Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Tên sáng kiến kinh nghiệm:     MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI         Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong những  bài toán quen thuộc, thường xuyên xuất hiện trong cấu trúc đề thi tuyển sinh của  Bộ Giáo dục, xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh Thành trong cả  Nước. Tuy nhiên đây lại là một dạng bài toán khó đối với học sinh bởi vì các dạng  bài toán  rất  phong  phú,  phạm  vi  nghiên  cứu  của  vấn  đề  lại  rất  rộng.  Thế  nhưng,  sách giáo khoa lại có rất ít các bài tập dạng này và đồng thời do những điều kiện  khách quan  mà  sách  giáo  khoa  không  hệ  thống  lại  các phương  pháp  giải  cụ  thể.  Chính vì vậy việc cần thiết phải cung cấp cho học sinh các phương pháp cơ bản  giải dạng toán “tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số”, việc này sẽ giúp cho học  sinh dễ dàng tiếp cận được các bài toán này.         Trong quá trình dạy học, tôi thấy không phải học sinh nào cũng tự nghiên cứu  hay đọc hiểu được tài liệu một cách dễ dàng. Với mong muốn bằng kinh nghiệm  trong  vận  dụng  phương  pháp  của  mình,  tôi  viết  chuyên  đề  này  với  mục  đích  là  hướng  dẫn  cho  học  sinh  của  lớp  mình  giảng  dạy  một  cách  chi  tiết  nhất,  dễ  hiểu  nhất để các em có thể vận dụng và giải các bài toán thuộc dạng này một cách hiệu  quả.         Trong chuyên đề này các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  được vận dụng theo từng phương pháp cụ thể. Các ví dụ được phân tích và có lời  giải chi tiết, ví dụ được áp dụng từ mức độ cơ bản tới nâng cao, để mọi học sinh có  thể tham khảo và từ đó có thể giải quyết các bài toán tương tự.         Hy vọng rằng qua chuyên đề này, học sinh có thể biết “quy lạ về quen” khi  đứng trước một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Do thời gian  thực hiện chuyên đề chưa được nhiều, vì vậy không thể tránh khỏi những thiếu  sót. Tôi rất mong được Quý thầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để nội  dung của chuyên đề hoàn thiện hơn.   II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận thực tiễn Dựa trên tinh thần đổi mới của phương pháp dạy học đó là: dựa vào hoạt  động tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh với sự tổ chức và hướng dẫn thích  hợp của giáo viên nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo góp phần hình thành  phương pháp và nhu cầu, khả năng tự học, bồi dưỡng hứng thú học tập, tạo niềm  tin, niềm vui trong học tập. Và thực sự tạo được  môi trường “Trường  học  thân  thiện. Học sinh tích cực”. Thực hiện phương châm giáo dục “Học phải đi đôi với  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số hành”,  nếu  việc  học  không  được  vận  dụng  vào  thực  tế,  không  giải  quyết  được  những vấn đề mà thực tế đặt ra thì việc học cũng trở nên vô ích.           Trên  những  tiêu  chí  đổi  mới  đó,  đồng  thời  với  việc  nắm  bắt  thực  trạng  học  sinh trong trường THCS-THPT Bàu Hàm, tôi thấy đa phần các em chỉ mới áp dụng  các  dạng toán  cơ  bản của  sách  giáo khoa,  khi gặp  các  bài  toán nâng cao  các em  thường bối rối, sợ hãi. Việc sợ hãi này nguyên nhân sâu xa là do các em chưa tìm  được  phương  pháp  tốt  nhất  hoặc  là  có  phương  pháp  nhưng  quá  trình  vận  dụng  phương pháp còn khó khăn. Chính vì thế  mà mỗi khi dạy  học về vấn đề này  bản  thân tôi luôn cố gắng tìm những giải pháp đơn giản và hiệu quả để truyền đạt cho  các  em.  Mỗi  nội  dung  của  chuyên  đề  này  cũng  là  một  trong  những  giải  pháp  đã  được  tôi  thực  hiện  tại  trường  THCS-THPT  Bàu  Hàm  trong  các  năm  học  20132014, năm học 2014-2015, năm học 2015-2016. Trong quá trình áp dụng chuyên  đề  “MỘT  SỐ  PHƯƠNG  PHÁP  TÌM  GIÁ  TRỊ  LỚN  NHẤT  VÀ  GIÁ  TRỊ  NHỎ  NHẤT CỦA HÀM SỐ” tại trường THCS-THPT Bàu Hàm mặc dù đã đem lại hiệu  quả trong giảng dạy. Tuy nhiên phương pháp trên cũng chỉ thay thể phần các  giải pháp khác Các biện pháp thực         Để đề tài thực hiện tốt và có hiệu quả, trong quá trình giảng dạy từng nội dung  đối với các khối lớp 9, khối lớp 10 và khối lớp 12. Bản thân tôi cùng các em rất  nghiêm túc tiến hành từng bước thực hiện các nội dung đề tài đó là: thứ nhất khi  giảng dạy tới nội dung nào và phù hợp với đối tượng học sinh nào, tôi gửi tới học  sinh  trong  lớp  bản  tài  liệu  của  từng  nội  dung  chuyên  đề  để  cho  các  em  về  nhà  nghiên cứu kỹ các nội dung lý thuyết. Thứ hai, trong các tiết học trên lớp giáo viên  cùng học sinh hệ thống các kiến thức lý thuyết cơ bản. Thứ ba, sau khi nắm được  lý thuyết tôi yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị bài tập. Thứ tư, trong những tiết học  bài tập tôi cùng các em sửa bài tập để các em nắm được phương pháp. Sau khi nắm  được phương pháp và kiến thức cơ bản giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác, mở  rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng  hợp, khái quát hoá các vấn đề.   III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ        Trong  chương  trình  Toán  học  Phổ  thông,  khi  nghiên  cứu  về  hàm  số  thường  người ta chỉ quan tâm nhiều về tập xác định của hàm số mà ít chú ý đến miền giá  trị (tập giá trị của hàm số) của nó. Vậy miền giá trị của hàm số là gì ? Miền giá trị  của hàm số  y  f ( x) xác định trên D là tập hợp tất cả các giá trị của y sao cho  x  D   mà  y  f ( x)   Đối  với hàm  số  cho bởi  công  thức  để  tìm  miền  giá  trị của  hàm  số,  thường ta tiến hành theo cách sau: coi đẳng thức  y  f ( x) là một phương trình ẩn x  còn y là tham số rồi đi tìm điều kiện của y để phương trình có nghiệm  x  D          Do đặc thù của trường là trường học hai cấp (cấp 2 và cấp 3) nên việc áp dụng  phương pháp thuận lợi cho cả học sinh khối THCS và khối THPT. Sau đây tôi xin  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số đưa ra một cách tổng quát cho việc áp dụng phương pháp với học sinh THCS và  THPT.  1.1 Một số ví dụ áp dụng phương pháp miền giá trị Bài toán thường gặp: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  y  A( x) ;  B ( x) trong đó bậc cao nhất của  A( x)  và  B ( x)  là bậc hai.   Lời giải  Gọi  yo  là giá trị của hàm số đã cho   yo  A( x)  phương trình có nghiệm  x  D   B( x)  yo B ( x)  A( x)  0(*)   + Xét trường hợp  y   suy ra  A( x)   ta tìm được nghiệm x  + Xét trường hợp  y  , phương trình (*) là phương trình bậc hai nên phương trình  có nghiệm     , từ đó ta tìm được nghiệm x.  Kết hợp cả hai trường hợp ta tìm được miền giá trị của hàm số. Từ đó kết luận giá  trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.  x  1  Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   y  x2  Lời giải  Ta có  x    với mọi x, nên hàm số xác định trên      x  1 có nghiệm x  Với  y0  là một giá trị của hàm số khi đó phương trình  y0  x 1 Ta có:   y0  x  12 x 1      y x   x   y0  1x  x  y0   (*)  + Nếu  y0  , thì phương trình (*) có nghiệm  x    + Nếu  y0  , thì phương trình (*) có nghiệm đối với x khi và chỉ khi:          0  y0             y0  1    y0  y0    1  y0  Kết hợp cả hai trường hợp ta được:   y        Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2, đạt được khi x  1  và giá trị nhỏ nhất bằng  0, đạt được khi  x    Ví dụ 2: ( Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B-2008)  Cho hai số thực  x  0, y   thỏa mãn và thỏa mãn hệ thức  x  y    Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  P   x  xy   xy  y   Lời giải                Ta có:  P   x  xy   xy  y   x  xy  x  xy  y  ( vì  x  y  )                Đặt  y  tx  điều kiện  t                  Khi đó:   P  1  6t   2t  3t  P 1  2t  3t    12t                                                          3Pt   P   t  P       P  P                Phương trình    có nghiệm     P     P      P  2  3P  P                                                          P                                               P   6  P       P  3P  18     t   x   2 Vậy P có giá trị nhỏ nhất bằng - 6,  đạt được    x  y      y  tx x     ;y 13 13   3 ;y 13 13 Ví dụ 3: Cho số thực  x  tùy ý.   Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:  P   x  3x   (1  x ) Lời giải  Do  (1  x )2  0 x   , nên  P   x  3x  ( P  3) x  2( P  2) x  P    (1)  2 (1  x ) + Nếu  P  , khi đó (1) có dạng:  x   x    + Nếu  P  , khi đó  (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (ẩn  t  x )             ( P  3)t  2( P  2)t  P    có ít nhất một nghiệm t không âm.  c a Mà ta thấy ngay tỉ số:   P 3   , nên phương trình ẩn t có nghiệm cùng dấu  P 3 Do vậy phương trình có nghiệm t không âm khi và chỉ khi:  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số  '     P   và  P     2( P  2)  P   Kết hợp lại ta được nghiệm:   P    Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng 3, đạt được khi x = 0 và giá trị nhỏ nhất  của biểu thức P bằng   đạt được khi  x  1   Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y  2sin x  cos x    s inx  cos x  Nhận xét: để giải quyết bài toán này ta sẽ đi áp dụng một kết quả rất quen thuộc  đối với học sinh lớp 11 đó là: Phương trình:  a sin x  b cos x  c (với  a, b, c   ) Điều  kiện để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:  a  b2  c   Lời giải  Thật vậy: Ta có    s inx  cos x  5; x    s inx  cos x   x     Vậy hàm số có tập xác định  D     Gọi y0 là một giá trị của hàm số trên khi và chỉ khi phương trình    y0  2sin x  cos x   (1) có nghiệm x  sin x  cos x  Ta có:  (1)  ( y0  2) sin x  (1  y0 ) cos x   y0   Áp dụng bài toán trên ta được:  ( y0  2)2  (1  y0 )2  (1  y0 )2                                                      y02  y0                                                           y0    Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng   khi  x    k 2 ;  k    và giá trị lớn nhất  bằng 2 khi  x  k 2 ;  k     Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y  2( x  x  1)   x2  (Trích đề thi học sinh giỏi lớp 9, huyện Trảng Bom năm 2014) Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  y  Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  y  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn cos x  sin x  cos x  sin x  x2 x4  Trang - Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số 1.2 Kết áp dụng nội dung chuyên đề sở năm học (20132014 2014- 2015)  Trong năm học 2013 – 2014, cũng như trong năm học 2014 – 2015, bản thân  tôi  có tham gia  bồi  dưỡng kiến thức  cho học  sinh lớp 9  của trường, để  chọn  đội  tuyển  dự  thi  môn  toán  9  cấp  huyện.  Trong  quá  trình  bồi  dưỡng  và  lựa  chọn  đội  tuyển tôi  có hướng  dẫn các  em  phần  kiến thức này.  Tôi  thấy  đa số học sinh  đều  hiểu dạng toán và vận dụng tốt. Kết quả thi chọn học sinh giỏi cấp trường thì tổng  số 10 học sinh dự thi, tất các các em đều làm đúng phần bài tập dạng này. Kết quả  học sinh tham gia thi cấp huyện cũng khả quan.        Năm  2013-2013  số  học  sinh  tham  dự  thi  06  học  sinh  và  đạt  03  giải  khuyến  khích.        Năm  2014-2015  số  học  sinh  tham  dự  thi  06  học  sinh  và  đạt  03  giải  khuyến  khích và 01 giải ba.  Đề bài (Trích đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp trường THCS-THPT Bàu Hàm năm 2013-2014).  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của hàm số  y  8x    x2  Đáp án                               Nội dung  Thang điểm  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của hàm số  y  8x  x2   đ  Ta có  x   0,   x   , do đó hàm số có tập xác định  D     0, 25  Gọi  yo  là một giá trị của hàm số, khi đó phương trình  0, 25  yo    8x    có nghiệm  x  D    x2             0, 25   yo x  x  yo     (*)  + Nếu  yo  , phương trình (*) có nghiệm   x                         0, 25  a      + Nếu  yo  , để phương trình (*) nghiệm     yo   yo   yo      16  yo ( yo  3)  4 yo  12 yo  16  1  yo        Kết hợp hai trường hợp ta được :   1  yo    Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn 0,5    0,25  Trang - Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng  1 , đạt tại   x  1   Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 4, đạt tại   x      0, 25  PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 2.1 Kiến thức        Lượng giác hóa là  một trong những phương pháp hay sử dụng để tìm giá trị  lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Bằng phương pháp biến đổi lượng giác (ví dụ đặt  x  sin u;  x  cos u;  x  tan u , )  ta  đưa  biểu  thức  và  điều  kiện  của  bài  toán  về  dạng  lượng giác. Từ đó dựa vào phép tính lượng giác ta sẽ dễ dàng hơn trong việc giải  toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của bài toán ban đầu.         Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có thể sử dụng  phương pháp lượng giác hóa thường có các dấu hiệu dễ nhận biết là:  x  sin u       1. Nếu trong bài toàn có điều kiện x2 + y 2 = 1 thì ta có thể đặt      y  cos u       2. Nếu trong bài toán có biểu thức:  a  x  thi có thể đặt:             x  a sin u    hoặc  x  a cos u        3. Nếu trong bài toán có biểu thức            a  x  hoặc  a  x  thì đặt: x = atanu  hoặc x = acotu          Trong  một  số  bài  toán  thì  các  dấu  hiệu  này  không  xuất  hiện  ngay  từ  đầu,  người giải phải tìm cách biến đổi các điều kiện hoặc các hàm số đã cho để làm xuất  hiện các dấu hiệu đó.  2.2 Một số ví dụ minh họa phương pháp Ví dụ 1: (trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B) 2(6xy  x ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P   y  xy với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức  x  y    Nhận xét lời giải Hệ thức  x  y   giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:  sin u  cos u   Vì vậy, ta đặt: x = sinu, y = cosu, với  u  [0; 2 ]   Dưới hình thức lượng giác, ta có:   Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số P 2(6 sin u cos u  sin u )    cos u  sin u cos u P sin 2u  cos 2u     sin 2u  cos 2u  (*)  Do  sin 2u  cos 2u   2, u [0;2 ] , nên  sin 2u  cos 2u   0,  u  [0; 2 ]   Để tìm miền giá trị của P, ta biến đổi (*) thành:(phương pháp miền giá trị)      (P – 6)sin2u + (P + 1)cos2u = 1 – 2P    (**)  Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là:      P  6        P  1  1  2P   2P  6P  36    2              6  P    Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6 và đạt được khi  cặp (x; y) thỏa mãn x  y    Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  y  x  với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức:  36x  16 y    Nhận xét lời giải 2  6x   y  Biến đổi  36x  16 y   về dạng:              2  6x   cos u x  cos u   Ta nghĩ đến việc đặt:     với  u  [0; 2 ]     y  sin u  y  sin u   4 Khi đó, dưới dạng lượng giác thì:  P  sin u  cos u   sin u  cos u  P   (*)  Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (*) ta có:  15 25                     P  5   P      4 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng  25 15 , giá trị nhỏ nhất của P bằng   và đạt được khi  4 cặp (x; y) thỏa mãn  36x  16 y    Ví dụ 3: Cho x, y là hai số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất  x  y 1  xy  của biểu thức:  P  1  x 1  y  Nhận xét lời giải Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Từ điều kiện x, y   R  và sự có mặt của biểu thức: 1+ x2 và 1+ y2 ,      ;     2  Ta đặt:  x  tan u  và  y  tan v , với  u, v   Lúc đó, Biểu thức P dưới hình thức lượng giác là:  P (tan u  tan v)(1  tan u.tan v) sin(u  v)  sin u sin v  2  1   cos u cos v   2 cos u cos v cos u cos v   (1  tan u )(1  tan v)                                                   sin(u  v).cos(u  v)  sin(2u  2v)      ;    2  Suy ra    P   với mọi  u, v   1 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng  , giá trị nhỏ nhất của P bằng    2 Ví dụ 4: Tìm a và b sao cho hàm số  y  ax  b x2 1 đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị  nhỏ nhất bằng -1 Nhận xét lời giải Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng 1 + x2 cho nên ta có     ;    2  thể lượng giác hóa bằng cách đặt;   x  tan u , với  u   Khi đó, hàm số trở thành  y  y a tan u  b  a sin u cos u  b cos u    tan u a b b a b b sin 2u  cos 2u   sin 2u  cos 2u  y  (*)  2 2 2 Điều kiện có nghiệm của phương trình (*) là:      2 b b b a b  a  b2  y   a  b2        y    2 2 2  2  2  Vậy giá trị lớn nhất  y max  b b  a  b , giá trị nhỏ nhất  y   a  b   2 2 Đến đây, việc tìm a và b thỏa yêu cầu bài toán quy về việc giải hệ phương trình:  b 2   a  b  a  a        b   b  a  b  1 b   2 Vậy tồn tại hai cặp (a, b) thỏa yêu cầu bài toán.  Ví dụ 5: Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn thỏa: abc + a + c = b Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  2     2  a  b  c2 Nhận xét lời giải + Bài toán ban đầu nhìn có vẻ khó, tuy nhiên quan sát kỹ chúng ta lại gặp các biểu  thức dạng 1 + x2, dấu hiệu của lượng giác xuất hiện.   + Quan sát giả thiết bài toán ta có thể biến đổi thành b  của công thức  tan(x  y)  tanx  tany  tanx tan y Cho nên ta đặt:  a  t anx;  c  tan y     x          P  ac , giống hình thức   ac    thì  b  tan( x  y) và ta được:  2 2   2  tan x  tan ( x  y)  tan y      cos x  cos ( x  y)  cos y       =  cos2 x  cos(2 x  y)  3cos2 y       =  2sin(2 x  y ).sin y   3sin y   1     =   3sin y  sin(2x  y) sin y  sin (2x  y)   sin ( 2x  y)   3 1       =    sin y  sin(2x  y)    sin2 (2x  y)   3   Suy ra  P    10  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:  sin(2x  y)   sin(2 x  y)    sin y     sin y  sin(2x  y)    Vậy biểu thức P có giá trị lớn nhất bằng    x   arcsin3  k  y  arcsin1  k  Z   10   Bài tập đề nghị Bài 1: Cho hàm số  y  x   x  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm  số trên miền xác định.  Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 10 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số 5.1.4.Kết áp dụng sở năm học:(2013- 2014 2014- 2015) Trong năm học 2013 – 2014, cũng như trong năm học 2014 – 2015, nhận thấy  lực học của học sinh các lớp mình trực tiếp giảng dạy còn ở mức độ trung bình, do  đó đối với các lớp không phải là lớp 12A1, chỉ hướng dẫn cho các em trong 2 tiết  và  giới  thiệu  tài  liệu  để  học  sinh  tự  nghiên  cứu  và  tham  khảo.  Còn  đối  với  lớp  12A1 học  sinh  có  học  lực  khá giỏi  thì  các em được học  một cách đầy  đủ và kết  thúc nội dung phần học này có kiểm tra mức độ nắm và vận dụng kiến thức trong  thời gian khoảng 20 phút và kết quả thu được cũng rất tốt, đạt tỉ lệ 94,2 %, trong  đó có nhiều em đạt điểm tuyệt đối.  Đề bài:  (Dành cho lớp 12A1) 1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số  y  sin x  cos x    x y y x      2) Cho  x, y  [1;2]  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P     Đáp án : Nội dung  Thang điểm  1) Tìm giá trị lớn hàm số y  sin x  cos x   đ  2,0  Giải : Đặt  t  cos2 x;  t  [0;1]   Hàm số đã cho viết lại thành:  y  f (t )  (1  t )  t   t  3t     Xét hàm số  f (t )  t  3t  , liên tục trên đoạn  [0;1]                Ta có  f '(t )  2t   0; t  [0;1]   2,0            Suy ra hàm số  f (t )  đồng biến trên  [0;1]              Suy ra   max  f (t )  f (1)     [0;1] 0,5  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là  7, đạt khi   x  k   x y y x 2) Cho  x, y  [1;2]  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P     Đặt  t  x  ta có:  P  f(t)  t    t y  đ    2,0  Xét điều kiện: 1  x  y   ta suy ra:   Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn 0,5  x 1   , do đó  t   ;1   y 2  Trang - 39 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Bài  toán  tương  đương  với  tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  hàm  số              1  f(t)  trên đoạn  t   ;1   2  Ta có  f ' (t)  2,0   t2  0, t  ( ;1)    2 t 1  nên  f(t) là hàm số nghịch biến trên đoạ  ;1   2  0,5  Suy ra  f (t )  f (1)    [ ;1] Vậy  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  P  bằng  2,  khi  x  y;1  x, y    0,5    Kết : Thống kê số lượng điểm của học sinh qua bài kiểm tra mức độ nắm kiến  thức.  Lớp học  Số điểm    0, y > 0 thì phải lưu ý  u > 0 và v > 0 để tìm điều kiện cho chính xác.  5.2.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hai số thực  x, y  thay đổi và thoả mãn  x  y     Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức  P  (x  1)(y3  1)   Lời giải  Nhận xét: Theo phương pháp giới thiệu ở trên ta thấy giả thiết chứa hai biến đối  xứng và biểu thức P cũng chứa hai biến đối xứng.  Đặt:  u  x  y; v  xy (u2  4v)      Ta có  P  (xy)3  3xy(x  y)  (x  y)3   v3  3v   f(v)    Mặt khác ta có:   u2  4v  v     Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  f(v)  trên  (; ] Ta có    v   (; ] f '(v)  3v  3; f '(v)        v  1 Bảng biến thiên:      v -1 + f'(v)     - - f(v)   81 - 64 Từ bảng biến thiên ta có hàm số  f (v)  chỉ có giá trị lớn nhất   max1 f (v)  f (1)    ( ; ] Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 41 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số  1  1 x x   x  y                                  Vậy giá trị lớn nhất của P là 4, đạt được khi      xy  1  y  1  y  1   2 Ví dụ 2: ( Trích đề thi tuyển sinh cao đẳng năm 2008)  Cho hai số thực  x, y  thay đổi và thoả mãn  x2  y2   Tìm giá trị lớn nhất và giá  trị nhỏ nhất của biểu thức của  P  2(x  y3 )  3xy    Lời giải  Đặt:  u  x  y; v  xy (u2  4v)      Từ giải thiết  x  y   (x  y)2  2xy   u  2v   2v  u    Kết hợp với  u  v  u  2(u  2)  u      u    Ta có  P  2[(x  y)3  3xy(x  y)]  3xy  2(x  y)3  6xy(x  y)  3xy          P  2u3  6uv  3v    P  2u  3u(u2  2)  3(u2  2)          P  u  u2  6u   f(u)   Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  f(u)  trên đoạn  [  2;2]   u  Ta có  f '(u)  3u2  3u  6; f '(u)     u  2  Mặt khác  f(2)  7; f(1)  Suy ra  max f (u )  f (1)  [  2;2]   13 ; f(2)    13 ;   f (u )  f (2)  7   [ 2;2]   1 1 x x  y  x   13   2   Vậy giá trị lớn nhất của P là  , đạt được khi     1   1 1  xy     y   y   x  y  2  x  1     xy   y  1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  7 , đạt được khi   Ví dụ 3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn   2(a  b )  ab  (a  b)(ab  2)     a b3   a b     9     a  b a  b    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P   Lời giải  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 42 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số    - Biến đổi giả thiết:         2(a  b )  ab  (a  b)(ab  2)  2(a  b )  ab  a 2b  ab  2(a  b) a b       ( a  b)   a  b  b a a b 1 1       (a  b)     b a a b - Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: 1 1 1 1 a b  (a  b)      2(a  b)     2     a b a b b a  a b a b a b Suy ra:      2          b a b a b a a b b a Đặt  t    ,  t   Ta được :  P  4(t  3t )  9(t  2)  4t  9t  12t  18   Xét hàm số:     f (t )  4t  9t  12t  18     f '(t )  6(2t  3t  2)  0, t      23 5 Suy ra  f (t )  f       5     ;     Vậy  P       1 23 a b  đạt đươc khi và chỉ khi     và  a  b       b a a b                (a; b)  (2;1)  hoặc  (a; b)  (1; 2)   Bài tập đề nghị Bài 1: Cho  x, y  R  thỏa mãn   x, y   và  x  y  xy  Tìm GTNN, GTLN của biểu  thức  P  x  y  xy   Bài 2: Cho  x, y  R  thỏa mãn  x  y  xy   Tìm GTLN của  A  x  xy  y   Bài 3: Cho x, y không âm và x2 + y2 + xy =3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất  của P = x3 + y 3 – x2 – y2.   5.2.3.Kết áp dụng phần kiến thức sở năm học:(2013- 2014 2014- 2015)   Nội  dung  kiến  thức  này  là  khó  đối  với  học  sinh  trung  bình,  do  đó  tôi  chỉ  hướng dẫn cho học sinh tham khảo. Còn đối với học sinh 12A1 khi tôi trực tiếp ôn  tập và các em cảm thấy hào hứng, tiếp cận nội dung một cách dễ dàng. Nội dung  phần này phù hợp với  học sinh có học lực khá, giỏi. Chính vì vậy tôi viết nội dung  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 43 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số phần này để học sinh 12A1 của trường có một nội dung ôn tập hiệu quả và cũng là  tài liệu để bản thân tôi tự tham khảo để giảng dạy học sinh các năm học tiếp theo.            Ngoài phần nội dung này, tôi còn trình bày nội dung cũng đòi hỏi học sinh có  học  lực  khá  giỏi  mới  tiếp  cận  một  cách  thuận  lợi  được.  Qua  các  năm  trực  tiếp  giảng dạy học sinh và ôn thi Đại học cao đẳng thì tôi thấy các phần tài liệu này rất  hữu ích.   5.3 BÀI TOÁN TÌM GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC BA BIẾN ĐỐI XỨNG 5.3.1 Phương pháp chung Bài toán: Cho ba số thực x, y, z thay đổi thỏa mãn đẳng thức M (chứa ba biến x, y,  z đối xứng). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (chứa ba biến  x, y, z đối xứng).  Nhận xét: Nội dung trình bày phần này tôi chỉ giới thiệu một lớp bài toán mà ở đó  giả thiết M và biểu thức P thường phụ thuộc phụ thuộc vào ba đại lượng: x + y + z,   xy + yz + zx hoặc x2 + y2 + z2. Khi đó ta thực hiện như sau :  Bước 1:  Đặt ẩn phụ t bằng một trong ba đại lượng trên, rồi dùng giả thiết của bài toán đã  cho và kết hợp hằng đẳng thức (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx để  biểu diễn đại lượng còn lại theo t .  Bước 2: Tìm điều kiện cho t ta thường dùng một trong các bất đẳng thức đúng sau:  x2 + y2 + z2  xy + yz + zx    (x + y + z)2  3(xy + yz + zx)    3(x2 + y2 + z2)   (x + y + z)2  Bước 3: Quy về bài toán đã cho về bài toán đơn giản chỉ phụ thuộc vào biến t Sau  đó ta dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.  5.3.2 Một số ví dụ minh họa Ví dụ : Cho x, y, z  là các số thực thỏa mãn  x  y  z   Tìm giá trị lớn nhất và  nhỏ nhất của biểu thức  P  ( x  y  z )(1  xy  yz  zx )   Phân tích Trong  biểu  thức  P  ta  thấy  có  sự  xuất  hiện  của  hai  đại  lượng ( x  y  z ) và  ( xy  yz  zx) ,  đến  đây  ta  cố  gắng  biểu  diễn  biểu  thức  giả  thiết  theo  hai  đại  lượng  trên là được. Viết lại giả thiết  x  y  z   ( x  y  z )  2( xy  yz  zx)    Ta chỉ việc đặt ẩn phụ theo một trong hai đại lượng cho phù hợp và tìm điều kiện  cho  biến  mới  là  thành  công.  Đặt  t  x  y  z   Sử  dụng  bất  đẳng  thức  đúng  x  y  z  xy  yz  zx  để tìm miền xác định của biến t.  Lời giải  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 44 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Từ giả thiết ta có:  x  y  z   ( x  y  z )2  2( xy  yz  zx)    Đặt  t  x  y  z  Kết hợp giả thiết suy ra  x  y  z   xy  yz  zx  Biểu thức  P  f (t )  t (1  t 1   t 1 )  (3t  t )   2 Áp dụng BĐT đúng  x  y  z  xy  yz  zx , ta có :  t 1     t    2 Khi đó xét hàm số   f (t )  (3t  t )  trên đoạn  [  3; 3]                                    f '(t )  (3  3t )   t  1                                   f ( 3)  0; f ( 3)  0; f (1)  1; f (1)  1        Vậy :  m ax P  max f (t )  1, đạt được khi  x  1; y  0; z       3;              m in P  min f (t )  1 , đạt được khi  x  1; y  0; z      3;    Ví dụ 2. Cho các số thực không âm  x, y, z  thoả mãn  x  y  z     Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P  xy  yz  zx    x yz   Phân tích  Dùng  hằng  đẳng  thức  ( x  y  z )  x  y  z  2( xy  yz  zx)   ta  chuyển  đổi  được  biểu  thức  xy  yz  zx   theo  hai  biểu  thức  x  y  z   và  x  y  z   Từ  đó  đặt  t  x yz  Thì đưa được P về hàm theo một biến  t   Lời giải   Đặt  t  x  y  z    t   2( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  Biểu thức P về hàm theo một biến   t :  P  f (t )  Từ điều kiện ràng buộc:  xy  yz  zx  t2    t2     t t2    Sử  dụng  bất  đẳng  thức  đúng:   xy  yz  zx  x  y  z  ,  ta  suy  ra:  0 t2     t    t   (vì  t  )  Bài toán đã cho tương đương với việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(t) trên đoạn  [ 3;3]   Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 45 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Ta có  f ' (t )  t  t3     (vì  t  )  t2 t Suy ra  f (t )  đồng biến trên  [ , 3]  Do đó  f (t )  f (3)  14   Dấu đẳng thức xảy ra khi  t   x  y  z    Vậy  max P  max f (t )   3;3   14   Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B-2010)  Cho các  số thực không âm a,  b, c thỏa  mãn  a  b  c   Tìm giá trị  nhỏ nhất của  biểu thức :  P  3(a 2b  b c  c a )  3(ab  bc  ca)  a  b  c   Phân tích   Trong biểu thức P ta nhận thấy hai điều sau:  +  Đại  lượng:( a  b2  c )  có  thể  biểu  diễn  qua  đại  lượng  (ab  bc  ca)   bằng  hằng  đẳng thức:  (a  b  c)  a  b  c  2(ab  bc  ca)   +  Đại  lượng: 3(a 2b  b 2c  c a )   có  thể  biểu  diễn  qua  đại  lượng  (ab  bc  ca)   bằng  đẳng  thức  đúng  có  dạng:  3(x2 + y2 + z2)   (x + y + z)2,  tức  là  ta  có  3(a 2b  b 2c  c a )  (ab  bc  ca )   Như vậy biểu thức P đã cho ta đã hoàn toàn biểu diễn qua một biến  t  ab  bc  ca   Đến đây ta chỉ việc sử dụng giả thiết để tìm miền giới hạn cho biến t:   Lời giải  Ta có  P  (ab  bc  ca)  3(ab  bc  ca)   2(ab  bc  ca)   Đặt  t  ab  bc  ca  Ta có  P  f (t )  t  3t   2t    ta có :   t  (a  b  c)2   ( sử dụng BĐT (x + y + z)  3(xy + yz + zx) )  3 Xét hàm số :  f (t )  t  3t   2t  với  t  [0; ]   Ta có  f '(t )  2t   2  ;  f ''(t )    0   2t (1  2t )3 Dấu bằng chỉ xảy ra tại t=0 ; suy ra f’(t) nghịch biến.  1 11 Xét trên đoạn  0;   ta có :  f '(t )  f '      , suy ra f(t) đồng biến.   3 3 Do đó  f (t )  f (0)  2, t  0;      3 Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 46 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Suy ra  P  f (t )  2, t  0;  ;     3 Dấu bằng xảy ra khi ab=bc=ca, ab+bc+ca=0 và a+b+c=1  a  a  a      b  0;   b  ;   b   c   c  c     Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng 2.  Ví dụ 4: Cho  ba  số  x,  y,  z  thuộc  khoảng  (0;1)  và  thỏa  mãn  xy  yz  zx   xyz  x  y  z   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  P  x  y  z   Phân tích  Giả thiết có sự xuất hiện của hai đại lượng ( x  y  z ) và  ( xy  yz  zx) , đến đây ta cố  gắng biểu diễn biểu thức P  theo hai đại lượng trên là được.   Biểu  thức  P  x  y  z  ( x  y  z )  2( xy  yz  zx)   Ta  tiếp  tục  biểu  diễn  P  theo  một trong hai đại lượng này. Kết hợp giả thiết ta có:  P  ( x  y  z )  2( x  y  z )   xyz   Áp dụng bất đẳng thức AM- GM cho ba số dương ta có:  xyz  ( x  y  z )3   27 4( x  y  z )3   Như  vậy  ta  đã  đưa  biểu  thức  P  27 biểu diễn theo một biến và đến đây chỉ cần đặt  t  x  y  z  và đi khảo sát là xong.  Suy  ra  P  ( x  y  z )2  2( x  y  z )   Lời giải  Từ giả thiết  xy  yz  zx  xyz  x  y  z    P  x  y  z  ( x  y  z )2  2( xy  yz  zx) ,  Suy ra  P  ( x  y  z )  2( x  y  z )   xyz   Áp dụng BĐT: AM-GM ta có:  xyz  ( x  y  z )3 , dấu bằng xảy ra khi  x  y  z   27 Suy ra  P  ( x  y  z )2  2( x  y  z )   4( x  y  z )3   27 Đặt  t  x  y  z , với   t   Khi đó  P  f (t )  Xét hàm số  f (t )  f '(t )  4 t  t  2t  2,  t  (0;3)   27 4 t  t  2t  2,  t  (0;3)   27 4   t  2t    t  3; t  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn   Trang - 47   Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Bảng biến thiên:       t   f'(t) - + f(t)   3 Từ bảng biến thiên ta có  M in f (t )  f       (0;3)  2 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng  , đạt được khi  x  y  z    Ví dụ 5: Cho  x ,  y ,  z   thỏa mãn  x  y  z    1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   P  x  y  z      x y y z z x   Phân tích Trong ví dụ này nếu nhìn giả thiết và biểu thức P có vẻ giống các ví dụ dạng trên  tuy nhiên nếu quan sát và đánh giá thì ta thấy cách làm ví dụ bài này đơn giản hơn  nhiều so với các ví dụ trên . Để giải quyết ví dụ này ta chỉ cần sử dụng Bất đẳng  thức AM- GM cho ba số đương là ta có thể quy bài toán về hàm một biến.  Với ba số dương a, b và c ta có:  a  b  c  3 abc  (AM- GM)  Lời giải  Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta có:  2 +   x  y  z  3 xyz      xyz    +  x  y  z  3 x y z ,   1 1 1      33    x y y z z x x y y z z x xyz 1 Đặt  t  xyz , suy ra  t   0;   Khi đó  P   t      2  t  2t  1 Xét hàm  f  t   t   với  t   0;   Ta có  f '  t   2t      t   0;  ,   t 2  t t  2 Suy ra  f  nghịch biến trên   0;      2     Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 48 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số Bảng biến thiên:      t   f'(t) -   f(t) 33 Vậy    99 S  f    ,   2 4 x  y  z đạt được khi và chỉ khi    x  y  z       xyz  Bài tập đề nghị Bài 1: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3.   x y y z z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =  xy  yz  zx      Bài 2: Cho  x ,  y ,  z   thỏa mãn  x  y  z     x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  A  x  y  z        Bài  3:  Cho  các  số  thực  x,y,z  thỏa  mãn  x  y  z    và  x  y  z    Tìm  giá  trị  nhỏ nhất của biểu thức  P  x5  y  z   IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI       Qua quá trình thực dạy, khi vận dụng các phương pháp trên tôi đã thấy được  kết quả khả quan, cụ thể như sau:    Giải quyết một cách tương đối triệt để bài toán về tìm giá trị lớn nhất và giá  trị nhỏ nhất của hàm số.   Qua thực tế áp dụng tôi thấy các em học sinh không những nắm vững được  phương  pháp,  biết  cách  vận  dụng  vào  những  bài  toán  cụ  thể  mà  còn  rất  hứng thú khi học tập phần này.    Đề tài được giáo viên trong tổ khuyến khích và đồng thuận cao và đem lại  hiệu  quả  rất  tốt  đối  với  các  lớp  nguồn  9A1 ;  10A1 và  12A1  của  trường  THCS-THPT Bàu Hàm.    Kết luận chung:           Chuyên đề  này tôi trình bày gồm có 5 nội dung chính, trong thực tế áp dụng  tại trường THCS-THPT Bàu Hàm tôi thấy các phần nội dung 1, nội dung 4 và nội  dung 5, đem lại hiệu quả cao nhất. Hai nội dung còn lại tôi viết để bản thân tôi, các  học sinh có thể tham khảo, nâng cao kiến thức và là tài liệu để ôn thi tuyển sinh.  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 49 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số V ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ        Muốn đổi mới, nâng cao chất lượng dạy học cần có sự phối hợp của bản thân  giáo viên và các cấp quản lí. Qua chuyên đề này, tôi có những đề xuất như:   Đối với giáo viên   Cần nghiên cứu kĩ nội dung bài giảng và đưa ra ý tưởng sử dụng các  phương tiện trực quan và áp dụng được phương pháp.    Thường  xuyên  học  tập  nâng  cao  trình  độ  chuyên  môn  và  đổi  mới  phương pháp dạy học. Tích cực viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm.    Cần phải thường xuyên theo dõi kết quả kiểm tra của học sinh qua các  năm học để kiểm chứng lại hiệu quả chuyên đề.  Đối với nhà trường  Khuyến khích các tổ chuyên  môn, nhóm  bộ môn thảo luận và góp ý  xây dựng các chuyên đề có tính thực tiễn. Tích cực đổi mới dạy và học.   Ban giám hiệu cần mua sắm các thiết bị dạy học, tài liệu phục vụ cho  đổi mới phương pháp giảng dạy của giáo viên và học tập của học sinh.  Đối với Sở Giáo dục    Cần tạo điều kiện cho các nhóm bộ môn giao lưu, trao đổi các chuyên  đề, các sáng kiến kinh nghiệm có tính áp dụng cao.   Cần thường xuyên giới thiệu các nguồn tài liệu phục vụ cho giáo viên  và học sinh để học tập. Cần xây dựng một hệ thống tài liệu chuẩn cho mỗi khối lớp  học.  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 50 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số VI TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên) –Vũ Tuấn (chủ biên) - Lê Thị Thiên Hương-  Nguyễn Tiến Tài- Cấn Văn Tuất, Giải tích 12 bản, nhà xuất bản Giáo Dục.  [2] Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên)–Nguyễn Huy Đoan (chủ biên)- Trần Phương  Dung  -  Nguyễn  Xuân  Liêm-  Đặng  Hùng  Thắng,  Giải tích 12 nâng cao,  nhà  xuất bản Giáo Dục.   [3] Nguyễn văn Dũng, Nguyễn Tất Thu (chủ biên), 18 chủ đề giải tích 12, nhà  xuất bản Đại học Quốc  gia Hà Nội.  [4] Nguyễn  Phú  Khánh,  Các chuyên đề giải tích 12,  nhà  xuất  bản  Đại  học  Quốc  gia Hà Nội.  [5] Nguyễn Phú  Khánh,  Bài toán Bất đẳng thức toán Min - Max,  nhà  xuất bản Đại học đại học sư phạm.  [6].   P.GS  -TS  Phan Huy  Khải,  Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, nhà  xuất  bản Đại học Quốc  gia Hà Nội.  [7] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc anh, Sử dụng phương pháp AM-GM để chứng  minh bất đẳng thức, nhà xuất bản Đại học Quốc  gia Hà Nội.  [8] Th.s Quách Văn Giang, phương pháp chứng minh bất đẳng thức, nhà xuất  bản Đại học Quốc  gia Hà Nội.       [9]. Bộ giáo dục và đào tạo, Đề thi tuyển sinh ĐH - CĐ từ 2002 đến 2014.       [10]. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 51 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số MỤC LỤC NỘI DUNG                                                                                                        Trang                      I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI  II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1  1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 2. Các biện pháp thực hiện III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ 1.1. Một số ví dụ áp dụng phương pháp miền giá trị 1.2. Kết quả áp dụng nội dung chuyên đề tại cơ sở  PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 2.1. Kiến thức cơ bản  ………………………………………………… 2.2. Một số ví dụ minh họa phương pháp 2.3. Kết quả áp nội dung phương pháp tại cơ sở  11 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ 11 3.1. Kiến thức cơ bản  11 3.2. Một số ví dụ áp dụng phương pháp 12  3.3. Kết quả áp dụng nội dung tại cơ sở  13 PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC  14  4.1. Kiến thức cơ bản   14 4.1.1. Bất đẳng thức AM-GM… 15 4.1.2. Bất đẳng thức BCS  15  4.2. Vận dụng bất đẳng thức AM-GM 16 4.2.1 Sử dụng AM-GM tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  16 4.2.2. Sử dụng AM-GM tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  24  4.3. Vận dụng bất đẳng thức BCS 27 4.3.1 Một số ví dụ vận dụng trực tiếp bất đẳng thức BCS 27 4.3.2. Một số ví dụ vận hệ quả của bất đẳng thức BCS 30 4.4. Kết quả áp dụng nội dung tại cơ sở  31 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM 32 5.1 ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 33         Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 52 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN hàm số 5.1.1. Phương pháp chung 33 5.1.2. Đổi biến số, đối với hàm số hoặc biểu thức một biến 33 5.1.3. Đổi biến số, đối với biểu thức có nhiều biến… 35 5.1.4.Kết quả áp dụng tại cơ sở … 39 5.2 TÌM GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC HAI BIẾN ĐỐI XỨNG 40 5.2.1. Phương pháp chung 40 5.2.2. Một số ví dụ minh họa… 41 5.2.3.Kết quả áp dụng phần kiến thức tại cơ sở  43 5.3 TÌM GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC BA BIẾN ĐỐI XỨNG  44 5.3.1. Phương pháp chung… …………………………………………………44 5.3.2. Một số ví dụ minh họa… ………………………………………………44 IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI …… ……………………………………………49 V ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ…… ……………………………………………50 VI TÀI LIỆU THAM KHẢO……… ……………………………………… 51   Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 53 [...]... 0,25  Hàm số f ( x) có giá trị nhỏ nhất bằng  29 , đạt tại x      4 PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC       Phương pháp này sử dụng trực tiếp định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.  Để làm được điều này ta cần tìm các giá trị của M, m để có được bất  đẳng thức  f ( x)  M x  D  hoặc  f ( x)  m   x  D , ở đây D là miền mà trên đó ta cần  tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số ... Vậy biểu thức S ó giá trị nhỏ nhất bằng  , đạt tại a  b  c  1     5 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM          Cùng  với  phương pháp bất  đẳng  thức,  đây  là  một trong  hai  phương pháp thông dụng nhất để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.  Tuy nhiên  phương pháp này lại rõ ràng hơn, thường có các bước làm cụ thể và dễ hiểu.  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 32 Một số phương pháp tìm GTLN...  ;  min  f (t )  f (0)  0   [-1;1] 3 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là     10  , đạt khi  s inx  1  x   k 2   3 2         giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là   0 , đạt khi  s inx  0  x  k   Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 33 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 9 4 1 4                 y = x 6 - 3x 4... GTNN của hàm số         Bằng cách xét chiều biến thiên của hàm số (thông thường tính đạo hàm) , sau  đó so sánh giá trị của hàm số tại các điểm đặc biệt (các điểm cực trị,  các điểm tại  đầu mút của các đoạn thẳng xác định trên miền xác định của hàm số đang xét, các  điểm không tồn tại đạo hàm ). Từ phép so sánh đó suy ra được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.   5.1 ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GTLN,... ở ví dụ trên nếu ta áp dụng trực tiếp bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn thì bước giải tìm nghiệm đạo hàm cho phương trình bậc  5 gặp khó khăn. Do đó ta sử dụng giải pháp đặt ẩn phụ để làm giảm bậc xuống và việc tính toán dễ dàng hơn.  Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  x  1  3  x  ( x  1)(3  x)   Lời giải   x  1  0 Hàm số xác định khi    3x  0    1  x  3 Tập xác định của hàm số ... là độ dài ba cạnh của tam giác ABC  Tìm giá trị nhỏ nhất của của biểu thức  S  a b c     bca c a b a bc Dạng 3: Cho A, B và C là các tổng đối xứng với các biến dương x, y, z.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  x y z     A B C Ví dụ: Cho tam giác ABC có  AB  c, AC  b, BC  a   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a b c     2b  2c  a 2a  2c  b 2a  2b  c Lời gải  Ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi ...  là các số thực dương và thỏa mãn  x  y  3   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  x  y  1 2    2x y Bài 2: Cho  a, b, c   là các số thực dương thỏa  a  2b  3c  20   3 a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a  b  c   9 4    2b c Dạng 6: Cho  xi  0 (i  1, n  ) và x1.x2 xn  q ( không đổi)  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 22 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ... 6ca c  6ab 3 Nếu tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a b c , thì giá trị nhỏ   a  6bc b  6ca c  6ab 1 3 nhất bằng 1, đạt khi  a  b  c    Bài toán đề nghị Bài 1: Cho  x, y, z  là các số thực dương và thỏa mãn  xyz  27   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  x2 y2 z2     z x y Bài 2: Cho  a, b, c  là các số thực dương và thỏa mãn  a  b  c  3   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S...  b  6;  c  3   Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S bằng 12 khi  a  9;  b  6;  c  3   Bài tập đề nghị  Cho  a  b  c  0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  a  108   c(b  c) 2 (a  b)3 Dạng 2: Cho A, B và C là các tổng đối xứng với các biến dương x, y, z.  Người thực hiện: Cao Thanh Hoàn Trang - 17 Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  S  x... Như vậy bài toán trở về tìm GTLN của f (t )  t2  t  2  trên   2; 2    2                 Ta có  f '(t )  t  1  0  t  1     Ta có  f (2)  2;  f (1)  5 ;  f (2)  2   2       Vậy  max  y  max f (t )  2 , tại  t  2  x  1; x  3   [-1;3] [-2;2] Bài tập đề nghị Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 4 x  cos 2 x  2   Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số