Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Võ lâm bí tịch Oxy Cửu âm chân kinh Version 1.0 Chuyên đề đặc biệt I, Giới thiệu: Đa số em gặp trở ngại cày hình Oxy, em xem giảng, nghe thầy cô giảng hiểu bắt tay vào làm lại không làm được, phần em chưa nắm vững kiến thức bản, phần chưa biết cách tư Có nhiều em lại nói với anh lúc làm dễ mà thi lại khó lại phải kẻ vẽ thêm đường phụ, lý đâu ? Nhiều em làm tốt Oxy sau đọc xong chuyên đề hệ phương trình ver 2.1 anh lại cho Oxy khó hệ, muốn anh chia sẻ kinh nghiệm làm toán Ở bí kíp này, anh tập chung dậy em tư Oxy mấu chốt toán, giải chi tiết cho em 100 không định hướng để em tự làm bài, mạng tài liệu giải chi tiết nhiều, sách có nhiều vài trăm trang… thử hỏi đọc xong em lĩnh hội ? Ở bí kíp anh muốn chia sẻ cách làm Oxy không không gây khó cho em Anh lang thang nhiều diễn đàn xem thầy tiếng, anh thấy tài liệu tổng hợp phương án hay mạng, chưa có viết Anh không nổ đâu nhé, không lại đổi tên anh thành BLực ( Boom Lực tội anh, keke gọi anh Thế Lực BK tức anh Lực chuyên viết Bí Kíp hay anh Lực học Bách Khoa được, hehe ) II, Đặt vấn đề Trước nói nội dung anh trình bày anh xin nhắc lại số kiến thức bản: Hình Oxy ta có đối tượng quan trọng : Điểm; đường thẳng; đường tròn, elip… Các đối tượng hoàn toàn xác định ta biết điều kiện nó, thường toán cho ta sẵn kiện, ta phải tự tìm kiện lại thông qua kiện lại phải thông qua bổ đề vuông góc, nhau, song song Yêu cầu toán Tìm điểm, đường thẳng, đường tròn, elip… +Nếu tìm điểm tác giả cho sẵn thuộc đường thẳng hay đường tròn quan hệ độ dài +Nếu tìm đường thẳng cho vtcp vtpt tọa độ điểm +Nếu tìm đường tròn đa phần có biểu thức quan hệ độ dài hay khoảng cách để em tính bán kính Sau có kiện việc lại giải phương trình Bổ đề vuông góc, song song, Các em tiền hành xử lý, sử dụng công thức góc, khoảng cách, tham số hóa tọa độ điểm đề cho đường thẳng qua điểm đó… Mọi thứ đề tìm thêm mối liên hệ Dữ kiện toán Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt Đó tư để giải Oxy, từ kiện lên anh nói thẳng có đường cho em đa phần em lạc lối Giống sau: Cùng mục tiêu đỗ đại học có đường + Chăm học  học làm chăm  Đỗ Đại Học + Đỗ Đại Học  thi 24-27 điểm  môn 8-9 điểm  tập chung cày điểm lại phải có bước đột phá ( bí kíp hệ chẳng hạn  )7 điểm đầu dễ chăm  Chăm học Các em thấy chưa, mục tiêu, kiện, xác định từ ta có đến ta tìm kiếm mông lung nhiều ta lên hệ thống muốn có kết ta phải làm ta thực trình tự đó, ta kết Anh gọi tư ngược, trình học phải có bước đột phá bổ đề phụ toán Oxy  Yêu cầu chung: Có Tinh thần đỗ Đại Học ý thức học tập, tháng cuối em Nắm kiến thức mặt phẳng Oxy III, Nội Dung *Nội dung : Hệ thống kiến thức SGK Tư ngược để giải toán Oxy Các Bổ Đề hình học hay dùng mặt phẳng Oxy cách chứng minh ( số bổ đề quan trọng, số có tính chất tham khảo) Về bố cục tài liệu gồm có: A- Hệ thống kiến thức SGK B-Tư ngược Gồm ví dụ phân tích chi tiết Các tự luyện Oxy thi ĐH có đáp số C – Bổ đề hình học: Tam giác, hình vuông, hình chữ nhật Bổ đề tam giác Bổ đề hình vuông, hình chữ nhật… Một số ví dụ minh họa Ở tài liệu anh này, phần lớn anh chia sẻ kinh nghiệm tư làm bài, số bổ đề mà phụ trách phần bạn anh anh Nguyễn Văn Nam – chuyên Toán Vĩnh Phúc, phần bổ đề chủ yếu giải khó có kiện đặc biệt… Hi vọng tài liệu không làm em thất vọng, Cảm ơn em dài cổ hóng anh suốt thời gian qua  Thời gian qua anh vui nhận đón nhận nồng nhiệt từ em từ chuyên đề hệ, niềm tự hào áp lực cho anh để cố gắng cho tài liệu sau, anh cố gắng truyền đạt điều dễ hiểu tới em, có hay hay không lại lại vấn đề khác, anh hi vọng có ích thật nhiều cho em hạ gục thằng Oxy, không cảm thấy lo sợ Lúc đầu anh định trình bày kiến thức hình vuông sở thực thấy không ứng dụng nhiều nên anh bỏ qua phần mà tập trung vào phần kiến thức bản, tư nược, bổ đề phụ Tài liệu version 1.0 nên có nhiều sai sót anh hi vọng góp ý em  ( đặc biệt sai tả ) Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt A- Hệ thống kiến thức Trực tâm: Giao đường cao Trọng tâm: Giao đường trung tuyến Tâm đường tròn ngoại tiếp: Giao đường trung trực Tâm đường tròn nôi tiếp: Giao đường phân giác Điểm Đi qua Đường thẳng Hs góc k: y  k ( x  xo )  yo  Vtpt n  (a; b) : a( x  xo )  b( y  yo )   Vtcp u  (a; b) M o ( xo , yo ) Và có : Oxy Đi qua  A(a;0)  Ox x y  pt :   1, ab   a b  B(0; b)  Oy Đường tròn Chính tắc x  xo y  yo  a b +Tâm I ( xo , yo ) +Bán kính R Tham số :  x  xo  at   y  yo  bt ( x  xo )  ( y  yo )  R a  b2  a b  c x  y +ax+by+c=0  Tâm I  ;  R    2  2 a2 b2 4c2 Trục lớn: A1 A2  2a , nhỏ B1 B2  2b Độ dài Elip x2 y  1 a b2   Tâm sai Có tiêu cự F1 F2  2c với a  b  c , a, b, c  e  c 1 a  x  a  S  4ab HCN sở H giới hạn    y  b C  4(a  b) c  x2 y  MF1  a  a xo  a  ex o  M ( x , y )  ( E )  o  o  1; MF  MF  2a   o o a b2  MF  a  c x  a  e x o  a o  Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt    A( x1; y1 )  AB  ( x2  x1 ; y2  y1 )  AB    B( x2 ; y2 ) Khoảng cách  x2  x1    y2  y1  2 M ( xo ; yo )  ax  byo  c  d ( M , )  o  a  b2  : ax  by  c   '/ / , M   '  d (  ',  )  d ( M ,  ) Góc       a1a2  b1b2  1 : a1 x  b1 y  c1   cos  | cos(n1 , n2 ) |  cos(u1 , u2 )  2 a12  b12 a2  b2  : a x  b2 y  c2        n1.n2  u1.u2  1     : y  k1 x  d1 k1.k2  1    : y  k x  d 1 abc a.ha  bcsin   A  pr  2 4R R,r bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp p nửa chu vi Diện tích tam giác: S  p( p  a)( p  b)( p  c) B-Tư ngược Anh nêu pp để giúp hình thành tư cho em toán Oxy, để định hướng rằng, muốn có KQ ta cần tìm gì, từ ta ghép nối với kiện toán cho phù hợp Khởi động ta chiến A – 2014: Ví dụ 1(ĐH-A-2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD biết M(1;2) N(2;-1) Hướng dẫn + Bước : Ta cần vẽ hình thật chuẩn A M(1;2) B I N(2;-1) D C + Bước 2: Xác định mục tiêu phương hướng : bẻ khóa, tìm điểm mấu chốt Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt *Mục tiêu: Viết phương trình CD, tay trắng, kiện trực tiếp Có hướng để em viết pt đường thẳng Là tìm điểm thuộc đường thẳng, ta đặc biệt quan tâm tới đầu mút trung điểm đoạn CD, điểm đặc biệt Ta tìm điểm vecto phương pháp tuyến Một điều đặc biệt quan trọng khiến chung ta phải quan tâm hình vuông hay hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành tọa độ tâm quan trọng, giúp ta nhiều việc biết tọa độ đỉnh tìm tọa độ đỉnh đối diện có khả dễ dàng tìm nhờ đỉnh lại Ở tâm hình vuông ABCD I, ta tìm I : +Dễ dàng xác định C, N trung điểm IC + Dễ dàng xác định trung điểm CD I trung điểm MP, với P trung điểm CD   + Ta dễ dàng xác định IM vecto pháp tuyến CD ……… Vậy có tọa độ I, ta giải vấn đề toán Vậy câu hỏi làm để tìm I ? Ta nhận thấy mối liên hệ IM IN sau: AI   IM    IM  IN , ta có phương trình, ta phải tìm phương trình   IN  AI   Đến vui nè : có nhiều em hỏi anh là? Anh em biến đổi hồi lại ta 0x = , keke Đó em dùng kiện lần, đề tránh điều ? Ta phải biết dự kiện ta dùng rồi, kiên ta chưa dùng được: hcn, AC  BD  Từ kiện hình vuông:       B  C  90, AB  BC  CD  DA A  AM  MI  AB  BC AI  Khi ta dùng IM  tức ta dùng  điều kiện hình vuông coi dùng  AB  BC  AM  MI AI tức AN = NC dùng Tọa độ M, N phục vụ phương trình IM  IN  x, x  , muốn tìm pt đâu ? IN  Ta để ý độ dài MN  10 ta chưa có dùng, phải bám vào  Các em nối M với N, thấy tam giác IMN có góc NIM  135o A M(1;2) B I N(2;-1) D C  Các em áp dung định lý cosin : MN  IM  IN  IM IN Cos NIM Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh 1  10  x  x  2 x Chuyên đề đặc biệt  10  x  x  Tới ta có : 2   ( x  1)  ( y  2)   IM  ( x  1)  ( y  2)     2  IN  ( x  2)  ( y  1)   2x   y       x  1, y  tới xong ( x  1)  ( y  2)  10 y  y      x  11 , y  x  3y 1   x  3y 1 5    Với I (1;0)   C (3; 2) IM  (2;0) vecto pháp tuyến CD nên : CD : y   11  Với I ( ; ) 5   12 12 C( ; ) IM  ( ; ) vecto pháp tuyến:  ( x  )  ( y  )   CD : 3x  y  15  5 5 5 5 Vậy có phương trình CD : CD : y   CD : 3x  y  15  Ví dụ 2: (ĐH – B – 2014): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M(-3;0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0;-1) hình chiếu vuông góc B AD điểm G( ;3) trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B D Hướng dẫn: + Bước 1: Vẽ cẩn thận hình, mặt toán: H(0;-1) M(-3;0) A B I G D N C + Bước 2: Xác định mục tiêu  Phương hướng : Tìm điểm mấu chốt, hạ gục toán Mục tiêu ta tìm tọa độ B D, ta để ý điểm đối xứng với tâm I tim hình bình hành, ta cần bám vào nhiều, nên cần tìm đươc B I tìm D Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt Các em gọi N trung điểm DC đằng lúc vẽ phải xác định vẽ trọng tâm từ BC  D  G   kiện trọng tâm G có khả  anh viết em tự hiểu nhé, hoàn toàn tự nhiên  BG  BN   anh không đặt Về hình vẽ cần Mục tiêu tìm I B, em tháy có tọa độ I dễ àng suy B nhờ đường I  N I    trung điểm MN  B GB  2GN thực chất tở ta cần tìm điểm I B xong, tìm B quy trình ngược lại cuối anh chọn tìm B thấy kiện đề cho vuông góc liên quan    trực tiếp tới điểm B HB  AH thực tìm điểm thôi, em thấy dễ làm trước  Ta giả sử B ( xo , yo ) M trung điểm AB nên : A(6  xo ,  yo ) suy AH  ( xo  6, yo 1)   Ta có: HB  ( xo , yo 1)    Theo giả thiết: AH.HB   xo ( xo  6)  ( yo 1)( yo 1)  (1) Vậy ta có phương trình, ta cần tìm phương trình nữa, ta sử dụng kiện đề vuông góc toạn độ H, M M trung điểm AB kiện ABCD hình bình hành G trọng tâm BCD, ta tập trung khai thác chúng  xo    x   2( x  )     xN      xo  yo  N Với G trọng tâm BCD nên : GB  2GN   o  N ;      yo   2( yN  3)  y   yo  n     AD  BC Rồi kiện ABCD hình bình hành    AD / / BC Tức MN / / AD ta sử dụng điều kiện đã:   10  x  y   o o MN   ,  2   10  xo  k ( xo  6)(a )      MN / / AD  MN / / AH  MN  k AH   ,k   yo   k ( yo  1)(b)   Dễ thấy yo  không thỏa mãn (b) nên ta hoàn toàn yên tâm khác vế phương trình (b) Ta nhân chéo (b) với (a) ta : (10  xo )( yo  1)  ( xo  6)(9  yo )  xo  yo  (2) Các em lấy (2) thay vào (1) :  yo 15 yo 15   yo   xo  2  B(2;3) yo  bị loại em nhé, không thỏa mãn (b) Nếu em muốn yên tâm làm này, đưa vuông góc cho thành phép nhân đỡ nguy hiểm     MN / / AD  MN / / AH  MN  HB  MN HB  10  xo    yo    xo    ( yo  1)      2  xo  yo  10 xo  yo   0(3) Từ (1) (3) suy : Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt 2 2 2  xo  yo  xo    x  yo  xo    xo  yo  xo    x  2, yo   B(2;3)  o   o   2 xo  0, yo  1  B(0; 1) xo  yo  10 xo  yo    16 xo  y0   yo  (2 xo  1)     Nhiều em điêu đứng chỗ đây, thân anh điêu đứng lần tìm điểm loại điểm lại, đó, có mặt, tránh vỏ dưa gặp vỏ dừa :D Hãy nhớ lại điều kiện = hình bình hành mà ta chưa dùng  Với B(0; 1) ta có Ta dùng điều kiện : AD  MN  BC     MN  (5;5) N (2;5) , I ( , ) suy D(1;6) ; C (3; 4) nên BC  (3;5) 2 Dễ thấy MN  BC nên loại B(0; 1)  Với B(2;3) ta có Ta làm y chang vây :D     MN  (6;3) N (3;3) , I (0, ) suy D(2;0) ; C (4;6) nên BC  (6;3) Đó thấy MN  BC B(2;3) thỏa mãn Vậy B(2;3) D(2;0) Đây phương pháp tư ngược, xử lý điều kiện mà anh muốn trình bày, anh choáng làm xong mở giải xem BGD, mà người ta kẻ vẽ ? kẻ thêm đường gì, hoàn toàn tự nhiên không gượng ép Ví dụ 3: ĐH – D – 2014 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D (1; -1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y – = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y – = Viết phương trình đường thẳng BC Hướng dẫn Các em thao khảo cuối cùng, phần tập áp dụng bổ đề trang gần cuối Ví dụ 4: ĐH – A – 2013 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x  y   A(4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vuông góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N (5;-4) ĐS : B(4; 7); C (1; 7) Hướng dẫn Bước 1: Vẽ hình : Hình vẽ đơn giản Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh Chuyên đề đặc biệt A(-4;8) B D C N(5;-4) M Bước 2: Xác định mục tiêu, phương hướng : tìm điểm mấu chốt Ở ta cần tìm B C, ta biết trước kiện C nên cần biết kiện xong Thực điều kiện C thuộc 2x  y   điều kiện liên quan tới C cả, em thấy điều có nghĩa em phải tự tìm điều đặc biệt liên quan tới C điểm có tọa độ lại , ta nối A với N độ dài AN có ích cho ta, nối C với N, C với A, điểm có tọa độ sẵn ta liên hệ với điểm cần tìm xem có đặc biệt không, kA-2014 ta nối thấy góc 135 độ, ? A(-4;8) B D C N(5;-4) M Lúc tác dụng việc vẽ chuẩn hình bắt đầu có tác dụng, ta thấy AN vuông với CN, vuông tốt, ta tìm tọa độ C Đây lí tai phải phân tích điểm cần tìm trước, điểm cần tìm sau để tìm mối liên hệ cho phù hợp, không vững vàng tư tưởng phòng thi rối cảm thấy ngột thở nghĩ không *Bây ta chứng minh AN vuông góc với NC : anh sử dụng cộng góc, em dùng tứ giác nội tiếp Ta để phải bám vào kiện đề cho àm ta chưa dùng : BN  DM , BC  CM Trong tam giác vuông NBC thấy NC trung tuyến tam giác nên NC  BC  CM Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bí kíp Oxy cửu âm chân kinh   Nên BCN tam giác cân C suy : HNC  HBC (1) Để ý chút nữa: Anh gọi thêm điểm H Chuyên đề đặc biệt B A(-4;8) H D C N(5;-4) M Thì ACMD hình bình hành, nên AC / / DM  AC  DM Tam giác BCN cân lại có CH đường cao nên đường trung tuyến hay H trung điểm BN Vậy tam giác ABN cân AH vừa đường cao, vừa trung tuyến nên  ANH   (2) ABH Từ (1) (2) suy ra:    ANC   ANH  HNC   ABH  HBC   ABC  90 AN  NC ta có : Với C thuộc 2x  y   suy : C (c, 2c  5)   AN  (9; 12); NC  (c  5, 2c  1)   AN  NC  AN NC   9(c  5)  12(2c  1)   c   C (1; 7) Muốn tính tọa độ B ta tính thông qua H N ta biết rồi, H lại trung điểm BN ta cần viết phương trình AC NB x  y 8 Phương trình AC:   3x  y    7  Phương trình NB qua N vuông AC : ( x  5)  3( y  4)   x  y 17    3 x  y  4  x2    11   H ; Toa độ H nghiệm hệ :   2   x  y  17  y  11     Do H trung điểm BN nên tọa độ H B(4;7) Đây cách anh làm thi năm 2013 anh, em đọc thấy khó, lúc phòng thi anh nghĩ cách thôi, cách anh tham khảo thêm BGD sau: Như anh nói trước, tim hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật tâm I nó, ta cần bám vào tâm Chúc em cày tốt! Produce by Nguyễn Thế Lực 10 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com DE⊥KE F, E, K trung điểm AB, DO, CO AI=AD M, N trung điểm AB, BC AN cắt CM I Gọi P trung điểm CD AP cắt DN H theo bổ đề 1, DN⊥CM Dễ thấy AMCP hình bình hành => AP//CM hay PH//CI, mà P trung điểm DC nên H trung điểm DI AP//CM => AP⊥DN 10 A, L, N thẳng hàng Do đó, AP vừa trung tuyến , vừa đường cao => tam giác ADI cân A => AD=AI Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com I, 𝐼 𝑎 tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp góc A tiếp xúc với BC M, N L đối xứng với M qua I => A, I, 𝐼 𝑎 thẳng hàng (1) Lại có: 𝐼𝐿 ⊥ 𝐵𝐶 => IL//𝐼 𝑎 𝑁 (2) 𝐼 𝑎 𝑁 ⊥ 𝐵𝐶 H, K tiếp điểm (I), (𝐼 𝑎 ) với AB  𝐼𝐿 𝐼𝑎 𝑁 = 𝐼𝐻 𝐼𝑎 𝐾 = 𝐼𝐴 𝐼𝑎 𝐴 (do IH//𝐼 𝑎 𝐾) (3) Từ (1), (2), (3) suy A, L, N thẳng hàng 11 BM=CP Đường tròn nội tiếp tâm I, tiếp xúc với BC M Kẻ đường kình Mn AN cắt BC P Kẻ tiếp tuyến (I) N, cắt AB, AC E, F K tiếp điểm (I) với AB  IE phân giác góc 𝐾𝐼𝑁 Có IB phân giác góc 𝐾𝐼𝑀 𝐾𝐼𝑁 + 𝐾𝐼𝑀 = 180 𝑜 nên 𝐸𝐼𝐵 = 90 𝑜 =>∆BIE vuông I có IK đường cao =>𝑟 = 𝐼𝐾 = 𝐾𝐸 𝐾𝐵 = 𝑁𝐸 𝑀𝐵 Tương tự, 𝑟 = 𝑁𝐹 𝑀𝐶 Do đó, NE.MB=NF.MC => Lại có EF//BC nên 12 AM⊥PQ 𝑁𝐹 𝐶𝑃 = 𝑁𝐸 𝑀𝐶 𝐸𝐹 𝐵𝐶 = 𝑁𝐹 𝑀𝐵 = 𝑁𝐸+𝑁𝐹 𝑀𝐶+𝑀𝐵 Do CP=BM = 𝐸𝐹 𝐵𝐶 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com AD, BE, CF đường cao hạ từ A, B, C Đường thẳng qua A song song BE cắt CF P Đường thẳng qua A song song CF cắt BE Q  APHQ hình bình hành Gọi I tâm giao AH PQ => I trung điểm AH Có: 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐻𝑃 (do tứ giác BFHD nội tiếp) 𝐴𝑃𝐻 = 𝐵𝐴𝐶 (𝑑𝑜 𝑝ℎụ 𝑣ớ𝑖 𝑔ó𝑐 𝑃𝐴𝐹 = 𝐵𝐴𝐸 ) 𝑑𝑜 đó, ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝑃𝐻𝐴 (g-g) có I , M trung điểm AH BC => ∆𝑃𝐼𝐻~∆𝐴𝑀𝐵 =>𝑃𝐼𝐻 = 𝐴𝑀𝐷 => IKMD nội tiếp =>𝐼𝐾𝑀 = 90 𝑜 => đ𝑝𝑐𝑚 13 CH⊥HF F, E thuộc AB, AD thỏa mãn AF=AE H hình chiếu A lên BE Xét ∆AHF ∆BHC có: 𝐻𝐴𝐹 = 𝐴𝐸𝐻 = 𝐻𝐵𝐶 𝐴𝐻 𝐵𝐻 𝐴𝐻 𝐵𝐻 = => = 𝐴𝐸 𝐵𝐴 𝐴𝐹 𝐵𝐶  ∆AHF~∆BHC (c-g-c)  𝐴𝐻𝐹 = 𝐵𝐻𝐶 Mà 𝐴𝐻𝐹 + 𝐹𝐻𝐵 = 90 𝑜 𝑛ê𝑛 𝐵𝐻𝐶 + 𝐹𝐻𝐵 = 90 𝑜  HF⊥HC 14 𝐵𝐾𝐶 = 90 𝑜 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com D, E, F tiếp điểm (I) với BC, CA, AB EF cắt BI K Ta có 𝐵𝐼𝐶 = 90 𝑜 + 𝐾𝐸𝐶 = 𝐴𝐸𝐹 = 𝐵𝐴𝐶 =>𝐾𝐼𝐶 = 90 𝑜 − 180 𝑜 −𝐵𝐴𝐶 =90 𝑜 − 𝐵𝐴𝐶 𝐵𝐴𝐶 Do đó, 𝐾𝐼𝐶 = 𝐾𝐸𝐶 => Tứ giác EKCI nội tiếp, có 𝐼𝐸𝐶 = 90 𝑜 𝑛ê𝑛 𝐼𝐾𝐶 = 90 𝑜  Đpcm Bài tập áp dụng Ví dụ 1:Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(1;3), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(2;0) điểm A(3;4) Viết phương trình đường thẳng BC Giải Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 𝐴𝐻 =(-2;-1) H trực tâm => AH⊥BC => VTPT BC 𝐴𝐻 = (−2; −1) hay 𝑛 𝐵𝐶 =(2;1) Ta cần tìm thêm tọa độ điểm thuộc BC Điểm chân hình chiếu A lên BC, trung điểm BC, giao AI với BC Quan sát kiện đề bài, xuất A, H, I (tâm ngoại tiếp), ta liên hệ tới bổ đề: Mối quan hệ trực tâm H tâm O: 𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀 Gọi M trung điểm BC, T đối xứng với A qua O => AT đường kính đường tròn tâm O B, C thuộc đường tròn đường kính AT nên BA⊥BT; CA⊥CT (1) H trực tâm nên BA⊥CH; CA⊥BH (2) Từ (1) (2) suy CH//BT; BH//CT => BHCT hình bình hành, có M trung điểm đường chéo BC nên M trung điểm đường chéo HT; O trung điểm AT => OM đường trung bình tam giác AHT  𝑂𝑀//𝐴𝐻 =>𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀 𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀 Từ đó, ta nhận phải tìm tọa độ điểm M: Áp dụng bổ đề:𝐴𝐻 = 2𝐼𝑀=(-2;-1)  𝑥𝑀=1 2(𝑥 𝑀 − 𝑥 𝐼 = −2 1 => M(1;− )  𝑦 𝑀 = −2 2(𝑦 𝑀 − 𝑦 𝐼 = −1 Do đó, phương trình đường thẳng BC qua M(1;-2), có vtpt 𝑛 𝐵𝐶 =(2;1) là: Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com (BC): 2(x-1)+1.(y+2)=0  (BC): 2x+y- 2=0 Ví dụ 2:Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD cạnh a=1 M, N trung điểm AB, BC Biết phương trình đường thẳng CM, DN x+y-2=0; x+2y-3=0 Tìm tọa độ A biết A thuộc d: x-2y+3=0 Giải Tham số hóa A(2t-3;t) => cần tìm thêm phương trình liên quan Gọi I giao điểm CM, DN => I(1;1) Ta có bổ đề sau: AD=AI M, N trung điểm AB, BC AN cắt CM I Gọi P trung điểm CD AP cắt DN H theo bổ đề 1, DN⊥CM Dễ thấy AMCP hình bình hành => AP//CM hay PH//CI, mà P trung điểm DC nên H trung điểm DI AP//CM => AP⊥DN Do đó, AP vừa trung tuyến , vừa đường cao => tam giác ADI cân A => AD=AI Áp dụng bổ đề: 1=AD=AI= (2𝑡 − + (𝑡 −  t=1 t=8  A(-1;1) A(13;8) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Ví dụ 3: (Khối A-2009) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc cạnh AB trung điểm E CD thuộc đường thẳng ∆: x+y-5=0 Viết phương trình đường thẳng AB Giải Viết phương trình đường thẳng AB, biết qua M(1;5) Ta cần tìm vectơ pháp tuyến (có thể tìm thêm điểm khác thuộc AB không khả thi) Nhận thấyIE⊥CD//AB => IE⊥AB , biết điểm I => cần tìm điểm E suy vtpt AB Điểm E thuộc ∆:x+y-5=0 => tham số hóa E(t;5-t) => cần tìm thêm phương trình Khi biết tọa độ tâm I, ta nghĩ đến tính chất đối xứng hình chữ nhật: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I Nếu M∈AB, N đối xứng với M qua I N∈CD Do đó, N có tọa độ 2𝑥 𝐼 − 𝑥 𝑀 = 11 => N(11;-1) 2𝑦 𝐼 − 𝑦 𝑀 = −1 Từ đó, ta có phương trình liên qua đến t là: 𝐸𝐼 𝐸𝑁 = 𝐸𝐼 = (6 − 𝑡; 𝑡 − 3) ; 𝐸𝑁 = (11 − 𝑡; 𝑡 − 6) 𝑡=6  (6 − 𝑡 (11 − 𝑡 + (𝑡 − (𝑡 − = => 𝑡=7 - Nếu t=6 =>𝐸𝐼 = (0;3) => (AB): 3(y-5)=0 - Nếu t=7 =>𝐸𝐼 = (−1; 4) => (AB): -1(x-1)+4(y-5)=0  (AB) –x+4y-19=0 Ví dụ 4:Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) 𝑥 + 𝑦 = 25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có chân đường cao hạ từ B, C M(-1;-3); N(2;-3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết 𝑦 𝐴 < Giải Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Biết 𝑦 𝐴 < => tìm tọa độ điểm A trước Xuất chân đường vuông góc tâm ngoại tiếp, ta nghĩ đến bổ đề: Tính chất AO⊥EF BE, CF đường cao hạ từ B, C Kẻ tiếp tuyến A đường tròn tâm O  𝑥𝐴𝐵 = 𝐴𝐶𝐵 𝐵𝐹𝐶 = 𝐵𝐸𝐶 = 90 𝑜 => BFEC tứ giác nội tiếp =>𝐴𝐹𝐸 = 𝐴𝐶𝐵 Do đó, 𝑥𝐴𝐵 = 𝐴𝐹𝐸 => Ax//EF mà AO ⊥Ax nên AO⊥EF Áp dụng,ta có MN⊥AO ; 𝑀𝑁 = (3; 0) => VTPT AO 𝑛 𝐴𝑂 = (3; 0) AO qua O(0;0), có vtpt 𝑛 𝐴𝑂 = (3; 0) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  (AO): x=0  Tọa độ điểm A giao đường tròn © với AO: 𝑥=0 𝑥=0  (𝑑𝑜 𝑦 𝐴 < 0) 𝑥 + 𝑦 = 25 𝑦 = −5  Phương trình AN: x-y-5=0  Phương trình AM: 2x+y+5=0 Điểm B, C giao AN, AM với đường tròn ©: 𝑥− 𝑦−5=0 => 𝐵(5; 0) 𝑥 + 𝑦 = 25 2𝑥 + 𝑦 + = => 𝐶(−4; 3) 𝑥 + 𝑦 = 25 Ví dụ 5:Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC cân A, trực tâm H(-3;2) Gọi D, E chân đường cao hạ từ B, C Biết A nằm đường thẳng d: x-3y-3=0 Điểm F(-2;3) thuộc đường thẳng DE HD=2 Tìm tọa độ điểm A Giải A∈(d): x-3y-3=0 => A(3t+3;t) Ta cần tìm thêm phương trình liên quan đến A Tam giác ABC cân A, D, E chân đường cao hà từ B, C => DE//BC H trực tâm => AH⊥BC  AH⊥DE hay AH⊥DF Sử dụng bổ đề sau: Tính chất AB⊥EF  𝐴𝐸 − 𝐵𝐸 = 𝐴𝐹 − 𝐵𝐹 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Áp dụng định lý Py-ta-go: 𝐴𝐸 = 𝐴𝐻 + 𝐸𝐻 ; 𝐵𝐸 = 𝐸𝐻 + 𝐵𝐻 =>𝐴𝐸 − 𝐵𝐸 = 𝐴𝐻 − 𝐵𝐻 Tương tự, ta có 𝐴𝐹 − 𝐵𝐹 = 𝐴𝐻 − 𝐵𝐻 Dó đó, 𝐴𝐸 − 𝐵𝐸 = 𝐴𝐹 − 𝐵𝐹 Áp dụng:𝐹𝐴2 − 𝐹𝐻 = 𝐷𝐴2 − 𝐷𝐻 Theo Py-ta-go: 𝐷𝐴2 = 𝐴𝐻 − 𝐷𝐻 =>𝐹𝐴2 − 𝐹𝐻 = 𝐴𝐻 − 2𝐷𝐻 Biết tọa độ F, H, tham số hóa A, đoạn DH => ta phương trình t: (3𝑡 + + (𝑡 − − = (3𝑡 + + (𝑡 − 2 − 8 t=0 => A(3;0) Ví dụ 6:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm I(1;-1) J(1;0) tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC, đường tròn bàng tiếp góc A có tâm F(2;-8) Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết đỉnh A có tung độ âm Giải Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bổ đề liên quan đến đường tròn bàng tiếp: Phân giác AD cắt đường tròn (O) K=> I J đối xứng với qua K Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com - Đường tròn bàng tiếp có tâm J giao đường phân giác đường phân giác tam giác ABC => có đường tròn bàng tiếp A,I,J nằm đường phân giác góc A => A, I, J thẳng hàng BI, BJ đường phân giác góc kề bù => BI⊥BJ => tam giác BIJ vuông B Theo 3.8, K tâm đường tròn ngoại tiếp BIC => KB=KI  K trung điểm IJ => KI=KJ Áp dụng bổ đề: Hướng: Tọa độ A giao đường tròn ngoại tiếp tâm I với JF Gọi M trung điểm JF => M thuộc đường tròn ngoại tiếp tâm I tam giác ABC M(2 ; −4) => đường tròn tâm ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(1;-1), bán kính IM= (2 − 1)2 + (−4 + 1)2 = 37 => phương trình đường tròn tâm I là: (𝑥 − 𝑥−1 + (𝑦 + = 37 𝑦 −0 Phương trình đường thẳng JF là: 2−1 = −8−0 8x+y-8=0 Tọa độ điểm A thỏa mãn giao đường tròn ngoại tiếp ABC với đường thẳng JF: (𝑥 − + (𝑦 + = 8𝑥 + 𝑦 − = 37 4 97 x=2 x=130 Nếu x=2 y=-4 (thỏa mãn) 97 Nếu x=130 y>0 (loại) Vậy A(2 ; −4) Ví dụ 7:(Khối D-2014) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A D((1;-1) Đường thẳng AB có phương trình 3x+2y-9=0 Tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ABC có phương trình x+2y-7=0 Viết phương trình đường thẳng BC Giải Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com BC qua D(1;-1) Ta có hướng: tìm vtpt tìm điểm khác D thuộc BC - Hướng tìm vtpt không khả quan thiếu yếu tố vuông góc Đi theo hướng 2, tìm điểm khác D thuộc BC Gọi E giao điểm tiếp tuyến A đướng tròn ngoại tiếp ABC với BC => (AE): x+2y-7=0 Dễ dàng tìm tọa độ A: 3𝑥 + 2𝑦 − =  A(1;3) 𝑥 + 2𝑦 − = Ta sử dụng bổ đề sau: Tiếp tuyến A (O) cắt BC P AD phân giác góc A => PA=PD 𝑃𝐴𝐷 = 𝑃𝐴𝐵 + 𝐵𝐴𝐷 = 𝐴𝐶𝐵 + 𝐷𝐴𝐶 = 𝐴𝐷𝑃 => tam giác PAD cân P => PA=PD Áp dụng bổ đề: EA=ED => E thuộc đường trung trực AD Phương trình đường thẳng AD: x=1 => phương trình trung trực AD có dạng y=m Trung trực ∆ AD qua điểm N trung điểm AD, có tọa độ N(1;1) nên m=1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  (∆): y=1 Điểm E giao AE (∆): 𝑥−1 𝑥 + 2𝑦 − =  E(5;1) 𝑦=1 𝑦+1  Phương trình BC: 5−1 = 1+1  (BC): x-2y-3=0 *************************************************************************** Chào em, em đọc đến trang cuối “Bí Kíp Oxy cửu âm chân kinh” mà anh anh Nguyễn Văn Nam dày công biên soạn Để viết tài liệu nhiều thời gian tâm huyết, hi vọng đem lại kinh nghiệm quý báu cho em, giúp em làm tốt câu Oxy đề THPT Quốc Gia Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com