Nhiệt liệt chào mừng quý thầy cô em học sinh Bài dạy: đ à dự Tiết học Hôm Đ3: Giới hạn dÃy số (Tit 3) Gv thùc hiƯn: Nguyễn Thị Hồi Trang Trường: THPT Minh Hà Kiểm tra cũ CH1: Tìm tổng Sn n số hạng đầu cấp số nhân (Un) biết: U1 = 1; q = − CH 2: TÝnh giới hạn Sn n tiến vô cùng? Hướng dẫn áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu U1 (1 q n ) cấp sè nh©n : Sn = 1− q Ta cã: n   −1  n  −1  1 −  ÷  −   ÷      =   Sn =  1 1− − ÷  3 n  −1  NÕu q < 1th× lim q = 1−  ÷ VËy: lim Sn = lim   = = n 4 III/Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn n - Định nghĩa: Cấp số nhân vô hạn: u1 , u1q, u1q , , u1q , cã công bội q với q < 1gọi cấp số nhân lùi vô hạn Ví dụ 1: U1 = 1; q = − CÊp sè nh©n ë vÝ dụ có cấp số nhân lùi vô hạn không? sao? Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn - Định nghĩa: - Ví dụ1: Cấp số nhân vô hạn (Un) có U1 = 1; q = cấp số nhân lùi 1 1 vô hạn 1, , , , , 1024 + Ph¶n vÝ dơ: CÊp sè nhân 2, 6,18, 54 không cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân lùi vô hạn có dÃy giảm không? Cấp số nhân lùi vô hạn không dÃy giảm, giá trị tuyệt đối số hạng: u1 , u2 , u3 , , un , lại dÃy giảm Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Từ công thức tính tổng n số hạng đầu u1 (1 − q n ) cđa cÊp sè nh©n: Sn = − q lim q n = vËy lim Sn = ? Khi q < th× Tổng cấp số nhân lùi vô hạn VËy cã: u1 S= = =1 1− q 1− - VÝ dơ 3: TÝnh tỉng:0,7+ 0,07 + 0,007+ 0,0007+ Lời giải:Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn có u1=0,7 công bội q=0,1 Ta cã: 0, 0, 7 = = 0,7+0,07+ 0,007+ 0,0007+ = − 0,1 0,9 0,7+ 0,07 + 0,007+ 0,0007+ Em nhËn xÐt g× vỊ tỉng trên? Đó số thập phân vậy? Vậy tổng cấp số nhân lùi vô hạn cho ta cách tìm dạng phân số số thập phân vô hạn tuần hoàn IV/ Giới hạn vô cực Định nghĩa Mời em xem ví dụ sau: sgk 117 Có nhiều tờ giấy giống nhau, tờ có bề dày 0,1mm Ta xếp chồng liên tiếp tờ lên tờ khác Giả sử thực việc cách vô hạn Gọi u1 bỊ dµy cđa tê giÊy, ,un lµ bỊ dµy chồng giầy gồm n tờ Bảng sau cho ta biÕt bỊ dµy cđa mét sè chång giÊy (tÝnh theo mm) u1 u1000 u1000 000 u1000 000 000 0,1 100 100 000 100 000 000 un n 10 IV/ Giới hạn vô cực Định nghĩa Em có nhận xét giá trị un n tăng lên vô hạn? n un >384.109 mm (tư ơng ứng với khoảng cách từ trái đất đến mặt trăng) Nhận xét: Khi n tăng lên vô hạn un tăng n lên vô hạn Và un = > 384.109 n > 384.1010 10 Như vậy: Ta chứng minh cã thĨ lín h¬n mét sè d­¬ng bÊt kú, kĨ từ số hạng trở IV/ Giới hạn vô cực Định nghĩa - Ta nói d·y sè (un) cã giíi h¹n +∞ n → +∞ nÕu un lín h¬n mét sè d­¬ng bÊt kú, kể từ số hạng trở Ký hiÖu: lim un = +∞ hay un → +∞khi n → +∞ - D·y sè (un) cã giíi h¹n −∞khi n → +∞ nÕu lim(−un ) = +∞ Ký hiÖu: lim un = −∞hay un → −∞ n → + Một vài giới hạn đặc biệt a lim n = +với k nguyên dương n b lim q = +∞ nÕu q>1 lim n = +∞ VÝ dô: k lim(−n ) = −∞ lim ( 2) n = + Định lý un a Nếu lim un = a lim = lim =0 VÝ dơ 4: T×m 2n + lim n n.3 2+ 5  2n + lim = lim n n Ta cã: lim  + ữ = n.3n n ã Lời giải: 2+ Nªn lim n n = lim = + n Định lý b Nếu lim un = a > ; un Th× lim = +∞ lim = VÝ dô : Tìm giới hạn lim Lời giải: lim ( ) n − n + n = lim −1 = lim = −∞ 1− −1 n ( n2 − n + n n2 − n − n2 n −n −n ; vµ = lim > 0, ∀n ) n n n n = Định lý c NÕu lim un = +∞ vµ lim = a > th× lim un = +∞ VÝ dơ 6: T×m lim n − 2n − Lêi gi¶i:Ta cã ( )   lim ( n − 2n − 1) = lim n 1 − − ÷ =  n n  2 + Chú ý + Giới hạn vô cực giới hạn hữu hạn có ý nghĩa hoàn toàn khác Khi n tăng, điểm biểu diễn trục số số hạng dÃy (un) có giới hạn hữu hạn L chụm lại quanh điểm L, điểm biểu diễn số hạng dÃy (un) có giới hạn xa mÃi theo chiều dương trục số, vượt qua điểm L dù L lớn đến đâu + Đừng nghĩ dÃy số giới hạn hữu hạn ((1) n )không có giới hạn vô cực Chẳng hạn dÃy số có giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực + Tuyệt đối không áp dụng định lý giới hạn hữu hạn cho dÃy số có giới hạn vô cực Phương pháp giải toán + Cách tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn là: Nhận dạng xem có phải cấp số nhân lùi vô hạn không?( điều chưa cho giả thiết toán) Sau áp dụng công thức tính tổng đà biết + Cách tìm cấp số nhân biết số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội số hạng đầu + Cách viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dạng phân số hữu tỷ: Khai triển số dạng tổng cấp số nhân lùi vô hạn tính tổng Phương pháp giải toán + Để tìm giới hạn dÃy số ta thường đưa giới hạn đặc biệt áp dụng định lý giới hạn vô cực Để áp dụng định lý nói trên, thông thường ta phải thực vài biến đổi biểu thức xác định dÃy số đà cho: ~ Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu tử chứa luỹ thừa n, chia tử mẫu cho nk víi k lµ sè mị cao nhÊt ~ NÕu biĨu thøc ®· cho cã chøa n d­íi dÊu căn, nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp I Giới hạn hữu hạn dÃy số II.Định lý giới hạn hữu hạn III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn IV Giới hạn vô cực Bài 5,6,7,8 sgk 122 .. . có giới hạn xa mÃi theo chiều dương trục số, vượt qua điểm L dù L lớn đến đâu + Đừng nghĩ dÃy số giới hạn hữu hạn ((1) n )không có giới hạn vô cực Chẳng hạn dÃy số có giới hạn hữu hạn giới hạn .. . Chó ý + Giới hạn vô cực giới hạn hữu hạn có ý nghĩa hoàn toàn khác Khi n tăng, điểm biểu diễn trục số số hạng dÃy (un) có giới hạn hữu hạn L chụm lại quanh điểm L, điểm biểu diễn số hạng dÃy (un ).. . cho cã chứa n dấu căn, nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp I Giới hạn hữu hạn dÃy số II.Định lý giới hạn hữu hạn III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn IV Giới hạn vô cùc Bµi 5,6,7,8 sgk 122