10 BÀI HỆ HAY VÀ ĐẶC SẮC  x    x  1 y    x   y  y   Bài Giải hệ phương trình:   x  8 y  1    y  2 x    x  4x     ( xy  3) y   x  x  ( y  3x) y  Bài 2.Giải hệ phương trình:    x  16  2 y    x ( x, y  ) i i he phương tr nh: 2     x  y  2x  y  y  x  2x  y   x y  2  y   x  y    x   x  y    y      2   15    x  x  y   1   y     xy 18 y  3xy  1  x  18 y 1  2  Bài Giải hệ phương trình   2  x  y  y  x    x  y    x  y   2     x  x  2( x  x)  y  (2 y  3) x   Bài Giải hệ phương trình:  x  x3  x  2   y   2x 1  2  x  (y  y  1) x   y  y   Bài Giải hệ phương trình:  (x, y  R) 2 y   xy  2x   x      x3  y y   y  x  Bài Giải hệ phương trình    (4x  3)   y  3x        x   ( y  2) ( x  1)( y  1) (1) x  x 1 Bài Giải hệ phương trình  ( x, y  R ) 3x  x   4( x  1) y  (2)    1 y2  2 ( x  1)  y   1   x  Bài Giải hệ phương trình    2 4 y  ( y  x  3x  2)(  x  1) 4 2   x  16 y  32 xy  24 x y  x y   Bài 10 Giải hệ phương trình  2  x  y   H  x    x  1 y    x   y  y   Bài Giải hệ phương trình:   x  8 y  1    y  2 x    x  4x    Điều kiện x  1; y  x   a; y   b  a, b  0 , từ (1) ta có: Đặt a  ab  a     b    b  a  b  ab  b  a  b    a  b 1  2a  b    a  b (do a, b    2a  b   x 1  y2  y  x3 Thế vào (2) t được:  x  8 x  4 x2  x    x  1 x    x4    x  x    x 1   x 1 x 1   x  8 x    x  1 x  8 x2  4x   x 1  * + x   y  11; + *      x    x     x  1  x  x    x 1     2 x   3   x    3  x    3 (**)    Xét hàm số f  t    t  3  t  3 với t  nên f  t  đồng biến Do **  f  có f '  t    t  1  t  x  x   f  x  2  x   x    x   x  4x   x   13  x (T/M) x  x    x  13 11  13 y 2   13 11  13  Vậy hệ cho có nghiệm  x; y   8;11  ;     ( xy  3) y   x  x  ( y  3x) y  Bài 2.Giải hệ phương trình:    x  16  2 y    x 0  x  Đk:   y  2 (1)  (*) Với đk(*) t có x  ( x  1) ( y  3) y   ( x  1) x     ( y  3) y   ( x  1) x 31 Với x = th y vào (2) t được: 2 y    y   (loai) Ta có: (3)   ( x, y  ) (3)  y   y   ( x )3  x (4) Xét hàm số f (t )  t  t  f '(t )  3t   0; t  Hàm số f(t) hs đồng biến, đó: (4)  f ( y  2)  f ( x )  y   x  y  x  th y vào pt(2) t được:  x  2 x   x2  16  32  8x  16 2(4  x2 )  x  8(4  x )  16 2(4  x )  ( x  x)   x t  2 2 Đặt: t  2(4  x ) (t  0) ; PT trở thành: 4t  16t  ( x  x)    t   x   0(loai )  Hay 0  x  x 4 6  2(4  x )    32  x  y 3 x     4 6 Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) là:  ;  3   2     x  y  x  y  y  x  x  y  (1) Bài Giải hệ phương trình:  x  y (2)  y  x  y   x  x  y   y           Lời giải: x  x    ĐK  y  y  2 x  y   Nếu y= (1)  2 (vô lý)   x x x2 Tương tự x= không thỏa mãn, x,y >0 Đặt x  ty, t  0, phương trình đầu trở thành: 2   (1') ( t  1) t  2t  1  t (2t  1) Ta có 2    t  2t  2t  2t  (2t  1)  2t   ( 2t   1) (1')  2 1      (2) Đặt 2 2 ( t  1) ( 2t   1)  t (2t  1) ( t  1) ( 2t   1)  t (2t  1)  1 a  t (a, b  0), (2)(2)    (*)  2 (1  a ) (1  b )  ab b  t    1 Bổ đề:   2 (1  a) (1  b)  ab Áp dụng BĐT C uchy-Schawarz ta có: (1  ab)(a  b)  ( a  ab b )2  a(1  b)2  a  (3) (1  b) a  b  ab Tương tự b  (4) (1  a) a  b  ab Cộng vế với vế t đpcm Dấu “=” xảy  a  b (*)  t  2t   t   x  y 2( x  4) x   ( x  6) x   3( x  2)   4( x  4)2 ( x  3)  ( x  6) (2 x  1) 4( x  4) ( x  3)  ( x  6) 2( x  4) x   ( x  6) x     3( x  2) 2( x  4) x   ( x  6) x   ( Do ĐK x  nên x   ) 2( x  4) x   ( x  6) x   3( x  2) (5)   x  x  78 (6) 2( x  4) x   ( x  6) x    Cộng vế (5) với (6) t được: x  x  78 4( x  4) x    3( x  2)  12( x  4) x   2( x  4)( x  12)  2( x  4)(6 x   x  12)   2( x  4)( x   x   9)   2( x  4)( x   3)2  x   y   x   y  Vậy phương trình cho có tập nghiệm T  (4;4),(6;6)  2   15    x  x  y   1   y     xy 18 y  3xy  1  x  18 y 1  2  Bài Giải hệ phương trình   2  x  y  y  x    x  y    x  y   2      x   y   Đkxđ:  1  x  y  Có 1  x4  12 x3 y  54 x2 y  x  108xy3  xy  x  81y  y  18 y   *   x  y  1  x  xy  x  y  y      x  y  1  x  y  1  3   x  y 1  Ta xét hàm g  x    x   x khoảng 1  2;1    Ta có g  x    x   x   x  2  x2  8x  x2  8x  x2  8x    0  2  2x   x 2 x  2x 1 1   x2  8x   1  1     *    2x   x x  2x 1 1      Thay vào (2) ta có: x  x    x   x    3 x     x   x   1   x   Đk:    1  x  1 x  x   7    x  x      x   x   x   x    ** 2 2  Xét 2 2 thử lại (**) không thảo mãn => x  không nghiệm  x  3 x   x  2 Xét x  2 ta có x2  8x  3  x   3  x  x2  8x  **    0   2  x   x 2  x  x        Xét x  1  2;  2  1   0  ta có   x   x  x  x    2x   x  2  ;1   ta có   Xét x   1 1   0  x   x  x  x      2     2  L x  2  Vậy (*)  x  x     2 7  y   x    2 7  Vậy nghiệm hệ  ;     x  x  2( x  x)  y  (2 y  3) x   Bài Giải hệ phương trình:  x  x3  x    3 2y  2x 1  Lời giải: 1 Điều kiện: x   ,   y  2 PT (1)  x2  x   2( x  1) x  y  x (3  y)   ( x  1)  2( x  1) x  y  x (3  y )    x 1 x  y  0  x  y  x  (3) Nhận thấy x  không nghiệm củ phương trình  x  x 1 Suy (3)   y   1 x x Th y vào PT (2) t được:  x  x3  x    (2 x  1)   x  x  x3 x 2x 1 x  1 2 1 2                     x x x x x x x x   Xét hàm số f (t )  t  t , t  R Ta có: f '(t )  3t   0t  R (4)  Hàm số f(t) đồng biến R   1 2 Do đó, (4)  f     f            x x x x   Đặt a  (5) 1  2a  ( 0)  (5) trở thành:  a   2a   3 x (1  a)  (1  2a)  a    1    a   a   1 1    a  2 a 2 a  a  a  a  a        1 a   1 5 1 1 x  (3)   y   (l ) 2 Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm Với a  2  x  (y  y  1) x   y  y   Bài Giải hệ phương trình:  (x, y  R) 2 y   xy  2x   x    Lời giải: ĐK: y   0; xy  2x   2 x2  (y2  y  1) x2   y3  y    ( x2   y)(y  x2   1)  y    y  x2    2  y  x  ( Do y2  x2    0x, y ) Thay y2  x2  vào PT thứ hai hệ t pt sau với ĐK: x  3 x   x   x   ( x   2)  x   x     (x  3)(x  3x  9) x3  (x  3)   1   (x  1)2  x    x3   x   x3 x  3x   1 (*)  (x  1)2  x   x    Ta thấy: ) x  3x    x  3x   x   (x  3x  1)  4(x  2) x3    (x  x)2  (x  3)2  5x  0x ) x3 (x  1)  x   2    (x  1)2  x    x(**) Đặt t  x2  1,t  Khi (**) trở thành t  2t   t   (t  2t  1)2  t   t  3t  6t  4t  Đúng t  Suy (*) vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm (x; y)  (3; 11)   x3  y y   y  x  Bài Giải hệ phương trình    (4x  3)   y  3x        Lời giải  Điều kiện  x1 ( *) 0  y  16 Với điều kiện (*) ta có :  x3  y y   Do (1)   x  y y   x  y  (1  x3 )  (y y  1)  x3  y y  x y  (x  y)(x2  x y  y   x  y y    y  x (do x2  x y  y   x  y y   0) Thế vào (2) t : (4x  3)( x   3x   1)  Vì x   1 nghiệm (3) nên (4)  x   3x   4x  Xét hàm số g(x)  x   3x   Ta có g '(x)  x4  (3x  4)2   3  ( 4; )\   4x   4 36 (4x  3)  x  4, x   3 3   Suy hàm số g(x) đồng biến khoảng  4;   ;   ;   4     Lập BBT ta thấy phương trình g(x)  có tối đ nghiệm Ta lại có g(0)  g(3)  suy x  0; x  3 nghiệm củ phương trình g(x)  Với x   y  0; x  3  y  Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình có nghiệm:  0;  ;  3;  x   ( y  2) ( x  1)( y  1) (1) x  x 1 Bài Giải hệ phương trình  ( x, y  R ) 3x  x   4( x  1) y  (2)  Lời giải ĐK: x  1, y  1 (1)  x ( x  1)  x  ( y  2) ( x  1)( y  1) x 1 x3  x  ( y  2) ( x  1)( y  1) x 1 x3 x    ( y  2) y  ( x  1) x  x 1  x  x      x 1  x 1    y   y  (*) Xét f (t )  t  t R f '(t )  3t   0t  R Suy hàm số f(t) đồng biến liên tục R   x  x  y 1   y 1 Suy (*)  f   f x 1  x 1  Suy x  th y vào (2) t có phương trình 3x  x   x x   x  x   x  x x   4( x  1)  x   x  x  (3)  1  x  x  x  (4) x  (3)  x   x     x  x   4( x  1) x    x  3 x  x      (2 x  1)  x  x   1    13 x  x  (4)   3x  x     x 3 1  x  x  4( x  1) 9 x  10 x     Kết hợp với điều kiện x  ta có x    y  x2 43 1  (t / m) x 1  43  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x, y )    3,       1 y2  2 ( x  1)  y   1   x  Bài Giải hệ phương trình    2 4 y  ( y  x  3x  2)(  x  1) Lời giải: + ĐK: x  0,   x  PT (1)  x( x  1)2  xy  2( x   y )  ( x  1)( x  x  2)  y ( x  2)   ( x  2)( x  1)( x  1)  y ( x  2)   ( x  2)( x  y  1)   x   (l )  2 x  y  Với x2  y   x   y , th y vào PT (2) t được: y  ( y  x3  3x  2)( y   1)  (4 y   1)  ( y  x3  x  2)( y   1)  4( y   1)( y   1)  ( y  x3  3x  2)( y   1)  4( y   1)  y  x3  3x   x3  3x   y  y  (3)  0  x  1  x  + Do x  y     0  y  1  y   2 + Xét hàm số f ( x)  x3  3x  đoạn [  1,1] Có f '( x)  3x2   f '( x)   x  1 Do hàm số f(x) liên tục đoạn [  1,1] f (1)  0, f (1)  4 Suy f ( x)  4; max f ( x)  x[ 1,1] x[ 1,1] Hay f ( x)  4, x [1,1] (a) + Xét hàm số g ( x)  y  y  đoạn [  1,1] Có g '( y)  y   y   [  1,1]  g '( y)    y2 1  y    [  1,1] 4y Do hàm số g(y) liên tục đoạn [  1,1] g (1)  g (1)   ; g (0)  4 Suy g ( y)   ; max g ( y)  4 x[ 1,1] x[ 1,1] Hay g ( y)  4, y [  1,1] (b) x  + Từ (a) (b) suy PT (3)  f ( x)  g ( y)  4   (t / m PT (1)) y  Vậy phương trình cho có nghiệm ( x, y)  (1, 0)  x  16 y  32 xy  24 x y  x3 y    Bài 10 Giải hệ phương trình  2  x  y  đặt x=sint, 2y=cost với t∈(0;2π) t hệ phương trình: 4 2  sin t  cos t  4sin t cos t  6sin t cos t  4sin t cos t   2(*)  2  sin t  cos t   3 k  (*)  sin 4t  cos 4t    sin  4t    1  t   ,k  4 16  Vì t∈(0;2π) mà k∈Z nên k=1;2;3;4; ⇒t nhận giá trị 5 13 21 29 t ; ; ; 16 16 16 16 Kết luận: Nghiệm hệ phương trình 5 5   13 13   21 21   29 29   ; cos ; cos ; cos ; cos  sin  ;  sin  ;  sin  ;  sin  16 16   16 16   16 16   16 16   [...]...  4sin t cos t  6sin t cos t  4sin t cos t   2(*)  2 2  sin t  cos t  1  3 k  (*)  sin 4t  cos 4t   2  sin  4t    1  t   ,k  4 16 2  Vì t∈(0;2π) mà k∈Z nên k=1;2;3;4; ⇒t nhận các giá trị 5 13 21 29 t ; ; ; 16 16 16 16 Kết luận: Nghiệm hệ phương trình là 5 1 5   13 1 13   21 1 21   29 1 29   ; cos ; cos ; cos ; cos  sin  ;  sin  ;  sin  ;  sin... 1,1] Hay g ( y)  4, y [  1,1] (b) x  1 + Từ (a) và (b) suy ra PT (3)  f ( x)  g ( y)  4   (t / m PT (1)) y  0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x, y)  (1, 0)  x 4  16 y 4  32 xy 3  24 x 2 y 2  8 x3 y  2  0  Bài 10 Giải hệ phương trình  2 2  x  4 y  1 đặt x=sint, 2y=cost với t∈(0;2π) t được hệ phương trình: 4 4 3 2 2 3  sin t  cos t  4sin t cos t  6sin t cos