www.VNMATH.com Lời nói đầu Lý thuyết giải tích h m đẹp đẽ v l chìa khoá để hiểu đợc môn học khác giải tích toán học Đối tợng giải tích h m cổ điển l không gian v toán tử tuyến tính liên tục Các kết tảng giải tích h m l nguyên lý giải tích h m bao gồm định lý Hahn-Banach, nguyên lý bị chặn Banach-Steinhauss, nguyên lý ánh xạ mở v định lý đồ thị đóng Giáo trình n y trình b y kiến thức giải tích h m Chơng I trình b y kiến thức không gian mêtric Các chơng II v III trình b y ngắn gọn không gian định chuẩn, không gian Banach v lý thuyết toán tử tuyến tính liên tục Chơng IV trình b y nguyên lý giải tích h m Chơng V trình b y tôpô yếu, toán tử liên hợp v toán tử compăc Cuối chơng VI trình b y lý thuyết không gian Hilbert v toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert Sau chơng có b i tập nhằm củng cố v nâng cao nội dung kiến thức đ trình b y Để hiểu đợc giáo trình n y, bạn đọc cần có số kiến thức tối thiểu không gian tôpô v đại số tuyến tính Chúng hy vọng giáo trình n y giúp bạn đọc trang bị đợc kiến thức cần thiết giải tích h m Các tác giả www.VNMATH.com Chơng I Không gian mêtric 1.1 Sự hội tụ Định nghĩa 1.1 Không gian mêtric l cặp (X, ), X l tập hợp, l h m số xác định X ì X ( : X ì X R) thoả m n điều kiện: 1) (x, y) (x, y X), (x, y) = x = y; 2) (x, y) = (y, x) (x, y X); 3) (x, z) (x, y) + (y, z) (x, y, z X); Các điều kiện 1), 2), 3) đợc gọi tơng ứng l tiên đề đồng nhất, đối xứng, tam giác;(x, y) l khoảng cách điểm x, y Ví dụ 1.1 Cho X = {a1, , an} R2 Ta xác định mêtric X nh sau: (ai, aj ) độ d i đoạn [ai, aj ] (i, j = 1, , n) (nh (ai, ai) = 0, i = 1, , n) Với mêtric , X l không gian mêtric Ví dụ 1.2 Tập số thực R v tập số phức C l không gian mêtric với: (x, y R C) (x, y) = |x y| Ví dụ 1.3 Không gian Ơclit Rk l không gian mêtric với: k |i i| (x, y) = 1/2 i=1 (x = (1, , k ), y = (1, , k ) Rk ) www.VNMATH.com Thật vậy, hiển nhiên thoả m n tiên đề 1), 2) Ta kiểm tra tiên đề 3) Lấy x = (1, , k ) Rk , y = (1, , k ) Rk v z = (1, , k ) Rk , ta có: k 2(x, z) = k |i i|2 |i i| + |i i| i=1 i=1 áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: k k |i i|2 |i i||i i| 1/2 i=1 i=1 k |i i|2 1/2 i=1 Vì vậy, k |i i| (x, z) 1/2 k |i i| + i=1 1/2 i=1 = [(x, y) + (y, z)]2 Ví dụ 1.4 C[a, b] l tập h m thực liên tục [a, b] Ta có C[a, b] l không gian mêtric với: (x, y) = sup |x(t) y(t)| (x, y C[a, b]) a t b Giả sử (X, ) l không gian mêtric, M X Khi đó, h m số M = |M ìM l mêtric M Định nghĩa 1.2 Không gian mêtric (M, M ) đợc gọi l không gian không gian mêtric (X, ); M đợc gọi l mêtric cảm sinh M Định nghĩa 1.3 D y {xn } không gian mêtric (X, ) đợc n=1 gọi l hội tụ đến xo X, lim (xn, xo) = Khi đó, ta viết n lim xn = xo xn xo; xo đợc gọi l giới hạn d y n www.VNMATH.com {xn} Nhận xét 1.1 D y hội tụ không gian mêtric có giới hạn Thật vậy, giả sử lim xn = a, lim xn = b Khi đó, n n (a, b) (a, xn) + (xn, b) (n) (a, b) lim (a, xn) + lim (xn, b) n n (a, b) = a = b Nhận xét 1.2 Nếu limn xn = a v limn yn = b, lim (xn, yn) = (a, b) n Thật vậy, với n, ta có : (a, b) (a, xn) + (xn, yn) + (yn, b) (a, b) (xn, yn) (a, xn) + (yn, b) Tơng tự, ta có: (xn, yn) (a, b) (a, xn) + (yn, b) |(xn, yn) (a, b)| (a, xn) + (yn, b) Vì vậy, Bởi lim (a, xn) = 0, v n điều cần chứng minh lim (yn, b) = 0, ta suy đợc n Ví dụ 1.5 Trong không gian R v C, ta có: lim xn = xo lim |xn xo| = n n www.VNMATH.com Đó l hội tụ giải tích cổ điển (n) (n) Ví dụ 1.6 Trong Rk , giả sử xn = (1 , , k ) (n = 1, 2, ) v (o) (o) xo = (1 , , k ) Khi đó, k |i(n) i(o)|2)1/2 = lim xn = xo lim ( n n i=1 lim i(n) = i(o) (i = 1, , k) n Vì thế, hội tụ Rk l hội tụ theo tọa độ Ví dụ 1.7 Trong không gian C[a, b], lim xn = xo d y h m n xn(t) hội tụ đến h m xo(t) [a, b] Thật vậy, lim xn = xo lim (xn, xo) = n n ( > 0, no, n no : (xn, xo) < ) ( > 0, no, n no, t [a, b] : |xn(t) xo(t)| < ) 1.2 Tập mở, tập đóng v ánh xạ liên tục Giả sử (X, ) l không gian mêtric, xo X, r > S(xo, r) = {x X : (x, xo) < r} đợc gọi l hình cầu mở tâm xo , bán kính r b) Tập S[xo, r] = {x X : (x, xo ) r} đợc gọi l hình cầu đóng tâm xo, bán kính r Định nghĩa 1.5 Giả sử A l tập không gian mêtric (X, ) Điểm xo đợc gọi l điểm A, tồn hình cầu S(xo, r) A Định nghĩa 1.6 Tập G đợc gọi l mở điểm G Định nghĩa 1.4 a) Tập l điểm Tập A đợc gọi l đóng G\A mở www.VNMATH.com Nhận xét 1.3 Hình cầu mở l tập mở Thật vậy, Lấy x S(xo , r), ta có: (xo, x) < r Vậy r (xo, x) > Lấy < < r (xo, x), u S(x, ), (xo, u) (xo, x) + (x, u) < (xo, x) + < r u S(xo, r) S(x, ) S(xo, r) Định lý 1.1 Họ tập mở đợc xây dựng theo định nghĩa 1.6 sinh tôpô không gian mêtric X Chứng minh a) Hiển nhiên, X v l mở b) Giả sử U1, U2 mở, ta chứng minh U1 U2 mở Thật vậy, x U1 U2 x Ui (i = 1, 2) ri > : S(x, ri) Ui (i = 1, 2) Đặt r = min(r1, r2), ta có: S(x, r) Ui (i = 1, 2) S(x, r) U1 U2 U1 U2 mở c) Giả sử {Ut}tT l họ tập mở X Ta chứng minh Ut mở Thật vậy, x U to T : x Uto tồn hình cầu S(x, r) Uto S(x, r) U U mở Vì vậy, họ tập mở xây dựng theo định nghĩa 1.6 sinh tôpô X Nhận xét 1.4 Tập A không gian mêtric X l mở x A, lân cận U x : U A Định lý 1.2 Giả sử F l tập không gian mêtric X Khi đó, F đóng {xn} F : lim xn = xo X xo F U= tT n Chứng minh a) Giả sử F đóng Phản chứng: {xn} F, lim xn = xo n www.VNMATH.com nhng xo F Ta có: / X\F mở S(xo, ) X\F lim (xn, xo) = (xn, xo) < n với n đủ lớn xn S(xo, ) với n đủ lớn xn X\F xn F với n đủ lớn (mâu thuẫn với / {xn} F ) b) Ngợc lại, giả sử với {xn } F : lim xn = xo xo n F Phản chứng: F không l tập đóng Khi đó, X\F không mở xo X\F không l điểm X\F n, xn S(xo, 1/n) : xn F Nh vậy, {xn} l d y phần tử F hội tụ đến xo F (vì (xo, xn) < 1/n) Mâu thuẫn với giả / thiết Với tập A X , ký hiệu A l bao đóng A Định lý 1.3 Giả sử A l tập không gian mêtric X Khi đó, x A {xn} A : lim xn = x n Chứng minh a) {xn} A : lim xn = x x A (định lý 1.2) n b) Ngợc lại, ta ý rằng: x A U lân cận x : U A = Giả sử x A n, S(x, 1/n) A = xn S(x, 1/n) A {xn} A, lim xn = x n Hệ 1.3.1 Giả sử A l tập không gian mêtric X Khi đó, A trù mật X x X, {xn} A cho lim xn = x n www.VNMATH.com Chứng minh Ap dụng Định lý 1.3 với A = X Giả sử (X, X ) v (Y, Y ) l không gian mêtric Định nghĩa 1.7 Anh xạ f : X Y đợc gọi l liên tục xo X, : > 0, > 0, x X : X (xo, x) < Y (f (x), f (xo)) < Nhận xét 1.5 f : X Y liên tục x {xn} X, lim xn = x lim f (xn) = f (x) n n Định nghĩa 1.8 Anh xạ f : X Y đợc gọi l liên tục đều, > 0, > cho x1, x2 X, X (x1, x2) < Y (f (x1), f (x2)) < Rõ r ng l f liên tục f liên tục Định nghĩa 1.9 Anh xạ f : X Y đợc gọi l đẳng cự, x1, x2 X, Y (f (x1), f (x2)) = X (x1, x2) X v Y đợc gọi l đẳng cự với tồn phép đẳng cự f từ X lên Y Định nghĩa 1.10 Nhận xét 1.6 a) f : X Y đẳng cự f liên tục b) Hai không gian mêtric đẳng cự l đồng phôi với 1.3 Không gian mêtric đầy đủ Giả sử (X, ) l không gian mêtric Định nghĩa 1.11 D y {xn} X đợc gọi l d y Côsi d y www.VNMATH.com bản, lim n,m (xn, xm) = 0, tức l : > 0, no, n no, m no : (xn, xm) < Nhận xét 1.7 Mọi d y hội tụ X l d y Côsi Thật vậy, lim xn = xo > 0, no, n no : (xn, xo) < /2 n no, m no : (xn, xm) (xn, xo) + (xm, xo) < /2 + /2 = Nhận xét 1.8 D y Côsi không hội tụ Chẳng hạn, Q l n không gian mêtric với mêtric: (x, y) = |x y| (x, y Q) Ta có xn = (1 + 1/n)n (n = 1, 2, ) l d y Cô si Q, nhng không hội tụ Q, lim xn = e R, nhng e Q (số / n e không l số hữu tỉ) Định nghĩa 1.12 Không gian mêtric X đợc gọi l đầy đủ d y Côsi X hội tụ Ví dụ 1.8 R v C l không gian mêtric đầy đủ Ví dụ 1.9 Không gian số hữu tỉ Q l không gian mêtric đầy đủ Ví dụ 1.10 Rk l không gian mêtric đầy đủ (n) (n) Thật vậy, giả sử xn = (1 , , k ) (n = 1, 2, ) l d y Côsi Rk Khi đó, lim n,m (xn, xm) = 0, tức l k |i(n) i(m)|2 lim n,m i=1 1/2 =0 www.VNMATH.com lim n,m |i(n) i(m)| = (i = 1, , k) (n) Vậy, {i } l d y Côsi R (o) đủ, i (o) (o) (1 , , k ), : lim i(n) n (i = 1, , k) Vì R đầy = i(o) (i = 1, , k) Đặt xo = ta có lim xn = xo , hội tụ Rk l hội tụ theo toạ độ n Ví dụ 1.11 C[a, b] l không gian mêtric đầy đủ Thật vậy, giả sử {xn } l d y Cô si C[a, b] Khi đó, > 0, no, n no, m no : (xn, xm) < sup |xn(t) xm(t)| < (n no, m no) a t b |xn(t) xm(t)| < (t [a, b], n no, m no) (1.1) với t cố định thuộc [a, b], {xn(t)} l d y Côsi R lim xn(t) = xo(t)(t [a, b]) n Nh vậy, ta đợc h m xo xác định [a, b] H m số xo l liên tục [a, b] v lim xn = xo C[a, b] n Thật vậy, (1.1) ta cố định n no v cho m : |xn(t) xo(t)| (t [a, b], n no) (1.2) Do d y h m {xn (.)} hội tụ đến xo(.) [a, b] Hơn nữa, h m xn (.) liên tục [a, b], xo(.) liên tục [a, b] Từ (1.2) suy ra: sup |xn(t) xo(t)| a t b 10 , www.VNMATH.com Khi đó, A Định lý 6.16 Giả sử A l toán tử dơng không gian Hilbert X Khi đó, |(Ax, y)| (Ax, x)(Ay, y) (x, y X) (6.31) Chứng minh Đặt [x, y] = (Ax, y) Khi đó, [x, y] l dạng song tuyến tính đối xứng dơng X áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta nhận đợc: |[x, y]|2 [x, x].[y, y] l (6.31) Hệ 6.16.1 Giả sử A l toán tử dơng không gian Hilbert X Khi đó, ||Ax||2 ||A||.(Ax, x) (x X) (6.32) Chứng minh Lấy y = Ax Từ (6.31) suy ra: ||Ax||4 (Ax, x)(A(Ax), Ax) (Ax, x).||A||.||Ax||2 = (6.32) Hệ 6.16.2 Giả sử A l toán tử dơng không gian Hilbert X, d y { xn } X thỏa m n (Axn, xn) Khi đó, Axn Chứng minh Từ (6.32) suy ra: ||Axn||2 ||A||.(Axn, xn) Vì vậy, (Axn , xn ) kéo theo Axn 6.4.3 Toán tử chiếu 183 www.VNMATH.com Giả sử X l không gian Hilbert, M l không gian đóng X Theo định lý 6.4, vectơ x X biểu diễn dứơi dạng: x = u + v (u M, v M ) (6.33) u đợc gọi l hình chiếu (trực giao ) x lên không gian đóng M Xét ánh xạ P ứng với x X với hình chiếu u x lên M Ta có P : X X với R(P ) = M Hiển nhiên, P l ánh xạ Định nghĩa 6.18 Vectơ tuyến tính Định nghĩa 6.19 ánh xạ P đợc gọi l toán tử chiếu, hay phép chiếu (trực giao ) không gian X lên không gian đóng M X Nhận xét 6.15 a) P liên tục v ||P || = Thật vậy, (6.33) ta có u v, cho nên: ||x||2 = ||u||2 + ||v||2 = ||P x||2 = ||u||2 ||x||2 = P liên tục v ||P || Mặt khác, u M, P u = u = ||P || = sup ||P u|| sup uX,||u||=1 ||P u|| uM,||u||=1 = ||u|| = sup uM,||u||=1 Vì vậy, ||P || = b) I P l toán tử chiếu lên không gian đóng M Thật vậy, từ (6.38) ta có: v = x u = x P x = (I P )x 184 www.VNMATH.com Ví dụ 6.8 Giả sử X l không gian Hilbert khả li, dim X = v { e1, e2, } l sở trực chuẩn đếm đợc X Ta xác định toán tử Pn : X X nh sau: n Pnx = (x, ei)ei i=1 Khi đó, Pn l toán tử chiếu lên không gian n chiều gây nên e1, , en Hiển nhiên l : P1 Pn = I, Pi+1 Pi l toán tử dơng (i = 1, , n 1) Ta có nghĩa l có: (x, ei)ei = x ( x X) lim Pnx = n i=1 = D y toán tử { Pn } hội tụ đơn giản đến I Với n = m, chẳng hạn n = m + p (p nguyên dơng), ta có: ||Pnem+1 Pmem+1|| = ||Pnem+1|| = ||em+1|| = = ||Pn Pm|| = (n = m) = D y { Pn } không hội tụ theo chuẩn đến I Định lý 6.17 Giả sử P l toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert X Khi đó, P l toán tử chiếu P = P , P = P đồng thời, P l toán tử chiếu lên không gian đóng M = R(P ) Chứng minh 185 www.VNMATH.com a) Điều kiện cần Giả sử P l toán tử chiếu lên không gian đóng M Ta chứng minh P = P , P = P ? Lấy x, y thuộc X Giả sử: x = u + v, y = z + w (u, z M; v, w M ) = (P x, y) = (u, z + w) = (u, z) = (u + v, z) = (x, P y) = P = P Với x X, ta có: P 2x = P (P x) = P u = u = P x = P = P b) Điều kiện đủ Giả sử P = P , P = P Trớc hết ta chứng minh không gian tuyến tính M = R(P ) X l đóng ? Lấy u M Khi đó, tồn d y { un } M hội tụ đến u Do un R(P ), nên un = P vn(vn X) = un = P = P 2vn = P (P vn) = P un = u = P u(n ) = u R(P ) = M = M đóng Mặt khác, toán tử tuyến tính liên tục Q = I P thỏa m n điều kiện Q = Q , Q2 = Q? Thật vậy, Q = I P = I P = Q; Q2 = (I P )2 = I 2P + P = I 2P + P = Q Do đó, theo chứng minh N = R(Q) l không gian đóng X Với x, y X, ta có: (P x, Qy) = (QP x, y) = ((I P )P x, y) = ((P P 2)x, y) = ((P P )x, y) = 186 (6.34) www.VNMATH.com Bởi x, y chạy khắp X, P x, Qy chạy khắp M, N (tơng ứng), từ (6.34) suy M N Hơn nữa, với x X, x = P x + (I P )x = P x + Qx (P x M, Qx N ) Do đó, X = M N v P, Q l toán tử chiếu lên M, N (tơng ứng) Định lý 6.18 Giả sử M1, M2 l không gian đóng không gian Hilbert X, P1 v P2 l toán tử chiếu lên M1 v M2 (tơng ứng) Khi đó, mệnh đề sau l tơng đơng: (i) M1 M2; (ii) P1P2 = họăc P2P1 = 0; (iii) P1 + P2 l toán tử chiếu đồng thời, P1 + P2 l toán tử chiếu lên M1 M2 Chứng minh (i) = (ii) : Giả sử M1 M2.Lấy x X Do P1x M1, nên P1x có hình chiếu M2, tức l P2 P1x = = P2P1 = = P1P2 = P1P2 = (P2P1) = (ii) = (i) : Giả sử P2P1 = Lấy u M1, v M2 Khi đó: u = P1u, v = P2v = (u, v) = (P1u, P2v) = (P2P1u, v) = (0, v) = = M1 M2 (ii) = (iii) : Giả sử P2P1 = Khi đó: P1P2 = P1P2 = (P2P1) = = (P1 + P2)2 = P12 + P1P2 + P2P1 + P22 = P12 + P22 = P1 + P2 187 (6.35) www.VNMATH.com Hiển nhiên P1 + P2 l toán tử tự liên hợp Vì vậy, P1 + P2 l toán tử chiếu (iii) = (ii) : Giả sử P1 + P2 l toán tử chiếu Khi đó, (6.35) Do đó, P1P2 + P2P1 = (6.36) Nhân P1 bên trái với hai vế (6.36), ta nhận đợc: P1P2 + P1P2P1 = (6.37) Nhân P1 bên phải với hai vế (6.37), ta nhận đợc: P1P2P1 = = P2P1 = (do (6.37)), tức l (ii) Bây ta giả sử có ba điều kiện (i), (ii) v (iii), chẳng hạn M1 M2 đặt M := M1 M2 Gọi P l toán tử chiếu lên M Khi đó, với x X, ta có: x = P x + (I P )x Bởi P x M, cho nên: P x = u + v (u M1, v M2) = x = u + v + (I P )x Vì v M1 v (I P ) x M1 , nên v + (I P )x M1 Do đó, u l hình chiếu x lên M1, tức l u = P1x Tơng tự, ta có v = P2x Vì vậy, P x = P1x + P2x (x X) 188 www.VNMATH.com = P = P1 + P2, tức l P1 + P2 l toán tử chiếu lên M1 M2 Định lý 6.19 Giả sử M1, M2 l không gian đóng không gian Hilbert X, P1 v P2 l toán tử chiếu lên M1 v M2 (tơng ứng) Khi đó, mệnh đề sau l tơng đơng: )M1 M2; )P1P2 = P1, họăc P2P1 = P1; )P1 P2, tức l P2 P1 l toán tử dơng; )P2 P1 l toán tử chiếu Đồng thời, P2 P1 l toán tử chiếu lên M1 M1 l phần bù trực giao M1 M2 Chứng minh ) = ) : Giả sử M1 M2 Ký hiệu M := M1 M2 Gọi P l toán tử chiếu X lên M Do M M1, M2 = M M1, theo định lý 6.18, ta có: P1P = 0, P2 = P + P1 = P1P2 = P1(P + P1) = P1P + P12 = P1 = P1 = P1 = (P1P2) = P2P1 ) = ) : Giả sử P1P2 = P1 Khi đó, với x X, (P1x, x) = (P12x, x) = (P1x, P1x) = ||P1x||2 = ||P1P2x||2 ||P1||2.||P2x||2 = ||P2x||2 = (P2x, x) = P1 P2 ) = ) : Giả sử P1 P2 Lấy x M1, ta có P1x = x, v ||x||2 = ||P1x||2 ||P2x||2 189 ||x||2 www.VNMATH.com = ||x||2 = ||P2x||2 = Q2x = 0, Q2 := I P2 l toán tử chiếu lên M2 = x M2 = M1 M2 ) = ) : Dùng ký hiệu nh chứng minh ) = ), ta có P = P2 P1 l toán tử chiếu lên M = M2 M1 ) = ): Giả sử P = P2 P1 l toán tử chiếu Do P1 + P = P2 l toán tử chiếu, theo định lý 6.18, ta có: P1P = Vì vậy, P1P2 = P1(P1 + P ) = P12 + P1P = P1 6.4.4 Toán tử đẳng cự v toán tử unita Giả sử X, Y l không gian Hilbert Định nghĩa 6.20 Toán tử tuyến tính V : X Y đợc gọi l đẳng cự, nếu: ||V x|| = ||x|| (x X) Định nghĩa 6.21 Toán tử tuyến tính U : X Y đợc gọi l Unita, U l ánh xạ lên, v U l ánh xạ đẳng cự, tức l : ||Ux|| = ||x|| (x X) Ví dụ 6.9 Giả sử X, Y l không gian Hilbert khả li, { e1, e2, } v { f1 , f2, } l sở trực chuẩn X v Y (tơng ứng) Ta xác định ánh xạ V : X Y nh sau: nen V x = x= n=1 nfn+1 n=1 Khi đó, V l toán tử đẳng cự, ||V x||2 = |n|2 = ||x||2 n=1 190 www.VNMATH.com V l toán tử Unita, V không l ánh xạ lên (phần tử f1 Y không l ảnh phần tử n o X ) Định lý 6.20 Giả sử X, Y l không gian Hilbert, V : X Y l toán tử tuyến tính Khi đó, mệnh đề sau l tơng đơng: (i) V l toán tử đẳng cự ; (ii) V liên tục v V V = IX , IX l toán tử đồng X ; (iii) V bảo to n tích vô hớng, tức l (V x1, V x2) = (x1, x2) (x1, x2 X) (6.38) Chứng minh (i) = (ii) : Giả sử V l toán tử đẳng cự Khi đó, với x X, (V V x, x) = (V x, V x) = ||V x||2 = ||x||2 = (x, x) = (IX x, x) Bởi V V v IX l toán tử dơng, V V = IX (ii) = (iii) : Giả sử V liên tục v V V = IX Khi x1, x2 X, (V x1, V x2) = (V V x1, x2) = (IX x1, x2) = (x1, x2) (iii) = (i) : Giả sử (6.38) Lấy x1 = x2 = x, từ (6.38) suy ra: ||V x|| = ||x|| Định lý 6.21 Giả sử X, Y l không gian Hilbert, U : X Y l toán tử tuyến tính Khi đó, mệnh đề sau l tơng đơng: (i) U l toán tử Unita; 191 www.VNMATH.com (ii) U l phép đẳng cấu X lên Y ; (iii) U liên tục, U U = IX v UU = IY ; (iv) U liên tục v U = U Chứng minh (i) = (ii) : Giả sử U l toán tử Unita Khi đó, U l toán tử đẳng cự từ X lên Y Theo định lý 6.20, U bảo to n tích vô hớng Vì U bảo to n chuẩn, nên U l ánh xạ - Do đó, U l song ánh Vì vậy, U l phép đẳng cấu X lên Y (ii) = (iii) : Giả sử U l phép đẳng cấu X lên Y Khi đó, U l song ánh, bảo to n tích vô hớng Theo định lý 6.20, U liên tục v U U = IX Với y1, y2 Y, tồn x1, x2 X cho Ux1 = y1, U x2 = y2 Do đó, (U 1y1, U 1y2) = (U 1U x1, U 1U x2) = (x1, x2) = (Ux1, U x2) = (y1, y2) Vì vậy, U l toán tử đẳng cự Y lên X, tức l U l toán tử unita Do đó, (U )1U = (U 1)U = IY = U = U = U = (U )1 = U U = IY (iii) = (iv) : Giả sử U liên tục, U U = IX v UU = IY Khi đó, U = U (iv) = (i) : Giả sử U liên tục, U = U Khi đó, U l song ánh, v U U = U 1U = IX Theo định lý 6.20, U l toán tử dơng đẳng cự Vì vậy, U l toán tử Unita 192 www.VNMATH.com Hệ 6.21.1 Giả sử X, Y l không gian Hilbert khả li, U l toán tử Unita từ X lên Y, Khi đó: ){ e1, e2, } l sở trực chuẩn đếm đợc X = { U e1, U e2, } l sở trực chuẩn đếm đợc Y ){ f1, f2, } l sở trực chuẩn đếm đợc Y = { U f1, U f2 } l sở trực chuẩn đếm đợc X B i tập 6.1 Giả sử [a, b] l đoạn hữu hạn Chứng minh C[a, b] với tích vô hớng: b x(t)y(t)dt (x, y C[a, b]) (x, y) = a không gian tiền Hilbert, v l không gian Hilbert X l không gian tiền Hilbert, tập M X Gọi [M] l không gian đóng X gây nên M Chứng minh rằng: x M = x [M ] ? 6.3 Giả sử M l tập không gian Hilbert X, [M ] l không gian đóng X gây nên M Chứng minh rằng: 6.2 Giả sử [M ] = X M = { } 6.4 Giả sử X l không gian Hilbert, M l không gian tuyến tính X Chứng minh M l trù mật X v M = { } 6.5 Giả sử X l không gian Hilbert, x0 X Xét phiếm h m f (x) = (x, x0) Chứng minh f l phiếm h m tuyến tính 193 www.VNMATH.com X có chuẩn ||f || = ||x0|| 6.6 Giả sử X, Y l không gian Hilbert trờng số phức C, A : X Y l toán tử tuyến tính liên tục Chứng minh rằng: (A) = A ( C) X l không gian Hilbert khả li, { e1, e2, } l yếu sở trực chuẩn đếm đợc X Chứng minh en 0, v { en } không hội tụ theo chuẩn đến 6.8 Giả sử K(t, s) L2 ([a, b] ì [a, b]), A l toán tử tích phân với hạch K(t, s) : 6.7 Giả sử b K(t, s)x(s)ds (x L2[a, b]) (Ax)(t) = a Chứng minh để A = A, điều kiện cần v đủ l : K(t, s) = K(s, t) (hầu khắp nơi hình vuông { a t, s b }) 6.9 Giả sử M l không gian đóng không gian Hilbert X, P l toán tử chiếu X lên M Chứng minh P l toán tử dơng 6.10 Giả sử M1, M2 l không gian đóng không gian Hilbert X đặt: M = M1 M2, N1 = M1 M, N2 = M2 M Gọi P, P1, P2 l toán tử chiếu lên M, M1, M2 (tơng ứng) Chứng minh mệnh đề sau l tơng đơng: a) N1 N2; b) P1 P2 = P2 P1; c) P1 P2 l toán tử chiếu lên M 194 www.VNMATH.com Tài liệu tham khảo A.N Kolmogorov, X.V Fomin, Cơ sở lý thuyết h m v giải tích h m (Bản dịch tiếng Việt), Nh xuất Giáo dục, 1971 Phan Đức Chính, Giải tích h m, Tập I, Nh xuất Đại học v Trung học chuyên nghiệp, 1978 Đỗ Văn Lu, Tôpô đại cơng, Nh xuất Khoa học v Kỹ thuật,1998 Đỗ Văn Lu, Giải tích h m, Nh xuất Khoa học v Kỹ thuật, 1999 Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cơng, độ đo v tích phân, Nh xuất Giáo dục, 1994 195 www.VNMATH.com Mục lục Trang Lời nói đầu Chơng 1: Không gian mêtric 1.1 Sự hội tụ 1.2 Tập mở, tập đóng v ánh xạ liên tục 1.3 Không gian mêtric đầy đủ 1.4 Tập compăc 17 1.5 Tôpô sinh mêtric 27 1.6 ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ 28 B i tập 30 Chơng 2: Không gian định chuẩn 33 2.1 Không gian tôpô tuyến tính 33 2.2 Không gian lồi địa phơng 34 2.3 Không gian định chuẩn 36 2.4 Một số ví dụ 41 2.5 Không gian Banach 44 B i tập 55 Chơng 3: Toán tử tuyến tính liên tục v không gian liên hợp 58 3.1 Toán tử tuyến tính 58 3.2 Toán tử tuyến tính liên tục 62 3.3 Không gian liên hợp 70 3.4 Toán tử ngợc v phổ 76 3.5 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 82 3.6 Liên hợp không gian c0 , lp, Lp[0, 1] 88 B i tập 90 196 www.VNMATH.com Chơng 4: Các nguyên lý giải tích h m 94 4.1 Định lý Hahn-Banach 94 4.2 Nguyên lý bị chặn Banach-Steinhauss 102 4.3 Nguyên lý ánh xạ mở 108 4.4 Định lý đồ thị đóng 111 B i tập 113 Chơng 5: Tôpô yếu v toán tử compắc 116 5.1 Không gian phản xạ v toán tử liên hợp 116 5.2 Tôpô yếu 123 5.3 Toán tử compắc 134 5.4 Phổ toán tử compắc 143 B i tập 149 Chơng 6: Không gian Hilbert 151 6.1 Không gian Hilbert 151 6.2 Khai triển trực giao 157 6.3 Không gian liên hợp 172 6.4 Toán tử tuyến tính liên tục 176 B i tập 193 T i liệu tham khảo 195 197