Phòng giáo dục huyện cao phong trờng trung học sở thị trấn cao phong Sáng kiến kinh nghiệm: Phát huy trí tuệ học sinh thông qua chứng minh bất đẳng thức Nguyễn Chí Chung Họ tên: Đơn vị : Trờng trung học sở thị trấn cao Phong Năm học 2014 - 2015 A đặt vấn đề Toán học môn khoa học đòi hỏi tập trung cao độ trí tuệ ngời dạy ngời học, chìa khoá cho tất môn khoa học khác Vì vậy, việc dạy toán thầy học toán trò cần có phơng pháp dạy học thật khoa học, thờng xuyên đổi phơng pháp dạy học thầy trò Mặt khác, toán học bậc trung học sở móng quan trọng cho việc học toán suốt bậc học phổ thông trờng chuyên nghiệp sau học sinh Bởi lẽ đó, cần đòi hỏi ngời thấy giáo với điều kiện cần đủ phải có phơng pháp truyền thụ với nghệ thuật sáng tạo, tạo phơng pháp thích hợp giảng dạy nhằm phát huy trí tuệ học sinh việc lĩnh hội kiến thức toán học Các dạng toán trờng trung học sở bao hàm nhiều nội dung, nhiều vấn đề Nói cách đầy đủ xác gồm nhiều chuyên đề, phong phú thể loại đa dạng phơng pháp Muốn giỏi toán cần phải rèn luyện, luyện tập nhiều thông qua việc giải toán đa dạng, giải toán cách khoa học, giải toán với nhiều cách giải khác nhau, kiên nhẫn tỷ mỷ, để tìm đáp số Nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn viết: Ngời ta hay nói: Toán học thể dục trí não Nói nh e cha lột tả nghĩa rèn luyện t tính cách Toán học; phải lấy hình ảnh ngời tập thể dục mà sức khoẻ tốt lên lại đòi hỏi trình độ tập nâng lên, hai bên thúc đẩy mà tiến mãi. ( Ph ơng pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học Tập II, trang 14; 15 Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội- 1997) Qua việc học dạy toán nhiều năm trờng trung học sở, thấy: Chuyên đề Bất đẳng thức với tập thật đa dạng phong phú không phức tạp thầy trò; cần làm cho hai bên thúc đẩy mà tiến Xuất phát từ lý nêu trên, khuôn khổ kinh nghiệm dạy học, xin đợc đề xuất vài suy nghĩ việc phát huy trí tuệ học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức mà thực trình giảng dạy nhà trờng phổ thông năm vừa qua Mặc dù dành nhiều thời gian công sức tìm tòi, học hỏi thực trình giảng dạy Song nhiều lý do, hạn chế kiến thức, phơng pháp truyền thụ cho học sinh, nên kinh nghiệm chắn thiếu sót nhiều, mong nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp tất đồng chí, đồng nghiệp Tôi xin chân thành cám ơn Nội dung viết gồm có ba phần: * Phần I: * Phần II: * Phần III: Những kiến thức Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Kết luận rút từ thực tế Tài liệu tham khảo: - Sách giáo khoa Đại số lớp tác giả Nguyễn Duy Thuận - Sách Ôn tập toán - Nhà xuất Giáo dục Hà Nội - Một số phơng pháp giải toán cấp II chọn lọc Giáo s Phan Đức Chính, Nguyễn Văn Mậu - Sáng tạo toán học - Giáo s Hoàng Chúng - Phơng pháp luận vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học Nguyễn Cảnh Toàn - Một số vấn đề phát triển đại số nhà giáo Vũ Hữu Bình, nhà xuất GD năm 1996 - Một số tạp chí Toán học tuồi trẻ - Một số đề thi chọn học sinh giỏi lớp & lớp 12 tỉnh qua năm Phần I : Những kiến thức 1/ Bất đẳng thức Định nghĩa Với hai số a & b R, Chúng xẩy mối quan hệ: a>b a-b>0 a0. A c a > c ( tính bắc cầu) 2.3 a > b a + c > b + c ( tính đơn điệu bất đẳng thức) 2.4 a>b;c>d a+c>b+d Cần lu ý cho học sinh không đợc trừ vế hai bất đẳng thức chiều 2.5 a>b;cb-d a > b ; c > ac > bc a > b ; c < ac < bc a > b ; c > d ac > bd a > b > an > bn với n *( * số tự nhiên 0) a > b an > bn với n lẻ a > b an > bn với n chẵn m > n > thì: a > am > an a = am = an a < am < an 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 a > b ; ac > 1 < ( Giáo viên hớng dẫn học sinh chứng minh a b coi bổ đề) Đây tính chất bất đẳng thức, giáo viên cần cho học sinh nắm vững để áp dụng vào việc giải tập Trong tính chất có nhiều dấu (>) ( 3.4 a b + b a với ab > 3.5 (a2 + b2)( x2 + y2) ( ax + by)2 (Bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Xảy dấu đẳng thức ay = bx Đây bất đẳng thức hay đợc dùng trình giải toán chứng minh bất đẳng thức Phần II: Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Thực tế giải toán ta thấy có nhiều phơng pháp chứng minh bất đẳng thức chơng trình phổ thông, nhng cần lu ý học sinh phơng pháp thờng dùng sau: Dùng định nghĩa: Nghĩa là, muốn chứng minh bất đẳng thức A B ta nên xét hiệu A - B chứng minh hiệu A - B > ngợc lại hiệu A - B < nghĩa bất đẳng thức cha đợc chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x,y ta có ( x + y)2 x + y2 (x + y)2 ( Bài câu a Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh bảng A bậc trung học sở năm 2003 tỉnh Hoà Bình) Thực tế có nhiều cách giải, nhng chứng minh bất đẳng thức phơng pháp dùng định nghĩa nh sau: Xét hiệu: x2 + 2xy + y2 x2 y2 2xy x,y Nên: ( x + y)2 x2 + y2 Đây bất đẳng thức đúng, phép biến đổi tơng đơng Ta có (1) Tơng tự: Ta xét hiệu x2 + y2 (x + y)2 x2 2xy + y2 ( x y)2 Đây bất đẳng thức đúng, phép biến đổi tơng đơng , nên ta có (2) Kết hợp (1)& (2) ta có ( x + y)2 x + y2 (x + y)2 Ta có Đối với học sinh bậc trung học sở, phơng pháp đợc áp dụng phổ biến, dễ thành công, nhng cần ý đến phép biến đổi tơng đơng sở sử dụng tính chất bất đẳng thức Ví dụ 3: Chứng minh a; b; c độ dài ba cạnh tam giác thì: ( a + b c)( b + c a)( a+ c b) abc (Câu - Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh Hoà Bình năm 1996 bậc trung học sở bảng A) Đây toán không áp dụng trực tiếp định nghĩa đợc, mà phải thông qua bớc trung gian( dùng bất đẳng thức Côsi- Hằng bất đẳng thức 3.2) Ta chứng minh bất đẳng thức ( a2 + b2) 4ab ( Bất đẳng thức Côsi - Giáo viên hớng dẫn học sinh chứng minh phơng pháp dùng định nghĩa) Chú ý: Bất đẳng thức Côsi đợc viết dới dạng a+b ab ; a; b không âm Tổng quát : a1 + a + a3 + + a n n n a1 a a3 .a n Trong ( i = n ) số không âm Từ bổ đề ta có lời giải tóm tắt nh sau: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số không âm đôi x; y; z ta có: ( x + y)2 4xy (1) ( y + z) 4yz (2) ( z + x) 4zx (3) 2 Từ (1),(2),(3) [( x + y)( y + z)( z + x)] 64(xyz) Do hai vế không âm, ta khai hai vế đợc kết ( x + y)( y + z)( z + x) 8xyz (4) Đặt: ( a+ b c) = x x + y = 2b ( b + c a) = y y + z = 2c ( a+ c b) = z z + x = 2a Với kết này, theo Bất đẳng thức (4) ta có: ( x + y)(y + z)(z + x) 8xyz hay: 8abc 8xyz abc xyz abc Dấu đẳng thức xảy ( a + b c)( b + c a)( a+ c b) Ta có a = b = c nghĩa tam giác cho Nh vậy: Việc áp dụng định nghĩa cần nhạy bén, học sinh giỏi cần có phép biến đổi trung gian, đòi hỏi ngời thầy cần định hớng cho học sinh có kết cao đợc số không âm đợc thay cạnh tam giác Tuy nhiên có nhiều cách giải khác, chẳng hạn: Có a2 a2 ( b c)2 = ( a + b c)( a b + c) b2 b2 ( a c)2 = ( b + c a)( b c + a) c2 c2 ( a b) = ( c + a b)( c a + b) a2b2 c2 ( a + b c)2( b + c a)2( c + a b)2 Do a; b; c số không âm nên khai hai vế ta có Việc tìm tòi lời giải khác có tác dụng lớn việc phát huy trí tuệ học sinh trình giải toán mà giáo viên cần khai thác Dùng phép biến đổi tơng đơng Việc biến đổi tơng đơng bất đẳng thức khâu quan trọng giải toán bất đẳng thức Chẳng hạn: Muốn chứng minh A > B ta biến đổi A M; B N, so sánh M & N để rút kết luận Nếu M > N A > B nhng phải dựa vào tính chất bất đẳng thức, ý đến phép biến đổi tởng chừng tơng đơng Ví dụ 4: Cho số x; y thoả mãn điều kiện Hãy chứng minh: Ta có: 1 )(1 + ) y x 1 )(1 + ) y x x +1 y +1 x y (1 + (1 + x + y =1 (1) xy + x + y +1 xy ( xy > 0) (x + y) +1 8xy ( ( x+ y = 1) 8xy 4xy ( ( x+ y = 1) ( x+ y) 4xy ( x y) (2) Bất đẳng thức (2) đúng, phép biến đổi tơng đơng, bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Dấu = xảy x = y Khi dùng phép biến đổi tơng đơng cần ý bớc biến đổi có điều kiện, chẳng hạn a2 > b2 a > b với điều kiện a; b không âm m > n am > bn với m; n nguyên dơng a > Xin nhắc lại: cần ý đến phép biến đổi tởng chừng tơng đơng không ý tới điều kiện Ta có cách giải khác: x+ y x x+ y y ) = (2 + )(2 + ) khai triển ta )( + )(1 + ) = (1 + y y y x x x x y x y đợc: + 2( + ) nhng ( + ) ( x; y dơng) có y x y x (1 + Phơng pháp sử dụng tính chất bất đẳng thức Trong chơng trình toán trung học sở ta thấy có bất đẳng thức quen thuộc, nhng ứng dụng hiệu Chúng ta thờng gọi bất đẳng thức kép Nội dung bất đẳng thức nh sau: a; b ta có: @ (a + b ) 2 a +b 2ab Các bất đẳng thức: 2(a2 +b2) (a + b)2 ( a + b)2 4ab a2 + b2 2ab tơng đơng với @ (1) (2) (3) Ta vận dụng tính chất bất đẳng thức để làm số ví dụ sau: Ví dụ5 : Cho a + b = Hãy chứng minh a2 +b2 ; a4 + b ; a8 + b Giải áp dụng bất đẳng thức (1) giả thiết ta có 2(a2 +b2) (a + b)2 (a2 +b2) Tơng tự ta a + b4 128 ( a + b) = ; có 2 1 a2 + b2 ( )2/ = ; có Và 2(a8 + b8 ) (a4 + b4)2 ( )2 = 128 Các bất đẳng thức trở thành đẳng thức a = b = Cách giải khác: Ta có a + b > > bình phơng hai vế: (a + b)2 > a2 + 2ab + b2 > theo (3) ta có (a b)2 a2 2ab + b2 Cộng (4) & (5) ta đợc: 2(a2 +b2) (4) (5) có Các ý thứ toán phát triển ý thứ , điều gợi cho thầy giáo cần định hớng cho học sinh cách phát triển toán từ gốc sâu xa vấn đề ví dụ phát triển toán mới; từ giúp học sinh tự số đề toán phạm vi cho phép, sở sử dụng tính chất bất đẳng thức cách thành thạo ý nghĩa bất đẳng thức @ nêu lên mối quan hệ tổng số với tích chúng với tổng bình phơng cuả số Ta xét thêm ví dụ khác Ví dụ : Chứng minh a; b; c ta có: a2 + b2 + c2 ab + bc +ca Giải: áp dụng bất đẳng thức (3) ta có: a + b2 b2 + c2 c2 + a2 cộng lại ta có 2(a2 + b2 +c2) 2( ab + bc + ca) có Dấu đẳng thức xảy a = b = c 2ab 2bc 2ac Phơng pháp làm trội Phơng pháp dùng cho bất đẳng thức dãy số Để chứng minh A< B, ta làm trội A thành C ( A < C) chứng minh C B biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A & B 10 Ta thờng làm trội cách giảm mẫu số phân số dãy số cho; chẳng hạn: 1 < A Am cho phù hợp Ví dụ 7: Chứng minh 98 < m số hay tham số tuỳ chọn 15 9999 + + + + < 99 16 10000 (1) ( Đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh Hoà Bình bậc trung học sở năm 2004 bảng A- Bài 2) Ta có cách giải 15 9999 + + + + 16 10000 Xét dãy số: (1 ) + (1- Nh (2) 99 ( 1 ) + (1- )++(1) 16 10000 (2) 1 1 + + +.+ ) 16 10000 Ta làm trội dãy số nh sau: < 1 = = 42 2 < 1 = 93 16 < 1 = 16 4 1 < = 10000 10000 100 1 1 = 10000 99 100 Cộng vế với vế ta đợc 1 1 + + + .+ < 16 10000 1 + +.+ 42 93 10000 100 1 1 1 1 1 + + + .+ < + +.+ = 16 10000 2 99 100 100 11 1 1 + +.+ < nên 2 99 100 Dễ dàng nhận thấy dãy số 1 1 + +.+ n3 n ; n 10 (1) Lời giải tóm tắt: * Bất đẳng thức (1) với n = 10 210 = 1024 > 103 * Giả sử (1) với n = k, nghĩa ta có: 2k > k3 Ta phải chứng minh Xét hiệu: ( k 10 ) (2) 2k + > (k + 1)3 2k + (k + 1)3 = 2.2k k3 3k2 3k = 2( 2k k3) + k3 3k2 3k Theo (2) ta cần chứng minh: k3 3k2 3k > Thật vậy: k3 3k2 3k = k(k2 3k 3) = k[k( k - 3) - 3] Do k 10 k( k- 3) 70 k[k( k - 3) - 3] 669 > Vậy: * 2k + > (k + 1)3 Kết luận: n > n3 n ; n 10 Phơng pháp quy nạp toán học đợc áp dụng phổ biến chứng minh dự đoán liên quan đến dãy số tự nhiên 12 bớc ta chứng minh mệnh đề với n = 10, sau bớc ta chứng minh mệnh đề n ; với n 10 Cần lu ý bớc chứng minh mệnh đề với trờng hợp cần khéo léo tách phân tích biểu thức chữ số để có kết mong muốn Phơng pháp phản chứng Để chứng minh mệnh đề A > B ta giả sử A < B tìm điều vô lý trình suy diễn( cách biến đổi) Từ dẫn đến kết cần chứng minh Ví dụ 9: Chứng minh a+ b 2, biết a2 + b2 Lời giải tóm tắt: Giả sử a+ b > 2, hai vế không âm ta bình phơng hai vế dợc: a2 + 2ab + b2 > (1) 2 Nhng theo bất đẳng thức (3) mục a + b 2ab a2 + 2ab + b2 2( a2 + b2), mà 2( a2 + b2) ( theo giả thiết), a2 + 2ab + b2 4, điều trái với (1) Nghĩa ta có: a+ b Tất nhiên giải cách khác: Cụ thể có: a2 + b2 2ab a2 + b2 nên 2ab a2 + b2 cộng (1) & (2) ta có: a2 + 2ab + b2 -2 a+b Việc tìm tòi nhiều lời giải cho toán quan trọng cần thiết giúp đào sâu kiến thức, phát huy tính sáng tạo cách giải, hình thành trí tuệ cho học sinh, nh nhiều nhà toán học nói: Toán học biến hoá khôn lờng không sai chút Trong trình hớng dẫn học sinh chứng minh phơng pháp phản chứng cần ý đến việc lập mệnh đề đảo kết luận mà toán yêu cầu cho phù hợp để trình chứng minh, suy diễn đợc thuận tiện 13 Song, việc chứng minh bất đẳng thức vấn đề khó nhà trờng phổ thông, nhiều toán cho dới dạng biết số điều kiện đó, chẳng hạn biết mối quan hệ biến, điều kiện khác, cần hớng dẫn học sinh biết vận dụng tổng hợp phơng pháp nêu trên, nh cha đủ, phải thực động, sáng tạo, biết cởi nút vấn đề để tìm kết Mỗi toán cụ thể dễ nhỏ muôn vàn dễ đại thụ, có vài ý giải toán bất đẳng thức nh sau III Một vài ý Chú ý tới bình đẳng ẩn chúng có vai trò nh ta xếp thứ tự biến ví dụ 3, phần II, mục xét câu đề thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh năm 1996 bậc trung học sở bảng A, xin có thêm ý kiến nhỏ: Các điều kiện a, b, c số dơng đợc thay độ dài cạnh tam giác(điều kiện tơng đơng).Ta xem lời giải khác: * Lời giải cách 1, cách nh trình bày; (xin ý cách giải khác nh sau) +) Cách 3: Do vai trò a, b, c bình đẳng nh nhau, ta giả sử: a b c Xét hai trờng hợp: a) b + c a vế phải biểu thức cho số dơng, vế trái không dơng Nh bất đẳng thức đợc chứng minh b) b + c > a hai vế dơng, ta giải tiếp nh bớc (4) trình bày để đến kết luận +) Cách 4: Trong ba số a + b - c; b + c - a; c + a - b số âm Giả sử b + c - a < 0; c + a - b < ta thấy ngay( cộng hai bất đẳng thức chiều) 2c < thật vô lý Có Nếu có số âm vế trái bất đẳng thức cho có số âm, nghĩa bất đẳng thức đợc chứng minh Nếu số âm vế trái bất đẳng thức cholà số d ơng ta giải nh bớc (4) 14 Có thể đổi biến bất đẳng thức: nh thực bớc (4) ví dụ nêu; nhân xin lấy thêm ví dụ khác: Ví dụ 10: Chứng minh rằng: a2 + b2 +c2 Biết rằng: a + b + c = Lời giải tóm tắt nh sau: 1 + x; b = + y; c = + z Do a + b + c = nên x + y + z = 3 1 Ta có a2 + b2 +c2 = ( + x)2 +( + y)2 + ( + z)2 3 2 = ( x2 + x + ) +( y2 + y + ) + (z2 + z + ) 9 1 = + (x + y + z) + x2 + y2 + z2 = + x2 + y2 + z2 Có 3 3 Đặt a = Ví dụ 11: Chứng minh rằng: a8 - a7 + a2 - a + > Lời giải: Đặt vế trái M : Cách 1: Nếu a M viết dới dạng: a7(a - 1) + a( a - 1) + M>0 Nếu a < M viết dới dạng a8 + a2(1- a5) + (1 - a) Do a < nên - a5 - a dơng, M > Có Cách 2: M = a7(a - 1) - (a - 1) + a2 = (a - 1)(a7 - 1) + a2 Nếu a a7 nên (a - 1)(a7 - 1) thêm vào a2 > 0, chứng tỏ M > Nếu a < a7 < nên (a - 1)(a7 - 1) thêm vào a2 > 0, chứng tỏ M > Có Nh chứng minh bất đẳng thức, nhiều trờng hợp ta xét khoảng giá trị biến Khi toán trở nên đơn giản Giúp học sinh có tảng vững cho việc lĩnh hội kiến thức bậc phổ thông trung học 15 Trong nhiều trờng hợp , muốn giải phơng trình f (x, y) = ta sử dụng ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức: f (x, y) f (x, y) điều kịên cần đủ xảy dấu đẳng thức Ta xét ví dụ sau : Ví dụ 12 Giải phơng trình x2 + y2 + z2 = x( y + z) Ta chứng minh: x2 + y2 + z2 xy + xz (1) 2 (1) 2x + 2y + 2z 2xy 2xz (x y)2 + (x z)2 + y2 + z2 (2) Bất đẳng thức (2) nên (1) Xảy dấu đẳng thức x = y = z = Đây nghiệm phơng trình Tất nhiên có cách giải khác: Ta biến đổi phơng trình cho trở thành x2 + y2 + z2 = x( y + z) 2x2 + 2y2 + 2z2 2xy 2xz = (x y)2 + (x z)2 + y2 + z2 = x=y=z=0 Ví dụ 13: Giải phơng trình: x + x = x2 6x + 11 (Bài - Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 12 vòng tỉnh Hoà Bình ngày 29 tháng 12 năm 1997) Lời giải tóm tắt: Xét hàm số y = x + x D = { xR: x[ 2; ] } (*) 2 Theo @, áp dụng bất đẳng thức (2): 2( a + b ) ( a + b )2 Ta đợc: 2(x + x) ( x + x )2 y2 x = x hay x = thoả mãn (*) (1) 2 Mặt khác ta thấy: x 6x + 11 = (x 3) + x (2) Từ (1) & (2) { x2 + x = x2 6x + 11 = x=3 16 Phần III: Kết luận rút từ thực tế Qua trình giảng dạy thực tế nhà trờng phổ thông, nhận thấy chuyên đề bất đẳng thức vấn đề khó, phức tạp thầy trò Việc vận dụng phơng pháp để chứng minh bất đẳng thức kết tổng hợp tất cảc phơng pháp, phơng mang tính đặc thù đơn điệu, toán lại có lời giải Song biết phát gốc vấn đề chỗ nào? Phát triển sao? Làm để phát huy trí tuệ học sinh qua toán Thử đề xuất vài ý kiến: Những suy nghĩ: - Gây hứng thú cho học sinh qua lời giải hay: Trớc hết giáo viên cần tìm nhiều lời giải, chọn lời giải hay nhất, đơn giản nhất, dễ hiểu đa đến học sinh theo hớng gợi mở vấn đề Không áp đặt, tránh chiều đơn điệu - Đi từ toán đơn giản, quen thuộc, từ phát triển sâu rộng gốc toán thành nhiều toán, đa dạng thể loại, phong phú hình thức - Biết sáng tạo tình mới, vấn đề cho toán Tìm, phát thêm nhiều tập áp dụng khác: Xin nêu lại số ý trình bày mục (phơng pháp sử dụng tính chất bất đẳng thức) phần II: Bất đẳng thức kép thờng gặp nhà trờng Nội dung bất đẳng thức nh sau: a; b ta có: @ (a + b ) a2 + b2 2ab Các bất đẳng thức: 2 2 2(a +b ) (a + b) (1) ( a + b) 4ab (2) 2 a + b 2ab (3) tơng đơng với @ tơng đơng với (a b)2 0, chúng xảy dấu đẳng thức a = b ý nghĩa nói lên mối quan hệ tổng hai số với tích nó, với tổng bình phơng hai số Để phát huy trí tuệ học sinh, học sinh khá, giỏi, cần khai thác thêm nhiều vấn đề nảy sinh từ gốc vấn đề nh bất đẳng thức @ chẳng hạn Ta vận dụng bất đẳng thức vào việc giải tập áp dụng: 17 2.1/ Bài toán 1: Nh ví dụ trình bày mục 3, xin đợc nhấn mạnh: ý thứ toán phát triển ý mà 2.2/ Bài toán 2: Cho a, b, c > Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc ví dụ trình bày lời giải theo bớc (1), (2), (3), (4) Sau xin giải theo cách khác: áp dụng bất đẳng thức (2) có: (a + b)2 4ab (b + c)2 4bc (c + a)2 4ac Từ suy ra: [(a + b)(b + c)(c + a)]2 64(abc)2 (5) Dễ dàng nhận thấy hai vế bất đẳng thức (5) không âm 2.3/ Bài toán 3: Giáo viên giúp học sinh phát triển thêm toán sở vận dụng ba bất đẳng thức trên: Chẳng hạn Chứng minh rằng: a, b, c số thực không âm, ta có: a4 + b4 + c4 + d4 4abcd Tóm tắt lời giải: áp dụng bất đẳng thức (3) ta có: a4 + b4 + c4 + d4 2a2b2 + 2c2d2 = 2(a2b2 + c2d2) Cũng theo (3) ta lại có (ab)2 + (cd)2 2abcd Nh ta có 2.4/ Bài toán 4: Một tứ giác lồi ABCD có tổng hai đờng chéo d d2 Chứng minh diện tích (S) tứ giác thoả mãn: S Lời giải: ( hình vẽ bên) Ta có S AC.BD B Theo bất đẳng thức (2) thì: AC.BD C O ( AC + BD) d = 4 2 d2 Từ hai kết S A D Chú ý: Dấu đẳng thức xảy AC BD AC = BD / Bài toán 5: Chứng minh a, b, c ta có: (a + b)2(b + c)2 4abc(a + b + c) Tóm tắt lời giải nh sau: 18 Có (a + b)2(b + c)2 = (ab + ac + b2 + bc)2 = [(ac +(a + b + c)b]2 áp dụng bất đẳng thức(2) cho hai số ac (a + b + c)b ta đợc: [(ac +(a + b + c)b]2 4ac [(a + b + c)b] ta khéo lựa chọn cặp số để vận dụng bất đẳng thức @ bất đẳng thức tơng đơng với Một vấn đề nảy sinh: Có thể gợi ý cho học sinh đề cho toán đợc không? Câu trả lời mang tính khẳng định có Tôi bạn tìm hiểu sau 2.6/ Bài toán 6: Các số thực a, b, c thoả mãn: { a+b+c =2 a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: a, b, c [ ; ] Lời giải tóm tắt: Ta chứng minh cho: a Các trờng hợp b, c lại chứng minh tơng tự Theo bất đẳng thức (1) ta có 2(b2 + c2) (b + c)2 2(2 a2) (2 a)2 2a2 4a + a2 3a2 4a Giải bất phơng trình cuối ta có điều phải chứng minh: a Các bạn cần khai thác thêm nhiều ví dụ áp dụng khác áp dụng bất đẳng thức Lời kết: Là giáo viên, đồng thời học sinh, tham gia giảng dạy nhiều năm, song thấy nhỏ bé, để có văn hoá toán học, phần nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lợng học tập học sinh với môn toán học Tôi mạnh dạn đề xuất số suy nghĩ lĩnh vực phát huy trí tuệ học sinh thông qua việc chứng minh bất đẳng thức Tôi xin ghi nhận cảm ơn ý kiến đóng góp bạn đồng nghiệp./ Cao Phong tháng 05 năm 2005 Ngời viết 19 [...]... hai bất đẳng thức cùng chiều) 2c < 0 thật là vô lý Có Nếu có đúng một số âm thì vế trái của bất đẳng thức đã cho có một số âm, nghĩa là bất đẳng thức đợc chứng minh Nếu không có số âm nào thì vế trái của bất đẳng thức đã cholà một số d ơng ta đã giải nh bớc (4) 14 2 Có thể đổi biến của bất đẳng thức: nh chúng ta đã thực hiện ở bớc (4) trong ví dụ đã nêu; nhân đây xin lấy thêm ví dụ khác: Ví dụ 10: Chứng. .. với (a b)2 0, chúng xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b ý nghĩa của nó là nói lên mối quan hệ giữa tổng hai số với tích của nó, hoặc với tổng các bình phơng của hai số đó Để phát huy trí tuệ của học sinh, nhất là học sinh khá, giỏi, chúng ta cần khai thác thêm nhiều vấn đề mới nảy sinh từ những cái gốc của vấn đề nh bất đẳng thức @ chẳng hạn Ta vận dụng bất đẳng thức này vào việc giải các bài... tạo ra tình huống mới, vấn đề mới cho mỗi bài toán 2 Tìm, phát hiện thêm nhiều bài tập áp dụng khác: Xin nêu lại một số ý đã trình bày ở mục 3 (phơng pháp sử dụng các tính chất của bất đẳng thức) phần II: Bất đẳng thức kép thờng gặp trong nhà trờng Nội dung của bất đẳng thức này nh sau: a; b ta luôn có: @ (a 2 + b 2 ) a2 + b2 2ab Các bất đẳng thức: 2 2 2 2 2(a +b ) (a + b) (1) 2 ( a + b) 4ab (2)... b2 + c2 = 2 Chứng minh rằng: a, b, c [ 0 ; 4 ] 3 Lời giải tóm tắt: Ta sẽ chứng minh cho: 0 a 4 Các trờng hợp b, c còn 3 lại chứng minh tơng tự Theo bất đẳng thức (1) ta có 2(b2 + c2) (b + c)2 2(2 a2) (2 a)2 4 2a2 4 4a + a2 0 3a2 4a Giải bất phơng trình cuối ta có điều phải chứng minh: 0 a 4 3 Các bạn cần khai thác thêm nhiều ví dụ áp dụng khác nữa khi áp dụng bất đẳng thức này 3 Lời... nhỏ bé, để có văn hoá toán học, phần nào đó nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, góp phần nhỏ bé của mình vào việc nâng cao chất lợng học tập của học sinh với môn toán học Tôi mạnh dạn đề xuất một số suy nghĩ trong lĩnh vực phát huy trí tuệ của học sinh thông qua việc chứng minh bất đẳng thức Tôi xin ghi nhận và cảm ơn những ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp./ Cao Phong tháng 05 năm 2005 Ngời viết... sử dụng ph ơng pháp chứng minh bất đẳng thức: f (x, y) 0 hoặc f (x, y) 0 rồi chỉ ra điều kịên cần và đủ xảy ra dấu đẳng thức Ta xét ví dụ sau : Ví dụ 12 Giải phơng trình x2 + y2 + z2 = x( y + z) Ta hãy chứng minh: x2 + y2 + z2 xy + xz (1) 2 2 2 (1) 2x + 2y + 2z 2xy 2xz 0 (x y)2 + (x z)2 + y2 + z2 0 (2) Bất đẳng thức (2) luôn đúng nên (1) cũng luôn đúng Xảy ra dấu đẳng thức khi x = y = z... cả thầy và trò Việc vận dụng các phơng pháp để chứng minh bất đẳng thức là kết quả tổng hợp của tất cảc các phơng pháp, không có một phơng nào mang tính đặc thù đơn điệu, không có một bài toán nào lại chỉ có một lời giải duy nhất Song chúng ta biết phát hiện ra cái gốc của vấn đề là ở chỗ nào? Phát triển nó ra sao? Làm thế nào để phát huy trí tuệ học sinh qua mỗi bài toán Thử đề xuất một vài ý kiến:... thứ và của bài toán là sự phát triển của ý mà thôi 2.2/ Bài toán 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a) 8abc ở ví dụ 3 đã trình bày lời giải theo các bớc (1), (2), (3), (4) Sau đây xin giải theo cách khác: áp dụng bất đẳng thức (2) có: (a + b)2 4ab (b + c)2 4bc (c + a)2 4ac Từ đó suy ra: [(a + b)(b + c)(c + a)]2 64(abc)2 (5) Dễ dàng nhận thấy cả hai vế của bất đẳng thức (5) không... ta khẳng định của một dự đoán toán học có liên quan đến số tự nhiên Có hai phơng pháp quy nạp toán học, đó là phơng pháp quy nạp hoàn toàn và không hoàn toàn Ví dụ 8: Chứng minh bất đẳng thức: 2n > n3 n ; n 10 (1) Lời giải tóm tắt: * Bất đẳng thức (1) đúng với n = 10 vì 210 = 1024 > 103 * Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là ta có: 2k > k3 Ta phải chứng minh Xét hiệu: ( k 10 ) (2) 2k + 1 > (k + 1)3... thức, phát huy tính sáng tạo trong mỗi cách giải, hình thành trí tuệ cho học sinh, đúng nh nhiều nhà toán học đã từng nói: Toán học biến hoá khôn lờng quả là không sai chút nào Trong quá trình hớng dẫn học sinh chứng minh bằng phơng pháp phản chứng cần chú ý đến việc lập mệnh đề đảo đối với kết luận mà bài toán yêu cầu sao cho phù hợp để quá trình chứng minh, suy diễn đợc thuận tiện 13 Song, việc chứng