Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu kĩ thuật xứ lí tín hiệu số chương 4.
Chương IV Chương PHÂN TÍCH TÍN HIỆU & HỆ THỐNG RỜI RẠC LTI TRONG MIỀN TẦN SỐ Trong chương III ta thấy phép biến đổi Z cơng cụ tốn học hiệu việc phân tích hệ thống rời rạc LTI Trong chương này, ta tìm hiểu cơng cụ tốn học quan trọng khác phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc, gọi tắt DTFT (DT-Fourier Transform) Phép biến đổi áp dụng để phân tích cho tín hiệu hệ thống Nó dùng trường hợp dãy rời rạc dài vơ hạn khơng tuần hồn Nội dung chương bao gồm: - Biến đổi Fourier - Biến đổi Fourier ngược - Các tính chất biến đổi Fourier - Phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc (cách gọi thơng dụng phân tích phổ) - Phân tích tần số cho hệ thống rời rạc 4.1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 4.1.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier Ta biết biểu diễn tín hiệu rời rạc tạo cách lấy mẫu tín hiệu tương tự dạng sau đây: xs (t ) = ∞ ∑ x(kT )δ (t − kT ) k =−∞ Bây ta tính biến đổi Fourier cho tín hiệu Các bước sau: Tính biến đổi Fourier δ (t − kT ) Sử dụng nguyên lý xếp chồng, tìm biến đổi Fourier xs (t ) F xs (t ) ↔ ∞ ∑ x(nT )e − jnωT n =−∞ Đặt x(nT ) = x[n] thay biến Ω = ωT (xem lại chương I, lưu ý đơn vị Ω [rad] ω [rad/s]), ta được: DTFT : X (Ω) = ∞ ∑ x[n]e − jΩn n =−∞ Ta nhận xét thấy tín hiệu rời rạc miền thời gian DTFT lại liên tục tuần hoàn miền tần số - 67 - Chương IV DTFT hàm phức theo biến tần số thực Ta gọi DTFT phổ phức (complex spectrum) hay ngắn gọn phổ tín hiệu rời rạc x[n] 4.1.2 Sự hội tụ phép biến đổi Fourier Không phải tất DTFT tồn (hội tụ) DTFT hội tụ khi: ∞ ∑ x[n]e − jΩn ? Ví dụ: Tìm Y (Ω) với y[n] = a nu[− n] , | a |> Nếu | a |< ? - 68 - − jΩn Chương IV Ví dụ: Cho p[n] = u[n] − u[n − N ] Tìm P (Ω) Hãy chứng tỏ biến đổi Fourier có pha tuyến tính (linear phase) Ví dụ: Tìm H (Ω) hệ LTI có đáp ứng xung sau h[n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + 2δ [n − 2] + δ [n − 3] Và chứng tỏ hệ có pha tuyến tính 4.1.4 Quan hệ biến đổi Z biến đổi Fourier Biểu thức tính ZT là: X(z) = ∞ ∑ x[n]z −n n = −∞ Giả sử ROC có chứa đường trịn đơn vị Tính X(z) đường tròn đơn vị, ta được: X(z) z =e jΩ = ∞ ∑ x[n]e − jΩn = X (Ω) n = −∞ Như vậy, biến đổi Fourier biến đổi Z tính đường trịn đơn vị Dựa vào đây, ta phát biểu lại điều kiện tồn DTFT sau: - 69 - Chương IV Biến đổi Fourier tín hiệu tồn ROC biến đổi Z tín hiệu có chứa đường trịn đơn vị Ví dụ: Làm lại ví dụ trên- Tìm biến đổi Fourier của: (a) x[n] = a n u[n] , | a |< Nếu | a |> ? (b) y[n] = a nu[− n] , | a |> Nếu | a |< ? (c) p[n] = u[n] − u[n − N ] (d) h[n] = δ [n] + 2δ [n − 1] + 2δ [n − 2] + δ [n − 3] 4.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER NGƯỢC 4.2.1 Biểu thức tính biến đổi Fourier ngược Ta thấy X(Ω) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π , e jΩ tuần hoàn với chu kỳ 2π : e jΩ = e j ( Ω+ 2π ) = e jΩ e j 2π = e jΩ Do dải tần số tín hiệu rời rạc dải tần rộng 2π , thường chọn là: (−π, π) hay (0,2π) Vậy ta khai triển X(Ω) thành chỗi Fourier khoảng (−π, π) hay (0,2π) điều kiện tồn X(Ω) thỏa mãn Các hệ số Fourier x[n], ta tính x[n] từ X(Ω) theo cách sau: jΩl e lấy tích phân khoảng (− π, π) ta có: 2π π π ∞ ⎡ π jΩ ( l − n ) ⎤ 1 ⎡ ∞ − jΩn ⎤ jΩl jΩl X ( Ω ) e d Ω = x [ n ] e e d Ω = x [ n ] ∑ ∑ ⎢ 2π ∫ e dΩ⎥ = x[l] ⎥ 2π −∫π 2π −∫π⎢⎣ n =−∞ n = −∞ ⎦ ⎣ −π ⎦ Nhân vế biểu thức tính DTFT với Thay l = n thay cận tích phân, khơng thiết phải (− π, π) mà cần khoảng cách cận 2π , ta biểu thức tính biến đổi Fourier ngược (IDTFT) sau: - 70 - Chương IV x[n] = 2π ∫ π X (Ω )e jΩn dΩ Ta tính IDTFT hai cách: tính trực tiếp tích phân trên, hai chuyển biến đổi Z tính tính biến đổi Z ngược Tùy vào trường hợp cụ thể mà ta chọn phương pháp cho thuận tiện 4.2.2 Một số ví dụ tính biến đổi Fourier ngược Ví dụ: Tìm x[n] biết: ⎧⎪1, Ω ≤ Ω c X (Ω) = ⎨ ⎪⎩0, Ω c < Ω < π Ví dụ: Tìm x[n] biết: X(Ω) = cos Ω - 71 - Chương IV 4.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Sau ta xét số tính chất quan trọng DTFT, phần cịn lại xem sách 4.3.1 Tính tuyến tính ax1[n] + bx2 [n] ←→ aX (Ω) + bX (Ω) 4.3.2 Tính dịch thời gian x[n] ←→ X (Ω) x[n − n0 ] ←→ e − jΩn0 X (Ω) Qua ta thấy dịch chuyển tín hiệu miền thời gian không ảnh hưởng đến biên độ DTFT, nhiên pha cộng thêm lượng 4.3.3 Tính dịch tần số/ điều chế x[n] ←→ X (Ω) e jΩ0n x[n ] ←→ X(Ω − Ω ) cos(Ω n ) x[n ] ←→ 1 X (Ω − Ω ) + X (Ω + Ω ) 2 Như vậy, việc điều chế tín hiệu gây dịch tần số - 72 - Chương IV 4.3.4 Tính chập thời gian Tương tự biến đổi Z, với biến đổi Fourier ta có: F x1[n] ∗ x2 [n] ←→ X (Ω) X (Ω) Ví dụ: Cho h[n] = a nu[n],| a |< Tìm hệ đảo hi [n] , khơng dùng biến đổi Z 4.3.5 Tính nhân thời gian x [n ].x [n ] ←→ X (λ)X (Ω − λ)dλ 2π ∫2 π 4.4 PHÂN TÍCH TẦN SỐ (PHỔ) CHO TÍN HIỆU RỜI RẠC 4.4.1 Ý nghĩa phổ Trong miền tần số, tín hiệu có đặc điểm riêng Ví dụ như, tín hiệu sin có tần số đơn, nhiễu trắng chứa tất thành phần tần số Sự biến thiên chậm tín hiệu tần số thấp, biến thiên nhanh sườn nhọn tần số cao Như xung vng chẳng hạn, chứa tần số thấp tần số cao Hình sau minh họa cho điều Hình (a) sóng sin tần số thấp, hình sau (b)-(c) cộng thêm dần sóng sin tần số cao dần Hình cuối (e) tổng sóng sin Trong hình (e) ta thấy tổng sóng sin có dạng xấp xỉ với dạng xung vng Phổ tín hiệu mô tả chi tiết thành phần tần số chứa bên tín hiệu Ví dụ với tín hiệu xung vng vừa nói trên, phổ tất đỉnh nhọn sóng sin riêng kết hợp lại với tạo xung vng Thơng tin quan trọng nhiều lý Ví dụ như, thành phần tần số mẩu nhạc cho ta biết đặc trưng loa, để từ sản xuất lại ta cải tiến cho hay Một ví dụ khác, micro hệ thống nhận dạng tiếng nói phải có dải tần đủ rộng để bắt tất tần số quan trọng tiếng nói đầu vào Để dự đoán ảnh hưởng lọc tín hiệu, cần phải biết khơng chất lọc mà phải biết phổ tín hiệu - 73 - Chương IV 4.4.2 Phổ biên độ phổ pha Phổ tín hiệu gồm có hai phần: phổ biên độ (magnitude spectrum) phổ pha (phase spectrum) Phổ biên độ độ lớn hành phần tần số Phổ pha quan hệ pha thành phần tần số khác Trong phần này, ta xét tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn Cơng cụ để tính phổ tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn DTFT Để tính phổ tín hiệu, ta qua hai bước: tính DTFT tín hiệu- X(Ω) , hai tính biên độ pha X(Ω) : X ( Ω ) = X ( Ω ) e jθ ( Ω ) | X(Ω) | phổ biên độ θ(Ω) phổ pha Ta dễ dàng chứng minh tín hiệu thực, phổ biên độ hàm chẵn theo tần số Ω phổ pha hàm lẻ theo Ω Do đó, biết phổ X(Ω) khoảng đến π , ta suy phổ tồn dải tần số - 74 - Chương IV Để dễ giải thích phổ, tần số số Ω từ đến π thường chuyển đổi thành tần số tương tự f từ đến fS/2 tần số lấy mẫu fS Ví dụ: Tìm phổ biên độ phổ pha tín hiệu chữ nhật: x[n] = u[n] - u[n-4] Ví dụ: Một mẩu nguyên âm tiếng nói “eee” lấy mẫu tần số kHz Phổ biên độ tín hiệu hình Hỏi tần số tín hiệu bao nhiêu? - 75 - Chương IV 4.4.3 Mật độ phổ lượng Năng lượng tín hiệu x[n] định nghĩa là: ∞ ∑ | x[n ] | E= n = −∞ Bây ta biểu diễn lượng theo phổ: ⎡1 π * ⎤ − jΩn E = ∑ x[n ]x [n ] = ∑ x[n ]⎢ Ω Ω X ( ) e d ⎥ ∫ n = −∞ n = −∞ ⎣ 2π − π ⎦ ∞ ∞ * Thay đổi thứ tự lấy tổng tích phân, ta có: π π 1 ⎡ ∞ ⎤ * E= X ( ) x[n ]e − jΩn ⎥dΩ = Ω X ( Ω ) dΩ ∑ ⎢ ∫ ∫ 2π − π 2π − π ⎣ n = −∞ ⎦ Vậy quan hệ lượng x[n] X(Ω) là: E= ∞ ∑ | x[n ] |2 = n = −∞ π X(Ω) dΩ (quan hệ Parseval) ∫ 2π − π Đại lượng S xx (Ω) = X(Ω) gọi mật độ phổ lượng Ví dụ: Xác định mật độ phổ lượng tín hiệu sau: x[n] = an u[n] với -1 < a < 4.4.4 Băng thông Băng thông (bandwidth) dải tần số tập trung hầu hết lượng (công suất) tín hiệu Giả sử 95% lượng tín hiệu tập trung dải tần số F1 ≤ F ≤ F2 , ta nói băng thơng 95% tín hiệu F2 − F1 Ta định nghĩa băng thông 75%, băng thông 90%, băng thông 99% theo kiểu tương tự băng thông 95% nói Dựa vào băng thơng tín hiệu, ta phân loại tín hiệu sau: Nếu lượng tín hiệu tập trung quanh tần số tín hiệu tần số thấp (low-frequency signal) Nếu lượng tín hiệu tập trung miền tần số cao tín hiệu cao tần (highfrequency signal) - 76 - Chương IV Nếu lượng tín hiệu tập trung vào dải tần số tần số thấp tần số cao tín hiệu thơng dải (bandpass signal) Trong trường hợp tín hiệu thông dải, khái niệm băng hẹp (narrowband) dùng để tín hiệu có băng thơng F2 − F1 nhỏ (khoảng 10% nhỏ hơn) so với tần số trung tâm (F1 + F2 ) / Ngược lại, tín hiệu gọi băng rộng (wideband) Tín hiệu gọi có băng thơng hữu hạn (bandlimited) phổ ngồi dải tần F ≥ B Tín hiệu lượng x[n] gọi có băng thơng hữu hạn nếu: X (Ω) = 0, Ω < Ω < π 4.5 PHÂN TÍCH TẦN SỐ CHO HỆ THỐNG RỜI RẠC LTI Trong miền tần số, hệ thống rời rạc LTI mô tả hàm theo tần số- gọi đáp ứng tần số (frequency response)- biến đổi Fourier đáp ứng xung h[n]: Quan hệ tín hiệu vào- hệ thống miền tần số sau: y[n ] = x[n ] ∗ h[n ] Y(Ω) = X(Ω).H(Ω) Đáp ứng tần số hoàn toàn đặc trưng cho hệ rời rạc LTI miền tần số Nó cho phép ta: - xác định đáp ứng hệ thống với đầu vào có dạng tổ hợp tuyến tính tín hiệu sin hay hàm mũ phức - xác định đặc tính hệ LTI lọc tần số 4.5.1 Tính đáp ứng tần số Tính từ đáp ứng xung Theo định nghĩa, đáp ứng tần số H(Ω) tính sau: H (Ω) = ∞ ∑ h[n] e − jΩn n = −∞ Tính từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số N M k =0 r =0 ∑ a k y[n − k] =∑ b r x[n − r] Lấy DTFT vế, sử dụng tính chất tuyến tính dịch thời gian, ta được: N M k =0 r =0 ∑ [a k e − jΩk ]Y(Ω = ∑ [b r e − jΩr ]X(Ω) M Y (Ω) = H (Ω ) = X (Ω) ∑b e r =0 N ∑a k =0 − jΩr r k e − jΩk Ví dụ: Tìm đáp ứng tần số hệ: y[[n ]] + 0.1y[[n − 1]] + 0.85y[n − 2] = x[n ] − 0.3x[n − 1] - 77 - Chương IV Tính từ hàm truyền đạt Theo quan hệ phép biến đổi Z phép biến đổi Fourier, ta tính đáp ứng tần số từ hàm truyền đạt cách thay z = e jΩ (với điều kiện ROC có chứa đường tròn đơn vị): H (Ω) = H ( z ) z = e jΩ 4.5.2 Đáp ứng biên độ đáp ứng pha Do đáp ứng tần số H(Ω) hàm theo biến phức Ω nên biểu diễn sau: H ( Ω ) = H ( Ω ) e jθ ( Ω ) | H(Ω) | gọi đáp ứng biên độ θ(Ω) gọi đáp ứng pha Ví dụ: Cho đáp ứng tần số hệ sau: H (Ω) = 1 − 0.4e − jΩ Tìm đáp ứng biên độ pha 4.5.3 Đáp ứng hệ LTI đầu vào tổ hợp tuyến tính tín hiệu dạng sin hay hàm mũ phức Đáp ứng trạng thái đầu vào dạng hàm mũ phức Từ chương II, ta biết đáp ứng hệ (điều kiện đầu 0) là: y[n ] = ∞ ∑ h[k] x[n − k ] k = −∞ Giả sử tín hiệu vào tín hiệu hàm mũ phức sau: - 78 - Chương IV x[n ] = Ae jΩn , − ∞ < n < ∞ với A biên độ Ω tần số dải tần (− π, π) Thay x[n] vào biểu thức y[n] trên, ta được: y[n ] = ∑ h[k ](Ae ∞ jΩ ( n − k ) ) k = −∞ ⎡ ∞ = A ⎢ ∑ h[k ] e − jΩk ⎣ k = −∞ = (Ae jΩn )H(Ω) = x[n ]H(Ω) ( )⎤⎥e jΩn ⎦ Ta thấy đáp ứng hệ có dạng giống dạng đầu vào, tức dạng hàm mũ phức với tần số, khác hệ số nhân H(Ω) Điều trường hợp tín hiệu vào có dạng sin/cos Ví dụ: Xác định đầu hệ thống có đáp ứng xung là: h[n ] = (1 / 2) n u[n ] đầu vào có dạng: (a) x[n ] = Ae π j n 2 − j26.60 ⎛π⎞ , − ∞ < n < ∞ Cho biết H⎜ ⎟ = = e ⎝ ⎠ 1+ j (b) x[n ] = 10 − sin π n + 20 cos πn, − ∞ < n < ∞ - 79 - Chương IV Eigenfunction eigenvalue Nếu ta có tín hiệu vào tín hiệu phân tích thành hàm sở là: x[n] = ∑ akφk [n] k y[n] = ∑ akψ k [n] k Các hàm sở có dạng φk [n] , khác hệ số nhân (thực/ phức) bk : ψ k [n] = φk [n] ∗ h[n] vàψ k [n] = bkφk [n] φk [n] gọi eigenfunction hệ rời rạc LTI với eigenvalue bk Trong trường hợp này, tín hiệu vào có dạng hàm mũ phức eigenfunction H(Ω) tính tần số tín hiệu vào eigenvalue tương ứng Đáp ứng trạng thái bền đáp ứng thời Ta phân tích đáp ứng hệ thống thành hai thành phần Thành phần thứ không tiến tới n tiến tới vô cùng, gọi đáp ứng trạng thái bền (steady-sate response) yss[n] Thành phần tồn khoảng thời gian tồn đầu vào Thành phần tiến tới n tiến tới vô cùng, gọi đáp ứng thời (transient response) ytr[n] Trong nhiều ứng dụng đáp ứng thời khơng quan trọng tồn khoảng thời gian ngắn mà thường bỏ qua Ví dụ: Cho tín hiệu x[n ] = Ae jΩn , n ≥ vào hệ thống y[n ] − ay[n − 1] = x[n ] (|a| < 1) Cho điều kiện đầu y[-1] Tìm đáp ứng hệ, đáp ứng trạng thái bền, đáp ứng thời Tín hiệu là: y[n ] = a n +1 Aa n +1e − jΩ ( n +1) jΩn A y[−1] − e + e jΩn , n ≥ − jΩ − jΩ − ae − ae - 80 - Chương IV Ta có đáp ứng trạng thái bền là: y ss [n ] = lim y[n ] = n →∞ A = AH(Ω)e jΩn − jΩ − ae Hai số hạng đầu y[n] giảm n tiến tới vơ Đó đáp ứng thời: y tr [n ] = a n +1 Aa n +1e − jΩ ( n +1) jΩn y[−1] − e ,n≥0 − ae − jΩ Tổng quát, tín hiệu vào là: x[n] = ∑ k =1 X k zkn M Bằng cách xếp chồng, ta tìm đáp ứng trạng thái bền sau: yss [n] = ∑ k =1 X k H ( zk ) zkn M Ví dụ: n Cho đầu vào x[n] = ( 34 ) , h[n] = (.5) n u[n] Tìm đáp ứng trạng thái bền ⎛ ⎞⎛ ⎞ yss [n] = H ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ n 4.5.4 Hệ LTI lọc tần số Bộ lọc (filter) hệ thống xử lý tín hiệu cách thay đổi đặc trưng tần số tín hiệu theo điều kiện Nói cách khác, lọc thay đổi phổ tín hiệu vào X(Ω) theo đáp ứng tần số H(Ω) để tạo tín hiệu có phổ là: Y(Ω) = X(Ω)H(Ω) Đáp ứng tần số đóng vai trị hàm trọng số hay hàm thay đổi dạng phổ thành phần tần số khác tín hiệu vào Khi xét theo quan điểm hệ LTI xem lọc tần số, khơng ngăn vài hay tất thành phần tần số tín hiệu vào Do ta đồng hai khái niệm lọc tần số hệ LTI Trong môn học này, ta dùng thuật ngữ “bộ lọc” để hệ LTI thực chức chọn lọc tín hiệu theo tần số Bộ lọc cho thành phần tần số tín hiệu dải tần qua ngăn khơng cho thành phần tần số khác qua Dải tần số cho qua gọi dải thông (passband) dải tần số không cho qua gọi dải chắn (stopband/block-band) Tần số giới hạn dải thông dải chắn gọi tần số cắt (cut-off frequency) - 81 - Chương IV Cách mô tả lọc đơn giản biểu diễn dạng miền tần số Đó đáp ứng tần số, gồm đáp ứng biên độ đáp ứng pha Xét lọc có dải thông (Ω1 , Ω ) Nếu lọc lý tưởng đáp ứng tần số có dạng sau: ⎧Ce − jΩn , Ω1 < Ω < Ω H (Ω) = ⎨ ⎩0, Ω ≠ C n0 số Tín hiệu lọc lý tưởng có dạng: Y(Ω) = X(Ω)H(Ω) = CX (Ω)e − jΩn , Ω1 < Ω < Ω y[n ] = Cx[n − n ] Ta thấy tín hiệu đơn giản tín hiệu vào bị thay đổi hệ số nhân bị trễ khoảng thời gian Sự thay đổi biên độ trễ không làm méo tín hiệu Vậy lọc lý tưởng lọc có đáp ứng biên độ có dạng chữ nhật đáp ứng pha tuyến tính dải thơng: | H(Ω) |= C, Ω1 < Ω < Ω θ(Ω) = −Ωn , Ω1 < Ω < Ω Có nhiều loại lọc khác với nhiều ứng dụng khác nhau, thơng dụng lọc thông thấp, thông cao, thông dải chắn dải Hình sau vẽ đáp ứng biên độ loại lọc thông dụng - 82 - Chương IV Các đáp ứng biên độ dạng chữ nhật khơng phải lọc lý tưởng Giữa dải thơng dải chắn có dải chuyển tiếp (transition band) Độ lợi (gain) lọc tần số giá trị đáp ứng biên độ tần số Tần số cắt tần số điểm mà độ lợi / giá trị lớn Bộ lọc tiến gần đến lọc lý tưởng độ dốc lọc lớn, dải chuyển tiếp nhỏ Điều yêu cầu bậc lọc phải lớn Ta quay lại tìm hiểu kỹ lọc thiết kế lọc sau - 83 - ... số tín hiệu tần số thấp (low-frequency signal) Nếu lượng tín hiệu tập trung miền tần số cao tín hiệu cao tần (highfrequency signal) - 76 - Chương IV Nếu lượng tín hiệu tập trung vào dải tần số. .. tần số Bộ lọc (filter) hệ thống xử lý tín hiệu cách thay đổi đặc trưng tần số tín hiệu theo điều kiện Nói cách khác, lọc thay đổi phổ tín hiệu vào X(Ω) theo đáp ứng tần số H(Ω) để tạo tín hiệu. .. phần tần số Phổ pha quan hệ pha thành phần tần số khác Trong phần này, ta xét tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn Cơng cụ để tính phổ tín hiệu rời rạc khơng tuần hồn DTFT Để tính phổ tín hiệu, ta