Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông A. Đặt vấn đề I. Lời mở đầu. Trong sự nghiệp giáo dục mà Đảng và Chính phủ đã xác định là quốc sách hàng đầu, giáo dục toán học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng. Toán học là môn học duy nhất đợc giảng dạy từ lớp 1 đến lớp 12 ở bậc phổ thông và giai đoạn đầu ở bậc đại học. Phần biến hình ở trờng phổ thông là một phần học gây đợc nhiều hứng thú cho học sinh, tuy nhiên đứng trớc một bài toán biến hình không phải lúc nào ng- ời học cũng dễ dàng nhận ra đợc phép biến hình cụ thể ngay cả đối với học sinh có học lực khá. Vì vậy việc học sinh nắm đợc mỗi loại biến hình, hiểu sâu sắc về phơng pháp, cách trình bày của mỗi dạng là hết sức quan trọng. Để giúp ngời học có đợc những định hớng ban đầu khi đứng trớc một bài toán biến hình, bằng những gì bản thân tôi có đợc tôi xin đề xuất Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông. II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1. Thực trạng Hiện nay việc dạy và học các phép biến hình trong chơng trình phổ thông còn gặp không ít những khó khăn, ngời dạy, ngời học không phải lúc nào cũng nhận ra đợc phép biến hình cần đợc sử dụng trong mỗi trờng hợp cụ thể. Học sinh còn lúng túng trớc những vấn đề đợc đa ra dới một hình thức khác, yếu tố sáng tạo, vận dụng linh hoạt ở các em còn nhiều hạn chế. Đề tài nghiên cứu trên cơ sở các phép biến hình đợc trình bày trong SGK Hình học lớp 10- Nhà xuất bản giáo dục 2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên Từ thực trạng trên, để việc dạy và học về phép biến hình đạt hiệu quả tốt hơn, tôi xin mạnh dạn đề xuất nội dung ph ơng pháp nghiên cứu và ph ơng pháp dạy học các phép biến hình ở tr òng phổ thông. Trang 1. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông B. Giải quyết vấn đề Phơng pháp nghiên cứu và phơng pháp dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông. 1) Ph ơng pháp nghiên cứu a) Nghiên cứu các phép biến đổi Aphin, các phép biến đổi trực giao trong hình học Aphin và hình học Ơclit để làm cơ sở soi sáng giáo trình hình học phổ thông về các phép biến hình, dời hình và đồng dạng . b) Các cách trình bày khác nhau chứng minh các định lý về các tính chất của phép dời hình và đồng dạng. c) Cách trình bày phép dời hình trong cơ sở hình học. Ví dụ: sự xác định phép dời hình có thể trình bày nhờ tích của các phép đối xứng trục ( SGK Hình học lớp 10) Có thể chứng minh định lý về sự xác đinh phép dời hình nhờ phơng pháp khai triển một véctơ theo hai vectơ không cộng tuyến. Định lý: Nếu trong mặt phẳng cho hai bộ ba điểm không thẳng hàng A, B, C và A, B, C sao cho : AB = AB ; BC = BC; CA = CA thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến A, B, C tơng ứng thành các điểm A, B, C. Sự tồn tại phép dời hình đợc chứng minh nh sau: Xét quy tắc f trong mặt phẳng chứa các điểm A, B, C, A, B, C nh sau: f :A A';f :B B';f :C C' Điểm M trong mặt phẳng biến thành M sao cho: MA=MA; MB=MB; MC=MC. Rõ ràng điểm M đợc xác định là duy nhất, thuộc giao của ba đờng tròncó tâm lần lợt là A , B, C bán kính tơng ứng là : MA, MB, MC ( hình vẽ) Giả sử N là điểm tuỳ ỳ của mặt phẳng, ảnh tơng ứng của nó là N. Cần chứng minh MN = MN. Thậy vậy, do các vec tơ: AB,AC không cộng tuyến uuur uuur , nên Trang 2. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông 1 1 AM x AB y AC;= + uuuur uuur uuur tơng tự: 2 2 AN x AB y AC= + uuur uuur uuur , lập luận tơng tự đối với sự khai triển vectơ A'M'và A'N' theocácvéctơ A'B'và A'C' uuuuuur uuuuur uuuur uuuur ta có hệ thức tơng tự: 1 1 A'M' x 'A'B' y 'A'C ';= + uuuuuur uuuuur uuuuur 2 2 A'N' x 'A'B' y 'A'C '= + uuuuur uuuuur uuuuur vì các góc ã ã ã ã MAB M'A'B' và MAC M'A'C'= = suy ra sự bằng nhau cáu các hình bình hành AEMF và AEMF từ đó suy ra x 1 = x 1 và y 1 = y 1 , x 2 = x 2 , y 2 = y 2 ta lại có: 2 1 2 1 MN AN AM (x x )AB (y y )AC (1)= = + uuuur uuur uuuur uuur uuur 2 1 2 1 M'N' A'N' A'M' (x x )A'B' (y y )A'C ' (2)= = + uuuuuur uuuuur uuuuuur uuuuur uuuuur Từ các đẳng thức (1) và (2) suy ra: ã 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 MN (x x ) AB (y y ) AC 2(x x )(y y )AB.AC.cosBAC (3)= + + ã 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 M'N' (x x ) A'B' (y y ) A'C' 2(x x )(y y )A'B'.A'C'.cosB'A'C' (4) = + + Do ABC A'B'C ' = và từ các đẳng thức (3) và (4) suy ra : MN 2 = MN 2 MN = MN Vạy f là phép dời hình. Bây giờ giả sử g là phép dời hình biến A. B, C thành A, B, C khi đó g -1 biến A, B, C tơng ứng thành A, B, C. Từ đó: Trang 3. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 A B M C F E A B M C F E Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông g -1 .f biến A, B, C thành A, B, C vậy g -1 .f = e f = g ( phép dời hình có ba điểm bất động là phép đồng nhất). 2) Ph ơng pháp dạy học các phép biến hình a) Phơng pháp dạy học các khái niệm biến hình, dời hình, vị tự, đồng dạng: - Các con đờng quy nạp hình thành các khái niệm trên. Ví dụ 1: Từ khái niệm đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay đã xét trong SGK, từ quy tắc dựng ảnh các phép trên cho học sinh biểu tợng về quan hệ 1-1 tập hợp các điểm của mặt phẳng lên chính nó và từ đó hình thành khái niệm về phép biến hình mặt phẳng . Ví dụ 2: Từ các tính chất bảo tồn khoảng cách của phép biến hình cụ thể trên, khái quát đi đến khái niệm phép dời hình. - Cấu trúc các định nghĩa trên là cấu trúc hội. - Nêu các phản ví dụ: Chẳng hạn phép chiếu vuông góc biến các điểm của đ- ờng tròn thành hình chiếu vuông góc lên một đờng kính không là quan hệ 1-1 ( song ánh) nên không phải là phép biến hình. - Hoạt động nhận dạng, thể hiện: Thông qua các mô hình nh hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, đoạn thẳng, đờng thẳng, đờng tròn, xét các tâm đối xứng, trục đối xứng, dựng ảnh qua tích các phép biến hình. b) Phơng pháp dạy học các tính chất của phép biến hình cụ thể: Trớc hết cần chỉ rõ các tính chất chung của phép dời. Đặc biệt các tính chất đặc thù cho từng phép dời hình cụ thể. Chẳng hạn; - Qua (O) Q đờng thẳng ảnh và tạo ảnh tạo thành góc định hớng bằng góc quay. - Qua phép tịnh tiến mọi phơng đều bất biến - Qua phép vị tự mọi phơng bất biến.v.v Trang 4. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông Nắm vững các tính chất đặc thù là cơ sở định hớng cho việc tìm tòi lời giải sau này bằng cách sử dụng các phép biến hình cụ thể . c) Vạch rõ khả năng của từng phép biến hình cụ thể để giải các dạng toán kèm theo hệ thống các bài tập với cách sắp xếp s phạm rèn luyện kỹ năng vận dụng các phép biến hình . Từ đó khắc sâu phơng pháp sử dụng các phép biến hình để giải các bài toán d) để thực hiện lời giải bài toán bằng cách sử dụng biến hình cần chú trọng các bớc chuẩn bị cơ bản, đặc biệt là quan tâm đến các kỹ năng sau: - Kỹ năng dựng ảnh của các hình qua phép biến hình cụ thể: ảnh của điểm, đờng thẳng, đoạn thẳng, tam giác, đờng tròn - Kỹ năng dịch từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ của các phép biến hình cụ thể: Ví dụ: Tam giác ABC đều. Chuyển dịch qua ngôn ngữ phép quay là: Tồn tại phép quay 0 60 A Q biến B thành C hoặc C thành B chiều quay phụ thuộc vào thứ tự các đỉnh. Tồn tại phép quay 0 120 O Q biến A thành B, B thành C, C thành A. Chẳng hạn cho tam giác ABC đều. Các điểm M, N, P lần lợt thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AM = BN = CP. CMR tam giác MNP đều. Để giải bài toán này ta sử dụng cách dịch thứ hai. e) Một số định hớng cơ bản và quy trình cơ bản để giải các bài toán bằng phơng pháp biến hình. 1. Các định hớng cơ bản: 1.1 Xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng dựng ảnh của các hình qua phép biến hình cụ thể; thông qua các kỹ năng đó làm cho học sinh nắm vững các bất biến của phép biến hình. Trang 5. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông 1.2 Luyện tập cho học sinh kỹ năng xác định bài toán ngợc của bài toán trên. Cho trớc hai hình xác định phép biến hình biến hình này thành hình kia. Giải các bài toán trên cần thiết cho việc định hớng lựa chọn phép biến hình này nọ để giải bài toán đã cho. Ví dụ: Sau khi giải bài toán: Cho hai đờng tròn tiếp xúc trong, xác định các phép vị tự biến đờng tròn này thành đờng tròn kia, đề xuất học sinh giải bài toán: Cho đờng tròn (O) và (O 1 ) tiếp xúc trong tại I. Một tiếp tuyến của (O) tại K cắt (O 1 ) tại M, N. CMR : ã ã MIK NIK= Giải: ã ã MIK NIK= ẳ ẳ MK' NK '= . Do hai đờng tròn (O) và (O 1 ) tiếp xúc trong với nhau tại I nên tồn tại phép vị tự 1 R R I V biến tiếp tuyến MN của (O) thành tiếp tuyến Kx của (O 1 ) và Kx // MN Từ đó suy ra ẳ ẳ MK' NK '= . Chú ý 1: Để hỗ trợ cho định hớng thứ hai đã vạch ra ở trên khi dạy học các phép biến hình cụ thể cần quan tâm cách cho khác nhau của phép biến hình đó. Chẳng hạn : Cho phép quay O Q đợc cho bởi hoặc tâm và góc quay hoặc hai cặp điểm tơng ứng ( sao cho các trung trực của các đoạn thẳng nối cặp điểm đó cắt nhau). Trang 6. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 I O O 1 N M K K x Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông Phép đối xứng trục đợc cho bởi: hoặc trục hoặc cặp điểm tơng ứng. Phép tịnh tiến v T chobởi v r r hoặc cặp điểm tơng ứng. Chú ý 2: Nếu cần chứng minh hai đoạn thẳng tơng ứng bằng nhau khác ph- ơng thờng sử dụng phép quay, đối xứng trục. Nếu cần chứng minh hai đoạn thẳng tơng ứng bằng nhau cùng phơng thờng sử dụng phép đối xứng tâm hoặc tịnh tiến. Chú ý 3: Nếu hai đoạn thẳng bất kỳ bằng nhau thì hoặc có tích của một phép tịnh tiến với phép quay biến đoạn thứ nhất thành đoạn thứ hai hoặc tích của một phép đối xứng trục và tịnh tiến theo véc tơ song song với trục biến đoạn thứ nhất thành đoạn thứ hai. Chú ý 3 nhằm trách nhầm lẫn cứ hai đoạn thẳng bất kỳ bằng nhau, khác ph- ơng đều xác định phép quay biến đoạn này thành đoạn khác. Vì khi trung trực của hai đoạn thẳng cắt nhau tại điểm O cha đủ điều kiện xác định phép quay. Để xác định phép quay cần thiết phải có các góc định hớng bằng nhau. Chẳng hạn: AB = AB, AA không song song BB khi đó các đờng trung trực của AA, BB cắt nhau tại O . Tuy nhiên không thể khẳng định (OA,OA) = (OB,OB). Ví dụ 1: Trên các cạnh AB, AC của tam giác ABC dựng các tam giác đều ABM và CAN, trong đó ABM sắp xếp bên ngoài ABC, còn CAN nằm về một phía với ABC đối với đờng thẳng AC. CMR: MN = BC. Thực hiện phép quay 0 60 A Q khi đó: Q: BM Q: CN Từ đó suy ra Q: BCMN Suy ra BC = MN Trang 7. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 A B C N M Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông Ví dụ 2: Cho đờng tròn tâm O bán kính R. AB là dây cung cố định của đờng tròn. M là điểm di động trên cung ẳ AmB của đờng tròn (O). Tìm tập hợp trực tâm H của AMB. Giải: Khi M di động trên cung ẳ AmB , MH luôn vuông góc với AB, vậy phơng của đờng thẳng MH không đổi luôn vuông góc với AB cố định. Điều đó định hớng giải bài toán nhờ phép tịnh tiến hay phép vị tự. Vì qua phép đó mọi phơng đều bất biến. Thật vậy, Giả sử A 1 là điểm đối xứng của A qua tâm O khi đó A 1 BAB , A 1 M MA Hay tứ giác MA 1 BH là hình bình hành . Từ đó: 1 MH A B v (chotrước)= = uuuur uuuur r Vậy {H} là ảnh của {M} qua phép tịnh tiến v T r . Ví dụ 3: Cho hai đờng tròn (O 1 ), (O 2 ) và đờng thẳng l. Dựng đờng thẳng d // l sao cho d cắt (O 1 ), (O 2 ) theo hai dây cung bằng nhau. Giải: Giả sử dựng đợc đờng thẳng d thoả mãn yêu cầu bài toán (Hình vẽ) AB = CD. Do d//l phơng đờng thẳng d đợc xác định . Từ đó định hớng sử dụng phép tịnh tiến. Từ O 1 và O 2 dựng O 1 H 1 và O 2 H 2 vuông góc với d, cắt l tại I và J và 1 1 1 2 O O ' H H IJ= = uuuuuur uuuuur ur Trang 8. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 A B M m A 1 H I J l A O 1 O 2 O 1 B C D d Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông Trong đó O 1 là ảnh của O 1 qua IJ T ur Từ đó suy ra cách dựng: Dựng (O 1 ) là ảnh của O 1 qua IJ T ur , dựng giao của (O 1 ) và (O 2 ) là C và D . Dựng đờng thẳng d qua C và D . 1.3 Định hớng cơ bản của bài toán tìm tập hợp điểm và bài toán dựng hình nh sau: a) Để tìm tập hợp điểm M( ) quy về xét tập hợp điểm N( ) đã biết quỹ đạo của nó, trong đó M( ) là ảnh N( ) qua một phép biến hình nào đó xác định, phép cụ thể nào phụ thuộc vào các bất biến đối với các bài toán đã cho. b) Để dựng hình H theo các điều kiện đã cho xác định nó, quy về dựng một số điểm xác định H.Để dựng M H quy về việc thiết lập liên hệ M và M; trong đó M là ảnh của M qua phép biến hình f nào đó và M có thể dễ dàng dựng đợc. Ví dụ 1: Dựng ABC biết AB = c , AC = b, và đờng trung tuyến vẽ từ A chia góc ã BAC thành hai phần sao cho ã ã BAM 2MAC= , trong đó b, c là độ dài cho trớc, M là trung điểm cạnh BC. Giải: giả sử ABC đã dựng đợc thoả mãn các điều kiện đã nêu. Hai điểm A, C dễ dàng dựng đợc vì AC = b Điểm B cần dựng đã biết cách A một khoảng bằng c . Trực tiếp xác lập điều kiện thứ hai của b khó có thể thực hiện đợc bằng phơng pháp tổng hợp bình thờng, giả sử B là ảnh của B qua phép đối xứng trục AM. Từ BAB cân suy ra: ã ã 1 CAB' MAB 2 = Trang 9. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 A B M C B I Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông Do IM là đờng trung bình của BBC, suy ra : CB//IM ( I BB' AM= ) và ABC cân . ABC đã biết 3 cạnh nên điểm B dựng đợc. Từ đó B đợc dựng theo cách sau: - Dựng ABC biết: AC = b, AB = BC = c. - Dựng đờng thẳng qua A song song BC. - Dựng B đối xứng với B qua . Ví dụ 2: Trên đờng tròn (O) cho điểm A cố định và một điểm M di động. Gọi I là trung điểm của AM. a) Tìm tập hợp trung điểm E của AI. b) Tìm tập hợp đỉnh F của hình bình hành AOIF. Giải: a) Từ giả thiết ta suy ra: AE 1 1 hayAE AM 4 4 AM = = uuur uuur uuuur uuuur ( E là ảnh của M qua 1 4 A V ) Từ đó {E} là ảnh của (O) qua 1 4 A V . Đó là đờng tròn (O) tiếp xúc trong với (O). b) Do O, E, F thẳng hàng và theo câu a) quỹ tích E là một đờng tròn (O) ảnh của (O) qua 1 4 A V . Từ đó {F} là đờng tròn ảnh của (O) qua 2 A V ( OF 2OE= uuur uuur ). 1.4 Nắm vững các hình có tâm đối xứng, trục đối xứng, các phép quay cùng tâm biến đa giác đều thành chính nó, các phép quay cùng trục biến đa diện đều thành chính nó. Đặc biệt các hình cơ bản có tâm đối xứng nh: đoạn thẳng, hình bình hành, hình hộp, đờng tròn Trang 10. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 M O I F A E [...]... toán có nội dung tổng hợp: 1) Xác định các bất biến của phép biến hình từ điều kiện đã cho và kết luận của bài toán 2) Lựa chọn phép biến hình thích hợp cho lời giải bài toán 3) Dịch từ ngôn ngữ bài toán sang ngôn ngữ phép biến hình đã chọn Trang 12 Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông 4) Giải bài toán theo ngôn ngữ biến hình đã chọn Ví dụ... ta lại có: u ur uu ur u u 1 u u u ur r ur u u 1 u u ur 1 uu uu GA1 = GA ; GB1 = GB ; GC1 = GC 2 2 2 trong đó A1, B1, C1 lần lợt là các trung điểm H C O G B của BC, CA, AB 1 - Sử dụng V 2 O - Dịch sang ngôn ngữ vị tự: H, G, O thẳng hàng khi và chỉ khi có phép vị tự tâm G biến H thành O 1 - Giải : V 2 : ABCA1B1C1 hai tam giác trên có các cạnh tơng ứng song O song 1 2 VO : HH Mặt khác trực tâm của... biến hình ở trờng phổ thông đợc đúc rút ra trong quá trình học tập cúng nh nghiên cứu tài liệu của bản thân, chắc chắn còn nhiều thiếu sót và có thể một số điểm còn cha phù hợp với quan điểm chung Rất mong đợc sự góp ý, xây dựng của các đồng chí đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn! Trang 15 Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2 . đoạn thẳng, tam giác, đờng tròn - Kỹ năng dịch từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ của các phép biến hình cụ thể: Ví dụ: Tam giác ABC đều. Chuyển. phép biến hình thích hợp cho lời giải bài toán. 3) Dịch từ ngôn ngữ bài toán sang ngôn ngữ phép biến hình đã chọn. Trang 12. Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc