I HC QUC GIA H NI I HC QUC GIA H NI I HC KHOA HC T NHIấN I HC KHOA HC T NHIấN NGUYN VN MINH NGUYN VN MINH BO H TRONG TH TRNG KHễNG Y BO H TRONG TH TRNG KHễNG Y Chuyờn ngnh: TON XC SUT THNG Kấ Mó s : 60 46 15 LUN VN THC S KHOA HC LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc TS NGUYN THNH H Ni - Nm 2012 H Ni - Nm 2012 3.3.3 Mnh 3.3.3 31 3.3.4 H qu 3.3.4 32 3.3.5 3.3.6 Mc lc 3.4 Kin thc chun b 1.1 1.2 Mt s kin thc c bn ca gii tớch ngu nhiờn 3.5 3.6 Mt s kin thc c s toỏn ti chớnh 10 33 B 3.3.6 34 Mụ t chin lc ti u 36 3.4.1 nh lớ 3.3.7 37 3.4.2 H qu 3.4.9 41 Xp x mt ti sn phi ri ro 41 Bo h trng hp quỏ trỡnh cõn bng mean-variance tt nh 43 1.2.1 Chng khoỏn phỏi sinh 10 3.7 Mụ hỡnh khuych tỏn hu y 1.2.2 C hi cú chờnh th giỏ 12 3.8 Mụ hỡnh bin ng ngu nhiờn cú tớnh Markovian 47 3.9 Mụ hỡnh Black - Scholes mụi trng ngu nhiờn 50 nh giỏ v bo h th trng y 2.1 H qu 3.3.5 Bo h th trng y 2.1.1 13 14 Ti liu tham kho 54 Chin lc bo h quyn phỏi sinh th trng y 17 2.1.2 Cụng thc Black-Scholes v nh giỏ quyn chn Chõu u th trng y 19 nh giỏ v bo h th trng khụng y 3.1 23 Bi toỏn bo h quyn phỏi sinh theo ngha cc tiu bỡnh phng trung bỡnh 23 3.2 Quỏ trỡnh cõn bng bỡnh phng trung bỡnh v khụng gian cỏc chin lc u t 25 3.3 3.2.1 nh ngha 3.2.1 26 3.2.2 nh ngha 3.2.2 26 Tớnh úng ca GT () v phõn tớch Foăllmer-Schweizer 28 3.3.1 Mnh 3.3.1 28 3.3.2 B 3.3.2 30 44 thỡ ta cú th mụ t c chin lc ti u bỡnh phng trung bỡnh di dng cụng thc liờn h ngc v lun cng a mt s vớ d cú th d dng so sỏnh cỏc trng hp vi gi thit khỏc Khi cú thờm iu kin thỡ cú khng nh rng o martingale ti u phng sai Li núi u v o martingale nh nht l trựng Trong s nhng vớ d a T iu gi s ny c tha món, qua ú ta cng ch li in hỡnh nu K nh giỏ v bo h ti sn phỏi sinh l mt nhng quan khụng tt nh v bao gm bin ngu nhiờn ngoi sinh khụng c sinh trng ca ti chớnh núi chung v toỏn ti chớnh núi riờng Trong th trng bi X y thỡ cú th bo h mt cỏch chớnh xỏc bi mt chin lc giao dch Lun cú cu trỳc chng : nht Tuy nhiờn th trng khụng y thỡ cú nhiu chin lc bo h, l cn tỡm chin lc ti u nht theo ngha no ú Vic bo h cú nhiu cỏch tip cn khỏc Nhng lun ny ch chung vo vic bo h quyn phỏi sinh theo ngha cc tiu bỡnh Chng 1: Bao gm s lc cỏc kin thc nn tng ca gii tớch ngu nhiờn v toỏn ti chớnh Chng 2: Gii thiu v nh giỏ v bo h th trng y ỏp dng cho mụ hỡnh Black-Scholes n gin phng trung bỡnh, lun a mt s kt qu v vớ d v bo h Chng : Phn chớnh ca lun a vic nh giỏ v bo h bỡnh phng trung bỡnh cho quỏ trỡnh ngu nhiờn liờn tc Mc tiờu chớnh th trng khụng y theo ngha cc tiu bỡnh phng trung bỡnh l a nhng chng minh chớnh xỏc xột n vic cú th s dng hoc Trong quỏ trỡnh vit lun vn, tỏc gi ó nhn c s hng dn rt khụng n o martingale nh nht nghiờn cu ny Quỏ trỡnh Cho X l na martingale cú dng X = X0 + M + d M v cõn bng bỡnh phng trung bỡnh ca X kớ hiu l K = tr d M tn tỡnh ca TS Nguyn Thnh Tỏc gi xin chõn thnh cm n sõu sc l khụng gian cỏc quỏ trỡnh kh oỏn cho tớch phõn ngu nhiờn t Xỏc Sut Thng Kờ ca khoa Toỏn-C-Tin ó giỳp v to G() = iu kin tỏc gi bo v lun dX l na martingale bỡnh phng kh tớch Cho hng s c R v bin ngu nhiờn bỡnh phng kh tớch H, chin lc ti u bỡnh phng trung bỡnh (c) lm cc tiu khong cỏch L2 gia H c v thy Tỏc gi cng xin gi li cm n ti cỏc thy cụ ging dy cỏc chuyờn cao hc ó to dng cho tỏc gi mt kin thc nn tng v thy cụ Tỏc gi xin chõn thnh cm n gia ỡnh, bn bố ó luụn c v, ng viờn v to iu kin thun li tỏc gi hon thnh lun xp x cho Do trỡnh tỏc gi v thi gian cũn hn ch nờn lun khụng th ti sn phỏi sinh H theo ngha lm cho ri ro ca ngi bo h c hn trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c s gúp ý ca quý ch nht vi cỏc chin lc giao dch khụng gian cỏc chin lc l b chn, liờn tc thỡ ta a mt chng minh n gin u t Nu K bn c khụng gian GT () Trong ti chớnh, s dng chin lc (c) cho tớnh úng ca khụng gian GT () L2 (P ) v s tn ti phõn tớch Foăllmer-Schweizer ca H Hn na nu X tha thờm mt s iu kin nh ngha 1.3 Na martingale liờn tc Mt quỏ trỡnh X c gi l na martingale liờn tc nu nú cú th c Chng biu din di dng tng Xt = Mt + At , t ú M l martigale a phng liờn tc v A l quỏ trỡnh bin phõn b chn thớch nghi liờn tc Kin thc chun b tha A0 = nh lý 1.1 Burkholder-David-Gundy Chng ny s im qua mt s kin thc c s v gii tớch ngu nhiờn v mt s khỏi nim ca toỏn ti chớnh c s dng lun Gi s {Mi , Ai , i N } l mt martingale, < p < v d0 = M0 , di = Mi+1 Mi , = i < ã ã ã < n = N Khi ú tn ti cỏc hng s C1 , C2 ch ph thuc p khụng ph thuc dóy di , i = 1, , N cho 1.1 Mt s kin thc c bn ca gii tớch ngu nhiờn N N d2i | i=1 i=1 nh ngha 1.1 Martingale p p d2i | E|MN |p C2 E| C E| Kớ hiu N Gi s (, A, P ) l khụng gian xỏc sut Quỏ trỡnh X = {Xt , At , t R} c gi l mt martingale (trờn ,di) i vi (At , t R) nu tha iu kin sau: d2i [M ]N = i=1 c gi l bin phõn bỡnh phng ca MN Khi ú ta cú 1.X = {Xt , At , t R} l quỏ trỡnh thớch nghi vi b lc At (tc l Xt l At o c) C1 || [M ]N ||p ||MN ||p C2 || [M ]N ||p nh lý 1.2 Girsanov 2.E|Xt | < vi mi t R 3.Vi mi t s (t, s R) E(Xt /As ) = Xs (E(Xt /As ) Xs ; E(Xt /As ) Xs ) P h.c.c Cho Yt l mt quỏ trỡnh Ito cú vi phõn ngu nhiờn nh sau: dYt = a(t, )dt + dWt , t T , Y0 = nh ngha 1.2 Martingale a phng Quỏ trỡnh ngu nhiờn {Xt , At , t 0} c gi l martingale a phng nu tn ti dóy thi im Markov (n ) i vi (At ) cho (i) P{n n} = 1, P{limn n = } = (ii) i vi mi n = 1, 2, dóy {Mtn , At , t 0} l martingale kh tớch u ú h s dch chuyn a(t, ) tha iu kin Novikov E[e T a2 (s,)ds ] < Xỏc nh mt o xỏc sut mi Q nh sau dQ = LT , ú Lt = e dP t a(s,)dWs 12 t a2 (s,)ds Vi xỏc sut mi Q ny thỡ Yt tr thnh mt martingale i vi h (Ft ), FtW = (Ws , s t) t ||gs || ds t t = exp[ < h.c.c Ta nh ngha (gs , dWs ) cỏc biu thc dXi dXj thỡ dWi dWj = ij dt, dtdWi = dtdWj = nh ngha 1.4 Nghim mnh ca phng trỡnh vi phõn ngu t nhiờn ||gs || ds] Phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn 1-chiu l phng trỡnh cú dng nh lý 1.3 Bt ng thc Doob Nu {Xt , At , t T } l martingale di khụng õm vi E|Xt |p < , t T, < p < thỡ dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt hoc tng ng ||XT ||p || sup |Xt |||p q||XT ||p , t 0tT X t = X0 + t a(s, Xs )ds + ú ||X||p = (E|X|p ) p , 1 + = p q b(s, Xs )dWs Nghim mnh ca phng trỡnh trờn l quỏ trỡnh Xt liờn tc thớch nghi vi At cho nh lý 1.4 Cụng thc Ito T |a(t, Xt ())|dt < = 1, P Nu Xt l quỏ trỡnh Ito vi phõn ngu nhiờn cú dng T dXt = a(t, w)dt + b(t, w)dWt |b(t, X(t, ))|2 dt < E Cho Yt = g(t, Xt ) vi g(t, x) l hm xỏc nh trờn [0, ) ì R v cú cỏc o hm riờng gt , gx , gxx liờn tc v biu thc tớch phõn tha vi xỏc sut vi mi t [0, T ] nh lý 1.5 nh lý tn ti nht nghim Khi ú Yt = g(t, Xt ) l quỏ trỡnh Ito vi vi phõn ngu nhiờn l: Gi s T > v a, b : [0, T ] ì R R, l cỏc hm o c tha cỏc g g g g +a + b ]dt + b dWt t x x2 x Cụng thc Ito nhiu chiu dYt = [ iu kin |a(t, x)| + |b(t, x)| C(1 + |x|), x R, t [0, T ] Cho W (t, ) = (W1 (t, ), , Wm (t, )) l chuyn ng Brown m-chiu X(t, ) = (X1 (t, ), , Xn (t, )) v dX = hdt + f dW l mt vi phõn |a(t, x) a(t, y)| + |b(t, x) b(t, y)| D|x y|, x R, t [0, T ] ngu nhiờn Ito n-chiu (vi f, h l cỏc hm ngu nhiờn o c dn, f kh ú C,D l cỏc hng s dng no ú Gi s Z l bin ngu nhiờn oỏn, kh tớch theo mi on hu hn vi hu ht ) Gi s g(t, x) = c lp vi A cho E|Z|2 < + n + (g1 (t, x), , gp (t, x)) l cỏc ỏnh x hai ln kh vi liờn tc R ì R R Khi ú quỏ trỡnh Y (t, ) = g(t, Xt ) l mt vi phõn ngu nhiờn p-chiu m thnh phn th k l Yk c cho bi dYk = gk (t, X)dt + t i gk (t, X)dXi + xi i,j gk (t, X)dXi dXj , xi xj Khi ú phng trỡnh vi phõn dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt )dWt , t T, X0 = Z cú nghim nht Xt thuc NT ( lp cỏc hm ngu nhiờn f : [0, T ]ì T R o c, thớch nghi i vi At v E|f (t, )|2 dt < ) nh ngha 1.5 o martingale nh nht Cho o martingale P P c gi l o martingale nh nht nu P (A) = P (A), A F0 v mi martingale bỡnh phng kh tớch bt V Xt l nghim nht ca phng trỡnh dXt = Xt dMt , X0 = kỡ trc giao mnh vi martingale tựy ý c nh M M theo P cng l martingale theo P tc l : Rd v L(W ) thỡ nghim ca phng trỡnh dXt = t Xt dWt c cho L M2 v Nu L(M ) thỡ nghim Xt ca phng trỡnh dXt = t Xt dMt c cho bi Xt = X0 Et ( M ) Nu W l chuyn ng Brown nhn giỏ tr bi L, M = L l martingale theo P Xt = X0 Et ( W ) = X0 exp( t t ||s ||2 ds + s dWs ) (vi M; M2 tng ng l cỏc khụng gian martingale kh tớch; bỡnh phng kh tớch.) nh ngha 1.6 o ti u phng sai o cú du Q trờn (, F) c gi l o martingale cú du nu Q[] = 1, Q P vi dQ dP L (P ) v Mt s kin thc c s toỏn ti chớnh 1.2.1 Chng khoỏn phỏi sinh nh ngha 1.8 Quyn mua c phn dQ E GT () = vi mi dP L loi chng khoỏn cụng ty c phn phỏt hnh kốm theo t phỏt hnh c phiu thng b sung v c phỏt hnh cho c ụng hin hnh ( cỏc quỏ trỡnh kh oỏn) sau ú chỳng cú th c em giao dch Kớ hiu P l tt c o martingale cú du v D= D= 1.2 Vớ d 1.1 Cụng ty A mun huy ng thờm nờn ó phỏt hnh thờm dQ Q P() dP c phiu cho cỏc c ụng, cỏc c ụng ny c nhn cỏc quyn mua c phn, cỏc c ụng ny nu khụng mua c phiu cú th nhng li cho ngi o martingale cú du P c gi l o ti u phng sai khỏc bng cỏch bỏn quyn mua c phn ca mỡnh nu P lm cc tiu V ar dQ dQ =E dP dP =E dQ dP nh ngha 1.9 Hp ng kỡ hn vi mi Q P() Nu P l ti u phng sai thỡ kớ hiu dP dP L mt tha thun ú mt ngi mua mt ngi bỏn chp thun = D mt giao dch hng húa vi lng xỏc nh ti mt thi im xỏc nh tng lai vi mt mc giỏ c n nh vo ngy hụm nh ngha 1.7 Quỏ trỡnh m martingale a phng Cho M l liờn tc, martingale a phng giỏ tr thc Khi ú m martin- nh ngha 1.10 Hp ng tng lai L cam kt mua hoc bỏn cỏc loi chng khoỏn, nhúm chng khoỏn hoc gale a phng E(M ) l quỏ trỡnh Xt = Et (M ) = exp(Mt M t ) ch s chng khoỏn nht nh vi mt s lng nht nh v mc giỏ nht nh vo ngy xỏc nh trc tng lai 10 nh ngha 1.11 Quyn la chn L quyn c ghi hp ng cho phộp ngi mua la chn quyn mua hoc quyn bỏn mt s lng chng khoỏn c xỏc nh trc khong thi gian nht nh vi mt mc giỏ c xỏc nh trc Quyn la chn l mt bn hp ng mang tớnh tha thun nhng rng buc v mt phỏp lý ú cú tham gia ca ngi mua, ngi vit v c quan qun lý 1.2.2 C hi cú chờnh th giỏ nh ngha 1.14 Mt phng ỏn u t t ti tr c gi l mt c hi cú chờnh th giỏ nu quỏ trỡnh giỏ Vt () ca phng ỏn u t ú tha : (i) P (V0 () = 0) = (ii)P (VT () 0) = (iii)P (VT () > 0) > nh ngha 1.12 Quyn chn mua L mt hp ng gia hai bờn m ú mt bờn cho bờn c quyn mua mt lng hng húa nht nh ti mt mc giỏ xỏc nh mt thi hn nht nh Bờn c quyn mua phi tr cho bờn cũn T l thi im ỏo hn ca hp ng nh ngha 1.15 Ta núi th trng M = (S, ) l mt th trng khụng cú c hi chờnh th giỏ nu khụng tn ti mt phng ỏn u t t ti tr no cú chờnh th giỏ li mt khon c gi l giỏ quyn mua V kt thỳc hp ng ngi cú quyn mua khụng bt buc phi thc hin hp ng Vớ d 1.2 Mt ngi nh mua c phiu ca cụng ty A nhng vỡ mt lớ no ú cha mun mua nờn ó n ngõn hng mua mt s quyn chn mua rng cú th mua mt s lng c phiu nht nh ca cụng ty A vi mc giỏ l X vo ngy c nh T ó tha thun n ngy T ngi mua cú th khụng cn thc hin hp ng v chp nhn mt tin mua quyn mua nh ngha 1.16 Chin lc u t ỏp ng Chin lc ỏp ng i vi mt phỏi sinh cú giỏ tr ỏo hn XT ti thi im ỏo hn T l mt phng ỏn u t t ti tr cho VT () = XT tc l giỏ tr lỳc ỏo hn ca phng ỏn u t y bng ỳng vi giỏ tr ỏo hn XT ó nh trc v ghi hp ng Quỏ trỡnh giỏ VT () ca phng ỏn y c gi l quỏ trỡnh ỏp ng Mt bi toỏn t l nh giỏ cho cỏc sn phm phỏi sinh nh th no ? v sau cỏc sn phm ny c mua bỏn thỡ phi bo h chỳng nh ngha 1.13 Quyn chn bỏn L hp ng gia hai bờn m ú mt bờn cho bờn c quyn nh th no? Lun ny nghiờn cu mt s cỏch tip cn toỏn hc cht ch cú th nh giỏ v bo h cỏc sn phm phỏi sinh ny bỏn mt lng nht nh hng húa ti mt mc giỏ xỏc nh mt thi hn nht nh Ngi mua quyn chn bỏn phi tr cho ngi bỏn quyn mt khon tin c gi l giỏ quyn hoc phớ quyn V kt thỳc hp ng ngi cú quyn mua khụng bt buc phi thc hin hp ng 11 12 phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn tuyn tớnh sau: dSt = àSt dt + St dBt , vi , l nhng hng s v B l chuyn ng Brown hỡnh hc Chng Giỏ ti sn S tuõn theo mụ hỡnh Black- Scholes nh trờn tha th nh giỏ v bo h th trng y trng y tc l mi ti sn phỏi sinh u c ỏp ng bi mt chin lc t ti tr Tớnh y s c ch phn sau 2.1 Trong chng ny ta s i tỡm hiu vic nh giỏ v a chin lc bo h giỏ cho quyn phỏi sinh th trng y nh ngha 2.1 Th trng y Bo h th trng y Cho (, F, P ) l khụng gian xỏc sut, T l mt thi im c nh Cho F = {Ft ; t T } l mt b lc vi F0 cha v nhng cú o theo P vi FT = F Cho X = {Xt ; t T } l quỏ trỡnh ngu nhiờn cú giỏ tr vộct Mt th trng M c gi l th trng y nu mi ti sn phỏi sinh vi thnh phn l X , X , , X d thớch nghi liờn tc phi, gii hn trỏi X u t c M tc l u cú phng ỏn u t ỏp ng c v dng thc s Hn na X l na martingale tho X00 = phỏi sinh ú, hay núi mt cỏch tng ng nu vi mi bin ngu nhiờn v Xtk biu din giỏ tr ca chng khoỏn th k ti thi im t, t X o c i vi FT thỡ tn ti ớt nht mt quỏ trỡnh kh oỏn t = 1/Xt0 Ta xỏc nh mt quỏ trỡnh giỏ chit khu Z = (Z , Z , , Z d ) cho VT () = XT (XT l giỏ ỏo hn ca chng khoỏn c ghi vi Ztk = t Xtk ; k = 1, , d hp ng v VT () l quỏ trỡnh giỏ u t bi chin lc ) Kớ hiu P = {Q (; F)|Q tng ng P v Z l martingale theo Q } Núi chung tớnh y l mt ũi hi khỏ cao ca th trng Vỡ vi Gi s P khỏc rng (dn ti khụng cú s chờnh th giỏ) ta cú X v Z l tớnh y thỡ mi ti sn phỏi sinh kiu chõu u u cú th nh giỏ cỏc na martingale theo P Mt phn t tu ý P P c gi l o bng phng phỏp chờnh th giỏ quy chiu v E l kỡ vng toỏn hc tng ng nh ngha 2.2 Ta núi rng ti sn phỏi sinh X c ỏp ng mt cỏch nht th trng M nu tn ti mt quỏ trỡnh ỏp ng nht Kớ hiu L(Z) = {H = (H , H , , H d ) = {Ht , t T } kh tớch i vi Z} Mt chin lc giao dch ỏp ng l mt quỏ trỡnh ngu nhiờn kh oỏn i vi X = (0 , , d ) = {t , t T } cho: Vớ d 2.1 Mụ hỡnh Black-Scholes th trng y i) (1 , , d ) L(Z), Gi s mt ti sn ti chớnh S tuõn theo mụ hỡnh Black-Scholes tc l tha ii) V () ú V () = X = iii)V () = V0 () + G () ú 13 14 d k k k=0 X , vy khụng gim tng quỏt cú th gi s l M dng t S = XT0 MT d G () = k dZ dZ = k ú tn ti chin lc ỏp ng cho VT () = MT Hn na theo nh ngha chin lc ỏp ng, martingale VT () = V0 () + k=1 T HdZ , ú H = ( , , ) Do ú M cú cựng biu din hay Mt = E (T S|Ft ) = v iv) V () l mt martingale theo P kt d Vt () mụ t s ti sn hoc s n v chng khoỏn th k c (b) (a) Cho S l mt ti sn phỏi sinh kh tớch tu ý nh ngha mt gi bi nh u t ti thi im t, V () l quỏ trỡnh giỏ chit khu mụ o martingale M bng cỏch t Mt = E (T S|Ft ) v cho H L(Z) Trong ú t giỏ chit khu ca danh mc u t v G () mụ t quỏ trỡnh lói chit cho Mt = M0 + t HdZ t = H , , d = H d ú = khu hoc l thụng qua chin lc giao dch bi nh u t Trong ú (ii) M0 + núi lờn rng nhng chin lc giao dch ỏp ng khụng cho phộp giỏ tr iu ny dn ti chin lc giao dch ỏp ng vi Vt () = Mt ú ca phng ỏn u t õm (iii) núi rng tt c s thay i giỏ tr VT () = T S Hay S c ỏp ng, suy th trng l y Trc ca phng ỏn u t u ph thuc vo s u t m khụng cn thờm chng minh (b) (c) ta cú mt s nh ngha hoc bt iu kin (iv) khng nh quỏ trỡnh giỏ ch ph thuc vo Kớ hiu M (Z) = {Q|Z l martingale a phng theo Q} v ta cú P l vic chn o quy chiu ca M (Z) HdZ HZ Mt quyn phỏi sinh S c coi nh bin ngu nhiờn dng Mt Mt phn t Q M (Z) c gi l im vụ cựng nu nú khụng th biu quyn phỏi sinh S c ỏp ng nu tn ti chin lc ỏp ng din di dng t hp li thc s ca hai martingale M (Z) Kớ hiu cho VT () = T S Mt quyn phỏi sinh S c gi l kh tớch nu Me (Z) l hp tt c cỏc im vụ cựng M (Z) Ta cú kt qu : E T S < Sau õy ta s tỡm hiu mt nh lớ núi v mi quan h Q Me (Z) nu v ch nu Z ch cú th l martingale a phng theo Q gia th trng y v s nht ca chin lc u t ỏp ng H qu ca nú l Q Me (Z) nu v ch nu tớnh cht biu din b) c tha nh lý 2.1 Cỏc mnh sau l tng ng: (b) (c) Nu P Me (Z) thỡ khụng th tn ti Q M (Z) vi Q tng (a) Mụ hỡnh th trng y theo o P ng vi P (b) Mi martingale Mt c biu din di dng (c) (b) Ta ch P Me (Z) Tht vy gi s ngc li Khi ú tn t HdZ vi H L(Z) Mt = M0 + ti (0, 1) v Q , Q M (Z) cho P = Q + (1 )Q Ta cú Q P / v ch Z l martingale theo Q tng t cho Q ú Z l martingale theo Q = Q + (1 )Q vi mi (0, 1) T Q tng (c) P cú nht mt phn t ng vi P vi mi (0, 1) tc l Q P vi mi (0, 1) Nhng Chng minh (a) (b) Cho M l mt martingale tu ý T martingale bt kỡ cú th c biu din di dng hai martingale dng khỏc 15 iu ny l mõu thun P cú nht mt phn t Tip theo ta s i mụ t v chin lc nht th trng y 16 2.1.1 Chin lc bo h quyn phỏi sinh th trng y Chin lc giao dch = (K, H) c gi l chin lc giao dch t ti 0 0 vi quỏ trỡnh kh oỏn J L(W X ) Ta li cú dXsX = XsX dWsX suy Mt = M0 + t X0 X0 Js /(Xs )dXs , t ta cn t 0 Js /(XsX )dXsX = Mt = V0 + M0 + tr nu nú tha : Hs dXsX , vi mi t [0, T ] 0 Suy dVt () = Kt dBt + Ht dXt 0 M0 = V0 , Hs = Js /(XsX ), Ks = Ms Hs XsX t X0 Hs dXs chin lc c hiu nh liờn tc t cõn bng cỏc danh mc u t m Khi ú Mt = M0 + khụng rỳt hoc thờm vo Sau õy ta s ch l mt chin lc giao dch tc l K L(X ) v Ta cú mt chin lc giao dch t ti tr c gi l ỏp ng quyn phỏi sinh h nu VT () = h v quỏ trỡnh giỏ chit khu VtX () l PX H L(X) T dXt = Xt (àdt + dWt ) chỳng ta thu c duX (s) = àXs ds (uX (s) l compensator ca X ) v d X martingale tc l s = Xs2 ds Quỏ trỡnh kh oỏn J L(W X ) tho VtX () = EPX [h/X T |Ft ], vi t [0, T ], T Js2 ds < , PX as v t Do ú Vt () = Xt0 EPX [h/X T |Ft ] vi t [0, T ] T dS s T = T Js2 X s ds < v |Hs ||duX (s)| = T | àJs |X s ds < , P as nh lý 2.2 Nu quyn phỏi sinh h l PX kh tớch thỡ nú c ỏp Suy H L(X), Ks = Ms Hs XsX = Ms Js / ng Suy J L(X ) theo tớnh liờn tc ca M suy K L(X ) Vy ta Chng minh t Mt = EPX [h/XT0 |Ft ] cho = (K, H) l mt chin lc giao dch v t Vt = Vt () Khi ú ỏp ng h nu v ch nu Phn cũn li ta s ch chin lc l t ti tr Thc vy, t Mt = M0 + 0 Ta cn xỏc nh Ht vi iu kin t ti tr cho l dVtX = Ht dXtX tc t = T suy VT () = X T MT = h Kt + Ht XtX = VtX = Mt vi t [0, T ] dng tớch phõn VtX = V0 + cú chin lc giao dch tho VtX () = Mt , t [0, T ] Hn na vi t X0 Hs dXs nh lớ III.5.d.0 [11] ta cú Ft martingale Mt cú th biu din Js dWsX , t [0, T ], Mt = M0 + suy dVtX () = dMt = Ht dXtX Suy Ht = dVtX dXt Vy ta cú iu phi chng minh Nh vy chin lc ti u u t ỏp ng quyn phỏi sinh h l: s = X0 dVs (Ms Hs XsX ; dX ) X0 s Xột trng hp ri rc ta cú H = bi vớ d mc sau õy 17 = Mt vi t [0, T ] Gi (Ft ) l b lc tng sinh bi chuyn ng Brown hỡnh hc WtX Theo t t X0 Hs dXs 18 VtX XtX iu ny s c minh L2 (A) L2 (M ) T K ú = L2 (M ) cho hng s c R v bin ngu nhiờn H L (FT , P )) Xột bi toỏn ti u sau: Tỡm giỏ tr nh nht ca E[(H c GT ()]2 vi mi Kớ hiu nghim ca bi toỏn l (c) nu nú tn ti Bi toỏn ny c ny sinh mt cỏch rt t nhiờn toỏn ti chớnh nghiờn cu v chin lc bo h ti u giỏ tr bỡnh phng trung bỡnh Xem Xt nh giỏ chit khu ti thi im t ca mt ti sn ri ro v t nh din bin chin lc u t vi ý ngha it mụ t s c phn ca tỏi sn i c gi thi im t Tớnh úng ca GT () v phõn tớch Fă ollmer-Schweizer 3.3 Bi toỏn ti u (3.1) lp tc ny sinh cõu hi liu no cú nghim? Tc l khụng gian GT () cỏc tớch phõn ngu nhiờn ca X no l úng b chn L2 (P )? Cõu tr li chc chn rng nu quỏ trỡnh MVT K l iu kin cn v Trong phn ny lun a mt chng minh b chn v liờn tc khỏc v tớnh úng ca GT () vi gi s thờm rng K Qua ú cng thu c chng minh n gin v s tn ti ca phõn tớch Foăllmer-Schweizer v mt s kt qu sỏng sa v tớnh kh tớch ca nú Ta xột mt mnh rt quan trng cho vic ỏp dng nú chng minh mt s nh lớ v h qu sau ny: Gi s v s tn ti ca ti sn an ton (ti khon ngõn hng hoc trỏi phiu lói xut 0) vi giỏ chit khu l ti mi thi im Vi mi 3.3.1 xỏc nh nht chin lc giao dch t ti tr vi ũi hi rng quỏ trỡnh giỏ tr c cho bi c + t dX vi c R c cho ban u ti thi Mnh 3.3.1 Cho ; ; V0 L2 (F0 , P ) v L M2 (P ) trc giao mnh vi M v nh ngha quỏ trỡnh V bi im Bin ngu nhiờn H nh mt ti sn phỏi sinh tc l bn giao t c c a ti thi im T ti khon phi toỏn ngu nhiờn l H Kt qu thua l thc t s dng cp (c; ) c xỏc nh bi T H c t tr s dAs + Vt := V0 + str dMs + Lt ; t T Cho C l quỏ trỡnh tng khụng õm kh oỏn RCLL Nu C l b chn s dXs ú T v chin lc ti u bỡnh phng trung bỡnh a s xp x tt nht ca E CT VT2 H vi ngha bỡnh phng trung bỡnh bi ti sn cui cựng cú th thu c T Vs dCs E[ T s Vs Cs dK bi chin lc t ti tr iu kin cu trỳc l mt h qu ca gi s yu Cs str s s dBs + T khụng cú chờnh th giỏ v bi vy rt t nhiờn cho bi toỏn c xem nh ri ro xột di õy Quỏ trỡnh cõn bng bỡnh phng trung bỡnh K à2 Cs tr s s s dBs ] ca giỏ th trng bỡnh phng kh tớch liờn quan ti X Chng hn mụ vi khỏc hỡnh Black-Scholes v chuyn ng Brown hỡnh hc vi lch b, dao t = ( br )2 t ng v t l lói xut an ton l r thỡ chng hn cho K Chng minh T C l tng, kh oỏn theo cụng thc Ito v nh ngha 27 28 ca V chỳng ta thu c tớch v cú cựng kỡ vng l T CT VT2 C0 V02 = T Vs dCs + T Cs d(Vs2 ) T T Vs dCs = +2 Cs Vs dVs + T = Cs d[Vs ] +2 0 s T tr Cs d[ dA]s Cs Vs tr s s s dBs 0 T T Cs d[ dM ] + s Cs Vs s dMs + dM, L]s ab a à2 b T Cs Vs dLs + Cs d[ tr dA, dM + L]s ta thu c =: T term(i) CT VT2 i=1 T V dL]T2 VT [L]T2 L1 (P ) Vỡ C l kh oỏn b chn, CV dL l martingale ú hng t th (8) kh tớch vi kỡ vng Hng t th (7) ly kỡ vng cng trit tiờu t dM M20 (P ) vi hng t (6) trit tiờu vỡ tớnh trc giao mnh ca dM v L V dL l martingale a phng cú supremum [ M20 (P ) hng t (9) cng trit tiờu Ta li cú [F, N ] l martingale N M2 (P ) v F l kh oỏn cú bin phõn bc kh tớch Vỡ v C kh oỏn b chn hng t (4) kh 29 Cs str s s dBs T Xột ng thc trờn vi cỏc hng t di kỡ vng ta cú L M2 (P ) L1 (P ) theo bt ng thc Burkholder-Davis-Gundy ta cú T s + Vs Cs dK Vs dCs à2 v V R2 (P ), quỏ trỡnh (theo bt ng thc Cauchy-Schwarz) S dng bt ng thc c bn T T +2 Cs d[ s ) 21 , Cs Vs dK Cs tr s s s dBs ) ( T Cs d[L]s + T T 2( + T Cs Vs tr s dAs = 2 T Cs Vs tr s dAs + Cs str s s dBs = Hng t (3) v (5) thỡ khụng õm v hng t (2) cú th ỏnh giỏ nh sau: T Vs dCs dM T T Cs d à2 Cs tr s s s dBs + NT , vi N l martingale trit tiờu ti Nhng V R2 (P ); , v tớnh b chn ca C dn ti kỡ vng v phi xỏc nh tt [, +) ú ly kỡ vng v ta cú iu phi chng minh 3.3.2 B 3.3.2 Cho F l quỏ trỡnh tng kh oỏn RCLL trit tiờu ti vi bc nhy b chn bi hng s b Vi mi (0, 1b ) quỏ trỡnh Ct := eFs = eFt E(F )t Fs 0 v = C l nghim nht ca phng trỡnh t p Ct = + Cs dFs ; t T, Chng minh p dng mnh vi C = e K ta cú iu phi chng minh p vi C l hỡnh chiu F -kh oỏn ca C T C l kh oỏn ta cú nghim ca phng trỡnh trờn Hn th na vi Ct l s Fs b ta cú ỏnh T nh lớ ny ta rỳt mt h qu rt quan trng cú liờn quan ti s tn ti nghim ca bi toỏn bo h ti u giỏ sau Ct = eFs 1 = eFt eFt eFs , E(F )t F (1 b) s 0 à2 > dn ti Vic tỡm phõn tớch Foăllmer-Schweizer tng ng vi vic tỡm im bt ng ca J Cho > t 1 ||||2L2 (M ) à2 1 à2 T E T E e KT T e Ks tr s s s dBs Suy hai chun tng ng M c mi dóy n hi t ti thỡ kộo theo dóy T ns dXs cng hi t ti T 0 xỏc nh mt chun trờn tng ng vi ||.||L2 (M ) (theo bt ng thc Cauchy-Schwarz) Bõy gi ta s ỏp dng mnh vi > à2 > 1, = , = J (1 ) J (2 ), V0 = H0 (1 ) H0 (2 ), L = L(1 ) L(2 ) dn ti VT = ú ta cú : s dXs GT () dn ti T ||J (1 ) J (2 )||2 = E ( tớnh úng ca GT () e Ks str s s dBs T E ( e Ks str s s dBs = ||1 ||2 Tip theo ta s tỡm hiu thờm mt h qu thỳ v ca mnh 3.3.3: 3.3.5 s dXs e||KT || ||22 e Ks tr s s s dBs ) ||L2 (P ) |||| := ||( H qu 3.3.5 l liờn tc v b chn thỡ vi H L2 (FT , P ) cú Nu quỏ trỡnh MVT K phõn tớch Foăllmer-Schweizer l Do ú J l ỏnh x co trờn (, ||.|| ) Suy J cú im bt ng hay H cú phõn tớch Foăllmer- Schweizer T sH dXs + LH T H = H0 + P a.s Vn dng cỏch chng minh ca h qu 3.3.5 ta cú b sau: vi Ho R, H v LH M2 (P ) trc giao mnh vi M v E[LH ] = b chn ta cú = L2 (M ) Xột ỏnh x J : Chng minh T K 3.3.6 B 3.3.6 b chn thỡ vi H Lp (FT , P ) (vi Gi s X l liờn tc Khi ú nu K p ) cú phõn tớch Foăllmer-Schweizer vi H Lp (M ) v LH Mp (P ) ú ỏnh x bin thnh hm di du tớch phõn ca M phõn 33 34 b chn v liờn tc theo chng minh ca h qu 3.3.5 Chng minh T K 3.4 Mụ t chin lc ti u ta cú J l ỏnh x co trờn (, ||.|| ) ú H = lim J n () vi n = L2 (M ) chng minh H Lp (M ) ta ch J l ỏnh x Lp (M ) b chn v Lp (M ) Lp (A) theo vo chớnh nú iu ny c suy t K Trong thc t s tn ti dng hin ca mt chin lc ti u bỡnh phng trung bỡnh thng khụng c nh ý Bi vy mc ny lun bt ng thc Cauchy-Schwarz C nh L (M ) v xột phõn tớch a mt mụ t ca (c) di dng cụng thc liờn h ngc nu X Galtchouk-Kunita-Wantanabe sau liờn tc v tha iu kin gi s c bit Trong trng hp mụ hỡnh p T tr s dAs = H0 () + H khuych tỏn vi b lc Brown chỳng tụi ó a cỏch chng minh cho T s dMs + LT () trng hp tng quỏt ú X l na martingale liờn tc vi quỏ trỡnh cõn T H Lp (M ) v Lp (A) ta ly kỡ vng cú iu kin v vi M bng bỡnh phng trung bỡnh b chn M20,loc Cho X l na martingale liờn tc tha iu kin cu trỳc (SC) v ) l hm mt martingale nh nht Nu kớ hiu bi Z := E( dM T ] = thỡ ú theo nh lớ Girsanov ta cú E [Z suy T p tr s dAs |F0 ] L (F0 , P ) H0 () + L0 () = E [H dP := ZT dP Hn th na X liờn tc v tớnh trc giao mnh ca L v M nờn suy [ dM, L()] = dM , L() = Cng t bt ng thc Burkholder-Davis-Gundy v bt ng thc Doob xỏc nh mt o martingale a phng tng ng P ca X tc l xỏc sut P P vi X l martingale a phng theo P P l o martingale ta thu c T b chn thỡ ta cú a phng nh nht ca X Nu K T str s s dBs 2 + [L()]T = dP Lr (P ) dP 2 ||[ dM ]T + [L()]T ||Lp (P ) Lp (P ) const.||( dM + L())T ||Lp (P ) const < T s dMs + LT () const H T dP Lr (P ) vi mi r < dP Lp (P ) Sau õy ta s i mụ t chin lc bo h ti u th trng khụng T s dXs + L (3.5) Mr (P ) vi mi r < v Lr (M ) vi mi r < vi L Sau õy ta s trỡnh by mt nh lý rt quan trng cú nhiu ng dng, ú chin lc bo h ti u c mụ t di dng cụng thc liờn h ngc 35 T dP T ] + = E[ZT2 ] E[ZT L dP tr s dAs (3.4) Theo b 3.3.6 v (3.3) ta cú phõn tớch Foăllmer-Schweizer nh sau: Lp (P ) Do ú Lp (M ) v L() Mp (P ) ta cú iu phi chng minh y (3.3) v [ dM + L()]T2 Lp (P ) vi mi r < 36 3.4.1 theo (3.4) v bt ng thc Doob v (3.3) T LH M2+ (P ) theo b nh lớ 3.3.7 l b chn Gi s rng X tha iu kin Gi s X l liờn tc v K c bit : LT = phõn tớch (3.5) Khi ú vi mi H L2+ (FT , P ) vi > 0, nghim (c) 3.3.6 ta thu c T [N ]T = ca (3.1) c cho bi (c) t = tH Vt c Zt0 vi mi < t s(c) dXs , (Zs0 )2 d[LH ]s [LH ]T sup 0tT (Zt0 )2 L1+ (P ) theo bt ng thc Burkholder-Davis-Gundy ta cú (3.6) E|N |2+2 const.E|[N ]T |1+ T ú Suy (3.7 ) t ZT |Ft ] = E[ZT2 ] + Zt0 := E[ T LH l P -trc giao mnh vi M, vi N v (3.7) v tớnh nh nht ca P dn ti N l P trc giao mnh P -martingale vi X, theo nh lớ (3.5) ca s dXs , t T v [10] S dng Lr (M ) vi mi r < cui cựng ta thu c t Vt := E[H|F t ] = H0 + sH dXs + LH t , t T T Trc chng minh nh lớ ta xột b sau: B 3.3.8 : Cho quỏ trỡnh N c xỏc nh bi H0 c + LH + Nt := E[Z ] T t (3.7) v N l P -martingale P -trc giao mnh vi X v N L2 (M ) Chng minh Theo nh ngha quỏ trỡnh Z l dng thc s bi vy N 1 = E |Ft ZT |Ft ] Zt0 E[ ZT L1+ (P ) t ú suy N thuc L2 (M ) Chng minh Theo nh lớ hỡnh chiu, chin lc ti u (c) c c trng bi tớnh cht rng E xỏc nh tt Hn th na theo bt ng thc Jensen ta cú sup |Ns |2 0sT Sau õy ta s i chng minh nh lớ 3.3.7: Khi ú N M2+ (P ) vi < str s s dBs vi mi < dLH s Zs0 T Ns str s s Ns dBs H c GT ( (c) ) GT () = H c GT ( (c) ) GT () = E ZT vi mi T GT ()] = vi mi b T P l o martingale ca X v E[N chn Vi N M (P ) P trc giao mnh vi X iu ny gi cho ta vic tỡm N vi tớnh cht c bit Do ú sup 0tT Lr (P ) vi mi r < , Zt0 37 H c GT ( (c) ) = NT ZT = NT ZT0 38 (3.8) Bõy gi ta ỏp dng quy tc tớch v s dng phõn tớch Foăllmer- Schweizer T = suy ca H v ZT cựng vi gi s c bit L (c) H c GT ( ) NT Z dn ti N Z = N0 E[ZT2 ] + N dX + Z dN (3.9) T T = H0 cN0 E[ZT2 ]+ vi H = H0 + T s dXs T T (sH s(c) Ns s )dXs +LH T Zs0 dNs [N, Z ], (c) sH dXs + LH T ; GT ( ) = T (c) s dXs ; ZT0 = E ZT2 + tr d[N, X] = tr d N, X P nh b 3.3.8 s tha v dP H c GT ( (c) ) = NT ZT0 = NT dP Suy LH l P- trc giao mnh vi M Vỡ tớnh nh nht ca P suy N c yờu cu nh mt P - martingale P - trc giao mnh vi X Theo b 3.3.6 ta cú LH M2+ (P ) v P trc giao mnh vi M T P s l nh c th biu din th hai ca V Theo (3.4) chỳng ta cú -martingale trit tiờu ti Hn na vi mi < theo (3.8) v bt ng thc Holder ta cú sup |Nt Gt ()| L1+ (P ) 0tT Theo (3.3) v N G() l P -martingale ú sup |Nt Gt ()| L1 (P ) LH M2+ (P ) vi mi < 0tT T K b chn ta cú = L2 (M ) v (c) = H N (theo b 3.3.8) Tip theo ta s ch (c) l ti u v tha (3.5) Theo b 3.3.8 N l P - martingale P trc giao mnh vi X Gi s c T = v tớnh liờn tc ca X dn ti bit L 39 (3.10) Vi mi tớnh P trc giao mnh ca N v X dn ti N G() l P o martingale nh nht v X liờn tc nờn theo nh lớ (3.5) [10] dn ti LH l P - martingale P - trc giao mnh vi X iu ny c khng tr d N, X (c) dX tha (3.6) nh lớ 3.3.7 T (3.9) v nh ngha ca Z ; V ta cú (c) := H N tr d[N, X] = = V c N Z0 (c) = H N = H Z0 =0 vi N l P trc giao mnh vi X Do ú ta chn c Nt theo cụng thc [N, Z ] = ( H (c) )dX + LH T Z liờn tc ta thu c T = v tớnh liờn tc ca X, Nhng theo gi s L [N, Z ] = = H0 c + P T ú suy T GT ()] = E[(H c GT ( (c) ))GT ()] = E[N vi mi Do ú tớnh ti u ca (c) c chng minh =0 40 (3.11) 3.4.2 tng ng vi X Theo ti chớnh chỳng ta mun xp x bn toỏn an H qu 3.4.9 ton bi giỏ tr cui cựng ca mt chin lc t ti tr vi ban u Vi gi thit ca nh lớ 3.4.7 thỡ ri ro ton phng nh nht c cho bi vic u t vo ti sn ri ro l X , , X d ; cht lng xp x cú th bi J0 = E ((H c GT ( (c) ))2 = (H0 c)2 + E[(LH ) ] +E E[Z ] T T d[LH ] Zs0 o c bi hm l ton phng Di gi s ca nh lớ 3.3.7 nghim ca bi toỏn ti u bỡnh phng trung bỡnh c cho bi s (0) t = E( t dX)t ; t T Z Zt (3.12) Vỡ vi V v H v cụng thc (3.6) nh lớ 3.3.7 thờm vo Chng minh Theo (3.10) v (3.11) ta cú v suy T (H c GT ( (c) ))] J0 = E[N T (H0 c + GT ( H (c) ) + LH = E[N T )] H (c) T (H0 c)] + E[N T LH = E[N T ]( vỡ E[NT GT ( )] = 0) Theo nh b ta cú N l P -martingale suy T (H0 c)] = (H0 c)E[N 0] = H E[N (H0 c)2 + (H0 c)E[L ] E[ZT2 ] = (H0 c)2 E[Z ] T ú (0) dX = E( T d[LH ]s Zs0 dX) Z (0) dX)dX, thay vo cụng thc nh lớ 3.3.7 ta cú (3.12) v vi ri ro ton phng nh nht J0 = (H0 = 1; LH = 0) E[Z ] T Vớ d 3.1 Gi s H tha iu kin c bit LH T = phõn tớch F oăllmer-Schweizer ca H H H H T E[L v N ] = E[L0 ] = bi vy P = P trờn F0 Ta li cú L M2 (P ) Do ú H E[(L ) ] H H T LH E[N + E T ] = E[N0 L0 ] + E[[N, L ]T ] = E[ZT ] (1 Z (0) (0) dX = + T sH dXs H = H0 + (3.13) vi H0 R v H Nu chỳng ta khụng nhng c t la chn m cũn chn c ban u c bi toỏn ti u Nghim tm thng s c cho bi Sau õy ta s ỏp dng cỏc kt qu trờn vo mt s vớ d c th thy c ý ngha thỳ v ca chỳng 3.5 c = H0 v (H0 ) = H vi ri ro ton phng bng Cho ngoi sinh c bt kỡ theo nh lớ hỡnh chiu v chin lc ti u (c) ca bi toỏn (3.1) l hm tuyn tớnh ca H Hn na theo (3.2) phn GT ( H ) cú th c bo h hon ho bi H v phn d H0 c l mt hng s cú th c xp x Xp x mt ti sn phi ri ro nh phn trờn ta cú nghim l : Trong vớ d u tiờn ta xột l trng hp n gin cho H =1 v c=0 Xột v khớa cnh toỏn hc l tỡm hỡnh chiu ca L (P ) trờn GT () 41 (c) t = tH (H0 c)E( t (0) dX)t = tH + (H0 c)t , t T Z Zt 42 vi ri ro ton phng nh nht l T eKT (H0 c)2 + E[(LH ) ]+E J0 = eKs d[LH ]s 3.6 Bo h trng hp quỏ trỡnh cõn bng mean-variance tt nh = T eKT (H0 c)2 + E[(LH ) ]+E eKs d LH P s Sau õy ta s xột n nhng vớ d m nh lớ 3.3.7 c tha Gi s X l na martingale liờn tc tha iu kin cu trỳc Tớnh liờn tc dn ti ca K 3.7 Mụ hỡnh khuych tỏn hu y Cho X tha Z = E( dM ) = E( = E( dX + K) K dX)e , dXti = (bit rt )dt + Xti c th ta cú dP = ZT = eKT E( dP dX) T =e T K E( dX) s s dXs ) T l tt nh ú K b Nu ta gi s rng giỏ tr ca quỏ trỡnh MVT K T K chn v ZT = e + dX vi := e T K E( dX) (3.14) T = c tha theo cụng thc (3.5), t Suy gi s c bit L tớnh b chn ca K suy rng Hn th na, E( dX) l P martingale, ú ta cú ZT |Ft ] = eK T E( Zt0 = E[ n vtij dWtj = mit dt + j=1 vtij dWtj j=1 vi chuyn ng Brownian W Rn Quỏ trỡnh b v v mụ t t l tng T (1 n giỏ v dao ng ca d chng khoỏn S , , S d ú r l lói xut an ton c tr bi trỏi phiu S Giỏ chit khu c cho bi X i = Si S0 Bi toỏn ny ó c khỏi quỏt húa t mụ hỡnh Black-Scholes Nu chỳng ta gi s rng d n v ma trn vt cú hng y ti mi thi im t vi P h.c.c so sỏnh cỏc cụng thc ta cú dA dM = dM dM = (b r1)tr (vv tr )1 vdW, (3.17) vi dA = Xt mt dt, d M = (vv tr )Xt dt, dM = Xt vdW v dX) t, t T dM =[ = K dM ] v iu ny dn ti t t , t T = Zt0 (3.15) = 43 (3.18) i tr s s (M )s = s s s t s(c) dXs , t T dM d Cho bin ngu nhiờn H nghim ca bi toỏn ti u c cho bi (c) t Vt c t = tH + (3.16) = i=1 (bs rs 1)tr (vs vstr )1 (bs rs 1)ds 44 vi := (1 1)tr Rd Do ú chỳng ta s nhn c quỏ trỡnh MVT b Vớ d 3.2 Ly d=1 v cho X l nghim ca phng trỡnh vi phõn ngu chn c bo ton theo tiờu chun ri ro ca giỏ th trng l nhiờn dXt = m(t; Xt )dt + v(t, Xt )dWt (3.20) Xt vi gi s thớch hp i vi hm m, v (3.20) cú nghim mnh nht vstr (vs vstr )1 (bs rs 1); s T b chn thớch nghi c vi b lc FW iu ny dn ti iu kin (3.19) c tha T = cng tha vi b lc bt kỡ F thu c t FW v ú L Trong trng hp mt chiu d=1 suy iu kin rng ms bs rs = ; 0sT vs vs chỳng ta cú th ỏp dng kt qu ca nh lớ 3.3.7 v h qu 3.4.9 b chn Nu ta chn P - tng FW l b lc c sinh bi W v d=n thỡ nú c bit n mụ hỡnh kt qu l y v mi bin ngu nhiờn kh tớch y T = thỡ Vớ d 3.3 Trong trng hp tng quỏt hn, gi s c bit L X cng tha nu ZT l F - o c v nu X cú tớnh cht biu din T kh oỏn cho chớnh b lc ca nú chng hn X c cho bi cú th c vit nh tng ca hng s v tớch phõn ngu nhiờn tng dXi = mit dt + Xti ng vi X Thc vy, theo nh lớ biu din Ito dn ti biu din bi hng s cng vi tớch phõn ngu nhiờn ca W v cú th c vit li cỏc thnh phn ca X vi vic s dng quy tc Bayes v nghch o ca vt t biu din lc FW F tựy ý Nu chỳng ta gi s rng giỏ ri ro ca th trng biu din rừ rng cho l thớch nghi vi FW ú (3.7) dn ti ZT = E( v ij (Xt )dWtj j=1 vi mi b chn v thớch nghi vi FX v v ij chớnh tc ZT l FX T - o c Tuy nhiờn, s y thỡ hn ch nh mt gi s v chỳng ta khụng T = Gi s cho d=n nhng b yờu cu s y ca nú thu c L v tr (vv tr )1 (b r1) = v tr (vv tr )1 m d ZT = eKT E( dX) T, v gi s o c ca m v v dX v K (3.19) dM )T l FW T - o c v ú cú th biu din nh mt hng s cng vi mt tớch phõn T = c tha ngu nhiờn ca X theo lp lun nh trờn Do ú gi s L Vớ d 3.4 Chỳng ta xột trng hp d = v b lc F c sinh bi W v chuyn ng Brownian W c lp Mt P-martingale trc giao bt kỡ vi M l tớch phõn ngu nhiờn ca W ú thnh phn trc giao phõn tớch Foăllmer-Schweizer ca H cú dng v chỳng ta cú th ỏp dng nh lớ 3.3.7 v h qu 3.4.9 xỏc nh LH = LH + chin lc ti u v ri ro ton phng nh nht cho bin ngu nhiờn bt H dW kỡ H Chỳ ý rng tớnh khụng y mụ hỡnh ny suy t thc H vi bt kỡ Hn th na F0 l tm thng v LH = E[L0 ] = Khi ú t rng b lc F cha ng nhiu thụng tin hn l c cho bi giỏ chit ri ro ton phng nh nht c cho bi khu X hoc giỏ S J0 = (H0 c)2 + E E[Z ] T 45 46 T H (s ) ds Zs0 Vớ d 3.5 Cho Y l nghim mnh ca phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn 3.8 Mụ hỡnh bin ng ngu nhiờn cú tớnh Markovian dYt = a(t, Xt , Yt )dt + b(t, Xt , Yt )dWt (3.24) vi chuyn ng Brownian W c lp theo P Vi gi s chớnh tc i vi cỏc hm h s m, v, a, b, hm v l C 1,2,2 trờn [0, T ) ì (0, ) ì R v nghim Bõy gi chỳng ta s ỏp dng nh lớ 3.3.7 cho mụ hỡnh bin ng ngu nht ca phng trỡnh vi phõn thụng thng nhiờn Xột phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn sau: dXt = m(t, Xt , Yt )dt + v(t, Xt , Yt )dWt Xt v v v v + a + b2 + x2 v 2 = 0, (0, T ) ì (0, ) ì R t y y x (3.21) vi iu kin b chn v(T, x, y) = h(x, y) vi mi x, y R+ ì R p dng Trong ú Y l tha s ngu nhiờn c thờm vo nhn giỏ tr Y cụng thc Ito cho v ta cú : b nh hng theo s phỏt trin ca X Chỳng ta gi s rng m, v, Y nh v v v v dt + Xmdt + XvdW + adt t x x y v v v v + bdW + xvbdW dW + x2 v 2 dt + b dt y xy x 2y v + xvbdW dW yx d v= (3.21) cú nghim mnh nht v coi F nh P-tng ca b lc sinh bi X v Y T ú Y s c trng cho mt nh lng phi mu dch Mụ hỡnh (3.21) khụng y trng hp tng quỏt Hn th na chỳng ta gi s rng (X,Y) l quỏ trỡnh markov theo P Nu ta hn ch s quan tõm ca chỳng ta ti ti sn phỏi sinh dng Khi ú dn ti H = h(Xt , Yt ) Vic tỡm phõn tớch Foăllmer-Schweizer ca H thỡ d dng tH = T t = dA = Xt m(t, Xt , Yt )dt = m(t, Xt , Yt ) , t T (3.22) dM Xt2 v (t, Xt , Yt )dt Xt v (t, Xt , Yt ) v dP = ZT = E( dP m(s, Xs , Ys ) dWs )T v(s, Xs , Ys ) (3.23) Theo cụng thc Bayes v tớnh Markov ca (X,Y) vi P suy Vt = E[H| Ft ] = E[h(X (t, Xt , Yt ) T , YT )|Ft ] = v vi hm v : [0, T ].R+ Y R iu ny cú th s dng a biu din rừ rng cho H , LH nh vớ d sau c minh 47 v v (T, Xt , Yt ) vi t T x t v (T, Xs , Ys )b(s, Xs , Ys )dWs , t T x T ú ỏp dng cụng thc nh lớ 3.4.7 ta cú chin lc (c) ỏp ng LH t = Mnh 3.8.10 Gi s m v v (3.21) khụng ph thuc vo y Khi ú gi s c bit tha v biu thc di du tớch phõn (3.5) thỡ rừ rng c cho bi g t g(t, Xt ) , t T = Zt (t, Xt ) (3.25) x Trong ú g : [0, T ] ì R+ R l nghim nht ca phng trỡnh vi phõn thng g m2 g 2 g + xv xm + g = trờn (0, T ) ì (0, ) t x x v 48 (3.26) Chng minh T m, v, a, b khụng ph thuc vo x v (3.10) (3.13) dn ti T = T m22 (s,Ys ) ds l FW o c Do ú theo nh lớ biu din Itụ ta K T v (s,Ys ) vi iu kin biờn x R+ g(T, x) = vi mi cú T eKT = E[eKT ] + Hn th na ta cú g t t x (t, Xt ) , t T = g(t, Xt ) Zt s dWs P a.s (3.27) Chng minh iu kin cho s tn ti v nht ca g chng hn p dng quy tc tớch cho quỏ trỡnh E T dX v UT := E[eKT ] + dW dn ti dP =E dP nh c m v v b chn v Lipschitz u theo (t,x) kt hp vi b chn u dX = E[eKT ] di theo v Nu m v v khụng ph thuc vo y Phng trỡnh vi phõn T UT T Us E dXs + dX s s T E dX dWs s s (3.28) ngu nhiờn (3.20) ca X v gi s c bit cng nh vớ d 3.2 p dng cụng thc Ito vi tớch Ut := Zt g(t, Xt ) vit , cho vi phõn thng tng T b chn, U cng b chn kt hp vi (3.3) suy vỡ [W , X] = T K ng vi t v x S dng (3.22) ,(3.23) v (3.26) thu c (3.17) phõn tớch Foăllmer- Schweizer ca X v dt+Zt g dXt Zt g t dMt = Zt (g t g)dXt dUt = Zt g+ g Xt2 v g t tớch phõn u kh tớch v biu thc cui cựng l mt P-trc giao mnh P T khụng tt nh v v khỏc ú nú cng martingale vi M Nhng K Do ú U la P martingale vi UT = ZT = ZT0 suy Z U Vy ta cú trc giao mnh vi s hng (3.28) suy gi s c bit khụng tha (3.25) v (3.27) Vớ d 3.6 Trong trng hp c bit hn vi m v v cng khụng ph 3.9 thuc vo x ta cú th d dng vit nghim ca (3.26) nh sau T g(t, x) = g(t) = exp t m2 (s) ds v (s) v ú t (3.27) thu c (3.15) iu ny hin nhiờn vỡ quỏ trỡnh = m22 (s) ds l tt nh trng hp ú Nu m v v khụng ph K v (s) thuc vo nhng bin ngu nhiờn sinh bi Y Ta thy gi s c bit tha Trong trng hp i xng thỡ gi s c bit khụng tha nh lớ 3.8.11 Gi s rng m, v, a, b (3.24) v (3.21) khụng ph T l b chn v khụng tt nh ú gi s c bit l thuc vo x Nu K dP dP c hai biu thc di du Mụ hỡnh Black - Scholes mụi trng ngu nhiờn Xột phng trỡnh vi phõn ngu nhiờn sau dXt = mt dt + vt dWt Xt (3.29) vi quỏ trỡnh m v v l c lp vi chuyn ng Brownian W v gi s rng (3.29) cú nghim mnh nht i vi hu ht m v v Mụ hỡnh ny cng nh mụ hỡnh Black-Scholes mụi trng ngu nhiờn c mụ t bi cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn m v v B lc s c sinh bi W v tng thi im theo s y v m v v Thc vy, mụi trng ngu nhiờn khụng tha 49 50 c chn thi im v ú X c khai trin nh mt chuyn ng hay Brownian hỡnh hc thụng thng vi h s ngu nhiờn c xỏc nh bi EZ < E Z s tỏc ng ca mụi trng õy l mt mụ t rừ rng v mt mụ hỡnh Do ú P khụng l o phng sai ti u v theo b ca [6] suy m ton b cỏc bin ngu nhiờn cỏc h s l ngoi sinh ch khụng gi s c bit khụng c tha phi t chớnh X (3.20) Xột nh lớ sau nh lớ 3.9.12 Gi s rng quỏ trỡnh m v v (3.29) l c lp vi T khụng tt nh thỡ gi chuyn ng Brownian W v mv l b chn Nu K s c bit l khụng tha m2s vs2 ds = Chng minh Theo trờn ta cú K T ZT = exp v Z = E( m v dW ) ú ms dWs K T vs T m v v l c lp vi W phõn phi iu kin ca log ZT c cho bi T v phng sai K T T ú ta m v v l phõn phi chun vi kỡ vng K cú th so sỏnh E[ZT2 ] = E[eKT ] theo iu kin ca m v v T m v v l F0 o c, quỏ trỡnh Zt := eKT E[eK T ] Zt l P-martingale dng thc s vi kỡ vng T P l o martingale theo X, tớch ZX cng l P-martingale v ta cng cú th nh ngha c dQ dP mt o martingale tng ng Q cho X nh sau := ZT Theo lp lun nh trờn ta cú E[ZT2 ] = E[e2KT ZT2 ] (E[eK T ])2 = E[eK T ] Do ú theo bt ng thc Jensen cho hm li di x T khụng tt nh v K suy dQ dP L2 (P ) < 51 dP dP L2 (P ) 52 Kt Lun Ti liu tham kho Lun tỡm hiu v phng phỏp nh giỏ v bo h cho cỏc sn phm Ting Vit ti chớnh Nu th trng l y thỡ giỏ v chin lc bo h l [1] ng Hựng Thng (2005), Quỏ trỡnh ngu nhiờn v tớnh toỏn ngu nht Xột vi mụ hỡnh Black-Scholes ta cú cụng thc giỏ v chin lc bo nhiờn , NXB i hc Quc gia H Ni, H Ni h tng minh v lun cng chy th mt b s liu tht Cũn i vi [2] Trn Hựng Thao(2009), Nhp mụn toỏn hc ti chớnh, NXB Khoa Hc th trng khụng y trc mt s iu kin c bit, chin lc bo v K Thut, H Ni h ti u theo ngha cc tiu bỡnh phng trung bỡnh c mụ t di [3] Trn Hựng Thao(2000), Tớch phõn ngu nhiờn v phng trỡnh vi phõn dng cụng thc liờn h ngc V lun cng ỏp dng cho mt s mụ ngu nhiờn , NXB Khoa Hc V K Thut, H Ni hỡnh c th cú nhiu ng dng thc t Mt hn ch ca lun l [4] Nguyn Duy Tin(1999), Cỏc mụ hỡnh xỏc sut v ng dng(phn III), cha thc hnh c cỏc kin thc lý thuyt v nh giỏ v bo h NXB i Hc Quc Gia H Ni, H Ni th trng khụng y , chy trờn cỏc b s liu tht Hng nghiờn cu Ting Anh tip theo hng ny l tỡm cỏc iu kin mnh hn cú th a mt cụng [5] Huyờn Pham, Thorsten Rheinla ănder, Martin Schweizer(1998), "Mean- thc d dng hn mụ t chin lc ti u cho th trng khụng y Variance Hedging for Continuous Process: New Proofs and Examples", Finance and Stochastic 2, 173-198 [6] Martin Schweizer(1996), "Approximation Pricing and the VarianceOptimal Martingale Measure", Annals of Probability 24, 206-236 [7] Martin Schweizer(1995), "On the Minimal Martingale Measure and the Foăllmer-Schweizer Decomposition",Stochastic Analysis and Applications 13 , 573 -599 [8] J Michael Harrison, Stanley R Pliska(1983), "A stochastic calculus model of continuous trading :complete markets ", Stochastic Processes and their Applications 15 , 313-316 North-Holland [9] Martin Schweizer(2001), "A Guided Tour through Quadratic Hedging Approaches", Cambridge University Press , 538-574 53 54 [10] H Foăllmer and M Schweizer (1991), "Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information", Applied Stochastic Analysis,Gordon and Breach, London/New York, 389-414 [11] Michael Meyer (2001), " Continuous Stochastic Calculus with Applications to Finance", Chapman and Hall/CRC.Boca Raton 55 [...]... hiệu là ξ (c) nếu nó tồn tại Trong phần sau chúng ta sẽ chỉ rõ những điều kiện của X , định nghĩa Trong chương 2 ta đã chỉ ra trong thị trường đầy đủ thì mọi tài sản không gian Θ chiến lược giao dịch và tìm hiểu kĩ về bài toán bảo hộ giá phái sinh đều được đáp ứng bởi một chiến lược đầu tư duy nhất Tuy nhiên trong thị trường không đầy đủ thì nói chung các quyền phái sinh không trị bình phương trung... (ϑ) là tổng tài sản thâm hụt của Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ người bảo hộ bắt đầu với vốn ban đầu là c Sử dụng chiến lược ϑ và tài khoản ngẫu nhiên phải trả là H vào ngày đáo hạn T Việc bảo hộ bình phương trung bình nghĩa là tìm lời giải của bài toán tối ưu sau: min E[(H − c − GT (ϑ))2 ] trên tất cả các chiến lược ϑ 3.1 Bài toán bảo hộ quyền phái sinh theo nghĩa cực tiểu bình phương... luận văn cũng áp dụng cho một số mô ngẫu nhiên , NXB Khoa Học Và Kĩ Thuật, Hà Nội hình cụ thể có nhiều ứng dụng trong thực tế Một hạn chế của luận văn là [4] Nguyễn Duy Tiến(1999), Các mô hình xác suất và ứng dụng(phần III), chưa thực hành được các kiến thức lý thuyết về định giá và bảo hộ trong NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội thị trường không đầy đủ, chạy trên các bộ số liệu thật Hướng nghiên cứu... Black-Scholes ta có công thức giá và chiến lược bảo nhiên , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội hộ tường minh và luận văn cũng chạy thử một bộ số liệu thật Còn đối với [2] Trần Hùng Thao(2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa Học thị trường không đầy đủ trước một số điều kiện đặc biệt, chiến lược bảo và Kĩ Thuật, Hà Nội hộ tối ưu theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình được mô tả dưới [3] Trần Hùng Thao(2000),... T không tất định và K suy ra dQ dP L2 (P ) < 51 dPˆ dP L2 (P ) 52 Kết Luận Tài liệu tham khảo Luận văn tìm hiểu về phương pháp định giá và bảo hộ cho các sản phẩm Tiếng Việt tài chính Nếu thị trường là đầy đủ thì giá và chiến lược bảo hộ là duy [1] Đặng Hùng Thắng (2005), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhất Xét với mô hình Black-Scholes ta có công thức giá và chiến lược bảo nhiên , NXB Đại học. .. (ϑ) const H − T 0 dP ∈ Lr (Pˆ ) với mỗi r < ∞ dPˆ Lp (P ) Sau đây ta sẽ đi mô tả chiến lược bảo hộ tối ưu trong thị trường không ˆT ζˆs dXs + L (3.5) 0 ˆ ∈ Mr (P ) với mỗi r < ∞ và ζˆ ∈ Lr (M ) với mỗi r < ∞ với L Sau đây ta sẽ trình bày một định lý rất quan trọng có nhiều ứng dụng, trong đó chiến lược bảo hộ tối ưu được mô tả dưới dạng công thức liên hệ ngược 35 T dPˆ ˆT ] + = E[ZˆT2 ] − E[ZˆT L dP... hình Do đó Pˆ không là độ đo phương sai tối ưu và theo bổ đề 1 của [6] suy ra mà toàn bộ các biến ngẫu nhiên trong các hệ số là ngoại sinh chứ không giả sử đặc biệt không được thỏa mãn phải từ chính X trong (3.20) Xét định lí sau Định lí 3.9.12 Giả sử rằng quá trình m và v trong (3.29) là độc lập với ˆ T không tất định thì giả chuyển động Brownian W và mv là bị chặn Nếu K sử đặc biệt là không thỏa mãn... hình học với µ , σ là những hằng số và B là chuyển động Brown hình học Giá chứng khoán Xt tuân theo mô hình Black-Scholes như trên là một trường hợp của thị trường đầy đủ Gọi V0 là giá của quyền chọn vào thời σ2 )T 2 XT = X0 exp σBT + (r − điểm t=0 Ta có công thức Black-Scholes để định giá của một hợp đồng Vì BT là một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 0 và phương sai T nên ta có √ thể đặt BT = T Z trong. .. biến ngẫu nhiên sinh bởi Y Ta thấy giả sử đặc biệt vẫn thỏa mãn Trong trường hợp đối xứng thì giả sử đặc biệt không thỏa mãn Định lí 3.8.11 Giả sử rằng m, v, a, b trong (3.24) và (3.21) không phụ ˆ T là bị chặn và không tất định khi đó giả sử đặc biệt là thuộc vào x Nếu K dPˆ dP cả hai biểu thức dưới dấu Mô hình Black - Scholes trong môi trường ngẫu nhiên Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau dXt =... Black-Scholes trong môi trường ngẫu nhiên được mô tả bởi các quá trình ngẫu nhiên m và v Bộ lọc sẽ được sinh bởi W và tăng ở thời điểm 0 theo sự đầy đủ về m và v Thực vậy, môi trường ngẫu nhiên không thỏa mãn 49 50 được chọn ở thời điểm 0 và khi đó X được khai triển như một chuyển động hay Brownian hình học thông thường với hệ số ngẫu nhiên được xác định bởi EZ 2 < E Zˆ 2 sự tác động của môi trường Đây