ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———– NGUYỄN THỊ MINH THƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———– NGUYỄN THỊ MINH THƯƠNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Huy Ruận HÀ NỘI - 2015 Mục lục Lời nói đầu Đại 1.1 1.2 1.3 4 5 5 6 6 7 7 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 cương đồ thị Định nghĩa đồ thị Một số dạng đồ thị đặc biệt Bậc đỉnh đồ thị 1.3.1 Bậc đỉnh 1.3.2 Nửa bậc 1.3.3 Một số tính chất Xích, chu trình, đường, vòng 1.4.1 Xích, chu trình 1.4.2 Đường, vòng 1.4.3 Một số tính chất Đồ thị liên thông 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Tính chất Số ổn định trong, số ổn định 1.6.1 Số ổn định 1.6.2 Số ổn định 1.6.3 Các thuật toán tìm số ổn định trong, số Nhân đồ thị ứng dụng vào trò chơi 1.7.1 Định nghĩa 1.7.2 Tính chất 1.7.3 Trò chơi Nim 1.7.4 Trò chơi bốc vật Cây bụi 1.8.1 Định nghĩa 1.8.2 Đặc điểm bụi ổn định 9 9 13 13 13 Một số toán đồ thị 2.1 Bài toán đường 2.1.1 Đường Euler - Chu trình Euler 2.1.2 Đường Hamilton - Chu trình Hamilton 2.2 Bài toán tô màu đồ thị 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Một số tính chất 2.2.3 Thuật toán tô màu đỉnh 15 15 15 17 18 18 18 19 Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán phổ thông 3.1 Quy trình giải toán phương pháp đồ thị 3.1.1 Xây dựng đồ thị G mô tả quan hệ 3.1.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án toán D 3.2 Bài toán đỉnh - cạnh đồ thị 3.3 Bài toán xích, chu trình, đường, vòng tính liên thông đồ thị 3.4 Bài toán tô màu đồ thị 3.5 Bài toán liên quan đến số ổn định trong, số ổn định 3.6 Bài toán liên quan đến đường 3.6.1 Bài toán tìm đường mê cung 3.6.2 Bài toán liên quan đến đường chu trình Euler 3.6.3 Bài toán liên quan đến đường chu trình Hamilton 3.7 Bài toán liên quan đến 20 20 20 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 20 21 21 22 24 25 25 25 25 26 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đồ thị ngành khoa học đời sớm Lý thuyết đồ thị giúp mô tả hình học giải nhiều toán thực tế phức tạp Khái niệm lý thuyết đồ thị nhiều nhà khoa học độc lập nghiên cứu có nhiều đóng góp lĩnh vực toán học ứng dụng Năm 2001, Bộ Giáo Dục Đào Tạo có quy định chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi thống toàn quốc, có chuyên đề lý thuyết đồ thị Như vậy, việc học chuyên đề Lý Thuyết Đồ Thị học sinh giỏi nhu cầu thực tế dạy học toán phổ thông Tuy nhiên, việc dạy học chuyên đề tồn số khó khăn lý khác Một lý mẻ, độc đáo khó chủ đề kiến thức Luận văn "Lý thuyết đồ thị với toán phổ thông" đưa đến sáng tạo cách nhìn nhận toán lập luận cách giải mắt lý thuyết đồ thị Ngoài phần mở đầu kết luận luận văn gồm chương: Chương Đại cương đồ thị Chương Một số toán đồ thị Chương Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán phổ thông Luận văn hoàn thành hướng dẫn, giúp đỡ tận tình GS.TS Đặng Huy Ruận, tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội tạo điều kiện, dạy bảo dìu dắt tác giả năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn giúp đỡ bạn bè, người thân thời gian học tập làm luận văn Do khả nhận thức thân tác giả, luận văn nhiều hạn chế, thiếu sót Tác giả kính mong ý kiến bảo quý thầy cô đóng góp bạn đọc Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2015 Chương Đại cương đồ thị 1.1 Định nghĩa đồ thị Tập hợp X = ∅ đối tượng E cặp thứ tự không thứ tự phần tử X gọi đồ thị, đồng thời ký hiệu G(X, E) (hoặc G = (X, E) G(X)) Hình 1.1: Ví dụ mô hình đồ thị 1.2 Một số dạng đồ thị đặc biệt Trong trường hợp không cần phân biệt cạnh cung ta quy ước dùng cạnh thay cho cung Đồ thị G = (X, E) khuyên cặp đỉnh nối với không cạnh, gọi đồ thị đơn hay đơn đồ thị thông thường gọi đồ thị Đồ thị G = (X, E) khuyên có cặp đỉnh nối với từ hai cạnh trở lên gọi đa đồ thị Đồ thị G = (X, E) gọi vô hướng cạnh E không định hướng Đồ thị G = (X, E) gọi có hướng cạnh E có định hướng Đồ thị vô hướng (có hướng) G = (X, E) gọi đồ thị đầy đủ cặp đỉnh nối với cạnh (một cung với chiều tùy ý) Đa đồ thị vô hướng (có hướng) G = (X, E) gọi đồ thị k-đầy đủ cặp đỉnh nối với k cạnh (k cung với chiều tùy ý) Đồ thị (đa đồ thị) G = (X, E) gọi đồ thị (đa đồ thị) hai mảng tập đỉnh X phân thành hai tập rời X1 , X2 (X1 X2 = X X1 X2 = ∅) cạnh có đầu thuộc X1 đầu thuộc X2 Khi G = (X, E) ký hiệu G = (X1 , X2 , E) 1.3 1.3.1 Bậc đỉnh đồ thị Bậc đỉnh Giả sử G = (X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng hướng Số cạnh cung thuộc đỉnh x gọi bậc đỉnh x ký hiệu m(x) 1.3.2 Nửa bậc Giả sử G = (X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng Số cung vào đỉnh x gọi nửa bậc vào đỉnh x ký hiệu m (x) m− (x) Số cung khỏi đỉnh x gọi nửa bậc đỉnh x ký hiệu m (x) m+ (x) Ký hiệu tập cung vào đỉnh x E − (x), tập cung khỏi đỉnh x E + (x) 1.3.3 Một số tính chất Định lí 1.3.1 Trong đồ thị hay đa đồ thị tùy ý, tổng số bậc tất đỉnh gấp đôi số cạnh Định lí 1.3.2 Trong đồ thị hay đa đồ thị tùy ý, số đỉnh bậc lẻ luôn số chẵn Định lí 1.3.3 Trong đồ thị với n đỉnh (n ≥ 2) có hai đỉnh bậc Định lí 1.3.4 Nếu đồ thị với n đỉnh (n ≥ 2) có hai đỉnh bậc, hai đỉnh đồng thời có bậc bậc n − Định lí 1.3.5 Số đỉnh bậc n − đồ thị G với n đỉnh (n ≥ 4), mà bốn đỉnh tùy ý có đỉnh kề với ba đỉnh lại, không nhỏ n − Định lí 1.3.6 Với số tự nhiên n (n > 2) luôn tồn đồ thị n đỉnh, mà ba đỉnh tùy ý đồ thị không bậc Định lí 1.3.7 Trong đồ thị G = (X, E) với kn + đỉnh, đỉnh có bậc không nhỏ (k − 1)n + tồn đồ thị đầy đủ gồm k + đỉnh 1.4 1.4.1 Xích, chu trình, đường, vòng Xích, chu trình Giả sử G(X, E) đồ thị hay đa đồ thị vô hướng: Dãy α đỉnh G(X, E): α = [x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xn−1 , xn ] gọi xích hay dây chuyền, ∀i(1 ≤ i ≤ n − 1) cặp đỉnh xi , xi+1 kề 1.4.2 Đường, vòng Giả sử G(X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng Dãy đỉnh β G(X, E) : β = [x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xm−1 , xm ] gọi đường hay đường ∀i(1 ≤ i ≤ m − 1), đỉnh xi đỉnh đầu, đỉnh xi+1 đỉnh cuối cung Một đường có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng gọi vòng 1.4.3 Một số tính chất Định lí 1.4.1 Trong đồ thị vô hướng với n đỉnh (n ≥ 3) đỉnh có bậc không nhỏ tồn chu trình sơ cấp Định lí 1.4.2 Trong đồ thị vô hướng với n đỉnh (n ≥ 4) đỉnh có bậc không nhỏ tồn chu trình sơ cấp độ dài chẵn 1.5 1.5.1 Đồ thị liên thông Định nghĩa Hai đỉnh x, y đồ thị G = (X, E) gọi cặp đỉnh liên thông x y có xích nối với , tồn đường từ x sang y từ y sang x 1.5.2 Tính chất Định lí 1.5.1 Đồ thị vô hướng tùy ý với n đỉnh (n ≥ 2), mà tổng bậc hai đỉnh tùy ý không nhỏ n đồ thị liên thông Từ định lý suy hệ sau: Hệ 1.5.1 Đồ thị, mà bậc đỉnh không nhỏ nửa số đỉnh, đồ thị liên thông Định lí 1.5.2 Nếu đồ thị có hai đỉnh bậc lẻ, hai đỉnh phải liên thông 1.6 1.6.1 Số ổn định trong, số ổn định Số ổn định Tập ổn định Giả sử có đồ thị G(X, E) Tập A ⊆ X đỉnh đồ thị G gọi tập ổn định trong, cặp đỉnh thuộc A không kề (không có cạnh cung nối với nhau) Tính chất Nếu A tập ổn định trong, tập A phải ổn định Số ổn định Số phần tử tập ổn định có lực lượng lớn gọi số ổn định đồ thị G, đồng thời ký hiệu α(G) 1.6.2 Số ổn định Tập ổn định Giả sử có đồ thị G(X, E) Tập B ⊆ X đỉnh đồ thị G gọi tập ổn định ngoài, với đỉnh x thuộc tập X\B tồn đỉnh y ∈ B, để từ x sang y có cung cặp đỉnh x, y nối cạnh Tính chất Nếu B tập ổn định ngoài, tập chứa B ổn định Số ổn định Số phần tử tập ổn định có lực lượng bé gọi số ổn định đồ thị G, đồng thời ký hiệu β(G) 1.6.3 Các thuật toán tìm số ổn định trong, số ổn định 1.6.3.1 Thuật toán tìm số ổn định - Bước 1: Tìm tập ổn định có phần tử cách xét tất tổ hợp chập n phần tử (n số đỉnh), kiểm tra tập mà phần tử tương ứng không kề tập ổn định trong; - Bước 2: Duyệt tập có phần tử bổ sung thêm phẩn tử thứ kiểm tra cặp bước 1, tập thỏa mãn ta tập ổn định phần tử - Bước k: Giả sử ta tìm m tập ổn định có k+1 phần tử + Duyệt tập bổ sung vào tập thêm phần tử + Nếu tập bổ sung dừng 1.6.3.2 Thuật toán tìm số ổn định Xét G(X, E) với X = {x1 , x2 , , xn } - Bước 1: Xác định tập ∆(xi ), i = 1, 2, , n với ∆(xi ) = {xi đỉnh kề với xi } - Bước 2: Từ tập ∆(x1 ), ∆(x2 ), , ∆(xn ) ta tìm tập B = {xk1 , xk2 , , xkm } cho ∆(xk1 ) ∪ ∆(xk2 ) ∪ ∪ ∆(xkm ) = X Khi B tập ổn định cực tiểu H chu trình thêm cạnh nối hai đỉnh không kề đồ thị nhận H’ có chu trình (và mà thôi); H liên thông bớt cạnh đồ thị tính liên thông; Mọi cặp đỉnh H nối với xích xích mà Định lí 1.8.2 Một có hai đỉnh treo Định lí 1.8.3 Mọi bụi bỏ định hướng cạnh trở thành 14 Chương Một số toán đồ thị 2.1 2.1.1 Bài toán đường Đường Euler - Chu trình Euler 2.1.1.1 Bài toán mở đầu : Bài toán cầu K¨onigsberg: Thành phố K¨onigsberg thuộc Phổ (bây gọi Kaliningrad thuộc Cộng hòa Liên bang Nga) chia thành bốn vùng nhánh sông Pregel Các vùng gồm vùng bên bờ sông, đảo Kneiphof miền nằm nhánh sông Pregel Vào kỷ thứ XVIII, người ta xây cầu nối vùng lại với sơ đồ sau: Hình 2.1 Vào chủ nhật, người dân thường dọc theo vùng thành phố Họ tự hỏi “Liệu xuất phát địa điểm thành phố, qua tất cầu, qua lần, trở 15 điểm xuất phát không?” 2.1.1.2 Định nghĩa Chu trình Euler (Đồ thị Euler) Cho G = (V, E) đa đồ thị liên thông Chu trình đơn chứa tất cạnh đồ thị G gọi chu trình Euler Đồ thị có chứa chu trình Euler gọi đồ thị Euler Đường Euler Cho G = (V, E) đa đồ thị liên thông Đường Euler G đường đơn chứa tất cạnh đồ thị G 2.1.1.3 Chu trình đường Euler đồ thị vô hướng Định lý chu trình Euler Một đa đồ thị liên thông G =(V, E) có chu trình Euler đỉnh có bậc chẵn Thuật toán Fleury tìm chu trình Euler Để tìm chu trình Euler đa đồ thị có tất đỉnh bậc chẵn, ta sử dụng thuật toán Fleury sau: Xuất phát từ đỉnh đồ thị G tuân theo hai qui tắc sau: • Qui tắc 1: Mỗi qua cạnh xóa cạnh đi, sau xóa đỉnh cô lập (nếu có) • Qui tắc 2: Không qua cầu (cạnh nối hai thành phần liên thông), trừ không cách khác để di chuyển Định lý đường Euler Đa đồ thị liên thông G = (V, E) có đường Euler, chu trình Euler có hai đỉnh bậc lẻ 16 2.1.1.4 Chu trình đường Euler đồ thị có hướng Định lý chu trình Euler Đồ thị G = (V, E) có chứa chu trình Euler G liên thông đỉnh có bậc chẵn Định lý đường Euler Cho G = (V, E) đa đồ thị G có đường Euler từ A đến B G liên thông đỉnh có bậc chẵn, trừ A B có bậc lẻ 2.1.2 Đường Hamilton - Chu trình Hamilton 2.1.2.1 Trò chơi Hamilton Năm 1857 W R Hamilton đưa trò chơi sau đây: Trên đỉnh số 20 đỉnh khối đa diện ngũ giác 12 mặt ghi tên thành phố giới Hãy tìm cách cạnh khối đa diện để qua tất thành phố, thành phố lần Hình 2.8 Để có đáp án cho trò chơi hình 2.8 ta cần nghiên cứu lý thuyết chu trình Hamilton 2.1.2.2 Định nghĩa Đường đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi đường Hamilton qua tất đỉnh G qua đỉnh lần 17 Một chu trình sơ cấp qua tất đỉnh đồ thị G = (V, E) (đi qua đỉnh lần) gọi chu trình Hamilton Đồ thị G = (V, E) có chứa chu trình Hamilton gọi đồ thị Hamilton 2.1.2.3 Điều kiện tồn chu trình Hamilton Bổ đề 2.1.2.1 Đồ thị vô hướng n đỉnh liên thông (n ≥ 3), bậc có chu trình Hamilton Bổ đề 2.1.2.2 Đồ thị vô hướng G = (X, E) có chu trình Hamilton có đồ thị phận liên thông bậc Định lý Rédei Trong đồ thị có hướng đầy đủ luôn tồn đường Hamilton 2.2 2.2.1 Bài toán tô màu đồ thị Định nghĩa Tô màu đỉnh đồ thị phép gán màu cho đỉnh, cho hai đỉnh kề có màu khác Sắc số đồ thị số màu cần dùng để tô đỉnh đồ thị, cho hai đỉnh kề tùy ý tô hai màu khác Sắc lớp số màu cần dùng để tô cạnh đồ thị, cho hai cạnh kề (có đỉnh chung) tùy ý có màu khác 2.2.2 Một số tính chất Định lí 2.2.1 Một chu trình độ dài lẻ có sắc số Lớp đồ thị có chu trình tam giác màu Để phục vụ cho việc giải số toán ta cần xét dãy số đặc biệt đưa khẳng định thích hợp, chẳng hạn, để xây dựng lớp đồ thị có chu trình tam giác màu người ta đưa dãy số nguyên dương: a1 = 2, a2 = 5, , an+1 = (n + 1)an + 18 u2 = 3, u3 = 6, , un+1 = (un − 1)n + có định lý sau: Định lí 2.2.2 a Một đồ thị đầy đủ vô hướng với an + đỉnh, cạnh tô n màu có chu trình tam giác màu b Một đồ thị đầy đủ vô hướng un+1 đỉnh, cạnh tô n màu có chu trình tam giác màu Định lí 2.2.3 Đồ thị đầy đủ có un+1 − đỉnh (n ≥ 2) với n màu cạnh (các cạnh tô n màu), cho tam giác màu nào, luôn có hình cạnh với cạnh màu đường chéo tô màu khác Định lí 2.2.4 Đồ thị đầy đủ gồm đỉnh tô không hai màu cạnh có chu trình tam giác màu Định lí 2.2.5 Đồ thị đầy đủ G gồm n đỉnh (n ≥ 6) tô không hai màu cạnh có (n − 4) tam giác màu Định lí 2.2.6 Đồ thị đầy đủ G gồm đỉnh tô hai màu cạnh xanh, đỏ có đồ thị đầy đủ K3 xanh đồ thị đầy đủ K4 đỏ (hoặc ngược lại ta đổi hai màu cho nhau) Định lí 2.2.7 Đồ thị đầy đủ K14 gồm 14 đỉnh tô hai màu cạnh xanh, đỏ, có tam giác xanh ngũ giác đỏ (hoặc ngược lại ta đổi hai màu cho nhau.) Định lí 2.2.8 Đồ thị mảng G(X, E) với lực lượng mảng n(n ≥ 1) Mỗi đỉnh nối với đỉnh thuộc hai mảng lại cạnh tô màu xanh màu đỏ, cho số cạnh đỏ xuất phát từ đỉnh (n + 1) Khi đồ thị G(X, E) có chu trình tam giác đỏ 2.2.3 Thuật toán tô màu đỉnh 1, Lập danh sách đỉnh đồ thị theo thứ tự bậc giảm dần Đặt i := 2, Tô màu i cho đỉnh danh sách Duyệt đỉnh tô màu i cho đỉnh không kề đỉnh tô màu i 3, Nếu tất đỉnh tô màu kết thúc: Đồ thị tô i màu Ngược lại sang bước 4, Loại khỏi tập đỉnh đỉnh tô màu, đặt i := i + 1, quay lại bước 19 Chương Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán phổ thông 3.1 Quy trình giải toán phương pháp đồ thị Để giải toán T phương pháp đồ thị ta cần thực hai bước sau: 3.1.1 Xây dựng đồ thị G mô tả quan hệ • Đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng không gian tương ứng với đối tượng cho toán Dùng ký hiệu đối tượng để ghi điểm tương ứng • Cạnh: Hai đỉnh x, y tùy ý nối với cạnh (cung) với "đặc điểm t", đối tượng x, y có quan hệ "t" với Khi toán T chuyển toán D đồ thị 3.1.2 Dựa vào kết lý thuyết đồ thị lý luận trực tiếp suy đáp án toán D Nếu đáp án toán D dạng "ngôn ngữ đồ thị", vào phép đặt tương ứng xây dựng đồ thị mà diễn đạt thành đáp án ngôn ngữ thông thường (tức đáp án toán T) 20 3.2 Bài toán đỉnh - cạnh đồ thị Bài toán 3.2.1 (Olympic Toán Mỹ 1982) Sống ký túc xá có 1982 người Cứ bốn người chọn người quen với ba người lại Có người mà người quen với tất người ký túc xá Bài toán 3.2.2 Trường THPT Tân Dân có 1101 học sinh Biết học sinh quen 1001 học sinh Chứng minh với học sinh trường tìm 11 học sinh khác để tạo thành nhóm gồm 12 học sinh, cho hai học sinh nhóm quen Bài toán 3.2.3 Liệu có nhóm người, mà người quen biết người khác không? Bài toán 3.2.4 ([4]Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực) Chứng minh rằng: Nếu tập số nguyên dương tùy ý M gồm số, mà có số có số số đồng dư nhau, số đồng thời không đồng dư với số đồng thời đồng dư với tất số lại thuộc tập M Bài toán 3.2.5 Trong hội thi đấu cờ vua khối trường trung học phổ thông thuộc huyện Phú Xuyên có 10 em học sinh đại diện cho trường tham gia thi đấu Thể lệ thi em phải đấu trận với em khác Chứng minh lúc có em đấu số trận Bài toán 3.2.6 Cho khối đa diện lồi A1 , A2 , , An Gọi m1 , m2 , , mn số cạnh xuất phát từ đỉnh A1 , A2 , , An c số cạnh khối đa diện Khi ta có m1 + m2 + + mn = 2c 3.3 Bài toán xích, chu trình, đường, vòng tính liên thông đồ thị Bài toán 3.3.1 ([4]Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực) Một thôn có gia đình, gia đình thân với gia đình khác Chứng minh xếp số chẵn gia đình làm nhà xung quanh hồ để gia đình sống hai gia đình mà họ thân 21 Bài toán 3.3.2 ([3]Lý thuyết đồ thị ứng dụng) Một tập số nguyên dương M gồm ba số Mỗi số có ước chung với hai số khác Chứng minh luôn ghi nhóm gồm ba số thuộc tập hợp lên vòng tròn, để số đứng hai số mà có ước chung Bài toán 3.3.3 (IMO 1991) Giả sử G đồ thị liên thông có k cạnh Chứng minh rằng: Có thể đánh nhãn cạnh 1, 2, 3, ,k theo cách mà đỉnh thuộc vào hai nhiều hai cạnh, ước số chung lớn số nguyên đánh nhãn cạnh Bài toán 3.3.4 ([3]Lý thuyết đồ thị ứng dụng) Trên bàn cờ 3X3 ô vuông Chứng minh Mã qua tất ô, ô lần, trở ô xuất phát Bài toán 3.3.5 ([1]Graph giải toán phổ thông) Lớp 10A gồm 40 em học sinh.Khi nghỉ hè, học sinh trao đổi địa với nửa số bạn lớp Chứng minh em học sinh lớp 10A báo tin (một cách trực tiếp gián tiếp) cho tất bạn lớp Bài toán 3.3.6 ([1]Graph giải toán phổ thông) Một quan cần tuyển ba người để lập thành nhóm có đủ lực biên dịch tài liệu từ thứ tiếng: Anh, Pháp, Nga, Đức, Trung Quốc Bồ Đào Nha sang tiếng Việt Có người đến dự tuyển, người biết thứ tiếng hai người biết nhiều thứ tiếng chung thứ tiếng Biết thứ tiếng có hai người biết Hỏi xảy trường hợp tuyển chọn yêu cầu nêu không? Tại sao? 3.4 Bài toán tô màu đồ thị Bài toán 3.4.1 (IMO 1964) Mười bảy nhà bác học viết thư cho Mỗi người viết thư cho tất người khác Các thư trao đổi đề tài Từng cặp nhà bác học viết thư trao đổi đề tài Chứng minh có nhà bác học viết thư cho trao đổi vấn đề 22 Bài toán 3.4.2 (Thi Olympic Toán 1978, Bungary) Một nhóm gồm thành viên, ba người có người quen người không quen Chứng minh xếp họ ngồi xung quanh bàn tròn để người ngồi hai người mà thành viên quen Bài toán 3.4.3 ([4]Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực) Có thành phố, mà từ thành phố có đường bay đến số thành phố khác Biết ba thành phố thành phố có hai thành phố có đường bay trực tiếp đến hai thành phố chưa có đường bay trực tiếp Chứng minh rằng: Mỗi thành phố có đường bay trực tiếp đến hai hai thành phố khác Từ thành phố bay đến thành phố khác nơi lần quay nơi xuất phát Bài toán 3.4.4 (Thi học sinh giỏi Bungari 1977) Có ba trường, trường có n học sinh Mỗi học sinh có n + bạn quen hai trường khác Chứng minh chọn trường học sinh để có bạn học sinh đôi quen Bài toán 3.4.5 ([3]Lý thuyết đồ thị ứng dụng) Chứng minh 20 số tự nhiên tùy ý ta chọn 16 bộ, có số, cho số đôi có ước chung khác đôi nguyên tố Bài toán 3.4.6 (Vô địch nước Anh 1980) Trong phòng có 10 người, biết người có hai người quen Chứng minh tìm người mà người số quen Kết không số người phòng người? Bài toán 3.4.7 (IMO 1992) Cho điểm không gian, điểm nằm mặt phẳng Tất điểm nối với cặp đoạn thẳng Mỗi đoạn thẳng tô màu xanh đỏ không tô màu Tìm giá trị nhỏ n, cho với cách tô màu n đoạn thẳng tùy ý ta tìm tam giác có cạnh màu Bài toán 3.4.8 Một quốc gia có 14 sân bay Biết sân bay có sân bay có đường bay trực tiếp Chứng minh có sân bay mà hai sân bay số có đường nối trực tiếp 23 Bài toán 3.4.9 Một sở thú nhập loại thú khác nhau, mà ta ký hiệu A, B, C, D, E, F Một số loại sống chuồng Bảng sau cho biết loài sống chung với nhau: Loại A B C D E F Không thể sống với B, C A, C, E A, B, D, E C, F B, C, F D, E Hỏi cần chuồng để nhốt tất loại thú đó? Bài toán 3.4.10 Trường trung học phổ thông huyện, học kỳ năm học nhà trường tổ chức cho học sinh lớp 12 (thí sinh tự do) theo học bảy lớp sau: Lớp học môn: Toán, Tiếng Anh, Sinh, Hóa Lớp học môn: Toán, Tiếng Anh, Tin, Địa Lớp học môn: Sinh, GDCD, Lý, Địa Lớp học môn: Văn, Sinh, Tin, Sử Lớp học môn: Tiếng Anh, GDCD, Tin, Sử Lớp học môn: Văn, Hóa, GDCD, Tin Lớp học môn: Lý, Sử, Địa, GDCD Cuối kỳ nhà trường tổ chức cho lớp thi môn học Hãy xếp lịch thi để học sinh lớp tham gia thi môn mà họ học, cho số lần tổ chức thi 3.5 Bài toán liên quan đến số ổn định trong, số ổn định Bài toán 3.5.1 ([4]Lý thuyết đồ thị với toán không mẫu mực) Trên bàn cờ 8X8 đặt tối đa mã để chúng không ăn lẫn Bài toán 3.5.2 ([4]Lý thuyết đồ thị với toán không mẫu mực) Trên bàn cờ 8X8 đặt tối thiểu mã để chúng khống chế tất ô lại bàn cờ 24 3.6 Bài toán liên quan đến đường 3.6.1 Bài toán tìm đường mê cung Bài toán 3.6.1 ([1]Graph giải toán phổ thông) Cho mê cung hình vẽ 3.13a.Tìm đường từ vị trí A (cổng) đến vị trí M Hình 3.13a Bài toán 3.6.2 Bài toán ba ông chồng ghen Có ba cặp vợ chồng qua sông thuyền nhỏ Mỗi lần thuyền chở nhiều người biết bơi thuyền Các ông chồng mắc bệnh ghen nặng nên không cho vợ đứng với người đàn ông khác Hãy tìm phương án chở tất sang sông 3.6.2 Bài toán liên quan đến đường chu trình Euler 3.6.3 Bài toán liên quan đến đường chu trình Hamilton Bài toán 3.6.3 ([1]Graph giải toán phổ thông) Có đội bóng chuyền thi đấu với để tranh giải cúp quốc gia Biết hai đội đấu với trận đội phải đấu với đội khác, đồng thời trận hòa Chứng tỏ vào kết thi đấu xếp đội trưởng đội đứng theo hàng dọc để đội đứng sau thắng đội đứng trước 25 Bài toán 3.6.4 ([4]Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực) Một nước có 10 thành phố Hãy thiết lập mạng cầu hàng không (bằng đồ thị) cho: Mỗi thành phố có cầu hàng không nối trực tiếp với thành phố khác; Từ thành phố có đường hàng không tới thành phố tùy ý khác hành trình tới đích qua thành phố lần 3.7 Bài toán liên quan đến Bài toán 3.7.1 ([4]Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực) Tại Euro 92, bốn đội Đức, Đan Mạch, Hà Lan, Thụy Điển vào bán kết Có dự đoán xếp hạng sau: a) Đan Mạch vô địch, Thụy Điển nhì b) Đan Mạch nhì, Hà Lan ba c) Pháp nhì, Hà Lan tư Kết quả: Mỗi dự đoán đội Hãy cho biết kết xếp hạng đội Bài toán 3.7.2 Minh Châu thi đấu cầu lông với Hai bạn chơi ván, bạn thắng ván trước kết thúc thi giành chiến thắng Cuộc thi đấu diễn theo cách khác nhau? Bài toán 3.7.3 ([1]Graph giải toán phổ thông) Hãy tìm tất ước số 126 26 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc nghiên cứu lý thuyết đồ thị vận dụng kết để giải toán phổ thông trung học đạt kết sau: Nhằm mục đích tổng quan số vấn đề lý thuyết đồ thị: Trình bày khái niệm, định nghĩa lý thuyết đồ thị, định lý, tính chất áp dụng thiết thực hiệu để giải toán sơ cấp Làm bật ưu lý thuyết đồ thị việc giải số toán sơ cấp: Nêu số toán liên quan đến đỉnh, cạnh, tô màu, chu trình, đường đồ thị Các toán chứng minh cách cụ thể vận dụng có hiệu việc giải toán sơ cấp liên quan Hệ thống phân loại số lớp toán chương trình toán phổ thông trung học giải cách ứng dụng hiệu lý thuyết đồ thị Bên cạnh toán dành cho học sinh lớp chuyên, lớp chọn, tác giả đưa toán để giảng dạy cho học sinh phổ thông đại trà Tuy nhiên, với khả nghiên cứu khoa học hạn chế, nội dung đề tài tác giả, dù cố gắng nhiều có hạn chế Tác giả mong muốn nhận quan tâm dẫn quý thầy cô đóng góp ý kiến bạn đọc để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 27 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Chúng, 1992, Graph giải toán phổ thông ,NXB Giáo Dục [2] Vũ Đình Hòa, 2008, Giáo trình lý thuyết đồ thị, NXB đại học sư phạm [3] Đặng Huy Ruận, 2000, Lý thuyết đồ thị ứng dụng, NXB khoa học kĩ thuật [4] Đặng Huy Ruận, 2003, Lý thuyết đồ thị toán không mẫu mực [5] Đặng Huy Ruận, 2003, Trò chơi đồ thị, NXB khoa học kĩ thuật [6] Đặng Huy Ruận, 2002, Bảy phương pháp giải toán logic, NXB khoa học kĩ thuật [7] Vũ Dương Thụy (Chủ biên), 2001, 40 năm Olympic toán học quốc tế (1959-2000), NXB Giáo dục [8] Một số luận văn Thạc sĩ toán logic ứng dụng thuộc chuyên ngành "Phương pháp toán sơ cấp" 28 [...]... Khi đó bài toán T đã được chuyển về bài toán D trên đồ thị 3.1.2 Dựa vào các kết quả của lý thuyết đồ thị hoặc lý luận trực tiếp suy ra đáp án của bài toán D Nếu đáp án của bài toán D còn dưới dạng "ngôn ngữ đồ thị" , thì căn cứ vào phép đặt tương ứng khi xây dựng đồ thị mà diễn đạt thành đáp án bằng ngôn ngữ thông thường (tức là đáp án của bài toán T) 20 3.2 Bài toán về đỉnh - cạnh của đồ thị Bài toán. .. trình, đường đi của đồ thị Các bài toán đó được chứng minh một cách cụ thể và được vận dụng có hiệu quả trong việc giải các bài toán sơ cấp liên quan 3 Hệ thống và phân loại một số lớp các bài toán trong chương trình toán phổ thông trung học có thể giải bằng cách ứng dụng hiệu quả lý thuyết đồ thị Bên cạnh những bài toán dành cho học sinh lớp chuyên, lớp chọn, tác giả còn đưa ra những bài toán để giảng dạy... trung học và đã đạt được các kết quả sau: 1 Nhằm mục đích tổng quan về một số vấn đề cơ bản nhất của lý thuyết đồ thị: Trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản về lý thuyết đồ thị, các định lý, tính chất được áp dụng thiết thực và hiệu quả để giải các bài toán sơ cấp 2 Làm nổi bật ưu thế của lý thuyết đồ thị trong việc giải một số bài toán sơ cấp: Nêu ra được một số bài toán liên quan đến đỉnh, cạnh,... học sinh của các lớp đều có thể tham gia thi các môn mà họ đã học, sao cho số lần tổ chức thi là ít nhất 3.5 Bài toán liên quan đến số ổn định trong, số ổn định ngoài Bài toán 3.5.1 ([4 ]Lý thuyết đồ thị với các bài toán không mẫu mực) Trên bàn cờ 8X8 có thể đặt tối đa bao nhiêu con mã để chúng không ăn lẫn nhau Bài toán 3.5.2 ([4 ]Lý thuyết đồ thị với các bài toán không mẫu mực) Trên bàn cờ 8X8 có thể... Graph và giải toán phổ thông ,NXB Giáo Dục [2] Vũ Đình Hòa, 2008, Giáo trình lý thuyết đồ thị, NXB đại học sư phạm [3] Đặng Huy Ruận, 2000, Lý thuyết đồ thị và ứng dụng, NXB khoa học và kĩ thuật [4] Đặng Huy Ruận, 2003, Lý thuyết đồ thị và các bài toán không mẫu mực [5] Đặng Huy Ruận, 2003, Trò chơi và đồ thị, NXB khoa học và kĩ thuật [6] Đặng Huy Ruận, 2002, Bảy phương pháp giải các bài toán logic,... nhau Bài toán 3.2.3 Liệu có thể có nhóm 9 người, mà trong đó mỗi người chỉ quen biết đúng 5 người khác được không? Bài toán 3.2.4 ([4 ]Lý thuyết đồ thị và các bài toán không mẫu mực) Chứng minh rằng: Nếu trong một tập số nguyên dương tùy ý M gồm ít nhất 3 số, mà có đúng 2 số có số số đồng dư bằng nhau, thì các số này không thể đồng thời không đồng dư với một số nào hoặc đồng thời đồng dư với tất cả các. .. 2.1.2.1 Đồ thị vô hướng n đỉnh liên thông (n ≥ 3), thuần nhất bậc 2 có chu trình Hamilton 2 Bổ đề 2.1.2.2 Đồ thị vô hướng G = (X, E) có chu trình Hamilton khi và chỉ khi nó có một đồ thị bộ phận liên thông và thuần nhất bậc 2 3 Định lý Rédei Trong đồ thị có hướng đầy đủ luôn luôn tồn tại đường Hamilton 2.2 2.2.1 Bài toán tô màu đồ thị Định nghĩa Tô màu đỉnh của một đồ thị là phép gán các màu cho các đỉnh,... lông với nhau Hai bạn chơi 5 ván, bạn nào thắng 3 ván trước sẽ kết thúc cuộc thi và giành chiến thắng Cuộc thi đấu có thể diễn ra theo bao nhiêu cách khác nhau? Bài toán 3.7.3 ([1]Graph và giải toán phổ thông) Hãy tìm tất cả các ước số của 126 26 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả đã tập trung vào việc nghiên cứu lý thuyết đồ thị và vận dụng các kết quả của nó để giải quyết các bài toán phổ thông. .. Duyệt lần lượt các đỉnh tiếp theo và tô màu i cho đỉnh không kề đỉnh đã được tô màu i 3, Nếu tất cả các đỉnh đã được tô màu thì kết thúc: Đồ thị đã được tô bằng i màu Ngược lại sang bước 4 4, Loại khỏi tập đỉnh các đỉnh đã tô màu, đặt i := i + 1, và quay lại bước 2 19 Chương 3 Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải toán phổ thông 3.1 Quy trình giải bài toán bằng phương pháp đồ thị Để giải bài toán T bằng... , , An Gọi m1 , m2 , , mn lần lượt là số cạnh xuất phát từ các đỉnh A1 , A2 , , An và c là số cạnh của khối đa diện Khi đó ta có m1 + m2 + + mn = 2c 3.3 Bài toán về xích, chu trình, đường, vòng và tính liên thông của đồ thị Bài toán 3.3.1 ([4 ]Lý thuyết đồ thị và các bài toán không mẫu mực) Một thôn có ít nhất 4 gia đình, mỗi gia đình thân với ít nhất 3 gia đình khác Chứng minh rằng có thể xếp một