Đang tải... (xem toàn văn)
BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU : Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2. Giải . Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10 . Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT). Ta có y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x 1)2 + 8 ≥ 8∀x ∈ R. Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT). Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x2 – 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x) Phương trình tương đương 2x2 – 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi y y ≥⇔≥+−⇔≥Δ 8022040 . Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1. Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . Cách 3 .(Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH). Xét hàm số y = 2x2 – 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x 4 khi y ‘ = 0 ⇔ x = 1. Ta có bảng biến thiên : x 1 y’ 0 + y ∞ + ∞ 8 Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 . B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP . Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…) Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảy ra. Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức. Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)2 + (x – 3)2 … ≥ 0 thì hỏng rồi BÀI TẬP MINH HOẠ. Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : += cossin xxS . HD.cách 1.( BDT). Ta có 2 cossin1 2 xx ≤+= cossin SSxx =⇒=+ 1min . 22) 22 4 xxS xx =++≤+= sin(22)cos)(sin11(cossin x π MaxS =⇒≤+ . Cách 2.( ĐH) S x x S x = + ⇒ = + + sin cos sinx cos 2 sinx.cos 2 x . Đặt t = sinx + cosx. Dùng phương pháp đạo hàm để giải Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 4sincos2 3sin2cos − + + + = xx x x S trong khoảng(−π π ); . HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình 4sincos2 3sin2cos +− + + = xx x x S phải có nghiệm SS x −++=−⇔ S cos)21(sin)2(34 x có nghiệm 2 11 2 S 2 2 SS )34()21()2( 2 S ≤≤⇒−≥−++⇒ .Cách 2.( ĐH). Đặt 2 2 2 1 1 cos; 1 2 sin 2 t t x t t x x tgt − + = + =⇒= .Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả. Ví dụ 3. Tìm gíá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2.2 −+−+= xxxxf 2 . HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực tiếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn − 2;2 . Cách 2.Đặt 2 2 ⇒−+= tkieänñieàuxxt .Dùng phương pháp đạo hàm, hoặc PT Cách 3.( Vevtơ). Đặt 2 vxxu −=−= 2 xx );2;1(),2;1;( 2 2.2. −+−+=⇒ xxxxvu 2 và . xvu 2 x 2 xx 22 ==+−+−++= 33.3..)2(1.)2(1 Ta có : ≤ .. vuvu 2 xxxx 2 ≤−+−+⇔ 32.2 . Đẳng thức xảy ra khi 1 2 21 2 2 =⇒ ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ =− −= = x kxx xk kx . Ví dụ 4. Cho hai số thực x , y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: 4.)1.( −=− xyyx 2 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số xy . HD.Điều kiện x ≤≤− 22 .Để tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của xy thì ≠ yx ≠ 0;0 Biến đổi 4.)1.( 2 ( 4 xx 2 ) xy xyyx −+=⇔−=− Đặt h xy = . h ≠ )0( .Biểu thức viết lại : 4 −+= xxh 2 là một hàm số liên tục trong đoạn − 2;2 . Ví dụ 5.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2 2 yxyx yxyx S ++ +− = (x, ∈ Ry ). HD. Lí luận x ≠ 0chia tử và mẫu cho x2 .Đặt yx t = .Khảo sát hàm số S ẩn t,hoặc đkpt. Ví dụ 6. Cho các số thực x,y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 322 124 2 2 +− −+ = yxy xyx S . HD.Cách 1.Thế điều kiện x2 + y2 = 1 vào S giải như bài trên. Cách 2.Đặt x sinα y =⇒= cosα . Đưa hàm số S= S α α )2cos,2(sin .Dùng đkpt. Ví dụ 7.Cho hai số thực x,y ≠ 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện : x2 + y2 = 2x2y + y2x . Tính giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức yx S += 12 . HD.Đặ y = tx, thế vào điều kiện và biểu thức S ,khảo sát hàm số S ẩn t . Ví dụ 8. Cho hai số thực dương x,y thoả điều kiện :x+y = 1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức : . 11 y y x x f − + − = HD.Đặt x sin2 α y =⇒= cos2 α ,α ∈ ⎢ ⎣ ⎡ ;0 π 2 ⎥ ⎦ ⎤ . Ví dụ 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2 sin)( 2 x x xexf +−= . HD.Dùng phương pháp đạo hàm. Ví dụ 10.(1993 bảng A) .Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốxxf 2007()( −+= x 2 )2009 trong miền xác định của nó. Lời giải :Miền xác định của hàm số D −= 2009;2009 .Nhận thấy f(x) là hàm số lẻ nên ta xét hàm số trong D = 2009;0 .Áp dụng bất đẳng thức BCS ta có xxf 2007()( 2 =−+= xx 2 ≤−+ xx 2007.2010.)2009.1.2007.2007()2009 2009 −+ x 2 2008.2008 2 2007 2009 .2008 2 2 = −++ ≤ x x . Vậy GTLN = 2008.2008 khi và chỉ khi x = 2008 GTNN= − 2008.2008 khi và chỉ khi x −= 2008 . Ví dụ 10.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :Q = sin2A + sin2B – sin2C trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác . HD.(BĐT). Đưa về tổng bình phương . Hoặc đưa về một biến x = sin C2 . Dùng phương pháp ĐH để giải. Ví dụ 11.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 2 2 2 CBA S ++= . Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ⎟ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ += 3 cos 3 cos 3 cos π π π AS B C . HD.Chú ý .Dùng phương pháp giải như báo Toán học ,Tuổi trẻ (tháng 320007). Giải bài 12.Cách 1.Giả sử = { ;; CBAMaxA } 0 32 cos 3 ⎟ < ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + + ⇒≥⇒ π BA π A ,ta có: ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ + + ⎟ ≥ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ − ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + + ⎟ = ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + 32 cos2 2 cos 32 cos2 3 cos 3 cos π π BA π BA BA π A B .(1) Có dạng ⎟ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + ≥+ 2 2)()( fBfAf BA . Tương tự ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ⎛⎜⎜⎜⎜⎝ + + ⎟ ≥ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + 32 3 cos2 33 cos 3 cos π π πππ C C (2). Cộng (1) và (2) ta có : 3 2 cos4 33 cos 3 cos 3 cos 3 cos π π πππ π ⎟ ≥ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ A + B C 32 3 2 cos3 3 cos 3 cos 3 cos ⎟ ≥ −= ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ += π π π π AS B C . Cách 2.Giả sử = { } ;; CBAMaxA 0 32 cos 3 ⎟ < ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + + ⇒≥⇒ π BA π A ,ta có: ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝ + + ⎟ ≥ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ − ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + + ⎟ = ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + 32 cos2 2 cos 32 cos2 3 cos 3 cos π π BA π BA BA π A B . Có dạng ⎟ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + ≥+ 2 2)()( fBfAf BA . ⇒ 32 3 2 cos3) 3 (3)()()( 3 cos 3 cos 3 cos −== ++ ⎟ ≥++= ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ ⎟ ++ ⎞ ⎠ ⎛⎜⎝ + π π π CBA π A B fCfBfAfC . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Cách 3.Đưa về tổng bình phương ,hoặc tam thức bậc hai. Ví dụ 13. Cho a,b,c là ba số không âm thoảđiều kiện : a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của (a3 + b3 + c3 ).HD: a 3 ≥++ 311 a … Ví dụ 14.Cho x,y,z là ba số dương thoả mãn điều kiện : x.y.z = 1. Chứng minh rằng : + + + + z y y x 11 2 2 32 1 2 ≥ + x z . HD : . 4 1 1 2 x x x z ≥ + + + Ví dụ 15. Cho các số thực dương x,y,z thỏa điều kiện : + + zyx ≥ 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : yx z zx y zy x S + + + + + = 3 3 3 HD: Cách 1. Áp dụng zy x zy x 32 2 3 ≥+ + + + … Cách 2: ( () ++≥+++++ zyxyxzxzyS ) 2333 . Ví dụ 16. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 ≤ 12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ababab P + + + + + = 1 1 1 1 1 1 . HD :Áp dụng 25 25 1 1 1 + + ≥ + ab ab (1) .Đẳng thức xảy ra khi ab = 4 Tương tự 25 25 1 1 1 + + ≥ + bc bc (2) ; 25 25 1 1 1 + + ≥ + ca ca (3) Lấy (1) + (2) + (3) ta có 65 25 25 3 65 25 1 25 1 25 1 P + + + + + + cabcab P ++⇔≥ ++ cabcab ≥ 35 65 25 12 25 3 65 25 25 3 222 P ++⇔ ++ cba P P ≥⇒≥++⇔≥ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2. Ví dụ 17. Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn : . 34 cba =++ Chứng minh rằng : 3 3 3 accbba ≤+++++ 3333 HD : Ta có 3 113 3 3ba ≤+ ba +++ … Ví dụ 18. Cho x,y,z là ba số thỏa x + y + z = 0 . Chứng minh rằng : x y z ≥+++++ 6434343 HD:Cách 1.Ta có x ≥+ 4 x = 8 424.1.1.1443 x … Cách 2 Dùng phương pháp vectơ. Thí dụ 19. Cho x,y,z các số dương thỏa mãn 111 =++ 4 zyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thưcù:S= ++ zyxzyxzyx + ++ + ++ 2 1 2 1 2 1 HD. ++ zyxzyxxzyx ≥+++=++ 2 161111112 … Ví dụ 20. Chứng minh rằng với mọi x,y > 0 ta có: 1)(1)(1( 9 2 ≥+++ .256) x y y x HD : 4 6 3 2 4 3 3 1( 9 19) )( 27 1( 333 4) yyyy y y ≥+++ ≥+⇒ .4 3 3 29 4 333 11 x y yx yx yx yx ≥+++=+ ; 1+x = . 3 4 333 1 3 3 xxxx ≥+++ Ví dụ 21. Giả sử x,y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 54 yx =+ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : . 4 14 yx S += HD: Cách 1 . Thay −= xy 54 54 0; 45 14