Đang tải... (xem toàn văn)
đề thi và đáp án (hướng dẫn chấm thi) chọn HSG môn toán cấp tỉnh năm học 20082009 của tỉnh Bà RịaVũng Tàu lớp 12 hay mà lạ xin mời các đọc giả đón đọc.
SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT , NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm :180 phút Bài ( điểm) Cho hàm số: y = x − 3x + có đồ thị ( C) điểm M thay đổi đường thẳng (D) có phương trình: y = -3x + Biện luận số tiếp tuyến kẻ từ M tới ( C) Bài ( điểm) Tính góc tam giác ABC biết: cos 2A + ( cos 2B + cos 2C ) + = Bài ( điểm) Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính a O nhìn cạnh AB, BC, CD, DA góc 60o Tìm tứ diện tích lớn Bài ( điểm) Xác định số hạng tổng quát dãy số (u n ) biết rằng: u1 = u n +1 = 9u n + 3u n ; (n = 1, 2,3 ) Bài ( điểm) Hãy tìm hàm số f (x) xác định tập hợp số thực không âm, nhận giá trị tập thỏa điều kiện sau: 1) f ( x.f (y) ) f (y) = f (x + y), ∀x, y ≥ 2) f (2) = 3) f (x) ≠ , ∀x ∈ [ 0;2 ) HẾT Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: Số báo danh: SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT , NĂM HỌC 2008-2009 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN-ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm có : trang ) Bài ( điểm) Gọi M(a;-3a +2) (d) đường thẳng qua M có hệ số góc k Phương trình (d) là: y = k(x – a) -3a +2 1đ x − 3x + = k(x − a) − 3a + ⇔ (d) tiếp xúc với ( C) (2) 3x − = k (1) 1đ Thay k từ (2) vào (1) ta: x = 0(kep) x − 3x + = (3x − 3)(x − a) − 3a + ⇔ x (2x − 3a) = ⇔ 3a x = 2 1đ Biện luận: - Nếu a=0, có tiếp tuyến ( (d) trùng với (D) M điểm uốn ( C)) - Nếu a khác 0, qua M có hai tiếp tuyến 1đ Bài (4 điểm) Đẳng thức cho ⇔ cos A − + [ cos(B + C).cos(B − C) ] + =0 ⇔ cos2 A − cos A.cos(B − C) + = 1đ 1đ ⇔ cos A − cos(B − C) + 3sin (B − C) = 1đ sin(B − C) = B − C = 0 A = 30 ⇔ ⇔ ⇔ 3 cos(B − C) cos A = B = C = 75 cos A = 1đ Bài ( điểm ) Tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính a O nhìn cạnh AB , BC, CD , DA góc 600 suy AB = BC = CD = DA = a 1đ ⊥ ⊥ Gọi M , N trung điểm AC , BD ta có MN AC , BD (NAC) Đặt AC = x , BD = y ta có VABCD = S NAC BD = xy 4a − x − y 12 1đ Áp dụng bất đẳng thức Cau Chy ta có: VABCD 1 4a − x − y + x + y 2a = S NAC BD = (4a − x − y ) x y ≤ = ÷ 12 12 Dấu = xảy x = y = 2a 1,5đ Vậy tứ diện thoả đề tứ diện có AB = BC = CD = DA = a , AC = BD = 2a 0,5đ Bài ( điểm) V1 = Đặt Vn = 3u n Ta có: 1đ Vn +1 = Vn + 3Vn x1 + x = Chọn x1 , x cho: x1x = −1 1−1 1−1 +/ Với n = 1, ta có: V1 = = x1 + x = x13 + x 32 k −1 1đ k −1 +/ Với n = k, giả sử: Vk = x13 + x 32 ( k −1 k −1 +/ Với n = k+1, ta có: Vk +1 = Vk3 + 3Vk = x13 + x 32 k k −1 k = x13 + x 32 + 3(x1x )3 n ) (x ( k −1 k −1 + x13 + x 32 3k −1 k −1 + x 32 ) + 3( x ) 3k −1 k −1 + x 32 ) =x 3k n Suy ra, theo nguyên lý quy nạp thì: Vn = x13 + x 32 ; ∀n ∈ N * k + x 32 1,5đ Vậy: u n = (3 − 10)3 + (3 + 10) ( x1 , x nghiệm pt x − x − = 0) 0,5đ Bài ( điểm) Trong 1) cho y = ta có: f ( x.f (2) ) f (2) = f (x + 2) ⇒ f (x + 2) = 0; ∀x ≥ 1đ n −1 n −1 Vì f (x) ≠ 0, ∀x ∈ [ 0;2 ) ⇒ t = x + ≥ Do f (t) = 0, ∀t ≥ hay f (x) = 0, ∀x ≥ Vậy: ≠ neu ≤ x < f (x) = 0 neu x ≥ 1đ Bây ta cần tìm hàm f(x) với x ∈ [ 0;2 ) Khi đó: 2-x > nên: f ( (2 − x)f (x) ) f (x) = f (2 − x + x) = f (2) = ⇒ f ( (2 − x)f (x) ) = ⇒ (2 − x)f (x) ≥ ⇒ 2−x ≤ f (x) 1đ Do f ( (y − x)f (x) ) ≠ ⇒ (y − x).f (x) < Ta cho x cố định, y → (do tính liên tục) ta có: 2−x 2−x ≤ ≤ ⇒ f (x) = f (x) 2−x , x ∈ [ 0;2 ) Tóm lại: f (x) = − x 0 x ∈ [ 2; +∞ ) 1đ LƯU Ý: - Tổ chấm thống điểm thành phần đến 0,25đ - Thí sinh có lời giải phạm vi kiến thức chương trình (khác với đáp án) cho điểm tối đa phần - Điểm toàn làm tròn đến 0,5 -