ky niem DaLat1995 GV:BÙI NGỌC LINH 0 0 0 0 Ax By Cz D d(M ,( )) 2 2 2 A B C α + + + = + + o x y z M 0 H n  Khoảng cách 1-Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho một điểm M o = (x o ; y o ; z o ) và một mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 Gọi d(M o , (α)) là khoảng cách từ điểm M o đến mặt phẳng (α). Tương tự như cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng ta tìm được : α 2-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Giả sử điểm M 1 không thuộc ∆. Khi đó hình bình hành M o M 1 M 2 M 3 với                                                                        sẽ có diện tích                                                                      Từ đó                                                                                                               Khi M 1 ∈ ∆ thì H ≡ M 1 nên M 1 H = 0 ; do đó công thức (*) cũng đúng cho trường hợp M 1 thuộc đường thẳng ∆. Vậy nếu kí hiệu d(M 1 , ∆) là khoảng cách từ một điểm M 1 đến đường thẳng ∆ thì : 0 y x z M 0 M 1 M 2 M 3 H 0 3 1 2 M MM M u= = uuuuuur uuuuuur r 0 1 1 0 3 M , (*) M u S M H M M u     = = uuuuuur r r 0 1 M ,S M u   =   uuuuuur r 0 1 1 M , ( , ) M u d M u     ∆ = uuuuuur r r ∆ 0 0 0 x-x y-y z-z : a b c ∆ = = 3-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ chéo nhau. Đường thẳng ∆ đi qua điểm M o , có vectơ chỉ phương . Đường thẳng ∆’ đi qua điểm M’ o có vectơ chỉ phương . Ta hãy tìm khoảng cách giữa ∆ và ∆’. Gọi H là hình hộp M 0 M 1 M 2 M 3 .M’ 0 M’ 1 M’ 2 M’ 3 với                                                                                     Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của hình hộp trên, tức là chiều cao của hình hộp. Nếu gọi d(∆, ∆’) là khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆’ thì :                                                                                                                           Vậy u r u' r 0 1 M M u= uuuuuur r 0 3 M' ' 'M u= uuuuuuuur r 0 1 2 3 0 1 0 3 0 0 0 0 H M 0 1 0 3 M ,M .M ' [ , '].M ' V d( , ') [ , '] S [M ,M M M M M M M u u M u u M M     ∆ ∆ = = = uuuuuur uuuuuur uuuuuuuur uuuuuuur r r uuuuuur uuuuuur r r 0 0 [ , '].M ' d( , ') [ , '] u u M u u ∆ ∆ = uuuuuuur r r r r 0 1 2 3 0 1 0 3 0 0 0 0 H M 0 1 0 3 [M ,M .M ' [ , '].M ' V d( , ') [ , '] S [M ,M M M M M M M u u M u u M M ∆ ∆ = = = uuuuuur uuuuuur uuuuuuur uuuuuuur r r uuuuuur uuuuuur r r 0 0 [ , '].M ' d( , ') [ , '] u u M u u ∆ ∆ = uuuuuuur r r r r x z y o ∆ ∆’ u  'u  M’ 0 M’ 3 M’ 1 M’ 2 M 0 M 3 M 1 M 2 Ố Bài tập1 : Tìm khoảng cách từ điểm M 0 (1;-1;2) , M 1 (3;4;1) , M 2 (-1;4;3) đến mặt phẳng:x+2y+2z-10=0 GIẢI: 0 1(1) 2(-1) 2(2) 10 7 7 d(M ,( )) 3 2 2 2 9 1 2 2 α + + − − = = = + + Khoảng cách từ điểm M 1 (3;4;1) dến (α): x+2y+2z-10=0 là: 1 1(3) 2(4) 2(1) 10 3 d(M ,( )) 1 2 2 2 9 1 2 2 α + + − = = = + + Khoảng cách từ điểm M 0 (1;-1;2) dến (α) :x+2y+2z-10=0 là: Khoảng cách từ điểm M 2 (-1;4;3) dến (α) :x+2y+2z-10=0 là: 2 1(-1) 2(4) 2(3) 10 3 d(M ,( )) 1 2 2 2 9 1 2 2 α + + − = = = + + Bài 2: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:2x-y+4z+5=0 và 3x+5y-z-1=0 GIẢI: M(x;y;z) cách đều hai mặt phẳng:2x-y+4z+5=0 và 3x+5y-z-1=0 nên ta có: 2x-y 4z 5 2 2 2 2 (-1) 4 + + + + ⇔ = 3x 5y-z-1 2 2 2 3 5 (-1) + + + ⇔ 2x-y 4z 5 3 + + 3x 5y-z-1 5 + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2x-y 4z 5 3 5 1 3 5 2x-y 4z 5 3 5 1 3 5 x y z x y z  + + + − − =   ⇔ ⇔  + + + − − = −   (2 5 3 3) ( 5 5 3) (4 5 3) 5 5 3 0 (2 5 3 3) ( 5 5 3) (4 5 3) 5 5 3 0 x y z x y z  − − + + + + + =  + − − + − + − =   Bài 3:Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng:Ax+By+Cz+D=0và Ax+By+Cz+D’=0 vơi D≠D’ GIẢI: Điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) thuộc mặt thứ nhất hay: Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D=0 hay:Ax 0 +By 0 +Cz 0 =-D Khoảng cách từ M 0 dến mặt thứ hai là: 0 0 0 0 Ax By Cz D' ' d(M ,( )) 2 2 2 2 2 2 A B C A B C D D α + + + − + = = + + + + Bài 4:Trên trục Oz tìm điểm cách đều điểm (2;3;4) và mặt phẳng:2x+3y+z-17=0 GIẢI: Giả sử điểm cần tìm là:M 0 (0;0;z 0 ) ta có: 0 2 2 2 0 2.0 3.0 4z -17 2 3 ( 4) 2 2 2 2 3 1 z + + = + + − + + 0 2 0 17 13 ( 4) 14 z z − ⇔ = + − Giải ra được z 0 =3 BÀI 5: Trên trục Oy tìm điểm cách đều haiø mặt phẳng:x+y-z+1=0 và x-y+z-5=0 GIẢI: Giả sử điểm cần tìm là:M 0 (0;y 0 ;0) ta có: 0 0 0 y 0 1 0 y 0 5 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 + + + − + − = + + − + − + Giải ra được y 0 =-3 0 0 1 5y y+ = − − ⇔ Bài 6:Tính khoảng cách từ điểm M 0 (2;3;1) và M 1 (1;-1;1) đến đường thẳng : x 2 y-1 z 1 1 2 -2 + + = = Giải: 0 (4; 2;2)MM = uuuuur M(-2;1;-1)∈∆ 0 2 2 2 2 2 2 1 1 2 M , 2 2 2 4 4 2 10 2 ( ) 0' 3 2 2 2 9 1 2 ( 2) M u d M − − + +     ∆ = = = + + − uuuuur r 1 (3; 2; 2)MM = − uuuuur M(-2;1;-1)∈∆ 0 2 2 2 2 2 2 1 1 2 M , 2 2 2 3 3 2 8 2 ( ) 0' 3 2 2 2 9 1 2 ( 2) M u d M − − + +   − −   ∆ = = = + + − uuuuur r M 1 (1;-1;1) Bài 7:Tính khoảng cách từ điểm (2;3;-1) tới đường thẳng: { x y-2z-1 0 x 3y 2z 2 0 + = + + + = Giải: { x y-2z-1 0 x 3y 2z 2 0 + = + + + = 5 x 4 2 3 y 2 2 t t z t    = +  ⇔   = − −   =  Đường thẳng này qua điểm: 5 3 ( ; ;0) 2 2 M − 0 1 9 ( ; ; 1) 2 2 MM = − − uuuuur M 0 (2;3;-1) Véc tơ chỉ phương: (4; 2;1)u = − r [...]... '0 = (0; −2;1) r u r  -1 2 2 1 1-1  u , u ' =  ; ; ÷ = ( 9;5; −2 )   -3 u u− 3 -3 1 1 -3  r r uuu r { { ⇔  u,u ' M 0 M '0 = 9.0 − 2.5 + (−2).1 = 12   u u ur r r uuuu [u ,u '].M 0 M '0 d(∆, ∆') = = r r [u ,u '] 12 9 2 + 52 + 2 2 = 12 110 Bài 8:Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: c/ Giải x −1 y + 3 z − 4 = = 2 1 -2 và x + 2 y-1 z + 1 = = -4 -2 4 Đương thẳng thứ nhất qua điểm... −5) = 0   Hai đường thẳng này song song nên có khoảng cách là: d (∆, ∆ ') = d ( M ∆) = 0' 9 + 256 +121 386 = = 3 3 2 −2 2 2 2 1 2 1− 2 + + 4 −5 −5 −3 −3 4 22 +12 + (−2)2 = Bài 9:Bằng phương pháp toạ dộ, hãy tìm khoảng cách giữa đường chéo của hình lập phương và đường chéo của một mặt bên nếu chúng không cắt nhau,biết cạnh hình lập phương bằng a Giải: z A’ CHỌN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ B’ a sao cho: D’ C’ A(0;0;0)...d (M ∆) = 0' 2 2 2 −2 1 1 4 4 −2 + 9 1 + 1 9 −1 −1 − − 205 2 2 2 2 = 14 42 + (−2)2 +12 Bài 8:tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: a) x = 1+ t và   y = −1 − t z = 1   x = 2 − 3t   y = −2 + 3t  z = 3t  u u ur r r uuuu [u ,u '].M 0 M '0 d(∆, ∆') = r r [u ,u '] M 0 (1;... C’ A(0;0;0) B(0;a;0) B’(0;a;a) D’(a;0;a) A B uu r y uu a AB ' = (0; a; a ) u ur uu D a C BD ' = (a; −a; a) x uu ur AB’ có véc tơ chỉ phương(0;1;1) AB = (0; a;0) BD’có véc tơ chỉ phương(1;-1;1) p dụng công thức khoảng cách a d(AB ', BD') = 6 . ur 0 0 u,u ' M M ' 9.0 2.5 ( 2).1 12   ⇔ = − + − = −   r r uuuuur 0 0 [ , '].M ' 12 12 d( , ') [ , '] 2 2 2 110 9 5 2. tìm được : α 2-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Giả sử điểm M 1 không thuộc ∆. Khi đó hình bình hành M o M 1 M 2 M 3 với