MỤC LỤC Trang Mục lục PHẦN I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ BAYES 1.1 Định lý Bayes .3 1.2 Sơ lược thống kê Bayes .5 1.2.1 Giới thiệu 1.2.2 Thông tin tiên nghiệm, mối liên hệ phân phối tiên nghiệm hậu nghiệm 1.2.2.1 Tiên nghiệm mang thông tin 1.2.2.2 Tiên nghiệm không mang thông tin .9 1.2.2.3 Phân phối tiên nghiệm liên hợp 10 1.2.2.4 Phân tích kinh nghiệm Bayes 11 1.2.3 Thông tin hậu nghiệm .12 1.2.3.1 Ước lượng điểm hậu nghiệm 12 1.2.3.2 Khoảng tin cậy Bayes 14 1.2.3.4 So sánh giả thuyết Bayes 14 1.2.4 Suy luận dự báo Bayes .16 PHẦN II: MỘT SỐ MÔ HÌNH THỐNG KÊ BAYES VÀ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Mô hình thống kê Bayes nhị thức 17 1.1 Hàm hợp lý 17 1.2 Mô hình nhị thức .18 1.3 Ví dụ mô hình thống kê Bayes nhị thức tài 19 Mô hình dễ biến động tài 23 2.1 Mô hình dễ biến động ARCH, GARCH dụ báo tài 24 2.1.1 Mô hình ARCH 28 2.1.2 Mô hình GARCH 29 2.1.3 Tính chất ước lượng trình GARCH(1,1) .30 2.1.4 Ước lượng Bayes mô hình GARCH(1,1) .32 2.1.5 Một số kết ước lượng mô hình ARCH GARCH cho giá lợi suất cổ phiếu 35 2.1.6 Ý nghĩa mô hình ARCH GARCH 39 2.2 Mô hình biến động ngẫu nhiên (SV) 39 2.2.1 Ước lượng mô hình biến động ngẫu nhiên đơn 40 2.2.2 Phương pháp hiệu moments (EMM) 41 2.2.3 Phương pháp Bayes mô hình SV 42 2.2.4 Ước lượng Bayes cho mô hình biến động ngẫu nhiên SV 42 2.2.4.1 Hàm hợp lý 43 2.2.4.2 Thuật toán mô hình đơn MCMC ước lượng SV 44 2.2.4.3 Thuật toán mô hình đa MCMC ước lượng SV 47 2.2.5 Biến động dự báo chu kỳ dự báo 50 2.3 Mô hình rủi ro vốn đa hệ số 50 2.3.1 Sơ lược mô hình rủi ro vốn đa hệ số 51 2.3.1.1 Mô hình thống kê yếu tố 52 (Statistical Factor Model) 2.3.1.2 Các mô hình yếu tố kinh tế vĩ mô 52 (Macroeconomic Factor Model) 2.3.1.3 Các mô hình yếu tố 53 (Fundamental Factor Model) 2.3.2 Phân tích rủi ro mô hình đa hệ số 53 2.3.2.1 Ước tính ma trận hiệp phương sai 53 (Covariance Matrix Estimation) 2.3.2.2 Phân hủy rủi ro 55 (Risk Decomposition) 2.3.2.3 Đóng góp biên cổ phiếu i đến tổng số rủi ro 56 (Marginal Contribution of stock i to total risk) 2.3.2.4 Đóng góp biên yếu tố k đến tổng số rủi ro 56 (Marginal contribution of factor k to total risk) 2.3.3 Phân tích phát sinh lợi tức 57 (Return Scenario Generation) 2.3.4 Phương pháp Bayes cho mô hình đa hệ số 59 (Bayesian methods for multifactor models) TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 PHẦN I LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ THỐNG KÊ BAYES 1.1 Định lý Bayes Định lý Bayes tảng thống kê Bayes, kết hợp phân phối xác suất điều kiện với phân phối xác suất có điều kiện, cho phép cập nhật lại niềm tin sau lượng liệu xuất  Định lý: Giả sử { H , H , , H n } hệ đầy đủ xung khắc kiện, A kiện ngẫu nhiên phép thử Khi đó: P (H j | A ) = P (H j ).P (A | H j ) n ∑ P (H i =1 i ).P (A | H i ) (1.1)  Chứng minh Ta có: P (H j | A ) = P (H j A ) P (A ) (Công thức xác suất có điều kiện) Mà: + P (H j A ) = P (H j ).P (A | H j ) (Công thức nhân xác suât) + P (A ) = P (ΩA ) = P ((H + H + + H n )A ) = P (H 1A + + H n A ) = P ( H 1A ) + + P (H n A ) ( { H i } , i = 1, n đôi xung khắc) n = ∑ P (H i ).P (A | H i ) (công thức nhân xác suất) i =1 Suy ra: P (H j | A ) = P (H j ).P (A | H j ) n ∑ P (H i =1 i ).P ( A | H i ) Công thức (1.1) gọi công thức Bayes  Ý nghĩa: + Công thức Bayes sử dụng phép thử có nhiều hành động liên tiếp, cho biết kết xảy hành động sau yêu cầu tính xác suất hành động trước + Ta mô tả việc áp dụng công thức Bayes sơ đồ sau chuẩn đoán bệnh Giả sử bệnh viện bệnh nhân mắc n bệnh H , H , , H n Ta kí hiệu A tập hợp triệu chứng có bệnh nhân Trong trường hợp xác suất P (H i ) P (A | H i ) tìm sở số liệu thống kê năm trước: P (H i ) gần tần số bệnh H i số bệnh nhân bệnh viện đó, P (A | H i ) gần tần số thấy tập hợp dấu hiệu A bệnh nhân bị bệnh H i bệnh viện Áp dụng công thức Bayes cho ta xác suất chuẩn đoán bệnh H i thấy triệu chứng A Ta xét ví dụ cụ thể sau:  Ví dụ: Ví dụ 1: Có hai hộp thuốc Hộp thứ đựng lọ thuốc, có lọ chất lượng; hộp thứ hai đựng lọ thuốc, có lọ chất lượng Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy lọ lọ chất lượng Tính xác suất để lọ chất lượng thuộc hộp Giải Với i ∈ { 1;2} ta đặt tên biến cố: H i : “lấy hộp thứ i” B: “lấy lọ chất lượng” Ta có: P (H ) = P (H ) = ; P (B | H ) = ; P (B | H ) = Xác suất phải tính là: P (H | B ) Vì B = H 1B + H 2B nên: P (B ) = P ( H ) P ( B | H ) + P ( H )P (B | H ) 1 17 = + = 48 Vậy P ( H | B ) = P (H ).P (B | H ) 48 = = ≈ 0.47 P (B ) 17 17 Ví dụ 2: Một hộp đựng đồng tiên không đồng chất với xác suất mặt phải xuất 0,2 đồng tiên đồng chất Chọn ngẫu nhiên đồng tiên từ hộp tung lần có hai mặt phải mặt trái xuất Tính xác suất đồng tiên chọn đồng chất Giải Gọi D kiện tung đồng tiên lần xuất lần mặt phải lần mặt trái, A kiện đồng tiên chọn đồng chất, B kiện đồng tiên chọn không đồng chất Khi đó: {A, B} hệ đầy đủ xung khắc Ta có: 3 + P (B ) = , P (A ) = , P (D | B ) = 3.(0,2) 0,8 = 0,096, P (D | A ) = 3.(0,5) = 0.375 + P (D ) = P (A ).P (D | A ) + P (B ).P (D | B ) = 141 500 Khi đó, xác suất đồng tiên chọn đồng chất là: P (A | D ) = P (A ).P (D | A ) 125 = ≈ 0.89 P (D ) 141 Ta mở rộng ví dụ sau: Một hộp đựng đồng tiên không đồng chất với xác suất mặt phải xuất 0,2 đồng tiên đồng chất Chọn ngẫu nhiên đồng tiên từ hộp tung lần có hai mặt phải mặt trái xuất Tính xác suất đồng tiên chọn đồng chất Phân tích Trong trường hợp ta tính P(A) số lượng đồng tiên hộp Do ta xác định xác suất có điều kiện P(A|D) Vậy làm để xác định xác suất đồng tiên chọn đồng chất? Phương pháp thống kê Bayes giúp giải vấn đề 1.2 Sơ lược thống kê Bayes 1.2.1 Giới thiệu Những ý tưởng cách tiếp cận thống kê Bayes là: • Bởi không chắn giá trị xác tham số (như trung bình, tỉ lệ, độ lệch chuẩn …) xem chúng biến ngẫu nhiên có luật phân phối riêng Trong thống kê cổ điển xem tham số cố định luật phân phối Đây điểm khác biệt mang tính toán học thống kê cổ điển thống kê Bayes • Quy tắc xác suất dùng trực tiếp suy luận tham số • Các định lý xác suất tham số phải hiểu “mức độ tin tưởng” Phân phối tiên nghiệm chủ quan Mỗi người có tiên nghiệm riêng mình, chứa đựng niềm tin cá nhân Điều ước lượng mức độ “có thể thừa nhận” mà người ta xem xét giá trị tham số trước quan sát • Chúng ta xem xét lại niềm tin tham số sau có liệu cách sử dụng định lý Bayes Phân phối hậu nghiệm đến từ hai nguồn: phân phối tiên nghiệm liệu quan sát Cơ sở thống kê Bayes dựa thông tin tiên nghiệm liệu quan sát, từ dẫn tới hàm phân phối xác suất hậu nghiệm.Vậy thông tin tiên nghiệm thông tin hậu nghiệm gì? 1.2.2 Thông tin tiên nghiệm, mối liên hệ phân phối tiên nghiệm hậu nghiệm Thông tin tiên nghiệm tham số nhân tố quan trọng trình suy luận Bayes Thông tin hậu nghiệm kết kết hợp chặt chẽ thông tin tiên nghiệm liệu quan sát, điều thể qua công thức sau: π (θ | x ) = f (x | θ ).π (θ ) , g (x ) (1.2) đó: • θ tham số chưa biết mà ta quan tâm • x vectơ (hay ma trận) ghi nhận liệu quan sát • π (θ ) phân phối tiên nghiệm θ • π (θ | x ) phân phối hậu nghiệm θ • f (x | θ ) hàm mật độ đồng thời mẫu (cũng gọi hàm hợp lý) • g (x ) phân phối biên duyên tính theo công thức:  ∑ f ( x | θ ) π ( θ ) nÕu θ rêi r ¹c g( x) =   ∑ f ( x | θ ) π ( θ ) dθ nÕu θ li ª n tôc Vì ∫ f (x | θ )π (θ )d θ hay ∑ f (x | θ )π (θ ) không phụ thuộc vào θ nên (1.2) viết: π (θ | x ) µ L (θ | x )π (θ ) , µ tỉ lệ, L (θ | x ) hàm hợp lý Ta nhận thấy, lượng liệu quan sát nhiều làm ảnh hưởng lớn lên phân phối hậu nghiệm (trừ trường hợp phân phối tiên nghiệm chứa đựng đầy đủ thông tin (rất rõ ràng)) Ngược lại, liệu thông tin phân phối tiên nghiệm đóng vai trò quan trọng niềm tin hậu nghiệm Trong khái niệm phương pháp Bayes tất thông tin θ từ liệu quan sát thông tin tiên nghiệm chứa đựng phân phối hậu nghiệm π (θ | x ) Phân phối hậu nghiệm nhân tố chủ yếu suy luận Bayes Trở lại với ví dụ mở đầu ta tìm xác suất đồng tiên chọn đồng chất sau: Gọi D kiện tung đồng tiên lần xuất lần mặt phải lần mặt trái, A kiện đồng tiên chọn đồng chất, B kiện đồng tiên chọn không đồng chất Ta xem P(A) đại lượng ngẫu nhiên, giá trị xác nên ta đặt tương ứng với hàm mật độ xác suất π (θ ) Giả sử hộp số đồng tiên đồng chất không đồng chất Khi đó, P (A ) = Đây xác suất chủ quan tùy theo người mà có nhận định riêng số lượng đồng tiên đồng chất không đồng chất có hộp Kí hiệu P (H ) = 0,2 xác suất xuất mặt phải đồng tiên không đồng chất P ( H ) = 0,5 đồng tiên đồng chất Tham số θ chưa biết có hàm mật độ xác suất tiên nghiệm tương ứng: θ 0,2 0,5 π (θ ) = 0,5 = 0,5 Khi đó: π (θ = 0,2 | D ) = f ( D | θ = 0, 2).π (θ = 0,2) g (D ) Mà : π (θ = 0, 2) = 0,5 ; f (D | θ = 0,2) = P (D | θ = 0,2) = 0.096 g (D ) = f (D | θ = 0,2).π (θ = 0,2) + f ( D | θ = 0,5).π (θ = 0,5) = Vậy π (θ = 0,2 | D ) = 471 2000 32 ≈ 0.2038 157 Tương tự, ta tính được: π (θ = 0,5 | D ) = 125 ≈ 0.796 157 Ta có bảng sau: θ 0,2 0,5 π (θ / D ) 32 ≈ 0.2038 157 125 ≈ 0.796 157 Ta thấy xác suất ban đầu để chọn ngẫu nhiên đồng tiên đồng chất 0,5 (thông tin tiên nghiệm), sau cập nhật liệu (đồng tiên chọn ngẫu nhiên tung lần lần xuất mặt phải, lần xuất mặt trái) xác suất không 0,5 mà tăng lên 0,796 1.2.2.1 Tiên nghiệm mang thông tin Tiên nghiệm mang thông tin tiên nghiệm làm thay đổi thông tin chứa liệu Do kết luận dựa vào phân phối hậu nghiệm kết luận dựa vào liệu quan sát khác Phương pháp phổ biến để thể thông tin tiên nghiệm đưa phân phối cho tham số chưa biết mà phân phối phản ánh thông tin tiên nghiệm  Tiên nghiệm mang thông tin tham số tỉ lệ Thông thường nghĩ giá trị trung bình biến ngẫu nhiên, nhiều người nghĩ trung vị nhiều kì vọng Điều vấn đề phân phối đối xứng, trường hợp hai giá trị trùng Tuy nhiên, phân phối chọn không đối xứng cần bảo đảm giá trị tham số phản ánh thông tin tiên nghiệm Sự thể thông tin tiên nghiệm chuẩn làm giảm tính chủ quan (trực giác) Cách dễ ta trả lời câu hỏi sau: Giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận giá trị nhỏ thua (lớn hơn) với xác suất ¼ bao nhiêu? Kí hiệu biến ngẫu nhiên X, để trả lời câu hỏi ta cần xác định giá trị x 0,25 x 0,75 thỏa mãn điều kiện sau: P ( X < x 0,25 ) = 0, 25 P (X > x 0,75 ) = 0,25 Trong trường hợp tổng quát, ta cần tìm x α để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ thua x α với xác suất α : P (X < x α ) = α , x α gọi phân vị mức α xác định dựa vào niềm tin ban đầu tham số Ví dụ: Giả sử mô hình lợi nhuận hàng tháng loại tài sản tài có quy luật chuẩn, N ( µ ,σ ) (biến lợi nhuận độc lập có phân phối thời điểm), mô tả tốt hoạt động Và giả sử phương sai biết, σ = σ *2 nên cần xác định phân phối tiên nghiệm cho tham số kì vọng chưa biết, µ Chúng ta biết phân phối đối xứng lựa chọn hợp lí đơn giản cho phân phối µ phân phối chuẩn: µ : N (η ,τ ), η kì vọng tiên nghiệm τ phương sai tiên nghiệm µ Chúng ta cần xác định hai giá trị để có phân phối tiên nghiệm µ Chúng ta tin lợi nhuận hàng tháng khoảng 1% nên ta gán cho η 1% Hơn nữa, ta ước lượng có khoảng 25% trường hợp lợi nhuận hàng tháng 0,5% (nghĩa µ0,25 = 0,5% ) Từ đây, suy được: τ ≈ 0,742 Do phân phối chọn làm phân phối tiên nghiệm cho µ N (0,01;0,742 )  Tiên nghiệm mang thông tin xác suất nhị thức Ví dụ: Ta cần tìm phân phối tiên nghiệm cho θ , với θ xác suất tăng giá cổ phiếu Biết phân phối θ phân phối bêta với niềm tin ban đầu ta xác định xác suất để cổ phiếu tăng giá khoảng 2% có khoảng 30% trường hợp xác suất tăng giá cổ phiếu 1% Từ thông tin ta có: α = 0,02, α +β P (θ < 0,01) = 0,3 α , β hai tham số phân phối bêta Từ hai điều kiện cho phép ta xác định giá trị α = 1,6 β = 78, Khi phân phối θ xác định 1.2.2.2 Tiên nghiệm không mang thông tin Trong nhiều trường hợp, niềm tin tiên nghiệm mơ hồ Chính khó để chuyển thành tiên nghiệm mang thông tin Trong trường hợp ta gọi tiên nghiệm không mang thông tin hay tiên nghiệm mơ hồ Thông thường, phân phối lựa chọn để thể tiên nghiệm không mang thông tin phân phối xác định giá trị mà tham số có Chẳng hạn, tham số trung bình µ nhận giá trị (−∞; ∞) có phân phối tiên nghiệm không mang thông tin là: π ( µ ) µ Tham số độ lệch chuẩn σ nhận giá trị (0; ∞) có phân phối tiên nghiệm không mang thông tin là: π (σ ) µ α Chú ý hàm mật độ trường hợp hàm mật độ quy cách, vì: +∞ ∫ 1d µ = ∞ , −∞ +∞ ∫ σ d σ = ∞ Tuy nhiên ta tìm phân phối hậu nghiệm có hàm mật độ hợp qui cách 1.2.2.3 Phân phối tiên nghiệm liên hợp Trong nhiều trường hợp, ta mong muốn chọn phân phối tiên nghiệm cho việc phân tích tìm phân phối hậu nghiệm thuận tiện Giả sử liệu sinh từ phân phối xác định đó, ta gọi “phân phối tiên nghiệm liên hợp” để phân phối hậu nghiệm phân phối tiên nghiệm thuộc lớp phân phối Mặc dù có dạng phân phối tham số chúng khác nhau, tham số phân phối hậu nghiệm phản ánh kết hợp thông tin tiên nghiệm liệu quan sát Bây xét trường hợp liệu có phân phối chuẩn trung tâm cho vấn đề thảo luận tài Nếu liệu x có từ phân phối chuẩn phân phối tiên nghiệm liên hợp cho trung bình µ phương sai σ phân phối chuẩn phân phối χ nghịch: π ( µ | σ ) : N (η | σ2 ) T π (σ ) = Inv − χ (v ,c 02 ), (1.3) 2 Inv − χ (v ,c ) kí hiệu cho phân phối χ nghịch với v bậc tự tham số 2 tỉ lệ (scale) c Các tham số tiên nghiệm cần phải xác định η ,T ,v c Tham số T đóng vai trò hệ số giảm việc phản ánh mức độ phân tán µ Thông thường T lớn điều hiển nhiên mức độ phân tán trung bình µ (thể σ2 ) phải thấp liệu x (thể σ ) T 1.2.2.4 Phân tích kinh nghiệm Bayes Để chuyển thông tin tiên nghiệm thành phân phối tiên nghiệm (trường hợp tiên nghiệm mang thông tin), phải xác định tham số tiên nghiệm trước quan sát phân tích liệu dụng chương trình lấy mẫu JPR có mức độ cao tự tương quan, thuật toán MCMC nhiều thời gian để hội tụ  Phân phối tiên nghiệm hậu nghiệm Như mô hình SV đơn, phân phối tiên nghiệm cho τ2 liên hợp tiên nghiệm phương sai mô hình chuẩn, cụ thể là, nghịch đảo phân phối χ với tham số α β Kim, Shephard, Chib (1998) khẳng định tiên nghiệm chuẩn cho phân ra, ρ0, phương trình biến số động lực học Sự lựa chọn phân phối trước cho tham số ổn định, ρ1, định mục đích áp dụng tính dừng (tức là, giới hạn ρ1 khoảng (-1, 1)) Phân phối tiên nghiệm dựa việc phân phối beta Để có phân phối tiên nghiệm, định nghĩa φ biến ngẫu nhiên có giá trị (0, 1), với phân phối xác suất p1 p1 τ τ Nguồn: Trích từ Hình Hình Kim, Shephard, Chib (1998) Các lô hàng tương ứng với mô thu cách sử dụng lấy mẫu di chuyển đơn, lô hàng thấp tương ứng với mô thu cách sử dụng lấy mẫu Kim, Shephard, Chib Phân phối Bêta ( φ1 , φ2 ) Giả sử p1 = 2φ − ; p1 ∈ ( −1,1) ρ1 phân phối tiên nghiệm, ta có công thức sau: π ( p1 ) = 0.5 Γ ( φ1 + φ2 ) ( 0.5 ( + φ ) ) ( 0.5 ( − φ ) ) Γ(φ ) Γ(φ ) φ1 −1 φ2 −1 , (2.30) Γ hàm gamma Phân phối tiên nghiệm τ2 p0 phân phối liên hợp chuẩn, phân phối hậu nghiệm họ đảm bảo hình thức phân phối tiên nghiệm Phân phối hậu nghiệm p1, nhiên, hình thức tiêu chuẩn Để thấy rõ, quan sát thấy trình tự cố định h =(h1, , hT) phân phối chung biến động không quan sát đại diện cho hàm hợp lý p0, p1 τ2 Lấy log hàm hợp lý viết là: T −1 ( ( log L p , p1,τ h ) ) µ − T2 logτ − ∑( h t +1 t =1 − p − p1ht ) 2τ (2.31) Điều kiện đầy đủ lấy log hàm phân phối hậu nghiệm ρ1 cho bởi: ( ( log p p1 h , r , p ,τ ) ) µ ( φ − 1) log  +2p T −1 + ∑( h t =1 t +1   − p1  ÷+ ( φ2 − 1) log  ÷    − p − p1ht ) (2.32) 2τ Khi log hàm mật độ hậu nghiệm (2.32) phân phối chuẩn, phương pháp tiếp cận để lấy mẫu hậu nghiệm sử dụng thuật toán MH Kim, Shephard, Chib sử dụng mật độ đề nghị chuẩn tập trung vào ước tính ước lượng bình phương bé ρ1 từ thống kê hồi quy ht+1+ ht mở rộng phương sai theo dự đoán ước lượng bình phương bé Đó là, giá trị trung bình phương sai đề xuất chuẩn đưa ra, tương ứng, công thức: T −1 ∧ p1 = ∑h t =1 T −1 ∑h t =1 h t +1 t t (2.33) τ2 s p21 = T −1 ∑ ht (2.34) t =1 Một cách tiếp cận để mô hậu nghiệm từ công thức (2.32) ứng dụng thuật toán bác bỏ Gilks Wild (1992).Tiếp theo, thảo luận mô theo biến động không quan sát h  Khối mô biến động không quan sát Các thuật toán đa mô hình SV cách tiếp cận mô h khối thay phân tích nhân tố dựa phương pháp cho ước lượng mô hình trạng thái không gian mẫu, mà mô hình SV đơn giản định nghĩa công thức (2.20) (2.21) Các lọc Kalman cốt lõi phương pháp để đánh giá ước lượng dự báo khuôn khổ không gian trạng thái Mô thuật toán liên kết với lọc Kalman tích hợp mà không cần nỗ lực vào thiết lập lấy mẫu chung MCMC Đối với mục đích ước lượng biểu thức (2.20) (phương trình quan sát) cần chuyển đổi, để hai mô hình phương trình tuyến tính SV nhiễu loạn, òt ηt , quan sát loga - biến động ht Bình phương lôgarit tự nhiên hai bên, thu được, ( ) rt * ≡ log rt = ht + log òt* (2.35) Trong òt* = òt2 Kim, Shephard, Chib quan sát lôgarit tự nhiên - χ log òt* thích hợp xấp xỉ với hỗn hợp với bảy thành phần rời rạc phân phối chuẩn, ta có: ( òt* λt = j ≈ Ν µλt ,υλ2t ) Ρ ( λt = j ) = p j (2.36) * Cho j = 1, 2, , Mật độ gần òt sau ( ) ( g òt* λt = ∑ p j f N òt* µλt ,υ λ2t j =1 ) Trong fN hàm mật độ phân phối chuẩn pj Bảy hổn hợp xác suất, bảy đôi giá trị trung bình phương sai chuẩn µλt υλ2 ước tính khoảng tách biệt (ước lượng hợp lý cực đại) t thủ tục số xem xét Biến hổn hợp λt , coi bổ sung (không quan sát được) tham số mô hình SV mô with với thông số lại thủ tục MCMC Điều kiện phân phối cho bởi: ( p ( λt = j rt * , ht ) µ p j e  *  òt − µλt − 2υλ2t   )  ÷ ÷ ÷  (2.37) đó: òt* = rt * − ht 2.2.5 Biến động dự báo chu kỳ dự báo Quan tâm mô hình biến động tự nhiên, mô hình sản xuất có ý nghĩa dự báo không ổn định lợi nhuận Các mô đường biến động h, hai chuyển động đơn tình mô đa dễ dàng sử dụng cho dự báo Giả sử có tổng M rút vector tham số (ρ0, ρ1, τ2, h) Sau đó, với chu kỳ t, có sẵn mẫu ht( m ) với m = 1, , M, từ phân phối p ( ht r , p , p1 ,τ ) biến động không quan sát Giả sử muốn dự đoán biến động thời điểm T + Đối với ( p( m) , p1( ) ,τ , h ( m m) ) , m = 1, , M, tạo quan sát cách sử dụng phương trình động lực học biến động (2.21) hT( +1) = p 0( m m) + p1( ) hT( m m) + τ ( )ηT m Trong ηT : Ν ( 0,1) Vì vậy, lấy mẫu từ phân bố biến động dự đoán p ( ht r , p , p1 ,τ ) Đây dự báo - - mẫu, hai có (ρ0, ρ1, τ2) hT dựa thông tin lên đến T thời gian Nếu muốn dự báo lợi nhuận thời gian T + 1, lấy mẫu đơn từ mật độ trở lại tiên đoán máy tính rT( +1) = e m  h( m )  T +1    ÷òt ÷  với m= 1,…,M 2.3 Mô hình rủi ro vốn cổ phần đa hệ số Mô hình đa hệ số lợi nhuận cổ phần phát triển để giải thiếu hụt quan trọng mô hình định giá tài sản vốn (CAPM), cụ thể là, giả định ngầm lợi nhuận chứng khoán giải thích hiệp phương sai họ với thị trường đó, dẫn đến rủi ro phi thị trường không mong muốn Có nhiều yếu tố phổ biến thị trường mà chuyển động theo chuỗi thời gian Các nhà đầu tư cần phải bồi thường rủi ro mang đến Tập hợp yếu tố khác đề xuất tài liệu định giá tài sản chủ đề Ví dụ, Fama Pháp (1992) xem xét vai trò thị trường bêta, kích thước, thu nhập giá cả, tận dụng vốn chủ sở hữu sách để thị trường, Chen, Roll Ross (1986) tập trung vào yếu tố dự báo kinh tế vĩ mô gia tăng lãi suất ngắn dài, lạm phát bất ngờ, sản xuất công nghiệp Các mô hình đa hệ số đóng vai trò quan trọng hầu hết giai đoạn trình quản lý đầu tư Chúng sử dụng cho lựa chọn an ninh, xây dựng danh mục đầu tư, đánh giá hiệu tiềm danh mục đầu tư, kiểm soát rủi ro liên quan đến điểm chuẩn, phân tích ghi hiệu suất Phần sử dụng thiết lập mô hình đa hệ số để cố gắng thống chủ đề tối ưu hóa danh mục đầu tư - có nghĩa không đúng, mô hình biến động, phương pháp tiên tiến để xây dựng danh mục đầu tư, ước lượng bayes trình bày phiên đơn giản cho cách tiếp cận tích hợp để mô hình đầu tư rủi ro trông giống thực tế Chúng xem xét ba loại mô hình đa hệ số sau thảo luận chi tiết mô hình yếu tố bản, tập trung vào dự toán rủi ro phân tích thành phần rủi ro Chúng nhấn mạnh việc áp dụng mô hình đa hệ số trả hệ kịch hiển thị cho rủi ro điều kiện giá trị rủi ro (cvar) sử dụng biện pháp rủi ro Sau đó, trình bày quan điểm Bayesian để mô hình đa hệ số vốn chủ sở hữu kết thúc với minh hoạ mô hình đa hệ nặng đuôi 2.3.1 Sơ lược mô hình rủi ro vốn cổ phần đa hệ số Các mô hình rủi ro vốn cổ phần đa hệ số xây dựng hoàn toàn theo kinh nghiệm Nó không liên quan đến giả định hành vi nhà đầu tư hay hiệu thị trường, mô hình cân CAPM chênh lệch giá mô hình lý thuyết ( APT ) Những mô hình đa hệ số công cụ đơn giản để quản lí trình đầu tư Chúng cung cấp cấu trúc tiêu dùng tiết kiệm mô hình lợi nhuận vốn chủ sở hữu, thông qua biến động số nhỏ biến Trong mô hình đa hệ số vốn chủ sở hữu, lợi nhuận cổ phiếu chia thành lợi nhuận tuyến tính liên quan đến yếu tố lợi nhuận cổ phiếu cụ thể Mối liên hệ tuyến tính lợi nhuận cổ phiếu dư yếu tố rủi ro ước tính mô hình đa hệ số viết Ri − R f = α i + β i ,1 f1 + β i ,2 f2 + L + β i ,K fK + ε i (2.38) Ở đây: R i = tỷ lệ lợi nhuận cổ phiếu i R f = lãi suất phi rủi ro lợi nhuận f j = tỷ lệ lợi nhuận yếu tố rủi ro j β i , j = biến động cổ phiếu i đến yếu tố rủi ro j α i = lợi nhuận dư cổ phiếu i ε i = lợi nhuận cụ thể cổ phiếu i Cả số lượng chất lượng yếu tố - nguồn rủi ro phổ biến lợi nhuận chứng khoán – quy định lý thuyết Rất nhiều nghiên cứu thực nghiệm, nhiên, phát yếu tố có sức mạnh giải thích Mô hình đa hệ số phân loại thành ba nhóm dựa chất yếu tố sử dụng – mô hình thống kê yếu tố, mô hình yếu tố kinh tế vĩ mô, mô hình yếu tố 2.3.1.1 Mô hình thống kê yếu tố – Statistical Factor Model Các mô hình thống kê yếu tố không đòi hỏi phải xác định yếu tố tiên nghiệm Ngược lại, yếu tố (chuỗi thời gian yếu tố lợi nhuận) chiết xuất từ mẫu liệu cũ với giúp đỡ kỹ thuật thống kê – thường xuyên nhất, phân tích thành phần Ý tưởng nhận được, để giảm tầm quan trọng, yếu tố tốt giải thích thay đổi lợi nhuận Mỗi yếu tố liên tiếp tốt giải thích biến đổi lại không giải thích yếu tố trước Mạnh mẽ phụ thuộc (tương quan) chuỗi lợi nhuận, nhỏ số lượng yếu tố cần thiết để giải thích tỷ lệ lớn biến đổi Nói chung, - yếu tố tìm thấy chiếm khoảng 90% thay đổi lợi nhuận Sau yếu tố lợi nhuận chiết xuất, chuỗi thời gian hồi quy, (2.38), chạy để ước tính độ nhạy cảm (tiếp xúc) cổ phiếu yếu tố rủi ro 2.3.1.2 Các mô hình yếu tố kinh tế vĩ mô – Macroeconomic Factor Model Các mô hình yếu tố kinh tế vĩ mô sử dụng chuỗi thời gian kinh tế vĩ mô, ngoại sinh lãi cổ phiếu, chẳng hạn lạm phát, lãi suất, sản xuất công nghiệp, phí bảo hiểm mặc định để đại diện cho yếu tố thông thường điều chỉnh lãi cổ phiếu Cổ phiếu nhạy cảm với yếu tố kinh tế vĩ mô ước tính hồi quy với chuỗi thời gian trường hợp mô hình yếu tố thống kê 2.3.1.3 Các mô hình yếu tố – Fundamental Factor Model Mô hình yếu tố cố gắng để giải thích tỷ lệ lớn biến đổi lợi nhuận với biến công ty cụ thể Thuộc tính công ty dựa số liệu kế toán, chẳng hạn suất cổ tức, quy mô công ty, tỷ lệ sách thị trường, phân loại công nghiệp địa lý Yếu tố nhạy cảm xác định từ công ty quan sát thuộc tính này, yếu tố lợi nhuận ước tính thông qua hồi quy cắt ngang Một yếu tố rủi ro thực tế kết hợp mô tả với việc nắm bắt khía cạnh thuộc tính công ty Ví dụ, yếu tố rủi ro giá trị thiết kế để kết hợp tỷ lệ sách - giá, tỷ lệ thu nhập - giá, tỷ lệ giá - thu nhập tăng trưởng, “lợi nhuận” kết hợp lợi nhuận vốn chủ sở hữu lợi nhuận tiên mặt vốn chủ sở hữu 2.3 Phân tích rủi ro mô hình đa hệ số – RISK ANALYSIS USING A MULTIFACTOR EQUITY MODEL Một mô hình đa hệ số tạo điều kiện cho nhiều dự toán ma trận hiệp phương sai Trong cách xác định phương sai, rủi ro danh mục đầu tư xác định thông qua ma trận hiệp phương sai, sử dụng mô hình đa hệ số có nghĩa rủi ro danh mục đầu tư dự toán thực đơn giản – thay tính toán hiệp phương sai tất cặp lợi nhuận, xem xét hiệp phương sai yếu tố, mà nhỏ nhiều lần so với cổ phiếu Giả sử 1.000 cổ phiếu ứng cử viên cho việc mua lại Ma trận hiệp phương sai cổ phiếu ứng cử viên bao gồm 1.000 phương sai 499.500 (khác biệt) hiệp phương sai Ước tính số lượng lớn thông số nhiệm vụ khó khăn Chúng ta xem làm để mô hình đa hệ số giúp giảm số chiều vấn đề 2.3.2.1 Ước tính ma trận hiệp phương sai – Covariance Matrix Estimation Giả sử mẫu liệu lịch sử bao gồm lợi nhuận N cổ phiếu ứng viên để đưa vào danh mục đầu tư ghi lại thời gian T thời gian Sắp xếp lại cho tất cổ phiếu thời điểm t, viết lại (2.38) sau: R t = Bf t + ε t Ở đây: (2.39) R t = N × vector lợi nhuận cổ phiếu thời gian t B = N × K + ma trân yếu tố rủi ro nhạy cảm f t = K + × vector lợi nhuận yếu tố rủi ro thời gian t ε t = N × vector lợi nhuận cổ phần cụ thể thời gian t Phần tử f t 1, cột B bao gồm α i , i = 1, , N (2.38) Biểu thức (2.39) đại diện cho hồi quy cắt ngang, sử dụng để ước tính mô hình đa hệ số Lưu ý thông số chưa biết mà ước tính yếu tố lợi nhuận, f t , yếu tố rủi ro biến động, B, quan sát Ma trận đại số đơn giản cho phép thể ma trận hiệp phương sai lợi nhuận cổ phiếu, ∑ : ∑ = B Ω f B '+ D , (2.40) Ở đây: Ω f = ma trận hiệp phương sai yếu tố lợi nhuận D = ma trận hiệp phương sai lợi nhuận cụ thể µ Trong trường hợp 1000 cổ phiếu ứng cử mô hình 13 – yếu tố, tính toán ∑ (2.40) ước tính 1091 số lượng (13 yếu tố lợi nhuận phương sai, 78 (khác biệt) yếu tố lợi nhuận phương sai, 1000 lợi nhuận phương sai cụ thể) Rõ ràng, sử dụng mô hình đa hệ số làm cho danh mục đầu tư rủi ro dự toán nhiều điều dễ dàng Để ước tính ma trận hiệp phương sai, Ωf D, sử dụng ước tính yếu tố lợi nhuận cụ thể thu từ hồi quy cắt ngang (2.39): µ ,  A T × K ma trận lợi nhuận yếu tố ước tính, ký hiệu F hàng, fµt , tương ứng với yếu tố lợi nhuận ước tính điểm thời gian µ ,  A T × N ma trận lợi nhuận chứng khoán ước tính cụ thể, ký hiệu E hàng, eµt , tương ứng với lợi nhuận ước tính cụ thể điểm thời gian µ thu hàng t E eµt = R t − B fµt (2.41) Phương pháp khác nhận được, việc ước tính yếu tố ma trận hiệp phương sai, Ωf , ma trận hiệp phương sai lợi nhuận cụ thể, D Ví dụ, Ωf ước tính cách sử dụng dự báo theo cấp số nhân, phạm vi bảo hiểm dự toán ma trận hiệp phương sai Các yếu tố đường chéo D ước tính cách sử dụng trọng lượng theo cấp số nhân Một mô hình loại ARCH mô hình biến động ngẫu nhiên sử dụng để ước tính chênh lệch cụ thể lãi cổ phiếu Chúng giả định rằng, thu Ωf , D Trong thời gian này, mang cho cấp rằng, rủi ro danh mục đầu tư đo lường phương sai lợi nhuận danh mục đầu tư Phương sai lợi nhuận danh mục đầu tư p với trọng lượng ω đươc cho σ p2 = ω ' ∑ ω = bp' Ωbp + ω ' Dω , (2.42) b p K × vector danh mục đầu tư tiếp xúc với yếu tố mô hình, bp = ω ' B N N  =  ∑ ωi B i ,1 ,L,∑ ωK B i ,K ÷ i =1  i =1  B i ,k tiếp xúc cổ phiếu từ i đến k Nó chắn có giá trị lớn để người quản lý danh mục đầu tư để xác định nguồn rủi ro cho danh mục quản lý đầu tư Bây nhìn vào số cách để danh mục đầu tư phân hủy rủi ro, để phân tích nguồn 2.3.2.2 Phân hủy rủi ro – Risk Decomposition Các biểu thức (2.42) cho thấy phân hủy rủi ro danh mục đầu tư ' vào thành phần yếu tố phổ biến (được đưa b p Ωb p ) thành phần cụ thể (được đưa ω ' D ω ) Một nhà quản lý danh mục đầu tư hoạt động quản lý danh mục đầu tư chống lại điểm chuẩn cố gắng để sản xuất trở lại (trở hoạt động) điểm chuẩn phù hợp, mang rủi ro vượt rủi ro điểm chuẩn (hoạt động rủi ro) Hoạt động rủi ro coi theo dõi lỗi Ký hiệu trọng lượng tài sản danh mục đầu tư chuẩn ωb Chúng xác định trọng lượng hoạt động tài sản, ωa , khác biệt trọng lượng danh mục đầu tư nhà quản lý trọng lượng chuẩn ωa = ω − ωb (2.43) Bình phương hoạt động rủi ro danh mục đầu tư nhà quản lý thể σ p2 ,a = ωa' ∑ ωa (2.44) Mà phân chia thành yếu tố phổ biến thành phần cụ thể σ p2,a = bp' ,a Ωbp,a + ωa' Dωa , (2.45) b p ,a = B ' ωa Phân hủy chi tiết rủi ro điều kiện tiên để quản lý danh mục đầu tư đạt hiệu Trong khuôn khổ mô hình đa hệ số, người quản lý danh mục đầu tư đánh giá đóng góp cổ phiếu cá nhân tiếp xúc với yếu tố khác (tiếp xúc với ngành công nghiệp, phong cách đầu tư, người khác) tổng số (hoạt động) rủi ro Chúng thảo luận làm để phân tích nguồn rủi ro tổng danh mục đầu tư Ký hiệu ωi trọng lượng danh mục đầu tư cổ phiếu i, ωi ,a trọng lượng tích cực chứng khoán i, b p ,k , danh mục đầu tư tiếp xúc với yếu tố k Để có biểu thức cho nguồn hoạt động rủi ro (theo dõi lỗi), nhu cầu cần thay ωi ,a cho ωi Những đóng góp cận biên cổ phiếu i yếu tố k tính toán dẫn xuất tổng số rủi ro ωi b p ,k 2.3.2.3 Đóng góp biên cổ phiếu i đến tổng số rủi ro – Marginal Contribution of stock i to total risk Đóng góp biên cổ phiếu i tổng số rủi ro ( ( MCTR i ) ) cho MCTR i ≡ dσ p d ωi = ( ω ∑) ( ) ( ω ∑ ) = 2σ σp −1/ i p i (2.46) Ở số i kí hiệu phần tử thứ i vector MCTR i số tiên rủi ro danh mục đầu tư liên quan đến việc nắm giữ cổ phiếu i Đóng góp tỷ lệ phần trăm biên cổ phiếu i đến tổng số rủi ro (PCTR) thu ωi MCTR i σp PCTR i = (2.47) 2.3.2.4 Đóng góp biên yếu tố k đến tổng số rủi ro – Marginal contribution of factor k to total risk Đóng góp biên yếu tố k đến tổng số rủi ro ( MCFTR k ) cho MCFTR k ≡ dσ p db p ,k = σp ( ) ( b Ω) = −1/ ( b Ω) p p 2σ p k (2.48) Sự đóng góp tỷ lệ phần trăm yếu tố k đến tổng số rủi ro ( PCFTR k ) là: PCFTR k = b p ,k σp MCFTR k (2.49) Nếu nhà quản lý muốn kiểm soát rủi ro đến từ việc tiếp xúc với yếu tố k, cần phải biết làm để cổ phiếu góp phần hình thành rủi ro mà tiếp xúc PCFTR k chia nhỏ vào đóng góp cổ phiếu gốc đến việc tiếp xúc với yếu tố thứ k danh mục đầu tư, PCFTR k = ωi B i , k MCFTR k σp (2.50) Khi định nghĩa rủi ro danh mục đầu tư Cvar lợi nhuận danh mục đầu tư, thay phương sai lợi nhuận danh mục đầu tư, thực loại phân hủy rủi ro để đánh giá đóng góp rủi ro cổ phiếu cá nhân tiếp xúc với yếu tố Trong chương này, tập trung vào kịch (dựa số) để tính Cvar 2.3.3 Phân tích phát sinh lợi tức (Return Scenario Generation) Phân tích lợi nhuận tạo từ số phân phối đa biến trang bị cho liệu quan sát Lý cho việc sử dụng khuôn khổ đa hệ số để tận dụng lợi nguy phân hủy khuôn khổ làm cho Chúng xác định nguồn rủi ro, đo Cvar, bước trình quản lý rủi ro toàn diện  Quá trình lợi nhuận cổ phiếu phân tích có hai giai đoạn: • Với t ,t = 1, ,T , ước tính hồi quy cắt ngang (2.39) thu nhận µ lợi nhuận ước tính cụ thể E µ chuỗi thời gian lợi nhuận ước tính F  f¶1,1 f¶1,2   µ =  f¶ ¶ F  t ,1 f t ,2   ¶  f¶  T ,1 f T ,2  ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ f· T ,K ÷  f¶1,K f¶t ,K (2.51)  e¶1,1 e¶1,2   µ =  e¶ ¶ E  t ,1 et ,2   ¶  e¶  T ,1 eT ,2  ÷ ÷ ÷ t ,N ÷ ÷ ÷ e· T ,N ÷  e¶1,N e· (2.52) • Dự đoán (mô phỏng) yếu tố lợi nhuận lợi nhuận cổ phần, cụ thể sử dụng chúng trình điều khiển để tính toán kịch lợi nhuận chứng khoán từ ° = B f° + e% R (2.53) Ở f° e% dự đoán yếu tố lợi nhuận cổ phiếu cụ thể  Dự đoán yếu tố cổ phiếu - lợi tức đặc biệt Trở yếu tố khả độc lập, lợi nhuận cổ phiếu tùy theo trường hợp bị ảnh hưởng không bị ảnh hưởng cổ phiếu khác.Nếu người tự tin mô hình đa hệ số quy định cách xác yếu tố đầy đủ đại diện trình điều khiển phổ biến lãi cổ phiếu, người ta giả định lợi nhuận cổ phần, cụ thể độc lập Sau đó, chuỗi thời gian cổ phiếu xử lý mẫu từ phân phối đơn biến Ngược lại, có nhiều yếu tố bỏ qua từ mô hình (2.39), lợi nhuận ước tính cổ phiếu cụ thể độc lập, thích hợp để xử lý chúng phân phối đa biến Hai phương pháp tiếp cận để tạo f° e% theo sau: µ • Giả sử hành vi bất biến thời gian F µ Để mô yếu tố E lợi nhuận, biểu thị phân phối lợi nhuận yếu tố p ( f | θ ) , f × K vector θ µ biểu vector tham số Ước tính θ cách sử dụng mẫu yếu tố lợi nhuận, F ( ) thị ước tính θ$ Tạo số lượng lớn mẫu từ p f | θ$ Để mô lãi cổ phiếu cụ thể, tiến hành theo cách tương tự, đơn biến thiết lập đa biến µ E µ Các loại • Giả sử hành vi thời gian khác F trình chuỗi thời gian phải phù hợp với F E phụ thuộc vào tình hình cụ thể Nói chung, mô hình biến động yêu cầu mô hình động lãi cổ phiếu cụ thể Trở yếu tố xem xét để có động lực ổn định với cú sốc so với lợi nhuận cổ phần cụ thể.Vì vậy, thứ tự thấp cấu trúc mô hình đa biến tự hồi quy (AR), chẳng hạn trình AR đa biến di chuyển trung bình nhiều biến tự hồi quy (ARMA) trình đủ để mô tả động lực chung Yếu tố cổ phần, cụ thể mô từ trang bị tương ứng mô hình chuỗi thời gian 2.3.4 Phương pháp Bayes cho mô hình đa hệ số Phương pháp dự toán mô hình đa hệ số thiết lập Bayesian hưởng lợi ích thông thường giải không chắn tham số kết hợp kiến thức trước hay trực giác Thiết lập Bayesian, đặc biệt tuân theo kết đầu từ Markov Chain Monte Carlo (MCMC) tính toán cho phép để mô toàn phân phối tham số Phải thừa nhận rằng, tương tự Bayesian dự toán mô hình nguy nêu tốn nhiều thời gian hơn, chắn, tính toán chuyên sâu.Tiến liên tục khả tính toán, hành động để giảm thiểu hạn chế Tuy nhiên, nhà quản lý người sử dụng chiến lược định lượng dựa giả định Gaussian thông thường cho trở lại sử dụng độ lệch tiêu chuẩn biện pháp rủi ro tốt The Bayesian đa hệ số dành cho nhà quản lý danh mục đầu tư thích:  - Kết hợp không chắn tham số (ở tất giai đoạn trình lập dự - toán) Giả sử không Gaussian phân phối lợi nhuận chứng khoán, lợi nhuận - yếu tố Sử dụng phương pháp tinh vi để ước lượng biến động, ví dụ, trình ARCH - loại trình SV phần mở rộng Tối ưu hóa danh mục đầu tư cách sử dụng kỹ thuật tiên tiến Ứớc tính hồi quy chéo Nói chung, ước tính hồi quy chéo (2.39) thực hiện, thông số trước phân phối nhu cầu để xác định yếu tố lợi nhuận, f t ,1 , , f t ,k , t = 1, ,T , thông số phân phối lợi nhuận Nếu giả định lợi nhuận theo phân phối nặng đuôi, bất hợp lý để khẳng định trước đuôi nặng cho yếu tố lợi nhuận Trong thiết lập không liên hợp, chắn phải dùng đến Markov Chain Monte Carlo (MCMC) phương pháp để mô phân phối hậu nghiệm  Mô hậu nghiệm Ký hiệu mẫu từ phân phối hậu nghiệm từ hồi quy cắt ngang thời điểm t ma trận P x Q, Ξt Ξt = ( Θt , Ft ) (2.54) Trong đó: Θ ma trận hậu nghiệm P từ phân phối lợi nhuận tham số Ft ma trận hậu nghiệm P yếu tố lợi nhuận P = số hậu nghiệm sau mẫu thí nghiệm loại bỏ Q = tổng số thông số mô hình Đối với t, t = 1, ., T, tính toán hậu nghiệm trung bình biểu thị µ t , a1× Q vector Ξ ( µ t = θ$ , fµ t Ξ ) Các cổ phiếu cụ thể lợi nhuận ước tính thời điểm t cho : eµt = R t − B fµt , Nơi mà áp dụng biểu (2.41) fµt vector trung bình hậu nghiệm (2.54) Nhiều hậu nghiệm trung bình yếu tố lợi nhuận lợi nhuận ước tính cổ phiếu cụ thể cho tất khoảng thời gian, có chuỗi thời gian dự toán Bayesian: µ = T x K ma trận chuỗi thời gian ước lượng yếu tố lợi nhuận F µ = T x N ma trận chuỗi thời gian ước lượng lợi nhuận cổ phiếu E Phân tích phát sinh lợi nhuận: Để tạo lợi nhuận, lần dự đoán yếu tố lợi nhuận lãi cổ phiếu cụ thể, cách phân phối bất biến thời gian phù hợp chuỗi thời gian quy trình F E Hoặc thực thiết lập Bayesian Khi đó, lợi nhuận chứng khoán tạo Thủ tục Bayesian đòi hỏi thực thường xuyên Lý yếu tố cổ phiếu cụ thể lợi nhuận dự báo sở phân phối hậu nghiệm thông số mô hình chuỗi thời gian thay ước lượng hợp lý cực đại tham số Thế mạnh mô hình ngày xây dựng danh mục đầu tư dự đoán lợi nhuận TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội (2005) [2] Trần Hùng Thao, Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất khoa học kỹ thuật (2004) [3] Nguyễn Trọng Hoài, Phùng Thanh Bình, Nguyễn Khánh Duy, Dự báo Phân tích liệu kinh tế tài chính, Nhà xuất Thống Kê (2009) Tiếng Anh [1] Biliana S Bagasheva , Frank J Fabozzi, Svetlozar T Rachev, John S J Hsu, Bayesian Methods in Finance, John Wiley (2008) [2] Dale J Poirier, Gary Koop, Justin L Tobias, Bayesian Econometric Methods, Cambridge Unuversity(2007) [3] Karl-Rudolf Koch, Introduction to Bayesian Statistics, Springer (2007)