ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC PHẠM TUẤN ANH TÍNH NHỊ PHÂN MŨ ĐỀU CỦA HỌ CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN HỌC PHẠM TUẤN ANH TÍNH NHỊ PHÂN MŨ ĐỀU CỦA HỌ CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2015 Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tiến hóa phương trình vi phân 1.2 Định lý điểm bất động 1.3 Toán tử nghịch đảo 1.4 Công thức biến thiên số 1.5 Bổ đề Gronwall-Bellman 2 Nhị phân mũ rời rạc 2.1 Nhị phân rời rạc hệ phương trình sai phân 2.2 Bất đẳng thức kiểu Gronwall rời rạc 2.3 Mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc hai hệ sai phân Nhị phân mũ 17 3.1 Nhị phân mũ hệ phương trình vi phân 17 3.2 Mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc nhị phân mũ 20 3.3 Nhị phân mũ phụ thuộc tham số 22 3.4 Đa tạp tích phân 29 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 i Lời cảm ơn Để hoàn thành chương trình đào tạo hoàn thiện luận văn này, thời gian vừa qua nhận nhiều giúp đỡ gia đình, Thầy cô bạn bè Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, Thầy nhiệt tình hướng dẫn bảo trình hoàn thành luận văn Thầy dạy cho cách làm việc cách tự nghiên cứu cách seminar Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Khiêm - Giảng viên khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Thầy đồng hành buổi seminar Thầy bảo thêm cho nhiều kiến thức Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy cô Khoa, đặc biệt GS TS Nguyễn Hữu Dư, PGS TS Hoàng Quốc Toàn, PGS TS Đặng Đình Châu, người trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy trình học cao học Tôi xin cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thiện thủ tục bảo vệ luận văn ii Lời nói đầu Khái niệm nhị phân mũ chủ đề lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính đặc biệt hữu ích người ta giải toán phi tuyến mà phần tuyến tính có nhị phân mũ Một tính chất quan trọng nhị phân mũ tính vững Tính vững nghĩa không bị thay đổi nhiễu ma trận hệ số Nói rõ hơn, giả sử phương trình vi phân tuyến tính x = A(t)x có nhị phân mũ đều, A(t) hàm ma trận thực liên tục theo t cỡ d × d Nếu B(t) hàm ma trận thực liên tục theo t cỡ d × d sup |B(t) − A(t)| ≤ δ0 đủ nhỏ phương trình y = B(t)y có nhị phân t mũ Xu hướng gần đây, nhà toán học không đặt lên điều kiện ma trận hệ số mà lại đặt lên dòng sinh phương trình, tức đặt lên toán tử tiến hóa Trong luận văn không xét hệ đơn giản x = A(t)x mà xét họ phương trình vi phân phụ thuộc tham số x = A(t; λ)x, λ tham số Trong luận văn này, chứng minh chi tiết mối liên hệ nhị phân mũ họ phương trình vi phân x = A(t; λ)x phụ thuộc tham số với hệ y = B(t)y Ý tưởng chứng minh tính liên tục nhị phân mũ cho họ phương trình vi phân chuyển nhị phân mũ rời rạc phương trình sai phân Để làm rõ chứng minh trên, tìm hiểu cách chứng minh nhà toán học sau Coppel chứng minh định lý nhiễu kết lại mức độ đơn giản (xem [3]) Palmer chứng minh định lý nhiễu cách tổng quát (xem [7]) tương đương định lý nhiễu Henry (xem [5]), cách chứng minh Palmer khác Henry Trong luận văn cho ước lượng liên quan đến định lý nhiễu Henry cho nhị phân mũ làm rõ điều kiện biên hệ số Vì kết tốt so với định lý nhiễu Henry Luận văn chia làm ba chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại kiến thức mà chứng minh chương sau cần dùng Các kiến thức chuẩn bị gồm có toán tử tiến hóa phương trình vi phân, định lý điểm bất động, toán tử nghịch đảo, công thức biến thiên số Bổ đề Gronwall-Bellman • Chương 2: Nhị phân mũ rời rạc Chương trình bày nhị phân rời rạc hệ iii phương trình sai phân, bất đẳng thức kiểu Gronwall rời rạc, mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc hai hệ sai phân • Chương 3: Nhị phân mũ Chương có chứng minh định lý luận văn Chương trình bày nhị phân mũ hệ phương trình vi phân, mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc nhị phân mũ đều, nhị phân mũ phụ thuộc tham số, ứng dụng đa tạp tích phân Một số kí hiệu luận văn C(R, Rd ) không gian hàm liên tục BC(R, Rd ) không gian hàm liên tục bị chặn M (d × d, R) không gian ma trận thực cỡ d × d GL(d, R) không gian ma trận thực khả nghịch cỡ d × d BC(δ), U(δ) hình cầu mở bán kính δ không gian Banach BC U I ma trận đơn vị Hà nội, ngày 20 tháng 10 năm 2015 Phạm Tuấn Anh iv Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tiến hóa phương trình vi phân Xét phương trình vi phân tuyến tính x = A(t)x (1.1.1) x ∈ Rd , A ∈ C(R, Rd ) Gọi X(t) ma trận nghiệm hệ (1.1.1), tức nghiệm hệ (1.1.1) thỏa mãn x(t) = X(t)x(0) Chúng ta định nghĩa X(t, s) = X(t)X −1 (s) ma trận tiến hóa (hay toán tử tiến hóa) hệ (1.1.1) thỏa mãn tính chất sau X(s, s) = I, ∀s ∈ R X(t, τ )X(τ, s) = X(t, s), ∀t, τ, s ∈ R X −1 (t, s) = X(s, t), ∀t, s ∈ R 1.2 Định lý điểm bất động Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X không gian metric với khoảng cách d Ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn ≤ θ < cho d(f (x), f (y)) ≤ θ d(x, y) với x, y ∈ X Điểm x0 ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ f f (x0 ) = x0 Định lý 1.2.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X vào có điểm bất động 1.3 Toán tử nghịch đảo Định lý 1.3.1 Cho X không gian Banach A toán tử tuyến tính bị chặn X Khi với µ ∈ C cho |µ| < ||A||−1 toán tử I − µA có nghịch đảo liên tục, ∞ −1 (I − µA) µn An = n=0 1.4 Công thức biến thiên số Trong không gian Rd , xét phương trình vi phân tuyến tính x = A(t)x, (1.4.1) A(t) ma trận liên tục cấp d × d với t ∈ R Với s ∈ R xs ∈ Rd phương trình (1.4.1) có nghiệm x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(s) = xs Toán tử tiến hóa X(t, s) : Rd −→ Rd với t, s ∈ R xác định X(t, s)xs = x(t) Xét phương trình vi phân x = A(t)x + f (t, x) (1.4.2) với hàm f (t, x) liên tục Gọi x(t) nghiệm phương trình (1.4.2) Khi đó, nghiệm hệ (1.4.2) xác định công thức t x(t) = x(t, s, xs ) = X(t, s)x(s) + X(t, τ )f τ, x(τ ) dτ (1.4.3) s Công thức (1.4.3) gọi công thức biến thiên số 1.5 Bổ đề Gronwall-Bellman Bổ đề 1.5.1 Giả sử λ(t) hàm thực liên tục µ(t) hàm liên tục không âm đoạn [a, b] Nếu hàm liên tục y(t) thỏa mãn t y(t) ≤ λ(t) + µ(s)y(s)ds, a với a ≤ t ≤ b, đoạn t y(t) ≤ λ(t) + λ(s)µ(s)e a Nói riêng, λ(t) ≡ λ số y(t) ≤ λe t a µ(s)ds t s µ(τ )dτ ds Chương Nhị phân mũ rời rạc Trong chương này, giới thiệu định nghĩa nhị phân rời rạc cho phương trình sai phân tuyến tính, mối liên hệ tính nhị phân rời rạc hệ sai phân tuyến tính hệ sai phân phi tuyến Bất đẳng thức kiểu Gronwall rời rạc đề cập đến, bất đẳng thức công cụ quan trọng dẫn đến kết tốt cho đánh giá Mối liên hệ hai họ phép chiếu gần Định lý cuối chương công cụ quan trọng để chứng minh định lý chương sau 2.1 Nhị phân rời rạc hệ phương trình sai phân Cho {Tn }∞ n=−∞ dãy bị chặn GL(d, R), xét phương trình sai phân xn+1 = Tn xn , n ∈ Z (2.1.1) Định nghĩa 2.1.1 T (n, m) toán tử tiến hóa cho (2.1.1) định nghĩa  Tn−1 Tn−2 Tm , n>m  T (n, m) = I, n=m  −1 −1  −1 Tn Tn+1 Tm−1 , n < m Nhận xét: Nếu dãy (xn ) nghiệm hệ (2.1.1) xn = T (n, m)xm , n, m ∈ Z Định nghĩa 2.1.2 Một ánh xạ P : Z −→ không gian toán tử tuyến tính bị chặn Rd gọi họ phép chiếu Pn Pn = Pn , n ∈ Z Nếu P họ phép chiếu ánh xạ Q : Z −→ không gian toán tử tuyến tính bị chặn Rd định nghĩa Qn = I − Pn , n ∈ Z họ phép chiếu gọi phép chiếu bù P Giá trị riêng A(t) không phụ thuộc vào t dễ dàng √ √ −1 + i −1 − i λ1 (t) = , λ2 (t) = · 4 Đặc biệt, ta thấy phần thực giá trị riêng âm với t Ta tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính hệ là: t − cos t e , sin t v1 (t) = sin t −t e · cos t v2 (t) = Khi đó, ma trận nghiệm xác định t X(t) = −e cos t e−t sin t , t e sin t e−t cos t −1 −e− cos s e− sin s · es sin s es cos s ma trận nghịch đảo s s X (s) = Chúng ta chọn phép chiếu P = Khi 0 · e(s−t) sin s sin t e(s−t) cos s sin t , e(s−t) sin s cos t e(s−t) cos s cos t X(t)P X −1 (s) = kéo theo |X(t)P X −1 (s)| ≤ e−(t−s) , ∀t ≥ s Tương tự, ta có 1 X(t)QX −1 (s) = e (−s+t) cos s cos t e (−s+t) sin s cos t , 1 e (−s+t) cos s sin t e (−s+t) sin s sin t kéo theo |X(t)QX −1 (s)| ≤ e (t−s) , ∀t ≤ s Vậy hệ có nhị phân mũ với số mũ α = 1, β = , K = Lưu ý rằng: Nếu đặt P (t) = X(t)P X −1 (t) điều kiện (ii) |X(t, s)P (s)| ≤ Ke−α(t−s) , t ≥ s ⇔ |X(t)P X −1 (s)| ≤ Ke−α(t−s) , t ≥ s (iii) |X(t, s)Q(s)| ≤ Keβ(t−s) , t ≤ s ⇔ |X(t)QX −1 (s)| ≤ Keβ(t−s) , t ≤ s 19 Hệ (3.1.1) gọi có bậc tăng bị chặn (C, µ), C ≥ 1, µ ≥ điều kiện sau thỏa mãn |X(t, s)| ≤ Ceµ|t−s| , t, s ∈ R Dễ dàng thấy rằng, (3.1.1) có bậc tăng bị chặn (C, µ) toán tử tiến hóa X(t, s) thỏa mãn C −1 e−µ|t−s| ≤ |X(t, s)|, t, s ∈ R 3.2 Mối liên hệ nhị phân mũ rời rạc nhị phân mũ Bổ đề 3.2.1 Nếu toán tử Y (t, s) có bậc tăng bị chặn (C1 , µ1 ) với t0 , dãy {Y (nl + t0 , (n − 1)l + t0 )}∞ n=−∞ có nhị phân mũ rời rạc loại (θ1 , γ1 , K1 ) Y (t, s) có nhị phân mũ loại (α1 , β1 , K1 ) θ1 = e−α1 l , γ1 = eβ1 l K1 = C1 K1 max e(µ1 +α1 )l , e(µ1 +β1 )l Chứng minh Giả sử ta cố định s ∈ R tùy ý, xét dãy bị chặn {Y (nl + s, (n − 1)l + s)}∞ n=−∞ = {Sn } Do đó, dãy viết tường minh sau S1 =Y (l + s, s) S2 =Y (2l + s, l + s) S3 =Y (3l + s, 2l + s) ··························· Sn−1 =Y ((n − 1)l + s, (n − 2)l + s) Sn =Y (nl + s, (n − 1)l + s) Theo giả thiết {Sn }∞ n=−∞ có nhị phân rời rạc loại (θ1 , γ1 , K1 ) Khi đó, tồn họ phép chiếu {Pn }∞ n=−∞ cho • sup |Pn | ≤ K1 n • Sn Pn = Pn+1 Sn • n−1 n−1 |S(n, 1)P1 | ≤ K1 θ1 ⇔ |Sn−1 S1 P1 | ≤ K1 θ1 n−1 ⇔ |Y ((n − 1)l + s, s)P1 | ≤ K1 θ1 , n ≥ 20 • n−1 n−1 |S(n, 1)Q1 | ≤ K1 γ1 ⇔ |Y ((n − 1)l + s, s)Q1 | ≤ K1 γ1 , n < 1, Q1 = I − P1 Ta định nghĩa P (t) = Y (t, s)P1 Y (s, t) Khi P ((n − 1)l + s) =Y ((n − 1)l + s, s)P1 Y (s, (n − 1)l + s) −1 −1 =Sn−1 S1 P1 S1 Sn−1 =Pn (do điều kiện tính bất biến), từ P (s) = P1 Tiếp theo ta chứng minh Y (t, s) có nhị phân mũ Thật vậy: • Y (t, s)P (s) = P (t)Y (t, s), t, s ∈ R thỏa mãn Y (t, s)P (s) = Y (t, s)Y (s, s)P1 Y (s, s) = Y (t, s)P1 = Y (t, s)P1 Y (s, s) = Y (t, s)P1 Y (s, t)Y (t, s) = P (t)Y (t, s), t, s ∈ R • Với t ≥ s chọn n ≥ cho nl + s > t ≥ (n − 1)l + s, ta có |Y (t, s)P (s)| =|Y (t, (n − 1)l + s)Y ((n − 1)l + s, (n − 2)l + s) Y (l, s)P (s)| =|Y (t, (n − 1)l + s)Sn−1 Sn−2 S1 P1 | n−1 ≤|Y (t, (n − 1)l + s)|K1 θ1 (do {Sn } có nhị phân loại (θ1 , γ1 , K1 )) ≤C1 eµ1 (t−(n−1)l−s) K1 e−α1 (n−1)l (do Y (t, s) bị chặn (C1 , µ1 )) ≤C1 eµ1 l eα1 l K1 e−α1 nl (do bất đẳng thức trên) ≤C1 K1 e(µ1 +α1 )l e−α1 (t−s) • Với t < s chọn n < cho nl + s > t ≥ (n − 1)l + s, ta có |Y (t, s)Q(s)| =|Y (t, nl + s)Y (nl + s, s)Q(s)| =|Y (t, nl + s)Y (nl + s, s)Q1 | (do Q(s) = Q1 ) n ≤|Y (t, nl + s)|K1 γ1 ≤C1 eµ1 (|t−nl−s|) K1 eβ1 nl ≤C1 eµ1 (|−l|) eβ1 l K1 eβ1 (n−1)l ≤C1 eµ1 l eβ1 l K1 eβ1 (n−1)l ≤C1 K1 e(µ1 +β1 )l eβ1 (t−s) 21 Do Y (t, s) có nhị phân mũ loại (α1 , β1 , K1 ), K1 = C1 K1 max e(µ1 +α1 )l , e(µ1 +β1 )l Vậy bổ đề chứng minh Trước nghiên cứu định lý chính, tìm hiểu bổ đề sau 3.3 Nhị phân mũ phụ thuộc tham số Bổ đề 3.3.1 Cho f : R −→ R liên tục |f (n)| ≤ Ceαn , ∀n ∈ Z, α > 0, C > Khi tồn D > cho |f (x)| ≤ Deαx , ∀x ∈ R Chứng minh Do f hàm liên tục nên với ε > tồn δ = δ(ε) cho ∀x, x ∈ R mà |x − x | < δ =⇒ |f (x) − f (x )| < ε Đặt n = [x − δ] + suy n − ≤ x − δ < n Dễ dàng ta có |x − n| < δ Khi |f (x)| < ε + |f (n)| ≤ ε + Ceαn = (εe−αn + C)eαn ≤ (εe−αn + C)eα(1−δ) eαx < Deαx , D = (εe−αn + C)eα(1−δ) Vậy bổ đề chứng minh Tiếp theo giới thiệu định lý nhị phân mũ phụ thuộc tham số Ý tưởng chứng minh định lý dựa ý tưởng bổ đề trên, tức là, dùng nhị phân mũ rời rạc để chứng minh cho trường hợp liên tục Định lý 3.3.1 Cho A : R × Λ → M (d × d, R) hàm liên tục theo t với λ ∈ Λ, Λ không gian tham số Giả sử với λ ∈ Λ, hệ x = A(t; λ)x (1) có nhị phân mũ R loại (α, β, K) với phép chiếu P (t; λ) Cũng giả sử hệ (1) có bậc tăng bị chặn (C, µ) Ở số α, β, K, C µ không phụ 22 thuộc vào λ ∈ Λ Cho B : R → M (d × d, R) liên tục Y (t, s) toán tử nghiệm hệ y = B(t)y (2) Y (t, s) có bậc tăng bị chặn (C1 , µ1 ) Khi với α1 ∈ (0, α), β1 ∈ (0, β) tồn δ0 > δ1 > cho hệ (2) có nhị phân mũ loại (α1 , β1 , K1 ) điều kiện sau thỏa mãn (i) có hàm λ∗ : R → Λ cho |X(t, s; λ∗ (s)) − Y (t, s)| ≤ δ0 , |t − s| ≤ l, s ∈ R (ii) đánh giá sau |P (s; λ∗ (s + l)) − P (s; λ∗ (s))| ≤ δ1 , s∈R l > thỏa mãn Ke−αl < e−α1 l , Ke−βl < e−β1 l K1 > C1 Keµ1 l max{eα1 l , eβ1 l } Hơn nữa, phép chiếu P (t; B) kết hợp với nhị phân mũ hệ (2) thỏa mãn sup |P (t; B) − P (t; λ∗ (t))| = O(|δ0 | + |δ1 |) t∈R Các số δ0 δ1 đủ nhỏ xác định δ1 < K −1 eβl − eβ1 l e−α1 l − Ke−αl , 2Keβ1 l 2Ke−α1 l , δ0 + 2δ1 KC µl e < L−1 , − 2Kδ1 L xác định L = max{L1 , L2 } K(1 + 2δ1 K) K(1 − 2δ1 K) + K −1 eβl − e−α1 l (1 + 2δ1 K) (1 − 2δ1 K)e−α1 l − Ke−αl K(1 + 2δ1 K) K(1 − 2δ1 K) L2 = −1 βl + · β1 l (1 + 2δ K) K e −e (1 − 2δ1 K)eβ1 l − Ke−αl L1 = Hằng số K1 xác định K1 = C1 eµ1 l K max{eα1 l , eβ1 l }, − δL δ = δ0 + 2δ1 KC µl e · − 2Kδ1 Chứng minh Theo giả thiết, hệ (1) có nhị phân mũ loại (α, β, K) Khi tồn họ phép chiếu P (t; λ∗ (t)), t ∈ R cho 23 • sup |P (t; λ∗ (t))| ≤ K, t • X(t, s; λ∗ (s))P (s; λ∗ (s)) = P (t; λ∗ (t))X(t, s; λ∗ (s)), t, s ∈ R • |X(t, s; λ∗ (s))P (s; λ∗ (s))| ≤ Ke−α(t−s) , t ≥ s • |X(t, s; λ∗ (s))Q(s; λ∗ (s))| ≤ Keβ(t−s) , t ≤ s, Q(t) = I − P (t) Với t0 ∈ R cố định, ta đặt tn = t0 + nl, n ∈ Z Hình 3.1: Hình biểu thị khoảng cách đoạn l Ta định nghĩa Tn , Pn , Pn sau Tn = X(tn+1 , tn ; λ∗ (tn )), Pn = P (tn ; λ∗ (tn )), Pn = P (tn ; λ∗ (tn−1 )) • Rõ ràng ta có sup{|Pn |, |Pn |} = K, n sup{|Qn |, |Qn |} = K, n Qn = I − Pn , Qn = I − Pn • Tính bất biến thỏa mãn Tn Pn =X(tn+1 , tn ; λ∗ (tn ))P (tn ; λ∗ (tn )) =P (tn+1 ; λ∗ (tn ))X(tn+1 , tn ; λ∗ (tn )) =Pn+1 Tn R(Tn Pn ) = R(Pn+1 ) • Ta lại có |X(tn+1 , tn ; λ∗ (tn ))P (tn ; λ∗ (tn ))x| ≤ Ke−α(tn+1 −tn ) |x|, n ≥ ⇒|X(tn+1 , tn ; λ∗ (tn ))x| ≤ Ke−αl |x|, P (tn ; λ∗ (tn ))x = x ⇒|Tn x| ≤ θ|x|, Pn x = x, θ = Ke−αl 24 • Tương tự, ta có |X(tn+1 , tn ; λ∗ (tn ))Q(tn ; λ∗ (tn ))x| ≤ Keβ(tn+1 −tn ) |x|, n ≤ |X(tn+1 , tn ; λ∗ (tn ))[I − P (tn ; λ∗ (tn ))]x| ≤ Keβ(tn+1 −tn ) |x|, n ≤ ⇒|X(tn+1 , tn ; λ∗ (tn ))x| ≤ Ke−βl |x|, P (tn ; λ∗ (tn ))x = ⇒|Tn x| ≤ Ke−βl |x|, Pn x = ⇒|Tn x| ≥ γ|x|, Pn x = 0, γ = K −1 eβl Giả sử Sn = Y (tn+1 , tn ), |tn+1 − tn | ≤ l, theo giả thiết (i), (ii) ta có |Tn − Sn | =|X(tn+1 , tn ; λ∗ (tn )) − Y (tn+1 , tn )| ≤ δ0 |Pn − Pn | =|P (tn ; λ∗ (tn )) − P (tn ; λ∗ (tn−1 )| ≤ δ1 Bởi vậy, tất giả thiết Định lý 2.3.3 thỏa mãn Khi đó, dãy {Sn } có nhị phân loại (θ1 , γ1 , K1 ) δ0 δ1 đủ nhỏ Cho θ1 = e−α1 l , γ1 = eβ1 l δ0 , δ1 hoàn xác định đánh giá γ − γ1 θ1 − θ , 2Kγ1 2Kθ1 K −1 eβl − eβ1 l e−α1 l − Ke−αl ⇒δ1 < , 2Keβ1 l 2Ke−α1 l 2δ1 KC µl δ0 + e =: δ < L−1 , − 2Kδ1 δ1 < K1 = K , L xác định L = max{L1 , L2 } − δL K(1 + 2δ1 K) K(1 − 2δ1 K) + −α1 l (1 + 2δ K) −e (1 − 2δ1 K)e−α1 l − Ke−αl K(1 + 2δ1 K) K(1 − 2δ1 K) L2 = −1 βl + · K e − eβ1 l (1 + 2δ1 K) (1 − 2δ1 K)eβ1 l − Ke−αl L1 = K −1 eβl Khi {Y (nl + t0 , (n − 1)l + t0 )} có nhị phân rời rạc loại (θ1 , γ1 , K1 ) với t0 ∈ R Ở θ1 = e−α1 l , γ1 = eβ1 l , K1 = K · − δL Từ Y (t, s) có bậc tăng bị chặn (C1 , µ1 ) theo Bổ đề 3.2.1 hệ (2) có nhị phân mũ loại (α1 , β1 , K1 ) K1 = C1 eµ1 l K1 max{eα1 l , eβ1 l } K = C1 eµ1 l max{eα1 l , eβ1 l } − δL 25 Hơn nữa, P (t, λ∗ (t)) phép chiếu ứng với hệ (1) ta gọi P (t; B) phép chiếu ứng với hệ (2) theo Hệ 2.3.1 ta có sup |P (t; B) − P (t; λ∗ (t))| = O(|δ0 | + |δ1 |) t∈R Vậy định lý chứng minh Điều kiện mà đặt lên ma trận hệ số công bố từ trước Một điều kiện Định lý 3.3.1 đưa điều kiện toán tử tiến hóa Chúng ta tìm hiểu bổ đề đưa mối liên hệ ma trận hệ số toán tử tiến hóa Bổ đề 3.3.2 (i) Nếu hệ (3.1.1) có bậc tăng bị chặn (C, µ) thỏa mãn sup |A(t) − B(t)| ≤ ε t hệ (2) có bậc tăng bị chặn (C, µ + εC) |X(t, s) − Y (t, s)| ≤ εlC e(µ+εC)|t−s| , |t − s| ≤ l (ii) Nếu hệ (3.1.1) hệ (2) có bậc tăng bị chặn (C, µ) t |X(t, s) − Y (t, s)| ≤ C eµ|t−s| |A(τ ) − B(τ )|dτ , t, s ∈ R s Chứng minh (i) Ta có y =B(t)y =A(t)y + [B(t) − A(t)]y Theo công thức biến thiên số nghiệm hệ xác định công thức t X(t, τ )[B(τ ) − A(τ )]y(τ )dτ y(t) =X(t, s)y(s) + s t ⇒ Y (t, s)y(s) =X(t, s)y(s) + X(t, τ )[B(τ ) − A(τ )]Y (τ, s)y(s)dτ s t ⇒ Y (t, s) =X(t, s) + X(t, τ )[B(τ ) − A(τ )]Y (τ, s)dτ s 26 Giả sử φ(t) = |Y (t + s, s)|e−µt , t ≥ Khi t+s φ(t) ≤ |X(t + s, s)|e−µt + |X(t + s, τ )[B(τ ) − A(τ )]Y (τ, s)|e−µt dτ s t+s ≤ Ceµ(t+s−s) e−µt + ε |X(t + s, τ )| · |Y (τ, s)|e−µt dτ s t |X(t + s, u + s)| · |Y (u + s, s)|e−µt du, (đặt u = τ − s) ≤C +ε t |X(t + s, u + s)|e−µ(t−u) · |Y (u + s, s)|e−µu du ≤C +ε t |Y (u + s, s)|e−µu du =⇒ φ(t) ≤ C + εC t ≤ C + εC φ(τ )dτ Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có |Y (t + s, s)|e−µt ≤ CeεCt , t ≥ ⇒|Y (t + s, s)| ≤ Ce(µ+εC)t , t ≥ Tương tự đánh với t ≤ ta có |Y (t + s, s)| ≤ Ce−(µ+εC)t , t ≤ Như vậy, thu |Y (t, s)| ≤ Ce(µ+εC)|t−s| hay hệ (2) có bậc tăng bị chặn (C, µ + εC) Mặt khác, sử dụng công thức biến thiên số, ta có t |Y (t, s) − X(t, s)| ≤ X(t, τ )[B(τ ) − A(τ )]Y (τ, s)dτ s t ≤ εC eµ|t−τ | · eµ |τ −s| dτ s µ |t−s| ≤ εlC e , 27 µ = µ + εC, |t − s| < l Tiếp theo chứng minh phần (ii) Một lần nữa, sử dụng công thức biến thiên số, ta có t |Y (t, s) − X(t, s)| ≤ |X(t, τ )| · |B(τ ) − A(τ )| · |Y (τ, s)|dτ s t eµ|t−τ |+µ|τ −s| · |B(τ ) − A(τ )|dτ , (do giả thiết (ii)) ≤ C2 s t ≤ C eµ|t−s| |A(τ ) − B(τ )|dτ , t, s ∈ R s Vậy bổ đề chứng minh Sau Bổ đề 3.3.1 chứng minh xong, có kết sau Định lý 3.3.2 Giả sử tất điều kiện Định lý 3.3.1 thỏa mãn ngoại trừ điều kiện (i) thay hai điều kiện sau (i1 ) có hàm λ∗ : R −→ Λ cho với s ∈ R |A(t; λ∗ (s)) − B(t)| ≤ δ0 , |t − s| ≤ l; (i2 ) có hàm λ∗ : R −→ Λ cho với s ∈ R t |A(τ ; λ∗ (s)) − B(τ )|dτ ≤ δ0 , |t − s| ≤ l s Khi kết Định lý 3.3.1 Chứng minh Áp dụng theo Bổ đề 3.3.1 ta có (i1 ) Nếu hệ (1) có bậc tăng bị chặn (C, µ) thỏa mãn điều kiện |A(t; λ∗ (s)) − B(t)| ≤ δ0 , |t − s| ≤ l Khi hệ (2) có bậc tăng bị chặn (C, µ + δ0 C) |X(t, s; λ∗ (s)) − Y (t, s)| ≤ δ0 lC e(µ+δ0 C)l , |t − s| ≤ l (i2 ) Nếu hệ (1) hệ (2) có bậc tăng bị chặn (C, µ) t ∗ |A(τ ; λ∗ (s)) − B(τ )|dτ ≤ δ0 C eµl µ|t−s| |X(t, s; λ (s)) − Y (t, s)| ≤ C e s Chúng ta cần chọn δ0 Định lý 3.3.1 δ0 lC e(µ+δ0 C)l δ0 C eµl Vậy định lý chứng minh 28 3.4 Đa tạp tích phân Xét hệ phi tuyến x = A(t, y)x + f (t, x, y, u) (3.4.1) y = g(t, x, y, u), x ∈ Rd , y ∈ Y đa tạp Riemannian với metric d u ∈ U không gian Banach Chúng ta giả sử điều kiện sau thỏa mãn (i) A : R × Y −→ M (d × d, R) liên tục, bị chặn thỏa mãn |A(t, y1 ) − A(t, y2 )| ≤ Cd(y1 , y2 ) (ii) f : R × Rd × Y × U −→ Rd liên tục, bị chặn, f (t, 0, y, 0) ≡ thỏa mãn |f (t, x1 , y1 , u1 ) − f (t, x2 , y2 , u2 )| ≤C(|x1 + x2 | + |u1 + u2 |)|x1 − x2 | + C|u1 + u2 |d(y1 , y2 ) + C|u1 − u2 | (iii) g : R × Rd × Y × U −→ Y liên tục, bị chặn thỏa mãn |g(t, x1 , y1 , u1 ) − g(t, x2 , y2 , u2 )| ≤ N (|x1 − x2 | + d(y1 , y2 ) + |u1 − u2 |) Chúng ta ý với (xi (·), ui , µi ) ∈ BC × U × Y, nghiệm yi (t) y i = g(t, xi (t), yi , ui ), yi (s) = µi , thỏa mãn d(y1 (t), y2 (t)) ≤d(µ1 , µ2 )eN |t−s| t (|x1 (τ ) − x2 (τ )| + |u1 − u2 |)eN |t−τ | dτ · +N s Trong đó, BC = BC(R, Rd ) Chúng ta trang bị cho không gian BC với chuẩn |x|ρ , ρ ≥ định nghĩa |x|ρ = sup |x(t)|e−ρ|t| t∈R Khi nhấn mạnh chuẩn không gian, viết BCρ Định lý 3.4.1 Giả sử với (s, η) ∈ R × Y, xét hệ tuyến tính X = A(t, y0 (t, s, η))X có nhị phân mũ loại (α, β, K) R có bậc tăng bị chặn (C, µ), y0 (t, s, η) nghiệm y = g(t, 0, y0 , 0), y(s) = η Nếu N < min{α, β} 29 tồn δ1 > cho với |u| ≤ δ1 hệ (3.4.1) có đa tạp tích phân gần R × {0} × Y ⊂ R × Rd × Y Hơn cách xác, tồn hàm liên tục φ : R × Y × U(δ1 ) −→ Rd cho Su = {(t, φ(t, η, u, η), η) ∈ R × Rd × Y; t ∈ R, η ∈ Y } đa tạp tích phân cho hệ (3.4.1) (i) φ liên tục lipschitz theo (η, u) với t ∈ R (ii) sup{|φ(t, η, u)|; t ∈ R, η ∈ Y } = O(|u|) Chúng dừng lại phát biểu định lý mà không chứng minh để chứng minh định lý cần sử dụng nhiều kiến thức Chúng giới thiệu bổ đề có liên quan đến định lý mà công cụ chứng minh bổ đề có sử dụng đến kết mục nhị phân mũ Trước tiên giới thiệu Ước lượng cho họ phép chiếu Cho X = A(t)X Y = B(t)Y có nhị phân mũ R loại (α, β, K) Nếu định nghĩa hàm Green kết hợp với nhị phân mũ G(t, s; A) = X(t, s)P (s; A), t≥s −X(t, s)Q(s; A), t < s G(t, s; B) = Y (t, s)P (s; B), t≥s −Y (t, s)Q(s; B), t < s theo công thức biến thiên số ta có ∞ G(t, τ ; A)[B(τ ) − A(τ )]G(τ, s; B)dτ G(t, s; B) = G(t, s; A) + −∞ Mặt khác, G(s, s; A) = P (s; A), G(s, s; B) = P (s; B) |G(t, s; A)| = |G(t, s; B)| = Ke−α(t−s) , t ≥ s Keβ(t−s) , t≤s nên ta có ước lượng ∞ |P (s; B) − P (s; A)| ≤ |G(s, τ ; A)| |B(τ ) − A(τ )| |G(τ, s; B)| dτ −∞ (3.4.2) ∞ ≤ K2 e−(α+β)|τ −s| |B(τ ) − A(τ )|dτ −∞ Phần cuối, giới thiệu bổ đề mà chứng minh có dựa vào kết định lý mục trước 30 Bổ đề 3.4.1 Giả sử có điều kiện Định lý 3.4.1 Nếu N < α + β, với (α1 , β1 ), α1 ∈ (0, α), β1 ∈ (0, β) tồn δ0 > δ1 > cho với (t0 , η, x, u) ∈ R × Y × BC0 × U với |x0 | ≤ δ0 , |u| ≤ δ1 , hệ tuyến tính X = A(t, y(t; t0 , η, x, u))X có nhị phân mũ loại (α1 , β1 , K1 ) y(t; t0 , η, x, u) nghiệm y = g(t, x(t), y, u)), y(t0 ) = η Chứng minh Chúng ta kiểm tra điều kiện Định lý 3.3.2 Chọn l > cho Ke−αl < e−α1 l Ke−βl < e−β1 l Đặt A(t; λ) = A(t, y0 (t, s, η)), λ = (s, η) ∈ Λ = R × Y tham số B(t) = A(t, y(t, t0 , η, x, u)) Định nghĩa λ∗ : R −→ Λ = R × Y λ∗ (s) = (s, y(s, t0 , η, x, u)) Với s ∈ R, |t − s| ≤ l ta có ước lượng |B(t) − A(t; λ∗ (s))| ≤ Cd(y(t, t0 , η, x, u), y0 (t, s, y(s, t0 , η, x, u))) t (|x(τ )| + |u|)eN |t−τ | dτ ≤ CN s ≤ CN (|x|0 + |u|) eN |t−s| − ≤ C(δ0 + δ1 )eN l N Nếu định nghĩa P (t; λ) họ phép chiếu liên kết với nhị phân mũ hệ X = A(t; λ)X, theo (3.4.2) ta có đánh giá |P (s; λ∗ (s)) − P (s; λ∗ (s + l))| ∞ ≤K e−(α+β)|τ −s| |A(τ, λ∗ (s)) − A(τ, λ∗ (s + l))|dτ −∞ ∞ ≤ CK e−(α+β)|τ −s| d(y0 (τ, s, y(s)), y0 (τ, s + l, y(s + l)))dτ −∞ ∞   e−(α+β)|τ −s| eN |τ −s| dτ  d(y(s), y0 (τ, s + l, y(s + l))) ≤ CK  −∞ ∞ ≤ CK (δ0 + δ1 )eN l e−(α+β−N )|τ −s| dτ = 2CK (δ0 + δ1 )eN l , α+β−N −∞ y(s) = y(s, t0 , η, x, u) Định lý 3.3.2 áp dụng chọn δ0 δ1 đủ nhỏ Vậy bổ đề chứng minh 31 Kết luận Luận văn chứng minh lại cách chi tiết rõ ràng dựa báo Estimates on the Strength of Exponential Dichotomies and Application to Integral Manifolds nhà Toán học người Nhật Bản, Kunimochi Sakamoto (xem [10]) Có định lý viết rõ hơn, chi tiết so với báo Định lý 2.3.1; hay bổ đề đưa thêm vào luận văn chứng minh chi tiết Bổ đề 3.3.1 Vì thời gian nghiên cứu có hạn nên luận văn tránh khỏi thiếu sót mong bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 32 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Cung Thế Anh (2015), Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm [3] W A Coppel (1978), Dichotomies in stability theory, in Lecture Notes in Math, Vol 629, Springer-Verlag, New York/Berlin [4] J K Hale (1969), Ordinary Differential Equations, Wiley-Interscience, New York [5] D Henry (1980), Geometric theory of semilinear parabolic equations, in Lecture Notes in Math, Vol 840, Springer-Verlag, New York/Berlin [6] R A Johnson (1987), Remarks on linear differential systems with measurable coefficients, Proc Amer Math Soc 100 [7] K J Palmer (1987), A perturbation theorem for exponential dichotomies, Proc Roy Soc Edinburgh Sect A 103 [8] K Sakamoto (1990), Invariant manifolds in singular perturbation problems for Ode’s Proc Roy Soc Edinburgh Sect A 116, 45-78 [9] K Sakamoto, A remark on perturbation theorems for exponential dichotomies, in preparation [10] K Sakamoto (1994), Estimates on the Strength of Exponential Dichotomies and Application to Integral Manifolds, Journal of differential equation 107, 259-279 [11] Y YI (1990), Generalized integral manifolds Theorem, preprint, CDSNS report, Georgia Institute of Technology 33