Đang tải... (xem toàn văn)
Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh.Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phương trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của một phương trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phương trình... đối với học sinh lớp 8 đều cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương trình lớp 8.Các vấn đề trong đề tài đều được lựa chọn để mọi đối tượng học sinh đều có thể tiếp thu được. Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó được diễn đạt một cách đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lượng thông tin trong khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh; đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải.Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên, tôi đã chọn đề tài: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó”.2. Mục đích của đề tài:Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này.Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức.Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.Thấy được vai trò của việcphân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu: Với s
KIẾN THỨC BỔ SUNG TÀI LIỆU RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI Giáo viên biên soạn: Nguyễn Đình An Một số kĩ thuật (Hướng giải) Phân tích đa thức nhân tử Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung Hướng giải: - Đối với phần đặt hệ số ta chọn ước chung lớn hạng tử - Đối với phần biến ta chọn nhân tử chung (thừa số chung), thừa số lấy với số mũ nhỏ - Mỗi hạng tử nằm dấu ngoặc thương hạng tử đa thức chia cho nhân tử chung - Đôi ta phải đổi dấu để làm xuất nhân tử chung Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử: 3x y - 6xy2 z+15x3 y Hướng suy nghĩ để giải: - Ta tìm ƯCLN (3,6,15) - Nhân tử chung ta chọn xy Vậy ta giải sau −6 + 15 =3 ( −2 +5 ) Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : a(x-y) + (y-x) Hướng suy nghĩ để giải : - Ta đổi dấu x-y = - (y-x) y-x = - (x-y) - Nhân tử chung chọn (x-y) Vậy ta giải sau : a(x-y) + (y-x) = a(x-y) – (x-y) = (x-y) (a-1) Phương pháp 2: Dùng đẳng thức Hướng giải : Vận dụng công thức đẳng thức đáng nhớ Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : − 2√ + Hướng suy nghĩ để giải : Ta đưa dạng bình phương hiệu Vậy ta giải sau : − 2√ + = √ −2 √ 1+1 = √ −1 Ví dụ : Phân tích thành nhân tử: − 16 Hướng suy nghĩ để giải: Ta đưa dạng hiệu bình phương Vậy ta giải sau: − 16 = √5 − (4 ) = (√5 + )(√5 − ) Phương pháp 3: Nhóm hạng tử Hướng giải : - Trong nhóm (gộp) hạng tử đa thức không thiết ta phải nhóm hạng tử đầu hạng tử cuối mà ta nhóm xong bước làm tiếp bước 2…được kết cuối - Đôi ta phải khai triển (bỏ ngoặc) chọn (sắp xếp) hạng tử để nhóm hợp lí Ví dụ : Phân tích thành nhân tử −3 + −3 Hướng suy nghĩ để giải : Ta nhóm hạng tử đầu lại với nhóm hạng tử cuối với ta nhóm hạng tử đầu với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ với hạng tử cuối Vậy ta giải sau : −3 + −3 −3 + −3 =( −3 )+( −3 ) = ( + ) − (3 + ) ( ) ( ) = −3 + −3 = ( + 1) − ( + 1) = ( + 1)( − ) = ( + 1)( − ) Ví dụ : Phân tích thành nhân tử − −2 − Hướng suy nghĩ để giải : Nếu ta nhóm theo cách sau sai : Cách : ( − ) − ( + ) = ( − )( + ) − ( + ) Cách : ( − ) − ( + ) = ( − )( + ) − ( + ) Vì không thực bước để đến kêt Vậy ta giải sau : − −2 − = −( +2 + )= −( + ) = [ − ( + )][ + ( + )] = ( + + )( − − ) Chú ý : Đôi ta phải khai triển (bỏ dấu ngoặc) đề cho lựa chọn hạng tử thích hợp để nhóm Phương pháp : Phối hợp phương pháp Hướng giải : Thông thường ta xét phương pháp học để phân tích thành nhân tử Nếu đề cho thuộc phương pháp ta giải phương pháp giải kết Ví dụ : Phân tích thành nhân tử − 45 Hướng suy nghĩ để giải : Ta thấy 45 có nhân tử chung Vậy bước ta giải sau : − 45 = ( − 9) Ta nhận thấy − dùng phương pháp dùng đẳng thức để phân tích tiếp nên − 45 = ( − 9) = ( + 3)( − 3) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử +4 +4−4 Hướng suy nghĩ để giải: Ta dùng phương pháp nhóm đến phương pháp dùng đẳng thức để đến với kết Ta giải sau: + + − = ( + 2) − (2 ) = ( + + )( + − ) Phương pháp 5: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử Hướng giải: Ta tách hạng tử đa thức cho thành tổng hai hay nhiều hạng tử thích hợp để đưa dạng sử dụng phương pháp học Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử − + 12 *Cách 1: Nếu thấy −8 = −2 − ta dễ dàng giải − + 12 = − − + 12 = ( − 2) − 6( − 2) = ( − 2)( − 6) *Cách 2: Nếu thấy 12 = 16 − ta dễ dàng giải − + 12 = ( − + 16) − = ( − 4) − = ( − + 2)( − − 2) = ( − 2)( − 6) *Cách : Nếu thấy 12 = 48 − 36 , ta dễ dàng giải sau − + 12 = − 36 − + 48 = ( + 6)( − 6) − 8( − 6) = ( − 6)( + − 8) = ( − 2)( − 6) *Cách : Nếu thấy 12 = 16 − , dễ dàng giải sau : − + 12 = − − + 16 = ( − 2)( + 2) − 8( − 2) = ( − 2)( + − 8) = ( − 2)( − 6) *Cách : Nếu thấy −8 = −4 − 12 = + , giải sau − + 12 = − + − + = ( − 2) − 4( − 2) ( = − 2)( − − 4) = ( − 2)( − 6) *Cách : Nếu thấy =4 −3 ta giải sau − + 12 = − − + 12 = ( − 2) − 3( − 4) = ( − 2)[4 − 3( + 2)] = ( − 2)(4 − − 6) = ( − 2)( − 6) *Cách : Nếu thấy −8 = −12 + 12 = 36 − 24 , ta giải sau − + 12 = − 12 + 36 + − 24 = ( − 6) + 4( − 6) = ( − 6)( − + 4) = ( − 2)( − 6) Phương pháp : Thêm bớt hạng tử Hướng giải : Thêm bớt hạng tử thích hợp vào đa thức cho để đưa dạng sử dụng phương pháp học/ Ví dụ : Phân tích thành nhân tử + 64 Hướng suy nghĩ để giải : Ta thấy = ( ) 64 = ( ) Vậy + 64 = + ta nghĩ đến hạng tử để xuất đẳng thức Khi ta thêm bớt hạng tử 16 ta đến với kết toán dễ dàng Vậy ta giải sau : + 64 = ( ) + 64 + 16 − 16 = ( + 8) − (4 ) = ( + + )( + − ) Phương pháp : Đặt biến phụ (đổi biến) Hướng giải : Khi ta gặp biểu thức đề xuất nhiều lần ta đặt biểu thức làm biến phụ từ đưa dạng đơn giản ta phân tích dạng đơn giản thành nhân tử thay biến cũ vào tiếp tục giải kết Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : = ( + + 1)( + − 3) − Hướng suy nghĩ để giải : Ta dễ dàng thấy + lặp nhiều lần Vậy ta đổi biến (đặt biến phụ) + = , Ta có = ( + 1)( − 3) − = −2 −8 Ta giải sau : = −2 −8= − + − = ( − 4) + 2( − 4) = ( + 2)( − 4) = ( + + 2)( + − 4) = ( + + + 2)( + − − 4) = [ ( + 1) + 2( + 1)][( − 1)( + 4)] = ( + 1)( + 2)( − 1)( + 4) Ta đặt = + + 1, ta = ( − 4) − = − − = ( + 1)( − 5) = ( + 1)( + 2)( − 1)( + 4) Chú ý : Phân tích đa thức dạng ( + )( + )( + )( + ) + + = + thành nhân tử Ta tiến hành sau : ( + )( + )( + )( + ) + = [( + )( + )][( + )( + )] + =( + + + )( + + + )+ = [ + ( + ) + ][ + ( + ) + ] + Tiếp tục biến đổi nhờ vận dụng hăng đẳng thức − = ( + )( − ) đến kết Ta đặt = +( + ) + -Phân tích đa thức dạng + + Đặt = ≥0 -Phân tích đa thức dạng + + + + Đặt = +x -Phân tích thành nhân tử dạng Đặt = d + bx + + + + -Phân tích đa thức dạng ( + ) + ( + ) = Đặt = -Phân tích đa thức dạng( + )( + )( + )( + ) + Đặt = e d = 0,trong có a = b a+b ,trong ad=bc + ad + x Phương pháp : Dùng định lý Bezout (Bơdu) Cho đa thức ( ) = + + + Nếu ( ) có nghiệm nguyên nghiệm phải ước số hạng tử độc lập Khi tìm nghiệm = , ta việc chia ( ) cho ( − ) để tìm thương ( ) việc phân tích đa thức lại tiếp tục Ví dụ: Phân tích thành nhân tử = ( ) = + + 26 + 24 Giải: Ta nhân thấy đa thức có hệ số nguyên = 24 Ta thấy (−2) = Vậy ( ) chia hết cho + Thực phép chia ta = ( + 2)( + + 12) Lại tiếp tục phân tích tam thức ( + + 12) có hệ số nguyên = 12 Thay = −3 tam thức nên tam thức chia hết cho + Thực phép chia ta + + 12 = ( + 3)( + 4) Vậy = + + 26 + 24 = ( + 2)( + 3)( + 4) Phương pháp : Phương pháp giảm dần số mũ lũy thừa Phương pháp sử dụng cho đa thức có dạng a + a + 1, a + a + 1, … đa thức có dạng + + Tuy nhiên tìm cách giảm dần số số mũ lũy thừa, ta cần ý đến biểu thức dạng − 1, − biểu thức chia hết cho + + Ví dụ: Phân tích thành nhân tử = + +1 Giải : Ta có = + + − + − + − +1 =( − ) + ( − ) + ( − ) + ( + + 1) Mà − = ( − 1) = ( − 1)( + 1) = ( + 1)( − 1)( + + 1) Và = ( + + 1)[( + 1)( − 1)( + 1) + ( − 1) + 1] = ( + + 1)( − + − + − + 1) Phương pháp 10: Dùng tính đối xứng biểu thức chữ Ví dụ: Phân tích thành nhân tử: = ( + )( − ) + ( + ) + ( + )( − ) + ( + )( − ) Đây biểu thức đối xứng a,b,c Ta nhận thấy thay = ta = ( + )( − ) + ( + )( − ) = Coi A biểu thức bậc ba a = , ta có = 0, tức đa thức chia hết cho − Vì tính đối xứng biểu thức a,b,c nên ta thấy A chia hết(b − c) và(c − a), tức = ( − )( − )( − ) ( )(1) ( ) đa thức bậc a Vì vai trò tương tự a,b,c nên f(x) bậc b c tức ( ) = + + Nhưng đa thức đối xứng a,b,c nên m=n=p Do = ( − )( − )( − )( + + ) (2) Để tính m, ta việc lấy giá trị khác a,b,c thay vào (2) Chọn = 0, = 1, = 2, ta có = 2.4 + (−1) = (−1)(−1).2.3 ⇔ = ⇔ = Vậy = ( − )( − )( − )( + + ) Phương pháp 11: Xét giá trị riêng Ví dụ : Phân tích thành nhân tử = ( − ) + ( − ) + ( − ) Giải: Nếu thay a b = + ( − ) + ( − ) = ê ế − Do vai trò a,b,c đa thức nên P chia hết chia ( − )( − )( − ) Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc ba đối vơi tập hợp biến nên thương ( − ) + ( − ) + ( − ) = ( − )( − )( − ) ta số K Trong đẳng thức cho biến nhân giá trị riêng = 2, = 1, = ta 2.1.1 + + = 1.1 (−2) đó: = −2 , suy = −1 Vậy = −( − )( − )( − ) = ( − )( − )( − ) Phương pháp 12 : Hệ số bất định (đồng thức) Ví dụ: Phân tích − 15 − 18 thành nhân tử Giải : Giả sử (nếu) đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng − 15 − 18 = ( + )( + + )⇔ − 15 − 18 = +( + ) +( + ) + + =0 Đồng vế ta có: + = −15 từ = −18 ta chọn a=3; c= -6; b= -3 = −18 Thỏa mãn điều kiện Vậy − 15 − 18 = ( + 3)( − − 6)