SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN  Mã số: ……………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòa Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: …………  Có đính kèm  Mô hình Phần mềm Phim ảnh Năm học: 2012-2013 -1- Hiện vật khác SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: Nguyễn Thị Hòa Ngày tháng năm sinh: 12/08/1988 Nam, nữ: Nữ Địa chỉ: Tổ 5- Ấp – xã Nam Cát Tiên - Tân Phú - Đồng Nai Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 01675691938 Fax: ………… E-mail: Hoadtnt88@gmail.com Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liên huyện Tân Phú – Định Quán II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Cao đẳng sư phạm - Năm nhận bằng: 2009 - Chuyên ngành đào tạo: Toán – Tin học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS - Số năm có kinh nghiệm: năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: -2- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức khái niệm học sinh làm quen chương trình toán Không học sinh gặp khó khăn việc chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức tùy vào toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau, có phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí Bài toán chứng minh bất đẳng thức vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Đặc biệt, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức Vì học sinh cần thiết phải nắm kiến thức bất đẳng thức Qua tình hình thực tế trường PT dân tộc nội trú, em học sinh người dân tộc thiểu số đến từ hai huyện Tân Phú - Định Quán, hoàn cảnh kinh tế gia đình khó khăn; quan tâm gia đình đến việc học em chưa thật sâu sắc Mặt khác, đa số em thích học môn vận động, khiếu, khả tư môn tự nhiên chậm, đặc biệt với toán chứng minh…Do đó, học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan bất đẳng thức, toán chứng minh bất đẳng thức thường cách giải mẫu, không theo phương pháp định nên học sinh không xác định hướng giải toán Mặt khác nhận thức học sinh có nhiều hạn chế khả tư chưa tốt học sinh lúng túng nhiều vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Trong nội dung đề tài xin giới thiệu số phương pháp hay sử dụng chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, biến đổi tương đương, dùng bất đẳng thức biết, phương pháp phản chứng, số tập vận dụng, nhằm giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, giúp học sinh khối tự định hướng phương pháp chứng minh hứng thú học bất đẳng thức nói riêng môn Toán nói chung Hy vọng với phần tài liệu này, giúp em nắm dạng toán “chứng minh bất đẳng thức” Đồng thời vận dụng chúng để làm số tập cách linh hoạt, khoa học Qua học sinh lĩnh hội kiến thức cách chủ động, sáng tạo hình thành thói quen vận dụng kiến thức vào môn học, vào thực tiễn II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận: Toán học môn khoa học tự nhiên có vai trò quan trọng lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu nhiều, đa dạng phong phú, toán bất đẳng thức toán khó, để giải toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức, học sinh phải có đam mê, tìm tòi để lĩnh hội kiến thức Toán học có vai trò quan trọng đời sống, khoa học công nghệ đại, việc nắm vững kiến thức toán học giúp cho học sinh có sở -3- nghiên cứu môn khoa học khác, đồng thời hoạt động có hiệu lĩnh vực Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức phong phú học sinh hình thành phương pháp chứng minh ứng dụng Bất đẳng thức Toán học chưa có Số học sinh hiểu điểm giỏi phần thấp chí không có, đa số em điểm Trung Bình Yếu Ngoài ra, số lượng thời gian nghiên cứu chuyên sâu phần Bất đẳng thức kiến thức chương trình THCS nên học sinh thời gian để ý đến kiến thức mà giáo viên giảng phần Do học sinh hứng thú học sinh bắt gặp dạng toán Bất đẳng thức CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Phương pháp dùng định nghĩa a/ Kiến thức: Định nghĩa bất đẳng thức: + a nhỏ b, kí hiệu a < b; + a lớn b, kí hiệu a > b; + a nhỏ b, kí hiệu a  b; + a lớn b, kí hiệu a  b; Ta gọi hệ thức a < b (hay a > b; a  b; a  b) bất đẳng thức a  b  a – b  0; a  b  a – b  b/ Phương pháp: Để chứng minh A  B, ta xét hiệu A - B chứng minh A - B  Lưu ý : A2  với A ; dấu '' = '' xảy A = c/ Ví dụ: a b Ví dụ 1: Cho a, b hai số dấu, chứng minh   b a Giải: a  b  2ab (a  b) a b  Xét hiệu H =   = ab ab b a 2 Vì a, b dấu nên ab > Mặt khác (a – b)2  (Dấu “=” xảy  a = b) a b a b Do H =       b a b a Ví dụ 2: Với số x, y, z Chứng minh x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) Giải : Ta xét hiệu H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z =(x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2  với x; (y - 1)2  với y; (z - 1)2  với z; Suy H  với x, y, z -4- Hay x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) với x, y, z Dấu xảy  x = y = z = Ví dụ 3: Cho a, b, c, d, e số thực Chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e) Giải : 2 2 Xét hiệu : H = a + b + c + d + e - a(b + c + d + e) a a a 2 a Do (  b )2  với a, b; a (  c )2  với a, c; a (  d )2  với a, d; a (  e )2  với a, e; Suy H  với a, b, c, d, e a = (  b )2 + (  c )2 + (  d )2 + (  e )2 Dấu '' = '' xảy  b = c = d = e = a d/ Bài tập: a2  b2  a  b   Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức:    1   Bài 2: Với ab > Chứng minh rằng: 2  ab 1 a 1 b Bài 3: Cho a + b > Chứng minh a4 + b4  Nhận xét: Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa phương pháp đơn giản phổ biến Trong phương pháp học sinh cần ý: (a  b)2  (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2bc +2ca +2abc  * Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức a/ Kiến thức: Một số tính chất bất đẳng thức: Tính chất 1: Tính chất đối xứng: a  b  b  a; Tính chất 2: Tính chất bắc cầu: a  b b  c  a  c; Tính chất 3: Tính đơn điệu phép cộng: a  b  a + c  b + c (Hoặc a  b  a + c  b + c); Hệ quả: a  b  a - c  b - c (Hoặc a  b  a - c  b - c); a + c  b  a  b – c; Tính chất 4: Tính đơn điệu phép nhân: a  b c   ac  bd; a  b c <  ac  bd Tính chất 5: a  c b  d  a + c  b + d; (Lưu ý: Không trừ chiều) -5- a  b c  d  a - c  b – d; Tính chất 6: a > b > 0; c > d >  ac > bd; Tính chất 7: a > b >  a2 > b2; |a| > |b|  a2 > b2 a > b  an > bn với n số tự nhiên lẻ Một số bất đẳng thức thông dụng: + Bất đẳng thức Côsi: Với số dương a, b ta có: ab  ab Dấu “=” xảy  a = b Mở rộng Với a, b, c,d  thì: abc    abc (dấu “=” xảy  a = b = c)   abcd     abcd (dấu “=” xảy  a = b = c = d)   + Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Với số a; b; x; y ta có ( ax + by )2  (a2 + b2)(x2 + y2); Dấu “=” xảy  a b  x y a b   với a, b > (Dấu “=” xảy  a = b); b a 1 +   với a, b > (Dấu “=” xảy  a = b); a b ab + + Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: a  b  a  b (Dấu “=” xảy  ab  0); a  b  a  b (Dấu “=” xảy  a  b  a  b  0); b/ Phương pháp: + Áp dụng tính chất bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh thành bất đẳng thức biết + Áp dụng tính chất bất đẳng thức biến đổi bất đẳng thức biết thành bất đẳng thức phải chứng minh c/ Ví dụ: Ví dụ 1: Cho a > 2, b > Chứng minh rằng: ab > a + b Giải Ta có: a > b >  ab > 2b (1) b > a >  ab > 2a (2) Cộng vế hai bất đẳng thức chiều (1) (2), ta được: 2ab > 2(a + b) Chia hai vế cho 2, ta được: ab > a + b Ví dụ 2: Giả sử a, b, c số dương Chứng minh rằng: a b c   2 bc ca ab Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: -6- a 2a  bc abc b 2b  , ca abc a + (b + c)  a(b  c)  Tương tự ta thu được: c 2c  ab abc Dấu ba bất đẳng thức đồng thời xảy ra, có: a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = (trái với giả thiết a, b, c số dương) Từ suy : a b c   2 bc ca ab Ví dụ 3: Với số a, b, c Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca Giải Cách 1: Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với 2, cộng –ab –2bc– 2ca vào hai vế bất phương trình vừa thu được, ta có: 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca  Hoặc (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2)  Hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2  bất đẳng thức với a, b, c tổng ba số không âm Đẳng thức xảy a = b = c Cách 2: Ta chứng minh bất đẳng thức cho xuất phát từ bất đẳng thức a2  b2 b2  c2 c2  a2  ab;  bc;  ca 2 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức này, ta được: a2  b2 b2  c2 c2  a2    ab  bc  ca 2 2 2  a + b + c  ab + bc + ca d/ Bài tập: Bài 1: Cho x , y số thực thoả mãn x2 + y2 = x  y  y  x Chứng minh : 3x + 4y  Bài 2: Cho a, b, c  ; a + b + c = Chứng minh rằng: a a  b  b  c  c  a  b a   b   c   3,5 Bài 3: Cho số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 1 1 Chứng minh rằng:    a b c 1 Bài 4: Cho x, y > Chứng minh rằng:   x y x y Nhận xét: Với phương pháp đòi hỏi cần có linh hoạt trình biến đổi, vận dụng tính chất phù hợp với toán Dựa vào kiến thức ta xét thêm số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức * Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương a/ Phương pháp: -7- Giả sử chứng minh A > B (1), ta biến đổi tương đương A> B  A1 > B1  A2 > B2  …  C > D Nếu bất đẳng thức cuối bất đẳng thức (1) Chú ý: Nếu chưa chứng tỏ bất đẳng thức cuối chưa thể kết luận bất đẳng thức b/ Ví dụ: Ví dụ 1: chứng minh bất đẳng thức (a + b)2  2(a2 + b2) Giải: 2 (a + b)  2(a + b )  (a + b)2 - 2(a2 + b2)  2  -(a – 2ab + b )   -(a – b)  Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên bất đẳng thức cho Ví dụ 2: Cho a, b hai số dương có tổng Chứng minh rằng: 1   a 1 b 1 Giải: 3(a + + b + 1)  4(a + 1) (b + 1)   4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)   4ab +   4ab  (a + b)  4ab  (a – b)  (Luôn đúng) Suy điều phải chứng minh a3  b3  a  b    ; a >0; b >0 Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức   Giải: Dùng phép biến đổi tương đương Với a > 0; b > => a + b > a3  b3  a  b  ab ab ab        .(a  ab  b )   .         ab 2   a - ab + b     2 2  4a - 4ab + 4b  a + 2ab + b 2 2  3a - 6ab + 3b  3(a - 2ab + b )   3(a – b)  a3  b3  a  b    Bất đẳng thức cuối đúng; suy   c/ Bài tập: a  b2  ab Bài 1: Chứng minh rằng:  với a, b     2 Bài 2: Chứng minh: a  b   ab  a  b với a, b 2 Bài 3: Chứng minh: a  b  c  ab  ac  bc với a, b, c -8- Bài 4: Cho a  b  Chứng minh rằng: 1   2 1 a 1 b  ab Bài 5: Cho a, b , c > Chứng minh rằng: 1 1    a  b3  abc b3  c  abc c  a  abc abc Chú ý đẳng thức sau: - Bình phương tổng, hiệu - Lập phương tổng, hiệu (a+ b + +c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a+ b + +c +d)2 = a2 + b2 + c2 +d2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da + 2ac + 2bd a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) * phương pháp dùng bất đẳng thức cạnh tam giác a/ Kiến thức: a, b, c độ dài ba cạnh tam giác  a < b+c (1) b < a+c (2) c < a+b (3) Từ bất đẳng thức tổng ba cạnh tam giác ta suy bất đẳng thức hiệu hai cạnh a < b+c (1)  a  b  c (4) b < a+c (2)  b  c  a (5) c < a+b (3)  c  a  b (6) b/ Ví dụ: Ví dụ 1:Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c độ dài cạnh tam giác) Chứng minh rằng: 1 1 1   2(   ) a b c p a pb pc Giải: bca  (Vì b + c > a) Tương tự p - b > 0; p - c > 0; Ta có p - a = 1 4    p  a p  b ( p  a )  ( p  b) c 1   Tương tự p b p c a 1   pa pc b Ta  2( 1 1 1   )  4(   ) pa pc pc a b c  điều phải chứng minh Dấu '' = '' xảy p - a = p - b = p - c  a = b = c Khi tam giác ABC tam giác Ví dụ 2: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác -9- Chứng minh rằng: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)  abc Giải: Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết b  c  a   a  (b  c)2  a c  a  b   b2  (c  a)2  b2 a  b  c   c  (a  b)2  c 2 2 2 2 2 Từ a  (b  c) b  (c  a) c  (a  b)  a b c  (a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b)  a b c 2 2 2  (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b)  a b c  (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)  abc 2 Vì a, b, c, ba cạnh tam giác nên a + b – c >0 b + c – a >0 c + a – b >0 abc >0 Vậy bất đẳng thức chứng minh c/ Bài tập: Bài 1: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c    2; bc ac ba 1 ; ; (b) độ dài ba cạnh tam giác ba bc ca (a) (c) a2(b + c – a) + b2(c + a – b) + c2(a + b – c)  3abc Bài 2: Cho a, b, c số đo cạnh tam giác Chứng minh rằng: (a) abc  (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) (b) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < (với a < b < c) * Phương pháp chứng minh phản chứng a/ Kiến thức: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức đúng, ta giả sử bất đẳng thức sai, sau vận dụng kiến thức biết giả thiết đề để suy điều vô lý Điều vô lý trái với giả thiết, điều trái nhược nhau, từ suy đẳng thức cần chứng minh Một số hình thức chứng minh phản chứng: + Dùng mệnh đề đảo; + Phủ định suy điều trái với giả thiết + Phủ định suy trái với điều + Phủ định suy hai điều trái ngược + Phủ định suy kết luận b/ Ví dụ: Ví dụ 1: Cho < a, b, c, d 3b(1 - c) > - 10 - 8c(1 - d) > 32d(1 - a) > Giải: Giả sử ngược lại bốn đẳng thức Nhân vế ta có 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > (Vì a, b, c, d số dương nhỏ 1)  a (1  a )b(1  b)c(1  c)d (1  d )  256 (1) Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a (1  a )  a 1 a 1   a(1 - a)  2 4 c(1 - c)  d(1 - d)  Tương tự b(1 - b)  Nhân bất đẳng thức; ta có: a(1  a)b(1  b)c(1  c)d (1  d )  256 (2) Từ (1) (2) suy vô lý Điều vô lý chứng tỏ bất đẳng thức cho đầu sai Ví dụ 2: Chứng minh số dương a, b, c thoả mãn ba bất 1 đẳng thức sau: a   ; b   ; c   c a b Giải (Phủ định suy hai điều trái ngược nhau) Giả sử tồn số dương a, b, c thoả mãn bất đẳng thức: 1 a   2; b   2; c   c a b Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 1 b c  b c a 1  (a  )  (b  )  (c  )  (1) a b c 1 Vì a, b, c > nên ta có (a  )  ; (b  )  ; (c  )  c b a 1  ( a  )  (b  )  (c  )  Điều mâu thuẫn với (1) a b c a Vậy không tồn số dương a, b, c thoả mãn bất đẳng thức nói  đpcm Ví dụ 3: Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b  Giải: (Phủ định suy trái với điều đúng) Giả sử a + b >  (a + b )3 > 3  a + b + 3ab(a + b) > - 11 - 3  + 3ab(a + b) > (Vì a + b = 2)  ab(a + b) > 3 3  ab(a + b) > a + b (Vì a + b = 2) Chia hai vế cho số dương a, b ta được: ab > a2 - ab + b2  > (a - b)2 (Vô lý) Vậy a + b  c/ Bài tập: Chứng minh số dương a, b, c thoả mãn bất đẳng thức sau: 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a ) > * Phương pháp dùng tính chất tỉ số a/ Kiến thức: Cho số dương a, b, c a ac a   b bc b a ac a + Nếu   b bc b a c a ac c  + Nếu b, d > từ    b d b bd d + Nếu b/ Ví dụ: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: 1 a b c   2 ab cb ac Giải a a ac   (3) abc ab abc b b ab   Tương tự ta có:  (4) abc cb abc c c cb   và:  (5) abc ca abc Do c >  cộng vế với vế bất đẳng thức kép(3),(4) (5) ta được: 1 a b c    (đpcm) ab cb ac c/ Bài tập: Cho số dương a1, a2, a3, b1, b2, b3 thoả: a1 a a3   b1 b2 b3 a1 a1  a  a3 a3   b1 b1  b2  b3 b3 * Phương pháp đổi biến số a/ Kiến thức: Thực phương pháp đổi biến số nhằm đưa toán cho dạng đơn giản hơn, gọn hơn, dạng toán biết cách giải b/ Ví dụ: Chứng minh rằng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c > Giải: Đặt b + c = x, c + a = y, a + b = z - 12 - a b c    bc ca ba x yz x yz zx y yzx , b= , c=  a= 2 Khi đó: a b c yzx zx y x yz     VT = = bc ca ba 2x 2y 2z y x z x z y 3 = (  )  (  )  (  )   111  x y x z y z 2 Ví dụ 2: chứng minh rằng: (a – 1)(a – 2)(a – 3)(a – 4) +  Giải: VT = (a – 1)(a – 2)(a – 3)(a – 4) + = (a2 – 5a + 4)(a2 – 5a + 6) + Đặt a2 – 5a + = m Khi đó: VT = (m – 1)(m + 1) + = m2  (dấu “=” xảy m = hay a2 – 5a + = 0) Ví dụ 3: Cho a, b, c > 0; a + b + c  Chứng minh 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab Giải: 2 Đặt a + 2bc = x; b + 2ca = y; c + 2ab = z Khi x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2  Bài toán trở thành Cho x, y, z > 0, x + y + z  1 1 Chứng minh    x y z 1 Ta chứng minh (x + y + z)(   )  x y z Theo bất đẳng thức Côsi 1 Mà x + y + z  nên suy    x y z c/ Bài tập Bài 1: Chứng minh với số thực x, y ta có bất đẳng thức ( x  y )(1x y )  -  (1  x ) (1  y ) Bài 2: Cho a1 + a2 + a3 +… …+ an = k  a+b+c= k2 Chứng minh rằng: a  a  a   a  n 2 2 n * Phương pháp dùng phép quy nạp toán học a/ Kiến thức: Với mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Để chứng minh bất đẳng thức với n > phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành: + Chứng minh mệnh đề với n = (n = n0) - 13 - + Giả sử bất đẳng thức với n = k (k > n0) (giả thiết quy nạp) + Chứng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thức với n > (n > n0) b/ Ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n > (n + 1)(n + 2)(n + 3)…2n > 2n (*) Giải: Với n = ta có (2 + 1)(2 + 2)(2 + 3)…2.2 = 2.4.5…> 22 = Vậy (*) với n = Giả sử (*) với n = k (k  2, k  N), nghĩa (k + 1)(k + 2)(k + 3)…2k > 2k Ta chứng minh (*) với n = k + Theo giả thiết quy nạp ta có: (k + 1)(k + 2)(k + 3)…2k > 2k k  (k + 1)(k + 2)(k + 3)…(2k)(2k + 1) > k  2(k + 1)(k + 2)(k + 3)…(2k)(2k + 1) > 2.2 k+1  (k + 2)(k + 3)…(2k)(2k + 1)(2k + 2) > Vậy (*) với số tự nhiên lớn Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên dương n  2n > 2n + (*) Giải : n Với n = 3, ta có = = 8; 2n + = 2.3 + = 7; > Vậy đẳng thức (*) với n = Giả sử (*) với n = k (k  N; k > 3), tức 2k > 2k + ta phải chứng minh 2k+1 > 2(k + 1) + hay 2k+1 > 2k + (**) Thật 2k+1 = 2.2k, mà 2k > 2k + (theo giả thiết quy nạp) 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + (Vì 2k - > 0) Vậy (**) với k > Kết luận 2n > 2n + với số nguyên dương n  Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 2n   2n 3n  (*) (n số nguyên dương) Giải : Với n = 1, ta có VT = VP = Vậy (*) với n = 2k  1  Giả sử (*) với n = k  ta có 2k 3k  Ta cần chứng minh (*) với n = k + 1, tức là: k  2k  2k  1  2k 2(k  1) 3k  2(k  1) 2k  1  cần chứng minh 3(k  1)  3k  2(k  1) dùng phép biến đổi tương đương, ta có: (2k + 1)2(3k + 4)  (3k + 1)4(k +1)2 3  12k + 28k + 19k +  12k + 28k + 20k +4  k  => (**) với k  Vậy (*) dúng với số nguyên dương n - 14 - c/ Bài tập: Bài 1: Với n > Chứng minh (2n)! < 22n(n!)2 Bài 2: Với n số tự nhiên lớn Chứng minh rằng: n > n2 * Phương pháp xét khoảng giá trị biên Ví dụ: Cho A = x10 – x9 + x4 – x + Chứng minh A > Giải: + Xét trường hợp x  A = x9(x – 1) + x(x3 – 1) + Vì x x  nên x9 > 0; x –  0; x3 –  Vậy A > (đpcm) + Xét trường hợp x < A = x10 + x4(1 – x5) + (1 – x) Vì x < nên – x5 > 0; – x > Mặt khác x10  0; x4  nên A > Tóm lại với giá trị x ta có A > (đpcm) * Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa số tự nhiên 1995 1995 a1996  b1996 a  b Ví dụ 1: Cho a > b > Chứng minh 1996 1996 > 1995 1995 a b a b Giải : Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau a > b > m, n hai số tự nhiên mà m > n a m  bm a n  bn  (1) a m  bm a n  bn Thật ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh a m  b m  2b m a n  b n  2b n  (1)  a m  bm a n  bn 2b m 2b n 2b m 2b n  1 n  m  n  1- m a  bm a  bn a  bm a  bn bm bm bn bn bm bn  m   m  a bm a n bn a  bm a n  bn   bm bm bn bn m n 1 a a  m  n  m 1  n 1 a a b b 1 1 bm bn am an a a  m  n  ( ) m  ( ) n (2) b b b b Bất đẳng thức (2) a > b >0 nên - 15 - a  m > n bất đẳng thức (1) b a m  bm a n  bn  Áp dụng bất đẳng thức trung gian m vớii a > b >0 m > n nên a  bm a n  bn m =1996, n=1995 bất đẳng thức phải chứng minh a1996  b1996 a  b > a1996  b1996 a1995  b1995 * Phương pháp làm trội Dùng tính chẩt BĐT để đưa vế BĐT cần chứng minh dạng để tính tổng hữa hạn tích hữu hạn - Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: 1995 1995 biểu diễn số hạng tổng quát hiệu số hạng liên tiếp : Lúc : Sn = (a1 – a2) + (a2 – a3) + … + (an – an+1) = a1 – an+1 -Phương pháp chung để tính tích hữu hạn Pn  u1u u n biểu diễn số hạng tổng ak quát uk thương số hạng liên tiếp u k  ak  a1a2 an1an a P   Lúc n a2 a3 an an1 an1 Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau với n số tự nhiên 1 1      n n Giải: 1 1   Với k >1 ta có  k (k  1) k  k k 1 1 Lần lượt thay k = 2, 3, , n cộng lại có:      n n 1 1       n n * Phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học phẳng Ví dụ 1: Chứng minh tam giác nhọn tổng trung tuyến lớn lần bán kính đường tròn ngoại tiếp C A1 B1 G A B C1 Giải: Gọi ma, mb, mc độ dài ba đường trung tuyến ứng với đỉnh A, B, C tam giác ABC R bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC Ta phải chứng minh ma + mb +mc >4R - 16 - Vì  ABC tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm tam giác ABC G trọng tâm tam giác ABC tâm O nằm ba tam giác tam giác GAB, tam giác GAC, tam giác GBC Giả sử tâm O nằm tam giác GAB OA +OB=2R GA+ GB > 2R 3 3 mà GA= AA1= ma, GB= BB1 = mb Nên GA+GB > 2R  (ma+mb) >2R  ma+mb >3R Mà tam giác OCC1 có CC1 > OC  mc >R Do ma+ mb+ mc > 3R+R=4R Vậy ma+mb+ mc >4R Ví dụ 2: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác vuông đỉnh A hai điểm B C, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt cạnh AB AC M N, chứng minh AB  AC AB  AC  MB + NC < Giải A N C l M B Gọi I tiếp điểm tiếp tuyến MN với đường tròn tâm O tính chất tiếp tuyến cho ta MB = MI, NC = NI Từ MN = MB + NC tam giác vuông AMN MN < AM + AN Nên 2MN < AM + AN + BM + CN =AB +AC  MN < AB  AC Ngoài tam giác vuông AMN ta có cạnh huyền MN >AM MN > AN  2MN > AM + AN Vì MN = BC + CN Nên 3MN > AM + AN + BM + CN AB  AC AB  AC AB  AC  MB+NC < Vậy Do 3MN > AB+AC  MN > * Ngoài có số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, tam thức bậc hai, lượng giác ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Nhận xét: - Chứng minh bất đẳng thức dạng tập đòi hỏi tư cao, tùy mà ta vận dụng cách linh hoạt phương pháp để giải cho phù hợp - 17 - - Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, song chương trình toán em sử dụng chủ yếu phương pháp: dùng định nghĩa, tính chất, biến đổi tương đương, phản chứng, quy nạp xét khoảng giá trị biến BÀI TẬP ÁP DỤNG * Bài tập chứng minh Bài 1: Cho hai số x y mà x + y = Chứng minh rằng: a) x2 + y2  ; b) x4 + y4  Bài 2: Cho a, b, c, d,e số thực Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = a(b + c + d + e) Bài 3: Cho hai số dương x, y x3 + y3 = x – y CMR: x2 + y2 2n+1 Bài 11: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác a b bc c a    CMR: ab bc ca * Bài tập vận dụng Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x4 + y4 + z4 Bài 2: Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1   a b c x2  x 1 Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x  x 1 Bài : Giải phương trình: 13 x  + x  = 16x Bài 5: a, Tìm giá trị lớn L = x  +  x b Giải phương trình: x  +  x - x2 + 4x - = (*)  x + x  = x2 - 6x + 13 x  y  y   Bài : Giải hệ phương trình:  2  x  x y  2y  Bài : Giải phương trình: - 18 - Bài : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1   =2 x y z KẾT LUẬN Chứng minh bất đẳng thức có nhiều ứng dụng toán học phổ thông Vì trình giảng dạy việc đưa phương pháp chứng minh cần làm cho học sinh thấy ứng dụng cụ thể, giúp giải vấn đề sống Giáo viên lấy nhiều ví dụ lồng ghép vào giảng Đó giúp học sinh thấy toán học gắn liền với nội dung khác Từ hình thành ý thức học tập, góp phần tạo động hứng thú học tập Tùy theo trình độ đối tượng học sinh mà có phần tập đề xuất phù hợp không khó, không đơn giản tương tự sách giáo khoa Tránh làm cho học sinh nhàm chán với dạng tập quen thuộc dễ dàng Phải có dạng phong phú quanh chủ đề phải tạo động hứng thú tìm hiểu em III HIỆU QUẢ ĐỀ TÀI Qua trình vận dụng đề tài vào trình giảng dạy nhận thấy học sinh có đam mê tìm tòi hứng thú trình làm tập không thấy sợ gặp toán chứng minh bất đẳng thức Các em có tiến trình học tập, kết kiểm tra học sinh đạt điểm trung bình tăng lên rõ rệt so với chưa vận dụng đề tài Cụ thể sau: Tổng Số HS Số HS % % số HS trung bình trung bình Khi chưa áp 68 45 66.18% 23 33.82% dụng chuyên đề Sau áp 69 62 89.86% 07 10.14% dụng chuyên đề IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Chứng minh bất đẳng thức dạng toán khó, đòi hỏi học sinh phải có yêu thích môn học phải có khả tư sáng tạo cao Do đó, tùy thuộc vào đối tượng học sinh mà đưa toán phù hợp Đối với học sinh trung bình, yếu giáo viên đưa tập đơn giản sử dụng phương pháp dùng định nghĩa, tính chất, phép biến đổi tương đương để giải tập bất đẳng thức; học sinh giỏi, giáo viên nâng mức độ tập sử dụng thêm phương pháp phản chứng, đổi biến số, xét khoảng giá trị biến…để chứng minh bất đẳng thức Ngoài giáo viên vận dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức lại cho học sinh khá, giỏi vào tiết khóa V TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa lớp Bộ Giáo dục Đào tạo; Các dạng toán phương pháp giải toán - tác giả Tôn Thân, Hữu Bình, Nguyễn Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên – NXBGD – 2009; Tuyển tập toán hay khó Đại số - tác giả Phan Văn Đức, Nguyễn Hoàng Khanh– NXBGD – 2008; Các vấn đề trọng tâm toán - tác giả Nguyễn Văn Lộc Hà – NXBGD – 2007; - 19 - Bổ trợ kiến thức THCS phương pháp giải toán Đại số - tác giả Lê Bích Ngọc, Lê Hồng Đức – NXBGD – 2006; Đại số sơ cấp thực hành giải toán - tác giả Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Tác giả Bùi Văn Tuyên – NXBGD – 2010 Tổng hợp kiến thức toán THCS - tác giả Phạm Thu – NXBĐHSP – 2005 DUYỆT CỦA BGH Tân Phú ngày 14 tháng năm 2013 Người viết Nguyễn Thị Hòa - 20 - MỤC LỤC Trang Sơ lược lý lịch khoa học I Lý chọn đề tài II Tổ chức thực đề tài Cơ sở lý luận Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức * Phương pháp dùng định nghĩa * Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức * Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương * Phương pháp dùng bất đẳng thức cạnh tam giác * Phương pháp chứng minh phản chứng 10 * Phương pháp dùng tính chất tỉ số 12 * Phương pháp đổi biến số 12 * Phương pháp dùng phép quy nạp toán học 13 * Phương pháp xét khoảng giá trị biến 15 * Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa lũy thừa số tự nhiên 15 * Phương pháp làm trội 16 * Phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học phẳng 16 * Ngoài có số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, tam thức bậc hai, lượng giác, 17 Bài tập áp dụng 18 * Bài tập chứng minh 18 * Bài tập vận dụng 18 Kết luận 19 III Hiệu đề tài 19 IV Đề xuất, khuyến nghị khả áp dụng 19 V Tài liệu tham khảo 19 - 21 - SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường PT DTNT liên huyện Tân Phú - Định Quán Độc lập – Tự – Hạnh phúc Tân Phú, ngày 14 tháng năm 2013 PHIẾU NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2012-2013 Tên sáng kiến kinh nghiệm: “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC” Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Hòa Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Tổ khoa học Tự nhiên; Trường phổ thông Dân tộc Nội trú liên huyện Tân Phú - Định Quán Lĩnh vực: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học môn: Toán  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác: ……………………  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính - Có giải pháp hoàn toàn  - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có  Hiệu - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai đơn vị có hiệu  Khả áp dụng - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN - 22 - THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ [...]... 3 2 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 4 * Phương pháp dùng định nghĩa 4 * Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức 5 * Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương 7 * Phương pháp dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác 9 * Phương pháp chứng minh phản chứng 10 * Phương pháp dùng tính chất tỉ số 12 * Phương pháp đổi biến số 12 * Phương pháp dùng phép... nạp toán học 13 * Phương pháp xét khoảng giá trị của biến 15 * Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa lũy thừa các số tự nhiên 15 * Phương pháp làm trội 16 * Phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng 16 * Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, tam thức bậc hai, lượng... số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức như: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, tam thức bậc hai, lượng giác ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Nhận xét: - Chứng minh bất đẳng thức là dạng bài tập đòi hỏi tư duy cao, tùy từng bài mà ta có thể vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp để giải cho phù hợp - 17 - - Có nhiều phương pháp chứng minh. .. nạp toán học để chứng minh Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán học, ta tiến hành: + Chứng minh mệnh đề đúng với n = 0 (n = n0) - 13 - + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k > n0) (giả thiết quy nạp) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) b/ Ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì (n... * Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên 1995 1995 a1996  b1996 a  b Ví dụ 1: Cho a > b > 0 Chứng minh rằng 1996 1996 > 1995 1995 a b a b Giải : Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta chứng minh bất đẳng thức trung gian sau nếu a > b > 0 và m, n là hai số tự nhiên mà m > n thì a m  bm a n  bn  (1) a m  bm a n  bn Thật vậy ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng. .. mức độ bài tập và sử dụng thêm các phương pháp phản chứng, đổi biến số, xét khoảng giá trị của biến…để chứng minh bất đẳng thức Ngoài ra giáo viên có thể vận dụng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức còn lại cho học sinh khá, giỏi vào các tiết ngoài giờ chính khóa V TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa lớp 8 của Bộ Giáo dục và Đào tạo; 2 Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 - tác giả Tôn Thân,... 1: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức 1 ( x 2  y 2 )(1x 2 y 2 ) 1  -  4 (1  x 2 ) 2 (1  y 2 ) 2 4 Bài 2: Cho a1 + a2 + a3 +… …+ an = k  a+b+c= k2 Chứng minh rằng: a  a  a   a  n 2 1 2 2 2 3 2 n * Phương pháp dùng phép quy nạp toán học a/ Kiến thức: Với những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Để chứng minh. .. vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai Ví dụ 2: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất 1 1 1 đẳng thức sau: a   2 ; b   2 ; c   2 c a b Giải (Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau) Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức: 1 1 1 a   2; b   2; c   2 c a b Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên... thức (1) b a m  bm a n  bn  Áp dụng bất đẳng thức trung gian m vớii a > b >0 và m > n nên a  bm a n  bn khi m =1996, n=1995 thì bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng a1996  b1996 a  b > a1996  b1996 a1995  b1995 * Phương pháp làm trội Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn - Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: 1995 1995... 6x + 13 x 3  2 y 2  4 y  3  0 Bài 7 : Giải hệ phương trình:  2 2 2  x  x y  2y  0 Bài 6 : Giải phương trình: - 18 - Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 1 1 1   =2 x y z 4 KẾT LUẬN Chứng minh bất đẳng thức có rất nhiều ứng dụng trong toán học phổ thông Vì vậy trong quá trình giảng dạy ngoài việc đưa ra các phương pháp chứng minh cần làm cho học sinh thấy được từng ứng dụng cụ