Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: SỞ GIÁO DỤC VÀLỊCH ĐÀO TẠO ĐỒNGHỌC NAI SƠ LƯỢC LÝ KHOA Đơn vị: Trường THCS & THPT Bàu Hàm Mã số: I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) Họ tên: Lê Văn Anh Ngày tháng năm sinh: 28/09/1978 Nam, nữ: Nam SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Địa chỉ: Khu Ấp Thuận Hòa, Xã Sông Thao, Huyện Trảng Bom, Tỉnh Đồng Nai Điện thoại: 0976008701 MỘT SỐ Fax: (CQ)/ 0613.670611 PHƯƠNG PHÁP E-mail: Levananh.thpt.bh@gmail.com PHƯƠNG TRÌNH 7.GIẢI Chức vụ: Phó Hiệu Trưởng NGHIỆM NGUYÊN Đơn vị công tác: Trường THCS & THPT Bàu Hàm II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học sư phạm - Năm nhận bằng: 2009 - Chuyên ngành đào tạo: Toán III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán - Số năm có kinh nghiệm: 10Người thực hiện: Lê Văn Anh - Các sáng kiến kinh nghiệmChức cóVụ: 5Phó năm gầnTrưởng đây: Hiệu Phương pháp rèn học sinh làm tậpnghiên hình học Lĩnhbài vực cứu: Hướng dẫn học sinh phân tích toán theo sơ đồ hệ  thống - Quản lý giáo dục Một số phương pháp giải toán cách phương trình - Phương pháp dạylập học môn: TOÁN  Một số phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2011 – 2012 Người Thực hiện: Lê Văn Anh Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Toán học môn học chương trình trường phổ thông Thông qua việc dạy học môn toán giúp học sinh phát triển tư sáng tạo, suy luận lô gíc Đối với học sinh việc học giỏi môn toán điều kiện học giỏi cán môn khác Thông qua việc học toán giúp em hình thành phẩm chất nhân cách tính cần cù chịu khó, tính tự lực, tính kiên trì sáng tạo, không chịu khuất phục khó khăn Thông qua việc học toán giúp em cảm thụ hay, đẹp tự nhiên, xã hội Học giỏi toán yếu tố quan trọng để khởi nguồn cảm hứng học tập tốt môn khác cho học sinh Trong trình giảng dạy nói chung việc học toán nói riêng việc dạy toán để học sinh dễ hiểu thông qua để học sinh phát triển tính sáng tạo, suy luận lôgíc nhiệm vụ quan trọng người giáo viên dạy toán Bài tập toán có nhiều loại: Bài tập đại số, tập hình học, tập số học Trong loại có nhiều dạng khác nhau, dạng có tính chất, đặc thù riêng nên cần phải có phương pháp giải phù hợp Dạng toán “Giải phương trình nghiệm nguyên” dạng toán giải cần vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, nhiều gặp khó khăn giải Dạng toán “Giải phương trình nghiệm nguyên” có vai trò quan trọng, thường gặp phần ôn tập, tài liệu toán có mặt kì thi TN THCS, thi vào lớp 10 đặc biệt kì thi học sinh giỏi cấp Toán “Giải phương trình nghiệm nguyên” dạng toán phong phú Khi giải cần phải có lượng kiến thức vững để vận dụng người giải phải có tư sáng tạo Do giáo viên vấn đề khó khăn phương pháp giải Tư kiến thức tương đối khó, vận dụng kiến thức nào, vận dụng cho phù hợp, làm để em hiểu biết cách giải Vấn đề khó khăn thực tế giáo viên đứng lớp có trình độ nhận thức chuyên môn hạn chế, chưa thực đổi phương pháp, chưa biết Người Thực hiện: Lê Văn Anh Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: phối hợp phương pháp giảng dạy cách hiệu Cho nên học sinh khó tiếp thu dẫn đến chán nản, bi quan, nhận thức thụ động Bên cạnh nhiều toán giải phương trình nghiệm nguyên mà nhiều đội ngũ giáo viên chưa thống qua cách hiểu, cách giải có nhiều cách giải khác Là giáo viên dạy Toán Qua thực tế qua khảo sát chất lượng lớp, lớp việc giải phương trình nghiệm nguyên thấy chất lượng học sinh chưa cao, nhiều em chưa biết làm để giải bài, sở để giải dạng toán Điều gợi ý cho chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên” II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Trong chương trình toán THCS phần kiến thức phương trình đóng vai trò quan trọng Ngay từ học tiểu học học sinh làm quen với toán tìm x, cách tiếp cận với mảng kiến thức phong phú môn toán học phương trình Các loại phương trình, cách giải loại phương trình, giới thiệu chương trình toán bậc trung học sở trung học phổ thông Các toán giải phương trình nghiệm nguyên có đặc thù riêng chỗ: phương trình ta xét đến thường phương trình có nhiều ẩn số mà ta phải tìm nghiệm số nguyên Chính thế, để giải phương trình nghiệm nguyên việc nắm bước giải phương trình nói chung học sinh phải có tư sáng tạo, vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức số học, đại số để giải Trong giảng dạy môn toán, đường tìm tòi cách giải trình tư suy luận lôgíc học sinh rèn luyện thông qua trình học toán Đằng sau toán đơn giản lại chứa đựng bao điều thú vị, cách giải khác tập phát triển dần thành toán tổng quát Do tập xây dựng theo trình tự định, phân chia thành dạng Người Thực hiện: Lê Văn Anh Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: bản, đảm bảo phù hợp với phát triển dần nâng cao nhận thức học sinh Hệ thống tập xây dựng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, tập trung vào việc đảm bảo mục đích yêu cầu đạt thông qua giải dạng tập Hình thành cho học sinh thói quen nhìn nhận toán khoa học, không bị động, lúng túng giải đồng thời em chủ động tìm tòi, khai thác vấn đề nảy sinh từ toán Phương trình nghiệm nguyên mảng kiến thức phong phú, có nhiều dạng có nhiều cách giải khác Cho nên đứng trước toán giải phương trình nghiệm nguyên điều quan trọng học sinh phải nhận dạng phương trình để từ có phương pháp giải cho phù hợp Nhiều giải phương trình nghiệm nguyên ta phải biết kết hợp nhiều phương pháp giải lời giải toán trở nên hay ngắn gọn Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài Trong trình giảng dạy học sinh lớp 9, giải phương trình nghiệm nguyên thấy đa số em học sinh chưa có tư duy, suy luận toán học lôgíc Học sinh thường không không định hình cách giải Đối với học sinh giải em có thói quen đúc rút kinh nghiệm để phân chia thành dạng phương pháp giải cho dạng Trong trình giải em trình bày thiếu chặt chẽ, không lôgíc, không hiểu sở dạng Chính mà em học tập chuyển biến rõ rệt tiếp xúc với loại toán Khảo sát: Đề bài: Tìm số nguyên x,y thoả mãn: xy = x + y Kết khảo sát 10 học sinh chọn từ 40 học sinh lớp 8A1 (lớp chọn) 39 học sinh lớp 9A1 (lớp chọn) làm kiểm tra sau: Người Thực hiện: Lê Văn Anh Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: Lớp Tổng số Sai kiến thức Sai phương pháp Sai Đúng SL % SL % SL % SL % 8A1 10 30 20 50 0 9A1 39 17.9 14 35.9 10 25.6 20.5 Với kết thấy việc giải toán: “Giải phương trình nghiệm nguyên” khó học sinh Hầu hết em chưa biết chưa nắm vững phương pháp giải, kiến thức cần vận dụng nên dẫn đến giải sai.Chính mà đề cập nghiên cứu đề tài việc giải phương trình nghiệm nguyên Song điều kiện thời gian tính ứng dụng thực tế nên nghiên cứu số dạng phù hợp chủ yếu với học sinh trường Giải pháp thực Các kiến thức bản: Một phương trình có nhiều ẩn số với hệ số số nguyên ta phải tìm nghiệm nguyên gọi phương trình nghiệm nguyên Phương trình nghiệm nguyên gọi phương trình vô định (vì thường có nhiều nghiệm) hay phương trình Diophante (mang tên nhà toán học cổ Hi Lạp Diophante) Tập hợp số tự nhiên kí hiệu N N= 0;1;2;3;4;5  Tập hợp số nguyên kí hiệu Z Z=  ;3;2;1;0;1;2;3;  Tập hợp N tập tập hợp Z ( N  Z ) Chú ý: Cùng với toán giải phương trình nghiệm nguyên ta gặp toán tìm nghiệm tự nhiên, nghiệm nguyên dương, nghiệm nguyên tố phương trình có hệ số nguyên có hệ số không nguyên, phương trình có ẩn mẫu, phương trình vô tỉ Người ta nói: Giải phương trình tập hợp số nguyên, tập hợp số nguyên dương Người Thực hiện: Lê Văn Anh Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: Các phương pháp giải: Phương pháp 1: Đưa dạng tích Phương pháp giải: Biến đổi phương trình dạng mà vế trái tích đa thức chứa ẩn, vế phải tích số nguyên Các ví dụ áp dụng: Thí dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình xy = x + y (1) Lời giải: xy = x + y  xy – x – y =  x(y-1)-(y-1)=1  (x-1)(y-1)=1 Vì x,y số nguyên nên x-1, y-1 số nguyên mà 1=1.1=-1.(-1) nên có khả sau: x   y 1  (I)   x   1  y   1 (II)  Giải hệ (I) ta được: (x = 2;y = 2) Giải hệ (II) ta được:(x = 0;y = 0) Vậy phương trình (1) có nghiệm nguyên là: (x = 0; y = 0) (x = 2; y = 2) Thí dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3xy – = 5x + 2y (2) Lời giải: Nhân vế phương trình (2) với ta được: 9xy-9=15x+6y  9xy - 15x - 6y =9  3x(3y-5)-2(3y-5)=19  (3x-2)(3y-5)=19=19.1=-19.(-1) Có khả sau: Người Thực hiện: Lê Văn Anh Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: 3 x   3 x   19 3 x   1 3 x   19 ; (II)  ; (III)  ;(IV)  3 y   19 3 y   3 y   19 3 y   1 (I)  Hệ (I) &(II) có nghiệm (x=1;y=8) (x=7;y=2) Hệ (III) & (IV) nghiệm nguyên Vậy PT (2) có nghiệm nguyên là: (x=1;y=8) & (x=7;y=2) Nhận xét: Nếu phương trình có dạng axy+bx+cy=d với a,b,c,d  Z ,a  để đưa PT dạng tích ta nhân hai vế PT với a Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 + x+ = xy - y (3) Lời giải: x2 + x + 1=xy - y  (x -x)+(2x-2)+3=y(x-1)  x(x-1)+2(x-1)-y(x-1)=-3  (x-1)(y-x-2)=3 Vì x nguyên dương nên x-1 số tự nhiên mà 3=3.1 nên có khả xảy ra: x   y  x   (I)  x   y  x   ; (II)  Hệ (I) & (II) có nghiệm nguyên dương (x=4;y=7) & (x=2; y=7) Vậy PT (3) có nghiệm nguyên dương nghiệm  Chú ý: Ta giải phương trình phương pháp sử dụng tính chất chia hết sau: Biểu thị y theo x ta y= x2  x 1  x2 , từ ta thấy y x 1 x 1 nguyên x-1 ước (xem phương pháp 3) Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2(x+2y)-y2(y+2x)=1991 (4) Lời-giải: x2(x+2y)-y2(y+2x)=1991 3  x +2x y-y -2xy =1991 Người Thực hiện: Lê Văn Anh Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: 3 2  (x -y )+(2x y-2xy )=1991 2  (x-y)(x +xy+y )+2xy(x-y)=1991 2  (x-y)(x +3xy+y )=1991(1) Vì x,y nguyên dương nên x2+3xy+y2 >0 x2+3xy+y2>x-y Từ (1) suy x - y nguyên dương Mà 1991=1.1991=11.181 nên có trường hợp:  x  y  11 x  y  (I)   x  3xy  y  1991 2 (II)  2  x  3xy  y  181 Giải hệ PT với nghiệm nguyên dương ta (x=12;y=1), nghiệm nguyên dương PT (4) Các tập áp dụng: Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : a, xy - 2x + 3y = 27 b, 3xy + x + y = 17 c, 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 d, x3 - y3 = 91 Bài 2: Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Phương pháp 2: Sắp thứ tự ẩn Nếu ẩn x, y, z, có vai trò bình đẳng, ta giả sử x  y  z  ,để tìm nghiệm thoả mãn điều kiện Từ đó, dùng phép hoán vị để suy nghiệm phương trình cho Thí dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y + z = xyz (5) Lời giải : Do vai trò bình đẳng x, y, z phương trình , trước hết ta xét x y z Vì x, y, z nguyên dương nên xyz  0, x  y  z  xyz  x  y  z  3z  xy   xy  1;2; 3 Nếu xy =1 suy x = y = 1, thay vào (5) ta có : + z = z, vô lí Người Thực hiện: Lê Văn Anh Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: Nếu xy = 2, x  y nên x = 1và y = 2, thay vào (5), suy z = Nếu xy = 3, x  y nên x = 1và y = 3, thay vào (5), suy z = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (5) hoán vị (1; 2; 3) Thí dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 1    (6) x y z Lời giải: Do vai trò bình đẳng x,y,z, trước hết xét x  y  z 1 1 Ta có: =    , suy x  , suy x=1 x y z x Thay x=1 vào (6) ta có : 1 1  1       y  y z y z y Suy ra: y =   (vô lí) z y =  1  z2 z Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (6) hoán vị (1;2;2) Bài tập áp dụng: Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a, x + y + = xyz b, y3 + 7x = x3 + 7y c, xy + yz + zx = xyz + d, 1 1    x y z 1995 Bài 4: Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên dương: 1   1 xy y x Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm tìm nghiệm phương trình Thí dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 - 2y2 = Người Thực hiện: Lê Văn Anh (7) Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: Lời giải: Từ PT (7) suy x phải số lẻ Thay x = 2k + (k số nguyên) vào (7) ta được: 4k2 + 4k + - 2y2 = 2  2(k +k-1) = y , suy y số chẵn, suy y số chẵn Đặt y = 2t (t số nguyên), ta có: 2(k2+k-1) = 4t2  k(k+1) = 2t + (**) Nhận xét: k(k+1) số chẵn, 2t2+1 số lẻ, suy PT (**) vô nghiệm Vậy PT (7) nghiệm nguyên Thí dụ 8: Tìm nghiệm nguyên PT: xy + x - 2y = (8) Lời giải: Ta có (8) tương đương với y(x - 2) = -x + Vì x = nghiệm PT nên (8) tương đương với y=  x3  y  1  x2 x2 Ta thấy: y số nguyên x-2 ước 1, từ suy x-2=1 x - = - suy x = x = Với x = y = -1 - 1= - Với x = y = -1 + 1=0 Vậy PT (8) có nghiệm nguyên (1;-2) (3;0)  Chú ý: Có thể dùng phương pháp để giải toán này, nhờ đưa PT dạng: (x-2)(y+1)=1 Thí dụ 9: Tìm nghiệm nguyên tố phương trình: y2 - 2x2 = (9) Lời giải: PT (9) tương đương với PT : y2 = 2x2 + 1, suy y2 lẻ, suy y lẻ Đặt y = 2k +1, thay vào PT ta được: (2k+1)2=2x2 + 2  4k +4k+1=2x +1 2  x =2k +2k Từ suy x2 chẵn, suy x chẵn, mà x số nguyên tố nên x =2, suy y2 =9, Người Thực hiện: Lê Văn Anh 10 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: suy y = Vậy PT (9) có nghiệm nguyên tố (2;3) Bài tập áp dụng: Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình: a, x2 - 3y2 = 17 b, 3x2 + 5y2 = 12 c, xy + 3x – y = 38 d, 19x2 + 28y2 = 729 Phương pháp 4: Đưa phương trình dạng: A2 + B2 + C2 + = Thí dụ 10: Tìm nghiệm nguyên PT: (x – 1)(y + 1) = (x + y)2 (10) Lời giải: (x – 1)(y + 1) = (x + y)2 Ta có (x+y)2= ( x  1)  ( y  1)2 =(x-1)2+(y+1)2+2(x-1)(y+1) Nên PT (10) tương đương với PT (x – 1)2 + (y + 1)2 + 2(x – 1)(y + 1)=(x – 1)(y + 1) 2  (x-1) +(y+1) +(x-1)(y+1)=0    ( x  1)  ( y  1)  + (y+1) =0   y 1    ( x  1)  ( y  1)     y  1   x  Vậy PT (10) có nghiệm nguyên (1;-1) Thí dụ 11: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + = (11) Lời giải: x2+y2+z2-xy-3y-2z+4=0 2  x -xy+y +z -3y-2z+4=0 Người Thực hiện: Lê Văn Anh 11 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên:  (x- 2 y ) + y -3y+z -2z+4=0  (x- y2 y ) +3( -y)+z2-2z+4=0  (x- y 2 y ) +3(  ) +(z-1) =0 2 y  x    y   1  2 z     x    y  z   Vậy PT (11) có nghiệm nguyên (1;2;1) Bài tập áp dụng: Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình: a, 2x2 + y2 - 2xy + 2y -6x + = b, x2 - 4xy + 5y2 =16 Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a, x2y2 + 2x2 - 2x2y - 2x + = b, 2x2 + 2y2 - 8x - 8y + 16 = Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức: + Dùng bất đẳng thức A  + Dùng bất đẳng thức Côsi : Với a,b dương có ab  ab , dấu “=” xảy a=b + Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: (a1b1+a2b2+ +anbn)  (a12+a22+ +an2)(b12+b22+ +bn2) Dấu = xảy a a1 a    n b1 b2 bn Thí dụ 12: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – xy + y2 = (12) y Lời giải: x2 – xy + y2 =  (x- )2=3Người Thực hiện: Lê Văn Anh 3y 12 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: Vì y (x- )2  , suy 3- 3y  0, suy -2  y  Lần lượt thay y = -2; -1; 0; 1; vào PT(12) để tính x ta nghiệm nguyên PT là: (-1;-2); (1;2); (-2;-1); (2;1); (-1;1); (1;-1) Thí dụ 13: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : (x2 + 1)(y2 + 1) = 4xy (13) Lời giải : Theo bất đẳng thức Côsi ta thấy x2+1  x hay x2+1  2x , dấu xảy x2=1, suy x=1 y2+1  y hay y2+1  2y , dấu xảy y2=1, suy y=1 Do (x2+1)(y2+1)  4xy, dấu xảy x=1,y=1 Vậy PT (13) có nghiệm nguyên dương (1;1) Bài tập áp dụng: Bài 9: Tìm nghiệm nguyên phương trình: a, b, c, (x + y + 1)2=3(x2 + y2 + 1) x  y 1  z   ( x  y  z) 2x2 + 4x = 19 - 3y2 III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Qua năm học áp dụng phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên trường THCS & THPT Bàu Hàm nơi công tác, nhận thấy từ bước đầu em lúng túng cảm thấy sợ gặp toán giải phương trình nghiệm nguyên Do em chưa hiểu bài, chưa biết phương pháp giải cho dạng em có tiến rõ rệt Các em cảm thấy hứng thú giải loại toán Khi giải em trình bày rõ ràng, nhiều em có sáng tạo giải dẫn đến nhiều cách giải hay, ngắn gọn xác Người Thực hiện: Lê Văn Anh 13 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: Kết khảo sát 10 học sinh chọn từ 40 học sinh lớp 8A ( lớp chọn) 39 học sinh lớp 9A1 ( lớp chọn) chọn khảo sát ban đầu, đạt cụ thể sau: Lớp Tổng số Sai kiến thức Sai phương pháp Sai Đúng SL % SL % SL % SL % 8A1 10 0 10 20 70 9A1 39 5.1 2.6 5.1 34 87.2 IV: ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Từ việc nghiên cứu đề tài nhận thấy áp dụng lớp & mà áp dụng khối khác theo mức độ phù hợp Tôi nghĩ với phương pháp tương tự nghiên cứu thành sưu tập phương pháp dạy toán từ đơn giản đến phức tạp nhiều dạng toán Vấn đề phương pháp giải toán bậc THCS vấn đề đáng quan tâm công tác giáo dục đào tạo Việc tìm phương pháp tối ưu nhằm đưa chất lượng dạy học toán lên vấn đề cần thiết quan trọng Từ việc nghiên cứu đề tài phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thấy thông qua hoạt động học toán em có thói quen suy nghĩ, nhìn nhận vấn đề cách khoa học, cách khai thác, phát triển toán thành toán nâng cao Với mong muốn ngày nâng cao chất lượng giảng dạy, kết đem lại chưa hẳn thành công Chắc chắn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên nhiều ví dụ hấp dẫn khác Song với giúp đỡ nhiệt tình bạn bè đồng nghiệp học sinh trình giảng dạy phần khích lệ nhiều bắt tay vào viết đề tài Trong đề tài hẳn nhiều thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn./ Người Thực hiện: Lê Văn Anh 14 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: V: TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán tuổi thơ Tài liệu BDTX Toán phát triển Vũ Hữu Bình Em muốn giỏi toán Võ Đại Mau Toán bồi dưỡng học sinh đại số “Vũ Hữu Bình - Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều” Toán nâng cao chuyên đề đại số &9 “Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Việt Hải – Vũ Dương Thụy” Toán nâng cao chọn lọc đại số THCS “Nguyễn Vĩnh Cận- Lê Khắc Bảo- Vũ Thế Hựu Lê Đình Phi- Phan Thanh Quang- Phạm Đan Quế” Trảng Bom Ngày 15 tháng năm 2012 Người thực Lê Văn Anh Người Thực hiện: Lê Văn Anh 15 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THCS & THPT Bàu Hàm Độc lập - Tự - Hạnh phúc Trảng Bom., ngày20 tháng năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2011 – 2012 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: “Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên” Họ tên tác giả: Lê Văn Anh Chức vụ: Phó Hiệu Trưởng Đơn vị: Trường THCS & THPT Bàu Hàm Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: Toán  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Có giải pháp hoàn toàn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có   Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) Người Thực hiện: Lê Văn Anh THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) 16 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: Người Thực hiện: Lê Văn Anh 17 [...].. .Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: suy ra y = 3 Vậy PT (9) có nghiệm nguyên tố là (2;3) Bài tập áp dụng: Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a, x2 - 3y2 = 17 b, 3x2 + 5y2 = 12 c, xy + 3x – y = 38 d, 19x2 + 28y2 = 729 Phương pháp 4: Đưa về phương trình về dạng: A2 + B2 + C2 + = 0 Thí dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của PT: (x – 1)(y + 1) = (x + y)2 (10) Lời giải: (x – 1)(y... Qua một năm học áp dụng phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên tại trường THCS & THPT Bàu Hàm nơi tôi công tác, tôi nhận thấy từ bước đầu các em lúng túng cảm thấy rất sợ khi gặp các bài toán giải phương trình nghiệm nguyên Do các em chưa hiểu bài, chưa biết phương pháp giải cho từng dạng bài thì bây giờ các em có sự tiến bộ rõ rệt Các em cảm thấy hứng thú khi giải loại toán này Khi giải các em trình. .. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 = 3 (12) y 2 Lời giải: x2 – xy + y2 = 3  (x- )2=3Người Thực hiện: Lê Văn Anh 3y 2 4 12 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: Vì y 2 (x- )2  0 , suy ra 3- 3y 2  0, suy ra -2  y  2 4 Lần lượt thay y = -2; -1; 0; 1; vào PT(12) để tính x ta được các nghiệm nguyên của PT là: (-1;-2); (1;2); (-2;-1); (2;1); (-1;1); (1;-1) Thí dụ 13: Tìm nghiệm. ..  0   1 ( x  1)  ( y  1)  0  2   y  1   x  1 Vậy PT (10) có nghiệm nguyên là (1;-1) Thí dụ 11: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0 (11) Lời giải: x2+y2+z2-xy-3y-2z+4=0 2 2 2  x -xy+y +z -3y-2z+4=0 Người Thực hiện: Lê Văn Anh 11 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên:  (x- 1 2 3 2 2 y ) + y -3y+z -2z+4=0 4 2  (x- 1 2 y2 y ) +3( -y)+z2-2z+4=0... nhiều em có sáng tạo trong khi giải dẫn đến nhiều cách giải hay, ngắn gọn và chính xác Người Thực hiện: Lê Văn Anh 13 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: Kết quả khảo sát của 10 học sinh được chọn ra từ 40 học sinh lớp 8A 1 ( lớp chọn) và 39 học sinh lớp 9A1 ( lớp chọn) được chọn khảo sát ban đầu, đạt được cụ thể như sau: Lớp Tổng số Sai kiến thức Sai phương pháp Sai cả bài Đúng cả bài... Văn Anh 15 Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên: SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THCS & THPT Bàu Hàm Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Trảng Bom., ngày20 tháng 5 năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2011 – 2012 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Nghiệm Nguyên Họ và tên tác giả: Lê Văn Anh Chức... những phương pháp tương tự chúng ta có thể nghiên cứu thành bộ sưu tập các phương pháp dạy toán từ đơn giản đến phức tạp của nhiều dạng toán cơ bản Vấn đề phương pháp giải toán ở bậc THCS hiện nay đang là vấn đề đáng quan tâm trong công tác giáo dục đào tạo Việc tìm ra phương pháp tối ưu nhằm đưa chất lượng dạy và học toán đi lên là vấn đề cần thiết và quan trọng Từ việc nghiên cứu đề tài phương pháp giải. .. phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên tôi thấy thông qua các hoạt động học toán các em có thói quen suy nghĩ, nhìn nhận vấn đề một cách khoa học, cách khai thác, phát triển bài toán đó thành các bài toán cơ bản nâng cao Với mong muốn ngày càng nâng cao chất lượng giảng dạy, những kết quả đem lại chưa hẳn đã thành công Chắc chắn còn nhiều phương pháp để giải phương trình nghiệm nguyên và còn nhiều...  1  0 2 z  1  0   x  1   y  2 z  1  Vậy PT (11) có nghiệm nguyên là (1;2;1) Bài tập áp dụng: Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a, 2x2 + y2 - 2xy + 2y -6x + 5 = 0 b, x2 - 4xy + 5y2 =16 Bài 8: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: a, x2y2 + 2x2 - 2x2y - 2x + 1 = 0 b, 2x2 + 2y2 - 8x - 8y + 16 = 0 Phương pháp 5: Dùng các bất đẳng thức: + Dùng bất đẳng thức A 2  0 + Dùng bất... rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán  - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây) - Có giải pháp hoàn toàn mới - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có   2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới