SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trƣờng THPT Bình Sơn  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH Người thực : Phan Văn Hóa Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn : Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác Có đính kèm :  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh Năm học 2012 – 2013      Hiện vật khác Sở GD&ĐT Đồng Nai Trƣờng THPT Bình Sơn CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC  I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : Họ tên : Phan Văn Hóa Ngày tháng năm sinh : 06/05/1979 Nam, nữ : Địa : Điện thoại : Nam Ấp – Bình Sơn - Long Thành - Đồng Nai Cơ quan : 0613.533.100 ĐTDĐ : 0985801064 E-mail : phanvanhoa79@yahoo.com Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THPT Bình Sơn II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : - Học vị : Cử nhân - Năm nhận : 2004 - Chuyên ngành đào tạo : Toán học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC : - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Toán học - Số năm có kinh nghiệm : - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần : + Ứng dụng định lí Vi-ét vào việc giải toán + Một số sai lầm tính tích phân + Một số sai lầm giải phương trình lôgarit Phần : THUYẾT MINH SKKN ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH Người thực : Phan Văn Hóa Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác     Thuyết minh sáng kiến kinh nghiệm : ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Trong đề thi Đại học, Cao đẳng, THCN năm toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình thiếu học sinh THPT, toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình toán khó Phương trình, bất phương trình hệ phương trình chủ đề hay, có nhiều phương pháp giải, phương pháp có nét riêng Trong trình giảng dạy mình, đặc biệt trình dạy ôn thi đại học nhận thấy phương pháp hàm số phương pháp hay, độc đáo Phương pháp phát huy tốt tư sáng tạo, khả phân tích, phán đoán học sinh, đồng thời đòi hỏi người vận dụng kĩ phân tích, lập luận, tính toán xác, khoa học Với ưu điểm nên chọn đề tài : ‘‘Ứng dụng phƣơng pháp hàm số để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình’’ để trao đổi với đồng nghiệp II THỰC TRẠNG TRƢỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI : Thuận lợi : - Các tài liệu tham khảo dễ tìm, giúp đỡ đồng nghiệp Khó khăn : - Có phận không nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ - Kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều III NỘI DUNG ĐỀ TÀI : Cơ sở lý luận : Môn toán trường THPT môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian chương trình học học sinh Môn toán có tầm quan trọng to lớn Nó môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người Môn toán có khả giáo dục lớn việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư cần thiết để người phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho người lao động thời đại Một số biện pháp thực giải pháp đề tài : Phát huy tính tích cực học sinh, ứng dụng kiến thức học trình học tập Để phát huy điều đó, cần phải mạnh dạn cải tiến phương pháp giúp học sinh hiểu vấn đề tốt hơn, áp dụng biện pháp giảng dạy có hiệu Vì kiến thức phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh làm để hiểu giải đạt hiệu cao IV BÀI HỌC KINH NGHIỆM : Khi nghiên cứu đề tài “Ứng dụng phƣơng pháp hàm số để giải phƣơng trình, bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình”, nhận thấy thân mở rộng thêm kiến thức, nâng cao hiểu biết Bên cạnh mặt đạt hạn chế, số học sinh giải toán cách rập khuôn, máy móc Tôi cố gắng tìm biện pháp để nâng cao hiệu năm tới Trong viết đề tài này, thân không tránh khỏi sai sót, mong anh chị đồng nghiệp góp ý chân thành để rút kinh nghiệm cho năm sau viết sáng kiến kinh nghiệm tốt V KẾT LUẬN : Ứng dụng phương pháp hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình dạng toán hay tương đối khó khăn việc phát dấu hiệu áp dụng giải nhiều học sinh Để học sinh làm tốt toán dạng giáo viên cần cho học sinh rèn luyện nhiều, đồng thời cần phân tích dấu hiệu áp dụng toán để tập cho học sinh cách nhìn nhận, phân tích toán khác Khi áp dụng đề tài giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề này, từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau dồi thêm kiến thức phương trình, bất phương trình hệ phương trình, từ chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kì thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng THCN Tuy nhiên, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều nên đề tài có khiếm khuyết, mong nhận góp ý đồng nghiệp để nhìn nhận hoàn thiện kiến thức mình, nâng cao chất lượng giảng dạy môn Tôi xin chân thành cảm ơn! VI TÀI LIỆU THAM KHẢO : Tuyển tập chuyên đề luyện thi môn toán Đại số sơ cấp ( Trần Phương – Lê Hồng Đức – NXB Hà Nội - 2007) Đại số sơ cấp thực hành giải toán ( Hoàng Kì – Hoàng Thanh Hà - NXB ĐH Sư Phạm - 2005 ) Phƣơng trình bất phƣơng trình (Phan Huy Khải – NXB GD - 2009) Giải toán Đại số Giải tích 11 (Trần Thành Minh – NXB GD – 2005) Phƣơng pháp giải toán trọng tâm (Phan Huy Khải – NXB ĐH Sư Phạm - 2009) Dạy học phân hóa qua tổ chức ôn tập số chủ đề phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ ( Nguyễn Quang Trung – ĐHSP Thái Nguyên – 2007) Tạp chí Toán học Tuổi trẻ Bình Sơn, ngày 18 tháng năm 2013 Người thực Phan Văn Hóa Phần hai : NỘI DUNG SKKN ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH Người thực : Phan Văn Hóa Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác     Sáng kiến kinh nghiệm : ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH I LÝ THUYẾT: Định lí 1: Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f ( x)  k không nhiều nghiệm f ( x)  f ( y) x  y với x, y  D Chứng minh: Giả sử phương trình f ( x)  k có nghiệm x  x0 , tức f ( x0 )  k Do hàm số f đồng biến nên: * x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k nên phương trình f ( x)  k vô nghiệm * x  x0  f ( x)  f ( x0 )  k nên phương trình f ( x)  k vô nghiệm Vậy phương trình f ( x)  k có nhiều nghiệm Định lí 2: Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số y  g ( x) nghịch biến (hoặc đồng biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f ( x)  g ( x) không nhiều nghiệm Chứng minh: Giả sử phương trình f ( x)  g ( x) có nghiệm x  x0 , tức f ( x0 )  g ( x0 ) Giả sử hàm số f đồng biến hàm số g nghịch biến nên: * x  x0  f ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )  g ( x) nên phương trình f ( x)  g ( x) vô nghiệm * x  x0  f ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )  g ( x) nên phương trình f ( x)  g ( x) vô nghiệm Vậy phương trình f ( x)  g ( x) có nhiều nghiệm Định lí 3: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm đến cấp n f ( k ) ( x)  có m nghiệm Khi f ( k 1) ( x)  có nhiều m + nghiệm Định lí 4: Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D f ( x)  f ( y)  x  y,( x  y) với x, y  D II PHƢƠNG PHÁP: Để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình phương pháp hàm số, thông thường ta thực theo bước sau: * Tìm điều kiện ẩn số * Xét hàm số f(x) * Xét tính đơn điệu hàm số f(x) * Dựa vào tính đơn điệu hàm số để kết luận III VÍ DỤ ÁP DỤNG: Ví dụ 1: Giải phương trình x  x   x   x  16  14 (1) Giải: Điều kiện: x  Nhận thấy x  nghiệm phương trình (1) Xét hàm số f ( x)  x  x   x   x  16 khoảng  5;   1    với x   5;   x x 5 x7 x  16 Suy hàm số f ( x) đồng biến khoảng  5;   Mặt khác f (9)  14 , (1) f '( x)   có nghiệm x  Ví dụ 2: Giải phương trình x    x2  x  17 (2) Giải: Điều kiện: x  Ta có: x    x2  x  17  x   x2  x  17  Nhận thấy x  nghiệm phương trình (2) Xét hàm số f ( x)  x   x2  x  17 khoảng 1;    2( x  1)  với x  1;   x 1 Suy hàm số f ( x) đồng biến khoảng 1;   Mặt khác f (5)  , (2) có f '( x)  nghiệm x  Ví dụ 3: Giải phương trình x   3x2  8x  (3) Giải: Điều kiện: x  1 Ta có: x   3x2  8x   x   3x2  8x   Nhận thấy x  1 nghiệm phương trình (3) Xét hàm số f ( x)  x   3x2  8x  khoảng  1;    6x  x 1 3 f ''( x)    với x   1;   ( x  1)3 f '( x)   Hàm số f ''( x) nghịch biến khoảng  1;   Do phương trình f '( x)  có nhiều nghiệm, suy phương trình f ( x)  có nhiều hai nghiệm Mặt khác f (0)  f (3)  , (3) có hai nghiệm x  0; x  Ví dụ 4: Giải phương trình x3 15x2  78x  141  2x  (4) Giải: Điều kiện: x  R Ta có: x3 15x2  78x  141  2x   ( x  5)3  5( x  5)  (2 x  9)  x  (*) Xét hàm số f (t )  t  5t R f '(t )  3t   với t  R  Hàm số f (t ) đồng biến R Phương trình (*) có dạng: f  x  5  f  x    x   x   ( x  5)3  x   x3  15x2  73x  116  x   ( x  4)( x  11x  29)     x  11   11  Ví dụ 5: Giải phương trình x3  x  ( x  1) x   (5) Vậy phương trình (4) có nghiệm x  4; x  Giải: Ta có: x  x  ( x  1) x    8x3  x  [(2 x  1)  1] x  Điều kiện: x     2x   2x    x   x  (*) Xét hàm số f (t )  t  t R f '(t )  3t   với t  R  Hàm số f (t ) đồng biến R Phương trình (*) có dạng: f  x   f  x  1  x  x  x     x   x   1 (thỏa mãn điều kiện)    x  4 x  x     x     1 Ví dụ 6: Giải phương trình ( x  3) x   ( x  3)  x  x  (6) Vậy phương trình (5) có nghiệm x  Giải: Điều kiện: 1  x  Ta có: ( x  3) x   ( x  3)  x  x   ( x  1) x   x   x   (1  x)  x   x   x     x 1   x 1  x 1   1 x   1 x    x (*) Xét hàm số f (t )  t  t  t R f '(t )  3t  2t   với t  R  Hàm số f (t ) đồng biến R Phương trình (*) có dạng: f  x  1  f   x   x    x 1  x  x     x  (thỏa mãn điều kiện) x 1  1 x x  Vậy phương trình (6) có nghiệm x      Ví dụ 7: Giải phương trình  x  1  x2  x   3x  x   (7) Giải: Điều kiện: x  R      x  1   (2 x  1)    (3x)   (3x)   Xét hàm số f (t )  t   t   R  Ta có:  x  1  x2  x   3x  x   2 (*) f '(t )   t   t2 t2   với t  R  Hàm số f (t ) đồng biến R Phương trình (*) có dạng: f  x  1  f  3x   x   3x  x   5 Vậy phương trình (7) có nghiệm x   Ví dụ 8: Giải phương trình ( x  1)2  x   ( x  5) x   3x  31  (8) Giải: Điều kiện: x  Ta có: ( x  1)2  x   ( x  5) x   3x  31   x   ( x  1)2  x      x  1   x  1  Xét hàm số f (t )  t  t  2t 1;     x  1 (*) f '(t )  3t  2t   0, t  1;    Hàm số f (t ) đồng biến 1;   Phương trình (*) có dạng: f  x  1  f  x   1  x   x   (**) u  x  Đặt   u  x    u3  v2   v  x  v  x  8, v   Khi phương trình (**) chuyển hệ phương trình sau: u  v  v  u  v  u  u        v  u  v  u  (u  1)   u  u  2u    u  x 1   x 1  Với     x9 x   x   v     Vậy phương trình (8) có nghiệm x  Ví dụ 9: Giải bất phương trình x2  x   x2  x  11   x  x  (9) Giải: Điều kiện:  x  Ta có: x2  x   x2  x  11   x  x   x2  x   x   x  x  11   x  ( x  1)2   x   (3  x)2    x (*) Xét hàm số f (t )  t   t với t  f '(t )  t t 2  t  với t   0;    Hàm số f (t ) đồng biến khoảng  0;   Bất phương trình (*) có dạng: f  x 1  f   x   x    x  x  Kết hợp với điều kiện  x  , suy nghiệm bất phương trình (9)  x   x3  x  y  y Ví dụ 10: Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y  Giải: Xét hàm số f (t )  t  7t với t  R f '(t )  3t   với t  R  Hàm số f (t ) đồng biến R Phương trình thứ hệ có dạng: f  x   f  y   x  y  1 1 y x  2 Thế vào phương trình hai hệ ta được: x  x      1 1 y x   2  1 1   1 1  Vậy hệ cho có hai nghiệm  x; y    ; ;   x; y         2  (4 x  1) x  ( y  3)  y  Ví dụ 11: Giải hệ phương trình  2  4 x  y   x  Giải:   x  Điều kiện:  y   Phương trình thứ hệ tương đương với: (4 x2  1) x  (3  y)  y  2(4 x2  1) x  2(3  y)  y  8x3  x  (5  y  1)  y   2x   2x    2y   y (*) Xét hàm số f (t )  t  t với t  R f '(t )  3t   với t  R  Hàm số f (t ) đồng biến R Phương trình (*) có dạng: f  x   f   y   x   y x  x     y  x2  4 x   y   2 Thế vào phương trình hai hệ ta được: x    x    x   (**) 2  Nhận thấy x  x  nghiệm phương trình (**) 2 Xét hàm số f ( x)  x    x    x  khoảng  0;  2   4 4 5   3 f '( x)  x  x   x    x(4 x  3)   với x   0;   4x  4x 2   4 Suy hàm số f ( x) nghịch biến khoảng  0;  Mặt khác f    , (**) 2  4 có nghiệm x  , suy y  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y    ;  2  2 x3  x  x   y  Ví dụ 12: Giải hệ phương trình  3x   y Giải:  x   Phương trình thứ hai hệ tương đương với:   y  3x   Thế y  3x  vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x3  x2  5x   2(3x  1) 3x   x3  x2  x   x2  x   3x   2(3x  1) 3x    2( x3  3x2  3x  1)  ( x2  x  1)   2(3x  1) 3x   3x    2( x  1)3  ( x  1)2   2( 3x  1)3  ( 3x  1)2  (*) Xét hàm số f (t )  2t  t  với t  f '(t )  6t  2t  với t   Hàm số f (t ) đồng biến  0;   Phương trình (*) có dạng: f  x  1  f  3x    x   3x   x  1  x  1  x  1 x   y       x    x  1 y   x  x   3x   x  x   x   Vậy hệ cho có nghiệm  x; y   1;2   x; y    0;1 IV BÀI TẬP TƢƠNG TỰ: Giải phương trình Giải phương trình Giải phương trình Giải phương trình Giải phương trình Giải phương trình Giải phương trình Giải phương trình Giải bất phương trình x 1  x2    x x    x3  x  x  x   3x   x3  x  (2 x  7) x   ( x  1)2  x     x 1  x3   x   x  x   x   2x2   x2 x    x  x2  x  3  2x   2x  2x 1  x 1  10 Giải hệ phương trình 11 Giải hệ phương trình 12 Giải hệ phương trình 13 Giải hệ phương trình 14 Giải hệ phương trình 15 Giải hệ phương trình 3   x  y  y  3x  6   x  y  64 3   x  y  y  5x   x  y  10   x  xy  y  y    4x   y    (8 x  3) x   y  y    4 x  x  y  y  y    2(2 x  1)  x   (2 y  3) y     4x   y   y 1  x  x  2x   1  x 1   y  y  y   1 Bình Sơn, ngày 18 tháng năm 2013 Người thực Phan Văn Hóa Sở GD&ĐT Đồng Nai Trƣờng THPT Bình Sơn CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc  Bình Sơn, ngày 18 tháng năm 2013 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 2012 – 2013 Tên sáng kiến kinh nghiệm : ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH Họ tên tác giả : Phan Văn Hóa Lĩnh vực : Quản lý giáo dục  Phương pháp giáo dục  Tổ : Toán - Tin Phương pháp dạy học môn  Lĩnh vực khác  Tính : - Có giải pháp hoàn toàn  - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có  Hiệu : - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  Khả áp dụng : - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách : Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống : Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng : Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Kí ghi rõ họ tên) THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ (Kí, ghi rõ họ tên đóng dấu) [...]... kinh nghiệm : ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH Họ và tên tác giả : Phan Văn Hóa Lĩnh vực : Quản lý giáo dục  Phương pháp giáo dục  Tổ : Toán - Tin Phương pháp dạy học bộ môn  Lĩnh vực khác  1 Tính mới : - Có giải pháp hoàn toàn mới  - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có  2 Hiệu quả : - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong...  x  0  x  1  Vậy hệ đã cho có nghiệm là  x; y   1;2  hoặc  x; y    0;1 IV BÀI TẬP TƢƠNG TỰ: 1 Giải phương trình 2 Giải phương trình 3 Giải phương trình 4 Giải phương trình 5 Giải phương trình 6 Giải phương trình 7 Giải phương trình 8 Giải phương trình 9 Giải bất phương trình 2 x 1  x2  3  4  x x  1   x3  4 x  5 x 5  x 3  1  3x  4  0 x3  4 x  (2 x  7) 2 x  3  0... x3  5  2 3 2 x  1  x  0 x  2  3 x  1  3 2x2  1  3 2 x2 x  2  3  x  x2  x  1 5 3 3  2x   2x  6 2x 1 3  x 1  10 Giải hệ phương trình 11 Giải hệ phương trình 12 Giải hệ phương trình 13 Giải hệ phương trình 14 Giải hệ phương trình 15 Giải hệ phương trình 3 3   x  3 y  y  3x  6 6   x  y  64 3 3   x  5 y  y  5x  8 4  x  y  1 5 4 10 6   x  xy  y  y  2   4x... Xét hàm số f (t )  t 2  2  t với t  0 f '(t )  t t 2 2  1 2 t  0 với t   0;    Hàm số f (t ) đồng biến trên khoảng  0;   Bất phương trình (*) có dạng: f  x 1  f  3  x   x  1  3  x  x  2 Kết hợp với điều kiện 1  x  3 , suy ra nghiệm của bất phương trình (9) là 2  x  3  x3  7 x  y 3  7 y Ví dụ 10: Giải hệ phương trình  2 2  x  y  x  y  2 Giải: Xét hàm số. .. những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao  3 Khả năng áp dụng : - Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách : Tốt  Khá  Đạt  - Đưa ra các giải pháp. ..  Hàm số f (t ) đồng biến trên R Phương trình thứ nhất của hệ có dạng: f  x   f  y   x  y  1 5 1 5 y x  2 2 Thế vào phương trình hai của hệ ta được: 2 x 2  2 x  2  0    1 5 1 5 y x   2 2  1 5 1 5   1 5 1 5  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là  x; y    ; ;  hoặc  x; y     2  2   2  2 2  (4 x  1) x  ( y  3) 5  2 y  0 Ví dụ 11: Giải hệ phương trình. .. do đó (**) 2  4 1 có nghiệm duy nhất là x  , suy ra y  2 2 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm là  x; y    ; 2  2  2 x3  7 x 2  5 x  4  2 y 3  2 Ví dụ 12: Giải hệ phương trình  2 3x  1  y Giải: 1  x   3 Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:   y  3x  1  Thế y  3x  1 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: 2 x3  7 x2  5x  4  2(3x  1) 3x  1  2 x3  6 x2  6... 2 2 5 Thế vào phương trình hai của hệ ta được: 4 x    2 x 2   2 3  4 x  7  0 (**) 2  3 Nhận thấy x  0 và x  không phải là nghiệm của phương trình (**) 4 2 2 3 5 Xét hàm số f ( x)  4 x    2 x 2   2 3  4 x  7 trên khoảng  0;  2   4 2 4 4 5   3 f '( x)  8 x  8 x   2 x 2    4 x(4 x 2  3)   0 với x   0;  3  4x 3  4x 2   4 1 3 Suy ra hàm số f ( x)... Khá  Đạt  - Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống : Tốt  Khá  Đạt  - Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng : Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Kí và ghi rõ họ tên) THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ (Kí, ghi rõ họ tên và đóng dấu) ... Khi đó phương trình (**) chuyển về hệ phương trình sau: u  v  1 v  u  1 v  u  1 u  2  3    3 2   2 3 2 v  1 u  v  7 u  (u  1)  7  0 u  u  2u  8  0 3  u  2 x 1  8  x 1  2 Với     x9 x  8  1 x  8  1 v  1    Vậy phương trình (8) có 1 nghiệm là x  9 Ví dụ 9: Giải bất phương trình x2  2 x  3  x2  6 x  11  3  x  x  1 (9) Giải: Điều kiện: