i ii Nội dung MỤC LỤC Trang tuyến tính Nội dung Trang Mục lục i Danh mục chữ viết tắt iv Danh mục hình v MỞ ĐẦU Chương Tổng quan quy hoạch toán học 1.1 Phát biểu toán Quy hoạch toán học 1.1.1 Bài toán Quy hoạch toán học tổng quát 1.1.2 Phân loại toán 1.2 Phát biểu tốn đối ngẫu phân tích nghiệm tốn 30 2.2 Các ràng buộc 30 2.2.1 Tập nghiệm bất phương trình tuyến tính 2.2.2 Vấn đề phương án cực biên sở xuất phát giai đoạn I 2.3 Các hàm mục tiêu 1.2.2 Các tính chất định lý đối ngẫu 1.3 Giới thiệu số phương pháp giải điển hình quy hoạch tốn học 1.3.1 Mơ hình số phương pháp giải toán quy hoạch đa mục tiêu 1.3.2 Bài toán quy hoạch phi tuyến số phương pháp giải 10 19 2.3.1 Ý nghĩa kinh tế hàm mục tiêu 24 1.4.1 Áp dụng phương pháp so sánh, xếp phương án toán quy hoạch đa mục tiêu 1.4.2 Vài toán thực tế dẫn đến quy hoạch phi tuyến Chương Các dạng lập kế hoạch sản xuất dựa vào quy hoạch 24 sản xuất thực tế 2.4 Các phương pháp giải 30 http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 38 2.4.1 Phương pháp đơn hình giải tốn quy hoạch 2.4.2 Giải tốn quy hoạch tuyến tính hai biến phương pháp hình học 2.5 Phân tích phương án tối ưu 38 44 45 2.5.1 Phương án 45 2.5.2 Phương án cực biên 45 2.5.3 Phương án tối ưu 45 2.5.4 Sự tồn phương án tối ưu 45 lập kế hoạch đồng tổng công ty cơng ty 3.1 Giải tốn tổng công ty 3.1.2 Phân phối (chỉ tiêu) phương án sản xuất tối ưu cho công ty Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 47 47 3.1.1 Tìm phương án sản xuất tối ưu tổng công ty 26 32 35 2.3.2 Hàm mục tiêu số mơ hình lập kế hoạch Chương Bài toán hỗn hợp (quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu) 1.4 Ví dụ 30 35 tuyến tính 1.2.1 Cách thành lập tốn đối ngẫu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên 2.1 Giới thiệu 48 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn iii iv Nội dung 3.1.3 Giải lại toán đa mục tiêu sở thông tin phản hồi từ công ty 50 Stt 3.2 Giải tốn cơng ty 54 3.2.1 Tìm phương án tối ưu cơng ty có ràng buộc tiêu tổng công ty 3.2.2 Các thông tin phản hồi lên tổng cơng ty 3.3 Chạy phần mềm thí nghiệm 54 56 56 3.3.1 Sơ đồ thuật toán 56 3.3.2 Cài đặt phần mềm 58 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Trang http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ viết tắt Ý nghĩa Trang  ≤, =, ≥  Quan hệ trội ~ Quan hệ không phân biệt  Rỗng QHTT Quy hoạch tuyến tính BTVT Bài tốn vận tải QHTS Quy hoạch tham số QHĐ Quy hoạch động QHPT Quy hoạch phi tuyến 10 QHRR Quy hoạch rời rạc 11 QHN Quy hoạch nguyên 12 QHĐMT Quy hoạch đa mục tiêu 13 NNLG Người nhận lời giải 14 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v -1- DANH MỤC CÁC HÌNH MỞ ĐẦU Trong giai đoạn kinh tế thị trường, cạnh tranh hàng hoá liệt xẩy Nội dung Trang thường xuyên phương án sản xuất cần phải cân nhắc kỹ trước 43 thực thi Một phương án sản xuất thường phụ thuộc nhiều vào yếu Stt Hình 2.1 2.2 3.1 3.2 Kết nhập liệu chương trình 60 cơng ty Vì vậy, phương án sản xuất tốt kết hợp tổng công ty công ty 3.3 Kết giải toán riêng rẽ mục tiêu 61 cần phải nghiên cứu Do tơi tiến hành nghiên cứu đề tài: “Lập kế hoạch 3.4 Kết bảng thưởng phạt chương trình 62 sản xuất tối ưu tổng công ty công ty sở lý thuyết quy hoạch 3.5 Kết toán 62 toán học” Với nội dung nghiên cứu: Sơ đồ thuật tốn đơn hình Minh hoạ phương pháp giải tốn QHTT hai biến phương pháp hình học Sơ đồ thuật toán giải toán lập kế hoạch sản xuất đồng tố lao động, nguyên vật liệu, sức tiêu thụ, …Vì phương án sản xuất 44 cần phải bao hàm hạn chế trên, đồng thời phải đảm bảo mức tổng lãi (hoặc chi phí) tốt Đặc biệt, tổng cơng ty có nhiều cơng ty con, cơng ty muốn 57 có phương án sản xuất tốt phải nằm mục tiêu tổng  Mục tiêu nghiên cứu tính cấp thiết đề tài Ứng dụng quy hoạch tuyến tính để hỗ trợ nhà lập kế hoạch quản lý kinh tế định xác tốt có thể, cơng cụ đáng tin cậy để phân tích dự đốn hướng phát triển có mục tiêu sở kinh tế nói chung công ty tổng công ty nói riêng  Phạm vi nghiên cứu ứng dụng - Nghiên cứu quy hoạch tuyến tính đơn mục tiêu đa mục tiêu – phương pháp tối ưu kiểu pareto - Nghiên cứu số phương pháp lập kế hoạch dựa quy trình cơng nghệ cho như: hàm sản xuất tuyến tính dạng X = AX, đó: + A ma trận cơng nghệ + X phương án sản xuất  Ý nghĩa khoa học Trên sở tối ưu pareto để tìm phương án sản xuất cho tổng công ty công ty dựa phương pháp cạnh tranh bù đắp Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -2- -3-  Phƣơng pháp nghiên cứu - CHƢƠNG Phương pháp tìm hệ số chi phí quy trình sản xuất tồn cơng ty cơng ty TỔNG QUAN VỀ QUY HOẠCH TỐN HỌC 1.1 Phát biểu toán Quy hoạch toán học tổng quát Ứng dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính để giải tốn tìm phương án sản xuất tối ưu tổng công ty công ty Khi tiến hành lập kế hoạch sản xuất, điều khiển hệ thống thiết kế kỹ thuật mà biết dựa nguyên tắc cực trị tiết kiệm vật tư, tiền vốn, tài  Cấu trúc luận văn nguyên, sức lao động, thời gian tăng hiệu giải vấn đề đặt Những sở lý thuyết phương pháp thực hành để giải vấn đề MỞ ĐẦU nằm môn học Tối ưu hóa hay cịn gọi Quy hoạch tốn học… CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ QUY HOẠCH TỐN HỌC 1.1.1 Bài toán Quy hoạch toán học tổng quát CHƢƠNG CÁC DẠNG LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT DỰA VÀO QUY Một toán Quy hoạch toán học tổng quát phát biểu sau: Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm: HOẠCH TUYẾN TÍNH f(x) → max (min) CHƢƠNG BÀI TỐN HỖN HỢP (QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐA MỤC TIÊU) LẬP KẾ HOẠCH ĐỒNG BỘ GIỮA TỔNG CÔNG TY VÀ g i ( x)  bi , i  1, m (  {, , }) x  X  Rn CÁC CÔNG TY CON (1.1) Với điều kiện: (1.2) (1.3) Bài toán (1.1)  (1.3) gọi quy hoạch, f(x) gọi hàm mục tiêu, KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN hàm g i ( x), i  1, m gọi hàm ràng buộc, đẳng thức bất đẳng TÀI LIỆU THAM KHẢO thức hệ (1.2) gọi ràng buộc Tập hợp: D  {x  X | g i ( x)  bi , i  1, m } (1.4) gọi hàm ràng buộc (hay miền chấp nhận được) Mỗi điểm x  ( x1 , x , , xn )  D gọi phương án (hay lời giải chấp nhận được) Một phương án x *  D đạt cực đại (hay cực tiểu) hàm mục tiêu, cụ thể là: f ( x * )  f ( x), x  D toán max f ( x * )  f ( x), x  D toán gọi phương án tối ưu (lời giải tối ưu) Khi giá trị f ( x * ) gọi giá trị tối ưu tốn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -4- -5- tính hữu hạn đối tượng nghiên cứu, hay tồn cấu trúc cho ta 1.1.2 Phân loại toán Một phương án hiển nhiên để giải tốn đặt phương pháp điểm diện: tính giá trị hàm mục tiêu tất phương án, sau so định tính khơng gian tình cần so sánh; - Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) miền ràng buộc ta xét mục tiêu khác sánh giá trị tính để tìm giá trị tối ưu phương pháp tối ưu toán Tuy nhiên cách giải khó thực được, kích thước 1.2 Phát biểu tốn đối ngẫu phân tích nghiệm tốn toán (số biến n số ràng buộc m) khơng lớn, tập D thơng thường 1.2.1 Cách thành lập toán đối ngẫu gồm số lớn phần tử, nhiều trường hợp khơng đếm a Cặp tốn đối ngẫu khơng đối xứng Vì cần phải có nghiên cứu mặt lý thuyết để tách từ Xét tốn dạng tắc (I): tốn tổng quát toán “dễ giải” Các nghiên cứu lý thuyết thường là: - n f ( x)   c j x j  Min( Max ) j 1 Nghiên cứu tính chất thành phần toán (hàm mục tiêu, n aij x j  bi , i  1, m   j 1  x  0, j  1, n  j ràng buộc, biến số, hệ số…); - Các điều kiện tồn lời giải chấp nhận được; - Các điều kiện cần đủ cực trị; - Tính chất đối tượng nghiên cứu Ta gọi toán toán gốc Dựa vào tốn gốc (I), ta xây dựng Các tính chất thành phần toán đối tượng nghiên cứu giúp ta phân loại toán Một số toán tối ưu (quy hoạch toán học) gọi là: - Quy hoạch tuyến tính (QHTT) hàm mục tiêu ràng buộc toán quy hoạch tuyến tính khác gọi tốn đối ngẫu tốn (I) có dạng sau: f ( y )   bi yi  Max ( Min) i 1 tuyến tính Một trường hợp riêng quan trọng m a QHTT toán vận tải (BTVT); - i 1 Quy hoạch tham số (QHTS) hệ số biểu thức hàm mục tiêu ràng buộc phụ thuộc vào tham số; - Quy hoạch phi tuyến (QHPT) có hàm phi tuyến hai trường hợp xảy ra; - ij yi  ()c j , j  1, n Ký hiệu toán (I’) Cặp toán (I, I’) gọi cặp tốn khơng đối xứng Quy hoạch động (QHĐ) đối tượng xét q trình có nhiều giai đoạn nói chung, hay q trình phát triển theo thời gian nói riêng; - m ~ tất hàm Quy hoạch rời rạc (QHRR) miền ràng buộc D tập rời rạc Trong trường hợp riêng biến nhận giá trị nguyên ta có Quy hoạch  Nguyên tắc thành lập toán đối ngẫu ~ - Nếu f(x) → Min f ( y ) → Max hệ ràng buộc tốn đối ngẫu có dạng “≤” ~ - Nếu f(x) → Max f ( y ) → Min hệ ràng buộc tốn đối ngẫu có dạng “≥” nguyên (QHN) Một trường hợp riêng QHN quy hoạch biến booles biến số nhận giá trị Cịn tối ưu hóa tổ hợp liên quan đặc Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn -6- -7- - Số ràng buộc (không kể ràng buộc dấu) toán số biến số tốn kia, từ thấy tương ứng với ràng buộc toán i 1 n  aij yi  ()c j , j  1, n  j 1  y  0, i  1, m  i biến số toán - Hệ số hàm mục tiêu toán vế phải hệ ràng buộc toán - Ma trận điều kiện hai toán chuyển vị - Các biến số tốn đối ngẫu khơng có ràng buộc dấu Khi phân tích quan hệ hai toán đối ngẫu cần sử dụng khái niệm quan m ~ f ( y )   bi yi  Max ( Min) Ký hiệu toán (II’) Do đặc điểm cấu trúc hai toán, ta gọi (II) (II’) cặp toán đối ngẫu đối xứng Hai toán có n + m cặp buộc đối ngẫu sau: x j    aij yi  ()c j , j  1, n trọng: Cặp ràng buộc đối ngẫu: Ta gọi ràng buộc bất đẳng thức (kể ràng buộc dấu) n a hai toán tương ứng với số cặp ràng buộc đối ngẫu ’ Trong hai toán (I) (I ) có n cặp ràng buộc đối ngẫu: j 1 ij x j  ()bi  yi , i  1, m c Cặp toán đối ngẫu tổng quát m xi    aij yi  ()c j , j  1, n Đối với tốn bất kỳ, đưa dạng tắc, xây dựng toán đối ngẫu i 1 toán gọi toán đối ngẫu tốn cho Chúng ta sử b Cặp toán đối ngẫu đối xứng dụng quy tắc nêu lược đồ để trực tiếp viết toán đối ngẫu mà Xét toán (II): không cần phải thực bước biến đổi dạng tắc n f ( x)   c j x j  Min( Max ) Lƣợc đồ tổng quát j 1 Bài toán gốc n aij x j  ()bi , i  1, m   j 1  x  0, j  1, n  j n f ( x)   c j x j  Min( Max ) j 1 n  aij x j  bi , i  1, m Đưa tốn dạng tắc, ký hiệu (II~): j 1 n a n f ( x)   c j x j  Min( Max ) j 1 j 1 ij x j  ()bi , i  1, m ij x j  ()bi , i  1, m n a  aij x j  () xn 1  bi , i  1, m   j 1  x  0, j  1, n  m  j n j 1 x j không ràng buộc dấu x j  0, j  1, n ~ Bài toán đối ngẫu (II ) đối ngẫu (II) có dạng: Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x j  0, j  1, n Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Bài toán đối ngẫu m ~ f ( y )   bi yi  Max ( Min) i 1 y i không ràng buộc dấu yi  0, i  1, m yi  0, i  1, m m a ij yi  c j , j  1, n a ij yi  ()c j , j  1, n a ij yi  ()c j , j  1, n i 1 m i 1 m i 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn -8- -9- 1.2.2 Các tính chất định lý đối ngẫu  Quy hoạch tuyến tính: a Các tính chất - Phương pháp đơn hình đơn hình cải biên - Phương pháp hình học - Phương pháp Hungary  Tính chất 1: Với cặp phương án x y hai tốn đối ngẫu ta ln ~ có: f ( x)  () f ( y )  Tính chất 2: Nếu hai phương án x * y* cặp toán đối  Quy hoạch động: - ~ ngẫu mà f ( x * )  f ( y * ) x* y* tương ứng hai phương án tối ưu b Các định lý Phương pháp phương trình truy tốn  Quy hoạch phi tuyến: -  Định lý 1: Nếu hai tốn đối ngẫu giải tốn Phương pháp giải quy hoạch phi tuyến khơng có ràng buộc o Các phương pháp sử dụng đạo hàm giải với cặp phương án tối ưu x * y* ta ln có o Các phương pháp không sử dụng đạo hàm o Tối ưu hoá hàm “khe” “R-algorithm” ~ f ( x* )  f ( y * ) o Các phương pháp vượt khe  Định lý 2: Điều kiện cần đủ để hai phương án x y cặp toán đối ngẫu tối ưu ràng buộc đối ngẫu ràng buộc thoả mãn - Phương pháp giải quy hoạch phi tuyến có ràng buộc o Phương pháp hàm phạt với dấu bất đẳng thức thực (lỏng) ràng buộc phải thoả mãn với dấu o Phương pháp gradient (chặt) o Phương pháp nhân tử Lagrange Ví dụ: Quy hoạch đối ngẫu toán  Quy hoạch rời rạc: - Phương pháp nhánh – cận - Các phương pháp gần o Phương pháp tối ưu cục quy hoạch: o Phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên  Quy hoạch đa mục tiêu: - Phương pháp nhượng dần - Phương pháp thoả hiệp TAMM - Phương pháp Người – Máy (của Geoffrion, Dyer, Fienberg) - Phương pháp bước Benayoun Như trình bày mục (1.1.2), toán quy hoạch toán học - Thuật tốn thích nghi ổn định tối ưu hoá vectơ phân loại thành nhiều dạng khác dựa vào tính chất thành phần đối - Phương pháp giải theo dãy mục tiêu xắp xếp tượng nghiên cứu Mỗi dạng lại có phương pháp giải đặc trưng riêng như: - Phương pháp ràng buộc 1.3 Giới thiệu số phƣơng pháp giải điển hình quy hoạch tốn học Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 10 - - 11 - - Phương pháp trọng số Bài toán quy hoạch đa mục tiêu kết hợp với lợi ích người nhận lời giải - Phương pháp so sánh, xếp phương án toán quy hoạch đa mục tiêu - Phương pháp đồ thị trường hợp hàm U tường minh viết: MaxU (Y ( X )) X D 1.3.1 Mơ hình số phƣơng pháp giải toán quy hoạch đa mục tiêu (1.10) (1.11) b Một số phƣơng pháp giải tốn quy hoạch đa mục tiêu a Mơ hình tốn quy hoạch đa mục tiêu Y ( X )  max(min) (1.5) X D  R (1.6) n Y ( X )  (Y1 ( X ), ,Yk ( X ))  R k (1.7)  Phƣơng pháp nhƣợng dần Phương pháp dẫn đến việc tìm lời giải thoả hiệp tốt tức tìm nghiệm X* mà theo ý thích người nhận lời giải X  D : X *  X X* ~ X gọi vectơ mục tiêu Thuật toán giải: X gọi phương án D tập phương án Bước 1: Giải k toán mục tiêu riêng rẽ Sau lập bảng thưởng phạt (trong Y1, ……Yk gọi hàm mục tiêu Khi xử lý tập phương án Pareto vai trò người nhận lời giải có tác dụng đáng X1 phương án tối ưu Y10 giá trị tối ưu) kể trình giải Người nhận lời giải ngụ ý rằng: Trong tập phương án Hàm mục tiêu đó, phương án có quan hệ trội (  ) khơng phân biệt (~) hình Phương án thành từ việc so sánh “lợi ích” phương án Giải toán gọi X1 toán quy hoạch đa mục tiêu kết hợp sở thích người nhận lời giải Y1 Y2 Yk Y1 Y2(X1) Yk(X1) X2 Ở ta hiểu “lợi ích” hàm U: Y(D) → R Thông thường ta giả thiết U thoả mãn số điều kiện khái qt từ tốn thực tế tượng thực Y2 … Xk Yk tiễn Chẳng hạn U hàm lõm (hàm lợi ích tăng lên hàm mục tiêu tăng lên) tức là: Bước 2: Căn vào bảng thưởng phạt Y10 người nhận lời giải bắt Y1 phải U / Yi   2U /  Y i  nhượng lượng Y1 giải toán: i  1, k (1.8) i  1, k (1.9) Tuy nhiên ta hiểu U đơn ánh xạ “đo” sở thích người max Y2 ( X ) X D Y1 ( X )  Y1  Y1 nhận lời giải Hàm U cho dạng tường minh dạng ẩn (tức biểu Giả sử Y2* giá trị tối ưu toán, chuyển sang bước rằng: phương án so sánh với theo nghĩa “hơn” Bước 3: Người nhận lời giải vào Y20 Y2* bắt Y2 phải nhượng “kém” “khơng phân biệt” đó) lượng Y2 giải tốn: Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 12 - - 13 - max Y3 ( X ) X D Y1 ( X )  Y1  Y1 Y2 ( X )  Y2  Y2 M i  Yi ( X )  W (i  1, k ) Mi (1.16) X D (1.17) Giả sử Y3* giá trị tối ưu toán, chuyển sang bước tiếp theo: … Bước k: Căn vào Yk-10 Yk-1* bắt Yk-1 nhượng lượng Yk-1 giải Từ tìm nghiệm tối ưu X W Ở hàm “lợi ích” U tỷ lệ với độ lệch tương đối chung Còn X  X độ lệch tương đối chung X1 nhỏ X2 ta có: X  D : X  X X ~ X  Phƣơng pháp bƣớc Benayoun tốn: Phương pháp có hai biến dạng sau: max Yk ( X ) X D - Các độ lệch tương đối hàm mục tiêu gắn với trọng số Y1 ( X )  Y1  Y1 tương ứng Trọng số xác định dựa khoảng biến động Y2 ( X )  Y2  Y2 mục tiêu * - Yk 1 ( X )  Yk 1  Yk 1 * Nghiệm toán cuối lấy làm nghiệm cho toán xuất phát  Phƣơng pháp thoả hiệp TAMM (1.12) (1.13) Thuật toán giải sau: Bước 1: Giải k toán mục tiêu riêng rẽ Giải sử nghiệm tối ưu X i , i  1, k Đặt Mi = Yi(X) (1.14) Đưa vào biến phụ W: i  1, k : Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên  I M I  YI ( X )  d ' I  1, k (1.18) X D (1.19) i Trong đó: MI giá trị max YI(X) XD Ta viết d  metric thay đổi ' Di miền chấp nhận Khi i = D0  D M i  Yi ( X ) W Mi Thuật toán giải sau: Bước 1: Xây dựng bảng “thưởng phạt” xác định MI mI (giá trị max M i  Yi ( X ) gọi độ lệch tương đối chung Mi Bước 2: Giải toán: W cách đến nghiệm lý tưởng Bài toán mà phương pháp xét Giải toán max Y ( X ) X D Miền chấp nhận thay đổi qua bước giải Hàm “lợi ích” quan hệ xác định phương pháp tìm nghiệm có khoảng YI(X)) cột I Bước 2: Tìm trọng số (1.15) http://www.lrc-tnu.edu.vn Xác định I để tính  I : Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 14 - I  M I  mI * MI n C I j (1.20)  (C ) j 1 Ở - 15 - I j Ta xét toán max Giả thiết X  D vectơ tối ưu người nhận lời giải Yêu cầu người nhận lời giải ước lượng giá trị mà thích nhất: Y0v, ( v  1, k ) với điều kiện: hệ số hàm mục tiêu thứ I Đặt i = bước sang bước Bước 3: Tính  I : Y v  Yv ( X ) Vectơ X lời giải tối ưu của: I I   I E{Y v  Yv ( X )}  0, v  1, k (1.21) E{ Y v  Yv ( X ) }  giải toán i X D Bước 4: Giả sử nghiệm toán I X(i) Đưa cho người nhận lời giải nghiệm X(i) Người nhận lời giải phân tích kết xảy ra: 1) Nếu người nhận lời giải (NNLG) chấp nhận X(i) thuật tốn kết thúc 2) Nếu NNLG không chấp nhận X(i) số i < k-1 sang bước 3) Nếu NNLG không thoả mãn X(i) i = k – chọn cách giải khác Bước : NNLG phân tích kết tìm mục tiêu I* nhượng NNLG cho nhượng I* sang bước Bước : Xác nhận miền chấp nhận D X D hay  X D k  v 1 v E{(Y v  Yv ( X )) }  k v 1 (ký hiệu E kỳ vọng toán học) i YI ( X )  YI | X (i ) | YI * Người ta mở rộng tốn đưa thuật tốn giải I  I * * Hàm lợi ích trường hợp cách tường minh mà * người nhận lời giải ngụ ý D có hàm ý thích Cịn quan hệ , ~ Coi  I    I  *  toán v  1, k E{ v {Y v ( X )}  Ở đây:  v  0;  v  (i+1) YI ( X )  YI X (i ) * Đặt độ lệch:  v (Y v ( X ))  Y v  Yv ( X ) * Cịn I  I* tính nhờ giá trị tối ưu tốn tìm hướng giá trị hàm lợi ích Tăng i lên đơn vị chuyển bước rút thông qua việc so sánh hàm mục tiêu  Phƣơng pháp so sánh, xếp phƣơng án toán quy hoạch đa mục tiêu - Cơ sở hệ thống trừu tƣợng nhƣ quan hệ mờ tham số Thuật tốn kết thúc sau khơng q k lần lặp Giả sử cho hệ thống S, cần mô tả hành vi hệ thống thơng qua  Thuật tốn thích nghi ổn định tối ƣu hố vectơ Bài toán quy hoạch đa mục tiêu hiểu toán tối ưu hoá vectơ: X  D  Rn tham số X = {Xi} Thực tế ta tất tham số X  X : X  { X i }iI , nên mô tả gần hệ S: S  U x Vi, i  I Trong Vi tập hợp giá trị có tham số Xi Y1 ( X ), ,Yk ( X ) Các Y1(X) biểu độ tốt xấu X theo nghĩa Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 36 -  Chi phí sản  xuất cho   Khoảng thời  đơn  vị thời gian   gian sản xuất   - 37 -   = Tổng chi phí → Min  đơn vị sản phẩm Si Hãy lập kế hoạch bố trí máy sản xuất cho kế hoạch đảm bảo nhà máy thu lãi nhiều Lập toán: Hay     Kế hoạch cần đảm bảo sau đơn vị thời gian phải sản xuất b i Nhu cầu xã hội sản phẩm    Giá trị đơn  = Tổng giá trị → Max   vị sản phẩm  sản phẩm    2.3.2 Hàm mục tiêu số mơ hình lập kế hoạch sản xuất thực tế a Bài toán lập kế hoạch sản xuất Để sản xuất n loại sản phẩm khác cần m loại yếu tố sản xuất với trữ lượng có b1, b2, ….,bm Hế số hao phí yếu tố i ( i  1, m ) cho đơn vị sản phẩm j Gọi xịj số máy Mj dùng để sản xuất sản phẩm Si   xij  , (i  1, m, j  1, n)  m  xij  a j  i 1 n  aij xij  bi  j 1 Tổng số lãi thu i 1 ( j  1, n ) aij Giá đơn vị sản phẩm j c j Hãy lập kế hoạch sản xuất sở yếu tố sản xuất có cho tổng giá trị sản phẩm lớn Lập toán: m n c a i j 1 ij (1) (2) (3) xij Bài tốn đặt tìm vectơ x = (x ij), ( i  1, m, j  1, n ) thoả mãn điều kiện (1), (2), (3) cho m n i 1 j f ( x)   ci  aij xij → max Gọi xj số sản phẩm j sản xuất, f(x) tổng doanh thu ứng với kế hoạch sản xuất x = (x1, x2, …., xn) c Bài toán vận tải Có m kho hàng chứa loại hàng hoá với số lượng kho i a i ( i  1, m ) Có mơ hình tốn học: n Đồng thời có n cửa hàng với nhu cầu cửa hàng j b j ( j  1, n ) Chi phí vận j 1 chuyển đơn vị hàng từ kho i đến cửa hàng j cij Hãy lập kế hoạch vận chuyển f ( x)   c j x j  max n  aij x j  bi , i  1, m  j 1 x j   cho thoả mãn nhu cầu cửa hàng chi phí vận chuyển thấp Lập tốn: Gọi xij số lượng hàng chuyển từ kho i đến cửa hàng j, b Bài tốn bố trí máy sản xuất Một nhà máy có n loại máy M j với số lượng tương ứng aj máy ( j  1, n ) có f(x) tổng chi phí theo kế hoạch vận chuyển x thể sản xuất m loại sản phẩm Si ( i  1, m ) với suất khác Biết sau đơn vị thời gian (ca, tháng, quí, năm …) máy M j sản xuất aij đơn vị sản phẩm Si Mỗi đơn vị sản phẩm Si cho ci đơn vị tiền lãi Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 38 - - 39 - Mô hình tốn học tốn: m Giai đoạn I: Trước hết tìm phương án cực biên (một đỉnh) Giai đoạn II: Kiểm tra điều kiện tối ưu phương án n f ( x)   cij xij  i 1 j 1 - n xij  , i  1, m  j 1  m   xij  b j , j  1, n  i 1  xij  0, (i  1, m, j  1, n)   Nếu điều kiện tối ưu thoả mãn phương án đố tối ưu Nếu không ta chuyển sang phương án cực biên cho cải tiến giá trị hàm mục tiêu - Kiểm tra điều kiện tối ưu với phương án Người ta thực dãy thủ tục nhận phương án tối ưu, đến tình tốn khơng có phương án tối ưu a Thuật tốn đơn hình d Bài tốn xác định phần Giả sử đưa QHTT dạng tắc: cx  z (max) Có n loại thức ăn gia súc, giá đơn vị thức ăn j c ( j  1, n ) Gia súc cần m  Ax  b  x  chất dinh dưỡng với nhu cầu tối thiểu chất i bi ( i  1, m ) Biết hàm lượng chất i có đơn vị thức ăn j a ij Hãy xác định phần thức ăn cho gia súc cho chi phí thấp đồng thời đảm bảo chất dinh dưỡng cho gia súc Giai đoạn I: Tìm phương án cực biên xuất phát x sở A j , j  J Giai đoạn II: Lập toán: + Xác định số zjk hệ thống Gọi xj lượng thức ăn j có phần, Ak   z jk A j f(x) giá phần x = (x1, x2, …., xn) jJ Có mơ hình tốn học sau: + Đối với k  J tính ước lượng: n f ( x)   c j x j   k   z jk c j  c k j 1 jJ n aij x j  bi , i  1, m   j 1  x  0, j  1, n  ij 1) Nếu (k  J ) k   x nghiệm tối ưu Dừng 2) Nếu không x nghiệm tối ưu a (k  J ) k  zjk ≤ 0, j J  tốn QHTT khơng có nghiệm 2.4 Các phƣơng pháp giải 2.4.1 Phƣơng pháp đơn hình giải tốn quy hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình dựa hai nhận xét sau: - - Nếu tốn QHTT có phương án tối ưu có đỉnh D tối ưu (z khơng bị chặn trên) Dừng thuật tốn b Đối với k  J cho k < 0, tồn j  J: zjk >  chọn s = min{k | k < 0} phương án tối ưu Đưa vectơ As vào sở Đa diện lồi D có số hữu hạn đỉnh Xác định: Như phải tồn thuật toán hữu hạn Thuật tốn gồm hai giai đoạn: Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 40 -  s  min{ xj z rs - 41 - z rk   z jk  z z js , j  r  rs z jk   z , j = r  rk  z rs xr z rs | z js  0}  ' Đưa vectơ Ar khỏi sở Ta phương án cực biên x’ với sở J’ = J \ {r}  {s} Quay trở lại khởi đầu giai đoạn II Sau có b Cơng thức đổi sở, bảng đơn hình ta tính: (2.11) jJ Để dễ tính toán, bước lặp ta thiết lập bảng đơn hình (xem bảng 1)  Nếu tất số dòng cuối (trừ f) ≥ 0, nghĩa k ≥ k, x , j  r ' js (2.7) , j = r Aj, j  J’ = J \ {r}  {s} Bây ta thiết lập cơng thức tính số As   zij A j  Ar  phương án tối ưu  Nếu dịng cuối (khơng kể f) có số âm xem thử có cột cắt dòng cuối số âm mà số cột ≤ hay khơng? Với sở là: Ta có: jk ' án cực biên x’ với sở J’ Trong đó: z ' ' k   z jkc j  c k Ta xét công thức chuyển từ phương án cực biên x với sở J, sang phương xr  x j  z  ' rs xj   x  r  z rs z z ' jk (2.8) - Nếu có tốn khơng có phương án tối ưu - Nếu khơng có chọn cột s cho:  s  min{  k |  k  0} chọn số dòng cắt cột s số dương dòng r mà tỉ số: ( As   z js A j ) z rs jJ (2.9) j r r  xj xr  min{ | z js  0} z rs z js Cột s gọi cột xoay Vectơ As đưa vào sở Mặt khác: Ak   ( z jk A j  z rk Ar ) (2.10) Dòng r gọi dòng xoay Vectơ Ar bị đưa khỏi sở Phần tử zrs > giao cột xoay dòng xoay gọi phần tử trục Các jJ Thay biểu thức Ar từ (2.9) vào (2.10) ta có: phần tử zjs, j  r gọi phần tử xoay z Ak   z jk A j  rk ( As   z js A j ) z rs jJ jJ Theo công thức (2.7), (2.8) (2.11) (gọi cơng thức đổi sở) bảng đơn hình suy từ bảng cũ cách thay c r, Ar dòng xoay j r cs, As Sau thực phép biến đổi đây: z z Ak   ( z jk A j  rk )A j  sk z rs z rs jJ 1) Chia phần tử dòng xoay cho phần tử trục (được số vị trí trục), j r Đây công thức biểu diễn Ak qua sở J’ = J \ {r}  {s} Bởi ta có: kết thu gọi dịng 2) Lấy dịng khác trừ tích dịng nhân với phần tử xoay tương ứng (được số vị trí cịn lại cột xoay) Dòng = Dòng cũ tương ứng – Dịng x Phần tử xoay Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 42 - - 43 - Lưu ý sau phép xoay vị trí s ta thu số lúc As trở Sơ đồ khối thuật tốn đơn hình thành vectơ đơn vị sở, nghĩa ta làm số âm nhỏ dòng cuối bảng cũ Xác định x, J, k Toàn thể phép biến đổi gọi phép xoay xung quanh trục zrs Sau thực phép xoay ta có phương án sở Nếu chưa đạt yêu cầu nghĩa cịn k < ta lại tiếp tục trình Chú ý Trong bảng đơn hình bảng 1, không giảm tổng quát ta coi vectơ k ≥0 kJ sở đánh số A1, A2, …, Am, nghĩa là: J = {1, 2, …, m} Đ Chú ý Thuật tốn đơn hình diễn tả sơ đồ khối hình 2.1 Bảng Cơ Phương c1 c2 … cj … cr cm … ck .cs cn sở án A1 A2 … Aj … Ar … Am ….Ak .As …An c1 A1 x1 … …… … … z 1k .z1s z1n c2 A2 x2 0 z 2k .z2s z2n cj Aj xj 0 0 z jk zjs zjn cr Ar xr 0 z rk .zrs zrn cm Am xm 0 0 zmk zms …zmn f 0 … … … … k …s …n cj x tối ưu S S k *q = X + …+ X +…+ X Xh phương án chấp nhận (3.5) tức (3.4) với > điều vơ lý X* phương án tối ưu Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 52 - - 53 - Để chứng minh điều ngược lại, giả thiết X*1, X*2,…, X*q *1 *2 Chúng ta giải toán (3.8), (3.9) theo phương pháp nhượng dần Phương phải pháp cách tìm lời giải thoả hiệp tốt tức tìm nghiệm X* mà theo phương án tối ưu (3.5) tức (3.4) Bởi < C ,X > = max < C ,X > k= 1, q “đồng thuận” tổng công ty công ty cho tốt nhất, nghĩa với X  D: X*  X (X* trội X) X * ~ X (X* không phân biệt X) Cả  ~ phương án tối ưu công ty 1,2,…,q X* = X + X +…+ X k *k k *q k hình thành từ lợi ích phương án (chung cho tổng công ty lẫn công ty < C1,X*1> + …+ = max + …+ max 1 q nó) q = max(< C ,X > + …+ < C ,X >) hay = max nghĩa X* phương án tối ưu tổng công ty Bổ đề 3.1.3: Khi P = C  số phương án sản xuất tối ưu Thuật toán giải sau: Bước 0: Giải 1+q tốn riêng rẽ sau X*k cơng ty k (k= 1, q ) X* = X*1+ X*2 +…+ X*q phương án sản xuất tối ưu Yk(X)  max tổng công ty ngược lại Điều khẳng định suy trực tiếp từ hệ thức XD k = 1, q  (3.11) *1 *2 *q Để tìm phương án tối ưu X , X ,…, X , X =  hàm mục tiêu Nhận xét: Nếu véc tơ tiền lãi (hoặc giá) P tổng công ty tỷ lệ với C cần giải tốn mức tổng cơng ty sau đưa phương án sản xuất Xk* cho công ty k với giá trị tối ưu Hàm mục tiêu Phương án công ty lấy phương án tối ưu công ty để làm phương án sản xuất X1 X  Trƣờng hợp 2: Bài toán lập kế hoạch với P  C *1+ q Y01, Y02,…, Y0q , Y0(q+1) lập bảng thưởng phạt sau: (k= 1, q ) phương án sản xuất tối ưu cho cơng ty đó, ngược lại tổng tối ưu cho tổng công ty (3.10) Y1 Y2 … Y1+q Y01 Y2(X1) … Y1+q(X1) Y 02 Y1+q(X2) … Khi p  C kết luận tốn P = C khơng cịn Tức X1+q Y0(1+q) phương án sản xuất tối ưu công ty có ảnh hưởng lẫn ảnh hưởng đến Bước1: Căn vào bảng thưởng phạt Y01 theo “đồng thuận” bắt Y1 phải phương án sản xuất tối ưu tổng công ty ngược lại Ký hiệu: Yk(X) =  max , k = 1, q  (3.7) Y(X) = (Y1(X), Y2(X),…, Yq(X), Yq+1(X))  max (3.8) D = { X | AX  B, X  0} (3.9) Y2(X)  max XD Y1(X)  Y01 - Y1 Y(X) gọi véc tơ mục tiêu Rõ ràng việc tìm phương án sản xuất tối ưu cho công ty cho tổng cơng ty giải tốn QHTT đa mục tiêu (3.8), (3.9) mà biết Hiện có nhiều phương pháp giải tốn QHTT đa mục tiêu Tuy nhiên trường hợp Giả sử Y*2 giá trị tối ưu toán, chuyển sang bước Bước2: Căn vào Y02 Y*2 theo “đồng thuận” bắt Y2 nhượng lượng Y2 giải toán Y3(X)  max này, chọn phương pháp Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên nhượng lượng Y1 giải tốn: http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 54 - - 55 - XD Xkj – số lượng sản phẩm loại j (j = 1, n k) công ty k sản xuất Và Xkm = Y (X)  Y - Y Y (X)  Y - Y 01 *2 với m  j Ckj – tiền lãi (hay giá bán) đơn vị sản phẩm j (j = 1, n k) công ty k *3 Giả sử Y giá trị tối ưu toán, chuyển sang bước Và Ckm = với m  j Bước(1+q): Căn vào Y0q Y*q theo “đồng thuận” bắt Y q nhượng lượng Yq giải toán Bki – lượng dự trữ tài nguyên loại i (i = 1, m k) mà cơng ty sử dụng Và Bkm = với m  i akij – (i = 1, m k) (j = 1, n k) hệ số chi phí tài nguyên loại i để sản xuất Y(q+1)(X)  max đơn vị sản phẩm loại j công ty k Và akmn = với m  i n  j XD Với điều kiện cho xác định giá trị Xkj (j = 1, n k) cho tổng tiền Y1(X)  Y01 - Y1 Y2(X)  Y*2 - Y2 lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hoá) công ty k lớn với buộc Xkj ≥ Xk*j , Xk*j tiêu mà tổng công ty giao cho công ty k sản xuất số lượng sản phẩm loại j Yq(X)  Y*q - Yq Nghiệm toán cuối dùng làm nghiệm tốn (3.8), Mơ hình tốn học có dạng nk  (3.9) phương án sản xuất thích hợp tổng cơng ty công ty CkjXkj  max (3.12) i 1 theo nghĩa “thoả hiệp - đồng thuận” Với ràng buộc: 3.2 Giải tốn cơng ty nk k k k k  a ijX j  B i, i = 1, m 3.2.1 Tìm phƣơng án tối ƣu cơng ty có ràng buộc tiêu tổng (3.13) i 1 công ty X Để tìm phương án sản xuất tối ưu cơng ty k giải tốn quy hoạch tuyến tính tối ưu 3.3.1:  max k k k AX  B k k* X X k k j  X*kj , j = 1, n k Nếu ký hiêu: k Xk véc tơ cột mà thành phần Xkj (j = 1, n k) (3.3.1) X*k véctơ cột mà thành phần Xk*j (j = 1, n k) Khơng giảm tính tổng qt, xếp lại loại sản phẩm để công ty thứ k Ck véc tơ hàng mà thành phần Ckj (j = 1, n k) sản xuất loại sản phẩm j, j = 1, n k Và dùng Bk véc tơ cột mà thành phần Bki (i = 1, m k) ký hiệu sau : Ak = (akij) ma trận cấp mknk Thì dạng ma trận tốn (3.12) – (3.13) sau: Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 56 - - 57 -  max AkXk  Bk X X k Nhập liệu ( 3.14) k* Với k = 1,2,…, q (có q cơng ty con) Giải tốn đa mục tiêu Tổng công ty 3.2.2 Các thông tin phản hồi lên tổng cơng ty Giải tốn (3.14) xảy hai trường hợp  Trƣờng hợp 1: Tồn k cho tập phương án (3.14) rỗng k=0 Như tiêu tổng công ty giao cho công ty k không hợp lý Trường hợp này, cơng ty k phải nhanh chóng phản hồi thông tin lên tổng công ty, Giao tiêu Xk* yêu cầu tổng công ty thay đổi tiêu giao xuống cho phù hợp với điều kiện sản xuất thực tế cơng ty (như nhân lực, công nghệ, nguyên liệu …)  Giải tốn cơng ty k Trƣờng hợp 2: Bài tốn (3.14) có phương án sản xuất tối ưu với k Nghĩa là, tiêu Xk* (phần nghiệm tối ưu) tổng công ty giao cho công ty k hợp lệ Trường hợp này, cơng ty k cần lập kế hoạch sản xuất – nghĩa tìm phương án sản xuất tối ưu cho với ràng buộc phụ Xk  Xk* Véc tơ tổng sản phẩm, tiêu mà tổng công ty giao Thông tin phản hồi chấp thuận tiêu sản xuất mà tổng công ty giao 3.3 Chạy phần mềm thí nghiệm Khơng có phương án chấp nhận False True Giải toán nhượng 3.3.1 Sơ đồ thuật tốn k= k+1 Sơ đồ thuật tốn trình bày hình 3.1 Độ phức tập thuật tốn O(q) k  q Số Công ty con) True False In kết Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 3.1 Sơ đồ thuật toán giải toán lập kế hoạch sản xuất đồng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 58 - - 59 - 3.3.2 Cài đặt phần mềm writeln(j); Phần mềm demo giải tốn quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu phương dem := pháp nhượng dần Với liệu đầu vào là: end; p – tổng số mục tiêu readln(s[1][i]); m – tổng số buộc dem := dem + 1; n – tổng số biến thực toán end; s – ma trận hệ số buộc clrscr; Ta có thủ tục nhập liệu: writeln('Ma tran he so rang buoc:'); procedure nhap_moi; j := 1; begin for i := to m*(n+1) write('Nhap vao tong so muc tieu p:= '); readln(p); begin write('Nhap vao tong so rang buoc m:= '); readln(m); write(s[1][i]:6:2); write('Nhap vao tong so rang buoc = m2:= '); readln(m2); begin write('Nhap vao so bien thuc cua bai toan n:= '); readln(n); writeln; ep := 0.0001; j := 0; gz := 100; end; writeln; j := j + 1; write('Nhap vao ma tran he so rang buoc: '); end; writeln; readln; dem := 1; for dem := to p j := 1; for i:=1 to m*(n+1) write('Rang buoc '); writeln(j); s[dem][i] := s[1][i]; for i := to m * (n + 1) for dem := to p begin Begin if dem = n + then write('Nhap vao chi so muc tieu thu '); begin writeln(dem,': '); j := j + 1; for i := m*(n+1) + to (m+1)*(n+1) - write('Rang buoc '); Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên begin http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 60 - - 61 - Giải toán riêng rẽ mục tiêu: readln(s[dem][i]); luuhsmt[dem][i - (m*( n + 1))] := s[dem][i]; s[dem][i] := s[dem][i]; end; end; end; Kết quả: Hình 3.3 Thủ tục xây dựng bảng thưởng phạt: procedure hien_thi_bang_thuong_phat; Begin clrscr; write('====== BANG THUONG PHAT ================'); writeln; Hình 3.2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 62 - - 63 - KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN for dem := to p write(' Y ',dem); Kết luận writeln; Sau thời gian thực hiện, em hoàn thành luận văn đạt số for i:=1 to p kết định Trong luận văn này, em trình bày kiến thức cở begin Quy hoạch toán học như: Bài toán quy hoạch toán học tổng quan, phân loại write('X ',i); toán quy hoạch toán học phương pháp giải điển hình cho loại… for dem := to p write(' Luận văn tập trung chủ yếu vào vấn đề: tìm phương án sản xuất tốt ',luugtmt[i][dem]:7:2); chấp nhận tổng cơng ty công ty dựa cở sở quy hoạch toán writeln; học Cụ thể nghiên cứu quy hoạch tuyến tính đơn mục tiêu đa mục tiêu – end; phương pháp tối ưu kiểu pareto end; Kết đạt được: hoàn thành báo cáo luận văn với nội dung nêu trên, cài đặt Kết quả: chương trình thử nghiệm theo thuật tốn nhượng dần cho kết Hƣớng phát triển Mặc dù hoàn thành luận văn với kết đạt tương đối theo yêu cầu đề tài đặt Tuy nhiên trình thực đề tài, em nhận thấy cịn nhiều Hình 3.4 Người nhận lời giải nhập lượng nhượng để tìm phuơng án tối ưu chung: vấn đề liên quan cần tìm hiểu nghiên cứu Em xin đưa số vấn đề cần tìm hiểu nghiên cứu phát triển đề tài sau: - Cập nhật quy trình cơng nghệ để áp dụng cho số sở kinh tế hỗ trợ định - Mở rộng phương pháp lập kế hoạch sử dụng quy hoạch phi tuyến Hình 3.5 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 64 - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Minh Trí, Nguyễn Địch, Quy hoạch tốn học, Đại học Bách khoa, 1975 [2] Bùi Minh Trí Bùi Thế Tâm, Giáo trình Tối ưu hố, NXB Giao thông Vận tải, 1997 [3] Nguyễn Ngọc Thắng, Nguyễn Đình Hố, Quy hoạch tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2006 [4] Lê Huy Thập, “Mơ hình kinh tế vĩ mô với tiến kỹ thuật công nghệ vấn đề điều khiển tối ưu”, Tạp chí tin học điều khiển tối ưu, Tập số 3, 1991, 21 - 26 [5] Lê Huy Thập, “An application of optimal control problem for distribution of investments”, Tuyển tập báo Khoa học, NXB Bách Khoa Hà nội 2006 p118-121 [6] Lê Huy Thap, “An application of the optimal control problem to planning”, Centre for systems and management research, Natural centre for scientific research of Vietnam, Preprint N0 7, 1991, Preprint series,10 pages [7] E Polak, Computational Methods in Optimization, Mathematics in Science and Engineering, Academic press New York – London, 1971 [8] J B Dent PhD, Fbim, Frsa et all., Farm Planning with Linear, Programming: Concept and Practice, Butterworths Sydney London Boston Durban Singapore, Toronto Wellington, 1986 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn