Đang tải... (xem toàn văn)
Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đánh giá do Toán K57 THPT Chuyên Lương Văn Tụy biên soạn vào cuối năm . Phương trìnhHệ phương trìnhBất đẳng thức có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.Đây cũng chính là những phần quan trọng nhất của đại số.Nó thường xuyên xuất hiện trong kì thi tuyển sinh Đại Học (THPT QG) hay các kì thi HSG.Ta cần có những phương trình,hệ phương trình để dự đoán được điểm rơi của BĐT hay trong quá trình sáng tác một Bất đăng thức sẽ nảy sinh ra nhu câu tìm nghiệm của Phương trìnhHệ phương trìnhBất đẳng thức.Qua đấy có thể nói việc giải tốt PTHPT là rất quan trọng.Nhiều bài toán về PTHPTBĐT là sự che dấu của một BĐT nào đó.Chúng ta cần phải linh hoạt khi sử dụng BĐT vào giải PTHPT.Vì nếu không dùng đúng thì sẽ dẫn đến kết quả không như mong muốn.Giải PT bằng phương pháp bằng đánh giá chính là một sự kết hợp tuyệt vời giữa BĐT và PT Đã có rất nhiều tài liệu,sách viết về PT.Tuy vậy,những bài viết về Giải PT bằng phương pháp bằng đánh giá chưa đề cập toàn diện về như cách giải hay là phương pháp sáng tác.Vì vậy,trong tài liệu này sẽ đề đi sau vào cách giải PT bằng phương pháp đánh giá (Một trong những phương pháp hay và khó khi GPT) Hy vọng nó sẽ là tài liệu hay giúp cho các bạn hiểu rõ hơn về Phương pháp này Trong tài liệu này sẽ có ba mục: Mục 1:Nhắc lại một số BĐT hay dùng khi giải phương trình,phương pháp giải PT vô tỷ bằng phương pháp đánh giá Mục 2:Một số ví dụ và cách sáng tác phương trình bằng phương pháp đánh giá Mục 3:Tổng hợp bài tập Sai sót là điều không thể tránh khỏi trong bài viết này,vì thế xin trân trọng đón nhận mọi sự góp ý và nhận xét của các bạn và thầy cô.
CHUYÊN ĐỀ Giải Phương Trình Vô Tỷ Bằng Phương Pháp Đánh Giá Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình I.LỜI NÓI ĐẦU Phương trình-Hệ phương trình-Bất đẳng thức có mối quan hệ chặt chẽ với nhau.Đây phần quan trọng đại số.Nó thường xuyên xuất kì thi tuyển sinh Đại Học (THPT QG) hay kì thi HSG.Ta cần có phương trình,hệ phương trình để dự đoán điểm rơi BĐT hay trình sáng tác Bất đăng thức nảy sinh nhu câu tìm nghiệm Phương trình-Hệ phương trình-Bất đẳng thức.Qua nói việc giải tốt PT-HPT quan trọng.Nhiều toán PT-HPT-BĐT che dấu BĐT đó.Chúng ta cần phải linh hoạt sử dụng BĐT vào giải PT-HPT.Vì không dùng dẫn đến kết không mong muốn.Giải PT phương pháp đánh giá kết hợp tuyệt vời BĐT PT Đã có nhiều tài liệu,sách viết PT.Tuy vậy,những viết Giải PT phương pháp đánh giá chưa đề cập toàn diện cách giải phương pháp sáng tác.Vì vậy,trong tài liệu đề sau vào cách giải PT phương pháp đánh giá (Một phương pháp hay khó GPT) Hy vọng tài liệu hay giúp cho bạn hiểu rõ Phương pháp Trong tài liệu có ba mục: Mục 1:Nhắc lại số BĐT hay dùng giải phương trình,phương pháp giải PT vô tỷ phương pháp đánh giá Mục 2:Một số ví dụ cách sáng tác phương trình phương pháp đánh giá Mục 3:Tổng hợp tập Sai sót điều tránh khỏi viết này,vì xin trân trọng đón nhận góp ý nhận xét bạn thầy cô Mọi ý kiến thắc mắc gửi vào gmail:xuanhung312000@gmail.com Các thành viên tham gia viết chuyên đề Chủ biên:Đinh Xuân Hùng (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) Các thành viên tham gia viết chuyên đề: 1.Nguyễn Khánh Trường (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 2.Hoàng Trung Hiếu (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 3.Vũ Minh Hạnh (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 4.Tống Đức Khải (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 5.Nguyễn Thị Thu Trang(Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 6.Bùi Thị Thùy Linh (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 7.Phạm Thị Phương Loan (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 8.Đào Thị Thanh Huyền (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) 9.Lê Anh Quang (Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) Xin cảm ơn cô Ngô Thị Hoa (Cô giáo chủ nhiệm Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình) hướng dẫn ví dụ Phương Pháp Giải PT đánh giá.Cô người khởi xướng việc viết chuyên đề ♥ Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình♥ II Nhắc lại số BĐT hay dùng giải phương trình,phương pháp giải PT vô tỷ phương pháp đánh giá Các BĐT hay dùng [1].Bất đẳng thức AM-GM Cho n số thực dương a1 , a2 , , an ta có BĐT a1 a2 an n.n a1.a2 an Dấu “=” xảy a1 a2 an [2].Bất đẳng thức Cauchy-Schwar (C-S) Cho số a1 ; a2 ; ; an b1 ; b2 ; ; bn ta có BĐT (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) a1b1 a2 b2 an bn a a a Dấu “=” xảy n b1 b2 bn Một hệ bất đẳng thức Cauchy-Schwar hay dùng: an2 a1 a2 a n a22 b2 bn b1 b2 bn b1 a1 2 Với điều kiện b1 ; b2 ; ; bn số dương Dấu “=” xảy a a1 a2 n b1 b2 bn [3].Bất đẳng thức Minkowski (Hay gọi phương pháp tọa độ) Cho số a1 ; a2 ; ; an b1 ; b2 ; ; bn ta có BĐT a12 a 22 a n2 b12 b22 bn2 Dấu “=” xảy a1 b1 2 a2 b2 2 an bn 2 a a1 a2 n b1 b2 bn [4].Bất đẳng thức Holder Với m dãy số dương a1,1 ; a1, ; ; a1,n , a 2,1 ; a 2, ; ; a 2,n , , a m,1 ; a m, ; ; a m.n ta có m n n , j m , j j 1 i 1 i 1 m Dấu “=” xảy m dãy tương ứng tỉ lệ.Bất đẳng thức Cauchy-Schwar hệ trực tiếp bất đẳng thức Holder với m=2 Với a,b,c,x,y,z,m,n,p số thực dương ta có: a b c x y z m n p axm byn czp 3 Đây hệ hay dùng BĐT Holder m=3 Phương pháp giải f ( x) g ( x) Thông thường ta đánh sau f ( x) C ( C ) f ( x) g ( x) C g ( x ) C ( C ) Hoặc đánh giá trực tiếp f ( x) g ( x); f ( x) g ( x) Từ tìm dấu “=” xảy đẳng thức (tức giá trị biến để thỏa mãn điều kiện xảy dấu bằng) Ngoài số ta sử dụng điều kiện nghiệm để đánh giá Đôi muốn hét to với giới may mắn làm bạn với bạn, muốn im lặng, sợ đem bạn rời khỏi -Khuyết danh Ở có người mơ nụ cười bạn, có người cảm thấy có mặt bạn đáng giá, bạn cô đơn, buồn rầu ủ rũ, nhớ ràng có đó, nghĩ bạn Somewhere there's someone who dreams of your smile, somewhere there's someone who finds your presence worthwhile, so when you are lonely, sad and blue, remember there is someone, somewhere thinking of you Khuyết danh ♥ Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình♥ III Một số ví dụ phát triển phương trình vô tỷ phương pháp đánh giá Ví dụ 1.Giải phương trình: x x (1) Tập xác định 4;6 Bình luận: Đây toán có nhiều cách giải (Bình phương vế,liến hợp,…) ta thử trình bày toán qua phương pháp đánh giá xem sao? Bài làm Áp dụng BĐT C-S cho số x ; x (1;1) ta có: (1 1)(6 x x 4) ( x x ) Đẳng thức xảy x x x x x 5(TM ) 6 x x4 mà x x x x Dấu xảy x=5(2) Từ (1)(2) x Vậy x=5 Nhận xét: Tại lại đưa toán làm ví dụ đầu tiên?Vì muốn nói đến ưu điểm,nhược điểm phương pháp đánh giá Ưu điểm:Cách giải nhanh,gọn nhẹ,không phải tính toán vất vả Nhược điểm:Không phương pháp giải PT vô tỷ khác phương pháp đánh giá dùng được.Bạn không tỉnh táo để sử dụng chắn dễn đến việc thiếu nghiệm không dẫn đến kết mong đợi.“Trăm nghe không thấy” thử làm PT tương tự Ví dụ Giải phương trình: x x TXĐ 1;4 Áp dụng BĐT C-S cho số x ; x (1;1) ta có: Dấu xảy x x x 3(TM ) x x (4 x x 1)(1 1) x x 10 x x 10 ?? Đến tiếp nhỉ?Vì vế nhỏ 10 phương trình xót nghiêm x=0 Đúng dạng mà nếu dùng phương pháp đánh giá để giải dẫn đến việc không giải thiếu nghiệm Chú ý:Dạng phương trình: a x m b n x P (với a,b,m,n số bất kì).P số P=f(x) -Đầu tiên dùng máy tính Casio (cách nhẩm bạn biết ) để nhẩm nghiệm -Nếu PT có nghiệm sử dụng phương pháp đánh giá không khuyên bạn đừng sử dụng nhé! -Cách làm:Tương tự VD1 Ví dụ 2.Giải phương trình: x x x 10 x 27 (1) TXĐ 4;6 Bình luận VD2 với VD1 có đặc điểm chung có ( x x ) vế trái có nghiệm 5.Nhưng dùng phương pháp bình phương liên hợp PT VD2 chắn khó xử lí so với VD1.Tại không dùng phương pháp đánh giá nhỉ?(Dạng PT vừa nêu mà) Thử nhé! Bài làm Áp dụng BĐT C-S cho số x ; x (1;1) ta có: (1 1)(6 x x 4) ( x x ) Đẳng thức xảy x x x x x 5(TM ) 6 x x4 mà x x x x Dấu xảy x=5(2) Xét hiệu: x 10 x 27 ( x 5) x 10 x 27 Dấu xảy x=5(3) Từ (1)(2)(3) x Vậy x=5 Nhận xét:Đó ưu điểm sử dụng phương pháp đánh giá để giải phương trình Vô tỷ Ví dụ 3.Giải phương trình: x 11x 36 x 18 27 x 54 (1) ĐKXĐ: x Bình luận Phương trình có số mũ vế to.Nhưng phương trình có nghiệm bên vế trái tách thành 3.3.3.( x 2) Sao không thử sử dụng BĐT AM-GM nhỉ? Bài làm Áp dụng BĐT AM-GM cho số không âm 3;3;3 (x-2) ta được: 3.3.3.( x 2) x x Dấu “=” xảy khi x x 5(TM ) x 27 x 54 Dấu “=” xảy x=5 (2) Xét hiệu: x 11x 36 x 18 x ( x 5) ( x 1) 0x TXĐ x 11x 36 x 18 x (3) Dấu “=” xảy x=5 Từ (1)(2)(3) x Chú ý:Cách sáng tác PT dạng này: Ta xét hai BĐT có dấu “=” xảy chẳng hạn x=3 x 1 ta có: (4 x 4) 2 (4 x 4) x 13 (1) Và x 3x x 27 ( x 3) ( x 3) 0(2) 4 4 Với x 1 dấu “=” (1) (2) xảy x=3 Từ (1)(2) x 3x x 27 ( x 13) x 3x 8x 40 ta toán sau: Ví dụ 3.1.Giải phương trình sau: x 3x 8x 40 4 x (1) ĐKXĐ: x 1 Lời giải: Áp dụng BĐT AM-GM cho số không âm ;2 ;2 ; (4 x 4) ta được: 4 (4 x 4) x 13 (2) Dấu “=” xảy x 16 x 3(TM ) 4.2 4.2 4.(4 x 4) Xét hiệu: x 3x x 27 ( x 13) x 3x 8x 40 ( x 3) ( x 3) x 3x x 27 x 13 Dấu “=” xảy x=3(3) Từ (1)(2) x Vậy x=3 Nhận xét:Với cách sáng tác bạn sáng tác nhiều PT dạng Ví dụ 4.Giải phương trình: 4x 4x (1) ĐKXĐ: x Lời giải: nghiệm PT (1) 4x 1 Với x x x 1( KTM ) 2 4x Vậy x= Ta thấy x Nhận xét Đây dạng PT hay gặp.Và cách giải chung dự đoán nghiệm sau sử dụng phương pháp đánh giá để giải Tổng quát: x x0 nghiệm ta cần chứng minh với x x0 x x0 không thỏa mãn.Để Ta đưa kết luận x x0 nghiệm Ví dụ tương tự: Ví dụ 4.1.Giải phương trình: x x x TXĐ:D=R Lời giải: Ta thấy x=-2 nghiệm phương trình Thật vậy: VT VP x 1 Với x>-2 x x x x 1 0( KTM ) x x 1 Với x2 VT 3x x x 3x x x 3( x 2) VP( KTM ) Với x0 x Nên từ (1) x> Áp dụng bất đẳng thức Cauchuy ta có: 16 x4 + = 3 2.4 x(4 x 1) x x 16 x4 + - 4x -4x -3 0 16 x4 - 4x -4x +2 (2 x 1)2 (2 x x 1) 2x -1 = x = (thỏa mãn x> 0) 3) ĐKXĐ : x Ta thấy x =2 nghiệm phương trình (1) Ta chứng minh nghiệm (thỏa mãn ĐKXĐ) x2 x x 1 2 * Nếu x >2 x 1 1 8 8 x 1 VT (2) x x 2.22 2.2 VP (3) Từ (2) (3) Vô lý * Nếu x VT ; VP < Pt (1) 1 Vô lý Vậy x = nghiệm phương trình cho 4) x x2 x x2 x 1 x2 x 1 (1) ĐKXĐ: x 2 Đặt t = x 1 t Phương trình (1) trở thành: t t 2t 2t 1 Từ (2) 2t t (2) Bình phương vế (2) ta được: t t t t 4t 2t 1 t 2t 2t 1 1 2t 1 t t t 1 Vì t nên t tt Ta có: t 1 2t 1 2t 1 (3) (4) 2t 1 2 Từ(3), (4), (5) (5) t 1 x 1 x2 5) (thỏa mãn ĐKXĐ) 3x x x x x 2 (7 x x 4) (1) x 1 ĐKXĐ x Áp dụng bất đăng thức Bunhiacopxki ta có: ( 3x2 1 x2 x x x2 )2 (2 + x2)(3x2-1+x2-x+x2+1) = ( 2+ x2)(5x2-x) VT2 VT < x 5x x (2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (7 x x 4) = (5x2 – x +(x2+2).2) (7 x x 4) x 5x VP x 5x 2 2 x 2.5x 2 x x x (3) x2 2 3x x x Từ (2) (3) VT = VP x 2 5x x 2( x 2) x = -1 Vậy x = -1 nghiệm phương trình cho 6) ĐKXĐ x 1 x3 3x x 40 = 4 x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 4 x = 4 4.4.4( x 1) x x 13 x3 3x 8x 40 x 13 x3 3x x 27 (x-3)2(x-3) (x-3)2 ( x+3> x 1 ) x -3 = x = ( thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x =3 nghiệm phương trình cho 7) 27 x 24 x 28 27 28 27 x60) 1 x (điều kiện : 27 x 24 x 3 24 81x 72 x 28 3(9 x 4) 1 (9 x 4)2 3(9 x 4) 2 1 Điều kiện: x x Đặt x y Khi (1) trở thành; 24 y2 3y y2 3y 1 2 1 6y 3 Sử dụng bất đẳng thức cô si ta được: 6 y y2 y2 ( y 6) 4 y 4( 4) ( y 2) 0 3 Ta lại có ( y 6)2 nên y y y4 thỏa mãn điều kiện ban đầu Từ x 9 Thử lại x nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x 6y 8) x y 1 y x 1 y 1 x xy ĐK x y 1 y x 1 3xy xy x y xy y x x x y y 1 y x x 1 Do y 1 1 y y y x 1 x 1 x x 1 1 y Dấu “=” xảy y = 2 Dấu xảy x = Vậy nghiệm PT x=y=2 9) x2 x 1 x2 x x2 x 2 1 x x 1 x x x 2 (1) 2 x x Ta có ĐK: x x Khi áp dụng: a a 1 " " a x2 x x2 x Ta có: x2 x 1 x2 x 2 x2 x 1 x2 x x Mặt khác: x x x 1 x x x 1 x 1 x Vậy x2 x x2 x x2 x x x2 x x x 1 x 1 x 1 Vậy x=1 nghiệm phương trình 10) x2 x x3 x x 2 x2 x ( x x 1)(2 x 1) 2 (1) Ta có x2 - x + > với x suy ĐK x 1 Áp dụng BĐT cho hai số x2 – x + > 0; 2x + > Ta có: ( x x 1)(2 x 1) x2 x x x2 x 1 2 Dấu “=” xảy x2 – x + = 2x +1 x2 – 3x = x = ™ x=3 ™ Vậy S = 0;3 11) x2 (ĐK : x4 2) (x 0) x x x3 x2 2 x x 1 x4 x4 x x2 x 1 Ta cã: x Dấu xảy x x x 4 x2 (1) x x (1 ) x x x x x x 4.2 x x 16 Mặt khác: 4 4 2 x x Dấu “=” xảy x = 4 16 2 2 4 (2) Từ (1)(2) x 12) x 1 x x3 Giải: Nhận thấy x=0 nghiệm phương trình +Nếu x0 VP1 nên phương trình vô nghiệm Vậy x=0 nghiệm phương trình 13) x 28 23 x 23 x x Hướng dẫn: TXĐ: x Nhận thấy x=2 nghiệm Dễ thấy:1 x2 phương trình vô nghiệm Vậy x=2 nghiệm PT 14) Giải phương trình: x2 3x x HD:ĐK: x 1;2 (1) PT x2 3x x (2) Từ (2) ta có: x 1 x 1 x 1 x (3) Từ (1) (3) Ta có x = vào (2) thoả mãn Vậy x = 15) HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm phương trình Ta cần chứng minh nghiệm 4 3 x 2x Tương tự với < x < 2: 6 3 x 2x Thật vậy:Với x < : Vậy x=3/2 nghiệm phương trình 6 3 x 2x 16) HD:ĐK: x (1) 1 1 x 1 4 x 5 x x (*) Ta có: VP(*) = x x (2) Ta có: Từ (1) (2) ta có:x = nghiệm 17) HD: ĐKXĐ: x x Giả sử x nghiệm phương trình.Khi đó: x x Do đó: x Mũ hai vế PT ta được: x x x 12 x x VT x x (6 x 1) 12 x VP(x ) PTVN 19) HD: ĐKXĐ:x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4x 11 2x 8x 8x 2x x 1 8x x 4x4 – 3x2 +5x 4x 4x4 – 3x2 +x x( x 1)(2 x 1)2 4x 1 (2x-1)2 (do x(x+1) > x 2x – 1= x= Vậy phương trình cho có nghiệm x = 20) Ta có: x2 x x2 x x2 6x x2 16x 64 x 1 x x x Có: x x x x -x-1-x-2+x+3+x+8=8 x x 1 x x 2 Dấu”=” xảy x x 3 x x 8 -3 x -2 Vậy nghiệm phương trình : S={x -3 x -2 } 21) x (ĐKXĐ: x ) +Dễ thấy x=1 nghiệm phương trình +xét x>1 Ta có x x > x +xét x0) x 8x2 x 8x2 8x2 1 1 1 1 8x2 x x x x x 8x 4 1 1 23 2 5 x x x x x x x x x 1 x 8 x 32 x x x 45 x Thử lại thấy x thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x 23) x x (điều kiện : x ) Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: 1 8x 2x 2 4x Dấu “=”xảy x 1x 16 8 x Thử lại: x thỏa mãn 16 Vậy phương trình cho có nghiệm x 16 24) x2 2x x3 x (điều kiện x ) Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: 1 x x2 x2 x 4 x( x 4) 2 2 x 2x x 4x Suy ra: ( x 2)2 Ta lại có ( x 2) 0, x nên x x Thử lại x nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x x3 3x 25) x6 3x4 1(điều kiện: 3x x ) x 3x x +dễ thấy với x (thỏa mãn điều kiện ẩn) x 1 +nếu x x6 x6 Và 3x4 3x4 Do đó: x6 3x4 +nếu x x6 x6 Và 3x4 3x4 Do đó: x6 3x4 Vậy phương trình cho có nghiệm x1 x2 1 26) x2 x x2 x x2 (điều kiện: x R ) Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có: x2 x 9 x2 4x x2 4x x Dấu “=” xảy khi: x x x 4 9( x x 9) x2 x Tương tự ta có: x x x Dấu”=” xảy khi: x x x x2 Do đó: x x x x Dấu”=” xảy x 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x 27) x2 4x 12 x2 2x x2 (điều kiện: x x 12 x x ) Ta thấy: x2 x 12 ( x2 x 3) x Nên ( x x 12 x x 3)2 x x 12 ( x x 3) ( x x 12)( x x 3) ( x 2)( x 6) (3 x)( x 1) (3 x)( x 1)( x 2)(6 x) ( x 1)(6 x) ( x 2)(3 x) (3 x)( x 1)( x 2)(6 x) ( ( x 1)(6 x) ( x 2)(3 x)) x x 12 x x Lại có: x Do đó; x2 4x 12 x2 2x x2 ( ( x 1)(6 x) ( x 2)(3 x)) x x0 Vậy phương trình cho có nghiệm x 28) x2 x x x2 x (điều kiện: x x x x hay x ) Áp dụng bất đẳng thức cô- si ta được: x2 x 1.( x x) x x2 ( x x ).1 2 Suy ra: x2 x x x2 x x x Dấu “=” xảy khi: hệ vô nghiệm x x Vậy phương trình cho vô nghiệm 29) x 2 x x x 1 3x x (điều kiện: x 2 ) x x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars(hay bu-nhi-a) ta được: x x x 1 ( x 1)(( x 2) x 1) x x x 1 ( x 1)(3x 1) x x x 1 ( x 1)(3x 1) 1 x Dấu”=”xảy : x x x x x x 1 x 1 thỏa mãn phương trình cho 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x Ta thấy x 30) 3 25 x(2 x 9) x (điều kiện: x ) x 25 x (2 x 9) x 3 25 x (2 x 9) x x x Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: x x (2 x 9) 3 25 x (2 x 9) Dấu”=”xảy khi: 5x2 x2 x Thử lại thấy x nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x1 x2 31) x 2x2 x (điều kiện: x x ) Ta có x x ( x 1)(1 x) 1 x Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta được: x x x 2x2 1 x 2x x2 2 2 Dấu”=” xảy x Thử lại x nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x=0 32) x x2 x2 (điều kiện : x 1) Từ điều kiện ẩn ta thấy: x x2 1 x2 Dấu đẳng thức xảy x 1 33) x2 1 x x 1 x2 ( điều kiện : x ) ta thấy x không nghiệm phương trình chia hai vế cho x ta lại có x2 x 1 2 x x x2 1 dấu đẳng thức xảy x x2 2x 1 dấu đẳng thức xảy x x x2 1 2x 1 dấu đẳng thức xảy x x x Ta thấy x thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x Dó đõ 34) x x2 x x3 3x (điều kiện: x ) x ( x x 1) x x x 1 ( x 1)2 x x x 1 ( x 1)2 x x x 1 ( x 1)2 ( x 1) ( x 1)2 ( x 1) ( x 1)2 ( x 1) Từ điều kiện xác định suy ra: ( x 1)2 x x x 1 Dấu đẳng thức xảy x ( x 1) ( x 1) Ta thấy x=1 thỏa mãn phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x 35) x x2 x x x (điều kiện x 1 ) x 2x 2x x2 x 1 x x2 x2 x x 2x 2x x2 x 1 x ( x 1)(3 x 2) x 2x 2x x2 x 1 Từ điều kiện ẩn x ta có 2x x2 x Ta xét trường hợp : 1 x ( x 1)(3x 2) 1 x ta có : 0 x 2x 1 2x x2 x Th2: x thay vào phương trình cho thỏa mãn 1 x ( x 1)(3 x 2) 0 Th3: x ta có: x 2x 1 2x x2 x Th1: Vậy phương trình cho có nghiệm x Hãy thử làm ý tương tự x x 3x x 36) 2 x x x (điều kiện: x ) 1 x 2 x x 1 x 1 x Dấu đẳng thức xảy x (thỏa mãn phương trình cho) Vậy phương trình cho có nghiệm x Dễ dàng chứng minh được: 37) x2 1 ( x ) (điều kiện: x ) x x x Dùng bất đẳng thức bunhiacopski dễ dàng chứng minh được: x x2 1 2 x x 1 x x2 x x Và x x2 Dấu”=” xảy khi: 1 x 1(thỏa mãn phương trình cho) 2 x x Vậy phương trình cho có nghiệm x Mời bạn tự giải tập sau: x3 11x2 25x 12 x2 x 1 13 x x 16 x x2 x x 2( x 0) x2 x x x x 2x x2 x x x x3 x x x2 x4 x4 x( x x ) x “Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief Allow life to replenish you When sorrow comes it seems impossible - but new joys wait to fill the void.” _Pam Brown _ Sự mát khiến trống rỗng - học cách không để đau khổ đóng lại trái tim tâm hồn Hãy để đời đổ đầy lại bạn Dưới đáy u sầu, dường điều - niềm vui chờ đợi để lấp đầy khoảng trống Love begins with a smile, grows with a kiss, and ends with a teardrop Tình yêu bắt đầu với nụ cười, lớn lên với nụ hôn, kết thúc giọt nước mắt Khuyết danh _ "Các giảng giáo sư, cho dù có đầy đủ, xúc tích đến đâu, có chứa chan tình yêu tri thức thân giáo viên đến đâu, thực chất, mà nói, chẳng qua chương trình, lời dẫn để điều chỉnh trật tự nhận thức sinh viên Người biết ngồi nghe giáo sư giảng thân lòng không cảm thấy khát khao đọc sách, nói tất điều người nghe giảng trường đại học tòa nhà xây cát mà thôi." - I.A Gontcharov - ♥Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy ♥ V.Lời Kết Lần xin cảm ơn bạn thầy cô giáo đọc tài liệu này.Hy vọng tài liệu hay phương pháp sử dụng kĩ thuật đánh giúp người có thêm cho phương pháp mạnh giải phương trình Mặc dù dành nhiều thời gian trau truốt chuyên đề Tuy vậy,tài liệu gặp sai sót ví dụ,bài tập,lời giải.Mong người thông cảm góp ý vào gmail nhóm Chúc người mạnh khỏe thành công Thay mặt, ĐINH XUÂN HÙNG CHÚC MỌI NGƯỜI MỘT NĂM MỚI 2016 HẠNH PHÚC VUI VẺ,AN KHANG,THỊNH VƯỢNG Happy New Year-2016 Cấm hình thức lưu tài liệu chưa có cho phép Một số tài liệu tham khảo: [1].Chinh phục phương trình-Bất phương trình-Lovebook [2].Sáng tạo phương trình,bất phương trình,hệ phương trình [3].Tạp chí toán học tuổi trẻ Một số trang web học tập hay [1].Diễn đàn Toán học: http://diendantoanhoc.net/forum/index [2].Diễn đàn K2pi: http://k2pi.net.vn/ [3].Diễn đàn BoxMath: http://boxmath.vn/forum/ [4].Diễn đàn THPT: http://diendanthpt.16mb.com/index.php Và công cụ tốt cho bạn nhẩm nghiệm phương trình https://www.wolframalpha.com/examples/Math.html Mình xin kết thúc chuyên đề đây.Mong nhận nhiều ủng hộ bạn TRY YOUR BEST AND YOU WILL SUCCEED ♥Toán K57-THPT Chuyên Lương Văn Tụy ♥ [...]... số a,b dương Bài làm Biến đổi phương trình thành: 2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 1 2( x 2) x 2 3x 2 2( x 2) 2 x 2 1 0 Sử dụng đánh giá trên ta có x 2 3x 2 0 x 2 2( x 2) 0 Thử lại x=-2 là nghiệm của phương trình Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-2 Đó là một số Ví dụ để làm rõ phương pháp đánh giá khi giải phương trình vô tỷ. Hy vọng những ví dụ trên phần... 2; x 3 1 1 Vậy VP 1 nên phương trình vô nghiệm + Nếu x>0 thì VP1 nên phương trình vô nghiệm Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình 13) 3 x 2 28 23 x 2 23 x 1 x 2 9 Hướng dẫn: TXĐ: x 1 Nhận thấy x=2 là nghiệm Dễ thấy:1 x2 phương trình vô nghiệm Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của PT 14) Giải phương trình: x2 3x 2 x 1 2... (như lời giải bên trên).Các bạn cũng hoàn toàn có thể sáng tác được những PT giải quyết theo bài toán này (những dạng PT được giải theo cách này thường rất hay và khó) Ví dụ 7 .Giải phương trình: 4 x 2 x 10 4 2 2 x x 7 8 x 3 (1) ĐKXĐ: x 1 Bình luận PT trên là dạng PT căn lồng trong căn.Đối với dạng PT này cách tối ưu nhất là giải bằng phương pháp đánh giá. Vì hầu hết các phương pháp như... (1)(2)(3)(4) x 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-1 Ví dụ 8 :Giải phương trình: 2 2 x 1 x x9 ĐKXĐ: x 0 Bài làm Áp dụng BĐT C-S ta có: 2 1 x 1 x 2 ( x 9) VT 2 2 x 1 ( x 9) VP x 1 x 1 1 x x 1 2 Dấu bằng xảy khi 2 2 x 1 x 1 x x 1 2 2 x 8 x 1 1 x (TM ) x 7 x 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x Ví dụ 9 .Giải phương trình: 2 x 3... nhất x Ví dụ 9 .Giải phương trình: 2 x 3 1 7 1 1 1 3 3 x3 2 2 2 ĐKXĐ: x 3 Điều kiện phương trình có nghiệm là x>0 Bình luận:Lại là kiểu ‘căn lồng trong căn’.Và như đã nói phương pháp tốt nhất để giải loại PT này chính là phương pháp đánh giá. Thử thôi! Bài làm Đặt a 1 1 3 x 3 thì ta có hệ phương trình 2 2 1 3 a 2 x 3 2 2 a 3 1 3 x 2 1 1 1 3 a 3 3 x Mà f (t )... mình xin cảm ơn các bạn cũng như các thầy cô giáo đã đọc tài liệu này.Hy vọng nó sẽ là tài liệu hay về phương pháp sử dụng kĩ thuật đánh giá cũng như giúp mọi người có thêm cho mình một phương pháp mạnh khi giải phương trình Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian cũng như sự trau truốt về chuyên đề Tuy vậy,tài liệu có thể gặp những sai sót trong ví dụ,bài tập,lời giải. Mong mọi người thông cảm và góp ý vào... dụ trên phần nào giúp các bạn có thể hiểu và vận dụng được phương pháp đánh giá khi giải phương trình Để các bạn có thể nắm rõ cũng như luyện kĩ năng thì mình xin được nêu ra một số Bài tập và các lời giải tóm tắt "Nhân cách của người thầy là sức mạnh có ảnh hưởng to lớn đối với học sinh, sức mạnh đó không thể thay thế bằng bất kỳ cuốn sách giáo khoa nào, bất kỳ câu chuyện châm ngôn đạo đức, bất kỳ... VUI VẺ,AN KHANG,THỊNH VƯỢNG Happy New Year-2016 Cấm mọi hình thức sao lưu trong tài liệu khi chưa có sự cho phép Một số tài liệu tham khảo: [1].Chinh phục phương trình- Bất phương trình- Lovebook [2].Sáng tạo phương trình, bất phương trình, hệ phương trình [3].Tạp chí toán học và tuổi trẻ Một số trang web học tập hay [1].Diễn đàn Toán học: http://diendantoanhoc.net/forum/index [2].Diễn đàn K2pi: http://k2pi.net.vn/... Đặt b 3 x ta có hệ phương trình 2 2 x 3 b 2b 3 x Giả sử x a 2 x 2a 3 Giả sử x b 3 b 3 x b x b x Hay 2 x 3 x 4x 2 x 3 0 x 1(TM ) x 3 ( KTM ) 4 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=1 Ví dụ 10 .Giải phương trình: 2x 2 1 x 2 3x 2 2x 2 2x 3 x 2 x 6 Bình luận:Đối với bài này ta sử dụng một đánh giá rất ít gặp f ( x)... như bình phương, liên hợp,ẩn phụ tối với bài này đều không được Bình phương thì số mũ của PT sau khi bình phương mất hết căn là quá to.Liên hợp có thể giúp ta tìm được một nghiệm nhưng còn bên trong căn thì quá kho xử lý.Ẩn phụ thì rất khó phát hiện để tìm ra ẩn phụ thích hợp PT trên có nghiệm duy nhất x=-1 càng khiến cho ta tin rằng PT trên hoàn toàn được giải quyết bằng phương pháp đánh giá. Vậy thử