TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 2007 – 2016 Trong c{c năm vừa qua b|i to{n Bất Đẳng Thức v| Gi{ Trị Lớn Nhất – Gi{ Trị Nhỏ Nhất l| c}u hỏi khó để chinh phục điểm 10 đề thi Đại Học – Cao Đẳng v| Kì Thi THPT Quốc Gia c{c kì thi HSG Theo xu hướng c{c năm gần đ}y việc kiếm điểm c}u hỏi n|y thực l| việc qu{ khó khắn c{c em có kiến thức b|i to{n n|y Đối với c{c em thi Y – Dược , An Ninh, Công An việc chinh phục c}u hỏi n|y l| điều cần thiết Chính c{c em phải bắt đầu từ b}y giờ, c{c nghiêm túc l| có lộ trình để có đầy đủ kiến thức nhằm l|m tốt b|i to{n n|y đề thi Việc 0,25-0,5 điểm định vấn đề đậu v| rớt c{c trường TOP Mục tiêu c{c em cần đặt l| học đủ v| vận dụng tốt, không nên học qu{ cao siêu qu{ thừa thãi Bộ não c{c em phải hoạt động để c}n tất c{c môn để đạt tổng th|nh tích cao ko phải đạt th|nh tích cao môn Dưới đ}y l| v|i lưu ý thầy bắt đầu học Bất Đẳng Thức: Số 1: Biết đƣợc vận dụng đƣợc bất đẳng thức bất đẳng thức AM-GM (Cauchy, Cosi) bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (BunyakovskiCauchy-Schwarz) Số 2: Nắm rõ đƣợc điểm rơi gì? Sử dụng đánh giá tƣơng ứng để đảm bảo điểm rơi nhƣ nào? Số 3: Biết vận dụng đƣợc đánh giá thƣờng gặp nhất, bất đẳng thức phụ quen thuộc Số 4: Rèn luyện thƣờng xuyên để quen tay tạo nhạy bén, xử lí tốc độ cao + trình bày rõ ràng chi tiết DƢỚI ĐÂY THẦY TẶNG CÁC EM LỜI GIẢI VÀ CÁCH TƢ DUY CỦA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI CHÍNH THỨC CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHÚC CÁC EM TIẾP CẬN VÀ ĐỊNH HƢỚNG ĐÚNG CHUẨN BỊ CHO KÌ THI 2017!!! TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Bài 1: Cho x, y , z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  y  z  P  x    y    z    zx   xy   yz  Đề tuyển sinh Đại Học khối B-2007 PH N T CH Dễ thấy b|i to{n đối xứng nên điểm rơi l| x  y  z Ta có: P  x2  y  z x2  y  z2  Tử số l| lượng x2  y  z2 v| mẫu số xyz l| lượng xyz nên ta đưa lượng trung gian l| x  y  z xy  yz  zx Để tự nhiên ta chọn lượng x  y  z Sử dụng c{c bất đẳng thức: x  y  z  Ta có: x  y  z 2  x  y  z P ét h|m số f  t    f ' t    2  x  y  z     x  y  z 9x  y  z x  y  z   x  y  z v|  x  y  z   27 xyz BÀI GI I 2 v| 27xyz   x  y  z   xyz t2  với t  x  y  z  t  t t   f ' t    t  3 t2 BBT: t f’(t)      f(t) 9 Dựa v|o bảng biến thiên  f  t   f     P  2 x  y  z  Đẳng thức xảy   x  y  z 1  x  y  z  Kết luận: Vậy gi{ trị nhỏ P l| x  y  z  TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Bài 2: Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x2  y  z  y y  2z z  y2  z  x   z z  2x x z2  x  y  x x  2y y Đề tuyển sinh Đại Học khối A-2007 PH N T CH Dự đo{n điểm rơi l| x  y  z  Mẫu số chứa tổng c{c đại lượng x x , y y , z z gần l| không biến đổi có thì: 2x x  x  x  1  x2  x đưa mẫu dạng phức tạp Ta thấy tử số c{c ph}n thức có đặc biệt l| chứa ba biến x, y, z, dựa v|o điều kiện b|i to{n ta đ{nh gi{ sau: x2  y  z   2x2 yz  2x x đến đ}y ta thấy tử số trở th|nh đại lượng giống mẫu BÀI GI I C Áp dụng AM-GM: x2  y  z   2x2 yz  2x x Tương tự: y  z  x   y y , z  x  y   2z z P 2x x y y  2z z  2y y z z  2x x  2z z x x  2y y 2a 2b 2c   b  2c c  a a  2b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Đặt a  x x ; b  y y ; c  z z  P  a  b  c 2a2 2b 2c   2 a  b  c  b  c  a  c  a  2b   ab  bc  ca  a  b  c  M|:  ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca  2 2a 2b 2c    b  2c c  2a a  2b Đẳng thức xảy a  b  c  x  y  z  P C Đặt: a  x x  y y ; b  y y  2z z ; c  z z  2x x x x  c  a  2b a  b  2c 4b  c  a ;y y  ;z z  9 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong  4c  a  2b a  b  2c 4b  c  a  P     9 b c a  b a c  a b c  P           6 b c a a c b   P    4.3    Đẳng thức xảy a  b  c  x  y  z  Kết luận: Vậy gi{ trị nhỏ P l| x  y  z  Bài 3: Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x  x  y  z   3yz Chứng minh rằng:  x  y   x  z 3   x  y  y  z  z  x    y  z  Đề tuyển sinh Đại Học khối A-2009 PH N T CH Bất đẳng thức chứa: x  y , y  z v| z  x nên ta hướng đến việc đổi biến cho gọn b|i to{n Đặt a  x  y; b  y  z , c  z  x , điều kiện trở th|nh: b2  ac  a2  c , bất đẳng thức trở th|nh: a3  c  3abc  5b3 Ta thấy điều kiện v| b|i to{n đẳng cấp (thuần nên ta chia qua để 2 ac a c   bb b b 3 a c ac a3  c  3abc  5b3    5 bb b b a c Đặt u  , v  Điều kiện  u2  v2  uv  , b|i to{n  u3  v3  3uv  b b Ta đưa b|i to{n biến đối xứng đơn giản V| ta hiểu b|i to{n l| tìm gi{ trị lớn biểu thức: P  u3  v3  3uv BÀI GI I a  x  y abc abc bca  ;y  ;z  Đặt: b  y  z  x  2 c  z  x  giảm biến: b2  ac  a2  c   2 a c ac  (1)  x  x  y  z   3yz  a  c  b  ac        bb b b 2 3 a c ac  (2) Bất đẳng thức trở th|nh: a  c  3abc  5b        bb b b 3 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong a c Đặt u  , v   1  u2  v2  uv  v|    u3  v3  3uv  b b 2 Áp dụng AM-GM: 1   u  v   3uv    u  v    u  v    ét P  u3  v3  3uv   u  v  u2  uv  v  u  v    u  v   u  v   2  P  22       Đẳng thức xảy u  v  C goài ta c ng c thể ánh giá A -G sau: 2 Ta có: b2  a2  c  ac   a  c    a  c   2b  a  c    a3  c  3abc   a  c  a2  c  ac  3abc   a  c  b2  3abc  2b.b2  a  c b  2b  b  5b3 Đ ng thức y a  b  c  Kết luận: Vậy bất đẳng thức đúng, đẳng thức xảy x  y  z  a3  c  3abc  2b3  Bài 4: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:   P  a2 b2  b2 c  c a2   ab  bc  ca   a2  b2  c Đề tuyển sinh Đại Học khối B-2010 PH N T CH B|i to{n đối xứng ba biến không }m nên đẳng thức xảy có biến Ta cố định biến c   a  b   b   a thay v|o P :     P  a2   a     a 1  a     a2  1  a   S TAB E CASIO i: F  X   3X 1  X   3X 1  X   X  1  X  2  START =  END =  STEP = 0.1 Dựa v|o bảng gi{ trị ta thấy h|m số có cực đại khoảng  0.4,0.6  v| đạt gi{ trị nhỏ l| X  v| X  Khi X   a   b  v| X   a   b  X F(X) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 2.1053 2.206 2.2854 2.335 2.3517 2.335 2.2854 2.206 2.053 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Vậy điểm rơi b|i to{n l| a  1, b  c  v| c{c ho{n vị Ta thấy với điểm rơi :   a2 b2  b2 c  c a2   a2 b2  b2 c  c a2   ab  bc  ca  2 Chính ta ép biến t  ab  bc  ca Ta đ{nh gi{ : a2  b2  c  ab  bc  ca nên ta biến đổi tương đương : a2  b2  c   a  b  c    ab  bc  ca  a  b  c V| điều kiện biến :  ab  bc  ca    BÀI GI I  Sử dụng bất đẳng thức : x2  y  z   x  y  z    1  t  0,   3   a2 b2  b2 c  c a2   ab  bc  ca  2 M| :  a  b  c   a2  b2  c   ab  bc  ca   a2  b2  c    ab  bc  ca   P   ab  bc  ca    ab  bc  ca     ab  bc  ca  a  b  c Ta có :  ab  bc  ca   3  1 Đặt t  ab  bc  ca  t  0,   P  f  t   t  3t   2t  3 S d CASIO v i: PH N T CH HÀM SỐ TABLE bằ F  X   X  3X   2X  START =  END = 0.35  STEP = 0.05 Dựa v|o bảng gi{ trị ta thấy h|m số  1 đơn điệu tăng 0,  v| h|m số đạt gi{  3 trị nhỏ X  F X X 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 2.0498 2.0988 2.1458 2.1891 2.2267 2.2549 2.2679 ab  bc  ca   t  Khi gi{ trị cần tìm a, b, c l|   a  1, b  c   a  b  c  v| c{c ho{n vị, thỏa mãn yêu cầu b|i to{n Nên ta định hướng chứng minh TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong  1 h|m số f  t   t  3t   2t đ ng biến 0,   3  1 ét h|m : f  t   t  3t   2t với t  ab  bc  ca  t  0,   3  1  f '  t   2t    với t  0,   2t  3 H|m số đ ng biến nên f  t   f     P  Đẳng thức xảy a  1, b  c  v| c{c ho{n vị Kết luận : Vậy gi{ trị nhỏ P l| a  1, b  c  Bài 5: Cho x, y , z số thực thuộc 1,4  x  y , x  z Tìm giá trị nhỏ y x z P   biểu thức : 2x  3y y  z z  x Đề tuyển sinh Đại Học khối A-2011 PH N T CH Biểu thức bậc v| hai ph}n thức cuối tương đương nên ta 1 chia để giảm biến P  hai ph}n thức cuối   y z x 1 1 23 y z x kh{ l| quen thuộc liên hệ đến bất đẳng thức phụ : 1   với ab  (1)  a  b  ab Ta cần điều kiện để sử dụng bất đẳng thức trên, từ điều kiện  z x x  1 y z y thỏa mãn, {p dụng (1) đưa b|i to{n khảo s{t h|m số với biến t  x y đ}y không trình b|y c{ch chứng minh bất đẳng thức phụ qu{ quen thuộc, c{c em tự chứng minh v|o b|i giải BÀI GI I 1   Áp dụng bất đẳng thức : với ab  1  a  b  ab  z 1 y  x 1 z  x 1 y P y 23 x  x 1 y TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Do x , y  1,4  , x  y   x  Đặt t  y x t2  P  f t    y 2t   t PH N T CH HÀM SỐ TABLE bằ S d CASIO v i: F X  X  X 1 2X   START =  END =  STEP = 0.25 Dựa v|o bảng gi{ trị ta nhận thấy h|m số đơn điệu giảm 1,2  v| gi{ trị nhỏ đạt X  Như gi{ trị nhỏ f  t  l| f   X F(X) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.2 1.1756 1.1539 1.1344 1.1165 1.1 1.0845 1.0698 1.056 1.0428 1.0303 x y    x  4, y  1, z  Khi t  gi{ trị cần tìm x, y , z l|  z  x  z x 1  y z y z Gi{ trị n|y thỏa mãn điều kiện b|i to{n, ta định hướng chứng minh h|m số f  t   ét h|m: f  t   t t2 2t  2t  2   đơn điệu giảm t  1,2  t 1 với t  1 t x  t  1,2  y 4 t  t  1  t   t      t  1,2   f ' t      2 2t   t  1   34 34 P H|m nghịch biến 1,2   f  t   f    33 33  x 2   y  x  4, y  1, z  Đẳng thức xảy  z  x  z x 1 y z y z  Kết luận: Vậy gi{ trị nhỏ P l| 10 34 x  4, y  1, z  33 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Bài 6: Cho x, y , z số thực thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ P3 biểu thức: x y 3 yz 3 z x  x2  y  z Đề tuyển sinh Đại Học khối A-2012 PH N T CH Ta có x  y  z  nên có biến }m, bất đẳng thức v| điều kiện đối xứng nên điểm rơi có hai biến Do vai tr biến nên ta giả sử x  y  2x  z   z  2x thay v|o P được: P3 3 S CASIO 3x 3 3x  x2  x2   2 x   2.3 TAB E F  X   2.3 6 x 1 X F(X) i 3X 3x 0.5 1.5 2.5 3.5  6X   START =  END =  STEP = 0.5 Từ bảng gi{ trị ta thấy h|m số đơn điệu tăng v| tăng nhanh, h|m đạt gi{ trị nhỏ l| X  Vậy điểm rơi b|i to{n l| x  y  z  8.3923 49 272.59 1447 7561.9 39349 204531 1.106 B|i to{n có chứa h|m mũ đối xứng nên ta tìm đ{nh gi{ để đưa đa thức đảm bảo điểm rơi x  y  z  Ta có đ{nh gi{: 3t  t  t   x y 3 yz 3 zx  xy  yz  zx Khi ta cần tìm kiếm đ{nh gi{ biến đổi cho:  x2  y  z  f x  y , y  z , z  x  Ta biến đổi tương đương kết hợp điều kiện: 6x2  y  6z   x  y    y  z    z  x    x  y  z   2 2  6x2  y  6z  x  y  y  z  z  x  2  Ta suy P  x  y  y  z  z  x  x  y  y  z  z  x  2 3  Nếu ta đặt a  x  y , b  y  z c  z  x  P  a  b  c  a  b2  c  c{c đ{nh gi{ đưa h|m số bị ngược dấu Do dự đo{n gi{ trị nhỏ P l| nên ta đ{nh gi{: 11 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong  2 xy  yz  zx  xy  yz  zx  0 Ta bình phương v| sử dụng bất đẳng thức: a  b  a  b BÀI GI I ét h|m số: f  t    t với t  t  f '  t   3t ln   với t  H|m đ ng biến  f  t   f     3t  t  Áp dụng ta được: x y 3 yz 3 zx  xy  yz  zx 3 x2  y  6z   x  y    y  z    z  x    x  y  z  M|:  2 2  6x2  y  6z  x  y  y  z  z  x  2  3  zx  P xy  yz  zx  xy  yz  zx  Ta có: x  y  y  z  z  x    xy  yz   2 2 2 2 xy yz  yz zx  zx xy  xy  yz  zx Áp dụng bất đẳng thức : a  b  a  b   yz  x y  zx  yz  xy  yz  xyyz  xz  zx xy  yz  zx   Tương tự: x  y y  z  z  x  x  y ,  2  xy  yz  zx  xy  yz  zx 2   P   Đẳng thức xảy x  y  z  Kết luận : Vậy gi{ trị nhỏ P l| x  y  z  Bài 7: Cho x, y , z số thực thỏa mãn x  y  z  x2  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x5  y  z Đề tuyển sinh Đại Học khối B-2012 PH N T CH B|i to{n đối xứng v| biến thực nên điểm rơi có biến nhau, 12 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Kết luận: Vậy gi{ trị lớn P l| ,y  z   x  36 6 Bài 8: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn  a  c  b  c   4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 32a3  b  3c   32b3  a  3c   a  b2 c Đề tuyển sinh Đại Học khối A-2013 PH N T CH B|i to{n v| điều kiện đối xứng theo hai biến a, b nên điểm rơi a  b , thay v|o điều kiện ta điểm rơi a  b  c Điều kiện v| b|i to{n l| c{c biểu thức đẳng cấp nên ta hướng đến đặt ẩn phụ giảm biến a b Đặt x  , y  Điều kiện   x  1 y  1   x  y  xy  c c 32 y 32 x P   x  y Điểm rơi l| x  y  v| P   3  y  3  x  3 Ta thấy  x2  y   x  y   x  y   nên ta đưa h|m số với biến x2  y x  y Do ph}n thức đầu có bậc nên ta ngh đến c{c đ{nh gi{ sau:  Đ{nh gi{ 1: Sử dụng bất đẳng thức: a  b 3  a  b   Đ{nh gi{ : Áp dụng AM-GM: 32 x 1 x 32 x3 32 x3 x2        3  y  3 2 y   y  3  y  3  y  3 Từ điều kiện  x  y  nên ta định hướng ép biến x  y v| phải đ{nh gi{ đảm bảo h|m số thu đ ng biến BÀI GI I a b Đặt x  , y  Điều kiện trở th|nh:  x  1 y  1   xy  x  y   c c 32 y 32 x P   x2  y 3  y  3  x  3 15 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Áp dụng AM-GM:  x  1 y  1  x  y  2      x  y    x  y  2 C Áp dụng bất đẳng thức: a  b  32 x3  y  3  32 y  x  3 3  a  b   x y       y3 x3  x y   P       y3 x3 x  y a, b   2x  y  Đ NH H NG T DU Ta đ{nh gi{ tiếp tục để đưa b|i to{n x  y Do biểu thức có dạng ph}n thức nên ta ngh đến bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: x  y y y2 x x2     y  x  xy  3x xy  y xy  3x  y Mẫu số có xy ta đ{nh gi{ tiếp khoan, đ{nh gi{ qu{ nhiều dẫn đến b|i to{n bị ngược dấu nên ta rút xy    x  y  P 8x  y  x  y  6  x  y  2x  y  Đến đ}y ta sử dụng CASIO để đảm bảo b|i to{n c n đúng: S TAB E X F(X) CASIO i  0.414 8X  0.324 2.1 F X   X  2X   0.154 2.2  X  6 2.3 0.0988  START = 2.4 0.4439  END = 2.5 0.889  STEP 0.01 2.6 1.444 Dựa v|o bảng gi{ trị ta thấy h|m số 2.7 2.1201 đơn điệu tăng, h|m số đạt gi{ trị nhỏ 2.8 2.9294 X  2.9 3.8847 Chú ý: Để chắn ta tiếp tục sử dụng TABLE cho khoảng rộng Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: 16 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong x  y  x  y y y2 x x2     y  x  xy  3x xy  3y 2xy  3x  3y x  y  P 8x  y  x  y  6  x  y 8t ét h|m số: f  t   2  2x  y   t  2t  với t  x  y  t  t  6 24t  t  12  t 1  f ' t    t  2t  t  6 S CASIO PH N T CH HÀM SỐ TAB E X i F X  24X  X  12   X  6  START =  END =  STEP = 0.2 X 1 F X  X  2X   START =  END =  STEP =0.2 gi{ thông qua gi{ trị Ta có: V|: 24t  t  12  t  6 t 1 t  2t    2.2 2.4 2.6 2.8 F(X) 2.1213 1.7777 1.5921 1.4746 1.3931 1.3333 X Dựa v|o bảng ta thấy 2.2 2.4 2.6 2.8 F(X) 2.625 3.8847 5.5272 7.61 10.193 13.333 24t  t  12  t    t 1  nên ta đ{nh 2 t  2t   t  t   t    t  2  2t   t  2t   t  42t  154  t  2 17 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong  f ' t   24t  t  12  t    t 1 t  2t   t  H|m số đ ng biến  2,    f  t   f      P   C 32 x 1 x Áp dụng AM-GM:   6  y  3 2 y  32 y  x  3  y 1  6 2 x3  x y   P      x  y  2x  y    y3 x3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: x  y  x  y y y2 x x2     y  x  xy  3x xy  3y 2xy  3x  3y x  y  P 6x  y xy6 S CASIO x  y   2 x  y   PH N T CH HÀM SỐ TAB E X i F X  6X  X  2X  X6  START =  END =  STEP 0.01 Dựa v|o bảng gi{ trị ta thấy h|m số đơn điệu tăng, h|m số đạt gi{ trị nhỏ X  Để chắn ta tiếp tục sử dụng TABLE cho khoảng rộng ét h|m số: f  t    f ' t   18 6t  t  2t  với t  x  y  t  t6 6t  t  12  t  6 2 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9  t 1 t  2t  F(X)  0.414  0.348  0.258  0.148  0.021 0.1204 0.2749 0.441 0.6178 0.8043 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong 6t  t  12  Ta có: V| t  6 t 1 t  2t   f ' t      7t  84t  180  t  2  t  42t  154  t  2 6t  t  12  t  6 t 1  t  2t   t  H|m số đ ng biến  2,    f  t   f      P   x  y   Đẳng thức xảy   x  y 1 a  b  c  x  y Kết luận: Vậy gi{ trị nhỏ P l|  a  b  c Bài 9: Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a2  b2  c   a  b   a  2c  b  2c  Đề tuyển sinh Đại Học khối B-2013 PH N T CH P đối xứng theo a, b nên dự đo{n điểm rơi a  b Ta không đ{nh gi{ : a  b  c 2 Nên ta đ{nh gi{  a  b  a  b  c  chưa a  b  c  a  2c  b  2c  a2  b2  c :  a  b  a  2c  b  2c    a  b  a  b2 4c  a  b2  2ab  4ac  4bc 2 2 2 Ta ép a  b  c nên cần cm a  b  2ab  4ac  4bc  f a2  b2  c 2   C}n hệ số AM-GM ta a  b  c v|: a2  b2  2ab  4ac  4bc  a  b2  c 2 BÀI GI I Áp dụng AM-GM: 2  a  b  a  2c  b  2c    a  b  a  b2 4c  a  b  2ab2  4ac  4bc M|: 2ab  a2  b2 , 4ac  a2  c v| 4bc  b2  c       19 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong  a2  b2  2ab  4ac  4bc  a  b2  c 2 P  2 a2  b2  c  a  b  c     Đặt t  a2  b2  c   t   P  f  t    t t 4   Đ NH H NG T DU Do b|i to{n điều kiện nên để biểu thức có gi{ trị lớn h|m số phải có cực đại v| đạt gi{ trị lớn điểm cực đại S TAB E X F(X) CASIO i 2.5  0.4 0.4333 F X   X X2  3.5 0.5974 0.625  START = 4.5 0.6119  END = 0.5857  STEP = 0.5 5.5 0.5558 Dựa bảng gi{ trị ta thấy h|m số đạt 0.526 cực đại khoảng  3.5,4.5  v| đạt 6.5 0.4977 gi{ trị lớn 0.4714 Ta x{c nhận xem X  có phải l| cực trị hay không? Nhập v|o m{y tính   d 4  CASIO ta được:   nên h|m số đạt cực đại dx  X X   x    X  Điểm rơi b|i to{n l| a  b  c  ét h|m: f  t    với t  a2  b2  c   t t2       f ' t    t   9t t2      f ' t    t  BBT: t f’(t)  f(t)  20   TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Dựa v|o bảng biến thiên  f  t   f    5 P 8  a  b  c Đẳng thức xảy  abc2 2   a b c 4 4 C Sau ịnh hướng ược toán iểm rơi ta c thể gi i cách ép biến a  b  c Ta c : a  b  c 2  a  b  c  2 4  a2  b2  c   a  b  4c  a  b  c  Và:  a  b   a  2c  b  2c    a  b   27 27 P   f t    a  b  c  2  a  b  c 2 t  2t abc2 2 a  b  c  Kết luận: Vậy gi{ trị lớn P l| Bài 10: Cho x, y , z số thực không âm thỏa mãn x2  y  z2  Tìm giá trị lớn biểu thức: P x2 x  yz  x   yz  yz  x y  z 1 Đề tuyển sinh Đại Học khối A-2014 PH N T CH B|i to{n có điều kiện l| biểu thức đối xứng, P không đối xứng đối xứng theo biến y , z , điều kiện c{c biến không }m nên ta đo{n điểm rơi l| y  z Ta xét c{c trường hợp sau: TH 1: Cố định x   y  z2   y   z2 , thay v|o P được: P S  z2  z  z  z2  z2  z  TAB E i  X  X2  X2  X   START =  END = 1.5  STEP = 0.2 F X   X2  X   X 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 F(X) 0.4746 0.4744 0.4698 0.4628 0.4543 0.4444 0.4304 0.3837 21 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Dựa v|o bảng gi{ trị ta thấy h|m số 1.5 ERROR đơn điệu giảm 0,  Nên h|m số đạt gi{ trị lớn X  suy   gi{ trị lớn trường hợp n|y  0.4746 x  0, y  , z  TH 2: Cố định z   x2  y   y   x2 b|i to{n đối xứng theo biến y , z nên ta không cần xét TH y  ) x2 P x2  x  S x   x2  TAB E i : ng F X   x2  X2 X  X 1 2  X2   X  F(X) 746 0.4596 0.4835 0.5171 0.5443 0.5555 0.5383 0.4153 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 X  2X 1  START =  END = 1.5  STEP = 0.2 Dựa bảng gi{ trị ta thấy h|m số đạt cực đại khoảng  0.8,1.2  v| h|m số đạt gi{ trị lớn X  Ta kiểm tra xem X  có phải l| cực đại hay không Nhập v|o m{y tính CASIO ta d  X2  X2 1 được:      nên X  l| cực đại dx  X  X  X   X   x    Gi{ trị lớn trường hợp n|y l| x  1, y  1, z  Kết hợp hai trường hợp ta thấy điểm rơi b|i to{n l| x  1, y  1, z  x  1, y  0, z  Đ NH H NG T DU yz x Ta có nhận định : v| dạng ph}n số có mẫu đ ng x y z1 x  yz  x  số lượng hệ số nên ta ngh đến việc đ{nh gi{ cho hai mẫu đ ng Từ điều kiện ta đ{nh gi{ được: x2   y  z    yz  1  yz   2x  y  z    yz  xy  xz  x2 x  yz  x   x2 x  x  xy  xz  x x y  z1 V| : x  y  z   x   y  z    yz  1  yz  22 2 2  x  y  z  2 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Đến đ}y ta đưa b|i to{n biến x  y  z Từ điều kiện b|i to{n ta đ{nh gi{  x  y  z  nên ta định hướng chứng minh h|m số đạt  cực đại t  x  y  z  0,   BÀI GI I Áp dụng AM-GM: x2  y  z2   1  yz   x2   y  z   x  y  z    yz  x  y  z  V| : 1  yz   x   y  z  2  x  y  z  2  x  y  z   yz   x  y  z  x  y  z  x  y  z yz P   36 x y  z1 36 x  x  x y  z x  y  z  x2   Lại có: x2  y  z2   x  y  z    x  y  z     x  y  z  2  t t2 với t  x  y  z  t  0,    t  36 t 18  t  2t  t   , f 't    t  2 18 18  t  1 ét h|m số: f  t    f ' t    t  1 BBT: t  f’(t) f(t)  Dựa v|o bảng biến thiên  f  t   f    5 P 9 Đẳng thức xảy x  y  1, z  x  z  1, y  Kết luận: Vậy gi{ trị lớn P l| x  y  1, z  Bài 11: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn iều kiện  a  b c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a b c   bc a  c  a  b Đề tuyển sinh Đại Học khối B-2014 23 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong PH N T CH B|i to{n đối xứng theo biến a , b m|  a  b  c  nên điểm rơi l| a  b  c  nên điểm rơi hai biến a b a c a a c      suy điểm rơi b|i c 2a c c 2a to{n l| a  c , b  a  0, b  c Từ điều kiện v| P chứa hai thức quen thuộc ta ngh đến c{c bất đẳng thức: Khi P  a b ab  2 bc ac a  b  2c  Đ{nh gi{ 1: a b c   2 bc ac ab Đ{nh gi{ cần điều kiện c  a, b, c nên không ph hợp Đ{nh gi{  Đ{nh gi{ 2: đối xứng v| xảy a  b, c  v| c{c ho{n vị nên ph hợp Nhưng vấn đề l| muốn sử dụng đ{nh gi{ ta phải chứng minh d ng h|m số phải sử dụng đ{nh gi{ v| phải chứng minh đ{nh gi{ Cauchy-Schwarz d|i v| khó Ta sử dụng c{ch chứng minh đ{nh gi{ AM-GM hay sau : a  a  b  c   2a b  c  a 2a  bc abc Khi đ{nh gi{ AM-GM đẳng thức xảy b  nên để đảm bảo đẳng thức xảy a b ta nh}n thêm cho tự : b  a  b  c   2b a  c  P  a  b abc  b 2b  ac abc c c đưa b|i to{n h|m số theo biến t  0 a  b  a  b BÀI GI I Áp dụng AM-GM: a  b  c  a  b  c   a  a  b  c   2a b  c  Đ{nh gi{ tương tự: P 24  a  b abc  a Tương b 2b  ac abc c   a  b 1 c ab  c  a  b a 2a  bc abc TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong c t  t   P  f t    ab 1 t PH N T CH HÀM SỐ S TAB E X CASIO i 2X X F X   X 1  START =  END =  STEP 0.5 Dựa v|o bảng gi{ trị ta thấy h|m số có cực tiểu v| đạt gi{ trị nhỏ X 1 Vậy f  t   f 1 thỏa mãn yêu cầu nên ta Đặt t  định hướng chứng minh h|m số đạt gi{ trị nhỏ t  t c ét h|m số: f  t    với t  t 0 1 t ab  f ' t     f ' t    t    t 2 F(X) 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 1.5833 1.5 1.55 1.6666 1.8214 2.1944 2.4 2.6136 2.8333 BBT : t f’(t)     f(t) 3 Dựa v|o bảng biến thiên  f  t   f 1   P  2 Đẳng thức xảy a  0, b  c a  c , b  C{ch : Sử dụng đ{nh gi{ a b c   2 bc ac ab  1 c 3  1     2  a  b  Kết luận: Vậy gi{ trị nhỏ P l| a  c , b  a  0, b  c c c P2   a  b  a  b Bài 12: Cho a, b, c thực thuộc oạn 1,3  thỏa mãn iều kiện a  b  c  25 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Tìm giá trị lớn biểu thức: a2 b2  b2 c  c a2  12abc  72 P  abc ab  bc  ca Đề thức kì thi THPT Quốc Gia 2015 PH N T CH Điều kiện c{c biến nằm khoảng chặn nên khả điểm rơi xảy có biến nằm biên Do điều kiện v| b|i to{n đối xứng biến nên vai tr a, b, c nhau, cố định c   a  b   b   a thay v|o P : a2   a     a   a2  12a   a   72 P a   a   a   a Do a, b, c  1,3 m| c   a, b  2,3 S CASIO TAB E X F(X) i 14.545 2 2.1 14.537 X   X   10X  50X  97 5X  X F X   2.2 14.531  5X  X 2.3 14.527  START = 2.4 14.525  END = 2.5 14.525  STEP = 0.1 2.6 14.525 Dựa v|o bảng gi{ trị ta thấy h|m số đối 14.527 xứng v| đạt cực tiểu X  2.5 , đạt gi{ trị lớn 2.8 14.531 160 l| X  v| X  14.537 11 14.545 Với gi{ trị điểm rơi b|i to{n l| a  3, b  2, c  v| c{c ho{n vị Có gi{ trị nằm biên nên ta không cần xét trường hợp n|o Do điểm rơi biên nên ta sử dụng đ{nh gi{ miền gi{ trị :  a  1 b  1 c  1   abc   ab  bc  ca (1)  a  3 b  3 c  3   abc  27   ab  bc  ca  (2) Đến đ}y ta thấy định hướng ép t  ab  bc  ca , ta cần đ{nh gi{ biểu thức đầu đưa ab  bc  ca l| xong Do điểm rơi l| a  1, b  2, c  nên đ{nh gi{: a2 b2  b2 c  c a2   ab  bc  ca  , ta có:  ab  bc  ca 26  a2 b2  b2 c  c a2  2abc  a  b  c   a2b2  b2c  c a2  12abc TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong a  b  c ab  bc  ca   12 điểm rơi không xảy ba biến nên điều kiện l| chưa đủ, từ v|  ab  bc  ca   abc   ab  bc  ca   27  ab  bc  ca  11 Ta đ{nh gi{ điều kiện biến : Do a, b, c  1,3 nên ta có:  a  1 b  1 c  1   abc   ab  bc  ca  a  3 b  3 c  3   abc  27   ab  bc  ca  (1) (2) Lấy  (1)  ab  bc  ca  11 a  b  c M| : ab  bc  ca   12 Ta có:  ab  bc  ca   a2 b2  b2 c  c a2  2abc  a  b  c   a2b2  b2c  c a2  12abc  ab  bc  ca  P  72 1 72   ab  bc  ca  5   ab  bc  ca    ab  bc  ca 2 ab  bc  ca t 72 Đặt t  ab  bc  ca  t  11,12   P  f  t     t PH N T CH HÀM SỐ S TAB E X F(X) CASIO i 11 14.545 X 72 11.1 14.536 F X    X 11.2 14.528  START = 11 11.3 14.521  END = 12 11.4 14.515  STEP 0.1 11.5 14.51 Dựa v|o bảng gi{ trị ta thấy h|m số 11.6 14.506 đơn điệu giảm 11,12  , h|m số đạt 11.7 14.503 11.8 14.501 gi{ trị lớn X  11 thỏa mãn yêu cầu nên ta định hướng chứng minh h|m 11.9 14.5 12 14.5 số nghịch biến 11,12  72 f t   t   với t  ab  bc  ca  t  11,12  t 72  f '  t     t  11,12  H|m số nghịch biến 11,12  t 160 160  f  t   f 11  P 11 11 ét h|m: 27 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Đẳng thức xảy a  1, b  2, c  v| c{c ho{n vị 160 Kết luận: Vậy gi{ trị lớn P l| a  1, b  2, c  11 Bài 12: Xét số thực x , y thỏa mãn x  y   a.Tìm giá trị lớn x  y    x   y  (*)  b.Tìm m ể 3x y 4   x  y  1 27  x y  x2  y  m úng với x,y thỏa mãn (*) Đề thức kì thi THPT Quốc Gia 2016 BÀI GI I x   a.Điều kiện:   x  y  1   y  3 Áp dụng AM-GM: x   y    x  y 1 xy9  xy7 x24 y34 x y9   2 x   x    Gi{ trị lớn x  y l|     y   y  b x  y       x   y    x  y  1  x  y   x  y   x  y   x  y     x  y  1 x  y      x  y   ét P  3x y 4   x  y  1 27 x y  x2  y   9476 x  TH: x  y  1   P 243   y  3 TH: x  y  Ta có: x2   y   4x  y   x  y    10  x2  y   P  3x y 4   x  y  1 27  x y  15 Đặt t  x  y    t   P  f  t   3t 4   t  1 27 t  15 ét h|m f  t   3t 4   t  1 27 t  15  f '  t   3t 4 ln  27 t   t  1 27 t ln   f ''  t   3t 4 ln2  t.ln 2  ln 2  2ln 27 t  t   3,7   f '  t  đ ng biến  3,7  Ta có: f   f     ! a   3,7  thỏa mãn f  a   28 TƢ DUY TIẾP CẬN BẤT ĐẲNG THỨC Gv: Nguyễn Đại Dƣơng – Fb:ThayNguyenDaiDuong Do f "  a    t  a l| cực tiểu BBT: t f’(t) f(t) -148 a + 20 f  a Dựa v|o BBT  f  t   f    148 148 P 3 x  y    x2 y3 0 Đẳng thức xảy   x  2, y  x  y   148 x  2, y  Kế luậ : Để 3x y 4   x  y  1 27  x y  x2  y  m x , y thỏa * Kết hợp TH  GTLN P l|  thì: m  max P  m   148 THẦY THƢỜNG XUYÊN ĐĂNG BÀI VỀ CÁC CÂU – – 10 CÁC EM CÓ THỂ THEO DÕI CÁC BÀI TOÁN OXY VÀ PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH TRỰC TIẾP TẠI FACEBOOK CỦA THẦY Facebook: https://www.facebook.com/ThayNguyenDaiDuong Để khuyến khích tinh thần học tập em thầy c phần thưởng sau: Phần thƣởng dành cho học sinh online có lời giải xác nhanh sách: ‘’ Phƣơng Pháp Hàm Số Tƣ Duy Giải Toán Bất Đẳng Thức – Giá Trị Lớn Nhất – Giá Trị Nhỏ Nhất ’’ tác giả Nguyễn Đại Dƣơng – Đoàn Trí Dũng Hoặc sách: ‘’ Chinh Phục Phƣơng Trình – Hệ Phƣơng Trình – Bất Phƣơng Trình ‘’ tác giả Nguyễn Tiến Chinh – Nguyễn Phú Khánh 29