Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic tt

27 335 0
Tính điều khiển được của một số lớp phương trình parabolic tt

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * V MNH TI TNH IU KHIN C CA MT S LP PHNG TRèNH PARABOLIC Chuyờn ngnh: Phng trỡnh vi phõn v tớch phõn Mó s: 62 46 01 03 TểM TT LUN N TIN S TON HC H Ni - 2016 Lun ỏn c hon thnh ti: Trng i hc S phm H Ni Ngi hng dn khoa hc: PGS TS Cung Th Anh Phn bin 1: GS TSKH V Ngc Phỏt, Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Phn bin 2: PGS TS Nguyn Thiu Huy, Trng i hc Bỏch khoa H Ni Phn bin 3: TS Phm Triu Dng, Trng i hc S phm H Ni Lun ỏn s c bo v trc Hi ng chm lun ỏn cp Trng hp ti Trng i hc S phm H Ni vo hi gi ngy thỏng nm Cú th tỡm hiu lun ỏn ti th vin: Th vin Quc Gia, H Ni hoc Th vin Trng i hc S phm H Ni M U L DO CHN TI Trong khong hai thp k gn õy, tớnh iu khin c (bao gm tớnh iu khin c chớnh xỏc, tớnh iu khin c v 0, tớnh iu khin c xp x) ó c nghiờn cu i vi nhiu lp phng trỡnh o hm riờng tuyn tớnh v na tuyn tớnh Bi phng phỏp nht Hilbert (Hilbert Uniqueness Method (HUM)) xut bi J.-L Lions (1988), tớnh iu khin c ca bi toỏn tuyn tớnh c qui v tớnh quan sỏt c ca bi toỏn liờn hp tng ng thit lp tớnh quan sỏt c ca bi toỏn liờn hp tng ng thụng qua cỏc bt ng thc quan sỏt, mt nhng cụng c hiu lc nht l cỏc c lng kiu Carleman ton cc Cũn tớnh iu khin c ca bi toỏn na tuyn tớnh c chng minh bng cỏch s dng tớnh iu khin c ca bi toỏn tuyn tớnh húa tng ng v phng phỏp im bt ng xut ln u tiờn bi Zuazua (1991-1993) cho phng trỡnh truyn súng na tuyn tớnh mt chiu Mt nhng lp phng trỡnh o hm riờng c nghiờn cu nhiu l lp phng trỡnh tin húa kiu parabolic, cha ng phng trỡnh truyn nhit c in, nhiu lp phng trỡnh parabolic xut hin húa hc, sinh hc v c hc cht lng Nghiờn cu tớnh iu khin c ca cỏc phng trỡnh parabolic ó thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc khong hai thp niờn gn õy Sau nhng nghiờn cu tiờn phong ca Fursikov v Imanuvinov (1995,1996), Lebeau v Robbiano (1995) bng cụng c c lng Carleman, ó cú nhiu tin b vic tỡm hiu v cỏc tớnh cht iu khin c ca cỏc phng trỡnh parabolic khụng suy bin vi cỏc h s bin thiờn Cỏc kt qu ny cng c m rng cho cỏc bi toỏn parabolic na tuyn tớnh bi Fabre et al (1995), Fernỏndez-Cara (1997), Zuazua (1997,1999), FernỏndezCara v Zuazua (2000), Doubova et al (2002), Fernỏndez-Cara v Guerrero (2006) Cỏc kt qu t c u da trờn cụng c chớnh l bt ng thc Carleman cho nghim ca bi toỏn liờn hp tng ng Cỏc bt ng thc Carleman c thit lp ny yờu cu phn chớnh ca phng trỡnh l toỏn t elliptic u, b chn v khụng cú th v kỡ d Bờn cnh ú, tớnh iu khin c ca cỏc phng trỡnh parabolic u khụng b chn cng ó c nghiờn cu bi Cabanillas et al (2001), Miller (2005), Gonzỏlez-Burgos v Teresa (2007) Cú th núi ngy lớ thuyt iu khin c i vi cỏc phng trỡnh parabolic u ó khỏ hon thin c trng hp tuyn tớnh v na tuyn tớnh Trong khong mt thp k tr li õy, tớnh iu khin c ca phng trỡnh parabolic suy bin, khụng cú hoc cú th v kỡ d, ó c nghiờn cu bi nhiu nh toỏn hc Nhng nghiờn cu ny c thỳc y bi nhiu bi toỏn vt lớ khỏc nh mụ hỡnh tng lp biờn Buchot v Raymond (2002), cỏc mụ hỡnh di truyn qun th cỏ, cỏc mụ hỡnh khớ hu Bydyko-Sellers, Tuy nhiờn, hu ht cỏc kt qu t c hin ti ch yu trng hp mt chiu (xem Martinez et al (2003), Cannarsa et al (2005,2006,2008), Vancostenoble (2006,2011), Fotouhi v Salimi (2012) v cỏc ti liu trớch dn ú), mi ch cú rt ớt kt qu iu khin c trng hp nhiu chiu, ch yu l trng hp hai chiu i vi phng trỡnh parabolic cha toỏn t div(A(x)u) bi Cannarsa et al (2016), phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin bi Beauchard et al (2014), phng trỡnh Kolmogorov bi Beauchard (2014), Rousseau v Moyano (2016), v mt lp phng trỡnh suy bin nhiu chiu vi s hng i lu bi Wang v Du (2010,2013,2014) Ngoi ra, cỏc kt qu v tớnh iu khin c ca cỏc phng trỡnh suy bin/kỡ d na tuyn tớnh cũn rt ớt õy ang l nhng thi s thu hỳt c s quan tõm nghiờn cu ca nhiu nh toỏn hc 2 TNG QUAN VN NGHIấN CU Nh ó cp n phn Lớ chn ti, vic nghiờn cu tớnh iu khin c ca cỏc phng trỡnh parabolic suy bin hoc cú th v kỡ d trng hp nhiu chiu hoc trng hp na tuyn tớnh ang l thi s hin Chỳng tụi im qua mt s kt qu tiờu biu theo hng nghiờn cu ny: Mt cỏc lp phng trỡnh suy bin m c nghiờn cu mnh nhng nm gn õy l lp phng trỡnh cha toỏn t Grushin Gs u = x u + |x|2s y u, s Toỏn t ny c a u tiờn bi Grushin (1971) Chỳ ý rng G0 = toỏn t Laplace, v Gs s > 0, khụng l elliptic nhng cú giao vi mt x = S tn ti v dỏng iu tim cn nghim ca cỏc phng trỡnh v h parabolic na tuyn tớnh cha toỏn t ny ó c nghiờn cu gn õy c trng hp ụtụnụm v khụng ụtụnụm (xem C.T.Anh et al (2008), C T Anh (2010), C.T.Anh v V.M.Toi (2012)) Tớnh iu khin c ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin c nghiờn cu u tiờn trng hp hai chiu bi Beauchard et al (2014) Xem thờm kt qu gn õy bi Beauchard et al (2015) Tuy nhiờn, tớnh iu khin c ca lp phng trỡnh ny trng hp nhiu chiu cũn nhiu m Mt lp phng trỡnh parabolic rt c quan tõm khỏc l lp phng trỡnh parabolic cha toỏn t: Aà = à/|x|2 Cỏc kt qu v tớnh t ỳng ca bi toỏn cng nh dỏng iu tim cn nghim ca phng trỡnh parabolic cha t Aà ó c nghiờn cu bi nhiu nh toỏn hc (xem Baras v Goldstein (1984), Brezis v Vỏzquez (1997), Vỏzquez v Zuazua (2000), C.T.Anh v T.T.H Yen (2011) v cỏc ti liu trớch dn ú) Trong ú, tớnh iu khin c ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t ny ó nhn c bi Vancostenoble-Zuazua (2008) v Ervedoza (2008) cho trng hp kỡ d bờn min, v bi Cazacu (2014) cho trng hp kỡ d trờn biờn Gn õy, trng hp hai chiu, tớnh iu khin c xp x cho phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin vi th v kỡ d à/|x|2 ó c nghiờn cu bi Morancey (2015) nh tớnh cht thỏc trin nht ca toỏn t tng ng Hn na, Cannarsa v Guglielmi (2014), cỏc tỏc gi ó chng minh tớnh iu khin c v thi gian iu khin ln cho phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin vi th v kỡ d à/|x|2 s = v khụng gian l (0, 1) ì (0, 1), tc l, vi suy bin v kỡ d trờn biờn Nh ó cp bi Morancey (2015) hay bi Cannarsa v Guglielmi (2014), tớnh iu khin c v l hon ton m cú suy bin v th v kỡ d bờn Xột trng hp toỏn t parabolic suy bin v cú th v kỡ d: P u = ut (x ux )x u, x (0, 1), 0, x (1) vi cỏc iu kin biờn tng ng tựy thuc vo Trong trng hp toỏn t (1) khụng cú kỡ d ( = 0), tớnh iu khin c v [0, 2), (khi 2, tớnh khụng iu khin c v c chng minh bi Cannarsa et al (2004)), c chng minh bi Cannarsa et al (2008) m cụng c chớnh l i thit lp c lng Carleman da trờn bt ng thc Hardy sau x u2x dx (1 )2 u2 x2 dx, vi mi u C0 (0, 1) Cỏc kt qu v tớnh iu khin c ca lp phng trỡnh parabolic mt chiu tuyn tớnh/na tuyn tớnh suy bin khụng cú th v kỡ d ó c nghiờn cu bi Martinez et al (2003), Cannarsa et al (2005,2006,2008), Martinez v Vancostenoble (2006) Trong trng hp suy bin v cú th v kỡ d (toỏn t cho bi (1)), tớnh iu khin c v mi c Vancostenoble (2011) nghiờn cu cho trng hp tuyn tớnh Tớnh iu khin c trng hp na tuyn tớnh hon ton m T nhng phõn tớch trờn, chỳng ta thy rng bờn cnh nhng kt qu t c, tớnh iu khin c ca cỏc phng trỡnh tin húa kiu parabolic suy bin hoc cú th v kỡ d cũn nhiu m Núi riờng, nhng m m chỳng tụi quan tõm nghiờn cu lun ỏn ny bao gm: Tớnh iu khin c ca phng trỡnh parabolic suy bin cha toỏn t Grushin trng hp nhiu chiu Tớnh iu khin c ca phng trỡnh parabolic suy bin cha toỏn t Grushin vi th v kỡ d kiu Hardy à/|x|2 trng hp nhiu chiu Tớnh iu khin c ca phng trỡnh parabolic mt chiu suy bin vi th v kỡ d trng hp na tuyn tớnh MC CH, I TNG V PHM VI NGHIấN CU Lun ỏn trung nghiờn cu tớnh iu khin c v ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin khụng cú/cú th v kỡ d trng hp nhiu chiu, phng trỡnh parabolic mt chiu na tuyn tớnh suy bin cú th v kỡ d C th nh sau: Ni dung 1: Bi toỏn iu khin c i vi phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin nhiu chiu Ni dung 2: Bi toỏn iu khin c i vi phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin vi th v kỡ d kiu Hardy nhiu chiu Ni dung 3: Bi toỏn iu khin c i vi lp phng trỡnh parabolic mt chiu na tuyn tớnh suy bin vi th v kỡ d PHNG PHP NGHIấN CU nghiờn cu tớnh iu khin c ca bi toỏn tuyn tớnh, chỳng tụi s dng phng phỏp nht Hilbert (HUM): Tớnh iu khin c ca bi toỏn tuyn tớnh c a v tớnh quan sỏt c ca bi toỏn liờn hp tng ng S dng khai trin Fourier v bi ng thc Bessel-Parseval, ny c a v tớnh quan sỏt c u theo tn s ca h s Fourier Bt ng thc quan sỏt c u s c thit lp nh cỏc bt ng thc Carleman mi v cỏc ỏnh giỏ phự hp ca tc tỏn x nghiờn cu tớnh iu khin c ca bi toỏn na tuyn tớnh, chỳng tụi s dng phng phỏp im bt ng xut bi Zuazua: Kt hp tớnh iu khin c ca bi toỏn tuyn tớnh húa tng ng v cỏc nh lớ im bt ng phự hp (trong lun ỏn s dng nh lớ Schauder) KT QU CA LUN N Lun ỏn t c nhng kt qu chớnh sau õy: i vi bi toỏn iu khin cho phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin trng hp nhiu chiu: Chng minh c tớnh iu khin c v ti mi thi im T > s (0, 1) (suy bin yu) Khi s = (suy bin mnh) ta chng minh c tớnh iu khin c v thi gian iu khin ln v tớnh khụng iu khin c v thi gian iu khin quỏ nh Chng minh c tớnh khụng iu khin c v s > (suy bin quỏ mnh) Chng minh c tớnh iu khin c v thi gian iu khin ln ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin s = vi th v kỡ d à/|x|2 trng hp nhiu chiu Chng minh c tớnh iu khin c v ca lp phng trỡnh parabolic mt chiu na tuyn tớnh suy bin cú th v kỡ d CU TRC CA LUN N Ngoi phn M u, Kt lun, Danh mc cụng trỡnh ó cụng b v danh mc Ti liu tham kho, lun ỏn gm chng: Chng trỡnh by mt s kin thc chun b Chng trỡnh by cỏc kt qu tớnh iu khin c v ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin trng hp hỡnh hp nhiu chiu Chng trỡnh by tớnh iu khin c v thi gian ln ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin s = vi th v kỡ d kiu Hardy bờn trong trng hp nhiu chiu Chng trỡnh by tớnh iu khin c v ca mt lp phng trỡnh parabolic mt chiu na tuyn tớnh suy bin vi th v kỡ d Chng MT S KIN THC CHUN B Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by mt s kin thc chun b, bao gm: Cỏc khụng gian hm; lớ thuyt iu khin c cho cỏc h tuyn tớnh khụng gian vụ hn chiu; mt s bt ng thc thng dựng; v mt s kt qu thng dựng 1.1 1.1.1 MT S KHễNG GIAN HM Mt s khụng gian hm Trong mc ny, chỳng tụi nhc li mt s khụng gian hm cn dựng lun ỏn nh: Lp ()(1 p +); H (); H01 (), H (), vi l b chn RN 1.1.2 Khụng gian hm ph thuc thi gian Trong mc ny, chỳng tụi nhc li mt s khụng gian hm ph thuc thi gian cn dựng lun ỏn nh: C(0, T ; X); Lp (0, T ; X), vi (1 p +); H (0, T ; X), X l khụng gian Banach, T > 1.2 L THUYT IU KHIN C CA H TUYN TNH TRONG KHễNG GIAN Vễ HN CHIU Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by v lớ thuyt iu khin c ca h tuyn tớnh khụng gian vụ hn chiu 1.2.1 Mt s nh ngha Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by mt s nh ngha iu khin c hay dựng liờn quan n bi toỏn iu khin khụng gian vụ hn chiu: iu khin c chớnh xỏc; iu khin c chớnh xỏc n qu o; iu khin c v 0; iu khin c xp x 1.2.2 Phng phỏp nht Hilbert (HUM) Trong mc ny, chỳng tụi trỡnh by phng phỏp nht Hilbert (HUM) m c a u tiờn bi J.-L Lions (1988) i nghiờn cu tớnh iu khin c ca h tuyn tớnh khụng gian vụ hn chiu 1.3 1.3.1 MT S BT NG THC THNG DNG Mt s bt ng thc kiu Hardy Trong mc ny, chỳng tụi nhc li mt s bt ng thc kiu Hardy cn s dng lun ỏn: mt s bt ng thc kiu Hardy cho toỏn t trng hp nhiu chiu; Bt ng thc kiu Hardy i vi toỏn t Grushin; mt s bt ng thc kiu Hardy trng hp mt chiu 1.3.2 Mt s bt ng thc s cp Trong mc ny, chỳng tụi nhc li mt s bt ng thc s cp nhng rt quan trng v thng xuyờn c s dng lun ỏn: Bt ng thc Cauchy; Bt ng thc Young; Bt ng thc Hăolder; bt ng thc Gronwall 1.4 MT S KT QU THNG DNG Trong phn ny, chỳng tụi nhc li mt s s kt qu cn dựng n lun ỏn: nh lớ im bt ng Schauder khụng gian Banach; B compact Aubin-Lions; ng thc Bessel-Parseval; Cụng thc ta cu khụng gian RN , N 2.2.2 Khai trin Fourier Bi nh lớ 2.2, (2.1) cú nghim u C([0, T ]; L2 ()) Theo nh lớ 9B.1 M Pivato (2010), ta cú th khai trin Fourier u(x, y, t) theo y bi: u(x, y, t) = u (x, t) (y), (2.2) ú = (1 , , , N2 ) (N )N2 , (y) = 2N2 /2 sin(1 y1 ) sin(2 y2 ) ã ã ã sin(N2 yN2 ), v u (x, t) = u(x, y, t) (y)dy (0,1)N2 Thay (2.2) vo (2.1), ta nhn c mnh Mnh 2.1 Vi mi = (1 , , , N2 ) (N )N2 , thỡ u (x, t) l nghim yu ca bi toỏn u x u + (||)2 |x|2s u = v t u = u (x, 0) = u (x) 0, vi u0, (x) = 2.2.3 ì (0, T ), trờn ì (0, T ), (2.3) , u (x, y) (y)dy; v (x, t) = v(x, y, t) (y)dy Tc tỏn x Ta xột toỏn t G,s , vi mi (N )N2 , s > 0, c xỏc nh bi G,s := x + (||)2 |x|2s Giỏ tr riờng nh nht ca G,s c xỏc nh bi } 2 2s (| | + (||) |x| || )dx x | H01 (1 ) \ {0} || dx { ,s := Mnh 2.2 Vi mi s > 0, tn ti c = c (s) > v c = c (s) > cho c || 1+s ,s c || 1+s (N )N2 2 (2.4) 11 2.2.4 Bt ng thc Carleman Vi s (0, 1], T > v vi mi wT L2 (1 ) cho trc, ta i thit lp bt ng thc Carleman cho nghim w = w(x, t) ca bi toỏn: w 2s t + x w (||) |x| w = ì (0, T ), w = 0, trờn ì (0, T ), (2.5) w(x, T ) = w , T Ly cho thit lp bt ng thc CarleM (x) , (x, t) RN1 ì (0, T ), man, ta xột hm trng (x, t) := t(T t) ú tha , || > \ , n := n ã > trờn , v nu s [1/2; 1] thỡ C (RN1 ; R+ ) v D2 (, ) < \ vi mi = RN1 , nu s (0, 1/2) thỡ l hm xỏc nh , m trn lp C \ {0}, nhng D2 (, ) kỡ d ti v D2 (, ) < \ (1 {0}) vi mi = RN1 Hn na, cú dng (x) = C0 N1 i=1 xi sign(si )|si |2s + Ci dsi vi mi |x| < , ú C0 ; Ci , i = 1, , N1 l cỏc hng s ln cho v xi < |x| < tng ng õy, n l vect phỏp tuyn n v hng ngoi ca biờn Ta thit lp c bt ng thc Carleman sau 12 Mnh 2.3 (Bt ng thc Carleman) Vi s (0, 1], T > v vi mi wT L2 (1 ) cho trc Cho w = w(x, t) l nghim ca bi toỏn (2.5) Khi ú tn ti cỏc hng s dng K1 = K1 (), = () v K2 = K2 () cho M |w|2 e20 dxdt (t(T t))3 ) T ( 20 M |w| e M |x w|2 20 K2 + e dxdt, (t(T t)) t(T t) T (2.6) { } ú M = M (T, , ||) := K1 max T + T ; ||T 2.3 CHNG MINH KT QU CHNH 2.3.1 Lc chng minh nh lớ 2.1 Bi phng phỏp HUM, tớnh iu khin c v ca bi toỏn (2.1) tng ng vi tớnh quan sỏt c cho bi toỏn liờn hp w + x w + |x|2s y w = 0, t w = 0, w(x, y, T ) = wT (x, y), (x, y, t) ì (0, T ), (x, y, t), ì (0, T ), (2.7) (x, y) nh ngha 2.1 Bi toỏn (2.7) l quan sỏt c ti thi im T nu tn ti C > 0, cho vi mi wT L2 (), nghim w ca (2.7) tha w(., , 0)2L2 () T C |w(x, y, t)|2 dxdydt Vi w l nghim ca (2.7) Khi ú, nh (2.2), ta cú w(x, y, t) = w (x, t) (y), = (1 , , , N2 ) (N )N2 , (y) = 2N2 /2 sin(1 y1 ) sin(2 y2 ) ã ã ã sin(N2 yN2 ), v w (x, t) = (0,1)N2 w(x, y, t) (y)dy 13 Khi ú w (x, t) l nghim ca bi toỏn sau (liờn hp ca (2.3)): w + x w (||)2 |x|2s w = 0, t w = 0, w (x, T ) = w (x), T, (x, t) ì (0, T ), (x, t) ì (0, T ), (2.8) x nh ngha 2.2 (Tớnh quan sỏt c u) Vi l m ca (0, 1)N1 Bi toỏn (2.8) l quan sỏt c u theo (N )N2 nu tn ti C > (khụng ph thuc vo ), cho vi mi (N )N2 v wT, L2 (1 ), nghim ca (2.8) tha T |w (x, 0)|2 dx C |w (x, t)|2 dxdt 2.3.2 Bt ng thc quan sỏt c nh lớ 2.3 Cho bt kỡ ca (0, 1)N1 1) Nu s (0, 1), thỡ bi toỏn (2.8) quan sỏt c u theo (N )N2 2) Nu s = 1, thỡ tn ti T1 > cho vi mi T > T1 , bi toỏn (2.8) quan sỏt c u theo (N )N2 Chng minh da trờn bt ng thc Carleman (2.6) v chn di ca tc tỏn x (2.4) 2.3.3 Chng minh tớnh khụng iu khin c nh lớ 2.1 nh lớ 2.4 Cho = (a, b)N1 , ú (N1 1)/N1 < a < b Nu s = thỡ tn ti T2 > 0, (T2 < T1 ) cho vi mi T < T2 , bi toỏn (2.8) khụng quan sỏt c u theo ; Nu s > 1, thỡ vi mi T > 0, bi toỏn (2.8) khụng quan sỏt c u theo Chng minh ca nh lớ ny bng cỏch chn hm th v s dng chn trờn ca tc tỏn x (2.4) m cho tớnh quan sỏt c u khụng xy 14 Chng TNH IU KHIN C V KHI THI GIAN LN CA PHNG TRèNH PARABOLIC CHA TON T GRUSHIN VI TH V Kè D Trong chng ny chỳng tụi nghiờn cu tớnh iu khin c v ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin vi th v kỡ d bờn trong trng hp nhiu chiu u tiờn chỳng tụi t bi toỏn v phỏt biu kt qu chớnh ca chng Trong phn tip theo, s dng phng phỏp HUM, chỳng tụi chng minh kt qu chớnh bng cỏch chng minh rng h liờn hp tng ng l quan sỏt c chng minh tớnh quan sỏt c ta i chng minh tớnh quan sỏt c u i vi tn s ca h s Fourier m da trờn bt ng thc Carleman mi v tc c tỏn x ca h s Fourier Chng minh bt ng thc Carleman c a phn cui ca chng Ni dung ca chng ny da trờn bi bỏo [3] Danh mc cụng trỡnh ó cụng b ca chỳng tụi 3.1 T BI TON V PHT BIU KT QU CHNH Cho = ì RN1 ì RN2 , N1 3, N2 1, l b chn vi 0RN1 v trn Ta nghiờn cu tớnh iu khin c v ca bi toỏn iu khin sau: ut x u |x|2s y u u = v1 , |x|2 u = 0, u(0) = u0 , (x, y, t) ì (0, T ), (x, y, t) ì (0, T ), (3.1) (x, y) , ú l hm c trng ca m khỏc rng ca , v = (N1 ) vi (N1 ) = (N1 2)2 /4 l hng s tt nht nht bt ng thc Hardy cho toỏn t Grushin (xem nh lớ 3.3 L Ambrosio (2004)) 15 Ta núi rng bi toỏn (3.1) l iu khin c v ti thi im T nu vi mi u0 L2 () cho trc, tn ti hm iu khin v L2 ( ì (0, T )) cho bi toỏn (3.1) cú nghim u(x, y, t) tha u(ã, ã, T ) = Mc tiờu ca chng ny l chng minh kt qu sau nh lớ 3.1 Vi = ì l m ca cho 0RN1 / Nu < v s = 1, thỡ tn ti thi gian T > cho bi toỏn (3.1) iu khin c v ti mi thi im T > T nghiờn cu bi toỏn (3.1), ta s dng khụng gian hm Sà,0 () c nh ngha l bao úng ca C0 () theo chun )1/2 ( ( 2) 2s () = uSà,0 |x u| + |x| |y u| u dxdy |x| Bng phng phỏp xp x Galerkin hoc phng phỏp na nhúm, ta cú s tn ti v nht nghim yu ca (3.1) tha u C([0, T ]; L2 ()) L2 (0, T ; Sà,0 ()) 3.2 3.2.1 CHNG MINH KT QU CHNH Khai trin Fourier v tc tỏn x Vi (n )nN l dóy khụng gim cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t y H (2 ) H01 (2 ) v cỏc hm riờng tng ng (n (y))nN , tc l, (y) = (y), y , y n n (y) = 0, n n y Vi mi nghim yu u(x, y, t) ca (3.1) v iu khin v(x, y, t), t un (x, t) = u(x, y, t)n (y)dy, (x, t) = v(x, y, t)n (y)dy, 2 (3.2) thỡ ú th (3.2) vo (3.1), ta nhn c kt qu sau: 16 Mnh 3.1 Vi u0 L2 () cho trc v vi u l nghim yu nht tng ng ca (3.1) vi v s = 1, thỡ vi mi n N , hm un (x, t) l nghim yu nht ca bi toỏn u n u + |x| u un = 11 (x) x n n n t |x|2 un = un (x, 0) = u0,n (x) ú u0,n (x) = ì (0, T ), trờn ì (0, T ), , (3.3) u0 (x, y)n (y)dy Ta bit rng giỏ tr riờng nh nht ca (x) + n |x|2 (x) (x) H (1 ) H01 (1 ) c cho bi |x| n,à ( ) ) ( 2 |(x)| + n |x| |x|2 || dx := || dx H01 (1 ) \ {0} Mnh 3.2 Vi mi N1 v < , tn ti C = C (à) > v C = C (à) > cho (3.4) C n n,à C n n N 3.2.2 Tớnh quan sỏt c u ca bi toỏn liờn hp Bi phng phỏp HUM, tớnh iu khin c ca bi toỏn (3.1) tng ng tớnh quan sỏt c ca bi toỏn liờn hp ca (3.1) w + w + |x| w + w = 0, t x y |x|2 w = 0, w(x, y, T ) = wT (x, y), (x, y, t) ì (0, T ), (x, y, t) ì (0, T ), (3.5) (x, y) Ta núi rng bi toỏn liờn hp (3.5) quan sỏt c ti thi im T nu tn ti C > cho vi mi wT L2 (), nghim w ca (3.5) tha món: |w(x, y, t)|2 dxdydt w(ã, ã, 0)2L2 () C ì(0,T ) 17 S dng (3.2), ta cú c bi toỏn liờn hp ca (3.3) nh sau w + w |x| w + wn = 0, t n x n n n |x|2 wn = 0, wn (x, T ) = wT,n (x), vi wn (x, t) = (x, t) ì (0, T ), (x, t) ì (0, T ), (3.6) x , w(x, y, t)n (y)dy; wT,n (x) = wT (x, y)n (y)dy Do vy, bi ng thc Bessel-Parseval, chng minh tớnh quan sỏt c ca bi toỏn (3.5), ta ch cn chng minh bi toỏn liờn hp (3.6) quan sỏt c u theo n N , tc l, vi mi , tn ti C > (khụng ph thuc vo n) cho vi mi n N v wT,n L2 (1 ), nghim wn ca (3.6) tha wn (ã, 0)2L2 (1 ) C |wn (x, t)|2 dxdt ì(0,T ) nh lớ 3.2 Vi cho 0RN1 / v < Khi ú tn ti T > cho vi mi T > T , bi toỏn (3.6) quan sỏt c u theo n N Chng minh da trờn c lng Carleman cho nghim ca (3.6) (nh lớ 3.3 di õy) v tc tỏn x (xem (3.4)) Ta xột hm trng sau nh S Ervedoza (2008): ( |x|2 e(x) (t(T t))3 ) sup e (x, t) = := (x) , (t(T t))3 ú l tham s dng c chn ln, v l hm trn tha (x) = ln(|x|), x B1 (0), (x) = 0, (x) > 0, x , x \ B1 (0), v tn ti m tha v m > cho |(x)| m , x \ 18 (3.7) Bt ng thc Carleman sau c chng minh Mc 3.3 nh lớ 3.3 Cho cho 0RN1 / Nu , thỡ tn ti hng s dng cho vi mi , tn ti K1 = K1 (, ) v K2 = K2 (, ) cho vi mi w C([0, T ]; L2 (1 ))L2 (0, T ; H01 (1 )), ta cú bt ng thc K1 [ 2M e \B1 (0)ì(0,T ) + e 2M B1 (0)ì(0,T ) 2M e ì(0,T ) M (t(T t))3 M |x|2 (t(T t))9 M3 (t(T t))9 |w| dxdt + e ì(0,T ) |w| dxdt + \B1 (0)ì(0,T ) |w| dxdt + M |w|2 (t(T t))3 |x| 2M 2M e M3 (t(T t))9 3.3.1 |w| dxdt M |e Gn,à w| dxdt ] (3.8) ì(0,T ) õy, M = M (, T, n , ) = K2 max{T + T + T + T ; Gn,à w = wt + w n |x|2 w + w |x|2 3.3 dxdt n T }, v CHNG MINH BT NG THC CARLEMAN Mt s tớnh cht ca hm trng Trong mc ny chỳng tụi chng chng minh mt s tớnh cht ca hm trng m cn cho chng minh nh lớ 3.3, (Mnh 3.3 lun ỏn) 3.3.2 Chng minh nh lớ 3.3 Ta s theo cỏc bc chng minh S Ervedoza (2008) v xột th v n |x|2 phn chớnh ca toỏn t ch rừ s ph thuc vo n chng minh bt ng thc Carleman, ta cn n bt ng Hardy ci tin sau m c suy t H qu 3, Mc 2.1.6 V G Mazja (1985) B 3.1 Vi b chn bt kỡ ca RN1 , tn ti hng s C0 > cho |z|2 |z|2 dx C0 dx, z H01 (1 ) |z| dx (N1 ) |x| 1 |x| 19 Chng TNH IU KHIN C V CA MT LP PHNG TRèNH PARABOLIC MT CHIU NA TUYN TNH SUY BIN VI TH V Kè D Trong chng ny chỳng tụi nghiờn cu tớnh iu khin c v ca mt lp phng trỡnh parabolic mt chiu na tuyn tớnh suy bin vi th v kỡ d bng cỏch s dng nh lớ im bt ng Schauder v phng phỏp HUM m ú chỳng tụi s dng bt ng thc Carleman ó c thit lp bi Vancostenoble (2011) Ni dung ca chng ny da trờn bi bỏo [2] Danh mc cụng trỡnh ó cụng b ca chỳng tụi 4.1 T BI TON t QT = (0, T ) ì (0, 1) Ta xột bi toỏn na tuyn tớnh sau: u + f (x, t, u) = h, (x, t) QT , u (x u ) t x x x (4.1) u(0, t) = u(1, t) = 0, t (0, T ), u(0, x) = u , x (0, 1), ú u0 L2 (0, 1), h L2 ( ì (0, T )), < 1, v = (0, 1) õy, l hm c trng ca v gi thit rng hm f : QT ì R R l hm liờn tc theo c ba bin, kh vi liờn tc theo bin th ba v tha f (x, t, 0) = Hn na gi s tn ti hng s dng L > cho vi mi (x, t) QT , |f (x, t, u) f (x, t, v)| L|u v| u, v R Ta t () = (1 )2 /4 v xột toỏn t Au = (x ux )x + th v di ti hn [0, 1), < < , R, [0, 1), = , < () 20 (4.2) u vi x (4.3) 4.2 4.2.1 TNH T NG CA BI TON Khụng gian hm v toỏn t Vi th v di ti hn, tc l (4.3) tha món, xỏc nh ca toỏn t A c xỏc nh bi { } D(A) := u H,0 (0, 1)Hloc ((0, 1]) | (x ux )x + u L (0, 1) , x ú (0, 1) H,0 { := u : [0, 1] R | u liờn tc tuyt i [0, 1], } x ux L (0, 1) v u(0) = u(1) = Khi ú H,0 (0, 1) l khụng gian Banach vi chun ( )1/2 uH,0 = x ux dx Ta cú kt qu sau (xem, chng hn, nh lớ 6.1-6.4 AlabauBoussouira-Cannarsa-Fragnelli (2006)) B 4.1 Ta cú cỏc phộp nhỳng sau l compact: (0, 1) L2 (0, 1); (i) H,0 (ii) D(A) H,0 (0, 1); (iii) H (0, T ; L2 (0, 1)) L2 (0, T ; D(A)) C([0, T ]; L2 (0, 1)) (0, 1)) L2 (0, T ; H,0 4.2.2 Tớnh t ỳng ca bi toỏn nh lớ 4.1 Gi s rng (4.3) v (4.2) tha món, v u0 L2 (0, 1), T > cho trc Khi ú bi toỏn (4.1) cú nht nghim yu u tha 1 (0, 1)) H (0, T ; H,0 (0, 1)), u C([0, T ]; L2 (0, 1)) L2 (0, T ; H,0 21 1 (0, 1) l khụng gian i ngu ca H,0 ú H,0 (0, 1) Hn na ta cú ỏnh giỏ: u2L2 (0,T ;H + u2C([0,T ];L2 (0,1)) ( ) 2 exp(C(, , , )(1+T )(1+L)) u0 L2 (0,1) + hL2 (ì(0,T )) , ,0 (0,1)) vi hng s dng C(, , , ) khụng ph thuc u0 , T, L v h Nu u0 H,0 (0, 1), thỡ bi toỏn (4.1) cú nht nghim tha u H (0, T ; L2 (0, 1)) L2 (0, T ; D(A)) C([0, T ]; H,0 (0, 1)) Hn na ta cú ỏnh giỏ u2L2 (0,T ;D(A)) + u2L (0,T ;H ,0 (0,1)) exp(C(, , , )(1+L)(1+T )) ( + u2H (0,T ;L2 (0,1)) u0 2H ,0 + h2L2 (ì(0,T )) ) , vi hng s dng C(, , , ) khụng ph thuc vo u0 , T, L v h nh lớ 4.1 c chng minh theo phng phỏp compact 4.3 4.3.1 TNH IU KHIN C V Tớnh iu khin c v ca bi toỏn tuyn tớnh húa Ta xột bi toỏn tuyn tớnh tng ng vi bi toỏn (4.1): u + c(x, t)u = h, (x, t) QT , u (x u ) t x x x u(0, t) = u(1, t) = 0, t (0, T ), u(0, x) = u , x (0, 1), (4.4) ú c(x, t) L (QT ), h L2 ( ì (0, T )) S dng bt ng thc Carleman bi J Vancostenoble (2011) v theo phng phỏp HUM, ta chng minh c tớnh iu khin c v ca (4.4) 22 nh lớ 4.2 Vi gi thit (4.3) v c(x, t) L (QT ), ú vi mi T > v mi u0 L2 (0, 1) cho trc, tn ti h L2 ( ì (0, T )) cho nghim u ca (4.4) tha u(ã, T ) = 0, tc l, bi toỏn (4.4) iu khin c v Hn na T h dxdt CT u20 dx, (4.5) 0 { ( )} 2k1 vi CT = exp C + T + T + + (1 + T )c + c , ú T hng s dng C = C(2 , , , , ) v khụng ph thuc vo c , u0 v T 4.3.2 Tớnh iu khin c v ca bi toỏn na tuyn tớnh nh lớ sau chng minh bng cỏch s dng nh lớ 4.2 v nh lớ im bt ng Schauder (0, 1) cho trc Vi cỏc gi nh lớ 4.3 Gi s T > v u0 H,0 thit (4.2) v (4.3), bi toỏn (4.1) iu khin c v 0, tc l tn ti iu khin h L2 ( ì (0, T )) cho bi toỏn (4.1) cú nghim u tha u(ã, T ) = Hn na, hm iu khin tha T h dxdt C T u20 dx, (4.6) 0 )} { ( , vi hng s C T = exp C + T + T 2k1 + + (1 + T )L + L2 T ú C = C(, , , , ) v khụng ph thuc vo L, u0 v T S dng tớnh trn ca nghim v nh lớ 4.3, ta cú kt qu chớnh ca chng nh lớ 4.4 Gi s T > v u0 L2 (0, 1) cho trc Vi cỏc gi thit (4.2) v (4.3), bi toỏn (4.1) iu khin c v 0, tc l tn ti h L2 ( ì (0, T )) cho bi toỏn (4.1) cú nghim u tha u(ã, T ) = Hn na, hm iu khin tha T h dxdt C T u20 dx, (4.7) vi C T cú dng nh nh lớ 4.3 23 KT LUN KT QU T C Trong lun ỏn ny, chỳng tụi ó nghiờn cu tớnh iu khin c ca lp phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin khụng cú/cú th v kỡ d trng hp nhiu chiu v lp phng trỡnh parabolic mt chiu na tuyn tớnh suy bin cú th v kỡ d Cỏc kt qu chớnh t c l: i vi bi toỏn iu khin ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin trng hp hỡnh hp nhiu chiu: Chng minh c tớnh iu khin c v ti mi thi im T > s (0, 1) (suy bin yu) Khi s = (suy bin mnh) ta chng minh c tớnh iu khin c v thi gian iu khin ln v tớnh khụng iu khin c v thi gian iu khin quỏ nh Chng minh c tớnh khụng iu khin c v s > (suy bin quỏ mnh) Chng minh c tớnh iu khin c v thi gian iu khin ln ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin s = vi th v kỡ d à/|x|2 trng hp nhiu chiu Chng minh c tớnh iu khin c v ca mt lp phng trỡnh parabolic mt chiu na tuyn tớnh suy bin cú th v kỡ d KIN NGH MT S VN NGHIấN CU TIP THEO Bờn cnh cỏc kt qu ó t c lun ỏn, mt s m cn tip tc nghiờn cu nh: Nghiờn cu tớnh iu khin c v ca phng trỡnh parabolic cha toỏn t Grushin vi th v kỡ d s (0, 1) Nghiờn cu tớnh iu khin c v ca lp phng trỡnh parabolic mt chiu na tuyn tớnh suy bin cú th v kỡ d trng hp ti hn Nghiờn cu tớnh iu khin c ca phng trỡnh parabolic suy bin/kỡ d iu khin nm trờn biờn (bi toỏn iu khin biờn) õy l rt khú, c trng hp mt chiu 24 DANH MC CC CễNG TRèNH CễNG B CA LUN N C T Anh and V M Toi (2013), Null controllability of a parabolic equation involving the Grushin operator in some multi-dimensional domains, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Vol 93, 181-196 (ISI) C T Anh and V M Toi (2015), Null controllability for semilinear degenerate/singular parabolic equations, Fixed Point Theory, Vol 16, 15-30 (ISI) C T Anh and V M Toi (2016), Null controllability in large time of a parabolic equation involving the Grushin operator with an inverse-square potential, Nonlinear Differential Equations and Applications, Vol 23, no 2, 23:20 (ISI) Cỏc kt qu ca lun ỏn ó c bỏo cỏo ti: i hi Toỏn hc ton quc ln th VIII, Nha Trang, 08/2013; Hi tho quc t "On Equilibrium and Fixed Point Problems Theory and Algorithms", Vin NCCC v Toỏn, H Ni, 25-26/08/2014; Hi tho quc t "Some Selected Problems in Optimization and Control Theory", Vin NCCC v Toỏn, H Ni, 04-07/02/2015; Hi tho Ti u v Tớnh toỏn khoa hc ln th XIII, Ba Vỡ, 23-25/04/2015; Xờmina ca B mụn Gii tớch, Khoa Toỏn-Tin, Trng i hc S phm H Ni; Xờmina ca phũng Phng trỡnh vi phõn, Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam Xờmina ca B mụn Toỏn ng dng v Tớnh toỏn khoa hc, Khoa Toỏn-C-Tin hc, Trng i hc Khoa hc T nhiờn, HQG H Ni [...]... minh được tính không điều khiển được về 0 khi s > 1 (suy biến quá mạnh) • Chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin khi s = 1 với thế vị kì dị µ/|x|2 trong trường hợp nhiều chiều • Chứng minh được tính điều khiển được về 0 của một lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị 2 KIẾN NGHỊ MỘT SỐ... quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu như: • Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin với thế vị kì dị khi s ∈ (0, 1) • Nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị kì dị trong trường hợp tới hạn • Nghiên cứu tính điều khiển được của phương trình parabolic. .. quả chính đạt được là: • Đối với bài toán điều khiển của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp nhiều chiều: Chứng minh được tính điều khiển được về 0 tại mọi thời điểm T > 0 khi s ∈ (0, 1) (suy biến yếu) Khi s = 1 (suy biến mạnh) ta chứng minh được tính điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển đủ lớn và tính không điều khiển được về 0 khi thời gian điều khiển quá nhỏ... mà được suy ra từ Hệ quả 3, Mục 2.1.6 trong V G Maz’ja (1985) Bổ đề 3.1 Với miền bị chặn bất kì Ω1 của RN1 , tồn tại hằng số C0 > 0 sao cho ∫ ∫ ∫ |z|2 |z|2 2 ∗ dx ≥ C0 dx, ∀z ∈ H01 (Ω1 ) |∇z| dx − µ (N1 ) 2 Ω1 |x| Ω1 Ω1 |x| 19 Chương 4 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MỘT CHIỀU NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN VỚI THẾ VỊ KÌ DỊ Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được. ..Chương 2 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic chứa toán tử Grushin trong trường hợp hình hộp nhiều chiều Đầu tiên, chúng tôi đặt bài toán và phát biểu kết quả chính của chương Sau đó, chúng tôi đi chứng minh các kết quả bổ trợ bao gồm: tính đặt đúng của bài toán, khai... u(·, T ) = 0 Hơn nữa, hàm điều khiển thỏa mãn ∫ T ∫ ∫ 1 h dxdt ≤ C T 2 0 ω u20 dx, (4.7) 0 với C T có dạng như trong Định lí 4.3 23 KẾT LUẬN 1 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu tính điều khiển được của lớp phương trình parabolic chứa toán tử Grushin không có/có thế vị kì dị trong trường hợp nhiều chiều và lớp phương trình parabolic một chiều nửa tuyến tính suy biến có thế vị... theo, sử dụng phương pháp HUM, khai triển Fourier, các đánh giá về tốc độ tán xạ và bất đẳng thức Carleman mới vừa thiết lập, việc chứng minh tính điều khiển được đưa về tính quan sát được đều đối với tần số của hệ số Fourier của hệ liên hợp sau khi đã biến đổi Fourier Tính không điều khiển được về 0 trong trường hợp suy biến quá mạnh được chứng minh trong phần cuối của chương Nội dung của chương này... T2 , bài toán (2.8) không quan sát được trong ω1 đều theo α; • Nếu s > 1, thì với mọi T > 0, bài toán (2.8) không quan sát được trong ω1 đều theo α Chứng minh của định lí này bằng cách chọn hàm thử và sử dụng chặn trên của tốc độ tán xạ (2.4) mà sao cho tính quan sát được đều không xảy ra 14 Chương 3 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 KHI THỜI GIAN ĐỦ LỚN CỦA PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN VỚI... (0,1)) ∥u0 ∥2H 1 α,0 + ∥h∥2L2 (ω×(0,T )) ) , với hằng số dương C(η, α, λ, β) không phụ thuộc vào u0 , T, L và h Định lí 4.1 được chứng minh theo phương pháp compact 4.3 4.3.1 TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VỀ 0 Tính điều khiển được về 0 của bài toán tuyến tính hóa Ta xét bài toán tuyến tính tương ứng với bài toán (4.1):  λ  α  u + c(x, t)u = 1ω h, (x, t) ∈ QT , u − (x u ) − t x x   xβ u(0, t) = u(1, t)... công trình đã công bố của chúng tôi 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN VÀ PHÁT BIỂU KẾT QUẢ CHÍNH Ta nghiên cứu tính điều khiển được về 0 của phương trình parabolic tuyến tính chứa toán tử Grushin sau:   u − ∆x u − |x|2s ∆y u = v(x, y, t)1ω ,   t u = 0,    u(x, y, 0) = u0 (x, y), (x, y, t) ∈ Ω × (0, T ), (x, y, t) ∈ ∂Ω × (0, T ), (2.1) (x, y) ∈ Ω, ở đó Ω := Ω1 × (0, 1)N2 , Ω1 = (−1, 1)N1 ⊂ RN1 , hàm điều khiển

Ngày đăng: 02/08/2016, 17:23

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan