MỘT SỐ BÀI PHÂN TÍCH LƯỢNG GIÁC CHỌN LỌC 11  10sin x  10cosx  cos2x  [Đề số 10– Chinh phục đề thi THPT quốc gia môn Toán]  cos x Điều kiện: cos x  1  x    k2 Phương trình cho tương đương với: Câu Giải phương trình 11  10sinx  10cosx  (cos2 x  sin2 x)   2cosx  sin2 x  10sinx   cos2 x  8cosx  sin2 x  10sinx  25  cos2 x  8cosx  16 sinx   cosx  sinx  cosx  9   (sinx  5)2  (cosx  4)2   sinx    cosx sinx  cosx  1   1 (Vô nghiệm) +) Với sin x  cos x  9  sin(x  )      x     k2    x    k2 4    +) Với sinx  cosx  1  sin  x        4  x           k2   x    k2     4  Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình x    k2 Định hướng: Ở toán lại xin đề cập thủ thuật giải phương trình lượng giác  Nhẩm hai nghiệm đẹp x   x   (lần lượt ứng với nhân tử A’ (sinx + 1), (cosx + 1)), hai nhân tử không khả quan (thực phép thử rõ) Không thể áp dụng phương pháp dự đoán nhân tử thông thường, ta chuyển sang dùng phương pháp đoán “mới” ý tưởng ban đầu quay trục hệ trục Oxy góc để đưa hệ trục x' Ox’y’có thể dễ dàng đoán nghiệm hơn, sau dùng kĩ đoán nhân tử hệ trục Ox’y’ Cuối dùng liên hệ cung hai trục tọa độ Oxy Ox’y’ để quy nhân tử hệ trục Ox’y’ nhân tử hệ trục Oxy x O y' B’ Biểu diễn cặp nghiệm lên đường tròn lượng giác Trong toán hai điểm A’, B’ Ta chọn hệ trục Ox’y’ cho Ox’ phân giác góc A’OB’ Lúc so với hệ trục Oxy ban đầu, hệ trục quay góc  (theo chiều dương)    Trong hệ trục Ox’y’ điểm A’ biểu diễn cho nghiệm , điểm B’ biểu diễn cho nghiệm Như vậy, 4 hệ trục Ox’y’ đoán nhân tử cosx’ − = (*) Một điểm đường tròn lượng giác biểu diễn cho giá trị lượng giác Thế hai hệ trục khác giá trị lượng giác mà điểm biểu diễn khác (ví dụ điểm A’ biểu diễn cho giá trị   hệ trục Oxy, lại biểu diễn giá trị hệ trục Ox’y’) Dựa vào điều đưa liên hệ giá trị lượng giác biểu diễn trục tọa độ khác nhau, cụ thể toán x'  x   Như để có nhân tử với biến x cần thay liên hệ vào (*), ta được:    cos  x   − =  sinx + cosx + = 4  Vậy (sinx + cosx + 1) nhân tử mà ta cần dự đoán Việc lại ta thử phân tích nhân tử mà thôi! Bài tập tương tự: Giải phương trình: sin2x – 9sinx + – 6cos2x + 3cosx = | Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim Bài Giải phương trình (1 − sin x) cos x = √3 (1 + sin x)(1 − sin x) sin x ≠ Phương trình tương đương với: Điều kiện: sin x ≠ − cos x − sin x cos x = √3(1 − sin x + sin x − sin2 x) (𝐐𝟏) ⟺ cos x − sin 2x = √3 + √3 sin x − 2√3 sin x (𝐐𝟐) ⟺ −√3 sin x + cos x = sin 2x + √3(1 − sin2 x) (𝐐𝟑) 1 √3 √3 ⟺− sin x + cos x = sin 2x + cos 2x 2 2 5π π ⟺ sin (x + ) = sin (2x + ) π 5π π x = − k2π x+ = 2x + + k2π ⟺[ [ π k2π (k ∈ Z) 5π π x= + x+ = π − (2x + ) + k2π 18 π 2kπ  Đối chiếu với điều kiện, ta thấy có họ nghiệm x  thỏa mãn 18 Bình luận: Bài toán toán phương trình lượng giác quen thuộc với xuất √3 tất nhiên phương pháp √3 lại lên tiếng Đây phương pháp giải phương trình lượng giác Nắm được, gặp có dung phương pháp ta giải Mọi học sinh nắm … Thêm tư giúp ta luôn làm ăn may làm đươc Ý đồ biến đổi BT dạng kiểu như: Dạng đối xứng: sin a + √3 cos b = sin b + √3 cos b , … Dạng không đối xứng: sin a + √3 cos a = cos b, … Sau chia cho π π sin (a + ) = sin (b + ) 3 π π π Dạng không đối xứng: sin (a + ) = cos b ⟺ sin (a + ) = sin ( − b) 3 Ở đây, a, b thường x, 2x, 3x 4x tức có không nhiều hướng gây nhiễu cho Thường tùy toán cụ thể, ta phát nhanh a, b Sau nhiệm vụ lại, ta biến đổi cho cung a, b toán giải Việc biến đổi không khó khăn ta nắm vững công thức tóm tắt phần đầu Nếu không dự đoán a, b ta thử, không đổi hướng a, b khác Mất nhiều thời gian kiểu Cuối cùng, chuyển a, b sang vế PT chia Dấu hiệu: Những giải PTLG mà xuất √3 giải theo phương pháp Giải đáp: Q1: Thấy ngoặc phá Q2,Q3: Làm cung x, 2x bậc Các em luyện thêm số sau: Dạng đối xứng: a) sin x + cos x sin 2x + √3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x) b) sin x + cos x sin 2x + √3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x) sin x − sin 2x c) = √3 (cos x − cos 2x) | Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim Bài 3: Giải phương trình tanx.cos3x  2cos2x   (sin2x  cosx )  2sinx   5  k2, k  ¡ hay x    k2, x   k2, x  6 Khi phương trình cho tương đương với sin x(4cos2 x  3)  4cos2 x   3cosx(2sin x  1)  2sin x (sin x  1)(1  4sin2 x)   cos x(2sin x  1)  (sin x  1)(1  2sin x)  3cosx(2sin x  1)  2sin x Điều kiện: cosx  0, sinx    5  sinx   2sinx    x    k2, x    k2    sinx   3cosx  x       x    k2, x     k2    6  5  k2, (k  ℤ) Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình x    k2, x   6 Chú ý: Công thức nhân ba thường hay sử dụng việc phân tích nhân tử:     +) sin3x  3sin x  4sin3 x  sin x  4sin2 x  sin x 4cos2 x   sin x 2cos x  12cosx  1 +) cos3x  4cos3 x  3cos x  cos x 1  2sin x 1  2sin x  Bài Giải phương trình: cos x(cos x  2sinx)  3sinx(sinx  2)  [Đề số 51 – Chinh phục đề thi THPT quốc gia sin2x  môn Toán tập 2] Định hướng: Tất nhiên điều kiện thiếu! Hình thức không xa lạ nữa, với dấu ngoặc “thừa” phương trình chúng nhắc ta phá mà thôi! Khi quy đồng rút gọn sin2x 2 hai vế, ta đủ tỉnh táo để dùng công thức cos x   sin x để quy phương trình phương trình ẩn t  sin x Lời giải: Điều kiện: sin2x ≠ Phương trình cho tương đương với: cos2 x  2sin x cos x  3sin2 x  sin x  sin2x      x    k2  sinx   2sin2 x  sin x      (k  ℤ)   sinx   (vô lí) x  k2   Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm: x    k2 Bài Giải phương trình:  cos3x  2sin x  cos x Định hướng: Thoạt nhìn qua nhiều bạn cảm thấy dạng lạ chứa thức Tất nhiên, tư thông thường ta bình phương hai vế lại giúp ta giải hoàn toàn vấn đề, cos3x quy cosx, 2 đồng thời bình phương lên thu sin x   cos x Chung quy lại phương trình cho quy phương trình ẩn t = cosx Lời giải: (1) sinx   Phương trình cho tương đương với    cos3x   cosx  4sin x (2) | Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim    x   k (2)  8cos2 x  cosx    (k  ℤ)  x  arccos  1   k2      Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm: x     1   k2, x  arccos   + k2   Bài Giải phương trình (1 − cos x) cot x + cos 2x + sin x = sin 2x (1 − cos x) cot x + cos 2x + sin x = sin 2x Điều kiện: sin x ≠ 0, hay x ≠ kπ, k ∈ Z Ý tưởng thông dụng để giải toán giải phương trình lượng giác nói chung phân tích nhân tử Tuy nhiên, việc phân tích nhân tử có yếu tố lượng giác không đơn giản phương trình đại số thông thường (có thể dung máy tính đoán nghiệm) Với phương trình lượng giác ta phân tích nhân tử thông qua việc đoán nghiệm với vài bí nho nhỏ π 3π π 3π π Như này, thử giá trị đặc biệt ta thấy có nghiệm ; ; − ; − 4 4 π kπ π tức ( + ) ( + k2π) 2 π Đoán nhân tử chung: x = + k2π ⇔ sin x = ⇔ sin x − = Thử tách lấy nhân tử (sin x − 1) ⇒ thất bại ⇒ chuyển hướng π kπ π x= + ⇔ 2x = + kπ ⇔ cos 2x = Thử tách nhân tử cos 2x ⇒ thành công 2 Với điều kiện xác định, phương trình cho tương đương với (1 − cos x) cos x + cos 2x + sin x = sin x cos x sin x ⇔ cos x − cos2 x + cos 2x sin x + sin2 x = sin2 x cos x ⇔ cos x (1 − sin2 x ) + cos 2x sin x − (cos2 x − sin2 x ) ⇔ cos x cos 2x + cos 2x sin x − cos 2x = ⇔ cos 2x (cos x + sin x − 1) = π kπ ∗) cos 2x = ⇔ x = + , thoản mãn x = k2π, không thỏa mãn π π π π ∗) cos x + sin x − = ⇔ cos (x − ) = = cos ⇔ x − = ± + k2π ⇔ [ π 4 4 x = + k2π, thỏa mãn √2 π kπ π Vậy phương trình có nghiệm x = + x = + k2π(k ∈ Z) 2 Nhận xét: Việc đoán nghiệm (dùng máy tính ) để phân tích nhân tử phương trình lượng giác thường làm theo số bước sau: π π π 2π −π −2π π 3π −π −3π Thử với giá trị thông dụng: 0; π; ; − ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 3 4 4 Phân nghiệm đoán vào họ nghiệm Như ta chia nghiệm π 3π π 3π π π kπ π ; ;− ;− vào họ ( + ) ( + k2π) 4 4 2 Đoán nhân tử chung: biến đổi tương đương để đưa nhân tử chung, tham khảo số nhân tử chung thông dụng sau: π x = + kπ ⇔ tan x − = ⇔ sin x − cos x = −π x= + kπ ⇔ tan x + = ⇔ sin x + cos x = x = kπ ⇔ sin x = | Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim π + kπ ⇔ cos x = π x = ± + k2π ⇔ cos x − = 2π x=± + k2π ⇔ cos x + = π x = + k2π ⇔ sin x − =0 [ 5π x = + k2π −π x = + k2π ⇔ sin x + =0 [ −5π x = + k2π π x = + k2π ⇔ sin x − = −π x= + k2π ⇔ sin x + = x = k2π ⇔ cos x − = x = π + k2π ⇔ cos x + = Bước 4: Tách biểu thức đề cho để đưa nhân tử chung Loại trường hợp phân tích Đây phương pháp hay dùng để giải nhiều phương trình lượng giác bản, bạn đọc nên luyện tập nhiều để thành thục Sau số tập tự luyện: Giải phương trình lượng giác: π x a) sin x cos 4x + sin2 2x = − sin2 ( − ) b) cos x + cos2 x + sin x − = tan2 x + tan x π c) = sin (x + ) tan x + √2 x= | Hãy phấn đấu vươn lên không khối óc mà tim