Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 3.1 Tín hiệu sin mô tả hàm phức 3.2 Chuỗi Fourier liên tục 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 4-1 Tín hiệu mũ Tín hiệu mũ tín hiệu sin lớp tín hiệu đặc biệt quan trọng, chúng tạo thành sở cho tín hiệu khác Tín hiệu mũ phức có dạng tổng quát C a số phức Tín hiệu mũ thực (khi C a số thực) Tăng theo hàm mũ a>0 C >0 Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục Giảm theo hàm mũ a0 4-2 Tín hiệu sin Tín hiệu sin phức (khi a số ảo) Khi C số thực Công thức Euler x (t ) = C cos ω t + jC sin ω t 0 Khi C số phức có dạng x (t ) = C e j ( ω0 t +φ ) = C cos(ω t + φ ) + j C sin (ω t + φ ) 0 Tín hiệu sin phức tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T = x(t + T ) = Ce e jω 0T =e ± j 2π jω0 ( t +T ) = Ce e jω0t jω0T = Ce = x(t ) 2π ω jω0t = cos 2π ± j sin 2π = Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-3 Tín hiệu sin Tín hiệu sin thực x(t ) = C cos(ω t + φ ) C số thực, biểu diễn theo tín hiệu sin phức x(t ) = Re{Ce } C = (e +e j ( ω0t +φ ) j ( ω0t +φ ) − j ( ω0t +φ ) ) Tương tự C sin(ω t + φ ) = Im{Ce j ( ω0t +φ ) = C (e Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục j ( ω0t +φ ) } −e − j ( ω0t +φ ) ) 4-4 Tín hiệu mũ phức Khi C a số phức x (t ) = x (t ) Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-5 Hàm mũ Hàm mũ e st − s tần số phức s = σ + jω Công thức Euler Do Nếu (liên hợp phức) So sánh với công thức Euler tổng quát hóa hàm tổng quát hóa thành biến phức Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục biến tần số 4-6 Hàm mũ Các trường hợp đặc biệt Hằng số Hàm sin Hàm mũ đơn điệu Hàm sin thay đổi theo hàm mũ Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-7 Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 3.1 Tín hiệu sin mô tả hàm phức 3.2 Chuỗi Fourier liên tục • Ý tưởng xuất phát:Tính chất xếp chồng hệ LTI • Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục • Xác định hệ số chuỗi Fourier (liên tục) • Điều kiện Dirichlet • Các tính chất chuỗi Fourier (liên tục) 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 4-8 Ý tưởng xuất phát: Tính xếp chồng hệ LTI với tất giá trị riêng hàm riêng Các hàm mũ phức hàm riêng hệ LTI Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-9 Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn x(t ) = x(t + T ) với t – T nhỏ đgl chu kỳ Ví dụ: x(t ) = A cos(ω0t + θ ) x(t ) = Ae jω0t A thực x (t ) = ∞ ∑ ak e jω t k =−∞ Chuỗi Fourier Chu kỳ – tuần hoàn với chu kỳ T – {ak } hệ số chuỗi Fourier – k = thành phần chiều (DC) Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 2π ω0 2π Tk = k ω0 A phức xk (t ) = Ae jkω0t k nguyên Xét T= – k = ±1 thành phần – k = ±2 hài thứ hai, … 4-10 Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực x (t ) = sin ω0t viết thành x(t ) = jω0t − jω0t (e −e ) 2j Do hệ số chuỗi Fourier a1 = 1 , a−1 = − , ak = k ≠ ±1 2j 2j Đồ thị biên độ góc pha Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-11 Ví dụ 2: Tổng hàm sin thực Xét chuỗi hàm sin có tần số ω0 Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-12 Ví dụ 3: Đáp ứng hệ LTI Hệ LTI có đáp ứng xung h(t ) = α e−α t u (t ), y (t ) = α >0 ∞ ∑ ak H ( jkω0 )e jkω k =−∞ H ( jkω0 ) = với tín hiệu vào ∞ ∫ h(τ )e − jkω0τ dτ −∞ Ta có ∞ H ( jkω0 ) = ∫ α e −ατ − jkω0τ e ∞ dτ = α ∫ e − (α + jkω0 )τ =− α α + jkω0 e − (α + jkω0 )τ ∞ = α α + jkω0 Tín hiệu y (t ) = ∑ ck e jkω0t k =−2 ck = ak H ( jkω0 ) Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục , c0 = 1, (α − jα ) c1 = , α + jω0 c2 = (α + jα ) α + j 2ω0 (α + jα ) c−1 = α + jω0 , c−2 = (α − jα ) α + j 2ω0 4-13 Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực Với tín hiệu thực, ta có a− k = ak∗ (Để chứng minh, tìm liên hợp phức x(t), ký hiệu x*(t), với ý x(t)=x*(t)) viết ∞ ( x(t ) = a0 + ∑ ak e k =1 jkω0t + a− k e − jkω0t ∞ ) = a + ∑(a e k =1 k jkω0t + ak∗e − jkω0t ) Một số cách biểu diễn khác ak = Ak e jθ k ak = Bk + jCk Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục ∞ x (t ) = a0 + 2∑ Ak cos(kω0t + θ k ) k =1 ∞ x(t ) = a0 + 2∑ ( Bk cos kω0t − Ck sin kω0t ) k =1 4-14 Chuỗi Fourier cho tín hiệu thực Ví dụ Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-15 Xác định hệ số chuỗi Fourier 1) nhân với 2) tích phân chu kỳ Ở 1) nhân với 2) tích phân chu kỳ tích phân khoảng có độ dài T (một chu kỳ) Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-16 Tiếp tục … ⇓ ⇓ Cặp chuỗi Fourier liên tục (Phương trình tổng hợp) (Phương trình phân tích) Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-17 Ví dụ 1: Tín hiệu sin thực Các hệ số chuỗi Fourier xác định sau jkω0t (sin ω t ) e T ∫T 1 j (1− k )ω0t = e dt − jT ∫T jT x(t ) = sin ω0t ak = ∫T e j ( −1−k )ω0t dt Tích phân T k = 1, k ≠ Tích phân thứ hai T k = -1, k ≠ -1 Do ta có a1 = 1 , a−1 = − , ak = k ≠ ±1 2j 2j Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-18 Ví dụ 2: Sóng vuông tuần hoàn Với k = Với k ≠ Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-19 Một số chuỗi Furier có ích x (t ) = ∞ ∑ k =−∞ Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục Ck e jkω0t , Ck = T0 ∫T x(t )e − jkω0t dt 4-20 Một số chuỗi Furier có ích Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-21 Điều kiện Dirichlet Điều kiện Điều kiện Ví dụ Điều kiện Ví dụ x(t) khả tích tuyệt đối chu kỳ Trong khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn cực đại cực tiểu Ví dụ không thỏa mãn điều kiện Trong khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn điểm không liên tục Ví dụ không thỏa mãn điều kiện Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-22 Các tính chất chuỗi Fourier Dịch thời gian Nhân F.S dãy xung Quan hệ Parseval Đáp ứng chế độ xác lập hệ LTI với tín hiệu tuần hoàn − Hàm truyền − Các hệ số chuỗi Fourier đầu hệ LTI Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-23 Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier liên tục 4-24