BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.Giải phương trình vi phân cấp sau: a) y '− y − y + = b) (1 + e ) y dy = e dx c) y' = x + y − d) xydy − y dx = ( x + y ) dx e) 2x x 2 y '− y = x cos x x thoả đầu ĐK y ( 0) = f) x y y '+xy = g) (3 y + xy + x)dx + (6 xy + x + 3)dy = 2 h) ( x sin y + y cos y )dx + ( x cos y − y sin y )dy = Giải phương trình vi phân cấp sau: a) 3x ′ ′ y − y '+4 y = e ( x + 2) b) y′′ − y '+6 y = 13 sin x c) −4 x −x ′ ′ y − y '−4 y = e + xe d) x y′′ − xy + y = x 2 PHẦN HƯỚNG DẪN GiẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1) Giải phương trình vi phân cấp sau: a Đưa dạng phương trình tách biến: ĐS: Nghiệm tổng quát: Trường hợp: y = + 4ce5 x − ce y = 1, y = −4 5x (Nhận) b Đưa dạng phương trình tách biến: y x ĐS: Nghiệm tổng quát: = arctg e + c 3 y x π Nghiệm thoả ĐK y (0) = = arctg e − c Đưa dạng phương trình tách biến: ĐS: 2 x + y − − ln(2 + x + y − 3) = x + c d Đưa dạng phương trình đẳng cấp: ĐS: y x ln + + = ln x + c x x+ y Trường hợp:  x=0   y = −x (Nhận) (Nhận) e Đây phương trình tuyến tính cấp 1: ĐS: Nghiệm tổng quát: x  y = x  sin x + cos x + c ÷ 2  f Đưa dạng phương trình Bernouli: ĐS: Nghiệm tổng quát: y = ( x + c) x g Đây phương trình vi phân toàn phần: Nghiệm tổng quát: h Thừa số tích phân: 3y x + x y + x + 3y = c 2 H ( x) = e x Nghiệm tổng quát: e ( x sin y + y cos y ) − e sin y = c x x 2.Giải phương trình vi phân cấp sau: y = y+ y a.Nghiệm tổng quát: ∗ ⇒ y = e (c1 cos x + c2 sin x) + e ( x + 10 ) 49 x 3x y = y+ y b Nghiệm tổng quát: ∗ ⇒ y = (c1e + c2e ) + ( cos 3x − sin 3x) 6 2x 3x c Nghiệm tổng quát: y= y+ y + y * * −4 x x ⇒ y = (c1e + c2e ) + e − ( + ).x.e− x 24 10 25 −x 4x d Đây phương trình Euler t = ln | x | Nghiệm tổng quát: y = x (c1 cos(ln | x |) + c2 sin(ln | x |)) + x 2