Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu kỹ thuật xử lí tín hiệu số chương 5.
Chương V Chương PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG Từ chương trước, ta thấy ý nghĩa việc phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc Công việc thường thực xử lý tín hiệu số DSP Để thực phân tích tần số, ta phải chuyển tín hiệu miền thời gian thành biểu diễn tương đương miền tần số Ta biết biểu diễn biến đổi Fourier X(Ω) tín hiệu x[n] Tuy nhiên, X(Ω) hàm liên tục theo tần số đó, khơng phù hợp cho tính tốn thực tế Hơn nữa, tín hiệu đưa vào tính DTFT tín hiệu dài vơ hạn, thực tế ta có tín hiệu dài hữu hạn, ví dụ ảnh, đoạn tiếng nói… Trong chương này, ta xét phép biến đổi khắc phục khuyết điểm DTFT Đó phép biến đổi Fourier rời rạc DFT (Discrete Fourier Transform) Đây cơng cụ tính tốn mạnh để thực phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc thực tế Nội dung chương gồm: - DTFT tín hiệu rời rạc tuần hồn Đây phép biến đổi trung gian để dẫn dắt đến DFT - DFT thuận ngược - Các tính chất DFT - Một số ứng dụng DFT - Thuật tốn tính nhanh DFT, gọi FFT 5.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC TUẦN HỒN 5.1.1 Khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc tuần hồn Nhắc lại khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục tuần hoàn: x(t ) = ∞ ∑ae k =−∞ ak = k jkω0t synthesis equation x(t )e− jkω0t dt T ∫T analysis equation Tương tự, ta có khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc tuần hồn (cịn gọi chuỗi Fourier rời rạc DFS- Discrete Fourier Serie) sau: x[n] = ∑ ak e jk Ω0 n ∑ x[n]e − jk Ω0 n k∈< N > ak = N synthesis equation analysis equation n∈< N > Khác với khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục tuần hồn, phép lấy tích phân thay tổng Và có điểm khác quan trọng tổng tổng hữu hạn, lấy khoảng chu kỳ tín hiệu Lý là: e jkΩ n =e jk 2π n N =e jk 2π n N e jk πn - 88 - =e j( k + N ) 2π n N = e j( k + N ) Ω n Chương V 5.1.2 Biểu thức tính biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn Ta có hai cách để xây dựng biểu thức tính biến dổi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hoàn sau: Cách thứ nhất: Ta tín hiệu liên tục tuần hồn Ta có: F e jω0t ←→ 2πδ (ω − ω0 ) Nên: x[n ] = ∞ ∞ F ∑ a k e jkω0t ←→ X(ω) = 2π ∑ a k δ(ω − kω0 ) k = −∞ k = −∞ Vậy, phổ tín hiệu tuần hồn phổ vạch (line spectrum), có vố số vạch phổ với chiều cao 2πa k nằm cách khoảng ω trục tần số ω Bây chuyển sang tìm biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc tuần hồn: Trước hết, ta tìm DTFT e jΩ0n Ta đốn DTFT e jΩ0n có dạng xung tương tự DTFT e jω0 t , khác điểm DTFT tuần hoàn với chu kỳ 2π : ∞ F DT : e jΩ0 n ←→ 2π ∑ δ (Ω − Ω + 2π l ) l =−∞ Ta kiểm tra lại điều cách lấy DTFT ngược: x[n] = 2π ∫ = 2π ∫ < 2π > Ω +π Ω0 −π X (Ω)e jΩn d Ω 2πδ (Ω − Ω0 )e jΩn d Ω = e j Ω0 n Kết hợp kết DTFT e jΩ0 n với khai triển chuỗi Fourier x[n], tương tự với tín hiệu liên tục, ta được: F x[n] ↔ 2π ∞ ∑ ∑ a δ (Ω − k Ω k∈< N > l =−∞ = 2π k ∞ + 2π l ) ∑ a δ (Ω − k Ω ) (do ak tuần hoàn) k =−∞ k - 89 - Chương V Với Ω0 = 2π N , ta có: F x[n] periodic with period N ↔ 2π ∞ ∑ a δ (Ω − k =−∞ k 2π k ) N với ak hệ số chuỗi Fourier, tổng lấy chu kỳ tín hiệu ak = = N N ∑ x[n]e − j 2π nk /N n∈< N > n0 + N −1 ∑ x[n]e− j 2π nk /N n = n0 Ví dụ: Tìm DTFT dãy xung rời rạc sau: p[n] = ∞ ∑ δ [n − kN ] k =−∞ Cuối ta có: p[n] = ∞ ∑ δ [n − kN ] ↔ k =−∞ 2π N ∞ ∑ δ (Ω − k =−∞ 2π k ) = P (Ω ) N Như vậy, DTFT dãy xung rời rạc tập vô số xung rời rạc có chiều cao khoảng cách hai xung cạnh 2π N - 90 - 2π có N Chương V Cách thứ hai: Ta rút kết DTFT tín hiệu rời rạc tuần hoàn cách khác Ta xét chu kỳ tín hiệu tuần hoàn x[n] , ký hiệu là: x0 [n] : ⎧ x[n], ≤ n ≤ N − x0 [n] = ⎨ otherwise ⎩ 0, Sau tính DTFT x0 [n] X (Ω) = ∞ ∑ n =−∞ N −1 x0 [n]e − jnΩ = ∑ x0 [n]e− jnΩ n =0 Viết lại x[n] dạng tổng vô số chu kỳ x0 [n] : x[n] = ∞ ∑ k =−∞ x0 [n − kN ] = ∞ ∑ k =−∞ x0 [n] ∗ δ [n − kN ] = x0 [n] ∗ ∞ ∑ δ [n − kN ] k =−∞ Theo tính chất chập tuyến tính ta có: F x[n] = x0 [n] ∗ p[n] ←→ X (Ω) P(Ω) = X (Ω) Thay P (Ω) vừa tìm ví dụ vào biểu thức này, ta được: ⎛ 2π X (Ω) = X (Ω) ⎜ ⎝ N = 2π N ∑X ( k ∑ δ (Ω − k 2π k ⎞ ) N ⎟⎠ 2π k 2π k )δ (Ω − ) (t/c nhân với xung) N N X ( 2Nπ k ) có N giá trị phân biệt, nghĩa k = 0,1,2, , N − Biểu thức tính DTFT ngược là: x[n] = = 2π ∫π N ∑ X (Ω)e jΩn d Ω = ∞ k =−∞ X0( 2π ∫ 2π [ 2π N ∞ ∑ k =−∞ X0( 2π k 2π k jΩn )δ (Ω − )]e d Ω N N 2π k 2π 2π k jΩn ) ∫ δ (Ω − )e d Ω = N N N N −1 ∑X k =0 Nếu so sánh với công thức chuỗi Fourier trên, ta được: ak = ⎛ 2πk ⎞ X0 ⎜ ⎟ với k = 0,1,2, , N − N ⎝ N ⎠ - 91 - ( 2π k j 2Nπ kn )e N Chương V Tóm lại, ta có: x[n] = x0 [n] ∗ ∞ ∑ δ [n − kN ] k =−∞ N −1 X (Ω) = ∑ x0 [n]e − jΩn n =0 X (Ω) = 2π N x[n] = ∞ ∑ X0( k =−∞ 2π k 2π k )δ (Ω − ) N N N −1 N ∑X k =0 ak = ( 2π k j 2Nπ kn )e N 2π k X0( ) N N Vậy, để tính DTFT X (Ω) tín hiệu x[n] rời rạc tuần hồn với chu kỳ N , ta tiến hành theo bước sau đây: Bắt đầu với chu kỳ x0 [n] tín hiệu x[n] , lưu ý x0 [n] khơng tuần hồn Tìm DTFT tín hiệu khơng tuần hồn trên: X (Ω) = ∑ n =−∞ x0 [n]e − jΩn ∞ Tính X (Ω) giá trị Ω = 2π k N , k = 0,1,…, N − Từ có DTFT tín hiệu tuần hồn theo cơng thức vừa tìm: X (Ω) = 2π N ∞ ∑ k =−∞ X0( Ví dụ: Cho x[n] = Tìm X (Ω) - 92 - 2π k 2π k )δ (Ω − ) N N Chương V Ví dụ: Cho x0 [n] = δ [n] + δ [n − 1] + 2δ [n − 3] Giả sử N = Tìm X (Ω) X (Ω) xác định giá trị phân biệt X ( 2Nπ k ) Ví dụ: Cho tín hiệu tuần hồn x[n] với chu kỳ N = chu kỳ là: x0 [n] = δ [n] + 2δ [n − 2] Tìm X (Ω) X (Ω) Kiểm tra kết cách tính DTFT ngược để khôi phục lại x[n] - 93 - Chương V Ví dụ: Cho tín hiệu tuần hồn y[n] với chu kỳ N = chu kỳ là: y0 [n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + 3δ [n − 2] Tìm Y0 (Ω) Y (Ω) Kiểm tra kết cách tính DTFT ngược để khôi phục lại y[n] 5.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER CỦA TÍN HIỆU RỜI RẠC DÀI HỮU HẠN 5.2.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier rời rạc thuận tín hiệu rời rạc tuần hồn Trong mục trên, ta xét chu kỳ x0 [n] tín hiệu tuần hồn x[n] Ta xem phần chu kỳ có cách lấy cửa số (windowing) tín hiệu dài vơ hạn x[n] : x0 [n] = x[n]wR [n] Với wR [ n] cửa số chữ nhật (ở cịn gọi cửa sổ DFT): ⎧1, n = 0,1,L, N − wR [n] = ⎨ otherwise ⎩0, x0 [n] = x[n]wR [n] mẫu x[n] nằm n = n = N − (không quan tâm đến mẫu nằm ngồi cửa sổ) Ta tính DTFT x0 [n] sau: X (Ω) = DTFT( x0 [n]) = ∞ ∑ n =−∞ x0 [n]e − jΩn = ∞ ∑ n =−∞ N −1 x[n]wR [n]e− jΩn = ∑ x[n]e − jΩn n=0 Vậy, N −1 N −1 n=0 n=0 X (Ω) = ∑ x[n]e − jΩn = ∑ x0 [n]e− jΩn Bây ta tiến hành lấy mẫu X (Ω) để lưu trữ máy tính Do X (Ω) liên tục tuần hoàn với chu kỳ 2π nên cần mẫu dải tần số Để thuận tiện, ta lấy N mẫu - 94 - Chương V cách đoạn [0, 2π ) : 0, 2π / N, 4π / N, K, ( N − 1)2π / N Nói cách khác, điểm là: Ω= 2π k N , k = 0,1,…, N − Ta định nghĩa phép biến đổi Fourier rời rạc DFT (Discrete Fourier Transform) sau: X [k ] = X ( 2π k ) với k = 0, 1, K, N − N X[k] gọi phổ rời rạc (discrete spectrum) tín hiệu rời rạc Lưu ý 1: X[k] hàm phức theo biến nguyên, biểu diễn dạng: X[k ] =| X[k ] | e jθ[ k ] |X[k]| phổ biên độ θ[k ] phổ pha Lưu ý 2: Độ phân giải (resolution) phổ rời rạc 2Nπ ta lấy mẫu phổ liên tục điểm cách 2Nπ miền tần số, nghĩa là: ∆Ω = 2Nπ Ta biểu diễn độ phân giải theo tần số tương tự f Ta nhớ lại quan hệ: F= f fs ∆f = fs N Do đó: Lưu ý 3: Nếu ta xem xét mẫu X (Ω) 2Nπ k với k = −∞ đến ∞ ta thấy DFT chu kỳ DFS, DFT hiệu nhiều so với DFS số mẫu DFT hữu hạn: - 95 - Chương V X [ k ] = X (Ω ) | Ω = 2π k , k = 0,1,L, N − N N −1 = ∑ x[n]e − jΩn |Ω= 2π k ,k =0,1,L, N −1 N n=0 N −1 =∑ x[n]e− j π kn N n=0 ,k =0,1,L, N −1 Để cho gọn, ta ký hiệu: WN = e −j 2π N Khi không cần để ý đến N, ta viết đơn giản W thay cho WN Vậy, N −1 X [k ] = ∑ x[n]WNkn , k = 0,1,L , N − n=0 DFT dãy x0 [n] lấy cửa sổ từ x[n] Ví dụ: Tính DFT x[n ] = u[n ] − u[n − N] N −1 ∑ (e n=0 − j 2π k N N −1 ) n = ∑ W kn n =0 Suy DFT x[n] = 1, n = 0,1,L, Ví dụ: n=0 ⎧1, Tìm X [k ], k = 0,1,…, Cho x[n] = ⎨ ⎩0, n = 1,…, - 96 - Chương V - 97 - Chương V Ví dụ: Cho y[n] = δ [n − 2] N = Tìm Y [k ] Ví dụ: Cho x[n] = cWN− pn , n = 0,1,…, N − , với p số nguyên p ∈ [0,1,…, N − 1] WN = e Tìm DFT x[n] − j 2Nπ 5.2.2 Biểu thức tính biến đổi Fourier rời rạc ngược Trong mục này, ta thiết lập công thức khôi phục x[n] từ X [k ] Sự khôi phục gọi tổng hợp hay DFT ngược (IDFT) Từ biểu thức tính DTFT ngược thiết lập mục 5.2.1 tính tương hỗ miền thời gian tần số, ta suy biểu thức tính IDFT sau: x[n] = N N −1 ∑ X [k ]W k =0 − kn N - 98 - , n = 0,1,…, N − Chương V Sau ta chứng minh điều đúng: x[n] = = N N −1 N −1 ∑ ∑ x[l ]W k =0 l =0 WN− kn kl N N −1 N −1 [ ] x l WNk (l − n ) ∑ ∑ N l =0 k =0 Ta có N −1 ∑W k =0 k (l −n ) N ⎧N, l = n =⎨ ⎩ 0, l ≠ n Thay kết vào x[n] ta có biểu thức tính IDFT N −1 N −1 [ ] x l WNk (l − n ) = ∑ ∑ N l =0 N k =0 = ( Nx[n]) = x[n] N x[n] = N −1 ∑ x[l ]Nδ [n − l ] l =0 Ví dụ: Tìm IDFT X [k ] = 1, k = 0,1,…, Ví dụ: Cho x[n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + 3δ [n − 2] + δ [n − 3] N = , tìm X [k ] - 99 - Chương V Ví dụ: Cho X [k ] = 2δ [k ] + 2δ [k − 2] N = , tìm x[n] 5.2.3 Chọn số mẫu tần số N Qua mục 5.2.1 ta thấy biểu thức tính DFT thành lập từ việc lấy mẫu DTFT với số mẫu N Số mẫu N số mẫu tín hiệu rời rạc miền thời gian độ dài cửa sổ DFT, nói ngắn gọn số mẫu tần số số mẫu thời gian Ví dụ: Cho tín hiệu x[n] hình bên Tính vẽ hai loại phổ biên độ | X(Ω) | |X[k]| đồ thị Xem đồ thị ta thấy rõ ràng rằng: mẫu |X[k]| với | X(Ω) | tần số - 100 - Chương V Việc chọn N ảnh hưởng đến độ phân giải phổ rời rạc Chọn N lớn, độ phân giải tốt, nghĩa khoảng cách hai vạch phổ cạnh X[k] X[k+1] nhỏ, nghĩa đường bao phổ rời rạc X[k] gần với hình ảnh phổ liên tục | X(Ω) | Để việc tăng N không làm ảnh hưởng đến kết quả, ta kéo dài tín hiệu miền thời gian cách chèn thêm mẫu (zero-padding) vào phía cuối tín hiệu Ví dụ: Cho x[n] = u[n] − u[n − 5] Tìm X[k] với N sau: (a) N = - 101 - Chương V (b) N = 10 5.2.4 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc Hầu hết tính chất DFT tương tự tính chất DTFT, có vài điểm khác Điểm khác DFT chu kỳ trích từ dãy DFS tuần hoàn với chu kỳ N Bây ta thay đổi ký hiệu, ký hiệu x%[n] dãy tuần hoàn chu kỳ N, x[n] chu kỳ trích từ x%[n] : x%[n] = x[n] ∗ = ∞ ∑ δ [n − kN ] k =−∞ ∞ ∑ x[n − kN] k = −∞ - 102 - Chương V Dịch vòng Nếu DFT x[n] ↔ X [k ] DFT x[n − m] ↔ W km X[k ] với WN = e − j 2Nπ Ví dụ: Dịch vòng m mẫu cho kết trùng với dich vòng (m mod N) mẫu Tổng chập vòng DFT , N x1[n] ⊗ x2 [n] ↔ X 1[k ] X [k ] đây: N −1 y[n] = x1[n] ⊗ x2 [n] = ∑ x1[ p]x2 [n − p]mod N p =0 Dấu ⊗ ký hiệu tổng chập vịng Nhắc lại cơng thức tổng chập tuyến tính: y[n] = x1[n] ∗ x2 [n] = ∞ ∑ p =−∞ - 103 - x1[ p ]x2 [n − p] Chương V Thoạt nhìn, ta thấy biểu thức tính tổng chập vịng giống tổng chập tuyến tính Tuy nhiên, hai phép chập khác điểm sau đây: - Phép chập vòng áp dụng cho hai dãy dài hữu hạn nhau, kết dãy chiều dài, nghĩa x1[n] , x2 [n] , and y[n] có chiều dài N Trong đó, phép chập tuyến tính áp dụng cho hai dãy có chiều dài bất kỳ: x1[n] dài N x1 , x2 [n] dài N x1 y[n] dài - Phép dịch tổng chập vòng phép dịch vòng, khác với phép dịch tổng chập tuyến tính phép dịch tuyến tính Vì điểm khác nên kết tổng chập vịng tổng chập tuyến tính hai dãy khơng trùng Tuy nhiên, ta có cách làm cho hai kết trùng sau: - Chuyển tổng chập tuyến tính sang miền tần số: Y(Ω) = X (Ω).X (Ω) - Lấy mẫu Y(Ω) với số mẫu N ≥ N y = N x1 + N x − , ta được: Y[k ] = X[k ].H[k ] - Tính DFT ngược, ta được: y[n] = x[n] * h[n] chiều dài y[n] , x[n] h[n] là: N ≥ N y = N x1 + N x − Như vậy, cách kéo dài tín hiệu x1[n] x2[n] đến chiều dài N ≥ N y = N x1 + N x − lấy chập vòng, ta hai kết tổng chập vịng chập tuyến tính trùng nhau: y[n ] = x [n ] ∗ x [n ] = x [n ] ⊗ x [n ] Ví dụ: Tìm x1[n] ⊗ x2 [n] = z[n] , với x1[n] = [1, 2, 0, 0] , x2 [n] = [1,1, 0, 0] N = Kết có trùng với tổng chập tuyến tính khơng? - 104 - Chương V Ví dụ: Tìm y[n] = x[n] ⊗ x[n] , với x[n] = [1, 0,1,1] hai trường hợp: (a) N = (b) N = N đủ để tổng chập vịng trùng với tổng chập tuyến tính? 5.3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA DFT Phần giới thiệu sơ lược số ứng dụng DFT thực tế 5.3.1 Phân tích phổ tín hiệu Trong chương trước, ta biết ý nghĩa phổ việc phân tích tín hiệu, từ phổ tín hiệu ta biết số thơng tin cần thiết Để tìm phổ tín hiệu (cả liên tục rời rạc), ta cần phải biết giá trị tín hiệu tất thời điểm Tuy nhiên thực tế, ta quan sát tín hiệu khoảng thời gian hữu hạn nên phổ tính xấp xỉ phổ xác DFT ứng dụng hiệu việc tính tốn phổ xấp xỉ Trong thực tế, tín hiệu cần phân tích tín hiệu liên tục, trước hết ta cho tín hiệu qua lọc chống chồng phổ lấy mẫu với tần số Fs ≥ 2B , với B băng thông tín hiệu sau lọc Như vậy, tần số cao chứa tín hiệu rời rạc Fs/2 Sau đó, ta phải giới hạn chiều dài tín hiệu khoảng thời gian T0 = LT, với L số mẫu T khoảng cách hai mẫu Cuối cùng, ta tính DFT tín hiệu rời rạc L mẫu Như trình bày trên, muốn tăng độ phân giải phổ rời rạc, ta tăng chiều dài DFT cách bù thêm số vào cuối tín hiệu rời rạc trước tính DFT Ví dụ sau minh họa ứng dụng DFT việc phân tích phổ tín hiệu điện tâm đồ (ECG): Hình vẽ (a) đồ thị 11 nhịp tim bệnh nhân 11 nhịp tim xuất khoảng thời gian giây, tương đương với 11/9 = 1.22 nhịp giây, hay 73 nhịp phút Hình (b) chi tiết nửa đầu nhịp tim thứ tư Hình (c) đoạn phổ biên độ DFT có sau lấy mẫu đoạn 11 nhịp tim (a) với tần số lấy mẫu kHz Nhìn (c) ta thấy có hai điểm biên độ cao xuất tần số 88 Hz - 105 - Chương V 235 Hz Để tìm hiểu phổ kỹ hơn, ta tính DFT tín hiệu hình (b)- phổ thể hình (d), ta thấy rõ hai điểm biên độ cao tần số 88 Hz 235 Hz bên nhịp tim Tuy nhiên, ta không thấy tần số lặp lại nhịp tim 1.22 Hz DFT hình (c) Hình (e) giải thích rõ điều Nó phiên mở rộng đỉnh nhọn dải tần từ 60 Hz đến 100 Hz Trong tần số 1.22 Hz nhỏ nên không thấy rõ hình (c) hình (e) này, ta thấy rõ hài tần số 1.22 Hz thấy rõ khoảng cách hai đỉnh nhọn 1.22 Hz 5.3.2 Tính tín hiệu hệ thống rời rạc LTI Tín hiệu hệ thống rời rạc LTI tính cách chập tín hiệu vào với đáp ứng xung hệ thống: y[n ] = x[n ] ∗ h[n ] Ta có hai cách để tính tổng chập này: tính trực tiếp, hai tính thơng qua tổng chập vịng phân tích mục 5.2.4 Cách tính qua tổng chập vịng có lợi mặt thời gian Lý tổng chập vòng tính thơng qua DFT, mà DFT tính nhanh nhờ thuật tốn tính nhanh FFT Để tính y[n], ta thực theo bước sau đây: - Kéo dài x[n] đến độ dài N = Nx + Nh - - 106 - Chương V - Kéo dài h[n] đến độ dài N = Nx + Nh - - Tính DFT x[n] N mẫu, ta X[k] - Tính DFT h[n] N mẫu, ta H[k] - Nhân X[k] với H[k], ta Y[k]: Y[k] = X[k].H[k] - Tính DFT ngược Y[k], ta y[n] Việc tính DFT DFT ngược thực nhờ thuật tốn tính nhanh DFT, gọi FFT (Fast Fourier Transform) Phần sau trình bày thuật tốn FFT 5.4 TÍNH NHANH DFT BẰNG THUẬT TOÁN FFT DFT ứng dụng rộng rãi xử lý tín hiệu rời rạc/ số nên nhiều nhà tốn học, kỹ sư… quan tâm đến việc rút ngắn thời gian tính tốn Năm 1965, Cooley Tukey tìm thuật tốn tính DFT cách hiệu gọi thuật toán FFT Cần lưu ý FFT phép biến đổi mà thuật tốn tính DFT nhanh gọn Để đánh giá hiệu thuật toán, ta sử dụng số phép tính nhân cộng phức Số phép nhân cộng phức liên quan trực tiếp đến tốc độ tính toán thuật toán thực máy tính xử lý chuyên dụng 5.4.1 Hiệu tính tốn FFT Cơng thức tính DFT dãy dài N: N −1 X [k ] = ∑ x[n]W kn n =0 Qua ta thấy để tính giá trị DFT ta cần N phép nhân cộng phức Để tính tồn DFT ta cần N phép nhân cộng phức Tuy nhiên, tính DFT nhờ thuật tốn FFT số phép nhân cộng phức giảm xuống N2 log N Ví dụ N = 210 = 1024 tính trực tiếp DFT cần N = 220 = 106 phép nhân cộng phức, tính qua FFT số phép nhân cộng phức giảm xuống N2 log N = 5120 Số phép tính giảm gần 200 lần! Hình sau cho thấy rõ hiệu thuật toán FFT: 10000 Number of Operations 8000 6000 4000 2000 0 20 40 60 N, Size of DFT or FFT - 107 - 80 100 ... lược số ứng dụng DFT thực tế 5.3.1 Phân tích phổ tín hiệu Trong chương trước, ta biết ý nghĩa phổ việc phân tích tín hiệu, từ phổ tín hiệu ta biết số thơng tin cần thiết Để tìm phổ tín hiệu (cả... Tukey tìm thuật tốn tính DFT cách hiệu gọi thuật toán FFT Cần lưu ý FFT phép biến đổi mà thuật tốn tính DFT nhanh gọn Để đánh giá hiệu thuật toán, ta sử dụng số phép tính nhân cộng phức Số phép... hiệu cần phân tích tín hiệu liên tục, trước hết ta cho tín hiệu qua lọc chống chồng phổ lấy mẫu với tần số Fs ≥ 2B , với B băng thơng tín hiệu sau lọc Như vậy, tần số cao chứa tín hiệu rời rạc Fs/2