TRƯỜNG ðẠI HỌC NHA TRANG KHOA XÂY DỰNG GVC ThS Trần Ngọc Nhuần NHA TRANG THÁNG NĂM 20014 Mục lục Nội dung Mở ñầu Nhiệm vụ toán ñộng lực học công trình; Các dạng tải trọng tác dụng lên công trình; Các dạng dao ñộng; Bậc tự hệ dao ñộng; Phương pháp tính Chương 1: Dao ñộng hệ có bậc tự 1.1 Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng tổng quát hệ bậc tự do; 1.2 Dao ñộng hệ không xét ñến lực cản; 1.3 Dao ñộng cưỡng không cản chịu lực kích thích ñiều hòa; 1.4 Dao ñộng cưỡng hệ chịu tác ñộng xung tức thời; 1.5 Dao ñộng tự chịu tác dụng tải trọng ngắn hạn Chương 2: Dao ñộng hệ hữu hạn bậc tự 2.1 Khái niệm ma trận cứng ma trận mềm; 2.2 Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng tổng quát; 2.3 Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng hệ không tính ñến lực cản; 2.4 Xác ñịnh dạng dao ñộng riêng; 2.5 Tính chất trực giao dạng dao ñộng riêng; 2.6 Chuẩn hóa dạng dao ñộng riêng; 2.7 Cách sử dụng tính ñối xứng hệ dao ñộng; 2.8 Dao ñộng tự hệ hữu hạn bậc tự do; 2.9 Dao ñộng hệ hữu hạn bậc tự chịu tác dụng xung; 2.10 Tính dao ñộng cưỡng hệ hữu hạn bậc tự theo phương pháp khai triển tải trọng theo dạng riêng; 2.11 Lực tương ứng với trạng thái ñộng ma trận mềm ñộng học Chương 3: Dao ñộng thẳng có bậc tự vô 3.1 Dao ñộng dọc thẳng; 3.2 Phương trình vi phân tổng quát dao ñộng ngang thẳng; 3.3 Dao ñộng riêng theo phương ngang chịu uốn; 3.4 Dao ñộng cưỡng chịu uốn chịu lực kích thích bất kỳ; 3.5 Dao ñộng chịu uốn có khối lượng phân bố ñều, tiết diện không ñổi; 3.6 Dao ñộng thẳng chịu uốn có khối lượng phân bố ñều, tiết diện không ñổi mang khối lượng tập trung Trang 3 6 13 15 17 29 29 30 32 33 38 39 41 48 51 54 61 65 65 69 70 73 74 83 Chương 4: Các phương pháp tính gần ñúng 4.1 Phương pháp lượng Rayleigh ñể xác ñịnh tần số dao ñộng riêng; 4.2 Phương pháp lượng Lagrange – Ritz; 4.3 Phương pháp Bupvôv – Galoockin; 4.4 Phương pháp thay khối lượng; 4.5 Phương pháp quy ñổi hệ có khối lượng ñể xác ñịnh tần số dao ñộng dao ñộng riêng; 4.6 Phương pháp giải ñúng dần xác ñịnh tần số dao ñộng riêng; 4.7 Phương pháp sai phân; 4.8 Các công thức ước ñịnh tần số dao ñộng riêng 99 102 105 Chương 5: Dao ñộng hệ thẳng 5.1 Cách tính dao ñộng hệ khung phẳng; 5.2 Cách tính dao ñộng dầm liên tục; 5.3 Cách tính dao ñộng hệ dàn; 5.4 Cách tính dao ñộng vòm 107 107 114 119 125 85 85 87 91 95 96 MỞ ðÀU MÔN HOC Nhiệm vụ toán ñộng lực học công trình: Ở môn học Cơ học kết cấu, ta ñã ñi nghiên cứu phương pháp tính toán công trình chịu tác dụng tải trọng tĩnh Tuy nhiên thực tế phần lớn công trình xây dựng ñều chịu tác dụng ñộng lực tải trọng ñộng Khái niệm ñộng lực học khái niệm gắn liền với khái niệm lực thay ñổi theo thời gian, nghiên cứu ñộng lực học công trình nghiên cứu công trình chịu tác dụng tải trọng thay ñổi theo thời gian Nhiệm vụ toán ñộng lực học công trình xác ñịnh chuyển vị nội lực kết cấu công trình công trình chịu tác dụng tải trọng thay ñổi theo thời gian Trên sở ñó, xác ñịnh ñược biến dạng ứng suất cực ñại ñể tính toán kiểm tra công trình thực, ñồng thời lựa chọn ñược kích thước kết cấu hợp lý ñảm bảo biến dạng ứng suất nhỏ ñể thiết kế công trình tránh ñược tượng cộng hưởng Các dạng tải trọng tác ñộng lên công trình: Ta có tên gọi sau: • Tải trọng có chu kỳ • Tải trọng chu kỳ (ngắn hạn, dài hạn) • Tải trọng có trị số không thay ñổi di ñộng công trình P(z) • Tải trọng có vị trí thay ñổi, trị số thay ñổi theo thời gian P(z,t),(ðoàn xe chạy cầu) • Tải trọng gió tác dụng lên công trình • Lực ñịa chấn xuất ñộng ñất • Tải trọng va chạm • Tải trọng tương ñương ρ m P0 = m.θ 2.ρ ϕ=θt Py = Posinθt Px = Pocosθt Hình M.1: Tải trọng phát sinh trọng tâm không nằm trục quay 3 Các dạng dao ñộng: * Phân theo số bậc tự hệ dao ñộng: - Dao ñộng hệ có bậc tự do; - Dao ñộng hệ hữu hạn bậc tự do; - Dao ñộng hệ vô số bậc tự * Phân theo tính chất nguyên nhân gây dao ñộng: - Dao ñộng tự do: Là dao ñộng sinh chuyển vị tốc ñộ ban ñầu (không có tải trọng ñộng trì hệ) - Dao ñộng cưỡng bức: Là dao ñộng sinh tải trọng ñộng tác dụng ñộng bên khác * Phân theo tồn lực: - Dao ñộng không tắt dần: Là dao ñộng bỏ qua ảnh hưởng lực cản - Dao ñộng tắt dần (có xét ñến lực cản) * Phân theo kích thước cấu tạo hệ: - Dao ñộng hệ (dầm, dàn, vòm, khung, …); - Dao ñộng tấm; - Dao ñộng vỏ; - Dao ñộng khối móng; - Dao ñộng hệ treo; - Dao ñộng kết cấu công trình ñặc biệt v.v… * Phân theo dạng phương trình vi phân mô tả chuyển ñộng: - Dao ñộng tuyến tính; - Dao ñộng phi tuyến Bậc tự hệ dao ñộng: Số lượng tối thiểu thông số hình học ñộc lập biểu thị chuyển vị khối lượng hệ gọi bậc tự Số bậc tự hệ phụ thuộc sơ ñồ tính ñược chọn cho công trình thực tế tính hệ dao ñộng công trình - Những ñiều cần ý: • Giả thiết hệ không trọng lượng, hệ ñặt khối lượng tập trung dạng chất ñiểm • Nếu kể ñến biến dạng uốn biến dạng dọc trục vị trí khối lượng M ñược xác ñịnh chuyển vị y1(t) y2(t) Hệ có bậc tự (n=2) (hình M.2a) • Nếu kể biến dạng uốn chuyển vị M ñược biểu diễn chuyển vị thẳng ñứng y1(t) Hệ có bậc tự (hình M.2b) • Hình M.2c có bậc tự y2(t) y2(t) M M M y(t) y1(t) (a) (b) y1(t) ϕ (c) Hình M.2 Mô tả bậc tự Chỉ xét ñến biến dạng uốn thanh.Do bậc tự hệ ñược xác ñịnh số lượng tối thiểu liên kết cần ñặt thêm vào ñể ngăn cản tất chuyển vị khối lượng tập trung hệ y z m1 m2 m3 (a) (b) Hình M.3: Cách xác ñịnh số bậc tự do: (a): n = 3; (b): n = • Khi nghiên cứu dao ñộng thanh, xét ñến trọng lượng thân kết cấu, nghĩa xem hệ có mang khối lượng phân bố hệ có bậc tự vô Lúc hàm chuyển vị là: y = y(z, t) • Nếu chia có khối lượng phân bố thành nhiều ñoạn tập trung khối lượng ñoạn chia vào ñiểm ñó trọng ñoạn chia, ta có sơ ñồ tính toán thay Hệ dao ñộng lúc xem dao ñộng hệ có số bậc tự hữu hạn Phương pháp tính: a) Phương pháp tĩnh: Xây dựng theo nguyên tắc cân tĩnh học Áp dụng nguyên lý D’Alembert * Hệ phẳng ta có phương trình cân bằng, * Hệ không gian ta có phương trình cân b) Phương pháp lượng (Hamintơn): Xây dựng sở nguyên lý bảo toàn lượng: Tổng ñộng T khối lượng hệ U hệ ñại lượng không ñổi Ta có: T + U = const; hoặc: δTi + δUi = CHƯƠNG 1: DAO ðỘNG CỦA HỆ CÓ MỘT BẬC TỰ DO 1.1 Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng tổng quát hệ bậc tự do: 1.1.1 Các lực tác ñộng tham số hệ ñộng học: Xét mô hình ñơn giản cho (hình 1.1) Hệ gồm có khối lượng M chịu tác dụng tải trọng ñộng thay ñổi thay ñổi theo thời gian P(t) Hệ ñược gắn với vật bất ñộng lò xo ñàn hồi không trọng lượng với ñộ cứng K, giảm chấn C biểu thị tiêu hao lượng trình dao ñộng Các lăn ñảm bảo cho khối lượng chuyển vị tịnh tiến theo phương ngang Trong trình dao ñộng, hệ chịu tác ñộng lực: - Tải trọng ñộng thay ñổi theo thời gian kích ñộng bên - Lực ñàn hồi Lực xuất hệ tách khỏi vị trí cân có xu hướng ñưa hệ trở vị trí cân ban ñầu Dạng dao ñộng tuyến tính, lực ñàn hồi ñược xác ñịnh: Pñ = P(y) = K.y (1.1) y – chuyển vị ñộng hệ kối lượng M, K – hệ số ñộ cứng, lực chuyển vị ñơn vị gây tương ứng với phương bậc tự - Lực ma sát (lực cản): Lực ngược chiều với chiều chuyển ñộng có khả khử dao ñộng hệ ñược gọi lực cản hay lực tắt dần Ta xét lực cản với mô hình cản nhớt tuyến tính, lực cản tỷ lệ với vận tốc dao ñộng hệ: Pc = C y& (1.2) C – hệ số tắt dần (hệ số cản nhớt), y& - vận tốc dao ñộng hệ y y K M P(t) Pñ(t) Pc(t) P(t) C (a) (b) Hình 1.1: Mô hình dao ñộng 1.1.2 Xây dựng phương trình vi phân dao ñộng: Khảo sát dao ñộng hệ ñơn giản khối lượng M tập trung dầm Dầm ñược xem vật thể ñàn hồi không trọng lượng, khối lượng M chịu tác dụng tải trọng thay ñổi theo thời gian P(t) (hình 1.2) Hệ có bậc tự – chuyển vị theo phương thẳng ñứng y(t) xác ñịnh vị trí M 1.1.2.1.Phương pháp tĩnh: P(t) y(t) Pq (t) Pñ t) Hình 1.2 Pc (t) Các lực tác dụng lên khối lượng M: P(t), Pñ(t), Pc(t), lực quán tính Pq = − M&y&( t ) (1.3) Phương trình cân lực viết cho khối lượng M: Pd + Pc − Pq = P( t ) (1.4) M&y& + Cy& + Ky = P( t ) (1.5) Mặt khác ta xây dựng phương trình vi phân dao ñộng (1.5) dạng chuyển vị: Gọi δ11 chuyển vị khối lượng M lực ñơn vị gây ra, lúc chuyển vị ñộng tương ứng với dao ñông hệ (nguyên lý cộng tác dụng): y( t ) = δ 11 P( t ) + δ 11 Pq − δ 11 Pc Thay δ 11 δ 11 y( t ) + Pc − Pq = P( t ) = K , Pc, Pq vào phương trình ta nhận ñược ñẳng thức (1.5) 1.1.2.2 Phương pháp Hamintơn: Ta xác ñịnh biểu thức biến phân ñộng năng, năng, công lực cản tải trọng ñộng Từ (hình 1.2) ta có: My& 2 T= δT = ∂T δy& = M&y&δy& ∂y& (a) Thế hệ ñược xác ñịnh lượng biến dạng lò xo: U= Ky δU = ∂U δy = Kyδy ∂y (b) Tải trọng ñộng lực cản lực không bảo toàn hệ, công lực là: R = P( t ) y − Cy& y δR = P( t )δy − Cy& δy (c) Nguyên lý Hamintơn ñược viết sau: t2 t2 t1 tq ∫ δ ( T − U )dt + ∫ δRdt = t2 ∫ [M&y&δy& − Cy&δy − Kyδy + P( t )δy ]dt = (1.6) t1 t2 ∫ M&y&δy&dt = [M&y&δy ] t2 t1 − ∫ M&y&δydt t1 (1.7) t1 δy& = Với t2 d ( δy ) dt Rõ ràng số hạng ñầu tiên (1.7) 0, biến phân giới hạn tích phân t1 t2 Thay (1.7) vào (1.6) ta thu ñược: t2 ∫ [− M&y& − Cy& − Ky + P( t )]δydt = (1.8) t1 Do δy tùy ý, nên trường hợp tổng quát, phương trình (1.8) thỏa mãn biểu thức dấu ngoặc không ðây biểu thức mô tả dao ñộng tự (1.5) 1.2 Dao ñộng tự hệ không xét ñến lực cản: Dao ñộng tự hệ dao ñộng ñược sinh kích ñộng tác ñộng hệ bị cắt ñi tức thời Từ (1.5) ta có phương trình vi phân dao ñộng hệ bậc tự do: M&y& + Ky = (1.9) ðể giải phương trình này, người ta sử dụng phép Euler với nghiệm: y( t ) = Ce st (MS ðặt : (1.10) ) (1.11) K M (1.12) + K De st = ω2 = ( S + ω )De st = e st ≠ với t Do y( t ) = D1e S2 + ω2 = 0, S1 t S = ± − ω = ±ω i + D2 S2 t (1.13) (1.14) y( t ) = D1e iω t + D2 −iω t (1.15) Viết dạng lượng giác (sử dụng phương trình Euler) : e ±iω t = cos ω t ± i sin ω t (1.16) Thế (1.16) vào (1.15) ta thu ñược: y( t ) = ( D1 + D2 ) cos ω t + ( D1 − D2 ) i sin ω t (1.17) y&( t ) = −( D1 + D2 )ω sin sω t + ( D1 − D2 ) iω cos t (1.18) Sử dụng ñiều kiện ban ñầu, t = ta có: y( ) = y o ; y& ( ) = vo v D1 + D2 = y o ; D1 − D2 = o iω (1.19) (1.20) Phương trình dao ñộng tự hệ bậc tự do: y( t ) = y o cos ω t + ðặt y o = A sin γ ; vo vo ω sin ω t (1.21) = A cos γ (1.22) y( t ) = A sin( ω t + γ )   v( t ) = y& ( t ) = Aω( ω t + γ ) (1.23) ω Với: A= ω yo v  y o2 +  o  ; γ = arctg vo ω (1.24) y o = A cos θ ; Nếu ñặt: Lúc (1.21) có dạng: = A sin θ (1.25) y( t ) = A cos( ω t − θ ) (1.26) ω θ = arctg( vo / ω y o ) Và • vo (1.27) Hệ chịu chuyển vị ban ñầu: y(0) = yo; v(0) = (hình 1.3a) Thay giá trị vào (1.24) (1.27), ta có: A = yo θ = Phương tình dao ñộng: y(t) = Acosωt = yocosωt • (1.28) Hệ chịu tốc ñộ ban ñầu: v(0) = vo; y(0) = (hình 1.3b) Thay gía trị vào(1.24) ta có γ = ; A = vo / ω Phương trình dao ñộng viết theo (1.23): y( t ) = vo sin ω t ω (1.29) y(t)= yocosωt yo y(t) M π/ω t O π/2ω yo 2π/ω (a) y(t)= vo/ω cosωt M vo v/ω y(t) 3π/2ω π/2ω 2π/ω v/ω O (b) y(t) M y(t)= Asin(ωt+γ) O A= A A yo vo vo t A y o2 v  + o  ω t A (c) tm = θ / ω T = 2π/ω Hình 1.3: Dạng dao ñộng ứng với ñiều kiện ban ñầu • Hệ chịu chuyển vị vận tốc ban ñầu yo, vo , (hình 1.3c) • Các dao ñộng (hình 1.3) dao ñộng ñộng ñiều hòa ñơn giản ðại lượng ω ñược gọi tần số vòng dao ñộng hay tần số tuần hoàn dao ñộng riêng gọi tắt tần số dao ñộng riêng T = 2π / ω (s) Chu kỳ dao ñộng: (1.30) f = / T = ω / 2π Tần số dao ñộng: (1.31) Từ (1.12), ta có ñược công thức xác ñịnh tần số dao ñộng riêng: K = = M δ 11 M ω= g yt (1.31) K: Hệ số ñộ cứng hệ, g: gia tốc trọng trường, yt: chuyển vị khối lượng M lực G = M.g tác dụng tĩnh vị trí khối lượng M gây • Ta xác ñịnh tần số dao ñộng riêng hệ ñàn hồi theo phương pháp lượng Trong trình dao ñộng tổng ñộng hệ ñại lượng không ñổi: ðộng hệ: T = 1 M y& = M ω y max cos ( ω t + γ ) 2 Tmax = ω (1.32) M y max = ω T max 2 Với : y max = A = Thế hệ: U= y o2 v  +  o  T max = M y max ω   1 K y = K y max sin ( ω t + γ ) 2 U max = Dĩ nhiên: K y max Tmax + = Umax + 0, ω T max = U max (1.33) Tmax = Umax ⇒ ω= U max T max ,(1/ s ) (1.34) Ví dụ 1.1: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng Chu kỳ dao ñộng, tần số kỹ thuật dầm ñơn giản không trọng lượng, có nhịp l, mang khối lượng tập trung M = G/g ñặt cách gối tựa trái ñoạn l / (hình 1.4) Cho biết G = 30 kN, l = m EJ = 2,1.104.8950 kNcm2 Xác ñịnh chuyển vị yt, biểu ñồ mômen uốn lực G biểu ñồ mômen uốn trạng thái tương ứng với chuyển vị cần tìm yt = ( M G )( M k ) = EJ 3l  3Gl 3 × 30 × 600  3Gl × × l × = = = ,404 cm   16  256 EJ 256 × ,1 × 104 × 8950  16 ω= g 981 = = 49 ,277 ( / s ) yt ,404 10 6 13,711664P 1,246 P f1 ( )( −0,831P ) + f ( ) ( −0,831P ) + = , 3EJ EJ EJ EJ C( λ = ) D( λ = ) − A( λ = ) B( λ = ) B( λ = ) Q( ) = 0,5 ( −0,831P ) + 0,5 ( −0,831P ) + 2 B( λ =3 ) − D( λ =3 ) B( λ =3 ) − D(2λ = ) y′( ) = + B( λ =3 ) B( λ =1,5 ) − D( λ =3 ) D( λ =1,5 ) B(2λ =3 ) − D(2λ = ) P = 0,9P Phương trình mômen uốn ñộng ñoạn là: M ( z ) = −0,623PD( λ =0 ,5 z ) − 0,831PA( λ =0 ,5 z ) + 1,8PB( λ =0 ,5 z ) (ii) Theo biểu thức mô men uốn ñộng (i) (ii) vẽ biểu ñồ mô men uốn ñộng cho nửa dầm liên tục, theo tính chất ñối xứng suy cho toàn dầm Biểu ñồ mômen uốn ñộng ñược vẽ hình vẽ hình 5.9 (ñường liền nét); ñường nét ñứt biểu ñồ mômen uốn tải trọng P tác dụng tĩnh dầm gây Hình 5.11 5.3 Cách tính dao ñộng hệ dàn: 5.3.1 Khái niệm cách tính dao ñộng dàn: Việc tính toán hệ dàn toán hệ có bậc tự vô toán xác phức tạp có khối lượng tính toán lớn ðể ñơn giản với kết gần ñúng với ñộ xác ñủ dùng thực tế, toán dao ñộng dàn thường ñược thực sở giá thiết sau: • Các mắt dàn ñược xem khớp lý tưởng • Khối lượng ñược chia ñều tập trung vào mắt dàn Như ta ñã bỏ qua tượng dao ñộng quanh trục dao ñộng dàn ñược tính gần ñúng ñối với hệ có số bậc tự hữu hạn Xem mắt dàn có hai bậc tự (theo hai phương cho trước) Số bậc tự dàn ñược xác ñịnh theo công thức: n = 2M – Co (5.18) n – số bậc tự dàn, M – Số mắt dàn, Co – số liên kết dàn nối với ñất, tương ñương số liên kết Theo sơ ñồ tính chấp nhận, ñể xác ñịnh tần số dao ñộng riêng dàn ta sử dụng phương trình tần số chương ðể giải toán dao ñộng cưỡng dàn ta cần phải ñi xác ñịnh giá trị biên ñộ lực quán tính Pq1, Pq1, …, Pqn, lực dọc ñộng dàn ñược xác ñịnh theo công thức sau: J J J N dJ = N Pq1 + N Pq + + N n Pqn + N Pj (5.19) j N k - lực dọc dàn thứ j Pqk = gây ra; N PJ - lực dọc dàn thứ j biên ñộ lực kích thích ñã cho tác dụng tĩnh gây Trên hình (5.12) thể sơ ñồ tính dao ñộng dàn với khối lượng ñược chia ñều tập trung vào mắt dàn, dàn ñã cho ñều có khối lượng phân bố ñều m EA = const 119 1,5m 2m 2m 2,5m 4m 1,5m 4m 2,5m n=4 EJ ω1 = 0,1802 m n=7 EJ ω1 = 0,104 m 2m 2m (a) 2m (b) n=1 EJ ω1 = 0,097 m n=3 ω1 = 0,1002 EJ m 7,5m 3,75m 3,75m 3,75m (c) Hình 5.12 (d) Tính theo (5.18) (hình 5.12a) có số bậc tự 15 Mỗi khối lượng tập trung mắt dàn có hai chuyển vị ñộc lập, tính toán cần kể ñến hai lực quán tính tương ứng với hai phương chuyển vị khối lượng Như khối lượng tính lớn ðể tính toán ñơn giản hơn, chấp nhận giả thiết bỏ qua thành phần chuyển vị ñó khối lượng tập trung mắt dàn, chẳng hạn xem chuyển vị theo phương ngang khối lượng nhỏ, bỏ qua, lúc bậc tự dàn (n = M – C* = – = 7) Tùy theo mục ñích sử dụng dàn, ñộ xác nhiệm vụ tính dao ñộng dàn, khối lượng tập trung mắt thuộc biên (hình 5.12b), hay tập trung vào mắt thuộc biên (hình 5.12c), ñơn giản khối lượng tập trung nửa khối lượng dàn vào mắt thuộc biên (hình 5.12d) • Xác ñịnh tần số dạng dao ñộng riêng: (a) ðể lập phương trình tần số ta cần xác ñịnh chuyển vị ñơn vị theo công thức chuyển vị Morh: j i j m2 m1 m2 Pq1 Pq2 j k N N δ ik = ∑ lj j ( EA )j Vì hệ có tính ñối xứng nên ta sử dụng chuyển vị kép ñối với khối lượng m2 Kết tính giá trị lực 6m (b) 6m 6m Kết ta có ñược: 52,75 105,5 δ 11 = 2.26 ,375 = , δ 22 = 2.52,75 = , EA EA EA EA 66 ,25 δ 12 = δ 21 = 2.33,175 = EA EA Ma trận khối lượng:  m 1  [ M ] =  01 0,5m  = m   0 0,5   2 (c) (d) P2ñ P=1 P=1 P=1 Pq2 6m j dọc N , N nửa số dàn (hình 5.13b,c) ñược cho bảng 5.3 4m Ví dụ 5.5: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng dàn, nội lực ñộng dàn có lực kích thích P(t) tác ñộng (hình 5.13a) Cho biết m1 = m2 P(t) P(t) P(t) = m, EA = const, P(t) = 20sinθ t, θ = k EA / m P1ñ =27,984 P2ñ=25,733 Hình 5,13 120 j j Bảng 5.3: giá trị N , N , N Pj j j Thanh lj N1 N2 N PJ ( N )2 l j j ( N )2 l j j N N 2l j j j 1-2 0,375 0,75 22,5 0,844 3,375 1,688 2-3 1,125 1,50 52,5 7,594 13,50 10,125 6-7 -0,750 -1,50 -45,0 3,375 13,50 6,750 7-8 -1,500 -1,50 -60,0 6,750 6,750 6,750 1-6 -0,625 -1,25 -37,5 1,953 7,813 3,906 2-6 0,625 1,25 37,5 1,953 7,813 3,906 2-7 -0,625 0,0 -12,5 1,953 0,000 0,000 3-7 0,625 0,0 12,5 1,953 0,000 0,000 26,375 52,75 33,125 ∑ δ [ F ] = δ 11 Ma trận mềm:  Phương trình tần số: [ F ][ M ] − ω [E] = 21 δ 12   52,75 66 ,25  = δ 22  EA 66 ,25 105,5  33,125 m ( 52,75 − u ) EA = 0; u = ( 52,725 − u ) EA 66 ,25 mω Khai triển ñịnh thức giải phương trình bậc hai ñối với u, ta nhận ñược nghiệm: u1 = 99,58; u2 = 5,92 ω  Véc tơ tần số dao ñộng riêng ñối xứng: {ω} =   = ω2  EA 0,1002    m 0,4105  ðể xác ñịnh dạng dao ñộng riêng ta sử dụng công thức: {ϕ } = −  B * i −1 i 11  {B } ⇒ ϕi* = − i 66 ,25 52,725 − ui ϕ1* = 2; ϕ 2* = − Dạng dao ñộng riêng ñối xứng dàn:  [ Φ ] = {ϕ1} ,{ϕ2 } =     − 2 Hai dạng dao ñộng riêng thỏa mãn ñiều kiện trực giao: {ϕ1} [ M ]{ϕ2 } = {1 T •      =0 m 0 0,5  −  } Tính nội lực ñộng: Áp dung phương pháp khai triển tải trọng theo dạng riêng Tải trọng khai triển theo dạng thứ thứ hai là: 121 {P1} = {ϕ1} {P} M ϕ = [ ]{ } T {ϕ1} [ M ]{ϕ1} {1 T {1 } 1 20   1    24,142  1 m   =      0 0,5     17 ,07     0 0,5    } {1 } 1 − 20       −4,142  {ϕ2 } {P} M ϕ = 1 m {P2 } = [ ]{ } =   T     0 0,5  −   2,93  {ϕ2 } [ M ]{ϕ2 } −    0 0,5  −  T { } Vậy ma trận tải trọng khai triển theo dạng dao ñộng riêng là:  24,142 −4,142  ( kN ) 2,93   17,07 [ Pkh ] = {P1} {P2 } =  Lực ñàn hồi ñược xác ñịnh theo công thức: {Pd ( t )} = [ Pkh ]{Ki ( t )} Trong ñó: phần tử véc tơ hệ số ñộng học theo thời gian ứng với tải trọng ñiều hòa : Ki ( t ) = sin θ t θ  1−   ωi  ⇒ K1 ( t ) = 1 sin θ t; K ( t ) = sin θ t − 100k − 5,934k  24,142 −4,142   /( − 100k )    sin θ t 2,93  1 /( − 5,934k )  17,07 {Pd ( t )} =  Vậy: Bảng 5.4: Giá trị lực dọc ñộng dàn ứng với giá trị k Thanh Lực dọc ñộng ứng với trị số k (kN) 0,05 0,07 0,1002 0,12 0,37 0,4105 0,45 1,0 1-2 22,5 29,76 43,29 C.H.L.1 -49,72 1,67 C.H.L.2 -4,41 -3,34 3-2 52,5 70,01 102,87 - -122,00 -5,51 - -1,33 -0,46 6-7 -45,0 -59,53 -86,78 - 99,45 -3,34 - 8,22 0,67 7-8 -60,0 -80,49 -118,96 - 144,60 14,31 - -6,16 0,22 1-6 -37,5 -49,61 -72,31 - 82,87 -2,78 - 7,32 0,55 2-6 37,5 49,61 72,31 - -82,87 2,78 - 7,32 -0,55 2-7 -12,5 -17,47 -26,81 - 37,63 14,71 - -12,48 -0,38 3-7 12,5 17,47 26,81 - -37,63 -14,71 - 12,48 0,38 27 ,984  Nếu lấy giá trị k = 0,05 thì: { Pd ( t )} =   sin θ t  25,733  Giá trị lực ñàn hồi lớn tác dụng lên hệ ứng với k = 0,05 (hình 5.13d) 122 Lực dọc dàn ứng với giá trị θ khác ñược tính theo công thức (thông qua lực ñàn hồi): j j N dj = N P1,d + N P2 ,d 5.3.2 Xác ñịnh gần ñúng tần số dao ñộng riêng dàn theo phương pháp lượng Rayleigh: Giả sử dàn có m khối lượng tập trung ðộng dàn dàn ñược xác ñịnh biểu thức: K= 2 mi ( x&i ( t )) + ( y&i ( t ))  ∑   (i) x&i ( t ), y&i ( t ) : tốc ñộ chuyển vị ngang chuyển vị ñứng khối lượng mi ñặt mắt dàn thứ i xi ( t ) = xi sin( ω t + γ ), yi ( t ) = yi sin( ω t + γ ) ⇒ x&i ( t ) = ω xi cos( ω t+γ ), y&i ( t ) = ω yi cos( ω t+γ ) Tại thời ñiểm cos(ω t + γ) = 1, ñộng dàn có giá trị cực ñại: K max = ω ∑ mi ( xi2 + yi2 ) (i) Thế cực ñại dàn xác ñịnh công trọng lượng khối lượng ñặt mắt dàn chuyển vị thẳng ñứng bằng: ∑ mi g.yi U max = T = Theo nguyên lý bảo toàn lượng ta có: ω ∑ mi ( xi2 + yi2 ) = ∑ mi g yi (i) ω = ∑ m gy i i (i) ∑m ( x i i + yi2 ) (5.20) (i) Nếu bỏ qua chuyển vị ngang, ta thu ñược công thức: ω ∑ m gy = ∑m y i i i i (i) (5.21) (i) Nếu thay công ngoại lực công nội lực, công thức (5.20) có dạng: N 2j li ω = ∑ EA (i) ∑m ( x i i j + yi2 ) (5.22) (i) 123 Khi ứng dụng công thức trên, cần phải biết trước chuyển vị Nên chọn chuyển vị xi, yi mắt dàn phải phù hợp với tải trọng tác dụng cho chuyển vị tĩnh tải trọng gây có dạng tương tự dạng dao ñộng riêng tương ứng với tần số dao ñộng cần tìm Ví dụ 5.6: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng ñầu tiên dàn (hình 5.14) Biết E = 2.104 kN/cm2, xiên có l/A = 10 cm-1, biên có l/A = cm-1 ω m1 = ∑ m gy = ∑m y i i i i (i) 10 m (i) m1 = m1 = 5m Áp dụng công thức m2 = m2 = 10 m 10 m Chọn dạng dao ñộng dàn tương ứng với tần số Hình 5.14 dao ñộng ω1 dạng chuyển vị thẳng ñứng mắt dàn trọng lượng khối lượng gây Như chuyển vị yi mắt dàn ñược xác ñịnh theo công thức: j N i N Pj yi = ∑ lj EAj j j N i - lực dọc dàn thứ j P = thẳng ñứng ñặt mắt dàn thứ i gây N Pj - lực dọc dàn thứ j trọng lượng khối lượng mi gây Kết tính chuyển vị mắt dàn cho bảng 5.5 Bảng 5.5 Mắt dàn -6 yi x 10 g 50 97,3 110,3 97,3 50 Tần số dao ñộng riêng dàn: ω= ∑ m gy ∑m y i i (i) i i = ( 50.1 + 97 ,3.4 + 110,3.1 + 50.1 ).10 −6 g 599,5.10 = = 104,37 ( / s ) ( 50 + 97,3 + 110,32 + 50 ).10 −12 g 55035,25 (i) 5.3.3 Xác ñịnh gần ñúng tần số dao ñộng riêng theo phương pháp dầm tương ñương: Thay dàn dầm có tiết diện không ñổi (EJ = const) xem gần ñúng hai hệ dao ñộng tương ñương với tần số dao ñộng riêng hai hệ có ñộ võng Lấy dộ võng mắt k dàn thuộc biên trọng lượng thân dàn phân bố ñều q gây ñể so sánh với ñộn võng nhịp dầm tương ñương tải trọng phân bố ñều q gây ðộ võng mắt k dàn: j ∆ kP N k N Pj =∑ lj EA j j ðộ võng nhịp dầm tương ñương (i) ql f = 384 EJ (ii) 124 Từ (i) (ii) ta suy công thức xác ñịnh ñộ cứng dầm tương ñương có dạng: EJ = 384 ql (5.23) j NkN j ∑j EA P l j j Tần số dao ñộng riêng dàn ñược xác ñịnh theo công thức tìm tần số dao ñộng riêng dầm: π EJ 5g 3,52 ω1 = =π2 = (5.24) j l m 384 ∆ kP N k N Pj ∑j EA l j j Minh họa: Sử dụng ví dụ 5.6 Lấy ñộ võng mắt dầm thứ dàn ñể so sánh ñộ võng nhịp dầm ñơn giản tương ñương Theo bảng 5.5 ta có: j ∆ kP N N Pj =∑ l j = 110,3.g.10 −6 EA j j Tần số dao ñộng riêng: ω1 = π 5g 5× g =π2 = 107,2 ( / s ) 384 ∆ kP 384 × 110,3 × g × 10 −6 Sai số kết nhận ñược so với phương pháp lượng 2,7% ðối với hệ dàn dầm ñơn giản có biên song song, phương pháp dầm tương ñương thường cho kết có ñộ xác tốt 5.4 Cách tính dao ñộng vòm: 5.4.1 Khái niệm cách tính dao ñộng vòm: Vòm cong có tiết diện ngang không thay ñổi thay ñổi thường ñược sử dụng ñể vượt qua nhịp lớn, trọng lượng thân vòm lớn phân bố dọc theo trục ðể ñơn giản tính toán, ta tính gần ñúng dao ñộng vòm theo phương pháp thay khối lượng * Chia trục vòm thành nhiều ñoạn (hình 5.15a) Thay khối lượng phân bố ñoạn khối lượng tập trung trọng tâm ñoạn chia (hình 5.15b), hay hai khối lượng tập trung ñặt hai ñầu ñoạn chia (hình 5.15c) * ðể ñơn giản nữa, thay trục cong ñường gãy khúc có ñỉnh ñiểm chia (hình 5.15d, e, f) n=∞ n=8 (a) (b) n=6 (c) Hình 5.15 n=6 (d) n=2 n=3 (e) (f) 125 Lưu ý vị trí ñặt khối lượng thay phù hợp với dạng dao ñộng vòm ñộ xác kết tính tăng Hệ có số bậc tự hữu hạn 5.4.2 Phương pháp thay khối lượng: Ví dụ 5.7: Xác ñịnh tần số dao ñộng vòm khớp có dạng ñường tròn (hình 5.16) Thông thường vòm hai khớp thường hệ ñối xứng, dạng dao ñộng loại vòm ứng với tần số dao ñộng riêng dao ñộng phản xứng có ñiểm uốn ñỉnh vòm Do ñể tăng ñộ xác kết tính toán, ta ñặt khối lượng tập trung thay vào ñỉnh vòm vào khoảng ¼ cung vòm (hình 5.16a) Các khối lượng tập trung chân vòm không tham gia vào dao ñộng Sử dụng tính ñối xứng ta có sơ ñồ nửa hệ tương ñương với dạng dao ñộng phản xứng (hình 5.16b) Hệ có hai bậc tự (chuyển vị theo phương ngang phương thẳng ñứng) Hình 5.16 Ta ñi xác ñịnh chuyển vị ñơn vị Hình 5.16c, ta có biểu thức mômen uốn P = tác dụng theo phương thẳng ñứng: M = 0,293R sin α , ≤ α ≤ π / 4; M = 0,707 R( − cosα ), ≤ α ≤ π / Hình 5.16d cho ta biểu thức mômen uốn P = tác dụng ngang: M = 0,707 R sin α , ≤ α ≤ π / 4; M = R sin α − 0,707 Rcosα , ≤ α ≤ π / Chuyển vị ñơn vị ñược xác ñịnh theo cong thức Morh (chỉ kể ñến ảnh hưởng uốn): δ 11 = ∫ M M 1 ds = EJ EJ π /4 ∫ ( 0,293 sin α )2 Rdα + EJ π/4 ∫ [0,707 R( − cosα )] 2 Rdα = 0,0193 R EJ π/4 π /4  M M  2 δ 22 = ∫ ds =  ∫ ( 0,707 R sin α ) Rdα + ∫ ( R sin α − 0,707 R( − cosα ) Rdα  = EJ EJ  0  0,1604 R δ 22 = EJ 126 δ 12 = ∫ M 1M ds = EJ EJ + EJ π /t ∫ ( 0,293 + 0,707 )R sinα Rdα 1 + π/4 ∫ 0,707 R( − cosα )[ R sin α 2 − 0,707 R( − cosα )]Rdα = Ma trận khối lượng: m [ M ] =  01  δ [ F ] = δ 11 Ma trận mềm:  21 0 =M m2  0,053 R EJ 1  0 1   δ 12  0,0193  2,75461 R  =   δ 22  EJ  2,7461 8,3108  Phương trình tần số [ F ][ M ] − ω E = [ ] 2,7461 0,0913MR ( − u ) EJ = 0; u = : 2,7461 ( 0,83108 − u EJ 0,0913MR 3ω u1 = 9,2274; u2 = 0,0834 ω1 = EJ EJ EJ EJ = 2,37 ,( / s ); ω2 = = 24,92 ,( / s ) 3 0,0913MR u1 MR 0,0913MR u2 MR Do tần số dao ñộng vòm ñã cho là: ω1 = 2,37 EJ ,( / s ) MR Nếu ta thay ñường cong trục vòm ñường gãy khúc (hình 5.17a), lúc hệ có bậc tự ứng với chuyển vị theo phương vuông góc với trục AC Biểu ñồ mô men uốn ñơn vị ñược vẽ hình 5.17 b δ 11 = ( M )( M ) = ω1 = × 0,765R × 0,541R R3 × 0,541R = 0,149 2EJ EJ = M δ 11 EJ EJ = 2,59 ,( / s ) M × 0,149R MR So sánh hai cách tính ta thấy kết lệch 9% Hình 5.17 Ví dụ 5.8: Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng gãy khúc (hình 5.18a), biết EJ = const Hệ có hai bậc tự do: khối lượng m1 chuyển vị theo phương vuông góc với AB, khối lượng m2 chuyển vị theo phương chưa biết ñó Khối lượng m2 chuyển vị theo phương vuông góc với BC chuyển vị dọc theo trục BC • Khối lượng m2 chuyển vị theo phương vuông góc với BC (hình 5.18a): Các biểu ñồ mômen uốn ñơn vị ñược vẽ hình vẽ (hình 5.18b, c) δ 11 = ( M )( M ) = 55,58 43,70 44,36 ; δ 22 = ( M )( M ) = ; δ 12 = ( M )( M ) = EJ EJ EJ 127 Hình 5.18 Ma trận khối lượng: Ma trận mềm: 1   0  [M ] = m  δ [ F ] = δ 11  21 δ 12  43,7 1,2718 1,0151 = δ 22  EJ  1,0151  Phương trình tần số: 43,7 ( 1,2718 − u ) 1,0151 EJ = 0; u = [ F ][ M ] − [ E ] = 1,0151 (1−u ω EJEJ 43,7mω u2 – 2,2718u + 0,24137 = • u1 = 2,16; u2 = 0,11174 ω1 = EJ EJ EJ = = 0,103 ,( / s ); 43,7mu1 43,7m × 2,16 m ω2 = EJ EJ EJ = = 0,4525 ,( / s ) 43,7mu2 43,7m × 0,11174 m Chuyển vị khối lượng m2 có phương bất kỳ: Chuyên vị ñược phân tích thành hai thành phần theo hai phương cho trước giao C Trong trường hợp phương vuông góc với BC phương dọc trục BC Hệ ñã cho có số bậc tự Biểu ñồ mô men uốn ñơn vị ( M ) ñược vẽ hình 5.18d Ta tính thêm chuyển vị ñơn vị ñơn vị: 15,53 12,38 4,36 δ 13 = ( M )( M ) = − ; δ 23 = ( M )( M ) = − ; δ 33 = ( M )( M ) = EJ EJ EJ 1 0  Lúc ta có ma trận khối lượng: [ M ] = m 0  0  128 1,0151 δ 11 δ 12 δ 13   1,2718 43,7    Ma trận mềm: [ F ] = δ 21 δ 22 δ 23  = 1,0151 EJ  δ 31 δ 32 δ 33   −0,35537 −0,2833 Phương trình tần số: ( 1,2718 − u ) 1,0151 −0,35537 43,7 1,0151 (1−u ) −0,2833 [ F ][ M ] − [ E ] = ω EJEJ = 0,35537 −0,2833 ( 0,09977 − u ) −0,35537  −0,2833  0,09977  EJ 43,7mω = 0; u = u1 = 2,2322; u2 = 0,14164; u3 = ω1 = EJ EJ EJ = = 0,10125 ,( / s ); 43,7mu1 43,7m × 2,2322 m ω2 = EJ EJ EJ = = 0,40194 ,( / s ) 43,7mu2 43,7m × 0,14464 m So sánh với kết tính trước ta nhận thấy giá trị tần số dao ñộng riêng xấp xỉ nhau, giá trị tần số thứ hai sai khoảng 13% Do ñó, cần tính tần số dao ñộng riêng ñối với hệ vòm thoải xem chuyển vị khối lượng tập trung vòm có phương vuông góc với trục vòm 5.4.3 Một số công thức tính gần ñúng tần số dao ñộng riêng bản: 5.4.3.1 Vòm tròn khớp: * Ứng với dạng dao ñộng uốn ñối xứng (hình 5.19): k EJ ω= (5.25) R m C ϕ R – bán kính vòm; k – hệ số phụ thuộc vào góc mở vòm Giá trị k ñược cho bảng 5.6 theo góc mở αo vòm * Ứng với dạng dao ñộng uốn phản xứng (hình 5.20): ( 2π ) − α EJ ω= × × (5.26) 2 ( R ) m α α   1+ 3   2π  α: góc mở vòm Biểu thức gần ñúng xác ñịnh tần số dao ñộng ứng với dạng dao ñộng hướng tâm vòm ba khớp (hình 5.21) có dạng: π4 J EA 1+ × × R m α R E αo A (5.28) Hình 5.19 B C A Với vòm nửa trụ tròn ứng với α = π, ta có: 2,27 EJ ω= (5.27) R m ω= R α R B Hình 5.20 α Hình 5.21 129 A: diện tích tiết diện ngang vòm A α R B α A α R R B B A α Hình 5.24 Hình 5.23 Hình 5.22 R B A Hình 5.27 Hình 5.26 Hình 5.25 Hình 5.28 5.4.3.2 Vòm tròn hai khớp: Tần số dao ñộng riêng thấp ứng với dạng dao ñộng uốn ñối xứng (hình 5.22): ω= 9π − α α2 + 0,165 π α R2 EJ m (5.29) Tần số dao ñộng riêng thấp ứng với dạng dao ñộng uốn phản xứng (hình 5.23): ω= 4π − α α2 1+ π2 α R2 EJ m (5.30) Biểu thức tần số dao ñộng thấp ứng với dạng dao ñộng hướng tâm vòm hai khớp ñược xác ñịnh biểu thức (5.28) tương tự vòm ba khớp 5.4.3.3 Vòm tròn không khớp: Tần số dao ñộng riêng thấp ứng với dạng dao ñộng uốn ñối xứng (hình 5.24): ω= 14620 − 197,8α + α × 2 + 0,01227α α R EJ m (5.31) Tần số dao ñộng riêng thấp ứng với dạng dao ñộng uốn phản xứng (hình 5.25): 3803 − 92,1α + α × 2 ω= + 0,0605α α R EJ m (5.32) 5.4.3.3 Vành tròn: Tần số dao ñộng riêng ứng với dạng dao hướng tâm (hình 5.26): ω= R EF m (5.33) Tần số dao ñộng riêng ứng với dạng dao ñộng uốn: 130 ω= i( i − ) i2 + R EJ ; ( i = 1,2, n ) m (5.34) Tần số dao ñộng riêng thấp ứng với dạng dao ñộng uốn (hình 5.27) i = 2; với i=1 vành tròn ñược xem kết cấu cứng, chuyển dịch vành tròn cho hình 5.28 Bảng 5.6: Giá trị hệ số k αo 15o 30o 45o 60o 75o 90o k 215,4 52,98 22,92 12,43 7,592 4,987 αo 105o 120o 135o 150o 165o 180o k 3,437 2,448 1,785 1,327 0,9934 0,7506 5.4.3.4 Vòm Parabol khớp: Tần số dao ñộng riêng thấp vòm Parabol ba khớp dao ñộng ñối xứng phản ñối xứng ñược xác ñịnh theo công thức: ω= k l2 EJ m (5.35) l – nhịp vòm, k – hệ số phụ thuộc vào tỷ số f / l, với f chiều cao vòm Hệ số k ñối với dao ñộng ñối xứng tra bảng 5.7, dao ñộng phản xứng tra bảng 5.8 Bảng 5.7: Giá trị hệ số k ñối với dạng dao ñộng ñối xứng f/l 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k 48,58 43,54 36,82 29,98 23,96 Bảng 5.8: Giá trị hệ số k ñối với dạng dao ñộng phản xứng f/l 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k 36,72 28,6 22,51 17,52 13,12 5.4.3.5 Vòm Parabol hai khớp: Tần số dao ñộng riêng thấp vòm Parabol hai khớp dao ñộng ñối xứng phản xứng ñược xác ñịnh theo công thức (5.35); ñó hệ số k với dao ñộng ñối xứng ñược cho bảng 5.9; dao ñộng phản xứng, hệ số k ñược lấy ñối với dao ñộng phản ñối xứng vòm parabol ba khớp bảng 5.7 Bảng 5.9: Giá trị hệ số k ñối với dạng dao ñộng ñối xứng vòm parabol hai khớp f/l 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 k 82,84 77,26 59.25 47,14 37,23 Ví dụ 5.9: Vòm ba khớp nửa trụ tròn có nhịp l =9,6 m, chiều rộng b = m, ñộ cứng chống uốn EJ = 85000 kNm2 , khối lượng phân bố ñơn vị chiều dài m =4 kNs2/m, vòm chịu tác dụng tải trọng ñộng phân bố ñều phía ñỉnh vòm (hình 5.29a), tải trọng ñộng có quy luật thay ñổi theo thời gian (hình 5.29b) Cường ñộ q = 100 kN/m2, thời gian trì tải trọng r = 0,14 s Yêu cầu xây dựng biểu ñồ nội lực ñộng lớn vòm ( M Pd , QPd , N Pd ) 131 q(t) q(t) qm C αo R t B A r Hình 5.29 (a) (b) Tra bảng ứng với nửa góc mở vòm αo = 90o, tra bảng 5.6 ta có k = 4,987 Tần số dao ñộng riêng ñối xứng thấp ñược tính theo công thức: ω= k R2 EJ 4,987 = m 4,8 85000 = 31,6 ,( / s ) Xác ñịnh tải trọng tương ñương: Chu kỳ dao ñộng riêng ñối xứng vòm: T = 2π ω = ,28 = 0,199,( s ) 31,6 r 0,14 = = 0,7 > 0,371 T 0,199 T ỷ s ố: Với quy luật thay ñổi tải trọng ñộng theo thời gian ñã cho, ta tìm hệ số ñộng theo công thức:  arctg(31,6.0,14)   arctgω r  kd =  −  = 21−  = 1,39 31,6.0,14 ωr     Tải trọng tương ñương ñơn vị diện tích; qtñ = qm k = 100 1,39 = 139 kN/m2 Tải trọng tính toán ñơn vị dài: qtt = qtñ b = 139 = 139 kN/m Xây dựng biểu ñồ nội lực ñộng: Từ tải trọng tĩnh tương ñương ñơn vị dài, ta ñịnh phản lực tựa hai chân vòm khớp: RA = RB = qtt l = 667,2 kN H A = HB = qtt R = 333,6 kN Từ gia trị phản lực tải trọng tĩnh tương ñương ta tính ñược nội lực vòm Kết tính toán ñối với nửa vòm bên trái cho bảng 5.10 Các biểu ñồ nội lực ñộng lớn ñược mô tả hình 5.30 132 Bảng 5.10 Tọa ñộ (m) x y Mô men uốn (kNm) 0 0 -216 0,48 2,00 93,3 75,3 -155,5 0,96 2,80 165,9 77,8 -103,7 1,44 3,39 217,7 61,7 -60,5 1,92 3,79 248,8 34,6 -25,9 2,40 4,09 259,2 0 2,88 4,32 248,8 -39,6 17,3 3,36 4,49 217,7 -82,4 25,9 3,84 4,65 165,9 -127 25,9 4,32 4,76 93,3 -171,9 17,3 10 4,8 4,80 -216 Tiết diện Lực cắt (kN) Lực dọc (kN) 334 qtt QPñ A 363 αo 334 B 363 MPñ 667 N Pñ 667 Hình 5.30 133 [...]... tượng cộng hưởng, các công trình cần ñược thiết kế ñể ω và θ sai kém nhau tối thiểu 25% Từ hệ số Kñ cho phép ta giải bài toán dao ñộng theo bài toán tĩnh bình thường Các chuyển vị ñộng, nội lực ñộng, ứng suất ñộng… ñược xác ñịnh theo chuyển vị tĩnh, nội lực tĩnh, ứng suất tĩnh thông qua hệ số Kñ P(t) 1.4 Dao ñộng cưỡng bức khi hệ chịu tác dụng của xung tức thời: 1.4.1 Phương trình dao ñộng tổng quát;... sử không có lực cản, tương tự như phần trước Sử dụng nguyên lý D A Lembert, các lực ñặt vào khối lượng bao gồm: tải trọng tác dụng, lực quán tính và lực ñàn hồi Phương trình cân bằng lực ñối với khối lượng thứ k: Pk ( t ) + Pkq ( t ) + Pkñ ( t ) = 0 Trong ñó: Pkñ(t) - Pkq(t) = Pk(t) (2.4) Pkq = −m k &y&k ( t ) ; Pkñ = rk 1 y 1 + rk 2 y 2 + + rkn y n Thay các biểu thức trên vào phương trình (2.4),... dần, là lực tương ứng với tọa ñộ k do tốc ñộ chuyển dịch ñơn vị tại tọa ñộ m gây ra Phương trình (2.11) còn gọi là phương trình vi phân ở dạng thuận Viết một hàng của hệ này ta thu ñược: n n j =1 j =1 m k &y&k ( t ) + ∑ cki y&( t ) + ∑ rkj y( t ) = Pk ( t ) (2.13) 31 2.3 Xác ñịnh tần số dao ñộng riêng của hệ khi không tính ñến lực cản: Phương trình vi phân của hệ hữu hạn bậc tự do khi không có lực cản... ñịnh phản lực tại gối tựa liên kết ñơn, sau ñó vẽ biểu ñồ mô men uốn ứng với lực P = 1 ñặt tại khối lượng M (hình 1.9b) Chuyển vị ñơn vị ñược xác ñịnh: δ 11 = ( M 1 )( M 1 ) = 5l 3 1  l l 2 l l 2l 2 l l l 2 l  + × × + × ×  × × = 2 EJ  2 2 3 2 2 3 3 2 4 3 3 4  48 EJ ω= 1 Mδ 11 = 48 EJ 5 Ml 3 , (1/ s ) 1.3 Dao ñộng cưỡng bức không cản chịu lực kích thích ñiều hòa P( t ) = Pm sin θ t : Phương trình. ..    mn  0 m2 0  y1  y  {Y ( t )} 2  ;    y n   P1  P  {P( t )} =  2     Pn  (2.9) (2.10) Phương trình (2.7) là phương trình vi phân dao ñộng của hệ n bậc tự do không cản viết dưới dạng ma trận Khi kể ñến ảnh hưởng của lực cản, phương trình vi phân trên sẽ là: [M ] {Y&&( t )} + [C ] {Y&( t )}+ [K ] {Y ( t )} = {P( t )} (2.11) [C] là ma trận cản hay ma trận tắt dần:... theo thời gian với quy luật bất kỳ: 1.6.1 Dao ñộng của hệ: Phương trình vi phân dao ñộng không cản chịu lực kích thích: &&y + ω 2 y = && + Ky = P( t ) My ytn = yo cosω t+ Nghiệm thuần nhất: vo ω P( t ) M (1.73) sin ω t Nghiệm riêng tìm ñược bằng cách sử dụng phương trình dao ñộng của hệ chịu tác dụng của xung tức thời không xét ñến lực cản (1.52) Tải trọng P(t)có dạng tổng quát với quy luật bất kỳ... ]){A )} = {0} ðể tồn tại dao ñộng thì {A} phải khác không, ñiều ñó dẫn ñến: 2 [K ] − ω 2 [M ] = 0 (2.17) (2.18) ðây là phương trình tần số của hệ hữu hạn bậc tự do (phương trình thế kỷ) Khai triển ñịnh thức (2.18) ta sẽ nhận ñược phương trình ñại số bậc n với ω2 Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm ñược n nghiệm ( ω12 , ω 22 , , ω n2 ) Các giá trị này biểu thị bình phương của tần số dao ñộng riêng Véc... = 1 y z 3l / 16 60 60 n= = = 470 ,6 T 0 ,1275 z vg / ph ) Mk y Hình 1.4 Ví dụ 1.2: Tìm tần số dao ñộng riêng thẳng ñứng của móng truyền áp lực trên ñất Cho hợp lực Q = 2000 kN Diện tích ñế móng F = 10 m2, hệ số nền ñàn hồi của ñất K = 2,5 daN/cm3 (hình 1.5) Áp lực tác dụng lên nền: Q Q 2000 q− = = 200 kN / m 2 F 10 Chuyển vị của móng truyền: yt = q 2 = = 0 ,8 cm K 2 ,5 yt Tần số dao ñộng riêng: ω=... trọng này, T trạng thái ứng suất biến dạng lớn nhất của hệ sẽ ñạt ñược trong một khoảng thời gian rất ngắn, so với trước khi lực tắt dần có thể hấp thụ ñược phần lớn năng lượng của quá trình dao ñộng Vì thế, khi tính hệ chịu tải trọng ngắn hạn sẽ không xét tới ảnh hưởng của lực cản Xét các tải trọng ñộng ngắn hạn với 1.5.1 Tải trọng ngắn hạn có dạng hình sin: Xét dạng tải trọng ngắn hạn (hình 1.15)... với chu kỳ và tần số của lực kích thích, phương trình dao ñộng có dạng: y( t ) = Pm K 1 θ2 1− 2 ω sin θ t (1.43) Pm = yT là chuyển vị tại khối lượng do biên ñộ Pm của tải trọng ñiều hòa tác dụng tĩnh gây ra K 1 1 y( t ) = yT sin θ t (1.44) y max = yT 2 y(t) θ2 θ 1 − 1− 2 ω2 ω t Hình (1.10) mô tả dao ñộng cưỡng bức của hệ chịu tải trọng ñiều hòa trong trường hợp tần số của lực kích thích nhỏ hơn tần