PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hình học phẳng giảng dạy cho học sinh chương trình trung học sở Phương pháp giải toán hình học cấp hai chủ yếu dùng định lí, hệ quả, tính chất hình học để suy luận Phương pháp mang chất túy hình học gây không khó khăn cho học sinh, đặc biệt học sinh THPT Các đề thi Olympic 30/4 hay đề thi học sinh giỏi THPT năm gần có toán hình học phẳng Việc dùng phương pháp tổng hợp mạnh em Trong học sinh lớp 10 học kiến thức vectơ tọa độ Vậy em không thử sử dụng kiến thức vừa học để giải toán hình học phẳng thay dùng phương pháp tổng hợp biết cấp hai Phương pháp tọa độ hóa hình học phẳng cung cấp thêm cho học sinh công cụ giải toán ( đơn giản dễ hiểu) mà giúp củng cố kiến thức vectơ tọa độ vừa học Điểm đề tài tóan hệ thống lại thành dạng chung, giải theo phương pháp tương đối dễ nhớ Học sinh tự rút số kinh nghiệm cho thân trình giải toán II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI 1.Cơ sở lý luận: Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp Réné Descartes cho xuất “ LaGéométrie ” với nội dung xây dựng hình học phương pháp toạ độ đánh dấu bước tiến mạnh mẽ toán học Descartes nhà toán học thiên tài khai sinh phương pháp toạ độ Phương pháp toạ độ đời giúp người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp người đạt đến đạt đến đỉnh cao khái quát hoá trừu tượng hoá toán học nhiều lĩnh vực Một nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt dạy hình học hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa biết vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức toạ độ điểm, toạ độ vectơ công thức có liên quan vào giải toán 2.Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài a Nội dung: NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Tóm tắt lý thuyết:  Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho : uuuuur r ur  OM  xi  y j  M ( x; y) ur r ur ur  u  xi  y j  u( x; y) ur     r  Với a  a ; a ; b  b ; b 2   a1  b1  a b  a2  b2 ur r   a  b  (a  b ; a  b ) ; ka  (ka ; ka ) với k R 1 2 ur r ur r ur r  a.b  a b cos a; b  a b  a b 11 2 ur r ur r  a  b  a.b   a b  a b  11 2   a  a2  a2      r ur a phương với b  a1b2  a2b1  ur r a b a b ab 11 2 Cos  ur r  ab a  a b2  b2 2     Với A  x ; y ; B  xB ; yB A A uuur  AB  xB  x ; yB  y A A uuur  AB  AB  ( x  x )2  ( y  y )2 B A B A x x y y  Tọa độ trung điểm M AB: M ( A B ; A B ) 2  Phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm Mx0; y0) có ur vtpt n = (A; B).là: A(x  x0) + B(y  y0) =  Ax + By + C = (A2 + B2  0)  Phương trình đường tr n (C) tâm I (a,b), bán kính R : 2 ( x  a)2  ( y  b)2  R2 x + y – 2ax - 2by + c= y2 x2  Phương trình tắc (E): + = với c2 = a2- b2 a2 b2 x2 y  Phương trình tắc Hypebol: = với c2 = a2+b2 a2 b2    Phương trình tắc (P): y2 = 2px , p > 0: tham số tiêu Ngoài ra, học sinh cần biết thêm số công thức khác… NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Các dạng toán thường gặp:  Chứng minh quan hệ song song, vuông góc Tính toán  Tập hợp điểm  Điểm cố định Các bước giải toán:  Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ (Oxy ) thích hợp Ta có:Ox, Oy vuông góc đôi Do đó, mô hình chứa cạnh vuông góc ta ưu tiên chọn đường thuộc trục tọa độ  Bước 2: Chuyển giả thiết, kết luận từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ  Bước 3: Giải toán phương pháp toạ độ  Bước 4: Chuyển kết từ ngôn ngữ tọa độ sang hình học b Biện pháp: Kiến thức vectơ tọa độ kiến thức học sinh Muốn sử dùng phương pháp tọa độ để giải toán hình học đòi hỏi em phải thành thạo việc giải toán tọa độ đồng thời phải nắm mối liên hệ “ngôn ngữ hình học” “ngôn ngữ tọa độ” III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Khái niệm vectơ tọa độ đưa vào nội dung chương trình lớp 10, làm công cụ nghiên cứu quan hệ đối tượng hình học phẳng Việc sử dụng vectơ tọa độ để giải toán hình học phẳng tạo cho học sinh cảm giác thích thú, trực quan quen thuộc đặc biệt có hiệu toán quỹ tích Phương pháp tọa độ cách mạng toán học giúp cho toán học thoát khỏi tư cụ thể không gian vật lý thông thường, nhằm đạt tới đỉnh cao khác khái quát trừu tương hóa toán học Mặt khác, số kiến thức vectơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ không gian chương trình hình học lớp 12, công cụ hữu ích để giải nhiều toán hình học không gian NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Vấn đề 1: Bài toán chứng minh (hoặc tính toán) Bài Cho hình vuông ABCD E, F điểm xác định uuur uuuur uuuur uuuur BE  BC, CF   CD , AE cắt BF I Chứng minh : góc AIC 90 Bài giải: Giả sử cạnh hình vuông có độ dài Gắn hệ trục (Oxy) cho D(0;0), C(1;0), A(0;1) Ta có:  2 3  E 1;  , F  ;0  , B 1;1  3 2  Phương trình đường thẳng AE : x + y - = 0, BF : x + y - = uuur   uuur    x  3y   3 Tọa độ I nghiệm hệ:   I  ;   AI   ;   , CI   ;   5 5 5 5 5 2 x  y  uuur uuur uuur uuur Khi đó: AI CI   AI  CI Vậy: Góc AIC 900 Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi D trung điểm BC, E hình chiếu D CA F trung điểm DE Chứng minh AF BE Bài giải: NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chọn hệ trục Oxy cho: D (0; 0) , B ( -1; 0) , C (1; 0) , A (0; a ) y   ax  y  a  a Phương trình DE: x - ay = Tọa độ E nghiệm hệ:  a2   ax  y  a a  a2 a     E ;  F ;    a2  a2   2(1  a2 ) 2(1  a2 )   x  ay      Ta có: uuur uuuur uuur  2a2 1 a  uuuur  a2 2a3  a   BE.AF  (đpcm) BE   ; , AF  ;   a2  a2   2(1  a2 ) 2(1  a2 )      Phương trình đường thẳng AC: x  Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC D trung điểm AB E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh : IE  CD Bài giải: Gọi O trung điểm BC Chọn hệ trục Oxy: c a c a O  0;0  , A  0; a  , B  c;0  , C  c;0  , D   ;  , E  ;   2 6 2 uuur uuur x   c a   DI  BA  x  ; y    c; a    Ta có: uuur uuuur     a2  c2 OI  BC y      2a  x; y   2c;0     a2  c2  uur uuuur  c c2   3c a   IE.DC  ; ;     2a   2a  2  I  0;  Vậy: IE  CD    NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài (APMO 1998) Cho tam giác ABC với đường cao AD,  đường thẳng qua D Lấy E,F  , khác D, cho AE  BE, AF  CF Gọi M, N theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng BC, EF Chứng minh AN  MN Bài giải: Chọn A làm gốc tọa độ, trục hoành chứa đường thẳng qua A song song với   e f  Giả sử D(d;a), E(e;a), F(f;a)  N  ;a    Khi đó, đường thẳng AE có phương trình ax - ey = Đường thẳng AD có phương trình ax - dy = Đường thẳng AF có phương trình ax - fy = Từ đó, BE  EA nên BE có phương trình ex + ay - e - a = Do CF  AF nên CF có phương trình fx + ay - f 2- a = Do BC  AD nên BC có phương trình dx + ay - d - a = Từ đó, tìm de   df  e f d (e  f )    B  d  e; a   , C  d  f ; a   Suy M  d  ;a  a  a  2a    uuuur  d (e  f )  uuuur uuuur e f d (e  f )  MN   d ;  MN AN  d a 0  2a  2a  Vậy: Ta có đpcm NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài (IMO 2000) Cho hai đường tròn (O1 ); ( O2 ) cắt hai điểm phân biệt M, N Tiếp tuyến chung ( gần M hơn) tiếp xúc với ( Oi ) Ai Đường thẳng qua M, song song với A1 A2 , cắt lại đường tròn ( Oi ) Bi Các đường thẳng Ai Bi cắt C, đường thẳng Ai N cắt đường thẳng B1B2 D, E Chứng minh CD = CE Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ A1xy cho A1 (0; 0), A2 (a; 0), O1 ( 0; r1 ) , O2 (a; r2 ) Giả sử: M(s;t), Khi B1 ( -s; t ) , B2 ( 2a - s; t ) Từ B1 B2 = 2a = A1 A2 Ta thấy A1 A2 // B1 B2 Suy A1, A2 theo thứ tự trung điểm B1C, B2C uuuur uuuuuur Do đó: C(s;-t) Vậy CM = (0; 2t), B B = (2a; 0) Suy CM  B1 B2 hay CM  DE (1) Gọi K giao điểm MN với A1 A2 ta có: uuuur uuuuur uuuur uuuuur P    KA  KM KN  P    KA K /  o  K /  o   1  2 Suy ra: K trung điểm A1 A2 Từ đó, A1 A2 // B1 B2 nên M trung điểm DE (2) Từ (1), (2) suy CM trung trực đoạn DE (đpcm) NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài (APMO 2000) Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm cạnh BC N chân đường phân giác góc · ABC Đường thẳng vuông góc với NA N cắt đường thẳng AB, AM P, Q theo thứ tự Gọi O giao điểm đường thẳng vuông góc với AB P với AN, chứng minh OQ BC Bài giải: Chọn hệ trục toạ độ Nxy cho A, O nằm trục hoành Giả sử AB có phương trình y  ax  b  a  0  b  Khi A   ;0  , P  0; b   a  Và AC có phương trình y = - ax - b (do A thuộc trục hoành, AB, AC đối xứng qua trục hoành ) Do POAB nên PO có phương trình y   x  b O(ab;0) a Do BC qua gốc tọa đô N, nên BC có phương trình y = cx( c ≠ 0) bc   b b   b ; ;C   ; Suy B     ca ca   ca ca     ab abc  uuuuur bc ; c; a Do M    AM  2 2 2 a(c  a )  c a c a  a2 ab x Từ đường thẳng AM có phương trình y  c c  ab  Suy Q  0;  Vậy đường thẳng OQ có phương trình x + cy – ab =  c  Suy đường thẳng OQ, BC vuông góc với NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài (Bungari league 1981) Đường phân giác góc C tam giác ABC cắt AB L M Chứng minh CL = CM AC + BC = 4R ( R bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) Bài giải: Gọi O trung điểm LM Chọn hệ trục Oxy: O (0; 0) , A ( a; 0) , B (b; 0) , C (0; c ) , L (c; 0) , M ( -c; 0) 2  2 AL AC  AL   AC  a c   ca  Theo tính chất phân giác:          2 LB BC  LB   BC   bc   b c   c2  c2 2 2  ab  ac  a b  c b    a  b  c  ab   b   B  ;0  a  a    a  c2    AB2  BC    a       1 Trong ABC:    c     c2   a2  c2     2  a   2  a2  c2  BC AC  BC     (2)   4R =    2   sin A a   OC c   Từ (1) (2), suy ra: AC + BC = 4R NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài 8.(NewYork 1976) Các đường cao tam0 giác nhọn ABC cắt H Trên đoạn HB HC AB1C = · AC1 B = 900 Chứng minh AB1 = người ta lấy hai điểm B1 , C1 cho · AC1 Bài giải: Chọn hệ trục (Oxy): O (0; 0) , A (0; a ) , B ( -b; 0) , C (c; 0) Phương trình đường thẳng BH: cx - ay + bc = Mà B(x1;y1) BH  cx1 - ay1 + bc = 0(1) uuuur uuuur Mặt khác AB CB   x x  c  y y  a   x  y  cx  ay    1 1 1 1 1 Từ (1) (2), suy ra: x2  y  2ay  bc  1 Ta có : AB  x2  y  a  x  y  2ay  a  a  bc 1 1 1 2 Tương tự: AC  a  bc Vậy: ta có đpcm       Bài Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) elip (E) cố định (tâm đường tròn tâm đối xứng elip) Từ điểm M thuộc(C) ta dựng hai tiếp tuyến MT1 , MT2 tới (E) T1 , T2 tiếp điểm.Chứng minh đường thẳng T1T2 tiếp xúc với đường cong cố định Bài giải: NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 10 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Vấn đề 2: Tìm điểm cố định Bài Cho tam giác ABC vuông A không cân; cạnh AB AC lấy M N cho BM = CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định Bài giải: Dựng hệ trục tọa độ hình vẽ Chọn A(0; 0); M(0; m); B(0; b) ; C(1; 0) với m thay đổi, < m < b  Ta có MB = CN, suy N(1 + m – b ;0) uuuur  1 m  b m  ;  MN  1  m  b; m  Suy trung điểm MN có tọa độ  2  Suy phương trình đường trung trực MN là: 1 m  b m 1  m  b   x    m  y     m  x  y 1 b   1 b  x  1 b         b b 1  ; Ta thấy đường thẳng qua điểm cố định I    Bài Cho tam giác ABC cân A Xét D cạnh AB điểm E cạnh BC BC Chứng minh đường cho hình chiếu DE BC có độ dài thẳng vuông góc với DE E qua điểm cố định Bài giải: NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 15 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Gọi O trung điểm BC, chọn hệ tọa độ cho A(0;a), B(-b;0), C(b;0) Khi đường thẳng AB, AC có phương trình x y x y (AB):    (AC):   b a b a BC Gọi H hình chiếu D BC Do EH  nên E thuộc đoạn OC, H thuộc đoạn OB ax   Vậy, E(x0;0) ,  x  b H( x0 – b;0) D  x0  b;   b   Gọi (d) đường thẳng qua E vuông góc với DE phương trình (d) là: b2 x  ax y  b2 x  Phương trình tương đương với:  b2  ay x  b2 x  0 0  b2   Suy (d) qua điểm cố định 0;  cố định  a      Bài (Poland 1992) Trong mặt phẳng cho trước hai điểm A, B Xét điểm C thay đổi nửa mặt phẳng bờ AB Dựng tam giác ABC hình vuông ACED BCFG Chứng minh đường thẳng DG qua điểm cố định C thay đổi Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ Axy cho A( 0;0), B(b;0) C( x0 ; y0 ) , với y0 > uuuur Khi D(- y0 ; x0 ), G(b+ y0 ;b- x0 ) Vậy DG = (b + y0 ; b - x0 ) x y yx  Và đường thẳng DG có phương trình: b  2y b  2x 0 Hay (b - 2x) x0 + (b - y) y0 + b( x - y) = b b Từ đường thẳng DG qua điểm I  ;  cố định 2 2 NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 16 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài Cho góc vuông xOy, hai điểm A, C chuyển động theo thứ tự Ox, Oy cho OA + OC = b (b độ dài cho trước) Gọi B đỉnh hình chữ nhật OABC Chứng minh đường thẳng d qua B, vuông góc với AC qua điểm cố định Bài giải: Chọn hệ trục Oxy, gọi A ( a; 0) , C (0; c ) Khi đó: B ( a; c ) a + c = b ( a, c hai số thực dương ) ur Vectơ phương u  a; c  (AC) vectơ pháp tuyến d nên d có dạng: a a( x- a ) – c( y - c) =  ax - cy + c2 – a2 =   x  b    y  b   c Vậy d qua điểm I  b; b  đỉnh hình vuông OHIK với H  Ox, K  Oy, OH  OK  b NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 17 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Vấn đề 3: Tìm quỹ tích điểm Bài Cho tam giác ABC với góc C nhọn Tìm quỹ tích điểm M cho MA2 + MB = MC Bài giải: Chọn hệ toạ độ Oxy cho A(a; 0) B(-a; 0) Khi giả sử C(p; q) Với M(x; y), ta có: 2 2 MA2  MB2  MC   x  a   y2   x  a   y2   x  p    y  q  2   x  p    y  q   p  q  a (*)   Mặt khác: 2 AC  BC  AB   p  a   q   p  a   q  4a  p  q  a     Do góc C nhọn nên p  q  a  Suy (*) phương trình đường tròn có tâm D ( -p; -q ) với D đỉnh thứ tư hình bình hành ACBD bán kính R = p2  q2  a2  AC  BC  AB2   Bài Cho hai điểm AB cố định Tìm quỹ tích điểm M cho 2MA2 - 3MB = AB Bài giải: NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 18 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG uuuuuuuuuur uuuuuuuuuuur uuur Gọi O điểm xác định 2OA  3OB  Giả sử AB = a Lập hệ Oxy với Ox trùng với AB Ta có điểm A(-3a; 0), B(-2a; 0), M(x; y) Ta có: 2MA2 - 3MB = AB 2       x  3a   y   x  2a   y  5a          x2  y2  a2 = MO2 Suy MO số Vậy M thuộc đường tròn tâm O bán kính R = AB Bài Cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng Một đường thẳng d di động qua C M điểm d cho đại lượng 2MA2 + 3MB đạt giá trị nhỏ Tìm quỹ tích M Bài giải: uuur uuur Lấy O điểm AB cho 2OA  3OB Lấy O làm gốc tọa độ hình vẽ Không tính tổng quát giả sử A(0; 3)và B(0; -2) M ( x0 , y0) thuộc d Ta có: 2MA2 + 3MB2 2  2    x2  y     x2  y    5( x  y )  30 = 5MO2 + 30 (1) 0 0             NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 19 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Từ (1) suy 2MA2 + 3MB nhỏ MO nhỏ ( M thuộc d ) Khi M hình chiếu vuông góc O lên d Do OC cố định, suy quỹ tích điểm M đường tròn đường kính OC xác định Bài (30/4/2011) Cho góc x O y hai điểm A, B nằm Ox, Oy cho OAB cân O Gọi d đường thẳng không qua O qua trung điểm I AB cắt Ox, Oy C, D Gọi M trung điểm CD, N giao điểm OM AB H hình chiếu vuông góc N CD Khi d di động tìm quỹ tích trực tâm H Bài giải: Đặt góc x· Oy = 2 Chọn hệ trục tọa độ (IXY) cho I (0; 0), O (0;1), A (- tan ; 0), B (tan ; 0) Khi đó: CD : y = kx, OA : y = (cot )x + 1, OB : y = -(cot )x + 1 k k     ; ; C = CDOA  C  , D = CDOB  D     k  cot  k  cot    k  cot  k  cot     k k2   OM :cot  x  kx  k  M ; 2 2  k  cot  k  cot       k ;0   cot   N = OMIX  N  uuuur uuuur k kx   x2  kxy  0 2 cot  cot   tan   tan  2 2    x  y  tan  y   x  y    Gọi H(x;y) ta có NHCD   x  ky   NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG  TRANG 20 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG  Suy tập hợp điểm H đường tròn tâm K  0;    tan  tan   , bán kính R = = IK 2   AB Mà tan  = 2OI Vậy tập hợp điểm H đường tròn tâm K nằm đường thẳng OI tiếp xúc AB I nằm tam giác OAB Bài Cho đường thẳng a, b ( a//b) đường thẳng c vuông góc với a, b Ba điểm A, B, C thay đổi đường thẳng a, b, c cho tam giác ABC vuông C Tìm quỹ tích chân đường cao H hạ từ C Bài giải: Chọn hệ trục Oxy cho trục hoành Ox cách A, B, trục tung Oy đường thẳng c Khi không tính tổng quát giả sử đ n g t h ẳ n g ( a ) : y = ; đườ n g t h ẳ n g uuu ( br ) : y = - ; A(m;1), B(n;-1), C(0;p) uuur uuur  CA  m;1  p  , CB  n; 1  p  ; AB  n  m; 2  Vì CACB  p2 = 1- mn Đường thẳng AB có phương trình 2x + ( n – m)y – m – n = Đường cao hạ từ C có phương trình ( n – m)x – 2y + 2p = 2x + ( n - m)y - m - n = Vậy toạ độ H nghiệm hệ:  ( n - m)x - 2y + 2p = Bình phương hai vế hai phương trình cộng lại ta được: [4 + (n - m)2 ]( x + y ) = (n + m)2 + p  [4 + (n - m)2 ]( x + y 2) = (n + m)2 + 4(1 - mn)  x + y = Vậy H nằm đường tròn (O;1) Trở lại toán ban đầu, gọi M,N giao điểm c với a, b qũy tích H đường tròn đường kính MN NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 21 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài 6.Trong mặt phẳng cho trước đường thẳng d điểm A d Xét B, Cd cho BC = b > cho trước Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài giải: Gọi O hình chiếu A d đặt a = d(A; d ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho A(a;0), O(0;0) (tức trục hoành chứa d , trục tung chứa OA) Giả sử hệ trục B( x0 ; 0) , C ( x0 + b; 0) ( độ dài BC= b) Gọi H trung điểm BC b   b Khi H  x  ;0  HA = HB =   Gọi I ( x; y ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC b  b2  b ay  x  Khi x  x  IA = IB Suy ra:  2    x b2 y    * Hay 2a 8a Vậy đoạn BC trượt Ox tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm parapol ( P ) có phương trình (*) Ngược lại, với điểm I( P ) , dễ dàng kiểm tra d (I ; Ox) < IA , đường tròn tâm I, bán kính IA cắt Ox hai điểm B, C Dễ dàng kiểm tra BC = b Vậy quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC parapol có phương trình cho (*) Bài Cho ba điểm A, B C thẳng hàng theo thứ tự đó, gọi  đường thẳng vuông góc với đường thẳng AC B Với điểm S  , gọi D giao điểm đường thẳng qua B vuông góc với SC với đường thẳng SA Tìm quỹ tích điểm D NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 22 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài giải: Chọn hệ tọa độ Bxy cho A( -a; 0), C(c; 0) (a, c > 0), S(0; s), S ≠ x y x y x y   1,  SC  :     BD  :   Khi (SA): a s c s s c  x y  a  s  Từ đó, tọa độ điểm D nghiệm hệ  x  y 0  s c a  x   x2 y 2    y  *  x hay  Khử s từ hệ, ta thu   ac   a c a2 2 Vậy: S chạy trục tung D chạy đường hyperpol có phương trình (*) Bài Cho điểm A, O, B cố định O nằm A B cho OA = a, OB = b; · · a, b > Tìm quỹ tích điểm M cho góc OMA  OMB Bài giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy cho Ox chứa OA Khi A(a; 0), B(-b; 0) uuuur uuuur Gọi M(m; n) Ta có MA  a  m; n  ; MB  b  m; n  ; NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 23 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG nx   a  m  y  an   MA     nx   m  b  y  bn   MB  Phương trình phân giác góc tạo MA MB nx   m  a  y  an nx   m  b  y  bn  0 2 2 m  a  n m  b  n Mà hai đường qua O (0;0) a>0, b>0 nên phương trình phân giác qua O a b      a  m  b   n2   b2  m  a   n2       m  a 2  n  m  b   n2      m2 a2  b2  n2 a2  b2  2mab  a  b     a  b  m2   a  b  n2  2mab  xab Vậy : Tập hợp M đường tròn có phương trình x2  y   ( a  b) a b đường thẳng x = ( a = b) Bài Cho tam giác ABC không cân có hai đỉnh B,C cố định đỉnh A di động Qua B dựng đường thẳng d vuông góc với BC, d cắt trung tuyến AI tam giác ABC K Gọi H trực tâm tam giác ABC Chứng minh : Nếu IH song song với KC điểm A di động đường cố định Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy với O trùng I trục Ox đường thẳng BC Không tính tổng quát giả sử BC = Khi đó, tọa độ B(-1; 0) C(1;0) Giả sử tọa độ điểm A ( x0 ; y0 ) , với x0 ≠ 0; y0 ≠ Khi đó, trực tâm H(x;y) nghiệm hệ phương trình: NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 24 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG uuuur uuuur  x  x  x2   AH BC  0     Hx ;  uuuur uuuur  y  x0 1  x  1  yy0   BH AC         Gọi K giao điểm d AI, tọa độ K nghiệm hệ phương trình:  x  1  y    0 y  x   K  1;   0x y  x      x   uuur uuuur Theo giả thiết ta có: IH // KC  IH , KC phương x  x2 x2 y x 2     y y 0 x2 y   cố định Vậy A di động (E):   Bài 10.Cho hình vuông ABCD Từ A kẻ đường thẳng Đường thẳng cắt BC, DC tương ứng E F Gọi I trung điểm BE Chứng minh FI tiếp xúc với đường tròn nội tiếp hình vuông Bài giải: Giả sử cạnh hình vuông 2a (a>0) Dựng hệ trục tọa độ Oxy, O tâm hình vuông Ox Oy tương ứng song song với cạnh hình vuông có chiều hình vẽ Khi tọa độ đỉnh A, B, C, D hệ trục là: A(-a;-a), B(a;-a), C(a;a), D(-a;a) Giả sử hệ số góc đường thẳng AF m Khi AF có phương trình: y = m(x+a) – a Vì đường thẳng DF có phương trình y = a, nên hoành độ F nghiệm phương trình m(x+a) – a = a 2a  ma  2a  ma  F ; a  Tương tự tọa độ E là: E (a; 2m - a ) x m m   NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 25 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Phương trình đường thẳng FI: xa y  ma  a   2m  m2 x  1 m  y  a m2  2m   2a  ma  a a  ma  a m a m2  2m  a Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng FI: d  2 2m  m2  1  m          Vì bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh 2a a, nên FI tiếp xúc với đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD đpcm Bài 11 Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với hai đường thẳng song song a b A B Một tiếp tuyến thay đổi đường tròn cắt hai đường thẳng a b A’ B’ Tìm quĩ tích giao điểm AB’và A’B Bài giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho Oy trung trực đoạn AB, Ox đường thẳng AB (B thuộc tia Ox) Khi phương trình đường tròn (O;R) có phương trình x + y = R Tiếp tuyến d đường tròn điểm M(xo;yo) có phương trình: x x  y y  R  với y  0 0 x  R x  R   R2  x R  Tọa độ B’ nghiệm hệ:    x0 x  y0 y  R  y  y   R2  x R  y '  Phương trình đường thẳng AB’ : x  R  Suy B  R;  y 2R R2  x R   0   y   NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 26 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Gọi I giao điểm AB’ A’B, suy IM / / AA ' Do tọa độ điểm I(x;y) nghiệm của: x  x  x  x x2 y x2 y  x  R  y2       1  2R  y 2 2 R2  x R R R R   y R   2 y    x2 y2 Vậy quỹ tích điểm I elip (E):   có trục lớn AB = 2R R  R 2 2   ( trừ hai điểm A B) NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 27 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Kết luận: Muốn giải toán phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ cho hình vẽ quan sát tốt hệ trục việc tính toán đơn giản Để chọn hệ trục tọa độ tốt, cần phải vào yếu tố cố định toán cho, ý đến tính đối xứng hình Khi chọn hệ trục toạ độ tốt rồi, cần kết hợp phương pháp tính kỹ tính tốt việc giải toán hình học phương pháp toạ độ trở nên đẹp đẽ, ngắn gọn Qua toán trên, tất nhiên chưa thấy hết ưu điểm, nhược điểm phương pháp tọa độ Tuy nhiên, vừa đủ để thấy việc chọn hệ tọa độ thích hợp Khi chọn hệ tọa độ thích hợp việc giải toán trở nên nhẹ nhàng, không phức tạp cách giải phương pháp dùng hình học túy Tuy nhiên qua thực tế, việc học nắm vững bước để vận dụng vào giải toán thật không đơn giản học sinh, trình trừu tượng hoá khái quát hóa việc rèn luyện tư toán học Do vậy,với mong muốn thông qua số toán cụ thể để hướng dẫn em làm quen dần với việc giải toán hình học phẳng phương pháp toạ độ IV ĐỀ XUẤT, KIẾN NGHỊ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG 1/ Phổ biến rộng rãi đề tài để giáo viên học sinh tham khảo 2/ Mong muốn giúp em học sinh có thêm công cụ đắc lực quen thuộc để giải dạng toán 3/ Giúp em kỳ thi đại học kỳ thi học sinh giỏi 4/ Đề tài không tránh khỏi thiếu sót , mong đóng góp ý kiến quý thày cô em học sinh để đề tài hoàn thiện thêm V TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Các toán phương pháp vecto phương pháp tọa độ.(Nguyễn Mộng Hy- Nhà xuất giáo dục- 2003) - Đề thi vào trường đại học cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2012 NGƯỜI THỰC HIỆN Kiều Thị Thanh Hương NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 28 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 29 [...]... HƯƠNG TRANG 27 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Kết luận: Muốn giải một bài toán bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn một hệ trục tọa độ sao cho hình vẽ của chúng ta được quan sát tốt nhất trên hệ trục đó và việc tính toán cũng đơn giản nhất Để chọn được một hệ trục tọa độ tốt, chúng ta cần phải căn cứ vào các yếu tố cố định bài toán đã cho, chú ý đến tính đối xứng của hình Khi đã chọn... hoành độ của F là các nghiệm của phương trình m(x+a) – a = a 2a  ma  2a  ma  F ; a  Tương tự tọa độ của E là: E (a; 2m - a ) x m m   NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 25 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Phương trình đường thẳng FI: xa y  ma  a   2m  m2 x  2 1 m  y  a m2  2m  2  0 2a  ma  a a  ma  a m a m2  2m  2 a Khoảng cách từ gốc tọa độ đến... được một hệ trục toạ độ tốt rồi, cần kết hợp phương pháp tính và kỹ năng tính tốt thì việc giải bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ mới trở nên đẹp đẽ, ngắn gọn Qua các bài toán ở trên, tất nhiên chưa thấy hết những ưu điểm, nhược điểm của phương pháp tọa độ Tuy nhiên, cũng là vừa đủ để chúng ta có thể thấy việc chọn hệ tọa độ như thế nào là thích hợp Khi đã chọn hệ tọa độ thích hợp thì việc... tài được hoàn thiện thêm V TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Các bài toán về phương pháp vecto và phương pháp tọa độ. (Nguyễn Mộng Hy- Nhà xuất bản giáo dục- 2003) - Đề thi vào các trường đại học và cao đẳng từ năm 2002 đến năm 2012 NGƯỜI THỰC HIỆN Kiều Thị Thanh Hương NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 28 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 29 ... THANH HƯƠNG TRANG 21 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài 6 .Trong mặt phẳng cho trước đường thẳng d và một điểm A d Xét B, Cd sao cho BC = b > 0 cho trước Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài giải: Gọi O là hình chiếu của A trên d và đặt a = d(A; d ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A(a;0), O(0;0) (tức là trục hoành chứa d , trục tung chứa OA) Giả sử trong hệ trục này B(... với O trùng I và trục Ox là đường thẳng BC Không mất tính tổng quát giả sử BC = 2 Khi đó, tọa độ B(-1; 0) và C(1;0) Giả sử tọa độ điểm A ( x0 ; y0 ) , với x0 ≠ 0; y0 ≠ 0 Khi đó, trực tâm H(x;y) là nghiệm của hệ phương trình: NGƯỜI THỰC HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG TRANG 24 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG uuuur uuuur  x  x 1  x2   AH BC  0 0   0   Hx ;  uuuur uuuur  0 y ... phương pháp dùng hình học thuần túy Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụng vào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một quá trình trừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học Do vậy,với mong muốn thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quen dần với việc giải bài toán hình học phẳng bằng phương pháp toạ độ. ..PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG x2 y 2 2 2 2 Gọi (C): x + y = p , (E): 2  2  1 với gốc tọa độ tại tâm của (C) a b x = p sin t Ta có phương trình tham số của (C):  t [0;2 )   y = p cos t Gọi M ( p sin t; p cos t )  (C ) và T1 ( x1; y1 ) là tọa độ tiếp điểm xx yy Phương trình tiếp tuyến của (E) tại T1 ( x1; y1 ) : 1  1 ... HIÊN: KIỀU THỊ THANH HƯƠNG y TRANG 12 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài 11 (Vô địch Nam Tư 1983) Trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật ABCD, lấy M khác A và B Gọi P, Q, R, S là hình chiếu của M trên AD, AB, BC, CD Chứng minh PQ  RS và giao điểm của chúng nằm trên một trong hai đường chéo của hình chữ nhật Bài giải: Dựng hệ trục toạ độ Oxy có Ox, Oy lần lượt song song... của hình vuông Bài giải: Giả sử cạnh hình vuông bằng 2a (a>0) Dựng hệ trục tọa độ Oxy, trong đó O là tâm của hình vuông Ox và Oy tương ứng song song với các cạnh của hình vuông và có chiều như hình vẽ Khi đó tọa độ các đỉnh A, B, C, D trong hệ trục lần lượt là: A(-a;-a), B(a;-a), C(a;a), D(-a;a) Giả sử hệ số góc của đường thẳng AF là m Khi đó AF có phương trình: y = m(x+a) – a Vì đường thẳng DF có phương