1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Mục lục TRỊNH HỒNG UYÊN Mở đầu MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phương pháp giải phương trình vô tỷ 1.1 Phương pháp hữu tỷ hóa 1.2 Phương pháp ứng dụng tính chất hàm số 24 1.3 Phương pháp đưa hệ đối xứng 26 1.4 Phương trình giải phương pháp so sánh 32 Chương Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ chứa tham số 40 2.1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 40 2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 41 2.3 Sử dụng định lí Lagrange 42 2.4 Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ 43 2.5 Sử dụng phương pháp hàm số 44 Chương Một số cách xây dựng phương trình vô tỷ 48 3.1 Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình biết cách giải 48 3.2 Xây dựng phương trình vô tỷ từ hệ phương trình 52 3.3 Dùng đẳng thức để xây dựng phương trình vô tỷ 53 3.4 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa theo hàm đơn điệu 55 3.5 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác 58 3.6 Xây dựng phương trình vô tỷ từ phép "đặt ẩn phụ không toàn phần" 60 3.7 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào tính chất vectơ 60 3.8 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào bất đẳng thức 61 3.9 Xây dựng phương trình vô tỷ phương pháp hình học 65 Kết luận 68 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo 69 Mở đầu Phương trình vô tỷ lớp toán có vị trí đặc biệt quan trọng chương trình toán học bậc phổ thông Nó xuất nhiều kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh vào đại học Học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán phương trình vô tỷ mà phương pháp giải chúng lại chưa liệt kê sách giáo khoa Đó dạng toán phương trình vô tỷ giải phương pháp đưa hệ (đối xứng không đối xứng), dùng phương pháp đặt ẩn phụ không toàn phần, dạng ẩn phụ lượng giác, Việc tìm phương pháp giải phương trình vô tỷ việc xây dựng phương trình vô tỷ niềm say mê không người, đặc biệt người trực tiếp dạy toán Chính vậy, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập, tác giả chọn đề tài "Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ" làm đề tài nghiên cứu luận văn Đề tài nhằm phần đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thông Luận văn hoàn thành hướng dẫn trực tiếp NGND GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc người thầy mình, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo mong muốn học hỏi thầy nhiều Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Đại học sau Đại học Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, quý thầy cô tham gia giảng dạy khóa học tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học hoàn thành luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương trình bày hệ thống phương pháp giải lớp phương trình vô tỷ Chương trình bày phương pháp giải biện luận phương trình vô tỷ có chứa tham số Chương trình bày số cách xây dựng phương trình vô tỷ Mặc dù cố gắng nhiều nghiêm túc trình nghiên cứu, thời gian trình độ hạn chế nên kết đạt luận văn khiêm tốn không tránh khỏi thiếu xót Vì tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp, bảo quý báu quý thầy cô, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên 2011 Trịnh Hồng Uyên Chương Phương pháp giải phương trình vô tỷ 1.1 Phương pháp hữu tỷ hóa Nhìn chung để giải phương trình vô tỷ ta thường quy phương trình hữu tỷ để giải Ta thường dùng phương pháp sau để đưa phương trình vô tỷ phương trình hữu tỷ mà ta gọi phương pháp "hữu tỷ hoá" 1.1.1 Sử dụng phép biến đổi tương đương Nội dung phương pháp luỹ thừa hai vế với số mũ phù hợp Một số phép biến đổi tương đương thường gặp  f (x) = g(x) f (x) ≥ [1] 2n f (x) = 2n g(x) ⇔  g(x) ≥ [2] 2n [3] 2n+1 f (x) = g(x) f (x) = g 2n (x) g(x) ≥ f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g 2n+1 (x) Ví dụ 1.1 Giải phương trình √ 2x + = 3x + 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Ta có Nhận xét 1.2 Dạng tổng quát phương trình f (x) + g(x) = h(x) Khi gặp dạng phương trình ta biến đổi tương đương sau  f (x) ≥ f (x) + g(x) = h(x) ⇔ g(x) ≥  f (x) + g(x) + f (x)g(x) = h(x) 3x + ≥ (1.1) ⇔ 2x + = (3x + 1)2 x≥− ⇔ 9x2 + 4x =   x ≥ − ⇔  x = 0, x = − ⇔ x = 0, x = − (loại) Vậy nghiệm phương trình x = Nhận xét 1.1 Phương trình có dạng tổng quát gặp dạng phương trình này, ta sử dụng biến đổi sau f (x) = g(x) ⇔ Ví dụ 1.3 (Hoc sinh giỏi quốc gia năm 2000) Giải phương trình √ − 10 − 3x = x − Giải Ta có (1.3) ⇔ f (x) = g(x) Khi ⇔ g(x) ≥ f (x) = g (x) ⇔ Ví dụ 1.2 Giải phương trình √ √ 1+ x − x2 = x + − x (1.2)  x − x2 ≥ Giải Điều kiện x ≥ ⇔ ≤ x ≤  1−x≥0 Để giải phương trình này, ta thường nghĩ đến việc bình phương hai vế không âm phương trình để phương trình tương đương (1.2) ⇔ 2(x − x2 ) − x − x2 = ⇔ ⇔ ⇔ x − x2 (2 x − x2 − 3) = √ √x − x = x − x2 = x − x2 = 4x2 − 4x + = (vô nghiệm) Suy x = x = Kết hợp với điều kiện ra, ta có x = 0; x = nghiệm phương trình 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.3) http://www.lrc-tnu.edu.vn ⇔ ⇔ ⇔ x ≥ 2√ − 10 − 3x = x2 − 4x + x≥2 √ 4x − x2 = 10 − 3x 2≤x≤4 x4 − 8x3 + 16x2 + 27x − 90 = 2≤x≤4 (x − 3)(x3 − 5x2 + x + 30) = 2≤x≤4 (x − 3)(x + 2)(x2 − 7x + 15) = x = Vậy x = nghiệm phương trình 1.1.2 Thực phép nhân liên hợp để đơn giản việc tính toán Ta biết x = x0 nghiệm phương trình f (x) = điều x0 ∈ Df có nghĩa f (x0 ) = Nếu x = a nghiệm đa thức P (x) P (x) = (x − a)P1 (x), P1 (x) đa thức với deg P1 = deg P − Nếu x0 nghiệm phương trình f (x) = ta đưa phương trình f (x) = dạng (x − x0 )f1 (x) = việc giải phương trình f (x) = quy phương trình f1 (x) = 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.4 Giải phương trình √ √ 3(2 + x − 2) = 2x + x + (1.4) x−2≥0 ⇔ x ≥ x+6≥0 Ta thấy x = nghiệm phương trình cho Nhận xét x = x − 4x + số phương Do ta tìm cách đưa phương trình cho dạng (x − 3)f1 (x) = √ √ Biến đổi phương trình dạng sau 2(x − 3) + ( x + − x − 2) = √ √ Vấn đề lại phải phân tích x + − x − = để có thừa số (x − 3) Ta có (x + 6) − 9(x − 2) = −8(x − 3), điều giúp ta liên tưởng đến đẳng thức a2 − b2 = (a + b)(a − b) Ta biến đổi √ √ √ √ √ √ ( x + − x − 2)( x + + x − 2) √ √ x+6−3 x−2 = x+6+3 x−2 −8(x − 3) √ =√ x+6+3 x−3 Giải Điều kiện Suy phương trình cho tương đương với phương trình (x − 3) − √ √ = x+6+3 x−2 Đến ta cần giải phương trình 2− √ hay √ =0 x+6+3 x−2 √ √ x + + x − = √ √ 11 + 11 − ,x = Phương trình có nghiệm x = √ √ 11 − 11 + Vậy phương trình có nghiệm x = x = ,x = · 2 Nhận xét 1.3 Qua ví dụ ta thấy để khử thức ta sử dụng đẳng thức an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta gọi hai biểu thức a − b an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 biểu thức liên hợp Nên phương pháp thường gọi tắt phương pháp nhân liên hợp Ví dụ 1.5 (Đề thi đề nghị Olympic 30-4 THPT Thái Phiên, Đà Nẵng) Giải phương trình √ 1+3 x √ − = (1.5) 4x + + x  x ≥ ≥0 ⇔ x ≥ Giải Điều kiện + x√  4x + + x = Ta có √ √ (1.5) ⇔ + x − 4x − + x = √ √ ⇔ x − + x = 4x − √ √ √ √ √ √ ⇔ (3 x − + x)(3 x + + x) = (4x − 1)(3 x + + x) √ √ ⇔ 8x − = (4x − 1)(3 x + + x) √ √ ⇔ (4x − 1)(3 x + + x − 2) = 4x √0 √− = ⇔ x+ 2+x=2 x= ⇔ 16x2 − 28x + = Giải hệ tuyển hai phương trình trên, √ √ ta 7−3 7+3 x = ,x = ,x = nghiệm cần tìm 8 1.1.3 Đặt ẩn phụ Nội dung phương pháp đặt biểu thức chứa thức biểu thức theo ẩn mà ta gọi ẩn phụ, chuyển phương trình cho phương trình với ẩn phụ vừa đặt Giải phương trình theo ẩn phụ để tìm nghiệm thay vào biểu thức vừa đặt để tìm nghiệm theo ẩn ban đầu Với phương pháp ta tiến hành theo bước sau 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 11 Bước Chọn ẩn phụ tìm điều kiện xác định ẩn phụ Đây bước quan trọng nhất, ta cần chọn biểu thức thích hợp để đặt làm ẩn phụ Để làm tốt bước ta cần phải xác định mối quan hệ biểu thức có mặt phương trình Cụ thể là, phải xác định biểu diễn tường minh biểu thức qua biểu thức khác phương trình cho Bước Chuyển phương trình ban đầu phương trình theo ẩn phụ vừa đặt giải phương trình Thông thường sau đặt ẩn phụ phương trình thu phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Bước Giải phương trình với ẩn phụ biết để xác định nghiệm phương trình cho Ta nhận thấy cách giải dựa theo mối liên hệ đẳng thức (1.7) Ngoài ra, ta ta tạo mối quan hệ khác đối tượng tham gia phương trình theo cách sau Cách Từ phương trình cho ta rút thức theo biểu thức chứa √ lại √ √ 1−x−3 x= √ · Do đó, ta đặt − x = t, t ≥ 1−x−3 √ 3t − Khi ta có x = · Và từ đẳng thức 2t − √ √ ( x)2 + ( − x)2 = x + − x = (1.8) Nhận xét rằng, có nhiều cách để đặt ẩn phụ Ta mô tả số cách đặt ẩn phụ qua ví dụ sau Ví dụ 1.6 Giải phương trình 1+ x − x2 = √ x+ √ − x (1.6) x≥0 ⇔0≤x≤1 1−x≥0 Phân tích Ta lựa chọn cách chọn ẩn phụ sau √ √ √ Cách Ta nhận thấy x − x2 biểu diễn qua x + − x nhờ vào đẳng thức √ √ ( x + − x)2 = + x − x2 (1.7) √ √ √ t − · Cụ thể ta đặt x + − x = t, t ≥ x − x2 = Khi phương trình cho trở thành phương trình bậc hai với ẩn t Điều kiện t2 − = t hay t2 − 3t + = suy t = 1, t = √ √ √ Với t = 1, ta có x + − x = hay x − x2 = 0, suy x = x = √ √ Với t = 2, ta có x + − x = vô nghiệm Vậy x = 0, x = nghiệm phương trình 1+ 11Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ta thu phương trình t(t − 1)(2t2 − 4t + 3) = có nghiệm t = t = 1, hay x = 1, x = nghiệm phương trình cho Cách Nhận xét phương trình cho chứa tổng tích hai √ biểu thức chứa chúng thoả mãn (1.8), ta đặt x = a, √ − x = b, a ≥ 0, b ≥ Từ phương trình cho kết hợp với (1.8) ta có hệ phương trình + ab = a + b a2 + b2 = Đây hệ đối xứng loại I Giải hệ ta thu nghiệm phương trình x = 0, x = Tiếp tục nhận xét, ta thấy đẳng thức (1.8) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức lượng giác sin2 α + cos2 α = Điều dẫn đến cách giải sau π Cách Đặt x = sin2 t, với t ∈ 0; (Điều hoàn toàn hợp lí x ∈ [0; 1] nên ứng với giá trị x xác định giá trị t) Khi đó, ta có (1.6) ⇔ + sin t cos t = sin t + cos t ⇔ 3(1 − sin t) + (1 − sin t)(1 + sin t)(2 sin t − 3) = √ √ √ ⇔ − sin x[3 − sin x − (3 − sin 2x) + sin x] = √ √ Suy sin t = − sin t = (3 − sin t) + sin t hay sin t(4 sin2 −8 sin t + 6) = suy sin t = 12Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 13 Vậy x = 1; x = nghiệm Ví dụ 1.8 Giải phương trình √ Nhận xét 1.4 Qua ví dụ ta thấy có nhiều cách đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ Tuy nhiên đặt cho phù hợp cho cách giải tuỳ thuộc vào kinh nghiệm phát mối quan hệ đặc thù đối tượng tham gia phương trình Sau số dạng toán số cách đặt ẩn phụ thường dùng Giải Đặt Dạng Phương trình dạng F ( n f (x)) = 0, với dạng ta đặt n f (x) = t (nếu n chẵn phải có điều kiện t ≥ ) chuyển phương trình F (t) = Giải phương trình ta tìm t, suy x từ phương trình n f (x) = t √ Với t = ta có x2 + 11 = suy x = ±5 nghiệm Vậy nghiệm phương trình x = ±5 Ta thường gặp phương trình có dạng sau af (x)2 + bf (x) + c = Ví dụ 1.7 (Đề thi đề nghị Olympic 30-4 Trường THPT Chuyên Chu Văn An, Ninh Thuận) Giải phương trình 2x2 + 5x − = x3 − Giải Điều kiện x3 − ≥ ⇔ x ≥ Khai triển phương trình cho sau (1.7) ⇔ 3(x − 1) + 2(x2 + x + 1) = (x − 1)(x2 + x + 1) Ta nhận thấy x = không nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x − 1, ta phương trình 3+2 x2 + x + −7 x−1 x2 + x + = x−1 x2 + x + = t, t ≥ Khi ta có phương trình x−1 2t2 − 7t + = suy t = t = √ Với t = 3, ta có x2 − 8x + 10 = hay x = ± (thỏa mãn điều kiện) Với t = , ta có 4x2 + 3x + = (vô nghiệm) √ Vậy nghiệm phương trình x = ± Đặt 13Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x2 + √ x2 + 11 = 31 (1.9) x2 + 11 = t, t ≥ Ta có (1.9) ⇔ t2 + t − 42 = t=6 ⇔ t = −7 (loại) Ví dụ 1.9 Giải phương trình √ √ x−1+ 3x−1−2=0 Giải Điều kiện x − ≥ ⇔ x ≥ √ Đặt t = x − 1, t ≥ phương trình cho trở thành t3 + t2 − = hay (t − 1)(t2 + 2t + 2) = suy t = √ Với t = ta có x − = suy x = thỏa mãn điều kiện Vậy x = nghiệm phương trình Nhận xét 1.5 Các phương trình có chứa biểu thức n1 f (x), n2 f (x), n3 f (x), nn f (x) ta giải phương trình cách đặt t = n f (x) n bội số chung nhỏ số n1 , n2 , nn Dạng Trong phương trình có chứa f (x) ± g(x) f (x).g(x) Khi gặp phương trình dạng ta đặt f (x) ± g(x) = t sau bình phương hai vế ta biểu diễn đại lượng lại qua t chuyển phương trình ban đầu phương trình bậc hai t Ví dụ 1.10 Giải phương trình √ Giải Điều kiện 3+x+ √ 6−x=3+ 3+x≥0 6−x≥0 (3 + x)(6 − x) ⇔ −3 ≤ x ≤ 14Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 Đặt √ 3+x+ √ 15 − x = t, t ≥ suy (vì t=0 không nghiệm phương trình) Phương trình cho trở thành t2 = + (3 + x)(6 − x) (1.10) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có (3 + x)(6 − x) ≤ nên từ √ (1.10), suy ≤ t ≤ t2 − Phương trình cho trở thành t = + hay t2 − 2t − = có nghiệm t = (thỏa mãn) Thay vào (1.10), ta phương trình (3 + x)(6 − x) = có x = 3, x = nghiệm Ví dụ 1.11 Giải phương trình √ √ √ 2x + + x + = 3x + 2x2 + 5x + − 16 t3 − 35 t = 30 suy t = 3t Thay vào (1.12), ta (1.12) ⇔ x 35 − x3 = ⇔ x3 (35 − x3 ) = 216 ⇔ x6 − 35x3 + 216 = ⇔ x = x = Dạng Phương trình dạng a n f (x) + b 2n f (x)g(x) + c n g(x) = (Với g(x) = 0) Để giải phương trình dạng ta chia hai vế phương trình cho n g(x) 2x + ≥ Giải Điều kiện ⇔ x ≥ −1 x √ √+ ≥ Đặt 2x + + x + = t, t ≥ 0, suy f (x) = t, t ≥ ta phương trình bậc hai ẩn t có g(x) dạng at2 + bt + c = đặt t = 3x + (2x + 3)(x + 1) + (1.11) Khi phương trình cho trở thành t = t2 − 20 hay t2 − t − 20 = suy t = (do t ≥ 0) Thay t = vào (1.11), ta √ (1.11) ⇔ 21 − 3x = 2x2 + 5x + 21 − 3x ≥ ⇔ 441 − 126x + 9x2 = 8x2 + 20x + 12 −1 ≤ x ≤ ⇔ x2 − 146x + 429 = ⇔ x = Ví dụ 1.12 Giải phương trình x 35 − x3 (x + 35 − x3 ) = 30 √ √ √ Giải Đặt x + 35 − x3 = t suy t3 = 35 + 3x 35 − x3 (x + 35 − x3 ) hay t3 − 35 x 35 − x3 = (1.12) 3t 15Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2n Ví dụ 1.13 Giải phương trình √ 10 x3 + = 3(x2 − x + 6) (1.13) Giải Điều kiện x3 + ≥ ⇔ x ≥ −2 Ta có (1.13) ⇔ 10 (x + 2)(x2 − 2x + 4) = 3[(x + 2) + (x2 − 2x + 4)] Chia hai vế cho x2 − 2x + (do x2 − 2x + ≥ với x) Ta phương trình x+2 x+2 10 = 3[ + 1] x − 2x + x − 2x + x+2 Đặt = u, u ≥ phương trình với ẩn u có dạng x2 − 2x + 3u2 − 10u + = hay u = u = · x+2 Với u = 3, ta có = 3, hay 9x2 − 19x + 34 = vô nghiệm x2 − 2x + 16Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Với u = ta có 17 x+2 = x2 − 2x + hay x − 11x − 14 = Suy x = Ví dụ 1.15 Giải phương trình 11 ± √ 2(1 − x) x2 + 2x − = x2 − 6x − 177 (thỏa mãn) √ 11 ± 177 Vậy phương trình cho có nghiệm x = · Ví dụ 1.14 Giải phương trình √ x3 + = 2(x2 + 2) (1.14) Giải Điều kiện x3 + ≥ ⇔ x ≥ −1 Ta có (1.14) ⇔ ⇔ Đặt (x + 1)(x2 − x + 1) = 2(x2 − x + 1) + 2(x + 1) x+1 −5 x2 − x + x+1 + = (do x2 − x + > với x) x2 − x + x+1 = t với t ≥ ta có phương trình x2 − x + 1 2t2 − 5t + = suy rat = t = · Với t = ta có x+1 = hay4x2 − 5x + = phương trình vô nghiệm x2 − x + Với t = ta có √ x+1 ± 37 = hay x − 5x − = ⇔ x = · x2 − x + √ ± 37 Vậy nghiệm phương trình x = Dạng p(x)f (x) + g(x) f (x) + h(x) = Với dạng phương trình ta đặt f (x) = t, t ≥ Khi ta phương trình theo ẩn t p(x)t2 + g(x)t + h(x) = 0, ta giải phương trình theo t, xem x tham số (ta tìm t theo x) nên ta gọi dạng dạng ẩn phụ không triệt để 17Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Điều kiện x2 + 2x − ≥ √ Đặt x2 + 2x − = t, t ≥ ta phương trình t2 −2(1−x)t−4x = Đây phương trình bậc hai ẩn t ta coi x tham số có ∆ = (x + 1)2 , phương trình có hai nghiệm t = 2, t = −2x √ Với t = ta có x2 + 2x − = hay x2 + 2x − = suy √ x = −1 ± √ x≤0 hệ Với t = −2x ta có x2 + 2x − = −2x hay 3x2 − 2x + = vô nghiệm √ Vậy phương trình cho có hai nghiệm thỏa mãn x = −1 ± Ví dụ 1.16 (Đề thi đề nghị Olympic 30-4 THPT Bạc Liêu) Giải phương trình √ √ x2 + (3 − x2 + 2)x = + x2 + Giải √ Đặt x2 + = t, t ≥ ta có x2 = t2 − nên phương trình cho trở thành t2 − (2 + x)t − + 3x = hay t = t = x − √ √ Với t = ta có x2 + = suy x = ± √ Với t = x − ta có x2 + = x − x−1≥0 suy (vô nghiệm) x2 + = x2 − 2x + √ Vậy nghiệm phương trình x = ± 1.1.4 Phương pháp đưa hệ không đối xứng Phương trình có dạng sau A( n f (x)+ m g(x))+B n f (x) m g(x)+C = với (af (x)±bg(x) = D) A, B, C, D, a, b số n f (x) = u Đặt m g(x) = v Khi phương trình cho trở thành hệ phương trình "hữu tỷ" A(u ± v) + Buv + C = aun + bv m = D 18Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 19 Ví dụ 1.17 Giải phương trình √ √ √ √ 2( x − − x + 1) + x − x + + = Giải Điều√kiện x ≥ x − = u, u ≥ Đặt √ x+1=v 2(u − v) + 3uv + = Khi ta có hệ u − v = −2 Rút u từ phương trình thứ hai hệ ta u = v − thay vào phương trình đầu ta có 3v − 6v + = suy v = thỏa mãn Vậy x + = không thỏa mãn điều kiện Phương trình vô nghiệm Ví dụ 1.18 Giải phương trình √ √ 24 + x + 12 − x = Giải Điều kiện 12 − x ≥ ⇔ x ≤ 12 √ √ √ Đặt 24 + x = u, 12 − x = v suy u ≤ 36, v ≥ u+v =6 v =6−u v =6−u Ta có ⇔ ⇔ u3 + v = 36 u + (6 − u)2 = 36 u(u2 + u − 12) = Suy u = 0; u = −4; u = nghiệm thoả mãn điều kiện Từ ta x = −24; x = −88; x = Vậy phương trình có nghiệm x = −24; x = −88; x = Ví dụ 1.19 Giải phương trình √ √ x + − x = Giải Điều kiện x ≥ √ u3 = x + u≥ 37 Đặt suy v2 = x v≥0 u−v =1 Ta có hệ u3 − v = Rút v từ phương trình thứ hệ ta v = u−v thay vào phương trình thứ hai hệ ta u3 −(u−1)2 = hay u3 − u2 + 2u − = suy (u − 2)(u2 + u + 4) = Phương trình có nghiệm u = v = 19Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trở tìm x ta giải u3 = x+7=8 suy suy x = (thỏa mãn) v2 = x=1 Vậy x = nghiệm phương trình Một số ví dụ khác Ví dụ 1.20 Giải phương trình √ √ x + − x − x(1 − x) − x(1 − x) = −1 x≥0 Giải Điều kiện 1−x≥0 √ x = u với u ≥ 0, v ≥ Đặt √ 1−x=v Từ điều kiện từ phương trình cho ta có hệ u4 + v = u4 + v = hay 2 2 u+ v − 2uv + − 2u v = (u − v)2 + (u2 − v )2 = u − v = u=v u2 − v = suy  u4 = v = u + v4 = Trở  tìm x ta  x = suy x = · 1 − x =  Ví dụ 1.21 Giải phương trình √ √ √ √ 8x + + 3x − = 7x + + 2x − Giải Điều kiện x ≥ √ √ √ √ Đặt u = 8x + 1, v = 3x − 5, z = 7x + 4, t = 2x − với u, v, z, t không âm Từ cách đặt phương trình cho ta thu hệ u+v =z+t u2 − v = z − t2 Từ phương trình thứ hai hệ ta thu (u+v)(u−v) = (z+t)(z−t) Lại u + v > u ≥ 0, v ≥ 0, u, v không đồng thời 0, ta thu u − v = z − t kết hợp với phương trình đầu hệ suy u = z √ √ Từ ta 8x + = 7x + suy x = (thỏa mãn) Vậy x = nghiệm phương trình 20Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 41 2.1.2.Phương trình dạng f (x, m) + g(x, m) = h(x, m) Cách giải Biến đổi phương trình tương đương với hệ  f (x, m) có nghĩa f (x, m) ≥ g(x, m) có nghĩa g(x, m) ≥  f (x, m) + g(x, m) + f (x, m)g(x, m) = h(x, m) Chương Ví dụ 2.2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ chứa tham số 2.1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 2.1.1 Phương trình dạng f (x, m) = 2m + x − x2 Giải Ta có −x2 + 3x − ≥ 1≤x≤2 hay x=m+1 x=m+1 Do điều kiện để phương trình có nghiệm ≤ m + ≤ hay 0≤m≤1 g(x, m) Cách giải Ta thường biến đổi phương trình hệ g(x, m) có nghĩa g(x, m) ≥ f (x, m) = g (x, m) Nhận xét 2.1 Không cần đặt điều kiện f (x, m) ≥ Ví dụ 2.1 Giải biện luận phương trình x2 − − x = m 2.2 Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 2.2.1 Một số dạng thường gặp Cách đặt ẩn phụ trường hợp toán phương trình vô tỷ chứa tham số giống cách đặt ẩn phụ trường hợp phương trình vô tỷ không chứa tham số trình bày chương trước Sau số ví dụ minh họa Ví dụ 2.3 Với giá trị m phương trình sau có nghiệm? x+m≥0 x ≥ −m Giải Ta có hay x2 − = (x + m)2 2mx = −m2 − Ta xét trương hợp Với m = hệ vô nghiệm có phương trinh thứ hai hệ vô nghiệm Với m = hệ có nghiệm phương trình 2mx = −m2 − m2 + ≥ −m hay có nghiệm thỏa mãn x ≥ −m điều xảy − 2m m −1 ≥ suy m ≥ −1 ≤ m ≤ 2m Vậy m ≥ − ≤ m ≤ giá trị cần tìm 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên −x2 + 3x − = http://www.lrc-tnu.edu.vn 2(x2 − 2x) + x2 − 2x − − m = Giải Điều kiện x2 − 2x − ≥ √ Đặt x2 − 2x − = t với t ≥ Khi phương trình cho có dạng √ 2(x2 −2x−3)+ x2 − 2x − 3−m+6 = hay f (t) = 2t2 +t−m+6 = Phương trình cho có nghiệm f (t) = có nghiệm không  âm Điều tươngđương với 6− m ≤ a.f  (0) ≤  ∆ ≥  8m − 47 ≥   hay  − m ≥  a.f (0) ≥  S  − ≥  ≥0 2 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 43 Vậy phương trình có nghiệm m ≥ 2.2.2 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình đối xứng Ví dụ 2.4 Với giá trị a phương trình sau có nghiệm √ √ − x + + x = a √ 1−x=u Giải Đặt √ suy u3 + v = 1+x=v Khi phương trình cho chuyển hệ u3 + v = (u + v)(u2 + v − uv) = a(u2 + v − uv) = hay suy u+v =a u+v =a u+v =a a Nếu a = hệ vô nghiệm b Nếu a = hệ biến đổi sau 2 u+v =a u2 + v − uv = (v + u)2 − 3uv = a hay a suy uv = (a2 − ) u+v =a u+v =a a Phương trình cho có nghiệm − a3 ≥ suy < a ≤ a2 − (a2 − ) ≥ hay a 3a Vậy phương trình có nghiệm < a ≤ Bước Xác định hàm số F (x) khả vi liên tục [a; b] thỏa mãn F (x) = f (x) F (a) = F (b) f (b) − f (a) Bước Khi tồn số c ∈ (a; b) cho f (c) = b−a Vậy phương trình f (x) = có nghiệm x = c Ví dụ 2.5 Chứng tỏ với a + 3b = 27, phương trình √ 2(6x − b) x + = a có nghiệm dương Giải Biến đổi phương trình dạng a a 6x − b = √ hay √ − 6x + b = x+1 √2 x + Xét hàm số F (x) = a x + − 3x + bx khả vi liên tục (0; +∞) a có F (x) = √ − 6x + b x+1 F (3) − F (0) = (2a − 27 + 3b) − a = a + 3b − 27 = Khi tồn c ∈ (0; 3) cho F (3) − F (0) a F (x) = hay √ − 6c + b = tức phương trình 3−0 c+1 cho có nghiệm c ∈ (0; 3) 2.3 Sử dụng định lí Lagrange Định lí Lagrange Cho hàm số f (x) liên tục [a; b] tồn đạo hàm (a; b) tồn số c ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) b−a Từ ta sử dụng định lí Lagrange để thực yêu cầu đặt cho phương trình Bài toán Chứng minh phương trình có nghiệm Từ định lí Lagrange f (a) = f (b) tồn c ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) f (c) = = hay phương trình f (x) = có nghiệm thuộc b−a (a; b) Vậy để áp dụng kết vào việc chứng minh phương trình f (x) = có nghiệm (a; b) điều quan trọng nhận nguyên hàm F (x) hàm f (x) Cụ thể ta thực bước sau f (c) = 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.4 Sử dụng phương pháp điều kiện cần đủ Phương pháp điều kiện cần đủ thường tỏ hiểu cho dạng toán tìm điều kiện tham số để Dạng 1: Phương trình có nghiệm Dạng 2: Phương trình có nghiệm với giá trị tham số Dạng 3: Phương trình nghiệm với x ∈ D Khi ta cần thực bước: Bước 1: Đặt điều kiện để biểu thức phương trình có nghĩa Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa việc đánh giá tính đối xứng hệ Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ bước cần có số kỹ 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 45 Ví dụ 2.6 Tìm m để phương trình sau có nghiệm − x2 + − x2 = m Giải Điều kiện cần Nhận xét phương trình có nghiệm x0 nhận −x0 làm nghiệm Do phương trình có nghiệm điều kiện đủ x0 = −x0 thay vào phương trình ta có m = Điều kiện đủ √ √ 2 Với m √= phương trình có dạng − x + − x = ≤1 √ √ − x suy − x2 + − x2 ≤ Vì √ − x2 ≤ √ − x2 = Do phương trình có nghiệm √ hay − x2 = x = Vậy phương trình có nghiệm m = Ví dụ 2.7 Tìm m để phương trình sau nghiệm với x ≥ x2 + 2x − m2 + 2m + = x + m − Giải Điều kiện cần Giả sử phương trình cho có nghiệm với x ≥ x = nghiệm phương trình thay x = vào phương trình ta √ m−2≥0 −m2 + 2m + = m − hay suy −m2 + 2m + = (m − 2)2 m = Điều kiện đủ Với m = phương trình cho có dạng √ x2 + 2x + = x + phương trình với x ≥ Vậy m = giá trị cần tìm D D Bất phương trình f (x) ≤ g(m) có nghiệm x ∈ D f (x) ≤ g(m) D Bất phương trình f (x) ≤ g(m) nghiệm với x ∈ D max f (x) ≤ g(m) D Bất phương trình f (x) ≥ g(m) có nghiệm x ∈ D max f (x) ≥ g(m) D Bất phương trình f (x) ≥ g(m) có nghiệm với x ∈ D f (x) ≥ g(m) D Nhận xét 2.2 Trong trường hợp không tồn f (x), max f (x) D D ta lập bảng biến thiên hàm số y = f (x) D Sau vào bảng biến thiên để kết luận cho toán Dạng toán thường gặp toán tìm giá trị tham số m cho phương trình chứa tham số m có nghiệm ta làm sau Biến đổi phương dạng f (x) = g(m) Tìm max f (x); f (x) (nếu có) Nếu f (x) không đạt giá trị max f (x) D D D f (x) ta phải tính giới hạn lập bảng biến thiên hàm số D y = f (x) D Từ bảng biến thiên suy giá trị m cần tìm Chú ý 2.1 Trong trường hợp phương trình chứa biểu thức phức tạp ta đặt ẩn phụ - Đặt t = φ(x) (φ(x) hàm số thích hợp có mặt f (x)) - Từ điều kiện ràng buộc x ∈ D ta tìm điều kiện t ∈ K - Ta đưa phương trình dạng f (t) = h(m) - Lập bảng biến thiên y = f (t) K - Từ bảng biến thiên suy kết luận toán Ví dụ 2.8 (Tuyển sinh Đại học Cao đẳng khối A năm 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm √ √ m( + x2 − − x2 + 2) = − x4 + + x2 − − x2 2.5 Sử dụng phương pháp hàm số Kiến thức cần nhớ 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Cho hàm số y = f (x) liên tục D Phương trình f (x) = g(m) với m tham số có nghiệm x ∈ D f (x) ≤ g(m) ≤ max f (x) http://www.lrc-tnu.edu.vn 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 47 Giải Điều kiện −1 ≤ x ≤ √ √ Đặt + x2 − − x2 = t với x ∈ [−1; 1] x x +√ +√ Ta có t = √ =x √ 2 1−x − x2 1+x 1+x t = suy x = với x ∈ [−1; 1] ta có bảng biến thiên x −1 t √ t 0 − t + √ √ Như ≤ t ≤ Phương trình (2.11) tương đương với phương trình sau √ −t2 + t + m(t + 2) = − t2 + t, t ∈ [0; 2] hay m = t+2 √ 4 Đặt m = g(t) = −t + − , t ∈ [0; 2] g (t) = −1 + t+2 (t + 2)2 g (t) = suy t = ta có bảng biến thiên √ f (t) t g (t) g(t) Xét phương trình theo ẩn t với t ∈ [0; 1) có dạng 3t2 + m = 2t hay m = −3t2 + 2t, t ∈ [0; 1) Xét hàm số f (t) = −3t2 + 2t, t ∈ [0; 1) Bảng biến thiên 3 −1 Như phương trình cho có nghiệm với m ∈ (−1; ] − √ 2−1 √ Như phương trình có nghiệm m ∈ [ − 1; 1] Ví dụ 2.9 "Đại học cao đẳng khối A năm 2007" Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực √ √ x − + m x + = x2 − Giải Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với 3( x−1 x−1 ) +m=24 x+1 x+1 x−1 với x ≥ x+1 x−1 Ta có ≤ =1− < suy ≤ t < x+1 x−1 Đặt t = 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 49 ta phương trình vô tỷ sau Chương Một số cách xây dựng phương trình vô tỷ x2 + x + −7 x−1 x2 + x + +3 =0 x−1 biến đổi để toán trở nên khó cách nhân hai vế phương trình với x − ta phương trình sau 3(x − 1) + 2(x2 + x + 1) = x3 − từ phương trình ta xây dựng lên toán giải phương trình vô tỷ sau Phương trình vô tỷ có nhiều dạng nhiều cách giải khác Người giáo viên việc nắm dạng phương trình phương pháp giải chúng cần phải biết xây dựng lên đề toán khác làm tài liệu giảng dạy Trong phần tác giả xin trình bày số cách xây dựng lên phương trình vô tỷ, hy vọng đem lại điều bổ ích 3.1 Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình biết cách giải Con đường sáng tạo "phương trình vô tỷ" dựa sở phương pháp giải trình bày Ta tìm cách "che đậy" biến đổi chút để dấu chất, cho phương trình thu dễ nhìn mặt hình thức mối quan hệ đối tượng tham gia phương trình khó nhận toán khó Ta tìm hiểu số cách xây dựng sau 3.1.1 Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình bậc hai Từ phương trình dạng at2 + bt + c = ta thay t = f (x) ta nhận phương trình vô tỷ đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai để giải Ví dụ 3.1 Từ phương trình 2t2 − 7t + = ta chọn t = 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên x2 + x + x−1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài toán 3.1 (Đề thi đề nghị Olympic 30/4/2007) Giải phương trình 2x2 + 5x − = x3 − Hướng dẫn 3.1 Phương trình giải phương pháp đưa dạng phương trình bậc hai phương trình ban đầu xây dựng Một số dạng phương trình sau giải phương pháp đặt ẩn phụ đưa dạng phương trình bậc hai √ √ t2 − d ta Dạng ax + b + cx + d = đặt cx + d = t x = c thu phương trình bậc hai at + ct + bc − ad = √ √ √ Dạng A( a + x + a − x) + B a2 − x2 = C √ √ √ Đặt t = a + x + a − x suy t2 = 2a + a2 − x2 t − 2a Ta thu phương trình bậc hai At + B = C √ √ Dạng A(x + x + a) + B(x2 + x + 2x x + a) + C = √ √ Đặt t = x + x + a suy t2 = x2 + x + a + 2x x + a Ta thu phương trình bậc hai At + B(t2 − a) + C = √ √ Dạng A(x + x2 + a) + B(x2 + x x2 + a) + C = √ √ Đặt t = x + x2 + a t2 = 2x2 + 2x x2 + a + a hay √ t2 − a x2 + x x2 + a = · t2 − a Cuối ta thu phương trinh bậc hai At + B + C = 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 51 Bây muốn tạo phương trình vô tỷ ta thay A, B, C, a, b, c số "hoặc biểu thức" theo ý muốn ta dạng phương trình vô tỷ giải theo phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai Thực ta xây dựng phương trình vô tỷ dựa phương trình có dạng tích Khó chút ta xây dưng từ phương trình chứa nhiều tích (u − a)(v − b)(w − c) = gán cho u, v, w biểu thức chứa Gán cho a, b, c số thực chí biểu thức chứa Biến đổi chút ta có phương trình vô tỷ "đẹp" hay "không" phụ thuộc vào việc ta có khéo chọn hay không Ví dụ 3.2 ( Cho dạng 2.) Chọn A = 1, B = 2, C = 4, a = ta toán sau Bài toán 3.2 Giải phương trình phương trình √ √ − x + + x + − x2 = Hướng dẫn 3.2 Điều kiện −1 ≤ x ≤ √ √ √ Đặt − x + + x = t, t ≥ suy t2 = + − x2 Ta thu phương trình t2 + t − = suy t = √ √ Thay trở lại ta có − x + + x = suy x = 3.1.2 Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình tích Phương trình dạng au + bv = ab + uv Ta có au + bv = ab + uv hay (u − b)(v − a) = suy u = b, v = a Chọn u, v biểu thức chứa a, b số thực cho trước ta xây dựng phương trình vô tỷ √ √ Ví dụ 3.3 chọn a = 1, b = 5, u = x − 1, v = x2 + Ta thu phương trình √ √ x − + x2 + − x3 − x2 + x − = ta có toán sau Bài toán 3.3 Giải phương trình √ √ x − + x2 + − x3 − x2 + x − = Hướng dẫn 3.3 Nghiệm phương trình nghiệm phương trình nghiệm hai phương trình √ √ x2 + = x − = 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1.3 Xây dựng phương trình vô tỷ từ số dạng phương trình vô tỷ giải theo phương pháp biến đổi tương tương Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình dạng √ √ √ √ A+ B = C + D Gán biểu thức chứa x cho A, B, C, D ta phương trình vô tỷ giải cách bình phương hai vế Ví dụ 3.4 Gán A = x + 3, B = 3x + 1, C = 4x, C = 2x + ta toán giải phương trình vô tỷ sau Bài toán 3.4 Giải phương trình √ √ √ √ x + + 3x + = x + 2x + Hướng dẫn 3.4 Để giải phương trình không khó phức tạp chút Phương trình đơn giản ta chuyển vế phương trình √ √ √ √ 3x + − 2x + = 4x − x + Bình phương hai vế ta phương trình hệ √ √ 6x2 + 8x + = 4x2 + 12x suy x = thử lại thấy x = nghiệm phương trình Tượng tự ta có số dạng sau √ √ Dạng 1: Phương trình A = B √ B≥0 Dạng 2:Phương trình A = B ⇔ A = B2  A ≥ √ √ √ Dạng 3: A + B = C ⇔ B ≥ √  A + B + AB = C 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 53 √ √ √ √ √ √ 3 3 3 Dạng 4: A + B = C suy A + B + AB( A + B) = C √ √ √ 3 dạng thường sử dụng phép thế: A + B = C ta √ phương trình A + B + ABC = C Từ dạng toán gán cho A, B, C biểu thức chứa x ta phương trình vô tỷ nhiên mức độ khó hay dễ phụ thuộc vào việc chọn biểu thức cho A, B, C cho sau luỹ thừa hai vế lên ta thu phương trình giải √ Để giải phương trình ta lại đặt αy + β = n ax + b để đưa hệ ban đầu xây dựng Vậy để có phương trình vô tỷ giải cách đưa hệ đối xứng loại II, ta việc chọn α, β, a, b phù hợp với mức độ khó dễ toán Sau xây dựng phương trình dạng khai triển, học sinh muốn giải phương trình dạng phải biết viết phương trình dạng phương trình (*) (**) để giải 3.2 Xây dựng phương trình vô tỷ từ hệ phương trình 3.2.1 Xây dựng từ hệ đối xứng loại II Ta xét phương trình đối xứng loại II sau (x + 1)2 = y + việc giải hệ đơn giản (y + 1)2 = x + Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt y = f (x) √ cho phương trình thứ hai hệ y = x + − 1, thay vào phương trình đầu hệ ta có phương trình √ √ (x + 1)2 = ( x + − 1) + hay x2 + 2x = x + Từ có toán Bài toán 3.5 Giải phương trình x2 + 2x = √ x+2 Hướng dẫn 3.5 Ta lại tiến hành đặt đưa giải hệ đối xứng loai II (αx + β)2 = ay + b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc hai (αy + β)2 = ax + b ta xây dựng lên phương trình dạng sau √ Từ phương trình thứ hai hệ ta có αy + β = ax + b thay vào phương trình hệ ta có phương trình a√ βa (αx + β) = ax + b + b − (∗) α α a√ βa Tương tự cho bậc cao (αx + β)n = n ax + b + b − (**) α α 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 3.5 Ta xây dựng toán sau Chọn α = 2, β = −3, a = 4, b = Ta có phương trình √ √ (2x − 3)2 = 4x + + 11 hay 4x2 − 12x − = 4x + suy √ 2x2 − 6x − = 4x + Khi ta có toán Bài toán 3.6 Giải phương trình vô tỷ 2x2 − 6x − = √ 4x + Hướng dẫn 3.6 Học sinh phải biết biến đổi dạng khai triển √ phương trình (2x − 3)2 = 4x + + 11 √ Sau đặt 2y − = 4x + để hệ phương trình (2x − 3)2 = 4y + suy (x − y)(x + y − 1) = (2y − 3)2 = 4x + √ √ Với x = y 2x − = 4x + suy x = + √ Với x + y − = y = suy x = − 3.3 Dùng đẳng thức để xây dựng phương trình vô tỷ 3.3.1 Từ đánh giá bình phương A2 + B ≥ Ta xây dựng phương trình dạng A=0 A2 + B = suy B√= √ √ Ví dụ từ phương trình ( 5x − − 2x)2 + ( − 5x − 2)2 + x − = khai triển ta có phương trình 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 55 √ √ √ 4x2 + 12 + x − = 4x 5x − + − 5x) Khi ta xây dựng toán Như A3 + B + C = 2011 Từ ta có toán giải phương trình sau Bài toán 3.7 Giải phương trình 4x2 + 12 + √ √ √ x − = 4x 5x − + − 5x) Hướng dẫn 3.7 Khi muốn giải toán ta biến đổi đưa phương trình trước khai triển giải tốt Sau áp dụng đánh trình bày 3.3.2 Từ đẳng thức (A − B)2 = suy A = B Ví dụ chọn A = 1, B = 4x ta phương trình x+3 4x ) = khai triển ta phương trình x+3 4x 4x 1+ =2 x+3 x+3 √ Nhân hai vế phương trình với x + ta phương trình √ 4x x+3+ √ = 4x ta có toán x+3 (1 − Bài toán 3.8 Giải phương trình √ x+3+ √ 4x = 4x x+3 3.3.3 Xây dựng phương trình vô tỷ từ đẳng thức sau Ta có x2 − 7x + 2012 = √ 2011 Hướng dẫn 3.8 Bài tóa thỏa mãn (A + B + C)3 = A3 + B + C Nên A = −B nghiệm phương trình nghiệm hệ tuyển B = −C Trong A = −C A,B,C biểu thức chọn Tương tự ta xây dựng nhiều toán theo cách này! 3.4 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa theo hàm đơn điệu 3.4.1 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa theo tính chất hàm đơn điệu Dựa vào kết "nếu hàm y = f (x) đơn điệu f (x) = f (t) ⇔ x = t" ta xây dựng phương trình vô tỷ Ví dụ 3.6 Xuất phát từ hàm đơn điệu y = f (x) = 2x3 + x2 + x ≥ ta xây dựng phương trình √ √ f (x) = f ( 3x − 1) hay 2x3 + x2 + = 2( 3x − 1)3 + (3x − 1)2 + √ Rút gọn ta phương trình 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Ta có toán sau Bài toán 3.10 Giải phương trình (A + B + C)3 = A3 + B + C + 3(A + B)(B + C)(C + A) Khi (A + B + C)3 = A3 + B + C (A + B)(B + C)(C + A) = Điều xảy A = −B B = −C A = −C Ta xây dựng toán sau √ √ √ Gán A = 7x + 2010, B = − x2 + 2011, C = x2 − 7x + 2012 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Bài toán 3.9 Giải phương trình √ √ 3 7x + 2010 − x2 + 2011 + http://www.lrc-tnu.edu.vn √ 2x3 + x2 − 3x + = 2(3x − 1) 3x − Hướng dẫn 3.9 Bài toán giải theo phương pháp hàm số Ví dụ 3.7 Từ hàm số đồng biến R, f (t) = t3 + t từ phương √ trình f ( 7x2 + 9x − 4) = f (x + 1) Ta xây dựng toán sau 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 57 Bài toán 3.11 Giải phương trình x3 − 4x2 − 5x + = 7x2 + 9x − Hướng dẫn 3.10 Bài toán giải theo phương pháp sử dụng phương pháp hàm số Giải phương trình ta có nghiệm phương trình nghiệm phương trình √ √ −1 ± (x + 1) = 7x2 + 9x − suy x = x = · 3.4.2 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào ước lượng hàm đơn điệu Để dễ sử dụng kết hợp nhiều ước lượng ta xây dụng số ước lượng sau cách sử dụng tính đơn điệu hàm số ta nhận √ √ [1] −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm đơn điệu tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ √ [2] −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x ≤ hàm tăng [0; 1] Nên ta có −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ √ [3] −1 ≤ x − − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x − − x hàm tăng [0; 1] Nên ta có √ −1 = f (0) ≤ f (x) ≤ f (1) = x+3 √ [4] ≤ ≤1 + − x√ x+3 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−3; 1] 2+ 1−x Nên ta có√0 = f (−3) ≤ f (x) ≤ f (1) = x + 15 √ [4] ≤ ≤1 + −√ x x + 15 √ Hàm số f (x) = hàm tăng [−15; 1] 2+ 41−x Nên ta có = f (−15) ≤ f (x) ≤ f (1) = √ √ [6] + x − + − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = + x − + − x hàm tăng đoạn [0; 1] 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Suy f (x) ≤ f (1) = √ √ [7] x + − + − x ≤ √ √ Hàm số f (x) = x + − + − x hàm tăng [−3; 1] suy f (x) ≤ f (1) = Sử dụng tính chất nghịch biến hàm số mũ y = ax với số ≤ a ≤ ta nhận √ √ [8] x + − x ≤ √ √ Ta có x ≤ x − x ≤ − x √ √ suy x + − x ≤ x + (1 − x) = Dấu đẳng thức đạt x = x = Cộng hai hay nhiều ước lượng thu phương trình chứa sau Bài toán 3.12 Giải phương trình √ √ √ √ √ √ x + x + x = + − x + − x + − x Hướng dẫn 3.11 Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với √ √ √ √ √ √ ( x − − x) + ( x − − x) + ( x − − x) = Sử dụng ước lượng ta thu vế trái nhỏ 3, dấu đẳng thức xảy x = Đáp số x = Bài toán 3.13 Giải phương trình √ √ √ √ x + x + x + − x = Hướng dẫn 3.12 Điều kiện ≤ x ≤ Phương trình cho tương đương với √ √ √ √ √ √ ( x + − x) + ( x + − x) + ( x + − x) Vế trái lớn Dấu đẳng thức xảy x = Đáp số x = Bài toán 3.14 Giải phương trình √ √ x+3 3x + √ √ + 2+ 1−x 2+ 41−x 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 59 Hướng dẫn 3.13 Điều kiện − ≤ x ≤ Vế trái nhỏ Dấu xảy x = Đáp số x = Nhân ước lượng dương ta thu phương trình chứa sau Vậy ta có toán giải phương trình vô tỷ giải theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác sau Bài toán 3.16 Giải phương trình √ 1 +√ =2 x x2 + Bài toán 3.15 Giải phương trình √ √ √ 2x − 4x − 6x − = x3 Hướng dẫn 3.14 Điều kiện x ≤ · Chia vế cho x3√= ta thu √ hai √ 2x − 4x − 6x − =1 x x x Vế trái nhỏ Dấu đẳng thức xảy x = Đáp số x = 3.5 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào hàm số lượng giác phương trình lượng giác Từ công thức lượng giác đơn giản cos 3t = sin t, ta tạo phương trình vô tỷ Từ cos 3t = cos3 t − cos t ta có phương trình vô tỷ 4x3 − 3x = √ x x2 − (1) Nếu thay x phương trình (1) ta có phương trình vô tỷ x √ khó − 3x2 = x2 x2 − (2) Nếu thay x phương trình (1) x − ta có phương trình vô √ tỷ khó 4x3 − 12x2 + 9x − = 2x − x2 (3) Tương tự từ công thức sin 3x, sin 4x ta xây dựng phương trình vô tỷ theo kiểu lượng giác! √ 1 Ví dụ 3.8 Từ phương trình lượng giác + = 2 từ đẳng cos t √sin t thức lượng giác sin2 t + cos2 t = suy sin t = − cos2 t thay cos t √ 1 x, ta có phương trình vô tỷ sau + √ = 2 x 1−x 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hướng dẫn 3.15 Khi phương trình giải theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác √ Ví dụ 3.9 Từ phương trình cos3 t + sin3 t = cos t sin t thay cos t x ta phương trình vô tỷ x3 + (1 − x2 )3 = x 2(1 − x2 ) Và ta có toán giải phương trình vô tỷ Bài toán 3.17 Giải phương trình x3 + (1 − x2 )3 = x 2(1 − x2 ) Hướng dẫn 3.16 Phương trình giải theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác Ví dụ 3.10 Từ phương trình + sin t = 8(cos6 t + sin6 t) thay cos t √ x, ta đươc phương trình vô tỷ + − x2 = 8[x6 + (1 − x2 )3 ] Và ta có toán √ Bài toán 3.18 Giải phương trình + − x2 = 8[x6 + (1 − x2 )3 ] Hướng dẫn 3.17 Từ điều kiện |x| ≤ ta đặt x = cos t; t ∈ [0; π] ta thu + sin t = 8(sin6 t + cos6 t) ⇔ sin t = 8(1 − sin2 t cos2 t) ⇔ sin t = − 24 sin2 t cos2 t ⇔ sin t = − sin2 t cos2 t = − sin2 2t = co π −t ⇔ cos 4t = cos Từ phương trình ta tìm t, sau suy x 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 61 3.6 Xây dựng phương trình vô tỷ từ phép "đặt ẩn phụ không toàn phần" Ta xét toán xây dựng lớp phương trình dạng At2 + Bt + C = 0, t biểu thức chứa x, A, B, C biểu thức hữu tỷ chứa x, cho ∆ = B − 4AC luôn biểu thức phương B C Thường tiện ta chọn − = f (x) + g(x) = f (x)g(x) A A t = g(x) t = f (x) √ Ví dụ 3.11 Ta chọn t = x2 + 2, f (x) = 3, g(x) = x − Ta có toán giải phương trình vô tỷ sau Bài toán 3.19 Giải phương trình √ √ x2 + (3 − x2 + 2)x = + x2 + Hướng dẫn 3.18 Để giải học sinh phải biết biến đổi dạng √ (x2 + 2) − (2 + x) x2 + − + 3x = sau đặt t = x2 + phương trình cho trở thành phương trình ẩn t t2 − (2 + x)t − + 3x = giải phương trình Có thể nhẩm nghiệm tính ∆, nghiệm t = 3, t = x − √ √ Với t = x2 + = suy x = ± Với t = x − 1(x ≥ 1) vô nghiệm Như với cách xây dựng ta có nhiều toán Giải phương trình vô tỷ phương pháp ẩn phụ không toàn phần 3.7 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào tính chất vectơ Tính chất |a + b| ≤ |a| + |b| dấu "=" xảy a, b hướng Ta xây dựng sau a = (f (x); A) Đặt suy a + b = (f (x) + g(x); A + B) b = (g(x); B) Khi ta có phương trình f (x) + A2 + g (x) + B = 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (f (x) + g(x))2 + (A + B)2 http://www.lrc-tnu.edu.vn √ √ a = (4 − x; 20 2) √ Ví dụ 3.12 chọn suy a + b = (9; 31 2) b = (5 + x; 10 2) √ √ Vậy |a| = x2 − 8x + 816, |b| = x2 + 10x + 267 |a + b| = 2003 Ta xây dựng phương trình sau √ √ |a + b| = |a| + |b| ⇔ x2 − 8x + 816 + x2 + 10x + 267 = 2003 Bài toán 3.20 (Thi olympic 30-4 năm 2003) Giải phương trình √ x2 − 8x + 816 + x2 + 10x + 267 = 2003 3.8 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào bất đẳng thức 3.8.1 Bất đẳng thức "tam thức bậc α (xem [2], trang 25) Với α > ta có xα + α − ≥ αx với x ≥ Dấu đẳng thức xảy x = √ √ Chọn α =2010 ta có phương trình x2010 + 2009 = 2010x ta có toán Bài toán 3.21 Giải phương trình √ √ x2010 + 2009 = 2010x Hướng dẫn 3.19 Sử dụng bất đẳng thức "tam thức bậc α" ta có x = nghiệm Ví dụ 3.13 Có thể tạo toán khó cách thay x phương trình biểu thức chứa x Ví dụ thay x (x2 − 1)2 α = ta có phương trình √ (x2 − 1)3 + = 3(x2 + 1) hay x6 − 3x4 + 3x2 + = 3(x2 − 1) Ta có toán sau √ Bài toán 3.22 Giải phương trình x6 − 3x4 + 3x2 + = 3(x2 − 1) Hướng dẫn 3.20 Gặp toán học sinh cần biết biến đổi đưa phương trình ban đầu xây dựng để áp dụng bất đẳng thức toán 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 63 trở nên dễ dàng Áp dụng bất đẳng thức tìm nghiệm phương √ trình dấu đẳng thức xảy x2 − = suy x = ± Như thay x biểu thức khác x ta phương trình khó hay dễ tuỳ thuộc vào ta chọn biểu thức thay cho x 3.8.2 Xây dựng phương trình vô tỷ dựa vào bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân ta nhận √ 2x − ≤1 [1] √ x 2x − 2x − + Vì ≤ =1 x 2x √ 4x − [2] ≤1 x √ 4x − 4x − + + + Vì ≤ = dấu đẳng thức xảy x = x 4x √ 6x − 6x − + + + + + [3] ≤ = dấu đẳng thức xảy x 6x x = √ √ [4] x + − x ≤ √ √ x+2−x Vì x + − x ≤ = dấu đẳng thức xảy x = √ [5] x + − x ≤ √ √ x+2−x Vì x + − x ≤ = dấu đẳng thức xảy x = √ [6] x + − x2 ≤ √ √ √ √ x2 + − x2 x + − x2 ≤ |x| + − x2 = x2 + − x2 ≤ =2 dấu đẳng thức xảy x = √ [7] x + − x4 ≤ √ √ √ √ x + − x4 ≤ |x| + − x4 = x2 + − x4 4 √ √ x + − x =1 = x4 + − x4 ≤ 2 dấu đẳng thức xảy x = √ [8] x + − x6 ≤ 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 √ √ √ √ x + − x x + − x6 ≤ |x| + − x6 ≤ x6 + − x6 ≤ =1 dấu đẳng thức xảy x = Ta gọi ước lượng Có thể tạo nhiều ước lượng theo cách Ta xây dựng phương trình vô tỷ sau Cách Cộng hai hay nhiều ước lượng Bài toán 3.23 Giải phương trình √ √ √ 2x − + 4x − + 6x − = 3x Hướng dẫn 3.21 Điều kiện x ≥ Phương trình cho tương đương với √ √ √ 2x − 4x − 6x − + + =3 x x x Vế trái nhỏ thua Dấu đẳng thức xảy x = Bài toán 3.24 Cộng ước lương sau √ √ √ √ √ √ ( x + − x) + ( x4 + − x) + ( x + − x) = √ √ √ √ Viết lại x + x + x + − x = Khi ta có toán sau √ √ √ √ Bài toán 3.25 x+ 4x+ 6x+341−x=3 Hướng dẫn 3.22 Vế trái phương trình lớn Dấu đẳng thức xảy x = Vậy x = nghiệm phương trình Cách Nhân ước lượng ta phương trình chứa Ví dụ nhân ước luợng ta có toán giải phương trình √ √ √ 2x − 4x − 6x − = x3 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 65 Hướng dẫn 3.23 Với điều kiện x ≥ · Sau chia hai vế cho x ta thu √ √ √ 2x − 4x − 6x − =1 x x x Hướng dẫn 3.25 Như học sinh biến đổi phương trình để áp dụng bất đẳng thức Cauchy √ cho hai cặp số A, √C B, D để rút 2 x √ dấu xảy √ =√ x+1 x+1 x+1 suy x = · Vậy x = nghiệm phương trình √ √ √ x Ví dụ 3.15 Từ cặp số A = 2, B = 2x + 1, C = √ , 2x + √ x+1 D=√ 2x + Tương tự ta xây dựng toán giải phương trình vô tỷ sau Vế trái nhỏ thua Dấu đẳng thức xảy x = Nhân ước lương ta có toán Bài toán 3.26 Giải phương trình √ 2x − √ √ x( x + − x) =1 √ 2x − ≤ suy vế trái x x+ 1−x nhỏ băng Dấu đẳng thức xảy x = Đáp số x = nghiệm phương trình Hướng dẫn 3.24 Vì √ √ ≤ 1; Bài toán 3.28 Giải phương trình √ √ √ 2x √ + x + = 19 + 2x 2x + 3.8.3 Xây dựng phương trình dựa theo bất đẳng thức Cauchy Từ bất đẳng thức (AB + CD)2 ≤ (A2 + C )(B + D2 ) dấu đẳng thức xảy "AD = BC " √ √ Ví dụ 3.14 Ta chọn cặp số A = 2, B = x + 1, C = √ , x+1 √ x D= x+1 Ta xây dựng phương trình√ √ √ x x (2 √ + x + 1√ ) ≤ (8 + x + 1) + x + x + x+ x + √ √ 2 suy √ ≤ 9+x x+1 Từ ta xây dựng toán giải phương trình vô tỷ sau Bài toán 3.27 Giải phương trình √ √ √ 2 x+ √ = 9+x x+1 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hướng dẫn 3.26 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy căp số A,C B,D ta có dấu đẳng √ thức xảy√ra hay nghiệm phương trình nghiệm x phương trình √ = √ điều kiện x ≥ Bình phương hai 2x + x+1 √ 17 + 433 vế giải phương trình ta x = nghiệm 3.9 Xây dựng phương trình vô tỷ phương pháp hình học Cho tam giác ABC có đường AD đường phân giác góc A, MB AB ˆ A = 2α, m ∈ AD, đặt AM = x M ∈ BC = · MC AC Ví dụ 3.16 Xét tam giác vuông ABC vuông A có AB = 4, AC = Gọi AD phân giác Aˆ Trên AD lấy điểm M, Đặt AM = x √ Trong tam giác AMC có CM = x2 − 2x + √ Trong tam giác AMB có BM = x2 − 2x Ta xây dụng toán sau 66Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 67 Bài toán 3.29 (Dự bị Olympic 30-4 THPT Chuyên Tiền Giang năm 2007) Giải phương trình √ x2 − 3x + + √ x2 − 4x + 16 = Hướng dẫn 3.27 Khi với x < √ x2 − 3x + > √ x2 − 2x + 16 > phương trình vô nghiệm Với x > ta có √ √ CM + BM = x2 − 3x + + x2 − 4x + 16 ≥ BC = Dấu xảy M √ trùng với D hay M chia BC theo tỉ số 12 k = ⇔ x = AD = · Ví dụ 3.17 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, Aˆ = 120o , AD đường phân giác góc A Lấy M ∈ AD, đặt AM = x √ √ Khi ta có BM = x2 − 3x + 9, CM = x2 − 4x + 16, BC = + 16 − 2.3.4 − = 37 √2 √ √ Ta xây dựng phương trình x − 3x + + x2 − 4x + 16 = 37 Ta có toán √ 25 + 16 − 2.4.5 = 21 Ta xây dựng phương trình √ √ √ x2 − 3x + 25 + x2 − 3x + 16 = 21 Ta có toán BC = Bài toán 3.31 Giải phương trình √ x2 − 3x + 25 + √ √ x2 − 3x + 16 = 21 Hướng dẫn 3.29 Với x < ta có √ x2 − 3x + 25 > √ x2 − 3x + 16 > phương trình vô nghiệm Xét x > dấu phương trình xảy √ √ MB = hay x2 − 3x + 25 = x2 − 3x + 16 MC √ 20 · Bình phương hai vế giải ta nghiệm phương trình x = Bài toán 3.30 Giải phương trình x2 − 3x + + x2 − 4x + 16 = √ 37 Hướng dẫn 3.28 Lập luận tương tự hai toán ta có x < phương trình vô nghiệm Với x > ta có √ √ √ BM + CM = x2 − 3x + + x2 − 4x + 16 ≥ BC = 37 Dấu xảy √ M trùng với D hay M chia BC theo tỉ số AB 12 MB x2 − 3x + = = ⇔√ = ⇔x= · MC AC 4 x − 4x + 16 Ví dụ 3.18 Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 4, Aˆ = 60o , AD đường phân giác góc A Lấy M ∈ AD, đặt AM = x √ √ Khi ta có BM = x2 − 3x + 25, CM = x2 − 3x + 16, 67Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 69 Kết luận Tài liệu tham khảo Luận văn Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ giải vấn đề sau: [1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục - Hệ thống phương pháp giải phương trình vô tỷ - Trình bày phương pháp giải biện luận phương trình vô tỷ có chứa tham số - Đưa phương pháp xây dựng phương trình vô tỷ Kết luận văn góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán trường phổ thông giai đoạn [2] Nguyễn Văn Mậu, 2004, Bất đẳng thức, Định lý áp dụng, NXB Giáo Dục [3] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình bất phương trình mạng Internet [4] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục [5] Tạp chí toán học tuổi trẻ [6] Các tuyển tập đề thi Olympic 30-4, NXB Đại Học Sư Phạm [7] Nguyễn Vũ Lương, 2008, Hệ phương trình phương trình chứa căn, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội 69Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 70Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... 6 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 69 Kết luận Tài liệu tham khảo Luận văn Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ đã giải quyết được những vấn đề sau: [1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo Dục - Hệ thống các phương pháp giải. .. các phương trình vô tỷ - Trình bày các phương pháp giải và biện luận phương trình vô tỷ có chứa tham số - Đưa ra các phương pháp xây dựng phương trình vô tỷ mới Kết quả của luận văn đã góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Toán ở trường phổ thông trong giai đoạn hiện nay [2] Nguyễn Văn Mậu, 2004, Bất đẳng thức, Định lý và áp dụng, NXB Giáo Dục [3] Các chuyên đề phương pháp giải phương trình bất phương. .. 1 hoặc x − 1 = 5 5 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1.3 Xây dựng phương trình vô tỷ từ một số dạng phương trình vô tỷ được giải theo phương pháp biến đổi tương tương Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình dạng √ √ √ √ A+ B = C + D Gán các biểu thức chứa x cho A, B, C, D ta sẽ được các phương trình vô tỷ được giải bằng cách bình phương hai vế Ví dụ... 7 x3 − 1 từ phương trình này ta xây dựng lên một bài toán giải phương trình vô tỷ như sau Phương trình vô tỷ có nhiều dạng và nhiều cách giải khác nhau Người giáo viên ngoài việc nắm được các dạng phương trình và các phương pháp giải chúng cần phải biết xây dựng lên các đề toán khác nhau làm tài liệu giảng dạy Trong phần này tác giả xin trình bày một số cách xây dựng lên các phương trình vô tỷ, hy vọng... nghị Olympic 30/4/2007) Giải phương trình 2x2 + 5x − 1 = 7 x3 − 1 Hướng dẫn 3.1 Phương trình này đã được giải bằng phương pháp đưa về dạng phương trình bậc hai như phương trình ban đầu xây dựng Một số dạng phương trình sau được giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về dạng phương trình bậc hai √ √ t2 − d ta Dạng 1 ax + b + cx + d = 0 đặt cx + d = t khi đó x = c 2 thu được một phương trình bậc hai at + ct... 2 2 2 x 1−x 5 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hướng dẫn 3.15 Khi đó phương trình này được giải theo phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác √ Ví dụ 3.9 Từ phương trình cos3 t + sin3 t = 2 cos t sin t thay thế cos t bởi x ta được phương trình vô tỷ x3 + (1 − x2 )3 = x 2(1 − x2 ) Và ta có bài toán giải phương trình vô tỷ Bài toán 3.17 Giải phương trình x3 + (1... trình vô tỷ giải bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II, ta chỉ việc chọn α, β, a, b phù hợp với mức độ khó dễ của bài toán Sau đó xây dựng phương trình ở dạng khai triển, học sinh muốn giải được phương trình dạng này thì phải biết viết phương trình về dạng phương trình (*) hoặc (**) để giải 3.2 Xây dựng phương trình vô tỷ từ hệ phương trình 3.2.1 Xây dựng từ hệ đối xứng loại II Ta đi xét một phương trình. .. Bài toán được giải theo phương pháp hàm số Ví dụ 3.7 Từ hàm số đồng biến trên R, f (t) = t3 + t và từ phương √ trình f ( 3 7x2 + 9x − 4) = f (x + 1) Ta xây dựng được bài toán sau 5 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 57 Bài toán 3.11 Giải phương trình x3 − 4x2 − 5x + 6 = 3 7x2 + 9x − 4 Hướng dẫn 3.10 Bài toán được giải theo phương pháp sử dụng phương pháp. .. bài toán giải phương trình vô tỷ sau Bài toán 3.4 Giải phương trình √ √ √ √ x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 1 Hướng dẫn 3.4 Để giải phương trình này không khó nhưng hơi phức tạp một chút Phương trình này sẽ đơn giản hơn nếu ta chuyển vế phương trình √ √ √ √ 3x + 1 − 2x + 2 = 4x − x + 3 Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả √ √ 6x2 + 8x + 2 = 4x2 + 12x suy ra x = 1 thử lại thấy x = 1 là nghiệm phương. .. tìm hiểu một số cách xây dựng sau 3.1.1 Xây dựng phương trình vô tỷ từ phương trình bậc hai Từ phương trình dạng at2 + bt + c = 0 ta thay thế t = f (x) ta sẽ nhận được một phương trình vô tỷ đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai để giải Ví dụ 3.1 Từ phương trình 2t2 − 7t + 3 = 0 ta chọn t = 4 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên x2 + x + 1 x−1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài toán 3.1 (Đề