ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM MẠNH HÙNG ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM MẠNH HÙNG ĐA TẠP QUÁN TÍNH XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS CUNG THẾ ANH Hà Nội - Năm 2014 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phát biểu toán biên ban đầu hệ Navier-Stokes 1.2 Các không gian hàm toán tử 1.2.1 Các không gian hàm 1.2.2 Các toán tử 1.3 Một số kết hệ phương trình Navier-Stokes 11 1.3.1 Sự tồn nghiệm 11 1.3.2 Sự tồn tập hút toàn cục 14 1.3.3 Tính ổn định nghiệm dừng 16 1.3.4 Đánh giá số chiều tập hút toàn cục 18 Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình Navier-Stokes ứng dụng 24 2.1 Đặt vấn đề 24 2.2 Đa tạp quán tính xấp xỉ Hm 25 2.3 Đa tạp quán tính xấp xỉ M0 28 2.3.1 Phương trình đa tạp 28 2.3.2 Các đánh giá khoảng cách quỹ đạo tới M0 30 2.3.3 Ví dụ minh họa 31 MỤC LỤC Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS TS Cung Thế Anh Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, xin gửi tới thầy cô công tác Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa Cao học 2011 - 2013 lời cảm ơn chân thành công lao dạy dỗ thời gian học tập trường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người cổ vũ, động viên suốt trình học tập làm luận văn Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2014 Học viên Phạm Mạnh Hùng Lời nói đầu Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, không khí, dầu mỏ, điều kiện tương đối tổng quát Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng, miêu tả dòng chảy chất lỏng lí tưởng, nhớt, không nén hệ phương trình Navier-Stokes Hệ phương trình Navier-Stokes xây dựng từ định luật bảo toàn khối lượng, động lượng có dạng:   ∂u − ν∆u + (u · )u + p = f (x, t) x ∈ Ω, t > 0, ∂t (1)  u = x ∈ Ω, t > 0, đó, u = u(x, t); p = p(x, t) tương ứng hàm vectơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, số ν > hệ số nhớt f ngoại lực Khi nghiên cứu phương trình hệ phương trình học chất lỏng, dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian dần vô nội dung quan trọng cần nghiên cứu cho phép dự đoán xu hướng phát triển hệ tương lai, từ có điều chỉnh thích hợp để đạt mục đích mong muốn Dáng điệu tiệm cận nghiệm thường nghiên cứu cách sử dụng lí thuyết tập hút tình đơn giản nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng (xem [10]) Tuy nhiên, tập hút toàn cục thường có cấu trúc hình học phức tạp không ổn định nhiễu; không thật phù hợp cho vấn đề xấp xỉ số dáng điệu nghiệm thời gian lớn Bên cạnh đó, lí thuyết đa tạp quán tính (là đa tạp Lipschitz hữu hạn chiều, bất biến hút mũ quỹ đạo) công cụ quan trọng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng tiêu hao (xem[1, 3]) Đa tạp quán tính, tồn tại, chứa tập hút toàn cục chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ xét; nói riêng qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ xét nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hệ rút gọn đa tạp quán tính, hệ hữu hạn chiều Tuy nhiên, phương Lời nói đầu pháp kiến thiết đa tạp quán tính biết yêu cầu điều kiện kẽ hở phổ đủ lớn, tức khoảng cách hai giá trị riêng liên tiếp phải đủ lớn Mặc dù điều kiện đủ, điều kiện ngặt nhiều phương trình quan trọng vật lí toán không thỏa mãn Cho đến nay, tồn đa tạp quán tính hệ phương trình NavierStokes hai chiều câu hỏi mở Tuy nhiên, dựa lí thuyết đa tạp quán tính, Foias-Manley-Temam xây dựng đa tạp quán tính xấp xỉ M0 cho hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều Đa tạp quán tính xấp xỉ tập hút toàn cục tốt so với sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ thông thường Hm (là đa tạp tuyến tính), nhận cách sử dụng phương pháp Galerkin cổ điển Luận văn trình bày kết tồn đa tạp quán tính xấp xỉ M0 hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều ứng dụng vấn đề xấp xỉ nghiệm Nội dung luận văn dựa báo [2, 11] Danh mục tài liệu tham khảo Ngoài lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kết tồn nghiệm yếu tập hút toàn cục hệ phương trình Navier-Stokes Ta biết tồn tập hút toàn cục với số chiều fractal hữu hạn điều kiện cần để tồn đa tạp quán tính Chương 2: Đa tạp quán tính xấp xỉ hệ phương trình NavierStokes ứng dụng Trong chương này, trước hết dựa phương pháp Galerkin cổ điển, trình bày dáng điệu dòng xoáy nhỏ hệ phương trình NavierStokes cách sử dụng đa tạp quán tính xấp xỉ Hm Tiếp theo, trình bày đa tạp quán tính xấp xỉ M0 đưa ước lượng khoảng cách quỹ đạo đến đa tạp Cuối trình bày ví dụ minh họa cho tính ưu việt đa tạp M0 so với đa tạp Hm Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kết cổ điển tồn nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn Các kết chương dựa theo [9, 10] 1.1 Phát biểu toán biên ban đầu hệ Navier-Stokes Giả sử Ω miền bị chặn R2 với biên ∂Ω trơn Xét toán biên ban đầu hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều:   ∂u − ν∆u + (u · )u + p = f, x ∈ Ω, t > 0,   ∂t    ·u=0 x ∈ Ω, t > 0, (1.1) u(x, t) =  x ∈ ∂Ω, t > 0,    u(x, 0) = u (x) x ∈ Ω, u = (u1 , u2 )T hàm vectơ vận tốc, p : Ω → R hàm áp suất, số ν > hệ số nhớt 1.2 Các không gian hàm toán tử Trong mục ta giới thiệu không gian hàm toán tử thường dùng nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes 1.2.1 Các không gian hàm Kí hiệu: ∞ V = {u ∈ (C0 (Ω))2 : · u = 0} Chương Kiến thức chuẩn bị Để nghiên cứu toán (1.1), ta xét không gian hàm sau: V =V (H0 (Ω))2 H=V (L2 (Ω))2 = {u ∈ (H0 (Ω))2 : bao đóng V (H0 (Ω))2 , · u = 0} bao đóng V (L2 (Ω))2 Khi H V không gian Hilbert với tích vô hướng là: u · vdx = (u, v) = (u, v)H = Ω ui vi dx, i=1 Ω 2 ui · ((u, v)) = (u, v)V = Ω vi dx = Ω i,j=1 i=1 ∂ui ∂vi dx, ∂xj ∂xj u = (u1 , u2 )T , v = (v1 , v2 )T Gọi H ⊥ phần bù trực giao H (L2 (Ω))2 Từ kết Temam [8], ta có H ⊥ = {u ∈ (L2 (Ω))2 : u = gradp, p ∈ H (Ω)} Gọi V không gian đối ngẫu V Ta kí hiệu |.|, chuẩn H V , ∗ chuẩn V 1.2.2 Các toán tử ∗ Toán tử A: Giả sử A : V → V toán tử xác định Au, v = ((u, v)), ∀u, v ∈ V Kí hiệu D(A) miền xác định A, ta có: D(A) = {u ∈ H : Au ∈ H} = (H (Ω))2 ∩ V Dễ thấy A toán tử tuyến tính không bị chặn, tự liên hợp, xác định dương có nghịch đảo A−1 : H → D(A) compact phép nhúng H0 (Ω) → L2 (Ω) compact Do đó, phổ A gồm toàn giá trị riêng {λi }∞ với i=1 < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λn ≤ , λn → +∞ n → +∞, hàm riêng tương ứng {wj }∞ ⊂ D(A) lập thành sở trực chuẩn j=1 H Ta có: |φ|L∞ (Ω)2 ≤ c2 φ + log |Aφ|2 λ φ 2 , ∀φ ∈ D(A) (1.2) Chương Kiến thức chuẩn bị ∗ Toán tử B : Đặt ui b(u, v, w) = i,j=1 Ω ∂vj wj dx ∂xi Khi đó, b(., , ) dạng 3-tuyến tính liên tục (H0 (Ω))2 , hay nói riêng V Chứng minh |b(u, v, w)| = Ω i,j=1 ∂vj ui wj dx ≤ ∂xi ≤C u L4 v |ui |4 dx i,j=1 w H0 L4 Ω ∂vj | dx ∂xi Ω ≤C u H0 v H0 |wj |4 dx Ω w H0 , ta sử dụng phép nhúng H (Ω) → L4 (Ω) Ngoài ra, ta có b(u, v, w) = −b(u, w, v) ∀u, v, w ∈ V Nói riêng ∀u, v ∈ V b(u, v, v) = 0, Bổ đề 1.2.1 (Bất đẳng thức Laydyzhenskaya n = 2) Với tập mở Ω ⊂ R2 , ta có: ν L4 (Ω) ≤ 24 ν ν L2 (Ω) L2 (Ω) , ∀ν ∈ H0 (Ω) (1.3) ∞ Chứng minh Vì C0 (Ω) trù mật H0 (Ω) nên ta cần chứng minh (1.3) ∞ ∞ với ν ∈ C0 (Ω) Với ν ∈ C0 (Ω), ta có x1 ν (x) = ν(ξ1 , x2 ) ∂ν (ξ2 , x2 )dξ1 ∂x1 −∞ Suy ν (x) ≤ 2ν1 (x2 ), +∞ |ν(ξ1 , x2 )| ν1 (x2 ) = ∂ν (ξ1 , x2 ) dξ1 ∂x1 −∞ Tương tự, ta có ν (x) ≤ 2ν2 (x1 ), với +∞ |ν(x1 , ξ2 )| ν2 (x1 ) = −∞ ∂ν (x1 , ξ2 ) dξ2 ∂x1 Tài liệu tham khảo [1] P Constantin, C Foias, B Nicolaenko and R Temam (1988), Integral Manifolds and Inertial Manifolds for Dissipative Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York [2] C Foias, O Manley and R Temam (1988), Modelling of the interation of small and large eddies in two dimentional turbulent flows, RAIRO Modél Math Anal Numér 22, 93-118 [3] C Foias, G R Sell and R Temam (1988), Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations, J Differential Equations, 309-353 [4] B García-Archilla, J Novo and E Titi (1999), An approximate inertial manifolds approach to postprocessing the Galerkin method for the NavierStokes equations, Math Comp 68, 893-911 [5] A.A Ilyin (1993), Lieb-Thirring inequalitices on the N -sphere and in the plane, and some applications, Proc Lond Math Soc 67, 159-182 [6] L.G Margolin, E Titi and S Wynne (2003), The postprocessing Galerkin and nonlinear Galerkin methods – a truncation analysis point of view, SIAM J Numer Anal 41, 695-714 [7] G Metivier (1978), Valeurs propres d’opérateurs definis par la restriction de systèmes variationels a des sous-espaces, J Math Pures Appl 57, 133-156 [8] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations Theory and Numerical Analysis, 2ndedition, Amsterdam: North-Holland [9] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, SIAM Philadelphia [10] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag [11] E Titi (1990), On approximate inertial manifolds to the Navier-Stokes equations, J Math Anal Appl 149, 540-557 34