Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh M U Lớ chn sỏng kin Theo Tp Mathematical Reviews (M, 1997), mi nm cú hn mi bi nghiờn cu toỏn hc c cụng b; nhp iu tng trng theo hm s m, c 10 nm li tng lờn gp ụi Rừ rng khụng nh trng no cú th dy cho ngi hc ht tt c cỏc kin thc ú Trong ú nhu cu ca ngi cn phi hc tt c Ch cú bit cỏch t hc mi cú th ỏp ng c s phỏt trin nh v bóo ca khoa hc k thut Ni dung s phc c a vo trng ph thụng t nhng nm 1997, vi chng trỡnh thớ im v chớnh thc trin khai din i tr t nm hc 2008 2009 T c a vo chng trỡnh Toỏn hc ph thụng, cỏc bi toỏn v s phc ó xut hin cỏc k thi Tt nghip; thi tuyn sinh i hc, Cao ng; thi THPT Quc gia v thi hc sinh gii Nú l mt ni dung c bn nm Cu trỳc thi Tt nghip v thi tuyn sinh Cao ng, i hc ca B Giỏo dc v o to Qua nghiờn cu cỏc thi Tt nghip, tuyn sinh i hc, Cao ng t nhng nm 2009 n nm 2014 v thi THPT Quc gia nm 2015, tụi nhn thy cú ba dng toỏn liờn quan n s phc thng xut hin cỏc k thi ny ú l, bin i s phc; biu din hỡnh hc ca cỏc s phc tha iu kin cho trc v tỡm s phc tha iu kin cho trc Cõu hi v s phc cỏc thi khụng quỏ khú i vi cỏc thớ sinh nhng khụng phi thớ sinh no cng t c im tuyt i cõu hi ny Trong quỏ trỡnh dy hc cng nh chm thi tt nghip, tuyn sinh i hc, tụi nhn thy rng li ph bin nht i vi cỏc thớ sinh l khõu trỡnh by, lp lun v k nng bin i Phn biu din hỡnh hc ca s phc cng l mt khú i vi thớ sinh Bi l, ni dung ny cú liờn quan n phõn mụn Hỡnh hc Bi v s phc cũn nm ch yu cỏc cun sỏch tham kho v Gii tớch m cha cú mt ti liu tham kho chuyờn bit v s phc cựng cỏc dng toỏn c bn liờn quan n nú Nu xõy dng mt cỏch hp lý ti liu v s phc thỡ hc sinh khụng nhng c rốn k nng gii toỏn m cũn c bi dng nng lc t hc Vi nhng lý nờu trờn, tụi la chn sỏng kin Xõy dng ti liu v s phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh lm ti nghiờn cu nhm nõng cao cht lng dy v hc nh trng ph thụng ng thi, gúp phn bi dng nng lc t hc cho hc sinh v i mi phng phỏp dy hc hin trng THPT Gi thuyt khoa hc Nu xõy dng c mt h thng bi v phõn dng mt cỏch hp lý cỏc bi toỏn v s phc v nhng nhn xột, ỏnh giỏ sau mi dng toỏn thỡ s giỳp cho ngi hc hiu rừ v sõu sc v ni dung s phc ng thi, gúp phn phỏt huy tớnh tớch cc, ch ng v sỏng to ca hc sinh Bờn cnh ú cng giỳp hc sinh c bi dng nng lc t hc v ú gúp phn nõng cao cht lng dy v hc nh trng Mc ớch ca sỏng kin Xõy dng h thng bi v s phc v phõn dng hp lý cỏc bi t ú giỳp hc sinh bit cỏch nhn dng tng bi toỏn v nh hng cỏch gii quyt i vi bi toỏn ú Cng thụng qua cỏc dng toỏn ú hc sinh thng xuyờn c cng c kin thc v i s, Hỡnh hc v Gii tớch ng thi, cng l ti liu tham kho cho giỏo viờn ging dy ni dung s phc trng ph thụng v l ti liu hc sinh t hc Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 1/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Phm vi nghiờn cu Sỏng kin trung nghiờn cu ni dung s phc theo chng trỡnh Chun chng trỡnh Gii tớch 12 trng THPT Bờn cnh ú cng cú cp n dng lng giỏc ca s phc mt cỏch thớch hp Phng phỏp nghiờn cu a) Nghiờn cu lý lun: Tỡm hiu v cỏc ti liu cp n s phc, c bit l cỏc thi tt nghip THPT, thi tuyn sinh i hc, Cao ng v thi THPT Quc gia b) Nghiờn cu thc tin: Tỡm hiu v cỏch ging dy ni dung s phc m giỏo viờn thng lm Phõn tớch v lm rừ u im, nhc im ca tng cỏch dy t ú xõy dng ti liu mt cỏch hp lý nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh c) Thc nghim s phm: Tin hnh thc nghim nhm ỏnh giỏ tớnh kh thi, tớnh hiu qu v tớnh ph dng ca sỏng kin ng thi, cng nhm hon thin v mt ni dung v lý lun sỏng kin Nhng im mi v ý ngha thc tin ca sỏng kin a) V mt lý lun: - Phõn dng mt cỏch hp lý cỏc bi toỏn v s phc sỏch giỏo khoa, sỏch bi v cỏc thi tuyn sinh i hc, Cao ng - Trong mi dng toỏn cú a kin thc cn nm v phng phỏp gii tng dng toỏn ú, cỏc vớ d minh v bi ngh - xut phng ỏn s dng ti liu nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh b) V mt thc tin: - Cỏc dng toỏn m sỏng kin ó xõy dng bỏm sỏt chun kin thc, k nng v gúp phn nõng cao cht lng dy v hc ni dung s phc - Rốn luyn tớnh cn thn, s linh hot, tớnh tớch cc, ch ng v sỏng to gii toỏn núi riờng v cỏc hot ng núi chung c bit l gúp phn bi dng nng lc t hc cho hc sinh - Sỏng kin ó phõn loi v gii c 50 vớ d minh cho cỏc dng toỏn v s phc Ni dung sỏng kin ny l ti liu tham kho b ớch cho giỏo viờn v hc sinh Cu trỳc ca sỏng kin Sỏng kin gm 54 trang, ngoi phn m u v kt lun, phn ni dung ca sỏng kin gm chng v phn ph lc: Chng 1: C s lý lun v thc tin Chng 2: Xõy dng ti liu v s phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Ph lc: Bi chn lc v s phc Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 2/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Chng C S Lí LUN V THC TIN 1.1 C s lý lun Lut Giỏo dc nm 2005 cú ghi rừ: Phng phỏp giỏo dc ph thụng phi phỏt huy tớnh tớch cc, t giỏc, ch ng, sỏng to ca hc sinh; phự hp vi c im ca tng lp hc, mụn hc; bi dng phng phỏp t hc, kh nng lm vic theo nhúm; rốn luyn k nng dng kin thc vo thc tin; tỏc ng n tỡnh cm, em li nim vui, hng thỳ hc cho hc sinh Ngh quyt Hi ngh Trung ng khúa XI v i mi cn bn, ton din giỏo dc v o to ghi rừ v mc tiờu ca giỏo dc ph thụng: i vi giỏo dc ph thụng, trung phỏt trin trớ tu, th cht, hỡnh thnh phm cht, nng lc cụng dõn, phỏt hin v bi dng nng khiu, nh hng ngh nghip cho hc sinh Nõng cao cht lng giỏo dc ton din, chỳ trng giỏo dc lý tng, truyn thng, o c, li sng, ngoi ng, tin hc, nng lc v k nng thc hnh, dng kin thc vo thc tin Phỏt trin kh nng sỏng to, t hc, khuyn khớch hc sut i . Theo cỏc nh lý lun thỡ quỏ trỡnh hc trng ph thụng, hc sinh cú th tin hnh hot ng t hc nhng iu kin, hon cnh khỏc v di nhiu hỡnh thc khỏc Cú th nờu lờn ba hỡnh thc t hc c bn sau õy: Mt l, hot ng t hc din nhm ỏp ng nhu cu hiu bit riờng, b sung v m rng tri thc ngoi chng trỡnh o to ngoi nh trng ph thụng Ngi hc t c ti liu tỡm , t suy ngh, t xoay s gii quyt , t rỳt kinh nghim v khụng cn cú s iu khin ca giỏo viờn ú l hỡnh thc t hc mc cao Hai l, hot ng t hc ca hc sinh din khụng cú s iu khin trc tip ca giỏo viờn Hc sinh t sp xp thi gian, iu kin vt cht t ụn tp, t cng c, t o sõu nhng tri thc v t hỡnh thnh nhng k nng, k xo mt no ú theo yờu cu ca giỏo viờn hoc no ú nm quy nh ca chng trỡnh o to ca nh trng Ba l, hot ng t hc ca hc sinh din di s iu khin trc tip ca giỏo viờn Thy l tỏc nhõn, hng dn, t chc, o din trũ phỏt huy nhng phm cht v nng lc cú v tim n ca mỡnh nh: úc quan sỏt, phõn tớch, tng hp; nng lc khỏi quỏt húa, tng t húa; t tỡm tri thc, hỡnh thnh v cng c cỏc k nng, k xo m thy ó nh hng cho hot ng ny 1.2 C s thc tin 1.2.1 Yờu cu v chun kin thc, k nng phn s phc Thi gian dnh cho ni dung s phc chng trỡnh lp 12 Chun l 11 tit tng s 78 tit Theo ti liu Hng dn thc hin chun kin thc, k nng mụn Toỏn lp 12 thỡ vic ging dy ni dung s phc cn giỳp hc sinh: a) V kin thc: - Bit dng i s ca s phc; - Bit cỏch biu din hỡnh hc ca s phc; - Bit cỏch tớnh mụun ca s phc, xỏc nh s phc liờn hp; - Bit khỏi nim cn bc hai ca s phc; - Bit cỏch gii phng trỡnh bc hai vi h s thc v cú nghim phc; b) V k nng: - Thc hin c cỏc phộp tớnh cng, tr, nhõn v chia s phc; - Bit cỏch tớnh cn bc hai ca s phc; - Bit tỡm nghim phc ca phng trỡnh bc hai vi h s thc; - Bit tỡm cỏc s phc tha iu kin cho trc Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 3/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh 1.2.2 Cu trỳc thi tuyn sinh i hc, Cao ng Qua nghiờn cu thi tuyn sinh Cao ng, i hc t nm 2009 n nm 2014, v thi THPT Quc gia nm 2015, tụi nhn thy thi c theo cu trỳc di õy: Cõu (1,0 im) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s Cõu (1,0 im) Cỏc bi toỏn liờn quan n ng dng ca o hm v th ca hm s: Chiu bin thiờn ca hm s; cc tr; giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s; tip tuyn; tim cn (ng v ngang) ca th hm s; tỡm trờn th nhng im cú tớnh cht cho trc; tng giao gia hai th (mt hai th l ng thng); Cõu (1,0 im) a) S phc b) Phng trỡnh m, lụgarit; bt phng trỡnh m, lụgarit Cõu (1,0 im) Gii hn Nguyờn hm, tớch phõn ng dng ca tớch phõn: tớnh din tớch hỡnh phng, th tớch vt th trũn xoay Cõu (1,0 im) Phng phỏp ta khụng gian Cõu (1,0 im) a) Cụng thc lng giỏc, phng trỡnh lng giỏc b) T hp, xỏc sut, thng kờ Cõu (1,0 im) Hỡnh hc khụng gian (tng hp): Quan h song song, quan h vuụng gúc ca ng thng, mt phng; din tớch xung quanh ca hỡnh nún trũn xoay, hỡnh tr trũn xoay; th tớch ca lng tr, chúp, nún trũn xoay, tr trũn xoay; din tớch mt cu v th tớch cu Cõu (1,0 im) Phng phỏp ta mt phng Cõu (1,0 im) Phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh Cõu 10 (1,0 im) Bi toỏn tng hp (Ghi chỳ: thụng thng l: bt ng thc; giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht; cỏc bi toỏn liờn quan n tham s; t hp; khai trin nh thc; ) 1.2.3 Kin thc c bn v s phc Trong phn ny chỳng tụi túm tt li mt s kin thc c bn v s phc Nhng kin thc ny v c bn ó c trỡnh by sỏch giỏo khoa Bờn cnh ú, mt s tớnh cht ca s phc khụng cp sỏch giỏo khoa nhng cú cỏc bi ging v s phc trờn lp a) Dng i s ca s phc v cỏc phộp toỏn v s phc - Mi s cú dng z = a + bi c gi l s phc, ú a, b ẻ Ă v i =- S thc a c gi l phn thc ( Re z ; Re l vit tt ca Real: thc, s thc, phn thc), cũn b c gi l phn o ( Im z ; Im l vit tt ca Imaginary: o, s o, phn o) ca s phc z Tp hp cỏc s phc, kớ hiu l Ê (C l ch cỏi u Complex: s phc) - S phc z = a + bi, ( a, b ẻ Ă ) l s thun o v ch a = ; S phc z = a + bi, ( a, b ẻ Ă ) l s thc v ch b = - Cỏc phộp toỏn v s phc: Gi s z1 = a + bi; z2 = c + di , ú a, b, c, d ẻ Ă Khi ú: (a) z1 + z2 = ( a + c ) +( b + d ) i ; z1 - z2 = ( a - c ) +( b - d ) i (b) z1 z2 = ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac - bd ) +( ad + bc ) i (c) z1 a + bi ac + bd ad - bc = = i , vi z2 z2 c + di c + d c + d Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 4/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh b) S phc liờn hp - Cho s phc z = a + bi, ( a, b ẻ Ă ) Khi ú s phc liờn hp ca z l z = a - bi - Cỏc tớnh cht v s phc liờn hp ca s phc: (a) z = z , " z ẻ Ê ; (b) z1 z2 = z1 z2 , " z1 , z2 ẻ Ê (c) z1.z2 = z1.z2 , " z1 , z2 ẻ Ê ; ổz1 z ữ = , " z1 , z2 ẻ Ê , z2 (d) ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ốz2 ứ z2 (e) z l s thc v ch z = z ; z l s thun o v ch z =- z Chỳ ý: Tớnh cht e) ụi c s dng chng minh mt s phc l s thc hoc mt s phc l s thun o c) Mụun ca s phc - Cho s phc z = a + bi, ( a, b ẻ Ă ) Khi ú mụun ca s phc z l z = a + b - Cỏc tớnh cht v mụun ca s phc: 2 (a) z = z = z.z , " z ẻ Ê ; (c) z z1 = , " z1 , z2 ẻ Ê v z2 ; z2 z2 (b) z1 z2 = z1 z2 , " z1 , z2 ẻ Ê ; (d) z1 - z2 Ê z1 + z2 Ê z1 + z2 , " z1 , z2 ẻ Ê d) Hai s phc bng ỡù a = c Cho hai s phc z1 = a + bi; z2 = c + di , ú a, b, c, d ẻ Ă Khi ú z1 = z2 ùớ ùùợ b = d Chỳ ý: iu kin hai s phc bng thng c dng cỏc bi v tỡm s phc tha iu kin cho trc nờn chỳng ta cn nm vng iu kin ny e) Biu din hỡnh hc ca s phc r Mi s phc z = x + yi, ( x, y ẻ Ă ) c biu din bi im M = ( x; y ) hoc bi vect u = ( x; y ) mt phng ta Oxy Nu cỏc s phc z1 , z2 c biu din bi cỏc im A, B mt phng ta Oxy thỡ s phc uur uuu r uur uuu r uur z1 + z2 c biu din bi OA + OB ; s phc z1 - z2 c biu din bi OA - OB = BA Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 5/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Chng XY DNG TI LIU V S PHC NHM BI DNG NNG LC T HC CHO HC SINH A XY DNG TI LIU V S PHC Trong khuụn kh sỏng kin ny, tụi trung cp n dng i s ca s phc v bờn cnh ú cú cp n c dng lng giỏc ca s phc Liờn quan n dng i s ca s phc, chỳng tụi cp n mt s dng toỏn nh: Bin i s phc; Biu din hỡnh hc ca s phc; Tỡm s phc tha iu kin cho trc; S phc vi mụun ln nht, mụun nh nht; Bt ng thc liờn quan n mụun ca s phc v S phc v ng dng Vic phõn dng cỏc loi toỏn v s phc c cn c vo chun kin thc, k nng v qua tỡm hiu, nghiờn cu cỏc thi Tt nghip THPT, thi i hc, Cao ng v thi THPT Quc gia t nm 2009 n nm 2015 Trong mi dng toỏn v s phc, chỳng tụi trỡnh by : Kin thc chun b; Cỏc vớ d minh v Bi ngh Riờng dng toỏn S phc v ng dng chỳng tụi ch minh bng mt vi vớ d c th Di õy, l ni dung chi tit cho tng dng toỏn ú 2.1 DNG BIN I S PHC Trong phn ny chỳng ta cp n hai loi bin i liờn quan n s phc - Bin i liờn quan n s phc c th: ta s dng cỏc phộp toỏn v s phc (phộp cng, phộp tr, phộp nhõn, phộp chia, phộp ly tha, ) kt hp vi cụng thc xỏc nh s phc liờn hp v mụun ca s phc thc hin phộp bin i - Bin i liờn quan n s phc núi chung: ta s dng dng i s thc hin phộp bin i Tuy nhiờn, i vi dng ny chỳng ta thng s dng cỏc tớnh cht ca s phc (chng hn nh tớnh cht v s phc liờn hp, tớnh cht v mụun) bin i m khụng cn vit dng i s ca s phc 2.1.1 Kin thc chun b gii dng toỏn ny chỳng ta cn nm c cỏc phộp toỏn v s phc (cng, tr, nhõn, chia cỏc s phc) v cỏc tớnh cht ca s phc (v mụun, v s phc liờn hp) ó c trỡnh by trờn Bờn cnh ú, lm vic vi s phc ta cn tỏch rừ phn thc v phn o ca s phc thun li cho vic xỏc nh s phc liờn hp, tớnh mụun ca s phc v tỡm iu kin cho hai s phc bng 2.1.2 Mt s vớ d minh Vớ d Tỡm phn thc v phn o ca s phc z , bit: a) z = 24 ổ i ữ ỗ ữ b) z =ỗ ữ ỗ ữ ỗ + i ố ứ ( + 3i ) ( - 4i ) 1+i a) Ta cú z = ( + 3i ) ( - 4i ) 1+i = 28 - 26i = 1+i Li gii ( 28 - 26i ) ( 1- i ) ( + i ) ( 1- i ) = - 54i = 1- 27i z = + 27i Vy s phc z cú phn thc bng v phn o bng 27 12 24 12 = ( 2i ) = 212.( i ) = 212 b) Ta cú +) ( + i ) = ộ (ở1 + i ) ự ỳ ỷ ( ) ( ) ( +) 1- i =- + i nờn 1- i ) 24 8 2ự ộ ự = ờ1- i ỳ 1- i = ( - 2) ộ + i i ỳ ỷ ỳ ỷ ( ) ( Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B ) ( )( ) Trang 6/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh ( 1- i ) 24 ( ) 24 24 ổ 1- i i 224 8 24 ữ ữ = = Do vy z = ỗ = = = 212 = 4096 ỗ ữ 24 12 ỗ ữ ỗ ố 1+i ứ ( 1+ i) Vy s phc z cú phn thc bng 4096 v phn o bng Nhn xột: - i vi ý a) chỳng ta ch cn thc hin phộp nhõn v chia hai s phc l cú th gii ( ) quyt bi toỏn Tuy nhiờn, i vi ý b) vỡ s m cao nờn chỳng ta cn tớnh ( + i ) v 1- i ; nh hng cho vic bin i - Nu s dng dng lng giỏc ca s phc thỡ chỳng ta cú gii ý b) mt cỏch gn gng hn Cỏc bn kim chng iu ny xem nhộ - Tng quỏt chỳng ta cú kt qu: Vi k ẻ Ơ thỡ ( + i ) 4k ( k = 22 k ( - 1) ; + i ) 3k 3k = ( - 2) Vớ d (Trớch thi TS H KA nm 2010) ( 1- 3i Cho s phc z tha z = 1- i ) Tỡm mụun ca s phc z +( - i ) z Li gii - 8( + i) - 8( + i) - = = =- - 4i z =- + 4i Ta cú 1- i =- nờn z = 1- i ( 1- i ) ( + i ) ( ) Do ú z +( - i ) z =- - 4i +( - i ) ( - + 4i ) =- - 4i - +12i =- + 8i ị z +( - i ) z = ( - 8) +82 = Vớ d Gi z1 , z2 l hai nghim ca phng trỡnh z + z +10 = 2 Tớnh giỏ tr ca biu thc A = z1 - 3z2 + 3z1 - z2 Li gii 2 Ta cú z + z +10 = ( z +1) =- = ( 3i ) z =- 1- 3i; z =- + 3i Gi s z1 =- + 3i; z2 =- 1- 3i Khi ú: 2 +) z1 - z2 = ( - + 3i ) - 3( - 1- 3i ) = +15i = 12 +152 = 226 +) Tng t, ta cng cú 3z1 - z2 = 226 Vy A = 226 + 226 = 452 ( - 1+ i 3) Vớ d Tớnh giỏ tr ca biu thc A = ( 1- i ) 15 20 ( - 1+ i ( 1+ i) ) 15 20 Li gii 10 20 10 = ( - 2i ) = 210.( i ) = 210.( - 1) =- 210 Ta cú: +) ( 1- i ) = ộ (ở1- i ) ự ỳ ỷ 20 10 10 1+ i) ự = ( 2i ) = 210.( i ) = 210.( - 1) =- 210 +) ( + i ) = ộ (ờ ỳ ỷ ( ) ( ) ( +) - + i =- + i nờn - + i ( )( ) ) 15 2ự ộ = ờ- + i ỳ - + i ỳ ỷ ( ) ( ( ) 5 = ( - 2) ộ +i - 1+i ự =- 25.( - 4) = 215 Tng t, ta cú - 1- i ỳ ỷ Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B ) 15 = 215 Trang 7/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh 215 215 + =- ( 25 + 25 ) =- 64 10 10 - - Nhn xột: Trong vớ d trờn chỳng ta ó thc hin thao tỏc rỳt gn tng thnh phn tng trc tớnh tng ú Vic khai trin biu thc vi s m ln gp khụng ớt khú khn Vỡ vy, gp biu thc vi s m ln ũi hi chỳng ta phi linh hot v khộo lộo khõu bin i Mt cỏch lm n gin nht l ta tớnh vi s m 2, s m 3, d oỏn c quy lut v t ú a cỏch tớnh hp lý nht Vớ d Tỡm cỏc s thc x, y tha mt cỏc iu kin sau: Do ú A = a) ( x +1) ( - i ) - y ( - + 2i ) ( - 3i ) = - 94i b) x ( 1- 3i ) +( x + y ) ( + 2i ) = 25 - 4i Li gii a) Ta cú 3 ( - i) = - 11i;( - + 2i ) ( - 3i ) =13i nờn ( x +1)( - i) - y ( - + 2i )( - 3i ) = - 94i ( x +1) ( - 11i ) - 13 yi = - 94i ( x + 2) - ( 22 x +11 +13 y ) i = - 94i ùỡ x + = ùớ ùùợ 22 x +11 +13 y = 94 ùỡù x = ù Vy cp s ( x; y ) cn tỡm l ùù y = 61 13 ợù ổ 61ử ỗ 1; ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 13 ứ b) Ta cú ( 1- 3i ) =- - 6i v ( + 2i ) =- 11- 2i nờn x ( 1- 3i ) +( x + y ) ( + 2i ) = 25 - 4i x ( - - 6i ) +( x + y ) ( - 11- 2i ) = 25 - 4i ( - 19 x - 22 y ) - ( x + y ) i = 25 - 4i ổ47 69 ùỡ - 19 x - 22 y = 25 47 69 ữ ùớ ị x = ; y =;ữ Vy cp s ( x; y ) cn tỡm l ỗ ỗ ữ ỗ ùùợ x + y = ố25 25 ứ 25 25 Nhn xột: Khi gp dng toỏn ny chỳng ta cn thc hin cỏc phộp bin i s phc nh phộp cng, phộp tr, phộp nhõn v phộp chia hai s phc tỏch rừ phn thc v phn o c hai v ca ng thc ó cho Sau ú s dng iu kin hai s phc bng nhau, dn n mt h phng trỡnh hai n s x, y Vic gii quyt h phng trỡnh hai n ny ũi hi chỳng ta phi cú k nng gii h nh rỳt, th; t n ph; s dng tớnh n iu ca hm s; ( Vớ d Tỡm phn thc, phn o ca s phc z = + i ) 5n , bit rng n l s nguyờn dng tha iu kin log ( 3n - 5) + log ( 2n +13) = Li gii ổ ; +Ơ ữ ữ Xột hm s f ( t ) = log ( 3t - 5) + log ( 2t +13) trờn khong ỗ ỗ ữ ỗ ố3 ứ + > , vi mi t > nờn hm s f ( t ) ng bin trờn khong Do f '( t ) = ( 3t - 5) ln ( 2t +13) ln 3 ổ ỗ ; +Ơ ỗ ỗ ố3 ữ ữ ữ Do vy phng trỡnh f ( t ) = cú nhiu nht nghim trờn khong ny ứ Mt khỏc f ( 7) = nờn phng trỡnh f ( t ) = cú nghim nht t = Vy log ( 3n - 5) + log ( 2n +13) = n = ( ) ( ) ( Ta cú + i =- 1- i nờn z = + i ) 35 12 2ự ộ = ờ1 + i ỳ + i ỳ ỷ ( Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B ) ( ) 11 Trang 8/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh z = ( - 2) ( 12 ( 1- i ) ( 1+ i 3) 12 11 ( )( )( ) 11 = 212 1- i ộ 1- i + i ự ỳ ỷ ) z = 212 1- i 411 = 234 - 234 i Vy s phc z cú phn thc bng 234 v phn o bng - 234 Nhn xột: - im mu cht li gii trờn l vic tỡm s nguyờn dng n v khộo lộo bin ( i tớnh c giỏ tr ca biu thc + i ) 35 - Vic tỡm s nguyờn dng n khụng th da vo vic bin i logarit thun tỳy m phi da vo tớnh n iu ca hm s Du hiu nhn bit s dng tớnh n iu nm ch: th nht hai c s khụng ging v cng khụng biu din trc tip c qua nhau; th hai l cỏc biu thc ly logarit li khụng ging nờn vic gii phng trỡnh logarit bng cỏch bin i tng ng hay t n ph u khụng thnh cụng Vớ d Chng minh rng vi mi s phc z1 , z2 , ta luụn cú ng thc: ( 2 a) z1 + z2 + z1 - z2 = z1 + z2 ) ( b) 1- z1.z2 - z1 - z2 = 1- z1 )( 1- z2 ) Li gii a) Cỏch 1: (S dng dng i s ca s phc) Gi s z1 = a + bi; z2 = c + di , ú a, b, c, d ẻ Ă Khi ú: 2 +) z1 + z2 + z1 - z2 = ( a + c ) +( b + d ) i + ( a - c ) +( b - d ) i ( ) 2 ộ( a - c ) +( b - d ) ự= ( a + b + c + d ) = z + z =ộ ( a + c) +( b + d ) ự ỳ+ ỳ ỷ ỷ Cỏch 2: (S dng cỏc tớnh cht ca s phc) S dng cỏc tớnh cht z = z.z v z1 + z2 = z1 + z2 , ta cú: z1 + z2 + z1 - z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) +( z1 - z2 ) ( z1 - z2 ) 2 ( = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) +( z1 - z2 ) ( z1 - z2 ) = ( z1 z1 + z2 z2 ) = z1 + z2 2 ) b) Chng minh tng t nh a) Nhn xột: Trong vớ d ny chỳng tụi trỡnh by li gii theo c cỏch bn c thy c u im ca tng cỏch T ú, cú s la chn linh hot v sỏng to gii quyt cỏc bi toỏn v s phc núi riờng v cỏc bi toỏn toỏn hc núi chung Cỏch cú hu ht cỏc ti liu tham kho v S phc Cỏch l tỏc gi xut Vớ d (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu) Cho hai s phc z1 , z2 bt k Chng minh rng z = z1.z2 + z1.z2 l mt s thc Li gii Cỏch 1: (S dng dng i s ca s phc) Gi s z1 = a + bi, z2 = c + di , ú a, b, c, d ẻ Ă Khi ú z1 = a - bi, z2 = c - di Vỡ vy z = ( a + bi ) ( c - di ) +( a - bi ) ( c + di ) = ( ac + bd ) hay z l mt s thc Cỏch 2: (S dng cỏc tớnh cht ca s phc: Tỏc gi sỏng kin xut) Ta cú z = z1 z2 + z1 z2 = z1 z2 + z1 z2 = z (do z1 = z1 ; z2 = z2 ) Vỡ vy z l mt s thc Vớ d (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu) Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 9/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Cho cỏc s phc z1 , z2 tha cỏc iu kin z1 = z2 = v z1 z2 +1 Chng minh rng z= z1 + z2 l mt s thc + z1 z2 Li gii Cỏch 1: (S dng dng i s ca s phc) Gi s z1 = a + bi; z2 = c + di, ( a, b, c, d ẻ Ă ) Theo gi thit, ta cú a + b = c + d = Ta cú z = ộ( a + c) +( b + d ) i ựộ ac - bd +1- ( ad + bc ) i ự ( a + c ) +( b + d ) i z1 + z2 ỷở ỷ = =ở 2 + z1 z2 ac - bd +1 +( ad + bc ) i ( ac - bd +1) +( ad + bc) Phn o ca s phc z l - ( a + c) ( ad + bc ) +( b + d ) ( ac - bd +1) ( ac - bd +1) +( ad + bc) Ta cú - ( a + c) ( ad + bc ) +( b + d ) ( ac - bd +1) =- ( a d + abc + acd + bc ) +( abc - b d + b + acd - bd + d ) =- d ( a + b ) - b ( c + d ) + b + d = (do a + b = c + d = ) Vy s phc z cú phn o bng nờn z l s thc Cỏch 2: (S dng cỏc tớnh cht ca s phc: Tỏc gi sỏng kin xut) 1 Do = z1 = z1 z1 nờn z1 = Tng t z2 = z1 z2 1 + z + z2 z + z2 z + z2 z z2 z + z2 = = = = = z Vy z l mt s thc Ta cú z = 1 + z1 z2 + z1 z2 + z1 z2 + 1 + z1 z2 z1 z2 Nhn xột: - Trong li gii c vớ d trờn chỳng ta ó s dng n kt qu: z l s thc v ch z = z - Qua vớ d 9, chỳng ta thy c vic s dng dng i s ca s phc dn n li gii cú phn phc hn so vi li gii ch s dng tớnh cht ca s phc Qua vớ d trờn õy chỳng ta thy c u im ni bt ca vic dng cỏc tớnh cht ca s phc Tuy nhiờn, mi cỏch gii u cú u im v nhc im ca nú iu quan trng l chỳng ta bit la chn cỏch gii quyt hp lý cho tng bi toỏn, ch khụng c rp khuụn mỏy múc Vớ d 10 (Trớch thi th i hc nm 2011, THPT chuyờn Nguyn Hu, H Ni) Cho hai s phc z1 , z2 tha cỏc iu kin z1 = z2 = v z1 + z2 = Tớnh z1 - z2 Li gii Cỏch 1: (S dng dng i s ca s phc) Gi s z1 = a + bi; z2 = c + di , vi a, b, c, d ẻ Ă Khi ú, ta cú : 2 2 +) z1 = z2 = a + b = c + d = ( 1) +) z1 + z2 = 2 ( a + c ) +( b + d ) i = ( a + c ) +( b + d ) = ( a + b ) +( c + d ) + ( ac + bd ) = ( 2) T ( 1) v ( 2) , ta cú ( ac + bd ) = ( 3) 2 Ta li cú z1 - z2 = ( a - c ) +( b - d ) i = ( a - c ) +( b - d ) Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 10/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh ỡù cx + dy ùù x + =a ỡù ( x + y - a - b) ( x + y ) =- ( c + d ) x +( c - d ) y ùù x + y2 ù hoc ùớ ùù ùù ( x - y - a + b) ( x + y ) =- ( c - d ) x - ( c + d ) y dx - cy =b ùợ ùù y + x + y2 ợù T ú ta lp c h phng trỡnh dng trờn Di õy, l mt vi vớ d: 4x - y ùỡù ùù x + x + y = a) Nu ly z1 = + 3i; z2 =- 1- 2i , thỡ ta cú h phng trỡnh ùớ ùù 7x +4 y =1 ùù y - x + y2 ùợ 16 x - 11y ùỡù ùù x + x + y = b) Nu ly z1 = - 3i; z2 = + 2i , thỡ ta cú h phng trỡnh ùớ ùù 11x +16 y =- ùù y x2 + y2 ùợ 14 x - y ùỡù ùù x + x + y = c) Nu ly z1 = 1- 3i; z2 = + 4i , thỡ ta cú h phng trỡnh ùớ ùù x +14 y y = ùù x2 + y2 ùợ ỡù ùù x + x + y 10 = ùù x2 + y d) Nu ly z1 = + i 5; z2 = 2 - i , thỡ ta cú h phng trỡnh ùù x 10 - y ùù y + =0 ùùợ x + y2 ỡù 11x + 41 y ùù x + =3 ùù x + y2 e) Nu ly z1 = - 3i; z2 =- + 7i , thỡ ta cú h phng trỡnh ùù 41x - 11 y =4 ùù y + x + y2 ùợ ỡù ( x + y - 35) ( x + y ) + 78 ( x + y ) = ù f) Nu ly z1 = + 3i; z2 = 18 +12i , thỡ ta cú h phng trỡnh ùớ ùù ( x - y - 5) ( x + y ) - 78 ( x - y ) = ùợ Chỳ ý: Ngoi dng h phng trỡnh trờn cú th s dng s phc gii thỡ chỳng ta cn chỳ ý n mt s khai trin c bn sau õy s dng s phc vo gii mt s h phng trỡnh cú dng c bit khỏc Gi s x, y l cỏc s thc Khi ú ta cú du hiu nhn bit sau õy v h phng trỡnh cú th gii da vo s phc: Dng khai trin Vớ d minh ỡù x - xy = 3 2 x + yi = x xy + x y y i ( ) ( ) ( ) Gii h phng trỡnh: ùớù ùợ x y - y = ỡù x - x y + y = ( x + yi ) = ( x - x y + y ) ù Gii h phng trỡnh: 2 ùù x y - xy =- + xy ( x - y ) i ợ Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 41/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh ỡù x ( x - 10 x y + y ) = ù Gii h phng trỡnh: ùớ ùù y ( y - 10 x y + x ) =- ùợ ( x + yi ) = ( x5 - 10 x3 y + xy ) +( x y - 10 x y + y ) i 2.7.2 S dng s phc chng minh ng thc v t hp* Trong phn ny, chỳng tụi ch gii thiu s lc v vic s dng s phc chng minh ng thc v T hp Vic nghiờn cu mt cỏch sõu sc hn v ng dng ny phi cn n dng lng giỏc ca s phc M dng lng giỏc ca s phc thỡ chng trỡnh ban c bn khụng cp nờn chỳng ta ch dng li mt vớ d minh Vớ d 50 (Nm 2012) a) Tớnh ( + i ) 2012 b) Rỳt gn cỏc tng sau: 2010 2012 A = C2012 - C2012 + C2012 - - C2012 + C2012 ; 2009 2011 B = C2012 - C2012 + C2012 - + C2012 - C2012 2008 2012 C = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 ; 2005 2009 D = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 Li gii a) Ta cú ( + i ) 2012 1006 =ộ ( 1+ i) ự ỳ ỷ = ( 2i ) 1006 = 21006.( i ) b) S dng khai trin nh thc New-tn cho ( + i ) ( 1+ i) 2012 503 2012 = 21006.( - 1) 503 =- 21006 , ta c: 2011 2011 2012 2012 = C2012 + C2012 i + C2012 i + + C2012 i + C2012 i 2010 2012 2009 2011 = ( C2012 - C2012 + C2012 - - C2012 + C2012 - C2012 + C2012 - + C2012 - C2012 ) +( C2012 )i So sỏnh phn thc v phn o, ta c: 2010 2012 2009 2011 A = C2012 - C2012 + C2012 - - C2012 + C2012 =- 21006 ; B = C2012 - C2012 + C2012 - + C2012 - C2012 =0 S dng khai trin nh thc New-tn cho ( + x ) ( + x) 2012 2012 , ta c: 2011 2011 2012 2012 = C2012 + C2012 x + C2012 x + + C2012 x + C2012 x 2011 2012 2012 Cho x = , ta c C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = ; 2011 2012 Cho x =- , ta c C2012 - C2012 + C2012 - - C2012 + C2012 = Cng, tr v theo v hai ng thc va tớnh, ta c: 2010 2012 2009 2011 C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = 22011 ; C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = 22011 Kt hp hai ng thc va tớnh vi tng A, B , ta c: 2008 2012 C = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = 22010 - 21005 ; 2005 2009 D = C2012 + C2012 + C2012 + + C2012 + C2012 = 22010 2.7.3 Bi ngh 1) (Trớch thi HSG lp 12, H Ni nm 2006) ỡù x +2y ùù x + =2 ùù x + y2 , ( x, y ẻ Ă ) Gii h phng trỡnh ùù 2x - y =0 ùù y + x + y2 ùợ 2) (Trớch thi HSG lp 12, Vnh Phỳc nm 2010) * Vic s dng s phc chng ng thc t hp thy, cụ cú th tham kho Ti liu Hi tho chuyờn b mụn Toỏn cp THPT thỏng nm 2016 ti trng THPT Hoa L A, Ninh Bỡnh Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 42/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh ỡù 3x - y ùù x + =3 ùù x + y2 , ( x, y ẻ Ă ) Gii h phng trỡnh ùù x +3 y =0 ùù y - x + y2 ợù 3) (Trớch thi th H nm 2013, THPT chuyờn KHTN, HKHTN) ỡù 2x ùù 3x - =2 ùù x + y2 ( x, y ẻ Ă ) Gii h phng trỡnh ùù 2y =4 ùù y + x + y2 ùợ 4) (Trớch thi HSG lp 11, THPT chuyờn KHTN, HKHTN) ỡù ( x + y ) ( x + y - 3) = y - x ù ( x, y ẻ Ă ) Gii h phng trỡnh ùớ ùù ( x + y ) ( x - y - 5) =- x - y ợù ( 5) Tớnh + i ) 2018 , kt hp vi vic khai trin nh thc New-tn dng tớnh cỏc tng sau: 2014 2016 2018 A = C2018 - 3C2018 + 32 C2018 - - 31007 C2018 + 31008 C2018 - 31009 C2018 2013 2015 2017 B = C2018 - 3C2018 + 32 C2018 - + 31006 C2018 - 31007 C2018 + 31008 C2018 Chỳ ý: Ngoi hai ng dng ó nờu trờn, s phc cũn c ng dng gii cỏc bi toỏn hỡnh hc Bn c cú th tỡm hiu thờm cỏc ti liu: S phc vi hỡnh hc phng ca GS on Qunh hoc S phc v ng dng gii cỏc bi toỏn hỡnh hc phng ca PGS TS Nguyn Hu in B XUT PHNG N S DNG TI LIU NHM BI DNG NNG LC T HC CHO HC SINH i vi giỏo viờn - Dựng ti liu ny lm ti liu tham kho hoc ti liu ging dy cỏc tit ụn tp, dy hc theo chuyờn - Hng dn hc sinh nghiờn cu ti liu v xỏc nh rừ mc tiờu ca tng dng toỏn Giỏo viờn hng dn hc sinh v vic la chn dng toỏn c v lm - Cn c vo trỡnh nhn thc ca hc sinh m giỏo viờn cú th la chn mt ba hỡnh thc sau õy bi dng nng lc t hc cho hc sinh Mt l, cung cp ti liu cho hc sinh v nờu yờu cu v kin thc, k nng i vi ni dung s phc Hai l, hng dn hc sinh nghiờn cu tng dng toỏn sau ú yờu cu hc sinh v c v lm bi ti liu Ba l, giỏo viờn s dng cỏc vớ d minh lm bi cha trờn lp, phõn tớch lm rừ hng gii quyt cho bi ú v yờu cu hc sinh v nh lm li cỏc vớ d minh v lm cỏc bi phn ngh Trong c ba hỡnh thc ú thỡ giỏo viờn phi cú hot ng kim tra vic lm bi nh ca giỏo viờn mt cỏch thng xuyờn nhm nm bt c khú khn m hc sinh gp phi quỏ trỡnh nghiờn cu v ni dung ny - Nhit tỡnh gii ỏp hc sinh cú nhng thc mc hoc gp khú khn tip cn cỏc ti liu Tỡm hiu nhng vng mc m cỏc em gp phi v s dng hiu qu vic t cỏc cõu hi hc sinh cú th t mỡnh tỡm c hng gii quyt c bit trỏnh trng hp nờu cõu hi theo kiu "dt tay ch vic" i vi hc sinh Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 43/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh - Vi mi vớ d minh hc sinh t mỡnh gii quyt vi kin thc ó c hc v nhng kin thc c túm tt phn Kin thc cn nm Sau ú i chiu li gii ca mỡnh vi li gii c trỡnh by ti liu T ú rỳt nhng kinh nghim gii toỏn (phn no cha gii c? cha gii c vỡ lý gỡ? Do cha khai thỏc ht gi thit hay mi khai thỏc gi thit di mt gúc nhỡn? ó phõn tớch lm rừ nhng liờn h gia gi thit bi toỏn v kt lun ca bi toỏn cha? ) - Phn bi ngh thỡ hc sinh t nghiờn cu, tỡm li gii Sau ú cú th s dng s tr giỳp ca bn hoc ca thy, cụ hoc tra cu cỏc ti liu tham kho khỏc - Khi hon thin c li gii ca mi bi tp, cỏc em cn tỡm thờm cỏch gii quyt khỏc cho bi ú hoc khai thỏc, nhỡn nhn bi toỏn di nhng gúc khỏc xut bi tng t, bi tng quỏt hoc mt kt qu khỏc - Cỏc em hc sinh cn c vo lc hc ca mỡnh la chn cỏc dng toỏn gii quyt C th l, ba dng toỏn u (dng 1, dng v dng 3) dnh cho mi i tng hc sinh õy l cỏc dng toỏn c bn, in hỡnh cỏc k thi Cỏc dng cũn li (dng 4, dng 5, dng v dng 7) dnh cho hc sinh khỏ, gii hoc dnh cho nhng hc sinh cú hng thỳ vi vic tỡm hiu v ng dng ca s phc gii toỏn ph thụng - Khi nghiờn cu mi dng bi cỏc em cn rỳt hng gii quyt chung nht cho dng bi ú Bi no nu bng s n lc ca bn thõn m cha gii c thỡ cú th xem li gii hoc nh s tr giỳp ca giỏo viờn Sau ú cỏc em cn nm vng cỏch thc khai thỏc gi thit hoc cỏch tip cn bi toỏn m mỡnh cha ngh trc õy khc sõu k nng hoc k thut ú BI TP CHN LC V S PHC A BI TP V S PHC TRONG THI TT NGHIP THPT Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc: a) x - x + = b) x - x + = c) x - x + 25 = (TN THPT 2008) d) x - x + = e) z - z +1 = f) z - iz +1 = (TN THPT 2006) (TN THPT 2007) (TN THPT 2007) ( ) ( ) (TN THPT 2008) (TN THPT 2009) (TN THPT 2009) Tớnh giỏ tr ca biu thc P = + i + 1- i (TN THPT 2010) a) Cho hai s phc z1 = + 2i v z2 = - 3i Xỏc nh phn thc v phn o ca s phc z1 - z2 b) Cho hai s phc z1 = + 5i v z2 = - 4i Xỏc nh phn thc v phn o ca s phc z1.z2 (TN THPT 2011) a) Gii phng trỡnh ( 1- i ) z +( - i ) = - 5i trờn s phc b) Gii phng trỡnh ( z - i ) + = trờn s phc (TN THPT 2012) a) Tỡm cỏc s phc 2z + z v 25i , bit z = - 4i z Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 44/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh b) Tỡm cỏc cn bc hai ca s phc z = + 9i - 5i 1- i B BI TP V S PHC TRONG THI TUYN SINH CAO NG, I HC (Trớch thi TS Cao ng nm 2009) a) Cho s phc z tha ( + i ) ( - i ) z = + i +( + 2i ) z Tỡm phn thc v phn o ca z b) Gii phng trỡnh sau trờn hp cỏc s phc: z - - 7i = z - 2i z- i (Trớch thi TS Cao ng nm 2010) a) Cho s phc z tha iu kin ( - 3i ) z +( + i ) z =- ( + 3i ) Tỡm phn thc v phn o ca z b) Gii phng trỡnh z - ( + i ) z + + 3i = trờn hp cỏc s phc (Trớch thi TS Cao ng nm 2011) a) Cho s phc z tha ( + 2i ) z + z = 4i - 20 Tớnh mụun ca z z (Trớch thi TS H KD nm 2009) Trong mt phng ta Oxy , tỡm hp im biu din b) Cho s phc z tha z - ( + i ) z + 2i = Tỡm phn thc v phn o ca cỏc s phc z tha iu kin z - ( - 4i ) = (Trớch thi TS H KD nm 2010) Tỡm s phc z tha món: z = v z l s thun o (Trớch thi TS H KD nm 2011) Tỡm s phc z , bit z - ( + 3i ) z = 1- 9i (Trớch thi TS H KB nm 2009) Tỡm s phc z tha z - ( + i ) = 10 v z.z = 25 (Trớch thi TS H KB nm 2010) Trong mt phng ta Oxy , tỡm hp im biu din cỏc s phc z tha z - i = ( + i ) z (Trớch thi TS H KB nm 2011) +i a) Tỡm s phc z , bit z - 1=0 z ổ 1+i ữ ỗ ữ b) Tỡm phn thc v phn o ca s phc z =ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 1+ i ứ 10 (Trớch thi TS H KA nm 2009) Gi z1 v z2 l hai nghim phc ca phng trỡnh 2 ) ( 1- 2i z + z +10 = Tớnh giỏ tr ca biu thc A = z1 + z2 11 (Trớch thi TS H KA nm 2010) ( 3i) a) Tỡm phn o ca s phc z , bit z = b) Cho s phc z 1tha z = ( +i ) 1- i 12 (Trớch thi TS H KA nm 2011) Tỡm mụun ca s phc z + i z a) Tỡm tt c cỏc s phc z , bit z = z + z Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 45/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh b) Tớnh mụun ca s phc z , bit ( z - 1) ( + i ) +( z +1) ( 1- i ) = - 2i 13 (Trớch thi TS C nm 2012) a) Cho s phc z tha ( 1- 2i ) z - 2- i = ( - i ) z Tỡm ta im biu din ca z mt 1+i phng ta Oxy b) Gi z1 , z2 l hai nghim phc ca phng trỡnh z - z +1 + 2i = Tớnh z1 + z2 14 (Trớch thi TS H KD nm 2012) a) Cho s phc z tha ( + i ) z + ( + 2i ) = + 8i 1+i Tỡm mụun ca s phc w = z +1 + i b) Gii phng trỡnh z + 3( + i ) z + 5i = trờn hp cỏc s phc 15 (Trớch thi TS H KB nm 2012) Gi z1 v z2 l hai nghim phc ca phng trỡnh z - 3iz - = Vit dng lng giỏc ca z1 v z2 16 (Trớch thi TS H KA nm 2012) Cho s phc z tha 5( z + i) z +1 = - i Tớnh mụun ca s phc w = + z + z 17 (Trớch thi TS H KD nm 2013) Cho s phc z tha iu kin ( + i ) ( z - i ) + z = 2i z - z +1 z2 18 (Trớch thi TS H KA nm 2013) Cho s phc z = + 3i Vit dng lng giỏc ca z Tỡm Tớnh mụun ca s phc w = phn thc v phn o ca s phc w = ( + i ) z 19 (Trớch thi TS Cao ng nm 2014) Cho s phc z tha iu kin z - iz = + 5i Tỡm phn thc v phn o ca z 20 (Trớch thi TS H KD nm 2014) Cho s phc z tha iu kin ( 3z - z) ( + i ) - z = 8i - Tớnh mụun ca z 21 (Trớch thi TS H KB nm 2014) Cho s phc z tha iu kin z + 3( 1- i ) z = 1- 9i Tớnh mụun ca z 22 (Trớch thi TS H KA nm 2014) Cho s phc z tha iu kin z +( + i ) z = + 5i Tỡm phn thc v phn o ca z 23 (Trớch thi minh K thi THPT Quc gia nm 2015) Cho s phc z tha h thc: ( + i ) z +( - i ) z = - 6i Tớnh mụun ca z 24 (Trớch thi THPT Quc gia nm 2015) Cho s phc z tha ( 1- i ) z - + 5i = Tỡm phn thc v phn o ca z 25 (Trớch thi d b THPT Quc gia nm 2015) Cho s phc z tha ( + i ) z = 13 - 9i Tớnh mụun ca z C BI TP CHN LC V S PHC T CC TI LIU THAM KHO Bi v bin i s phc Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 46/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh a) Cho w l s phc cú phn o khỏc v s phc z tha iu kin z + w = z + w Chng minh rng z l mt s thc b) Chng minh rng nu cỏc s phc z1 , z2 tha iu kin z1 + z2 = z1 thc z1 - z2 = z2 thỡ ta cng cú h 2 ( c) Chng minh rng vi mi s phc z1 , z2 , ta luụn cú + z1 z2 + z1 - z2 = + z1 )( 1+ z ) 2 Tỡm cỏc s thc x, y tha mt cỏc iu kin: a) x ( 1- 2i ) +( x - y ) ( + i ) = 51 + 74i c) x ( - 2i ) + 3i + y ( 1- 2i ) = 11 + 4i b) x ( + 5i ) + y ( 1- 2i ) = +14i ổ 1- i ữ d) ( 3x - y ) ỗ +( y + 2) ( x - i ) =- 19 - 23i ữ ỗ ữ ỗ ố1 + i ứ (Trớch thi th H nm 2011, THPT Chu Vn An, H Ni) Cho z1 , z2 l hai nghim phc ca phng trỡnh z - z + = Tớnh giỏ tr ca biu thc P = z12 + z22 (Trớch thi th H nm 2011, THPT Nguyn Hu, H Ni) Cho hai s phc z, z ' tha z = z ' = v z + z ' = Tớnh z - z ' (Trớch thi th H nm 2011, HBKHN) Cho s phc z tha z - z = 3( 2i - 1) Tỡm z + z + z (Trớch thi th H nm 2011, THPT Phan Bi Chõu, Ngh An) z + 2i z- Cho s phc z tha z +1 = Tớnh z- z- i (BT 19 SGKNC) z +1 a) Xỏc nh phn thc ca s phc , bit rng z = v z z- z +1 b) Chng minh rng nu l s o thỡ z = z- (Trớch thi th H nm 2014, THPT chuyờn H Tnh) Cho s phc z cú phn thc dng v tha z = v z - + 3i = Tớnh A = 13 z +1 z- (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) 11 ổ ổ2i 1+ i ữ ữ ỗ ỗ z Cho s phc tha i.z = ỗ ữ ữ ỗ ữ +ố ữ Tớnh mụun ca s phc w = z + iz ỗ ỗ1 + i ứ ố1- i ứ 10 (Trớch thi HSG Toỏn Trung Quc nm 1996) z Cho z, w l hai s phc liờn hp tha l s thc v z - w = Tớnh z w 11 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) Cho cỏc s phc z1 , z2 tha z1 = 2; z2 = v z1 + z2 = Tớnh z1 + z2 12 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) Tớnh mụun ca s phc z - 2i , bit s phc z tha ( z - 2i ) ( z - 2i ) + 4iz = 13 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 47/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Cho s phc z tha z - z = 3( - + 2i ) Tớnh z + z 14 Tỡm mụun ca s phc z , bit 1- i ( - 3i ) z = +2- i z z 15 (Trớch d b H KB nm 2010) 3 Bit z1 ; z2 l nghim ca phng trỡnh z - z + = trờn s phc Chng minh rng z1 + z2 l s thc 16 (Trớch thi th H nm 2011 trờn math.vn) a) Cho w l s phc cú phn o khỏc khụng v s phc z tha z + w = z + w Chng minh rng z l s thc b) Cho w l s phc cú phn o khỏc khụng v s phc z tha z + w = z - w Chng minh rng iz l s thc 17 (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn Lờ Quý ụn, B Ra-Vng Tu) ( Tỡm cỏc giỏ tr nguyờn dng ca n s phc z = 3- i ) n 1+i l s thun o 18 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) n n ổ ổ20 + 5i 19 + 7i ữ ữ ỗ Chng minh rng z = ỗ + ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ữ l s thc ỗ 9- i ứ ỗ + 6i ứ ố 19 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) n ổ ỗ3 - i ữ ữ Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n tha A =ỗ l s thc ữ ỗ ữ ỗ - 3i ứ ố 20 (Trớch thi th H nm 2011, THPT Lng Th Vinh, H Ni) Cho z l s phc tha ( z + 2) ( + 2i ) = z Xỏc nh phn o ca s phc w = ( z + 2i ) 2011 21 (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn Lờ Quý ụn, Qung Tr) n 2 2 Tỡm phn o ca s phc z = ( + i ) , bit rng Cn+1 + 2Cn+2 + 2Cn+3 + Cn+4 = 149 , ú n l k s nguyờn dng, Cn l s t hp chp k ca n phn t) 22 (Trớch thi th H nm 2012, THPT Thanh Thy, Phỳ Th) ( ) n Tỡm phn thc ca s phc z = + i , bit n ẻ Ơ tha log ( n - 9) + log ( n + 6) = 23 (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn H Vinh) 4 ổz1 ổz2 ữ ỗ ữ ữ + Cho cỏc s phc z1 , z2 tha z1 - z2 = z1 = z2 > Tớnh A = ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ữ ỗ ữ ốz ứ ốz ứ 24 (Trớch thi th H nm 2014, TTLTH Nguyn Trng T, Qung Tr) ( ) 6 Gi z1 , z2 l nghim ca phng trỡnh z - ( 1- i ) + z - 4i = Tớnh P = z1 + z2 25 (Trớch thi th H nm 2014, THPT Can Lc, H Tnh) Gi z1 , z2 l hai nghim phc ca phng trỡnh z - z + = Tỡm phn thc v phn o ca s 2013 ổz1 ữ ữ phc w = ỗ , bit z1 cú phn o dng ỗ ữ ỗ ữ ốz ứ Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 48/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh 26 Vit dng lng giỏc ca s phc z tha mt cỏc iu kin sau õy: 5p a) z = v mt acgumen ca ( + i ) z l ; 12 p b) z.z = v mt acgumen ca 1- i z l ; z 2p c) z = v mt acgumen ca l +i 27 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) ( ( + i ) ( 1- i ) Vit s phc z = ) 12 di dng lng giỏc 3- i 28 (Trớch thi th THPT Quc gia trờn TC Toỏn hc v Tui tr s thỏng 4/2016) Cho s phc z tha ( - 3i ) z +( + i ) z =- ( + 4i ) Bi v phng trỡnh nghim phc Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc: a) z - 12 z + 39 = b) 16 z - z + = c) z +10 z +1 = d) z - z - = Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc: a) z + z + 21z + 27 = b) z - 11z +16 z +11 = c) ( z + 3) + z ( z + 3) - z = d) ( z - i ) 2 ( z +i) - 5z - = Gii cỏc phng trỡnh sau trờn s phc: +i 1- 3i + 7i - 8i - 2i z =z+ = a) b) 1- i +i + 3i - 3i + 2i c) z - z - 42 +14i = d) z - ( + i ) z + + 4i = Tỡm cỏc s phc z tha mt cỏc iu kin sau: b) ( z + z ) ( - i ) + z = 3i - a) ( z + 2) i = ( 3i - z ) ( - + 3i ) 25 = - 6i z Tỡm cỏc s phc z tha mt cỏc iu kin sau: c) z + z = + i d) z + a) z = v z + 2i.z = 2 b) z - i = z - z + 2i v z - ( z ) = l s thun o z (Trớch thi th H nm 2011, THPT Nguyn Tt Thnh, HSPHN) c) z - 3i = 1- i.z v z - a) Tỡm s phc z , bit rng z - = v ( + i ) ( z - 1) cú phn o bng 5p z- cú mt acgumen bng 1+i (Trớch thi th H nm 2011, THPT Chu Vn An, H Ni) b) Tỡm s phc z , bit rng z - = v ( b) Tỡm s phc z , bit z = 2- i ) 1+i Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 49/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh c) Gii phng trỡnh sau trờn s phc z - z + z - z - 16 = (Trớch thi th H nm 2011, TTBDVH Thng Long) 2 a) Tỡm s phc z cú phn thc dng, phn o l s thc õm tha z = v z - z = b) Tỡm s phc z tha z +1- 2i = z - 1- 2i v z + 3iz l s thun o (Trớch thi th H nm 2011, THPT Nguyn Hu, H Ni) 2 Tỡm s phc z tha z + z.z + z = v z + z = 10 (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn Lng Vn Ty, Ninh Bỡnh) a) Gii phng trỡnh sau trờn s phc: z - 3iz - z + 2i = b) Gii phng trỡnh sau trờn s phc: z + 3iz - z - 9i = 11 (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn H Vinh) a) Tỡm s phc z tha z - 3i = 1- iz v z l s thun o z z - 2i c) Tỡm s phc z tha z = z - - 2i v l s o z- 12 (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn Vnh Phỳc) Tỡm s phc z tha z = v z + 2i.z = 13 (Trớch thi th H nm 2011, THPT Nguyn Tt Thnh, HSPHN) z +i =1 Tỡm s phc z , bit z - = z + 2i v z +1- i 14 (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn H Tnh) Tỡm s phc z tha z - = v 17 ( z + z ) - z z = 15 (Tuyn chn theo chuyờn THTT 2) a) Tỡm s phc z tha z + - i = m cú acgumen nh nht b) Gii phng trỡnh nghim phc z z - z - i = 16 Gii phng trỡnh sau trờn s phc: z - z + z - z - 16 = 17 Gii phng trỡnh z +( 1- 2i ) z +( 1- i ) z - 2i = trờn s phc, bit rng phng trỡnh cú mt nghim thun o 18 (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn Vnh Phỳc) Tỡm s phc z tha z = v z + 2i.z = 19 (Trớch thi th H nm 2011, THPT Thỏi Phiờn, Hi Phũng) Trong cỏc s phc z tha iz - = z - - i , hóy tỡm s phc z cú acgumen bng 7p 20 (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn H Vinh) z - 2i Tỡm s phc z tha z = z - - 2i v l s o z- 21 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) a) Tỡm s phc z , bit ( z +1) + z - = ( 1- i ) z Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 50/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh b) Tỡm s phc z tha hai iu kin z - i = z - z + 2i v z - ( z ) = 22 (Trớch thi th H nm 2014, THPT Qunh Lu 1, Ngh An) 2 Tỡm s phc z tha + z = z - i +( iz - 1) v z cú phn thc dng 23 (Trớch thi th H nm 2014, THPT H Huy Tp, Ngh An) Tỡm s phc z tha z +1- 3i = z + - i v z = 24 (Trớch thi th H nm 2014, nguoithay.vn) a) Cho s phc z tha z = z - = Tớnh A = z + 2014 z5 b) Tỡm s phc z tha phng trỡnh z + z - ( + 4i ) = ( - 2i ) z 25 (Trớch thi th H nm 2014, THPT chuyờn Nguyn Quang Diờu, ng Thỏp) Tỡm s phc z tha cỏc iu kin z +1- i = z v z + ( z - 2i) l s thc 26 (Trớch thi th H nm 2014, THPT chuyờn KHTN, HQGHN) Tỡm tt c cỏc s phc z tha z + - i = z + + 2i v ( z - 2i) ( z - + i ) l s thun o 27 (Trớch thi th H nm 2014, THPT chuyờn Lý T Trng, Cn Th) Tỡm s phc z bit rng z - + 3i = v z +1 = z + i 28 (Trớch thi th H nm 2014, TTLTH Nguyn Trng T, Qung Tr) Tỡm s phc z ng thi tha z + 2iz = z = 29 (Trớch thi th H nm 2014, THPT Can Lc, H Tnh) z + + 3i Tỡm s phc z bit w = l mt s thun o v z +1- 3i = z - + i z- i 30 (Trớch thi th H nm 2014, THPT Hn Thuyờn, Bc Ninh) a) Gii phng trỡnh ( z + z ) + ( z + z ) + = trờn s phc b) Gi z1 , z2 l hai nghim phc ca phng trỡnh z - ( + i ) z + = Vit dng lng giỏc ca 2014 2014 cỏc s phc z1 v z2 2 31 Tỡm tt c cỏc s phc z , bit ( z +1) + z - - 10i = z + 32 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) a) Tỡm s phc z bit ( + 2i ) z l s thc v z + z =2 b) Tỡm cỏc s phc z tha z + z = 30 v z + z = 13 2p z d) Gi s z1 , z2 l hai s phc tha h thc z - i = + 3iz v z1 - z2 = Tớnh giỏ tr ca 1c) Tỡm s phc z tha z - i = + z - z v 3i cú mt acgumen l - biu thc A = z1 + z2 33 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 51/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh ( 1- i ) Tỡm s phc z tha z.i + + i +1 = z 34 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) ổ ỗ1 + - z ữ ữ Gi s z l s phc tha z - z + = Tỡm s phc w =ỗ ỗ 2+z ữ ữ ỗ ố ứ 35 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) 1 Tỡm cỏc s phc z1 , z2 bit z1 + = + 2i v z2 + = - i z2 z1 2 36 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) 2 Gii phng trỡnh sau trờn hp s phc: ( z - i ) ( z + i ) - z - = Bi v tỡm hp im biu din s phc Trong mt phng vi h trc ta Oxy , tỡm hp im biu din cỏc s phc z tha mt cỏc iu kin sau: a) ( - 2i ) z +( + 2i ) z = 26 b) z - + i = c) z + - 3i = z - + i d) z - + z + = 10 Trong mt phng vi h trc ta Oxy , tỡm hp im biu din cỏc s phc z tha mt cỏc iu kin sau: z- z + + 3i a) S w = l mt s thun o b) S w = l mt s thun o z- z- i iz +1 + i z +i c) S w = l mt s thc d) S w = l mt s thc z - 1+ i iz - 1 Gi A, B, C l ba im biu din nghim ca phng trỡnh = i Chng minh rng ABC l z tam giỏc u Cho ba s phc phõn bit z1 , z2 , z3 tha iu kin z1 + z2 + z3 = v cựng cú mụun bng Gi A, B, C l ba im biu din ba s phc z1 , z2 , z3 mt phng ta Oxy Chng minh rng ABC l mt tam giỏc u ni tip ng trũn n v (Trớch thi th H nm 2011, HBKHN) Trong mt phng ta Oxy , tỡm hp im biu din cỏc s phc z tha z - 2i - = z - i - (Trớch thi th H nm 2011, THPT Nguyn Tt Thnh, HSPHN) 1+i z Gi M v M ' ln lt l im biu din s phc z, z ' Cho hai s phc z = + 3i v z ' = trờn mt phng ta Oxy Tớnh din tớch tam giỏc OMM ' (BT 4.46 SBTGTNC) Xỏc nh hp cỏc im mt phng phc biu din cỏc s phc z tha tng iu kin sau: a) 2i - z = z - b) 2iz - = z + (BT 4.50 SBTGTNC) Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 52/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Tỡm tt c cỏc im ca mt phng phc biu din cỏc s phc z cho z +i l s thc z +i (Trớch thi th H nm 2011 TTBDVH Thng Long) Xỏc nh hp cỏc im mt phng phc biu din cỏc s phc z tha iz +1 + i l s thc z - 1+ i 10 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) Trong mt phng ta Oxy , tỡm hp im biu din cỏc s phc z tha iu kin ( ) z + 3z = + i z 11 (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) Trong mt phng ta Oxy , tỡm hp im biu din cỏc s phc z , bit rng s phc z1 = ( - z ) ( i + z ) l mt s thun o Bi v s phc cú mụun nh nht, mụun ln nht (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn HSPHN) Tỡm s phc z cú mụun nh nht v tha iz - = z - - i Gi s z l s phc cho w = ( z + - i ) ( z +1 + 3i ) l mt s thc Trong cỏc s phc z tha iu kin ú, hóy tỡm s phc z cú mụun nh nht (Trớch thi th H nm 2014 trờn moon.vn) Cho s phc z tha h thc z + 3i = z - + 2i Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = z + +i (Trớch thi th H nm 2011, THPT chuyờn Lờ Quý ụn, B Ra-Vng Tu) a) Trong cỏc s phc z tha z - - 3i = , tỡm s phc z cho z + - 5i t giỏ tr nh nht b) Cho s phc z tha z + 2i cú mt acgumen bng mt acgumen ca z + cng vi p Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc T = z +1 + z + i Cho s phc z tha z Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca P = z +i z Cho s phc z tha z = Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca mi biu thc sau: a) M = + z + 1- z ; b) N = + z + 1- z + z ; c) P = z - z + (Trớch thi HSG Toỏn Trung Quc nm 1995) Cho z1 v z2 l cỏc s phc tha z1 - z2 = 16 + 20i Gi s z, w l cỏc nghim phc ca phng trỡnh x + z1 x + z2 + m = tha iu kin z - w = , vi m l s phc Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca m Cho s phc z tha iu kin z = Tỡm giỏ tr nh nht v giỏ tr ln nht ca biu thc P = z +1 + z - z +1 a) Cho hai s phc z1 v z2 thay i v tha iu kin z1 + = 5; z2 +1- 3i = z2 - - 6i Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 53/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Tỡm giỏ tr nh nht ca A = z1 - z2 b) Cho hai s phc z1 v z2 thay i v tha iu kin z1 + i = 5; z2 - = z2 - Tỡm giỏ tr nh nht ca B = z1 - z2 10 a) Cho hai s phc z1 v z2 thay i v tha iu kin z1 = 2; z2 - - 5i = 2 Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca C = z1 - z2 b) Cho hai s phc z1 v z2 thay i v tha iu kin z1 - i = 2; z2 - - 5i = Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca C = z1 - z2 11 Cho hai s phc z1 v z2 thay i v tha iu kin z1 + + z1 - = 4; z2 + - 3i = z2 +1 + 2i Tỡm giỏ tr nh nht ca M = z1 - z2 Bi v ng dng ca s phc ỡù ổ ữ= ùù x ỗ ỗ1 + ữ ữ ỗ ùù ữ x + y ố ứ ù (Trớch thi VMO nm 1996) Gii h phng trỡnh ùù ổ ữ ùù y ỗ 1ữ ỗ ữ= ữ ỗ ùùợ ố x + yứ ùỡù ổ ữ 2y = ỗ3 ữ ùù ỗ ữ ữ ỗ y + 42 x ố ứ ùù (Trớch thi Olympic 30/4/2000) Gii h phng trỡnh ùù ổ ữ ỗ ùù ỗ3 + ữ x =2 ữ ữ ùùợ ỗ ố y + 42 x ứ KT LUN Sỏng kin ó xõy dng c ti liu v phõn loi bi thnh dng chớnh C th l: - Dng Bin i s phc; - Dng Biu din hỡnh hc ca s phc; - Dng Tỡm s phc tha iu kin cho trc; - Dng S phc vi mụun ln nht, mụun nh nht; - Dng Bt ng thc v mụun ca s phc; - Dng Dng lng giỏc ca s phc; - Dng S phc v mt vi ng dng Sỏng kin ó h thng c mt s lng ln bi v S phc t d n khú Cỏc bi sỏng kin ny phự hp vi ni dung ụn thi hc k, thi THPT Quc gia ng thi, mt mc no ú cng cú th dựng lm ti liu bi dng hc sinh gii Mi dng toỏn u cp n ba phn: kin thc chun b, vớ d minh v bi ngh Trong mt s vớ d cú s nhn xột, ỏnh giỏ hoc bỡnh lun giỳp cho hc sinh hiu rừ hn v sõu sc hn ni dung ang c nghiờn cu T ú to c hng thỳ hc tp, phỏt huy tớnh tớch cc, ch ng v sỏng to ca hc sinh Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 54/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Tỏc gi ó tin hnh ging dy v trin khai thc nghim mt s phn sỏng kin ny ti n v cụng tỏc t nm 2011 v sỏng kin c hon chnh sau mi nm hc Thc nghim ó thu c kt qu ỏng k (hc sinh bit cỏch nhn dng bi toỏn v S phc, bit tớnh toỏn liờn quan n S phc, tỡm hp im biu din cỏc s phc, , gii tt cỏc cõu hi v S phc thi Tt nghip v tuyn sinh i hc, Cao ng) Kt qu thc nghim bc u cho thy tớnh hiu qu, tớnh kh thi v ph dng ca sỏng kin ny Ni dung sỏng kin ny rt cú ý ngha i vi tỏc gi L ti liu tham kho b ớch cho cỏc thy cụ v hc sinh nhm nõng cao cht lng dy v hc ng thi, bi dng nng lc t hc cho hc sinh v gúp phn i mi phng phỏp dy hc giai on hin Tỏc gi mong nhn c s gúp ý t cỏc bn ng nghip, cỏc em hc sinh vic ỏp dng sỏng kin t hiu qu hn na v hon chnh ni dung ca sỏng kin ny./ Xỏc nhn ca Ban giỏm hiu Gia Vin, ngy 05 thỏng nm 2016 Tỏc gi Nguyn Tiờn Tin Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 55/55 [...]... dng nng lc t hc cho hc sinh 2) Cho z l s phc bt k khỏc 6z - i 2i 1 Ê 1 khi v ch khi z Ê Chng minh rng 2 + 3iz 3 3 3 3) Chng minh rng nu s phc z tha món iu kin z + 4) Cho cỏc s phc z1 , z2 khỏc 0 Chng minh rng 8 2 Ê 9 thỡ z + Ê 3 3 z z z1 z z + z2 + 2 Ê2 1 z1 z2 z1 + z2 3 2 5) Cho s phc z tha món z = 1 Chng minh rng 1 Ê 1 + z + 1 + z + z Ê 5 6) (Trớch d b thi TS H KD nm 2010) 2 Cho z l s phc tha... ' M 2 N 2 Ê MN Du bng xy ra khi M M 2 ; N N 2 Bi toỏn 4 Cho ng thng d v ng trũn ( I ; R ) khụng giao nhau M v N ln lt l hai im di ng trờn ng thng d v ng trũn ( I ; R ) Xỏc nh v trớ ca M v N sao cho on thng MN cú di nh nht Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 27/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Gi d ' l ng thng i qua tõm I v vuụng gúc vi ng thng d ; H... tỏc gi trỡnh by li gii mt cỏch hon chnh giỳp hc sinh hiu rừ vn ng thi, vi vic a ra nhng bi toỏn ny giỳp cho hc sinh nh hng cỏch gii quyt nhanh chúng hn Vic lng ghộp cỏc bi toỏn hỡnh hc trờn vo ni dung ny l xut ca tỏc gi sỏng kin, cha cú trong ti liu tham kho no v S phc 2.4.2 Mt s vớ d minh ha Vớ d 36 (Bi ng trờn TC Toỏn hc v Tui tr s thỏng 5/2011) Cho s phc z tha món iu kin w = ( z + 3 - i ) ( z... z cú mụun nh nht 7) Cho hai s phc z1 v z2 tha món z1 = 1 v z2 - 2 - 3i = z2 - 3 - 4i Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc M = z1 - z2 8) Cho hai s phc z1 v z2 tha món z1 - 1- i = 1 v z2 - 6 - 6i = 6 Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc M = z1 - z2 9) Cho hai s phc z1 v z2 tha món z1 - 1- i = 2 v z2 - 2 - 2i = 2 Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc M = z1 - z2 10) Cho hai s phc z1 v z2... cho trc l ỳng, thụng thng chỳng ta s dng phng phỏp phn chng T ú kt hp 2 bt ng thc vi nhau dn n iu vụ lý Vớ d trờn õy minh ha cho k thut vn dng phng phỏp phn chng ú 1 1 1 < Vớ d 44 Cho z l mt s phc cú phn thc ln hn 1 Chng minh rng z 2 2 Li gii 1 1 1 < z- 2 < z Gi s z = x + yi, ( x, y ẻ Ă ) , vi x >1 Khi ú z 2 2 2 x - 2 + yi < x + yi ( x - 2) + y 2 < x 2 + y 2 x >1 (ỳng) 2.5.3 Bi tp ngh 1) Cho. .. 9 nh tng hai gúc i bng 1800 ; hai nh k mt cnh cựng nhỡn cnh i din di nhng gúc bng nhau; tn ti 1 im cỏch u bn im ó cho Vớ d 25 (Trớch thi th H nm 2011, THPT Gia Vin B) Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 17/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh 2 2 Cho hai s phc z1 , z2 phõn bit v khỏc 0, tha món iu kin z1 + z2 = z1 z2 Gi s A, B ln lt l im biu din ca cỏc s phc... nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Cho hai s phc z = r ( cos j + i sin j ) v z ' = r '( cos j '+ i sin j ') , vi r > 0; r ' > 0 Khi ú: ự (1): z.z ' = r.r ' ộ ởcos ( j +j ') + i sin ( j +j ') ỷ; z r cos ( j - j ') + i sin ( j - j ') ự (2): = ộ ỷ; z' r' ở n n (3) z = r ( cos nj + i sin nj ) (Cụng thc Moa-vr) n c bit: ( cos j + i sin j ) = cos nj + i sin nj c) Cn bc n ca mt s phc Cho s phc z = z ( cos... F2 lm hai tiờu im v cú di trc thc bng 6 di trc bộ bng 2 32 - 22 = 2 5 Vy tp hp im biu din cỏc s phc z tha món iu kin ó cho l elip ( E ) cú phng trỡnh x2 y 2 + =1 9 5 Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B Trang 15/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Vớ d 21 Trong mt phng ta Oxy , tỡm tp hp im biu din cỏc s phc z tha món 2 iu kin: z - ( z ) = 4 2 Li gii 2 Gi s z... trong nhiu trng hp vic bin i tng i phc tp, d nhm ln Cỏch 2 cho li gii gn gng hn v ch s dng nhng tớnh cht rt c bn v S phc La chn cỏch lm no l tựy thuc vo t duy v thúi quen ca bn Li gii cỏch 2 do tỏc gi sỏng kin xut cũn cỏch 1 cú trong hu ht cỏc ti liu tham kho liờn quan n s phc Vớ d 24 Gi s A, B, C , D ln lt l cỏc im biu din trong mt phng ta Oxy cho cỏc s phc - 1 + i; - 1- i; 2i; 2 - 2i Chng minh rng... (Complex numbers from A to Z, Titu Adresscu) Cho cỏc s phc z1 , z2 , z3 tha món cỏc iu kin z1 = z2 = z3 = 1 Chng minh rng z1 + z2 + z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 Li gii Ta cú z1 = z2 = z3 = 1 z1 z1 = z2 z2 = z3 z3 = 1 nờn z1 = Ngi thc hin: Nguyn Tiờn Tin, THPT Gia Vin B 1 1 1 ; z2 = ; z3 = z1 z2 z3 Trang 11/55 Xõy dng ti liu v S phc nhm bi dng nng lc t hc cho hc sinh Do ú z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z + z