ĐOÀN TRÍ DŨNG KÍNH LÚP TABLE TẬP 7: PHƢƠNG PHÁP NGHIỆM BỘI KÉP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Follow excellence success will chase you! ĐỪNG BAO GIỜ ĐỂ NHỮNG GIẤC MƠ MÃI MÃI CHỈ LÀ NHỮNG GIẤC MƠ NHÉ, CÁC EM! I Giới thiệu phương pháp: Giả sử toán có điều kiện: f  a   f  b  f  c  k Khi đó: Nếu muốn tìm giá trị nhỏ P  g  a   g  b   g  c  , ta tìm hệ số g  a   f  a       ,  cho:  g  b    f  b     Khi đó: P   k    g c    f c      Nếu muốn tìm giá trị lớn P  g  a   g  b   g  c  , ta tìm hệ số g  a   f  a       ,  cho:  g  b    f  b     Khi đó: P   k    g c    f c       g  x    f x     x   Để tìm hệ số  ,  , ta giải hệ :   g x  f x   '       x   Trong đó,  giá trị điểm rơi toán cần tìm   Ta gọi hệ hệ đánh giá hệ số nghiệm bội Để chứng minh đánh giá trên, ta sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng: g  x   f  x     x    h  x Chú ý: Phƣơng pháp tiếp tuyến dạng phƣơng pháp II Bài tập ví dụ:  a2 b2 c2    Tìm giá trị nhỏ của: a1 b1 c 1 a3 b3 c3 P   a  a1 b b1 c c 1 Phân tích a  b  c  1  Điểm rơi:  Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  cho: Ví dụ: Cho a, b, c    x2     0  x 1 x2  x    Nghiệm hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    ,   9 x3 Bài giải    x  x   x  1 x2 Ta có: f  x       0x  x  x   x  1 9 x  x   x  1 x3   a2 b2 c2  Do đó: P  f  a   f  b   f  c        a 1 b1 c 1   2  8 a b c P      P 1  a 1 b1 c 1  9  Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Vậy giá trị nhỏ của P a  b  c  III Bài tập áp dụng:  a b c    Tìm giá trị nhỏ của: a2 b2 c2 a2 b2 c2 P   a1 b1 c 1 Phân tích Điểm rơi: a  b  c      Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  cho:  Nghiệm hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    Bài 1: Cho a, b, c   x  x2    0 x1 x2 27 ,  8 Bài giải x2 27  x   x  10  x  1 Ta có: f  x      0, x    x1  x  8  x  1 x   Do đó: P  f  a   f  b  f  c  P 27  a b c  15      a2 b c 2 27  a b c  15   P   a2 b2 c2 Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Vậy giá trị nhỏ của P a  b  c  Bài 2: Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ : P  a3  b3  c   a  1 a    b  1 b    c  1 c   Phân tích Điểm rơi: a  b  c      Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  cho: x3   x  1 x    x     Nghiệm hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:   1,   Bài giải  Ta có: f  x   x3   x  1 x   x   x  1 x2  x  x    x   x   x  3   x     x      x   x   x    0x    x  1   x3 2 Do đó: P  f  a  f  b  f  c   a  b  c  Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Vậy giá trị nhỏ của P a  b  c  Bài 3: Cho a, b, c  a2  b2  c  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ của: a4 P  b4  c4  a  b2  c  Phân tích Điểm rơi: a  b  c      Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  cho:  1 Nghiệm hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    ,   2 Bài giải  x4 x2      x2  x     2  x  1 x  x   x x    0, x  Ta có: f  x   2 x 1 2 x2  x4   Do đó: P  f  a  f  b  f  c      3 a  b2  c2  a  b  c   2 Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Vậy giá trị nhỏ của P a  b  c  Bài 4: Cho a, b, c  a2  b2  c  ab  bc  ca  Tìm giá trị lớn  a  b    b  c    c  a biểu thức: P  2 2  a  b    b  c    c  a   3 Phân tích Biến đổi lại điều kiện biểu thức:  a  b   b  c   c  a 2  12  Điểm rơi: a  b  b  c  c  a      Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  cho:  Nghiệm hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    Bài giải  x3 2x     x2    11 28 ,   81 81 22x  x   x  2 11 28  x    0, x  Ta có: f  x   81 x  81 81 x  x3  P  f  a  b  f b  c   f c  a  Đẳng thức xảy a  b  c      2 11 28  a  b   b  c   c  a   27  81 Kết luận: Vậy giá trị lớn của P a  b  c  Bài 5: Cho a, b, c  abc  Tìm giá trị nhỏ : P a3  b3  c3   a2  a  b2  b  c  c  Phân tích Biến đổi lại điều kiện biểu thức: abc   ln a  ln b  ln c  Điểm rơi: a  b  c      Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  cho: x3 x2  x    ln x    Nghiệm hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    ,    3 Bài giải x3  ln x  , với x   0;   Khi ta có: Xét: f  x   x  x1  f ' x   x2 x2  x  x   x1     x  1  3x 3x  x  12 x  x     x2  x  x Sử dụng khảo sát bảng biến thiên hàm số ta f  x   f 1  Vậy: P  f  a   f b   f c    lna  lnb  ln c    Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Vậy giá trị nhỏ của P a  b  c      Bài 6: Cho a, b, c  a2  b2  c   27 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a3  b3  c3  a2  b2  c2 Phân tích  Biến đổi lại điều kiện biểu thức: a           b2  c   27  ln a2   ln b2   ln c   3ln  Điểm rơi: a  b  c      Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  cho: x3  x2   ln x2      Nghiệm hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:      15 15ln ,  2 2 Bài giải 15 15ln Xét: f  x   x  x  ln x    , với x   0;   Khi ta có: 2   15x  3x   P  f  a  f b  f c     f '  x   3x  x    5x  11x  x  1  f ' x   x  x2  x2  Sử dụng khảo sát bảng biến thiên hàm số ta f  x   f 1       15 45ln ln a2   ln b2   ln c    2  P  Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Vậy giá trị nhỏ của P a  b  c  Bài 7: Cho a, b, c  a2  b2  c  a  b  c Tìm giá trị lớn biểu     thức: P  a2  b2  c  Phân tích       Biến đổi lại biểu thức: ln P  ln a2   ln b2   ln c    Điểm rơi: a  b  c      Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  cho: ln x2    x2  x     Nghiệm hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:   1,    ln2 Bài giải    2x  2x          Xét: f  x   ln x2   x  x  ln , với x   0;   Khi ta có: f ' x    x   x  1  f ' x   x  x2  x2  Sử dụng khảo sát bảng biến thiên hàm số ta f  x   f 1  2x    ln P  f  a   f  b   f  c   a2  b2  c  a  b  c  3ln  ln8  P  Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Vậy giá trị lớn của P a  b  c  Bài 8: Cho a, b, c  a  b  c  Tìm giá trị lớn : P a3 a2   b  c   b3 b2   c  a   c3 c2   a  b  Phân tích a3 b3 c3   Biến đổi lại biểu thức: P  2 a2    a  b2    b  c2  3  c   Điểm rơi: a  b  c      Đánh giá cần tìm: Chọn  ,  cho:  Nghiệm hệ đánh giá hệ số nghiệm bội:    x3 x2    x  x    17 12 ,  25 25 Bài giải Xét: f  x   x2    x   x  12  x  1 17 12  x   0x   0;  25 25 25 x2  x  x3   Khi đó: P  f  a   f  b  f  c  17  a  b  c  36  25 25 Đẳng thức xảy a  b  c  Kết luận: Vậy giá trị lớn của P a  b  c 