∫ dx α (1 + x )(1 + x ) ∞ I4 = ∫ dx α x 1+ x +∞ dx I5 = ∫ α x +1 x2 −1 ( ) I6 = ∫ ( 4+ x ) α +∞ x dx 2x + +∞ I7 = ∫ x +1 3− x + x (5+ x ) α α −1 dx dx −x x + × ( ) I8 = ∫ dx α x +4 +∞ +∞ I = ∫ e − x xα −1dx xα dx I10 = ∫ + x +∞ 45 Ứng dụng tích phân xác định 1.Bài toán diện tích hình thang cong: Cho hàm f(x) liên tục không âm [a,b] Tính diện tích hình thang cong D giới hạn đường cong y=f(x), đường thẳng x=a, x=b, y=0 b S ( D) = ∫ f ( x)dx a 2.Bài toán diện tích hình phẳng: Cho hàm f(x),g(x) liên tục [a,b] Tính diện tích miền D giới hạn đường cong y=f(x),y=g(x),2 đường thẳng x=a, x=b b S ( D ) = ∫ | f ( x) − g ( x) | dx a 46 Ứng dụng tích phân xác định 3.Bài toán thể tích vật thể tròn xoay: Cho hàm f(x) liên tục không âm [a,b] Hình thang cong D giới hạn đường cong y=f(x), đường thẳng x=a, x=b, y=0 Tính thể tích vật thể tròn xoay nhận D quay tròn quanh trục Ox,Oy b Vx = π ∫ f ( x)dx a b Vy = 2π ∫ x f ( x) dx (0 ≤ a < b) a 47 Ứng dụng tích phân xác định VD1.Hình thang cong D giới hạn đường cong y=sin x, đường thẳng x=0, x=pi, y=0 π S ( D) = ∫ sin xdx = − cos x | = π π 0 1 π π Vx = π ∫ sin xdx =π ( x − sin x) |0 = 2 π Vy = 2π ∫ x sin xdx =2π ( − x cos x + sin x ) π = 2π VD2.Miền D giới hạn đường cong y = x, y = x x = x ⇔ x = ∨1⇒ ≤ x ≤ 1⇒ x ≤ x 48 2 2 S ( D) = ∫ ( x − x)dx =  x − x ÷ = 0 3 π 1 3 Vx = π ∫ ( x − x )dx =π  x − x ÷ = 0 2 2 3 2π Vy = 2π ∫ x( x − x)dx = 2π  x − x ÷ =  15 5 VD3.Tính độ dài cung y = x , ≤ x ≤ L=∫ 2 + x dx = ∫ + u du = 20  u 1+ u2 − ln | u + + u   2  |÷ = + ln(2 + 5) ÷ 49 0 Ứng dụng tích phân xác định VD8.Miền D giới hạn đường cong y= x ,y=x x = x ⇔ x = ∨1⇒ ≤ x ≤ 1⇒ x ≥ x 3 1 1 4 S ( D) = ∫ ( x − x )dx =  x − x ÷ =  12 3 2π 1 7 Vx = π ∫ ( x − x )dx =π  x − x ÷ =  35 5 π 1 5 Vy = 2π ∫ x( x − x )dx =2π  x − x ÷ =  10 4 50 [...]... trong [a,c] với mọi c: a≤c