HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1/ Một số toán tổng hợp mặt phẳng : Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương trình : d : x = y−2 = z −1 d’ : x−2 z+5 = y −3= −1 Chứng minh hai đường thẳng chéo Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua d vuông góc với d’ Giải Đường thẳng d qua điểm M (0;2;0) có vectơ phương u (1;−1;1) Đường thẳng d’ qua điểm M ' (2;3;−5) có vectơ phương u '(2;1;−1) r ur uuuuu r [ ] Ta có MM = (2;1;−5) , u ; u ' = (0; 3; 3) , u; u ' MM ' = −12 ≠ d d’ chéo   Mặt phẳng (α ) qua điểm M (0;2;0) có vectơ pháp tuyến u '(2;1;−1) nên có phương trình: x + ( y − 2) − z = hay x +y −z −2 =0 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d d’ có phương x−2 z+5 = y −3= −1 Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua d tạo với d’ góc 300 trình : d : x = y−2 = z −1 d’ : Giải r Đường thẳng d qua điểm M (0;2;0) có vectơ phương u = (1; −1;1) ur Đường thẳng d’ qua điểm M ' (2;3;−5) có vectơ phương u '(2;1; −1) Mp (α ) phải qua điểm M có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u cos(n; u ' ) = cos 60 = Bởi đặt n = ( A; B; C ) ta phải có : A − B + C = B = A + C B = A + C   ⇔  ⇔  2A + B − C 2 2 = 2 A = A + ( A + C ) + C 2 A − AC − C =   2 2  A + B +C Ta có A2 − AC − C = ⇔ ( A − C )(2 A + C ) = Vậy A = C A = −C Nếu A = C ,ta chọn A=C=1, B = , tức n = (1;2;1) mp(α ) có phương trình x + 2( y − 2) + z = hay x +2 y +z −4 =0 Nếu A = −C ta chọn A = 1, C = −2 , B = −1 , tức n = (1;−1;−2) mp(α ) có phương trình x − ( y − 2) − z = hay … x −1 y z +1 = = Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : (d1 ) : −2 1 x y − z +1 (d ) : = = Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1) hợp với (d2) góc 300 −1 Bài Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z + x − y + z − = Viết phương trình mp(P) qua hai điểm A, B (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính Giải Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) bán kính R = r Mặt phẳng (P) qua A(0; -2; -6) nhận véctơ n(a, b, c ), (a + b + c ≠ 0) làm véctto pháp tuyến có PT: ax + by + cz + 2b + 6c = Từ giả thiết: B (2;0; −2) ∈ ( P)    ⇒ ⇒ tìm a, b, c suy PT mp(P) d ( I ;( P )) =   Kết luận có hai mặt phẳng: (P1): x + y – z – = (P2): 7x – 17y + 5z – = Bài Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH ⊥ ( ABC ) DH = với H trực tâm tam giác ABC Tính góc (DAB) (ABC) Giải Trong tam giác ABC, gọi K = CH ∩ AB Khi đó, dễ thấy AB ⊥ ( DCK ) Suy góc (DAB) (ABC) góc ∠DKH Ta tìm tọa độ điểm H Tính HK xong + Phương trình mặt phẳnguuu uuu (ABC) r r r - Vecto pháp tuyến n = [ AB, AC ] = ( 0; −4; −4 ) - (ABC): y + z − = + H ∈ ( ABC ) nên giả sử H (a; b; − b) uuur uuu r Ta có: AH = (a; b; −b), BC = (4; −2; 2) uuur uuu r CH = (a − 2; b; −b), AB = ( −2; 2; −2) uuu uuur r  BC AH =  a −b =  ⇔ ⇔ a = b = −2 r Khi đó:  uuu uuur − a + 2b + =  AB.CH =  Vậy H(-2; -2; 4) + Phương trình mặt phẳng qua H vuông góc với AB là: x − y + z − = x = t  Phương trình đường thẳng AB là:  y = −t z = + t  x=t   y = −t  Giải hệ:  ta x =2/3; y =-2/3, z =8/3 z = 2+t  x − y + z − =  2 2 96 Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3) Suy ra: HK =  +  +  − +  +  −  =  ÷  ÷  ÷ 3    3  Gọi ϕ góc cần tìm thì: tan ϕ = DH / HK = 96 /12 = / ⇒ ϕ = arctan( / 3) Vậy ϕ = arctan( / 3) góc cần tìm Bài Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), mặt phẳng (P) có phương trình (S): x + y + z − x + y + z − , (P): 2x +2y – z + = Viết phương trình mặt phẳng song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Giải 2 Ta cã: x + y + z - 2x + 4y +2z -3= ⇔ ( x − 1) + ( y + 2)2 + ( z + 1) = 32 => mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = Do mặt phẳng (Q) song song với mp(P) nên có pt dạng:2x + 2y - z + D = ( D ≠ )  D = 10  D = −8 Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d ( I ;(Q) ) = R = D − = ⇔  Vậy (Q) có phương trình: 2x + 2y - z + 10 = Hoặc 2x + 2y - z - = Bài Trong hkông gian Oxyz cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình: (S): x + y + z − x − y + z − 16 = ’ (P): 2x + 2y + z – = Viết phương trình mặt phẳng (Q)song song với (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn có diện tích 16 π Giải Vì (Q) //(P) nên (Q) có phương trình : 2x+2y+z+D=0.G ọi O tâm đường tròn giao tuyến I(1 ;2 ;-2) tâm mặt cầu R = bán kính mặt cầu, r bán kính đường tròn giao tuyến theo giả thuyết ta có π r = 16π ⇒ r = 4+ D l ại c ó R2 = r2 + OI2 ⇒ D = 5, D = −13 mặt khác ta có IO = d ( I ;(Q)) = mặt phẳng (Q) cần tìm: 2x+2y+z+5=0 ho ặc 2x+2y+z-13=0 Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2) C(1;1;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A B, đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) Giải •Gọi n = (a; b; c ) ≠ O véctơ pháp tuyến (P) Vì (P) qua A(-1 ;1 ;0) ⇒ pt (P):a(x+1)+b(y-1)+cz=0 Mà (P) qua B(0;0;-2) ⇒a-b-2c=0 ⇒ b = a-2c Ta có PT (P):ax+(a-2c)y+cz+2c =0 • d(C;(P)) = ⇔ 2a + c a = c = ⇔ 2a − 16ac + 14c = ⇔  a + ( a − 2c) + c  a = 7c 2 •TH1: a = c ta chọn a = c = ⇒ Pt (P): x-y+z+2=0 • TH2: a = 7c ta chọn a =7; c = ⇒Pt (P):7x+5y+z+2=0 Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng: ( d ) : ( d ') : x +1 y + z − = = mặt phẳng (P): x + 4y + z + = −2 x−3 y− z−6 = = , Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d’) song song với đường thẳng (d) Lập phương trình mặt cầu có tâm I giao điểm (d) (P), có bán kính khoảng cách (d) (d’) Giải r + (d) qua điểm A(3;4;6) có vecto phương u1 = (1;3; 2) r (d’) qua điểm B(-1;-4;5) có vecto phương u2 = (2;1; − 2) r ur uu r Khi mặt phẳng (Q) qua B có vecto pháp tuyến n = u1 ∧ u2 = ( −8;6; −5 ) Phương trình mặt phẳng (Q) : 8x-6y+5z-41= (rõ ràng d song song (Q)) 19 −6 38 + Giao điểm d (P) điểm I( ; ; ) 15 15 Khoảng cách d d‘ R = (d;(Q)) = d(A;(Q)) = +Phương trình mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là: 2 6  38  121  19   x− ÷ + y + ÷ +z − ÷ = 15   5  15  125  11 5 Bài 11 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P):x+2y-z-1=0 (Q):x-y+z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M(-2;1;0), song song với đường thẳng d=(P)∩(Q) tạo với trục Oz góc 300 Giải Vectơ phương đường thẳng d: ud (1;−2;−3) gọi n(a; b; c) (với a2+b2+c2≠0) vectơ pháp tuyến (α) d//(α) ⇒ n.ud = ⇔a-2b-3c=0⇔a=2b+3c Sin((α),Oz)=sin300= cos(n, ud ) ⇔ c a +b +c 2 2 = ⇔3c2=a2+b2⇔ 3c2=(2b+3c)2+b2  −6− c b = 2 ⇔5b +12bc+6c =0 ⇔   −6+ c b =  −6− 3−2 c⇒a= c 5 chọn a = − ; b = −6 − ; c = với b = ⇒phương trình mặt phẳng (α) là: (3 − ) x − (6 + ) y + z + 12 − = −6+ 3+ c⇒a= c 5 chọn a = + ; b = −6 + ; c = với b = ⇒phương trình mặt phẳng (α) là: (3 + ) x + (−6 + ) y + 5c + 12 + = x −1 y −1 z − = = điểm −1 1 A(2;1;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (P) Bài 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : Giải → Đường thẳng ∆ qua điểm M(1 ; ; ) có vtcp u = (2 ; -1 ; 1) → → → → → Gọi n = (a ; b ; c ) vtpt (P) Vì ∆ ⊂ ( P) ⇒ n ⊥ u ⇒ n u = ⇔ 2a – b + c = ⇔ b = 2a + c ⇒ → =(a; 2a + c ; c ) , n từ ta có: Pt(P) : a(x – 1) + (2a + c )(y – 1) + c(z – ) = ⇔ Pt (P) : ax + (2a + c )y + cz - 3a - 3c = d(A ; (P)) = ⇔ a = ⇔ ( a + c) = ⇔ a + c = a + (2a + c) + c với a + c = , chọn a = , c = -1 ⇒ pt(P) : x + y – z = x = 1+ t  Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : d1 :  y = − t z =  x − y −1 z +1 = = Viết phương trình mp(P) song song với d1 d , cho khoảng cách −2 từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P) d2 : Giải → Ta có : d1 qua điểm A(1 ; ; 1) vtcp : u1 = ( 1; −1;0 ) → d qua điểm B (2; 1; -1) vtcp là: u = ( 1; −2; ) → Gọi n vtpt mp(P), (P) song song với d1 d nên → → → n = [ u1 ; u2 ] = (-2 ; -2 ; -1) ⇒ pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 7+m 5+ m d( d1 ;(P)) = d(A ; (P)) = ; d( d ;( P)) = d( B;(P)) = 3 d( d1 ;(P)) = d( d ;( P)) ⇔ + m = + m  m = −3 7 + m = 2(5 + m) ⇔ ⇔  m = − 17 + m = −2(5 + m)   ⇒ mp(P) : 2x + 2y + z – = Với m = -3 17 17 Với m = - ⇒ mp(P) : 2x + 2y + z =0 3 Bài 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz tạo với mặt phẳng (Q): 2x + y - z = góc 600 Giải → → Mp(P) chứa trục Oz nên có dạng Ax + By = 0, ⇒ n p = ( A ; B ; 0) nQ = (2 ; ;− ) → 2A + B → Theo gt: cos(n p , nQ ) = cos 60 ⇔ = ⇔ 2 A + B = 10 A + B 2 A2 + B + + ⇔ A + 16 AB − B = Chọn B = ta có : 6A2 + 16A – = suy ra: A = -3 , A = 1/3 Vậy có hai mặt phẳng (P) cần tìm là: x + 3y = -3x + y = Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt cầu (S) : ( x − 1) + y + ( z + 2) = Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a : theo đường tròn có bán kính x y −1 z = = cắt mặt cầu (S) −2 Giải (S) có tâm J (1,0 ,−2) bán kính R = → → + đt a có vtcp u (1, , − ) , (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận u làm vtpt Pt mp (P) có dạng : x + y − z + D = + (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = nên d( J , (P) ) = R − r = nên ta có :  D = −5 + + 2.0 − 2.(−2) + D = ↔  D = −5 −  KL : Có mặt phẳng : (P1) : x + y − z − + = (P2) : x + y − z − − = Bài 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − = r Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + y + z − 11 = tiếp xúc với (S) Giải Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) vàrbán kính R=4 Véc tơ pháp tuyến (α ) n(1; 4;1) r Vì ( P) ⊥ (α ) song song với giá v nên nhận véc tơ uu r r r n p = n ∧ v = (2; −1; 2) làm vtpt Do (P):2x-y+2z+m=0 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I → ( P)) = ⇔  m = −21 d ( I → ( P )) = ⇔  m = Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 2x-y+2z-21=0 Một số toán tổng hợp đường thẳng: Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = hai đường thẳng :  x = + 2t x +1 − y z +  = = (d) (d’)  y = + t −1 z = + t  Viết phương trình tham số đường thẳng ( ∆ ) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d) (d’) CMR (d) (d’) chéo tính khoảng cách chúng Giải Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình : x = − t   y = − 8t  z = − 15t  v + Đường thẳng (d) qua M(-1;3 ;-2) có VTCP u ( 1;1; ) ur u + Đường thẳng (d’) qua M’(1 ;2 ;1) có VTCP u ' ( 2;1;1) Ta có : uuuuu r ur r u 2 • uuuuu MM '  u, u ' = ( 2; −1;3) 1 ; 1 ; 1 = −8 ≠ 2 r MM ' = ( 2; −1;3 )   Do (d) (d’) chéo (Đpcm) Khi : ( ) uuuuu r ur r u MM '  u, u '   d ( ( d ) , ( d ') ) = = r ur u 11  u, u '   Bài Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng : x = t  (d)  y = + 2t  z = + 5t  x = t  (d’)  y = −1 − 2t z = −3t  a CMR hai đường thẳng (d) (d’) cắt b Viết phương trình tắc cặp đường thẳng phân giác góc tạo (d) (d’) Giải v a) + Đường thẳng (d) qua M(0 ;1 ;4) có VTCP u ( 1; 2;5 ) ur u + Đường thẳng (d’) qua M’(0 ;-1 ;0) có VTCP u ' ( 1; −2; −3)   3 Nhận thấy (d) (d’) có điểm chung I  − ;0; ÷ hay (d) (d’) cắt (ĐPCM) 2 r r u ur  15 u 15 15  ; −2 ; −3 u b) Ta lấy v = ur u ' =  ÷  7 ÷ u'   15 15 15  ;2 − ;5 − ÷ 7 ÷   r r r  15 15 15  b = u − v = 1 − ;2 + ;5 + ÷  7 ÷   r  r r  Ta đặt : a = u + v = 1 +  rr Khi đó, hai đường phân giác cần tìm hai đường thẳng qua I nhận hai véctơ a, b làm VTCP chúng có phương trình :   15   x = − + 1 + ÷t  ÷      15   ÷t y =  −  ÷      z = +  − 15  t  ÷   ÷      15   x = − + 1 − ÷t  ÷      15   ÷t y =  +  ÷      z = +  + 15  t  ÷   ÷    Bài Cho hai đường thẳng có phương trình: x = + t  d :  y = − 2t z = 1− t  x−2 z +3 d1 : = y +1 = Viết phương trình đường thẳng cắt d1 d2 đồng thời qua điểm M(3;10;1) Giải Gọi đường thẳng cần tìm d đường thẳng d cắt hai đường thẳng d d2 điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) B(3+b;7-2b;1-b) uuu r uuu r Do đường thẳng d qua M(3;10;1)=> MA = k MB uuu r uuu r MA = ( 3a − 1; a − 11; −4 + 2a ) , MB = ( b; −2b − 3; −b ) 3a − = kb 3a − kb = a =    ⇒ a − 11 = −2kb − 3k ⇔ a + 3k + 2kb = 11 ⇔ k = −4 + 2a = −kb  2a + kb = b =    uuu r => MA = ( 2; −10; −2 )  x = + 2t  Phương trình đường thẳng AB là:  y = 10 − 10t  z = − 2t  Bài Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng (P) x + y − z + = ,đường thẳng d: x − y −1 z −1 = = Gọi I giao điểm d (P) Viết phương trình đường thẳng ∆ −1 −3 nằm (P), vuông góc với d cách I khoảng • (P) có véc tơ pháp tuyến n( P ) Giải = (1;1;−1) d có véc tơ phương u = (1;−1;−3) I = d ∩ ( P ) ⇒ I (1;2;4) [ ] • ∆ ⊂ ( P); ∆ ⊥ d ⇒ ∆ có véc tơ phương u ∆ = n( P ) ; u = (−4;2;−2) = 2(−2;1;−1) • Gọi H hình chiếu I ∆ ⇒ H ∈ mp(Q) qua I vuông góc ∆ Phương trình (Q): − 2( x − 1) + ( y − 2) − ( z − 4) = ⇔ −2 x + y − z + = Gọi d1 = ( P) ∩ (Q) ⇒ d có vécto phương [n (P) ; n( Q ) ] x =  = (0;3;3) = 3(0;1;1) d1 qua I ⇒ ptd1 :  y = + t z = + t  t = Ta có H ∈ d1 ⇒ H (1;2 + t ;4 + t ) ⇒ IH = (0; t ; t ) ⇒ IH = ⇔ 2t = ⇔  t = −3 x −1 y − z − = = −2 −1 x −1 y +1 z −1 = = TH2: t = −3 ⇒ H (1;−1;1) ⇒ pt∆ : −2 −1 • TH1: t = ⇒ H (1;5;7) ⇒ pt∆ : Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng : x = t x y−2 z  d1 :  y = − t ;d2: = = −3 −3  z = −1 + 2t  d3: x +1 y −1 z +1 = = Chứng tỏ d1 ; d hai đường thẳng chéo nhau,tính khoảng cách hai đường thẳng d1 ; d Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 điểm A, B, C cho AB = BC Giải x = t ur  +)Đường thẳng d1 :  y = − t suy d1 qua điểm A(0;4;-1) có vtcp u1 (1; −1; 2) Đường  z = −1 + 2t  uu r x y−2 z = = suy d qua điểm B(0;2;0) có vtcp u2 (1; −3; −3) Ta có −3 −3 ur uu r uuu ur uu r r uuu r AB(0; −2;1) u1 , u2  = ( 9;5; −2 ) suy AB u1 , u2  = 9.0 + (−2).5 + 1.(−2) = −12 ≠ Vậy d1 d     thẳng d2: hai đường thẳng chéo Khoảng cách d1 d : d ( d1 , d ) uuu ur uu r r AB u1 , u2  −12   = = = u uu r r u1 , u2  92 + 52 + (−2) 55   +)Xét ba điểm A, B, C nằm ba đường thẳng d1 , d2 , d3 Ta có A (t, – t, -1 +2t) ; B (u, – 3u, -3u) ; C (-1 + 5v, + 2v, - +v) A, B, C thẳng hàng AB = BC ⇔ B trung điểm AC t + (−1 + 5v ) = 2u  ⇔ 4 − t + (1 + 2v ) = 2.(2 − 3u ) −1 + 2t + (−1 + v) = 2(−3u )  Giải hệ được: t = 1; u = 0; v = Suy A (1;3;1); B(0;2;0); C (- 1; 1; - 1) Đường thẳng ∆ qua A, B, C có phương trình x y−2 z = = 1 Bài Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(6; −6; 6), B(4; 4; 4), C(− 2; 10; −2) S(−2; 2; 6) Chứng minh O, A, B, C bốn đỉnh hình thoi hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (OABC) trùng với tâm I OABC Tính khoảng cách hai đường thẳng SO AC Giải Ta có: + Các đoạn OB AC r nhận I(2; 2; r uuu trung điểm (1) 2) làm uuu r uuu uuu r + AC = ( −8; 16; − ) , OB = ( 4; 4; ) ⇒ AC.OB = −32 + 64 − 32 = ⇒ AC ⊥ OB (2) Từ (1) (2) suy O, A, B, C đỉnh hình thoi OABC uu uuu r r uu r  SI AC = −32 + 32 =  ⇒ SI ⊥ (OABC ) r r + SI = (4; 0; − 4);  uu uuu SI OB = 16 − 16 =    AC ⊥ OB ⇒ AC ⊥ ( SOB)  AC ⊥ SI + Do OABC hình thoi SI ⊥ (OABC ) nên:  Từ mp(SOB) kẻ IH ⊥ SO H IH ⊥ AC H Vậy IH đoạn vuông góc chung SO AC ⇒ d ( SO, AC ) = IH = SI OI 2.2 66 = = SO 11 11 3/ Một số toán tổng hợp mặt cầu: Bài Trong kg Oxyz cho đường thẳng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 mp(P):2x – y -2z - 2=0 Viết PT mặt cầu(S) có tâm I ∈ ∆ khoảng cách từ I đến mp(P) mặt cầu(S) cắt mp(P ) theo giao tuyến đường tròn (C)có bán kính r=3 Giải Mặt cầu(S) có tâm I ∈ ∆ g sửI(a;b;c ) =>(a;b;c) thoả mản PT ∆ (1) * d ( I;( P) ) = (2)  a − b − 2c − =    11 14   1 7 a=t ⇒ ⇒ heconghiem  ; − ; ÷; va  − ; − ; ÷ Từ (1) và(2) ta có hệ PT:  b = 2t − 6 6  3 3  c =t+2   Do r = R − = ⇔ R = 13 Vậy có mặt cầu theo ycbt : 2 14   1  11   ( S1 ) :  x − ÷ +  y + ÷ +  z − ÷ = 13 6  3  6  2 1 ( S2 ) :  x +  +  y +  +  z −  = 13  ÷  ÷  ÷ 3  3  3  Bài Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y + z − = = hai mặt −1 phẳng ( P ) : x + y − z + = 0, (Q) : x − y + z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với (P) cắt (Q) theo đường tròn có chu vi 2π Giải Giả sử mặt cầu cần tìm có tâm I, bán kính R > Vì I ∈ d nên I (−t + 1; 2t − ; t + 3) Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên R = d ( I ; ( P)) = Ta có d ( I ; (Q)) = 11 − 2t − 2t Chu vi đường tròn giao tuyến 2π r = 2π ⇒ r = Suy R = d ( I ; (Q)) + r = (11 − 2t ) +1 (2) t = (2 − 2t ) (11 − 2t ) = + ⇔  23 Từ (1) (2) suy t =  * Với t = ta có I (−3; ; 7), R = Suy mặt cầu ( x + 3) + ( y − 5) + ( z − 7) = 29   21 23 * Với t = ta có I  − ; 20 ; , R = Suy phương trình mặt cầu   2 21  29     x +  + ( y − 20 ) +  z −  = 49 2    Bài Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + = 0, đường thẳng x − y +1 z −1 = = đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng x = 1, y + z − = Viết −1 −1 phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ (P) d: Giải Mặt cầu có tâm I (2t + ; − t − 1; − t + 1) ∈ d t +9 d ( I ; ( P )) = Chọn u∆ = (0 ;1; − 1) M (1;1; 3) ∈ ∆ Khi MI = (2t + 1; − t − ; − t − 2) Suy [u∆ , MI ] = ( −2t − ; − 2t −1; − y −1) Suy d ( I , ∆) = [u ∆ , MI ] = u∆ 12t + 24t + 18 Từ giả thiết ta có d ( I ; ( P)) = d ( I ; ∆) = R t = = 6t + 12t + ⇔ 53t + 90t = ⇔  t = − 90  53  * Với t = Ta có I (2 ; − 1;1), R = Suy phương trình mặt cầu ⇔ t +9 ( x − 2) + ( y + 1) + ( z − 1) = 129 90  74 37 143  , R = * Với t = − Ta có I  − ; ; Suy phương trình mặt cầu 53 53  53 53 53  2 74   37   143   129   x+  + y −  +z −  =  53   53   53   53   Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d1) : x y z−4 = = Gọi (d2) giao tuyến mặt phẳng (α ) x + y − 3= ; ( β ) x + y + 3z −12 = Chứng minh (d1) (d2) chéo Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vuômg góc chung (d1) (d2) Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm O(0 ; ; 0), A(0 ; ; 4), B(2 ; ; 0) mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + = Lập phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm O, A, B có khỏang cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Giải .(S): x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = có tâm I(-a ; -b ; -c) , R = O, A, B thuộc (S) ta có : d = , a = -1, c = -2 d(I, (P)) = 2 a2 + b2 + c2 − d ⇔ − 2b + = ⇔ b = 0, b = • b = , (S): x2 + y2 + z2 - 2x – 4z = • b = , (S) : x2 + y2 + z2 – 2x + 10y – 4z = Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; 1; 2) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + z − = Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳngOxy Gọi ( S) mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn (C) giao (P) (S) Giải Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là: ( ) x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0, a + b + c2 − d > Vì A' , B, C, D ∈ ( S ) nên ta có hệ: …… Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x + y + z − x − y − z + = 5  29 (S) có tâm I ;1;1 , bán kính R = 2  +) Gọi H hình chiếu I lên (P) H tâm đường tròn ( C) +) Gọi ( d) đường thẳng qua I vuông góc với (P) (d) có vectơ phương là: n(1;1;1) 5 ….Do H = ( d ) ∩ ( P ) nên: + t + + t + + t − = ⇔ 3t = − ⇔ t = − 10 5 1 ⇒ H ; ;  3 6 IH = 75 29 75 31 186 = − = = , (C) có bán kính r = R − IH = 36 6 36 4/ Một số toán tổng hợp tìm điểm: Bài Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD có A(1 ; ; 1), B (−1 ; ; 0), C (1 ; ; − 1) Tìm tọa độ D Giải +) Rõ ràng AB ≠ k AC nên A, B, C không thẳng hàng  x = − 2t  +) CD // AB nên chọn u CD = AB = (−2 ; ; − 1) Suy pt CD :  y = + t  z = −1 − t  ⇒ D(1 − 2t ; + t ; − − t ) ∈ CD Vì ABCD hình thang cân với hai đáy AB, CD nên AD = BC Do (−2t ) + (t + 2) + (−t − 2) = ⇔ 3t + 4t + =  D(3 ; ⇒  5 D    3  t = −1 ⇔ t = −  ; 0) ; 2 ;− ÷ 3 Để ABCD hình thang cân BD = AC Do D(3, 2, 0) không thỏa mãn ABCD hình bình hành   3 2 3 Với D − , , −  thỏa mãn Bài Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho đường thẳng d : x + y − z −1 = = Xét hình −2 −2 bình hành ABCD có A(1 ; ; 0), C (2 ; ; 2), D ∈ d Tìm tọa độ B biết diện tích hình bình hành ABCD Giải x + y − z −1 = = ⇒ D(t − ; − 2t + ; − 2t + 1) −2 −2 S ABCD = ⇒ S ACD = +) Ta có AC = (1 ; ; 2); AD = (t − ; − 2t + ; − 2t + 1) +) D ∈ d : (1) Suy [ AC , AD] = (−4 ; 4t − ; − 4t + 9) Suy [ ] 1 AC , AD = 16 + (4t − 7) + (−4t + 9) = 32t − 128t + 146 (2) 2 2 Từ (1) (2) ta có 32t − 128t + 128 = ⇔ t = Suy D(0 ; − ; − 3) +) ABCD hình bình hành nên AB = DC Suy B(3 ; ; 5) S ACD = Bài Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A(1; 2; − 1) hai đường thẳng x −1 y z −1 x y −1 z ∆1 : = = , ∆2 : = = Xác định tọa độ điểm M, N thuộc đường 1 −2 −2 thẳng ∆1 ∆ cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng chứa điểm A đường thẳng ∆1 Giải Gọi (P) mặt phẳng chứa A ∆1 * ∆1 qua B(1; ; 1) có véctơ phương u1 (1; 1; − 2) ; AB(0 ; − ; 2) Suy mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến n = [ AB, u1 ] = (2 ; ; 2) 11 * M ∈ ∆1 ⇒ M (1 + t ; t ; − 2t ), N ∈ ∆ ⇒ N ( s ; + s ; − s) Do MN = ( s − t − 1; s − t + 1; − 2s + 2t − 1) s − t − s − t + − 2s + 2t − = = 2 Suy t = −2, s = −2 Vậy M (−1; − ; 5), N (−2 ; − ; 4) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; − 1), P(2; 3; − 4) Tìm toạ độ đỉnh Q biết đỉnh N nằm mặt phẳng (γ ) : x + y − z − = MN ⊥ ( P ) ⇒ Giải - Giả sử N ( x0 ; y0 ; z0 ) Vì N ∈ (γ ) ⇒ x0 + y0 − z0 − = (1)  MN = PN MN PN =  - MNPQ hình vuông ⇒ ∆MNP vuông cân N ⇔  ( x0 − 5) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1) = ( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 4)  ⇔ ( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1)( z0 + 4) =  ( 2)  x0 + z0 − = ⇔ (3) ( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1)( z0 + 4) =  y = −2 x + - Từ (1) (2) suy  Thay vào (3) ta x0 − x0 + = z = − x0 +   x0 = 2, y = 3, z = −1  N (2; 3; − 1) ⇒ hay   N (3; 1; − 2)  x0 = 3, y = 1, z = −2 - Gọi I tâm hình vuông ⇒ I trung điểm MP NQ ⇒ I ( ; 3; − ) Nếu N (2; − 1) Q(5; 3; − 4) Nếu N (3;1; − 2) Q(4; 5; − 3) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0;1; 0), C (0; 3; 2) mặt phẳng (α ) : x + y + = Tìm toạ độ điểm M biết M cách điểm A, B, C mặt phẳng (α ) Giải M ( x0 ; y0 ; z0 ) Khi từ giả thiết suy Giả sử 2 ( x0 − 1) + y0 + z0 =  2 ( x0 − 1) + y0 + z0   ⇔  x0 + ( y0 − 1) + z0  2 ( x0 − 1) + y0 + z0   2 x0 + ( y0 − 1) + z0 = x0 + ( y0 − 3) + ( z0 − 2) = = x + ( y0 − 1) + z 2 (1) = x0 + ( y0 − 3) + ( z0 − 2) (2) ( x0 + y0 + 2) y0 = x0  Từ (1) (2) suy   z0 = − x0 Thay vào (3) ta 5(3 x0 − x0 + 10) = (3 x0 + 2)  x0 =  M (1; 1; 2)  ⇔ ⇒  23 23 14  x0 = 23  M ( ; ; − ) 3 3   = Bài 12 (3) x0 + y0 + Cho d2 : mặt phẳng ( P ) : x − y + 2z −1 = đường thẳng d1 : x −1 y − z = = , −3 x−5 y z +5 = = Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) đường −5 thẳng MN cách (P) khoảng Giải Gọi M ( + 2t ;3 − 3t; 2t ) , N ( + 6t '; 4t '; −5 − 5t ' ) d ( M ; ( P ) ) = ⇔ 2t − = ⇔ t = 0; t = uuuu r Trường hợp 1: t = ⇒ M ( 1;3;0 ) , MN = ( 6t '+ 4; 4t '− 3; −5t '− ) uuuu uu r r uuuu uu r r MN ⊥ nP ⇔ MN nP = ⇒ t ' = ⇒ N ( 5;0; −5 ) Trường hợp 2: t = ⇒ M ( 3;0; ) , N ( −1; −4;0 ) x y z Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d1: = = , d2: 1  x = −1 − 2t  y = t z = + t  mặt phẳng (P): x – y – z = Tìm tọa độ hai điểm M ∈ d1 , N ∈ d cho MN song song (P) MN = Giài  x = t1  d :  y = t1 , d  z = 2t   x = −1 − 2t  :  y = t2 z = + t  , M ∈ d1 ⇒ M (t1 ; t1 ; 2t1 ), N ∈ d ⇒ N (−1 − 2t ; t ; + t ) MN = (−1 − 2t − t1 ; t − t1 ; + t − 2t1 ) → t1 = + 2t  MN //( P ) t1 = + 2t MN n =  ⇔ ⇔ ⇔ Theo gt :  12 …… MN = 13t + 12t = MN = t = ; t = − 13   Bài Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; − 1; 0), đường thẳng ∆ : x − y +1 z −1 = = −1 mặt phẳng ( P) : x + y + z − = Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng (P) biết đường thẳng AM vuông góc với ∆ khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ 33 Giải Gọi (Q) mặt phẳng qua M vuông góc với ∆ Khi pt (Q) : x − y + z − = Ta có nQ (2; − 1; 1), nP (1; 1; 1) Từ giả thiết suy A thuộc giao tuyến d (P) (Q) Khi  x = + 2t  ud = [nP , nQ ] = ( 2; 1; − 3) N (1; 0; 1) ∈ d nên pt d :  y = t  z = − 3t  A(1 + 2t ; t ; − 3t ) Vì A ∈ d suy 1 Gọi H giao điểm ∆ mặt phẳng (Q) Suy H (1; − ; ) 2 33 ⇔ 14t − 2t − 16 = ⇔ t = −1 ∨ t = Ta có d ( A, ∆ ) = AH = 23 17 Suy A(−1; − 1; 4) A( ; ; − ) 7 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) 13 Giải uuu r uuu r + Ta có: AB = (2; 2; −2), AC = (0; 2; 2) Suy phương trình mặt phẳng trung trực AB, AC là: x + y − z − = 0, y + z − = r uuu uuu r r + Vecto pháp tuyến mp(ABC) n =  AB, AC  = (8; −4; 4) Suy (ABC):   2x − y + z +1 =  x + y − z −1 = x =   + Giải hệ:  y + z − = ⇒  y = Suy tâm đường tròn I (0; 2;1) 2 x − y + z + =  z =   Bán kính R = IA = (−1 − 0) + (0 − 2) + (1 − 1)2 = x Bài 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1 ) : = (d ) : y z = x +1 y z −1 = = −2 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc (d1 ) N thuộc (d ) cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng ( P ) : x – y + z + 2010 = độ dài đoạn MN Giải + M , N ∈ (d1 ), (d ) nên ta giả sử uuuu r M (t1 ; t1 ; 2t1 ), N ( −1 − 2t2 ; t2 ;1 + t2 ) ⇒ NM = (t1 + 2t2 + 1; t1 − t2 ; 2t1 − t − 1) uu uuuu r r + MN song song mp(P) nên: nP NM = ⇔ 1.(t1 + 2t2 + 1) − 1.(t1 − t2 ) + 1(2t1 − t2 − 1) = uuuu r ⇔ t2 = −t1 ⇒ NM = (−t1 + 1; 2t1;3t1 − 1)  t1 = + Ta có: MN = ⇔ (−t1 + 1) + (2t1 ) + (3t1 − 1) = ⇔ 7t − 4t1 = ⇔  t1 =  4 + Suy ra: M (0; 0; 0), N (−1; 0;1) M ( ; ; ), N ( ; − ; ) 7 7 7 + Kiểm tra lại thấy hai trường hợp trường hợp M ∈ ( P) 2 2 KL: Vậy có hai cặp M, N thoả mãn x = t  Bài 11 .Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng ∆ :  y = 2t z =  điểm A(1, , − 1) Tìm tọa độ điểm E F thuộc đường thẳng ∆ để tam giác AEF tam giác Giải   + Đường thẳng ∆ qua M (0 , ,1) có vtcp u (1, , 0) ; M A = (1,0 ,−2) ;  M A , u  = ( , − , 2) → → →    M A , u    → + Khoảng cách từ A đến ∆ AH = d ( A , ∆) = → u + Tam giác AEF → AE = AF = AH →  → = 4 = Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R = 5 14 x = t  y = 2t   đường thẳng ∆ , nên tọa độ E , F nghiệm hệ :  z =  ( x − 1) + y + ( z + 1) = 32    1− 2  1+ 2 x = x = 5     2−4 2+4   2 ∨ y = t = suy tọa độ E F :  y = 5   z = z =       5/ Một số toán giá trị lớn nhỏ hình học không gian 0xyz Bài Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 1;4;2 ) , B ( −1;2;4 ) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua trực tâm H tam giác OAB vuông góc với mặt phẳng ( OAB ) Tìm tọa độ điểm M mặt phẳng ( OAB ) cho MA2 + MB nhỏ nhất.(O gốc hệ trục toạ độ) Giải uuu r r r OA = ( 1;4;2 )  r uuu uuu  uuu r  ⇒ n = OA, OB  = ( 12, −6,6 )   OB = ( −1;2;4 )   mặt phẳng (OAB) : x − y + z = H (a, b, c) trực tâm tam giác OAB nên :   a =  x = 2t  H ∈ mp (OAB)  2a − b + c =   r  uuur uuu 5    ⇔ −2a − 2b + 2c = ⇔ b = ( ∆ ) :  y = − t OH ⊥ AB 2 r   uuur uuu  −(a − 1) + 2(b − 4) + 4(c − 2) =  AH ⊥ OB     c= z = + t    Với điểm K ta có: uuu uuuu uuu uuuu r r r r uuuu uuu uuu r r r MA2 + MB = KA − KM + KB − KM = KA2 + KB + 2KM − KM KA + KB ( ) ( ) ( ) Chọn K (0;3;3) trung điểm AB nên MA + MB = KA + KM KA không đổi nên MA2 + MB nhỏ KM ngắn M hình chiếu K mặt phẳng (OAB ) uuuu r r M ( x; y; z ) ⇒ KM = ( x; y − 3; z − 3) / / n = (2; −1;1) ⇔ M (2t ;3 − t ;3 + t ) M ∈ (OAB) ⇒ 4t − (3 − t ) + (3 + t ) = ⇒ t = Vậy M (0;3;3) Bài Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) đường thẳng(d): x = 1− t   y = −2 + t z = 2t  2 (t ∈ R) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt đường thẳng (d) cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn 28t − 152t + 208 Giả sử ∆ cắt d M nên M (1 − t; −2 + t; 2t ) Ta có d ( B, ∆) = 3t − 10t + 20 15 Giải 28t − 152t + 208 16(11t − 8t − 60) ⇒ f '(t ) = Xét hàm f (t ) = 3t − 10t + 20 (3t − 10t + 20)  t = −2 f '(t ) = ⇔  30 , t =  11 lim f (t ) = t →±∞ 28 BBT Từ BBT ta thấy maxf (t ) = 12 ⇔ t = −2 ⇒ d ( B, ∆) max = 12 ⇔ t = −2 Khi đường thẳng ∆ có PT: x −1 y − z − = = −4 −3 Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) đường thẳng d có phương trình  x = + 3t   y = −2t (t ∈ R)  z = + 2t  Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A B nhỏ Giải M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) ∈ d , AB//d Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B (MA+ MB)min = A’B, A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB MA=MB M(2 ; ; 4) Bài Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = hai điểm A(3; − 1; 2), B (1; − 5; 0) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA.MB đạt giá trị nhỏ Giải I (2; − 3; 1) IA + IB = +) Gọi I trung điểmrAB.rKhi r uu uuur uuur uuu uu uuuđó r uuu uu uuu uu r r r r +) Ta có MA.MB = ( MI + IA)( MI + IB ) = (MI + IA)( MI − IA ) = MI − IA AB 2 ⇒ MA.MB đạt giá trị nhỏ ⇔ MI nhỏ (do IA = không đổi) ⇒ M hình chiếu vuông góc I (P) x = + 2t  uuu r r  +) Chọn uIM = n p = (2; − 1; 2) ⇒ phương trình IM :  y = −3 − t Thay vào phương trình (P) suy  z = + 2t  t = −2 ⇒ M (−2; − 1; − 3) x +1 y − z = = điểm −2 A(1; 2; 7), B (1; 5; 2), C (3; 2; 4) Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho MA2 − MB − MC đạt giá trị Bài Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : lớn Giải +) M ∈ d ⇒ M (−2t − 1; t + 4; 2t ) +) P = MA2 − MB − MC = [(−2t − 2) + (t + 2) + (2t − 7) ] − − [(−2t − 2) + (t − 1) + (2t − 2) ] − [(−2t − 4) + (t + 2) + ( 2t − 4) ] = −9t − 18t + 12 = −9(t + 1) + 21 ≤ 21 Suy max P = 21 , đạt t = −1 hay M (1; 3; − 2) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(5; 8; − 11), B(3; 5; − 4), C (2; 1; − 6) đường thẳng d : giá trị nhỏ x −1 y − z −1 = = Xác định toạ độ điểm M ∈ d cho MA − MB − MC đạt −1 Giải 16 * M ∈ d ⇒ M (2t + 1; t + 2; − t + 1) ⇒ MA − MB − MC = (2t + 1; t + 4; − t) 2 2 * MA − MB − MC = (2t + 1) + (t + 4) + t = 6t + 12t + 17 = 6(t + 1) + 11 ≥ 11 Suy MA − MB − MC = 11 t = −1 ⇒ M (−1; 1; 2) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1 : ∆2 : x−2 y+4 z = = −1 x − y − 10 z + = = Tìm toạ độ điểm M ∈ ∆1 N ∈ ∆ cho độ dài MN đạt giá trị −1 nhỏ * M ∈ ∆1 ⇒ M (−t1 + 2; 2t1 − 4; t1) N ∈ ∆ ⇒ N (t2 + 6; − t2 + 10; 2t2 − 8) Giải ⇒ MN = (t2 + t1 + 4; − t2 − 2t1 + 14; 2t2 − t1 − 8) * ∆1 qua A(2; − 4; 0) có u1 = (−1; 2; 1) ∆2 qua B(6; 10; − 8) có ⇒ u2 = (1; − 1; 2) ⇒ [u1, u2].AB = 70 ≠ Suy ∆1, ∆2 chéo Để độ dài MN nhỏ MN đường vuông góc chung ∆1, ∆2 MN u1 =  ⇔ MN u2 =  − 6t − t + 16 = ⇔ t1 + 6t2 − 26 = t = ⇔ 1 t2 = M (0; 0; 2) ⇒ N (10; 6; 0) Bài Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ( P ) : x + y − z + = đường thẳng (d ) : x+3 = y + = z − , điểm A( -2; 3; 4) Gọi ∆ đường thẳng nằm (P) qua giao điểm ( d) (P) đồng thời vuông góc với d Tìm ∆ điểm M cho khoảng cách AM ngắn Giải  x = 2t −  Chuyển phương trình d dạng tham số ta được:  y = t − z = t +  Gọi I giao điểm (d) (P) ⇒ I ( 2t − 3; t − 1; t + 3) Do I ∈ ( P ) ⇒ 2t − + 2(t − 1) − (t − 3) + = ⇔ t = ⇒ I ( − 1;0;4 ) * (d) có vectơ phương a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến n(1;2;−1) [ ] ⇒ a, n = ( − 3;3;3) Gọi u vectơ phương ∆ ⇒ u( − 1;1;1) x = − u  ⇒ ∆ : y = u Vì M ∈ ∆ ⇒ M ( − − u; u;4 + u ) , ⇒ AM(1 − u; u − 3; u ) z = + u  AM ngắn ⇔ AM ⊥ ∆ ⇔ AM ⊥ u ⇔ AM.u = ⇔ −1(1 − u) + 1(u − 3) + 1.u = ⇔u=  − 16  Vậy M ; ;   3 3 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đường thẳng d có phương trình x −1 y z −1 = = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn Gi?i 17 Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P) Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH ≥ HI => HI lớn A ≡ I Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến H ∈ d ⇒ H (1 + 2t ; t ;1 + 3t ) H hình chiếu A d nên AH ⊥ d ⇒ AH u = (u = (2;1;3) véc tơ phương d) ⇒ H (3;1;4) ⇒ AH (−7;−1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =  7x + y -5z -77 = Bài 10 Cho điểm A ( 2;5;3) đường thẳng d : ( α ) chứa x −1 y z − = = Viết phương trình mặt phẳng 2 d cho khoảng cách từ A đến ( α ) lớn Giải Gọi K hình chiếu A d ⇒ K cố định; Gọi ( α ) mặt phẳng chứa d H hình chiếu A ( α ) Trong tam giác vuông AHK ta có AH ≤ AK Vậy AH max = AK ⇔ ( α ) mặt phẳng qua K vuông góc với AK Gọi ( β ) mặt phẳng qua A vuông góc với d ⇒ ( β ) : x + y + z − 15 = ⇒ K ( 3;1; ) ⇒ ( α ) mặt phẳng qua K vuông góc với AK ⇒ ( α ) : x − y + z − = Bài 11 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C di động tia Ox, Oy Oz cho mặt phẳng (ABC) không qua O qua điểm M(1; 2; 3) Xác định tọa độ điểm A, B, C để thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ Giải Từ giả thiết ta suy tọa độ điểm A, B, C định bởi: A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) a, b, c số thực dương ⇒ phương trình mp(ABC): + M(1, 2, 3) ∈ mp(ABC) nên: x y z + + =1 a b c + + =1 a b c 6 + Thể tích khối tứ diện OABC tính bởi: V = OA.OB.OC = a.b.c a b c a b c + Theo bđt CauChy: = + + ≥ 33 ⇒ a.b.c ≥ 162 ⇒ V ≥ 27 = = = hay a = 3; = 6; c = a b c Vậy Vmax = 27 đạt A(3;0;0), B(0;6;0), C (0;0;9) Bài 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+z=0 Đẳng thức xảy đường thẳng d có phương trình x = + t   y = −2 + t  z = −t  Tìm tọa độ điểm A thuộc d tọa độ điểm B trục Oz cho AB//(P) độ dài đoạn AB nhỏ Giải A(1+t;-2+t;-t)∈d, B(0;0;b)∈Oz, AB(−1 − t ;2 − t; b + t ) , n( P ) (2;0;1) AB.n( P ) = ⇔ b = + t B∉(P) ⇒b≠0 , AB đạt giá trị nhỏ t = − 2 AB2=6t2+6t+9 ; ⇒b= 2 Vậy A( ;− ; ), B(0;0; ) 18 Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) đường thẳng  x = −1 + 2t  ∆ có phương trình tham số  y = − t Một điểm M thay đổi đường thẳng ∆ , xác định vị  z = 2t  trí điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Giải Gọi P chu vi tam giác MAB P = AB + AM + BM Vì AB không đổi nên P nhỏ AM + BM nhỏ  x = −1 + 2t  Đường thẳng ∆ có phương trình tham số:  y = − t Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t ;1 − t ; 2t )  z = 2t  ( −2 + 2t ) + ( −4 − t ) + ( 2t ) = 9t + 20 = BM = ( −4 + 2t ) + ( −2 − t ) + ( −6 + 2t ) = 9t − 36t + 56 = AM + BM = ( 3t ) 2 2 ( + ) ( 3t ) ( AM = + ( 3t − ) ( + ) ( 3t − ) + ) ( + ) 2 r ( ) r ( ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t ; v = −3t + 6; r | u |=  Ta có  r | v |=   ( 3t ) ( + ( 3t − ) ) ( ) + r r r r r r Suy AM + BM =| u | + | v | u + v = 6; ⇒| u + v |= 29 r r r r r r Mặt khác, với hai vectơ u , v ta có | u | + | v |≥| u + v | Như AM + BM ≥ 29 r r 3t = ⇔ t =1 Đẳng thức xảy u , v hướng ⇔ −3t + ⇒ M ( 1;0; ) ( AM + BM ) = 29 ( ( ) ) Vậy M(1;0;2) minP = 11 + 29 Bài 14 Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1) Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho độ dài đoạn thẳng CD nhỏ Giải uuu r Ta có AB = ( −1; −4; −3) x = 1− t  Phương trình đường thẳng AB:  y = − 4t  z = − 3t  Để độ dài đoạn CD ngắn nhất=> D hình chiếu vuông góc C cạnh AB, gọi tọa độ điểm uuu r D(1-a;5-4a;4-3a) ⇒ DC = (a; 4a − 3;3a − 3) uuu r uuu r Vì AB ⊥ DC =>-a-16a+12-9a+9=0 a = 21 26  49 41  Tọa độ điểm D  ; ; ÷  26 26 26  19 Bài 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số  x = −2 + t   y = −2t  z = + 2t  Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) I(-2;0;2) hình chiếu vuông góc A (D) Trong mặt phẳng qua ∆ , viết phương trình mặt phẳng có khoảng cách đến (D) lớn Giải Gọi (P) mặt phẳng qua đường thẳng ∆ , ( P) //( D) ( P) ⊃ ( D) Gọi H hình chiếu vuông góc I (P) Ta có IH ≤ IA IH ⊥ AH  d ( ( D ) , ( P ) ) = d ( I , ( P ) ) = IH  H ∈ ( P )  Mặt khác  Trong mặt phẳng ( P ) , IH ≤ IA ; maxIH = IA ⇔ H ≡ A Lúc (P) vị trí (P 0) vuông góc r uu r r với IA A Vectơ pháp tuyến (P0) n = IA = ( 6;0; −3) , phương với v = ( 2;0; −1) Phương trình mặt phẳng (P0) là: ( x − ) − ( z + 1) = 2x - z - = Bài 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0 ; ; c) với a, b, c số dương thay đổi cho a2 + b2 + c2 = Xác định a, b, c để khỏang cách từ O đến mp(ABC) lớn Giải −1 x y z + + = ⇒ d ( O; ( ABC )) = Pt mp(ABC): a b c 1 + + 2 a b c 1 1 Theo bất đẳng thức Côsi : + + ≥ 33 2 = a2 + b2 + c2 ≥ 33 a b c a b c a b c 1 1 1 + + ≥ ⇒ d ≤ Ta có : + + ≥ ⇔ a b c a b c Dấu = xảy a2 = b2 = c2 hay a = b = c = Vậy d lớn bắng a = b = c = Bài 17 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(2; − 1; 2), C ( −1; 1; − 3), x −1 y z − = = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, −1 2 qua điểm A cắt mặt phẳng ( ABC ) theo đường tròn cho bán kính đường tròn nhỏ đường thẳng ∆ : Giải Ta có AB(1; − 1; 2), AC (−2; 1; − 3) Suy pt ( ABC ) : x − y − z − = Gọi tâm mặt cầu I ∈ ∆ ⇒ I (1 − t; 2t ; + 2t ) Khi bán kính đường tròn r = IA2 − d ( I , ( ABC )) = 2t + 4t + 2(t + 1) + = ≥ 3 Dấu đẳng thức xảy t = −1 Khi I (2; − 2; 0), IA = Suy pt mặt cầu ( x − 2) + ( y + 2) + z = Bài 18.: Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Tìm điểm M ∈ ( P ) cho: 1) MA + MB nhỏ nhất, biết A ( 1;0;0 ) , B ( 1;2;0 ) 2) MA − MB lớn nhất, biết A ( 1;2;1) , B ( 0;1;2 ) 20 3) MA2 + 3MB nhỏ nhất, biết A ( 1;2;1) , B ( 0;1;2 ) 4) MA2 + 3MB + MC nhỏ nhất, biết A ( 1;2;1) , B ( 0;1;2 ) , C ( 0;0;3) uuu r uuu r uuur u MA + 3MB + MC nhỏ nhất, biết A ( 1;2;1) , B ( 0;1;2 ) , C ( 0;0;3) 5) Hướng dẫn : 1) Cách giải • Xét vị trí tương đối A, B so với (P) Đặt f ( x; y; z ) = x + y + z − Thay tọa độ A, B vào tính f ( x A ; y A ; z A ) f ( xB ; yB ; z B ) - Nếu f ( x A ; y A ; z A ) f ( xB ; yB ; z B ) < A, B hai phần không gian khác ngăn cách (P) - Nếu f ( x A ; y A ; z A ) f ( xB ; yB ; z B ) > A, B phía so với (P) • Nếu A, B khác phía so với (P) với M ∈ ( P ) tùy ý ta có MA + MB ≥ AB Suy ( MA + MB ) = AB đạt M = AB ∩ ( P ) - Viết p/trình đường thẳng AB - Tìm giao điểm M AB ∩ ( P ) (Giải hệ p/trình AB (P)) - Kết luận • Nếu A, B phía so với (P) , ta lấy điểm A′ đối xứng với A qua (P) Khi MA′ = MA ⇒ MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B ⇒ ( MA + MB ) = A′B đạt M = A′B ∩ ( P ) ♣ Tính tọa độ A′ : - Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A ( d ) ⊥ ( P ) - Giải hệ { ( d ) ; ( P ) } tìm tọa độ H = ( d ) ∩ ( P ) hình chiếu vuông góc A (P) - H trung điểm A′A Biết tọa độ A, H suy tọa độ A′ ♣ Viết p/trình đường thẳng A′B ♣ Giải hệ { A′B; ( P ) } tìm tọa độ M = A′B ∩ ( P ) A’ A M M B H B A Tr.Hợp Tr.Hợp 2) Làm ngược lại hai trường hợp câu • Nếu A, B phía so với (P) MA − MB ≤ AB • Nếu A, B phía so với (P), ta lấy điểm A′ đối xứng với A qua (P) Khi MA′ = MA ⇒ MA − MB = MA′ − MB ≤ A′B Cách làm trường hợp câu uuu r uuu uu uuu uu r r r r uuu uu r r 3) Xét điểm I tùy ý, ta có MA2 = MA = MI + IA = MI + IA + 2MI IA uuu r uuu uu uuu uu r r r r uuu uu r r MB = MB = MI + IB = MI + IB + 2MI IB uuu uu r r uuu uu r r uuu uu r r uuu uu r r MA2 + MB = MI + IA + 2MI IA + MI + IB + 2MI IB Suy ( ) ( ) ( ) 21 uuu uu r r uu r uuu uu r r uu r ⇒ MA2 + MB = 3MI + IA + IB + 2MI IA + IB uuu uu r r uu r ⇒ MA2 + MB = 3MI + IA2 + IB + 2MI IA + IB uu r uu r uu r r uu r Giả sử IA + IB = ⇔ IA = −2 IB , ta có tọa độ I là: x A + xB + 2.0  x = 1+ = =  y + y B + 2.1  1 5 I y = A = = Hay I  ; ; ÷ 1+ 3 3 3  z A + z B + 2.2  z = 1+ = =  uu r uu r r 1 5 Vậy, với I  ; ; ÷, ta có IA + IB = nên MA2 + MB = 3MI + IA2 + IB 3 3 ( ( ) ) Do I cố định nên IA2 , IB không đổi Vậy MA2 + MB nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I (P) r 1 5 • Đường thẳng ( d ) qua I  ; ; ÷ vuông góc với (P) nhận vecto pháp tuyến n = ( 1;1;1) 3 3 (P) làm vecto phương nên có p/trình x = + t   ( d ) : y = 43 + t  z = + t   14 17  - Tọa độ giao điểm H ( d ) ∩ ( P ) là: H  ; ; ÷ 9 9  - H hình chiếu I (P) • Vậy M hình chiếu I (P) nên M ≡ H  14 17  Kết luận: MA2 + MB nhỏ M  ; ; ÷ 9 9  4) Làm tương tự câuuuu 3)r uuu r uuur u uuuu r 5) Cần rút gọn tổng MA + 3MB + 4MC thành vecto MH uuu r uuu r uuur uuuu u r Khi MA + 3MB + MC = MH = MH nhỏ ⇔ M hình chiếu H (P) Làm câu 3) uuu r uuu r uuur uuu uu u r r uuu uu r r uuu uu r r MA + 3MB + 4MC = MI + IA + MI + IB + MI + IC Bằng cách phân tích uuu uu uu r r r uu r = 8MI + IA + 3IB + IC uu uu r r uu r r Đến việc tìm tọa độ điểm I cho IA + 3IB + IC = làm hướng dẫn uu uu r r uu r uur uuu uuu r r r uuu r Chú ý: IA + 3IB + IC = ⇔ OI = OA + 3OB + 4OC  xI = ( x A + 3xB + xC )    Suy tọa độ I  yI = ( y A + yB + yC )    z I = ( z A + 3z B + zC )  ( ( ) ( ) 22 ) CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CĐ TỪ NĂM 2005-2011 Bài KA 2005 Cho đường thẳng d: x −1 y + z − = = mp(P): 2x+y-2z+9=0 Tìm giao −1 điểm A d (P) Viết phương trình đường thẳng d’đi qua A nằm (P) vuông góc d’  x=12+3t x −1 y + z +1  = = , d': y=-t Bài 2: KD 2005 Cho hai đường thẳng d : Mặt phẳng tọa độ −1 z=10+2t  Oxz cắt hai đường thẳng d, d’ A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc tọa độ) Bài 3: KD 2006 Cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng d: x −2 y + z −3 = = d’: −1 x −1 y −1 z +1 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A vuông góc với d cắt d’ −1  x = −1 + 2t x y −1 z +  = Bài 4: KA 2007 Cho hai đường thẳng d : = , d’: y = + t −1 z =  Chứng minh d d’ chéo Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (P) cắt hai đt d, d’ Bài 5: KB 08 Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C Bài 6: CĐ 08 Cho điểm A(1;1;3) đường thẳng d: x y z −1 = = −1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vuông góc với d Tìm tọa độ M thuộc d cho tam giác MOA cân O Bài KD 08 Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Tìm tọa độ tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 8: KD 08 Cho điểm A(2;5;3) đường thẳng d: x −1 y z − = = Xác định hình chiếu 2 vuông góc A lên d Bài KB 09 Cho tứ diện ABCD có A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cho khoảng cách từ C đến (P) khoảng cách từ D đến (P) Bài 10 KA09 Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 mặt cầu (S): x + y + z2 − 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh (P) cắt (S) theo đường tròn Xác định tâm bán kính đường tròn Bài 11 KD 09 Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) mp(P): x+y+z-20=0 Xác định điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Bài 12 KD 09 Cho đường thẳng d: x+2 y−2 z = = mp(P): x+2y-3z+4=0 Viết phương 1 −1 trình đường thẳng nằm (P) cắt d vuông góc với d Bài 13 CĐ 09 Cho hai mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0, (Q): 3x+2y-z+1=0 điểm A(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (R) qua điểm A vuông góc với hai mặt phẳng (P) (Q) Bài 14 CĐ 09 Cho tam giác ABC với A(1;1;0), B(0;2;1) trọng tâm G(0;2;-1) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C vuông góc mặt phẳng (ABC) Bài 15 CĐ 10 Cho hai điểm A(1;-2;3), B(-1;0;1) mp(P): x+y+z+4=0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A lên (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P) 23 AB , có tâm thuộc đường thẳng AB Bài 16 CĐ 10 Cho đường thẳng d: x y −1 z = = mp(P): 2x-y+2z-2=0 −2 1 Viết phương trình mặt phẳng chứa d vuông góc với (P) Tìm điểm M thuộc d cho M cách gốc tọa độ O (P) Bài 17: KD 10 Cho hai mặt phẳng (P): x+y+z-3=0, (Q): x-y+z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) (Q) khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (R) x = + t x − y −1 z  = = Xác định M thuộc d Bài 18: KD 10 Cho hai đường thẳng d: y = t d ' : 2 z = t  cho khoảng cách từ M đến d’ Bài 19: (ĐH – B 2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x y −1 z = = Xác 2 định tọa độ điểm M trục hoành cho khoảng cách từ M đến Δ OM Bài 20: (ĐH - KA2010) (CB) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x −1 y z + = = mặt phẳng (P) : x − 2y −1 + z = Gọi C giao điểm ∆ với (P), M điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = Bài 21: (ĐH - KA2010) (NC) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng ∆ : x+2 y−2 z+3 = = Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ hai điểm B C cho BC = .Bài 22: (ĐH - KA2011) (NC) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y2 + z2–4x–4y– 4z=0 điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Bài 23: (ĐH - KA2011) (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) mặt phẳng (P): 2x – y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = Bài 24: (ĐH - KB2011) (CB) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ : x − y +1 z = = −2 −1 mặt phẳng (P): x + y + z – = Gọi I giao điểm Δ (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vuông góc với Δ MI = 14 Bài 25: (ĐH - KB2011) (NC) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x + y −1 z + = = −2 hai điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng Δ cho tam giác MAB có diện tích   Bài 26: (ĐH – KD 2011) (CB) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d: x +1 y z − = = −2 Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d cắt trục Ox Bài 27: (ĐH – KD 2011) (NC) 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x −1 y − z = = mặt phẳng(P) x − y + z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng Δ, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) 25