BM 01-Bia SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Mã số: (Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi) SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Người thực hiện: LÊ QUANG THÂN Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: TOÁN  - Lĩnh vực khác:  Có đính kèm: Các sản phẩm không thề in SKKN  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2011-2012 BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: LÊ QUANG THÂN Ngày tháng năm sinh: 20 – – 1956 Nam, nữ: Nam Địa chỉ: 1/D2, Khu phố 1, phường Long Bình Tân, thành phố Biên Hoà, tỉnh Đồng Nai Điện thoại: 061.3834289 (CQ)/ Fax: (NR); ĐTDĐ: 0902747441 E-mail: quangthan@nhc.edu.vn Chức vụ: Tổ trưởng tổ TOÁN – TIN Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO - Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân - Năm nhận bằng: 1978 - Chuyên ngành đào tạo: Sư phạm Toán III KINH NGHIỆM KHOA HỌC - Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy toán THPT Số năm có kinh nghiệm: 34 - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây:  26 toán nâng cao mặt phẳng  Các toán nâng cao lập phương trình đường thẳng không gian  35 toán từ đến nâng cao lập phương trình đường thẳng mặt phẳng  38 toán từ đến nâng cao đường tròn mặt phẳng  48 dạng toán từ đến nâng cao hàm số y  ax  b cx  d BM03-TMSKKN Tên SKKN : “ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC” I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đây dạng toán không đề cập nhiều chương trình, học sinh gặp nhiều khó khăn giải loại toán Phạm vi đề rộng, đề hàm số, hình học không gian, hình học tọa độ, hình học tọa độ Là dạng toán thường gặp kỳ thi đại học, năm gần II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Kiến thức trình bày sách giáo khoa nâng cao THPT Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài  Phát biểu toán tổng quát  Xây dựng phương pháp giải toán  Nêu toán cụ thể để áp dụng phương pháp (Cũng giải toán cụ thể từ học sinh dựa vào toán tổng quát mà đề toán tương tự để thực hành phương pháp giải cho lớp toán đó) Bài toán 1: Cho điểm A, B đường thẳng d Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB nhỏ Nhận xét: Đây toán đơn giản, ta chia trường hợp: Trường hợp 1:  A, B nằm phía đường thẳng d MA + MB  AB , dấu đẳng thức xẩy A, M, B thẳng hàng Từ xác định điểm M thỏa mãn yêu cầu toán B M d A Trường hợp :  A, B nằm phía với đường thẳng d gọi A’ điểm đối xứng với A qua d ( d đường trung trực đoạn thẳng AB), ta có MA  MB  MA' MB  A' B , dấu đẳng thức xẩy A’, M, B thẳng hàng Từ xác định điểm M thỏa mãn yêu cầu toán B A d M A' Ta ứng dụng toán để giải toán khó Bài toán 2: Cho tam giác ABC đường thẳng d Hãy tìm đường thẳng d điểm M cho nhỏ Giải : Gọi N  AB thỏa uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2MA  MB  2(MN  NA)  MN  NB  MN uuur uuur uuur uuur uuur  2MA  MB  MC  MN  MC = 3(MN + MC) nhỏ 3(MN + MC) nhỏ MN + MC nhỏ nhất, toán đưa toán tìm d điểm M cho MN + MC nhỏ A N B C M C' d Bài toán 3: Cho tam giác ABC đường thẳng d Hãy tìm đường thẳng d điểm M cho nhỏ Giải : Gọi N  AB , P  AC thỏa Khi uuur uuur uuur uuur tương tự toán ta có: 4MA  3MB  2MC  5MA = 7(MN + MP) Bài toán đưa toán tìm d điểm M cho MN + MP nhỏ Có thể tổng quát hóa toán để toán Bài toán 4: Cho tam giác ABC đường thẳng d Hãy tìm đường thẳng d điểm M cho nhỏ Với k1, k2, k3, k4 số thực dương thỏa mãn: k1 + k2 = k3 + k4 Bài toán giải hoàn toàn tương tự toán Như từ toán đơn giản ta đến lớp toán phức tạp Bài toán 5: Cho điểm A, B đường thẳng d Tìm điểm M đường thẳng d cho lớn Giải : Trường hợp 1:  A, B nằm phía với đường thẳng d , ta có dấu đẳng thức xẩy M, A, B thẳng hàng, lớn ( M nằm phía với A, B) Vậy xác định điểm M thỏa mãn yêu cầu toán B A M d Trường hợp 2:  A, B nằm phía đường thẳng d, gọi A’ điểm đối xứng A qua d nên (không đổi), dấu đẳng thức xẩy M, A’, B thẳng hàng, lớn Vậy xác định điểm M thỏa mãn yêu cầu toán B A' d M A Nhận xét: Một số học sinh thường gặp sai lầm trường hợp kết luận không tìm điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Bài toán 6: Cho tứ diện ABCD đường thẳng d, mặt phẳng (P) Tìm d, (P) điểm M thỏa mãn nhỏ Giải: Gọi S = , gọi G tâm tứ diện Ta có: + nhỏ MG nhỏ Khi :  Nếu M M hình chiếu vuông góc G lên d A G B D d C M  Nếu M M hình chiếu vuông góc G lên (P) A G B D C M Nhận xét: Trong toán ta phát biểu mặt phẳng tọa độ Oxy, không gian tọa độ Oxyz Bài toán 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn(C) Tìm trục ox điểm M, trục oy điểm N cho đường thẳng MN tiếp xúc với (C) tam giác OMN có diện tích Giải toán với : (C): Giải:  Nhận thấy (C) có tâm I( có bán kính R =  Giả sử M(m; 0); N(0; n) đường thẳng qua M, N có phương trình  có diện tích S =  Nếu mn = Theo đề có phương trình tiếp xúc với (C) =2 nx + my +2 = d(I; vào (2) m = n= (i)  Nếu mn = phương trình tiếp xúc với (C) nx + my = d(I; (4) Từ (3) (4) m , n nghiệm phương trình: X2 X + = ( vô nghiệm) Vậy m thỏa mãn (3) (4) (2i)  Từ (i) (2i) có cặp điểm M, N thỏa mãn toán là: M( N(0; ), M( N(0; ) ; 0) Bài toán 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(m; n) ( với m, n > 0), tìm điểm A , B thuộc trục hoành trục tung A, M, B thẳng hàng ( với xA > 0; yB > ) thỏa mãn điều kiện sau: 1) Diện tích tam giác OAB nhỏ 2) OA + OB nhỏ 3) nhỏ Giải toán với M(4; 3) Phương pháp giải:  Giả sử A(a; 0), B(0; b) (với a > b > 0)  Đường thẳng d qua A B có phương trình :  Vì (1) 1) Gọi S diện tích tam giác ABC S =  Từ (1) Dấu dẳng thức xẩy  Thế tọa độ M vào (2) tìm a b Đáp số câu 1: A(8; 0) B(0; 6) (2) kết luận 2) Từ (vì a > nên b > OA + OB = a + b = Dấu dẳng thức xẩy giải tìm b, chọn b thỏa *, vào (3) tìm a từ suy A, B Đáp số câu 2: A(6; 0) B(0; 9) 3) Ta có (4) ( bất đẳng thức Bunhiacopxki) Vậy minS = Giải hệ tìm a b Khi M(4; 3) hệ (5) Bài toán 9: Cho điểm A, B mặt phẳng (P) Tìm (P) điểm M thỏa mãn MA + MB nhỏ Giải toán với : A(1; –2; 1); B(2; 1; –3) (P): x – 3y – z – = Giải:  Thế tọa độ A B vào vế trái phương trình (P) số tA = tB = Vì tAtB = > nên A B nằm phía với mặt phẳng (P)  Gọi A’ điểm đối xứng A qua (P) Khi (P) mặt phẳng trung trực đoạn AB nên MA = MA’ (1)  Từ (1) Dấu đẳng thức xẩy A’, B, M thẳng hàng , hay M trùng với M’ = Khi nhỏ  Tìm M ? B A M' M A' + Tìm A’( ) phương trình A’B: + A’, M( B, M thẳng hàng ) thỏa toán Tìm Nhận xét: Nếu A, B nằm phía mặt phẳng (P) thi M thỏa toán M, A, B thẳng hàng Từ xác định M Bài toán 10: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : điểm A; B Tìm d điểm M thỏa mãn MA + MB nhỏ Giải toán với : d: ; A(0; 1; 2), B(2; 0; 3) Giải: Gọi A1, B1 hình chiếu vuông góc A, B lên d Gọi k = Gọi M0 điểm thuộc d thỏa mãn (1) Gọi (P) mặt phẳng xác định d A, (P) gọi B điểm thỏa mãn (2) Từ (2) ta có tam giác MoAA1và tam giác MoB2B1 đồng dạng nên có: M Dấu đẳng thức xẩy A, M, B2 thẳng hàng ( từ (1) (2) đường thẳng d mặt phẳng (P)) Khi M trùng Mo Vậy xác định điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Tìm được: A1(1; 2; 1)) B1(3; 1; 2) trung điểm A1 B1 Mo(2; ) hay M(2; vào (1) Mo ) thỏa yêu cầu toán B B2 M0 d A1 B1 A Bài toán giải cách sau: Phương trình tham số đường thẳng d: ; MA + MB = = + = = + + Khi mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn điểm A0(0; I(t; 0; 0) đó: MA + MB = ; Bo(1; (AoI + BoI) MA + MB nhỏ AoI + BoI nhỏ (vì với cách chọn A0, Bo A0, Bo nằm phía trục hoành, I thuộc trục hoành) Chú ý: + Trong cách giải trên, điểm A0; B0 thuộc mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm A0; B0 phải lấy phía trục hoành, I thuộc trục hoành nên cần A 0; B0, I thẳng hàng MA + MB nhỏ + Trong cách giải nên chọn cách giải toán trở nên đơn giản Có thể đưa cách giải trừng hợp tổng quát sau d: ; A(xA; yA; zA) ; B(xB; yB; zB) Phương pháp giải:  Biến đổi đưa dạng: MA + MB = = + + ( Vì MA + MB > k > q > 0) 10 Khi mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn điểm A 0(m; ; Bo(n; I(t; 0; 0) Với cách chọn A0, Bo A0, Bo nằm phía trục hoành, I thuộc trục hoành) đó: MA + MB = MA + (AoI + BoI) MB nhỏ A oI + Bo I nhỏ giải tìm k t ( cách toán 10) từ tìm điểm M thỏa mãn toán Bài toán 11: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : điểm A; B Tìm d điểm M thỏa mãn nhỏ Giải toán với: d: ; A(3; 0; 3), B(4; -2; -4) Giải: Phương trình tham số đường thẳng d: ; M(t; t; = = = Xét A2(1; ; B2(3; ; I(t; 0; 0), ta có: = với cách chọn A2, B2 A2, B2 nằm về phía trục hoành, I thuộc trục hoành mặt phẳng tọa độ (Oxy), nên lớn lớn Mà , Dấu đẳng thức xẩy A2, B2 I thẳng hàng Vậy M thỏa mãn toán Tìm M : A2, B2 I thẳng hàng khi: Nhận xét: Bài toán giải phương pháp tương tự cách toán 7, khác toán điểm Mo chia đoạn A1B1 theo tỷ số k= Nghĩa 11 Bài toán 12: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A, B Tìm mặt phẳng (P) điểm M cho tam giác MAB Giải toán với : A(0; 2;1); B(-2; 0; 1) mặt phẳng (P): x – y + z – = Giải: Gọi (Q) mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB, gọi MA = MB , theo đề (Q) có phương trình x + y = phương trình d: , Vì MA = MB   Nhận xét: Bài toán giải cách khác sau  Từ phương trình (P) y = x + z – ; M(x; x + z – 3; z)  MAB  Giả hệ tìm x ; z tọa độ M Bài toán 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d, điểm M Tìm d điểm AB sa cho tam giác MAB Giải toán với M(0; 1; 3) d: Giải: Gọi H hình chiếu vuông góc M lên d, MH đường cao tam giác đều, (1) Tìm H(1; 2; 3) Vì Nếu B A thỏa mãn toán 12 Nhận xét: Các toán xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước phát biểu hàm số Bài toán 14: cho hàm số có đồ thị (C) Tìm nhánh (C) điểm M, N cho MN ngắn Giải:  Gọi với a > M thuộc nhánh trái (C)  Gọi với b > N thuộc nhánh phải (C) dấu đẳng thức xẩy ( a, b > ) Bài toán 15: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận đồ thị (C) nhỏ Giải:  MXĐ D = Viết lại y = M(a; a – + (với + M nên *)  Nhận thấy (C) có đường tiệm cận xiên đứng có phương trình d1 : y = x – d2 : x = d1 d2 = I(1; –3) =( a – 1; = + , dấu đẳng thức xẩy = Vậy có điểm M thỏa toán: M( ) M( Bài toán 16: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M cách từ giao điểm đường tiệm cận đến tiếp tuyến lớn ( thỏa điều kiện *) ) cho khoảng 13 Giải:  nên M( với a Gọi I giao điểm đường tiệm cận đứng d1: x = tiệm cận ngang d2: y = I(1; 1)  y’(a) = có phương trình : = Dấu đẳng thức xẩy khi: ( thỏa mãn điều kiện) Vậy có điểm M thỏa toán M(0; 2) M(2; 0) Nhận xét: Nếu đề yêu cầu lập phương trình tiếp tuyến có tiếp tuyến thỏa mãn toán có phương trình là: y = x + y = x – III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Có thể nói lớp toán xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước vô phong phú có nhiều toán khó Vì đứng trước toán cụ thể, mở rông phát biểu thành toán tổng quát, đưa phương pháp giải trường hợp việc làm cần thiết để giúp học sinh tự tin, hứng thú hướng tìm lời giải nhanh Rèn luyện cho học sinh phương pháp học tập sáng tạo, hiệu Khi giải toán cụ thể nghĩ đến tổng quát hóa toán lên tìm lời giải trường hợp tổng quát học sinh tự đề để luyện tập phương pháp vừa tìm Loại toán thường kỳ thi tuyển sinh đại học năm gần đây, đề tài góp phần giúp học sinh trình học tập thi cử IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài áp dụng có hiệu đối tượng học sinh khá, giỏi, bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi đại học V TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo toán học tuổi trẻ Phép biến hình mặt phẳng – Đỗ Thanh Sơn – Nhà xuất giáo dục năm 2005 Sách giáo khoa môn Toán ban nâng cao VI KẾT LUẬN: Để giải công việc điều quan trọng phải xây dựng phương pháp làm việc Toán học trường phổ thông trung học môn khoa học trừu tượng có nhiều nội dung Vì để học tốt 14 môn Toán yêu cầu khó học sinh Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy thấy việc tổng hợp kiến thức để phát biểu thành toán giúp ích lớn cho học sinh trình học tập thi cử Rất mong góp ý đồng nghiệp, xin chân thành cảm ơn ! Biên Hòa, ngày 20 tháng 05 năm 2012 NGƯỜI THỰC HIỆN Lê Quang Thân 15 BM04-NXĐGSKKN SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị THPT NGUYỄN HỮU CẢNH CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Biên hòa, ngày 25 tháng 05 năm 2012 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2011 – 2012 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: “ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC” Họ tên tác giả: LÊ QUANG THÂN Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào ô tương ứng, ghi rõ tên môn lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học môn: x - Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác:  Sáng kiến kinh nghiệm triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  Tính (Đánh dấu X vào ô đây) - Có giải pháp hoàn toàn - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có   Hiệu (Đánh dấu X vào ô đây) - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu cao  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  Khả áp dụng (Đánh dấu X vào ô dòng đây) - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) LÊ QUANG THÂN PHAN QUANG VINH 16 [...]... GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học: 2011 – 2012 ––––––––––––––––– Tên sáng kiến kinh nghiệm: “ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC” Họ và tên tác giả: LÊ QUANG THÂN Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác) - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: x - Phương pháp. .. thiết để giúp học sinh tự tin, hứng thú đi đúng hướng và tìm ra lời giải nhanh nhất 2 Rèn luyện cho học sinh phương pháp học tập sáng tạo, hiệu quả Khi giải một bài toán cụ thể luôn nghĩ đến tổng quát hóa bài toán đó lên và tìm lời giải trong trường hợp tổng quát và khi đó học sinh có thể tự ra đề để luyện tập phương pháp vừa tìm ra 3 Loại toán này thường ra trong các kỳ thi tuyển sinh đại học trong những... lập phương trình tiếp tuyến thì có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán có phương trình là: y = x + 2 và y = x – 2 III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 1 Có thể nói lớp các bài toán về xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước là vô cùng phong phú và có rất nhiều bài toán khó Vì thế đứng trước một bài toán cụ thể, mở rông và phát biểu thành bài toán tổng quát, rồi đưa ra phương pháp giải trong trường hợp đó là một việc...  Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành  1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây) - Có giải pháp hoàn toàn mới - Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có   2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây) - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao  - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có... thẳng hàng Vậy M thỏa mãn bài toán Tìm M : A2, B2 và I thẳng hàng khi và chỉ khi: Nhận xét: Bài toán này cũng có thể giải bằng phương pháp tương tự như cách 1 của bài toán 7, chỉ khác là ở bài toán này điểm Mo chia đoạn A1B1 theo tỷ số k= Nghĩa là 11 Bài toán 12: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm A, B Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho tam giác MAB đều Giải bài toán với : A(0; 2;1); B(-2;... Báo toán học tuổi trẻ 2 Phép biến hình trong mặt phẳng – Đỗ Thanh Sơn – Nhà xuất bản giáo dục năm 2005 3 Sách giáo khoa môn Toán ban cơ bản và nâng cao VI KẾT LUẬN: Để giải quyết một công việc nào đó điều quan trọng là phải xây dựng được phương pháp làm việc Toán học trong trường phổ thông trung học là một môn khoa học trừu tượng và có quá nhiều nội dung Vì vậy để học tốt được 14 môn Toán là một. .. đều Giải bài toán với M(0; 1; 3) và d: Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, thì MH là đường cao tam giác đều, khi đó (1) Tìm được H(1; 2; 3) Vì Nếu thì B và nếu A thì thỏa mãn bài toán 12 Nhận xét: Các bài toán xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước cũng có thể phát biểu đối với hàm số Bài toán 14: cho hàm số có đồ thị (C) Tìm trên 2 nhánh của (C) 2 điểm M, N sao cho MN ngắn nhất Giải: ... + (AoI + BoI) MB nhỏ nhất khi và chỉ khi nhất A oI + Bo I nhỏ giải tìm được k và t ( như cách 2 bài toán 10) và từ đó tìm được điểm M thỏa mãn bài toán Bài toán 11: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : 2 điểm A; B Tìm trên d điểm M thỏa mãn nhỏ nhất Giải bài toán với: d: và ; A(3; 0; 3), B(4; -2; -4) Giải: Phương trình tham số của đường thẳng d: ; M(t; t; = = = Xét A2(1; ; B2(3; ; và I(t;... 2;1); B(-2; 0; 1) và mặt phẳng (P): x – y + z – 3 = 0 Giải: Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, gọi MA = MB , theo đề (Q) có phương trình x + y = 0 phương trình d: , Vì và MA = MB   Nhận xét: Bài toán có thể giải cách khác như sau  Từ phương trình (P) y = x + z – 3 ; vì M(x; x + z – 3; z)  MAB đều  Giả hệ tìm x ; z tọa độ M Bài toán 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng... toán: M( ) và M( Bài toán 16: Cho hàm số có đồ thị (C) Tìm M cách từ giao điểm 2 đường tiệm cận đến tiếp tuyến lớn nhất ( thỏa điều kiện *) ) sao cho khoảng 13 Giải:  nên M( với a Gọi I là giao điểm đường tiệm cận đứng d1: x = 1 và tiệm cận ngang d2: y = 1 I(1; 1)  y’(a) = có phương trình : = Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: ( thỏa mãn điều kiện) Vậy có 2 điểm M thỏa bài toán M(0; 2) và M(2;