ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ NGÂN PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ NGÂN PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60460113 Giảng viên hướng dẫn PGS TS NGUYỄN ĐÌNH SANG HÀ NỘI - NĂM 2015 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU DANH MỤC HÌNH VẼ BẢNG KÝ HIỆU KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) 1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 1.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tập hợp 1.2 Các điều kiện đủ 1.3 Định lý 5 5 PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ 2.1 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số 2.1.1 Phương pháp 2.1.2 Ví dụ 2.1.3 Nhận xét phương pháp 2.1.4 Bài tập áp dụng 2.2 Phương pháp miền giá trị 2.2.1 Phương pháp 2.2.2 Ví dụ 2.2.3 Nhận xét phương pháp 2.2.4 Bài tập áp dụng 2.3 Phương pháp bất đẳng thức 2.3.1 Phương pháp 2.3.2 Ví dụ 2.3.3 Nhận xét phương pháp i 9 10 12 13 14 14 14 18 18 19 19 21 27 28 29 29 29 31 31 32 32 32 35 35 36 36 37 40 40 41 41 51 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ 3.1 Ứng dụng cực trị để giải phương trình bất phương trình 3.1.1 Phương pháp ứng dụng 3.1.2 Bài tập áp dụng 3.2 Ứng dụng cực trị để giải biện luận phương trình bất phương trình có chứa tham số 3.2.1 Phương pháp ứng dụng 3.2.2 Bài tập áp dụng 3.3 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 3.3.1 Phương pháp ứng dụng 3.3.2 Bài tập áp dụng 53 53 53 57 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 2.4 2.5 2.6 2.7 2.3.4 Bài tập áp dụng Phương pháp lượng giác hóa 2.4.1 Phương pháp 2.4.2 Ví dụ 2.4.3 Nhận xét phương pháp 2.4.4 Bài tập áp dụng Phương pháp hình học 2.5.1 Phương pháp 2.5.2 Ví dụ 2.5.3 Nhận xét phương pháp 2.5.4 Bài tập áp dụng Phương pháp vectơ 2.6.1 Phương pháp 2.6.2 Ví dụ 2.6.3 Nhận xét phương pháp 2.6.4 Bài tập áp dụng Ví dụ tổng quát 2.7.1 Ví dụ 2.7.2 Bài tập áp dụng ii 58 58 64 65 65 69 LỜI MỞ ĐẦU Các vấn đề liên quan đến cực trị ứng dụng cực trị toán quan trọng có nhiều dạng toán gần với ứng dụng thực tế toán học phổ thông Ví dụ toán tìm đường ngắn nhất, diện tích lớn nhất, tổng chi phí nhất, lợi nhuận cao Đặc biệt, cực trị thường toán khó, tổng hợp kì thi tốt nghiệp, cao đẳng - đại học Cực trị bao gồm cực trị tuyệt đối cực trị tương đối Trong luận văn khái niệm cực trị đề cập đến cực trị tuyệt đối (gồm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất) Trong chương trình phổ thông khái niệm hàm nhiều biến chưa đề cập đến, luận văn dù có toán nhiều biến đưa để giải theo toán cực trị biến tập hợp Luận văn "Phương pháp cực trị ứng dụng" trình bày phương pháp cực trị để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, biểu thức, tập hợp ứng dụng phương pháp Tuy nhiên việc chia phương pháp tương đối, với phương pháp có nhiều ứng dụng khác nhau, phạm vi phương pháp toán sơ cấp giới hạn luận văn thạc sĩ trình bày hết tất phương pháp ứng dụng Do đó, luận văn đề cập sâu vào phương pháp ứng dụng thường gặp toán toán phổ thông Trên sở đó, nội dung luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Gồm kiến thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Chương 2: Phương pháp tìm cực trị Trình bày phương pháp: Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số; phương pháp miền giá trị; phương pháp bất đẳng thức; phương pháp lượng giác hóa; phương pháp hình học; phương pháp vectơ Cuối chương ví dụ tổng quát vận dụng nhiều phương pháp khác Chương 3: Ứng dụng phương pháp cực trị Trình bày ứng dụng thường gặp toán học sơ cấp: Ứng dụng cực trị để giải phương trình bất phương trình; ứng dụng cực trị để giải biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số; ứng dụng cực trị để chứng minh bất đẳng thức Mỗi ứng dụng có ví dụ chi tiết tập áp dụng Để hoàn thành luận văn, trước hết em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS TS Nguyễn Đình Sang Người trực tiếp hướng dẫn, truyền thụ kiến thức, hướng nghiên cứu giúp em hoàn thành luân văn Em chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, người giảng dạy, hướng dẫn em trình học, bạn bè giúp đỡ, đóng góp ý kiến, động viên em học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù nỗ lực, cố gắng hiểu biết có hạn thời gian hạn chế mà vấn đề tương đối rộng nên em không tránh khỏi thiếu sót Kính mong thầy cô, bạn bè góp ý để em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2015 Học viên Đào Thị Ngân DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1: Bảng biến thiên hàm số y = |x3 + 3x2 − 72x + 90| Hình 2: Tam giác ABC cạnh đơn vị Hình 3: Đồ thị x + y = x2 + y = Hình 4: Đường tròn tâm O, đường kính AB, chứa Hình 5: Đồ thị elip Hình 6: Bảng biến thiên hàm số f (x) = √ 2x + √ CAB √ 2x + − x BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên N∗ Tập số đếm Z Tập số nguyên R Tập số thực C Tập số phức GTLN Giá trị lớn GTNN Giá trị nhỏ [a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} (a; b) = {x ∈ R|a < x < b} [a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b} (a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 1.1.1 Định nghĩa giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số • Cho hàm số y = f (x) xác định tập D ⊂ R Số M gọi GTLN hàm số y = f (x) D đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: f (x) ≤ M, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f (x0 ) = M Ký hiệu: M = max f (x) x∈D • Cho hàm số y = f (x) xác định tập D ⊂ R Số M gọi GTNN hàm số y = f (x) D đồng thời thỏa mãn hai điều kiện: f (x) ≥ m, ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D : f (x0 ) = m Ký hiệu: m = f (x) x∈D Chú ý: Ta thay D ⊂ R tập xác định hàm f (x) tập [a, b] dẫn đến khái niệm max f (x) , f (x) [a,b] 1.1.2 [a,b] Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tập hợp • Cho U tập tập số thực R Số α gọi cận U , ký hiệu α = sup U , đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: α ≤ x, ∀x ∈ U ∀ε > 0, ∃xε ∈ U cho: α − ε < xε ≤ α Nếu α ∈ U α số lớn U , ký hiệu α = max U Vậy: α = max U ⇔ α ≥ x, ∀x ∈ U α∈U • Cho U tập tập số thực R Số β gọi cận U , ký hiệu β = inf U , đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau: β ≤ x, ∀x ∈ U ∀ε > 0, ∃xε ∈ U cho: β + ε > xε ≥ β Nếu β ∈ U β số nhỏ U , ký hiệu β = U Vậy: β = U ⇔ β ≤ x, ∀x ∈ U β∈U Sup inf tập tồn ±∞ Chú ý: Cho hàm f (x) xác định [a, b] (hay tổng quát f xác định tập D) Gọi U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y} Khi đó: max U = max f (x) max f (x) , D [a,b] U = f (x) f (x) D [a,b] 1.2 Các điều kiện đủ • Hàm số f liên tục [a, b] ⊂ R đạt GTLN, GTNN đoạn Ký hiệu: max f, f [a,b] [a,b] • Hàm số f liên tục đơn điệu [a, b] ⊂ R thì: max f = max {f (a) , f (b)}, [a,b] f = {f (a) , f (b)} [a,b] • Điểm dừng: Các điểm thuộc tập xác định hàm f (x) mà đạo hàm không tồn gọi điểm dừng (điểm tới hạn) hàm cho Giả sử f (x) hàm số liên tục [a, b] ⊂ R có số hữu hạn điểm tới hạn x1 , x2 , , xn thì: 3.2 Ứng dụng cực trị để giải biện luận phương trình bất phương trình có chứa tham số Với toán có tham số, phương pháp thường làm cô lập tham số m sang vế dụng phương pháp cực trị để xử lý vế không chứa m Từ suy giá trị m cần tìm 3.2.1 Phương pháp ứng dụng Ví dụ 3.2.1 Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình: x+m √ = m x2 + Cách giải Phương trình cho tương đương: x=m √ x2 − − ⇔ x √ x2 + + = x2 m Khi đó:  x = √ x+m √ =m⇔ x2 + + f (x) = =m x2 + x √ x2 + + Ta có f (x) = − < 0, ∀x = Suy f (x) nghịch biến x2 tập xác định Tính lim f (x) = 1, lim f (x) = −1, lim f (x) = +∞ + x→+∞ x→−∞ x→0 lim f (x) = −∞ − x→0 Kết luận: m ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) phương trình có nghiệm x = 0, m ∈ (−1; 0) phương trình có nghiệm x = nghiệm x < 0, m ∈ (0; 1) phương trình có nghiệm x = nghiệm x > √ Ví dụ 3.2.2 Cho bất phương trình mx + x − + 4m − > Tìm m để: a Bất phương trình có nghiệm b Bất phương trình nghiệm ∀x ≥ c Bất phương trình có nghiệm thuộc [2; 37] d Bất phương trình nghiệm ∀x ∈ [2; 37] 58 Cách giải Tập xác định D = [1; +∞) Bất phương trình cho tương đương: m (x − 1) + √ x − + 5m − > Đặt t = x − 1, t ≥ 0, đưa bất phương trình dạng: mt2 + t + 5m − > ⇔ f (t) = 2−t < m t2 + t2 − 4t − Ta có f (t) = , cho f (t) = ⇔ t = 5, t = −1 (loại), suy ra: (t2 + 5) f (t) = f (5) = − t≥0 10 max f (t) = f (0) = t≥0 a Bất phương trình có nghiệm m > f (t) = − t≥0 10 b Bất phương trình nghiệm ∀x ≥ m > max f (t) = t≥0 1 Xét x ∈ [2; 37] t ∈ [3; 38] Tính giá trị f (3) = − ; f (5) = − ; 14 10 , suy ra: f (38) = − 161 f (t) = f (5) = − t∈[3;38] 10 max f (t) = f (38) = − t∈[3;38] 161 c Bất phương trình có nghiệm thuộc [2; 37] m > f (t) = − t∈[3;38] 10 d Bất phương trình nghiệm ∀x ∈ [2; 37] m > max f (t) = − t∈[3;38] 161 Kết luận: a Bất phương trình có nghiệm m > − 10 161 c Bất phương trình có nghiệm thuộc [2; 37] m > − 10 d Bất phương trình nghiệm ∀x ∈ [2; 37] m > − 161 b Bất phương trình nghiệm ∀x ≥ m > − 59 Ví dụ 3.2.3 Tìm m để phương trình √ x2 + x + − √ x2 − x + = m có nghiệm Cách giải √ ,C Đặt A (x; 0) , B − ; 2     AB =          AC =         BC =    √ 2 √ + = x2 + x + √ 2 √ + = x2 − x + √ √ 2 3 + − =1 2 x+ x− √ ; , ta có: 2 1 + 2 √ √ Đặt f (x) = x2 + x + − x2 − x + = AB − AC , D = R Phương trình cho có nghiệm f (x) ≤ m ≤ max f (x) Ta có bất đẳng x∈D x∈D thức sau: ||AB| − |AC|| ≤ |AB − AC| ≤ BC Suy ra: −1 ≤ √ x2 + x + − √ x2 − x + ≤ Kết luận: Vậy −1 ≤ m ≤ Cách giải Đặt f (x) = √ x2 + x + − √ x2 − x + 1, D = R Phương trình cho có nghiệm f (x) ≤ m ≤ max f (x) Ta có: x∈D x+ f (x) = x+ 2 x∈D x− − + 60 x− 2 + Xét hàm g (t) = t t2 + Vì g (t) = t2 + > 0, ∀t ∈ R, suy 1 > x − nên: 2 >g x− ⇔ f (x) > 0, ∀x ∈ R g (t) đồng biến R Vì x + g x+ Hàm f (x)luôn đồng biến R Tính lim f (x) = lim f (x) = −1 x→+∞ x→−∞ Suy −1 ≤ f (x) ≤ Kết luận: Vậy −1 ≤ m ≤ Ví dụ 3.2.4 Tìm m để phương trình x4 + x3 + mx2 − 3x + = có nghiệm phân biệt Cách giải Dễ thấy x = không nghiệm nên chia hai vế cho x2 ta được: x2 + Đặt t = x − + x− + m = x2 x , t ∈ R \ {0} , phương trình trở thành: x t2 + t + m + = (∗) > 0, ∀x ∈ D nên t đồng biến tập xác định x2 Tính lim t = −∞; lim t = +∞; lim t = −∞; lim t = +∞ − + Vì t = + x→−∞ x→0 x→0 x→+∞ Suy phương trình t = a có hai nghiệm phân biệt trái dấu Khi phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt, đo dó: ∆ = − (m + 6) > ⇔ m < − Kết luận: Vậy m < − 23 23 phương trình cho có nghiệm phân biệt 61 Ví dụ 3.2.5 (Đại học A - 2008) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: √ 2x + √ √ 2x + − x = m (m ∈ R) Cách giải Tập xác định D = [0; 6] Đặt f (x) =  f (x) =  Đặt u (x) =  1 4 − 2x + √ √ 2x + − x Ta có:  + 1 √ −√ 6−x 2x , v (x) = 1 √ −√ 6−x 2x − (2x) √ (6 − x)  (2x) (6 − x) Ta thấy u (2) = v (2) = Hơn nữa, u (x) , v (x) dương khoảng (0; 2) âm khoảng (2; 6) Ta có bảng biến thiên: Để phương trình cho có hai nghiệm thì: √ √ √ + ≤ f (x) < + Kết luận: √ √ √ Vậy + ≤ m < + Ví dụ 3.2.6 Tìm m để bất phương trình mx − √ x − ≤ m + có nghiệm Cách giải Tập xác định D = [3; +∞) Bất phương trình cho tương đương: m (x − 3) − √ x − ≤ − 2m 62 √ x − 3, t ≥ Đưa bất phương trình dạng: t+1 = f (t), ∀t ≥ m≤ t +2 Để bất phương trình có nghiệm m ≤ max f (t) Đặt t = [0;+∞) √ √ −t − 2t + = ⇔ t1 = −1 − (loại) t2 = −1 + 2 (t2 + 1) √ √ 1+ ; lim f (x) = Tính f (0) = 1; f −1 + = x→+∞ Kết luận: √ 1+ Vậy m ≤ √ 2 Ta có f (t) = Ví dụ 3.2.7 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm ∀x ∈ [−3; 6]: √ 3+x+ Cách giải Đặt t = √ 3+x+ √ √ phương trình có dạng: 6−x− √ 18 + 3x − x2 ≤ m2 − m + √ √ t2 − = − x, t ∈ 3; 18 + 3x − x Bất √ f (t) = − t2 + t + ≤ m2 − m + 1, ∀t ∈ 3; 2 √ √ Xét f (t) = −t + < 0, ∀t ∈ 3; Hàm nghịch biến 3; Để bất phương trình nghiệm với x ∈ [−3; 6] thì: m2 − m + ≥ max f (t) = f (3) = √ t∈[3;3 2) √ √ Suy m2 − m + ≥ ⇔ m ≤ − m > + Kết luận: √ Vậy m < − m > + √ Ví dụ 3.2.8 Tìm m để bất phương trình 5x −mx − 5(2−m)x+m ≤ −x2 + 2x + m có nghiệm Cách giải Bất phương trình cho tương đương: 5x −mx + x2 − mx ≤ 5(2−m)x+m + (2 + m) x + m 63 Xét hàm f (t) = 5t + t Ta có f (t) = 5t ln5 + > 0, ∀t ∈ R Do đó, f (t) hàm đồng biến R Để bất phương trình có nghiệm ∃x cho: f (x2 − mx) ≤ f (2x − mx + m) Khi ∃x cho: x2 − mx ≤ 2x − mx + m ⇔ m ≥ x2 − 2x Suy m ≥ x2 − 2x = −1 R Kết luận: Vậy m ≥ −1 3.2.2 Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2|x2 − 5x + 4| = x2 − 5x + m Đáp số: < m < 43 Bài 2:(Đề thi Toán 2004 - B) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m Đáp số: √ √ + a2 − √ √ √ √ − x2 + = − x4 + + x2 − − x2 − ≤ m ≤ Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: √ 2x2 + − m < −2 − 2x − x2 − 4x √ Đáp số: m > 11 + 2 Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x4 − mx3 + (m + 2) x2 − mx + < m > Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm x ∈ [−1; 1]: Đáp số: m < − 3x4 − 20x3 + 36x2 − 24m − 12m2 ≥ √ √ −6 − 213 −6 + 213 Đáp số: ≤m≤ 6 64 3.3 3.3.1 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức Phương pháp ứng dụng Chứng minh bất đẳng thức dạng toán cực trị mà biết giá trị cực trị cần tìm phương phương pháp giải để có giá trị Ta dụng trực tiếp phương pháp biết phải vận dụng lúc nhiều phương pháp Nhiều toán giải cách biến đổi biểu thức cho điều kiện hàm số xác định tập D đó, sau ta tìm GTLN, GTNN hàm số D để rút điều cần chứng minh Ví dụ 3.3.1 Cho a, b, c dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: √ b c 3 a + + ≥ b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 Cách giải a b c + + − a2 − b − c Biến đổi vế trái thành √ √ √3 3 = Khi < x (1 − x2 ) ≤ 9 Xét f (x) = x (1 − x2 ), x ∈ (0; 1) Ta có f (x) = − 3x2 = ⇔ x = √ Tính f (0) = f (1) = 0; f 3 Suy ra: √ x 3 ≥ x − x2 √ √ a b c 3 3 + + ≥ (x + y + z ) = Vậy 2 2 b +c c +a a +b 2 √ Dấu xảy a = b = c = Ví dụ 3.3.2 Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 a+b b+c c+a 2+ 2+ ≤ 62 a+b+c a+b+c a+b+c Cách giải Đặt T = a+b a+b+c 2+ b+c a+b+c 65 2+ c+a a+b+c Khi đó: +   a+b T = 1  a+b+c b+c a+b+c + 1 2   c+a a+b+c  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba cặp số ta có: T ≤ (12 + 12 + 12 ) Vậy T = a+b a+b+c 2= a+b b+c c+a + + = a+b+c a+b+c a+b+c 1 b+c c+a 2= = 61 a+b+c a+b+c Dấu xảy khi: a+b a+b+c 2= b+c a+b+c 2= c+a a+b+c ⇔ a = b = c Ví dụ 3.3.3 (MO Romanian 2004) Chứng minh với ba số dương a, b, c, ta có: b c 27 a + + ≥ bc (c + a) ca (a + b) ab (b + c) (a + b + c)2 Cách giải Đặt M = a b c + + Ta thấy: bc (c + a) ca (a + b) ab (b + c) a + bc √ a c+a+ bc (c + a) b c + = ca ab √ b a+b+ ca (a + b) √ c b + c ab (b + c) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba cặp số ta có: a b c + + ≤ bc ca ab b c a + + (a + b + c) bc (c + a) ca (a + b) ab (b + c) Suy ra: 2M (a + b + c) ≥ a + bc 66 b + ca c ab Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AG ta có: a + bc b + ca c ab ≥3 1 + + a b c ≥ 27 a+b+c b c 27 a + + ≥ , dấu xảy bc (c + a) ca (a + b) ab (b + c) (a + b + c)2 a = b = c Vậy Ví dụ 3.3.4 Cho ba số dương a, b, c: a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: ab + bc + ca + 14 ≤ a+b+c Cách giải Đặt t = a+b+c ⇒ ab+bc+ca = nên ≤ t2 ≤ ⇔ √ t2 − Vì ≤ ab+bc+ca ≤ a2 +b2 +c2 ≤ 3 ≤ t ≤ Ta xét: √ t2 ab + bc + ca + = f (t) = + − , ∀t ∈ 3; a+b+c t √ √ t3 − Ta có f (t) = 3; nên f (t) đồng biến 3; > 0, ∀t ∈ t2 Suy ra: ab + bc + ca + 14 ≤ max f (t) = f (3) = a + b + c [√3;3] Dấu xảy khi: a+b+c=3 a=b=c ⇔ a = b = c = Ví dụ 3.3.5 Cho số dương a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = Chứng minh rằng: 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d ≥ 54 Cách giải Ta khai triển vế trái: VT = + 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + a b c d ab ac ad bc bd cd 1 1 + + + + abc abd bcd acd abcd 67 Áp dụng bất đẳng thức AG cho cụm ta được: VT ≥ √ √ 4 + abcd 6 (abcd) a+b+c+d = 4 VT ≥1+ + + + t t t t Đặt t = abcd ≤ + abcd + (abcd) 1 , t ∈ 0; , đó: 4 ≥ + 4.4 + 6.42 + 4.43 + 44 = 54 Vậy ta có điều cần chứng minh, dấu xảy khi: a+b+c+d=1 a=b=c=d ⇔a=b=c=d= Sử dụng phương pháp vectơ chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 3.3.6 (Đề thi Đại học 2003 - A) Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x + y + z ≤ Chứng minh rằng: P = + x2 x2 + y2 + + y2 z2 + √ ≥ 82 z2 Cách giải − Đặt → = a x, − 1 → − , b = y, → = z, c Khi đó: x y z → − − − − − → − P = |→| + | b | + |→| ≥ |→ + b + →| a c a c Điều tương đương: x2 + + x y2 + + y z2 + ≥ z 1 (x + y + z) + + + x y z Suy ra: 1 (x + y + z) + + + x y z P ≥ Đặt t = x+y+z 2 (xyz) , ≤ t ≤ ≥ √ 3 xyz + 33 xyz 1 ≤ Khi P ≥ t + Xét: t 1 f (t) = t + , t ∈ 0; , t 68 Ta có f (t) = − Suy ra: 1 < 0, ∀t ∈ 0; Hàm f (t) nghịch biến 0; t2 9 f (t) ≥ f Vậy P ≥ √ = 82 82, dấu xảy x = y = z = Cách giải Ta có P ≥ 1 (x + y + z) + + + x y z 2 1 + + P = 81 (x + y + z) + x y z 2 Suy ra: 2 − 80 (x + y + z) Áp dụng bất đẳng thức AG ta có: P ≥ 18 (x + y + z) Vậy P ≥ 3.3.2 √ 1 + + x y z − 80 (x + y + z) ≥ 162 − 80 = 82 82, dấu xảy x = y = z = Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ba số thực a, b, c thuộc (0; 1) Chứng minh rằng: a b c + + + (1 − 1) (1 − b) (1 − c) < b+c+1 c+a+1 a+b+1 Bài 2: Chứng minh với a, b, c > thỏa mãn abc = 1, ta có: a3 1 1 + + ≥ (ab + bc + ca) (b + c) b (c + a) c (a + b) Bài 3: Cho a, b > 1, chứng minh rằng: a3 + b3 − (a2 + b2 ) ≥ (a − 1) (b − 1) Bài 4: (IMO 1995) Cho a, b, c > thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ b+c c+a a+b 69 Bài 5: (Đề thi Đại học 2005 - A) Cho x, y, z số dương thỏa mãn: 1 + + = x y z 1 Chứng minh + + ≤ 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z Bài 6: (Đề thi Đại học 2005 - B) Chứng minh ∀x ∈ R, ta có: 12 x 15 + x 20 + x ≥ 3x + 4x + 5x Khi đẳng thức xảy ra? Bài 7: (Đề thi Đại học 2005 - D) Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: √ + x3 + y + xy √ + y3 + z3 + yz √ √ + z + x3 ≥ 3 zx Khi đẳng thức xảy ra? Bài 8: (Đề thi Đại học 2009 - A) Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn x (x + y + z) = 3yz , ta có: 3 (x + y) + (x + z) + (x + y) (x + z) (y + z) ≤ (y + z) 70 KẾT LUẬN Sau thời gian học tập khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN, thầy cô trực tiếp giảng dạy đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy PGS TS Nguyễn Đình Sang, em hoàn thành luận văn "PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG" Luận văn đạt số kết sau: Trình bày, phân tích, áp dụng phương pháp cực trị gồm: • Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số • Phương pháp miền giá trị • Phương pháp bất đẳng thức • Phương pháp lượng giác hóa • Phương pháp hình học • Phương pháp vectơ Trình bày ứng dụng cực trị thường gặp toán học phổ thông: • Ứng dụng cực trị để giải phương trình bất phương trình • Ứng dụng cực trị để giải biện luận phương trình bất phương trình có chứa tham số • Ứng dụng cực trị để chứng minh bất đẳng thức Các phương pháp quan trọng tối ưu cho toán khác Thực hành nhiều, thành thạo phương pháp giúp có lựa chọn phương pháp nhanh, phù hợp cho toán tìm cực trị biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp cực trị vào toán ứng dụng 71 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức áp dụng, Nhà xuất Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến, 2009, Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam [3] TS.Lê Xuân Sơn - ThS Lê Khánh Hưng, 2014,Phương pháp hàm số giải toán - Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh bất đẳng thức, Giá trị lớn giá trị nhỏ nhất,Nhà xuất Đại Học Quốc Gia 72