NHỮNG BỔ ĐỀ THƯỜNG DÙNG KHI GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Thế giới toán bất đẳng thức khung trời đầy tính nghệ thuật,lãng mãn thách thức trị tuệ người.Ta nhớ đến bất đẳng thức quen thuộc Nesbit: a b c    Bài toán thoáng đơn giản với 50 cách Khi cho a, b, c  ta có bc ca ab chứng minh công bố,tuy nhiên đường mở rộng bất đẳng thức lại trải qua hang chục năm dài.Điều minh chứng cho ta thấy việc bước đường giải toán bất đẳng thức dể đi.Chính thật đam mê làm nên thành công bước đường chinh phục biến số a, b, c than quen này.Nhằm tạo cho bạn định nghĩa ban đầu hướng đến toán bất đẳng thức hay qua bổ đề ,đẳng thức nhỏ,chúng tổng hợp, biên soạn lại nhiều bổ đề đơn giản ấy,các bạn sáng tạo nhiều toán bất đẳng thức hay hơn, đẹp nữa.Bài viết nhỏ có sai sót mong nhận góp y từ bạn bạn có bổ đềhay xin gởi địa email: ngohoangtoan1994@gmail.com để tác giả tổng hợp cho viết thêm sinh động.Thân ái! CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG QUAN TÂM ab  bc  ca   a 2b  b c  c a    a  b  b  c  c  a    ab3  bc3  ca  a 3b  b3c  c3 a   a  b  c  a  b  b  c  c  a  3  a b   a b   ab  bc  ca  a  b  b  c  c  a  cyc cyc  ab   a b   ab  bc  ca  a cyc   b  c  a  b  b  c  c  a  cyc ab bc  1 cyc a  b b  c ứng dụng:Cho a, b, c đôi khác nhau.Chứng minh rằng: ab bc ca    2  a  b  b  c   c  a   Đào Hải Long Lời giải Trang  ab   ab  Ta có:  1       2  a b    a  b    ab bc   ab  Mà   2   2   a  b b  c  ab  cyc   k a k b  1  bc ca ứng dụng: tương tự đẳng thức ta có bất đẳng thức sau: 2  k a   k b   k c        2  b c   c  a   a b  Trần Quốc Anh b  c  1   a  b  a  c    ab  bc  1  a  b b  c  a  b  c      ab  bc  ca     a  b  c    a  b    b  c    c  a   4 a  bc b  ca  a2  b2  c bc ca a  bc b  ca    a  b  c bc ca  a  b  c   a  b3  c   a  b  b  c  c  a   10  x y  y z  z x    x  y  z  x  y  z  y  z  x  z  x  y  a b bc ca a b bc ca    0 ab bc ca ab bc ca a b a b b c c  a  0 12  1 c 1 c 1 a 1 b a2 1 13   a  b  a  c  11     14 a  b  c    ab  bc  ca  1   a  b  c  abc  15 a  b3  c  3abc   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca   16  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc 17  x  a  x  b  x  c   x3  x  a  b  c   x  ab  bc  ca   abc 18  x  a  x  b  x  c   x  x  a  b  c   x  ab  bc  ca   abc 19 x  a  b  a  c   y  b  c  b  a   z  c  a  c  b  Trang 1 2  x  y  z  a  b    y  z  x  b  c    z  x  y  c  a  2 20.Nếu đặt p  a  b  c, q  ab  bc  ca, r  abc ta có số kết sau:  i  a  b  b  c  c  a   pq  r ii  a  b  b  c    c  a  a  b    c  a  c  b   p  q iii a  b  c  p  p q  2q  pr iv a  b5  c  p  p 3q  pq  p r  5qr v a  b6  c  p  p q  p3r  p q  12 pqr  3r  2q vi  a 2b  b c  c a  a 2b  b 2c  c a   9r   p  pq  r  q vii  a 3b  b 3c  c3a  ab3  bc  ca3   p r   p  p 3a  pq  r  q  21  a  b  c   a  b5  c5   a  b  b  c  c  a  a  b  c  ab  bc  ca  MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN 1.Bất đẳng thức AM-GM Cho a1 , a2 , , an số thực không âm a1  a2   an  n n a1.a2 an Đẳng thức xảy a1  a2   an Mở rộng AM-GM: Cho x1 , x2 , , xn số thực không âm thỏa mãn x1  x2   xn  Nếu a1 , a2 , , an số thực không âm x1a1  x2 a2   an xn  a1x1 a2 x2 an xn đẳng thức xảy a1  a2   an 2.Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với hai số thực tùy ý a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có : a a a Đẳng thức xảy    n b1 b2 bn Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel: Giả sử số thực b1 , b2 , , bn số thực dương a  a  a   an  a2 a Khi ta có:    n  b1 b2 bn b1  b2   b a a a Đẳng thức xảy    n bất đẳng thức Bernoulli: b1 b2 bn r Với số thực x  1 ,ta có :i 1  x   rx  với r  r  r ii 1  x   rx  với  r  Trang ra,nếu a1 , a2 , , an số thực thỏa mãn tính chất “ tất không âm tất nằm đoạn  0;1 ”thì: 1  a1 1  a2  1  an    a1  a2   an 4.Bất đẳng thức Holder Cho m, n hai số nguyên dương xij i  1, m, j  1, n số thực dương tùy ý.Giả sử   w1 ,w , , w n số thực dương thỏa mãn w1  w   w n  Khi ta có:  x11  x21   xm1  x12  x22   m   x1n  x2 n   xmn   x11w1.x12w x1wn n wn w1 w  x21 x22 x2wnn   xmw11 xmw22 xmn hay có biểu hay sử dụng : i Với a, b, c, m, n, p, x, y, z số thực dương ta có: a  b3  c  x    y  z m3  n3  p   axm  byn  czp  Chứng minh: a3 x3 m3       3 3 3 3 3 3 cyc a  b  c cyc x  y  z cyc m  n  p cyc a  b  c  3axm  x   y  z m3  n3  p Từ ta có điều phải chứng minh ii Với số thực dương a1 , a2 , , an ta có: 1  a1 1  a2  1  an   1  n a1a2 an  n Chứng minh: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 1 n      a1  a2  an n 1  a1 1  a2  1  an  a1 a a    n   a1  a2  an n n a1.a2 an n 1  a1 1  a2  1  an  Cộng vế theo vế bất đẳng thức suy điều phải chứng minh 5.Bất đẳng thức Chebyshev Với hai dãy số thực đơn điệu tăng a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có: a1b1  a2b2   anbn   a1  a2   an  b1  b2   bn  n Kết thường sử dụng :Nếu a1 , a2 , , an số thực dương có tổng n a1n1  a2n 1   ann 1  a1n  a2n   ann 6.Bất đẳng thức Schur Cho số thực không âm a, b, c Khi với số thực dương r ta có: a r  a  b  a  c   br  b  c  b  a   c r  c  a  c  b   Đẳng thức xảy a  b  c ,hoặc a  b  c hoán vị tương ứng Trường hợp thường sử dụng r  r  Với r  ta có bất đẳng thức Schur bậc ba: a  b3  c  3abc  ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a  Trang   a  b  c   9abc   a  b  c  ab  bc  ca   b  c  b  c  a   cyc 9abc   ab  bc  ca  abc a b c 4abc    2 b  c c  a a  b  a  b  b  c  c  a  a  b2  c2  Với r  ta có bất đẳng thức Schur bậc bốn: a  b  c  abc  a  b  c   ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a  Bổ đề ứng dụng n a n  bn  cn  a  b  c    với a, b, c  0; n  3   Chứng minh Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Bài n  abc   abc  a   n  1    n   3     n 1 n n  abc  abc  b   n  1    n   3     n 1 n n a b n 1  abc  abc  c n   n  1    n   c 3     Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Ứng dụng Những ứng dụng bất đẳng thức ta nhận thấy rõ qua toán sau: 1.Với a, b, c  Chứng minh rằng: 4  a  2b   b  2c   c  2a  a  b4  c4              Chứng minh: 2 2 2  a   b   c  Ta có:  a  b  c   a  2b      3     Tương tự cho biểu thức lại ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Tương tự, ta giải toán tổng quát sau: n n n  a  2b   b  2c   c  2a  a b c              2.Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: n n n Trang a5 b5 c5    2 2 2 b c c a a b Ngô Hoàng Toàn 3.Cho a, b, c số thực dương thoả mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a5 b5 c5   3 3 b c c a a b Ngô Hoàng Toàn 2.Cho x, y, z độ dài ba cạnh tam giác.Ta có:  x  y  z  xyz   xy  yz  zx   y  z  x  z  x  y  x  y  z  Chứng minh Đặt a  y  z  x, b  z  x  y, c  x  y  z ta có a, b, c  bc ca ab x ,y ,z  2 Chuẩn hóa abc  bất đẳng thức cần chứng minh trở thành  a  b  c  a  b  b  c  c  a   2  a  b  b  c  ab Theo AM-GM ta có: 1 abc3 abc abc    abc  a  b   ab   a  2 a  b  c  abc  abc    3.Ta có: x  y  n 2n 1 x n  y n  x, y  Chứng minh  x  y  n 2n 1 x n  y n    n x n  n y n  n 2n 1 x n  y n   n n n n  n 1  x  n 1  y  n 2  x y n 1 n 1  n 1 Ta cần chứng minh T n 1 xn 1 yn n  1 2 x  yn n  2 xn  yn  n 1 n 1 Thật theo AM-GM ta có:    11 xn   1 yn T      n     n n   x  y n  n    x  yn n 1 n 1       1   4.Cho a, b, c  Ta có:  a  b  c   abc    a  b  c  Trang 5.Cho a, b, c  có a  b  c  2abc    ab  bc  ca  Chứng minh Sử dụng AM-GM Schur ta có: a  b  c  2abc    ab  bc  ca   a  b  c   abc    ab  bc  ca  3    32     ab   a  b    ab  bc  ca     ab   a  b       Suy điều phải chứng minh Ứng dụng: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a     b  c    ab  bc  ca  Ta có:  a   b2   c2     ab  bc  ca   4 a  2  a 2b2  1  a 2b2c2    ab  bc  ca   4 a   ab  bc  ca   2abc    ab  bc  ca   a  b  c  2abc    ab  bc  ca   6.Cho a, b, c  Chứng minh rằng: Đặt P  1    a 1  b  b 1  c  c 1  a  abc  abc   1   ta có: a 1  b  b 1  c  c 1  a    a 1  b     P2  3     ab 1  b 1  c   abc 1  a 1  b 1  c    3    abc 1  a 1  b 1  c  abc 1  a 1  b 1  c  Đặt k  abc sử dụng AM-GM ta có : 1  a 1  b 1  c    a  b  c  ab  bc  ca  abc   3k  3k  k  1  k   P2  3 3    3 k 1  k  k 1  k  k 1  k  Từ suy điều phải chứng minh 7.Cho a, b, c  ta có:      a  b  c  abc  a  b  c   ab a  b  bc b  c  ca c  a  Chứng minh: Không giảm tổng quát giả sử a  b  c a  b  c  abc  a  b  c    ab a  b  bc b  c  ca c  a    b  c  a  b  c    Trang       Ta chứng minh: 2  b2  c  a  b  c   c2  a  b  b  c   a  a  b   c  a  b2  a  b  b  c       Đúng theo giả sử Ứng dụng Cho a, b, c  chứng minh rằng: a  b3  c   a  b  c   9abc   ab  bc  ca  Sử dụng AM-GM ta có:  ab  bc  ca  a  b  c    ab  bc  ca  abc Tiếp theo ta chứng minh:  ab  bc  ca  a  b3  c  9abc  abc   a  abc  a  b  c    ab  a  b   4 a 2b Sử dụng bổ đề ta có:  a  abc  a  b  c    ab  a  b2   2 ab  a  b2   4 a 2b2 8.Cho a, b, c  ta có :  ab3  bc3  ca    a  b  c  Thật vậy:  ab  bc3  ca  a  b  c      a  c  ab  ac  2bc   0  a  a  1  a  a  a  Ta có:  a  a  1   a  a  1   a  1  2a  a    ứng dụng Cho x, y, z  ta chứng minh : x  x  y  y  z  z    xyz   xyz                Ta có: 3 x  x  y  y  z  z    x  x  y  y  z  z  Mặt khác theo bất đẳng thứcHolder ta có:           x  x  y  y  z  z   x  x3  y  y  z  z    xyz   xyz  1 Suy điều phải chứng minh Sẽ tiếp tục cập nhật Trang Trang