GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM LOẠI I ĐIỂM LOẠI Nội dung toán Tìm điểm  M  M Điểm M M   M liên hệ với điểm, thỏa mãn hai điều kiện sau: liên hệ với điểm I qua hệ thức MI  R ( I biết tọa độ R xác định) liên hệ với điểm A, B tạo thành tam giác MAB đặc biệt (cân, vuông, mối liên hệ cạnh…) xác định gọi điểm loại 2 Các giải chung:  Trường hợp : MI  R Có thể trình bày lời giải toán theo cách (bản chất một) MI  R C1: Gọi M (t )   ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ f (t )   t  ?  M  C2: Tọa độ điểm M nghiệm hệ :  (C ) ( (C) đường tròn tâm I bán kính R)  Trường hợp : Tam giác MAB đặc biệt ữ ệ MAB đặ ệ Gọi M (t )   ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ f (t )   t  ?  M Chú ý: +) Trong nhiều trường hợp kiện M   thay mối buộc tọa độ hóa qua điểm khác ta hiểu đường thẳng ẩn Chúng ta hiểu rõ điều qua ví dụ mở rộng +) Hai điểm A, B biết tọa độ , hai điểm có tọa độ phụ thuộc vào tọa độ điểm M +) Ở trường hợp 1, với việc tìm điểm có tính chất ( MI  NI  R ) ta nên trình bày theo C2 Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Ví dụ gốc Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I (5; 2) đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  cho MI  Bài giải: Cách 1: +) Vì M   nên gọi M (t; 2t  3)  M (1;5) t  +) Ta có MI   MI  25  (t  5)  (2t  1)  25  5t  6t        17  M  ;  t   5    Cách 2: +) Có: MI  nên M thuộc đường tròn (C ) tâm I R  có phương trình: ( x  5)  ( y  2)  25 2 2  x    y   M (1;5) 2 x  y     +) M   nên tọa độ điểm M nghiệm hệ:   x 2  M  ; 17   ( x  5)  ( y  2)  25   5       17  y   Ví dụ 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y   hai điểm A( 2;3), B (4;1) Tìm tọa độ điểm M thuộc  cho tam giác MAB vuông M Bài giải:    AM  (t  2; 2t  8)  +) Gọi M (t; 2t  5)     BM  (t  4; 2t  6)  +) Khi tam giác MAB vuông M      AM BM   (t  2)(t  4)  (2t  8)(2t  6)  t   M (2; 1)  5t  30t  40     t   M (4;3) +) Vậy M (2; 1) M (4;3) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MAB cân A đường thẳng  : x  y   Biết B (1; 4) I (2; 2) trung điểm AM Tìm tọa độ hai điểm A M biết  qua điểm M M có hoành độ số nguyên Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Bài giải: +) Gọi M ( 2t  1; t )   Vì I (2; 2) trung điểm AM  x A  xI  xM  2t   A(2t  5; 4  t )   y A  yI  yM  4  t +) Tam giác MAB cân A  AM  AB  AM  AB  (4t  6)2  (2t  4)  (2t  4)  t t  2  4t   t 7 6    M (3; 2) M  ;   (loại) t   5 5  4t   t  +) Với M (3; 2)  A(1; 2) Vậy A(1; 2) M (3; 2) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MAB có trọng tâm G (2; 1) A(1; 3) Đường thẳng  : x  y   qua M Tìm tọa độ điểm M B biết MB  5MA M có hoành độ dương Bài giải: +) Gọi M (t; 2t  4)   với t  Vì G (2; 1) trọng tâm tam giác MAB nên:  xB  xG  x A  xM   t  B(5  t ;  2t )   y B  yG  y A  yM   2t +) Khi MB  5MA  MB  25MA2  (2t  5)  (4t  8)  25  (t  1)  (2t  1)     105t  66t  39   t  t    M (1; 2) 13 (loại)   35  B (4; 2) Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Các ví dụ mở rộng Ví dụ (THPT QG – 2015) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H hình chiếu vuông góc A cạnh BC , D điểm đối xứng B qua H ; K hình chiếu vuông góc C đường thẳng AD Giả sử H ( 5; 5), K (9; 3) trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng x  y  10  Tìm tọa độ điểm A Giải : B K H D A I C AC (*) (như lúc ta nhìn điểm I theo góc nhìn điểm Loại điểm Loại theo cách trình bày sau) Cách trình bày (Tìm I theo góc nhìn điểm Loại 2) Do I thuộc đường thẳng x  y  10  , suy I (t ; t  10) Gọi I trung điểm AC , : IH  IK  Từ (*), suy IH  IK  (t  5)  (t  15)2  (t  9)  (t  13)  t   I (0;10) Cách trình bày (Tìm I theo góc nhìn điểm Loại 1) Từ (*), suy I thuộc đường trung trực HK có phương trình : x  y  10   x  y  10  x  Khi tọa độ điểm I nghiệm hệ :    I (0;10) 7 x  y  10   y  10 Ta tìm tọa độ điểm A     Ta có HCA  HKA (cùng chắn cung AH ) HCA  HAB (cùng phụ với góc  ) ABC   Mặt khác, AH vừa đường cao vừa trung tuyến tam giác ABD nên HAB  HAK   Suy HKA  HAK nên tam giác AHK cân H  HA  HK Mà IA  IK , nên HI đường trung trực AK   Ta có HI  (5;15)  5(1;3) , suy phương trình AK : x  y  Khi A( 3a; a) Ta có Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan a   A(15;5) AI  IK  AI  IK  9a  (a  10)  92  132  a  2a  15      a  3  A(9; 3)  K Vậy A( 15;5) Chú ý : Ở toán ta thay kiện AI  IK kiện AH  HK tìm điểm A theo  AI  IK góc nhìn điểm Loại 4, cách giải hệ :   AH  HK Ví dụ (Khối D – 2014) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D (1; 1) Đường thẳng AB có phương trình 3x  y   , tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x  y   Viết phương trình đường thẳng BC Giải : +) Gọi phương trình  : x  y   Do   AB   A nên tọa độ điểm A nghiệm hệ: x  y   x    A(1;3)  3 x  y   y  +) Khi phương trình AD x  không vuông góc với  nên  BC giao Gọi   BC  T  Ta có :    D1  C1  A1 ( tính chất góc tam giác)  A Mà   A2 (giả thiết) C1   (cùng chắn cung  ) A1  AB   A   D1  A2    TAD , suy tam giác TAD cân T hay TA  TD (*) +) Gọi T (7  2t ; t )   , : (*)  TA2  TD  (2t  6)  (t  3)2  (2t  6)  (t  1)  t   T (5;1) +) Khi BC đường thẳng qua hai điểm T (5;1) D (1; 1) nên có phương trình x  y   Ví dụ (A,A1 – 2013 – CB) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : x  y   A( 4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C , N hình chiếu vuông góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C , biết N (5; 4) Giải : +) Gọi AC  BN  H  Do ACMD hình bình hành nên AC / / DM hay CH / / MN Suy CH đường trung bình BNM CH  BN   B đối xứng với N qua AC  HB  HN Khi ANC = ABC = 900 hay AN  NC (*)  +) Gọi C (t ; 2t  5)  d  NC  (t  5; 2t  1) ta có Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan    AN  (9; 12) Khi (*)  NC AN   9(t  5)  12( 2t  1)   33t  33   t   C (1; 7)  x  1 t +) Ta có AC  (5; 15)  5(1; 3) , suy phương trình AC :   y  7  3t   Gọi H (1  m; 7  3m )  AC  NH  ( m  4; 3m  3)     11  Do NH  AC  NH  AC   m   3(3m  3)   m    H  ;   2   x  xH  xN  4 +) H trung điểm BN nên suy  B  B ( 4; 7)  y B  y H  y N  7 Vậy B ( 4; 7) C (1; 7)  4 Ví dụ Cho hình thoi ABCD có tâm I (3;3) AC  BD Điểm M  2;  thuộc đường thẳng AB , điểm  3  13  N  3;  thuộc đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có tung độ nguyên  3 Giải : +) Gọi N ' điểm đối xứng với N qua I , suy  5 N '  3;  thuộc đường thẳng AB AB nhận  3    MN '  1;    3;1 làm véctơ phương ,  3   suy nAB  (1; 3) Phương trình AB : x  y   +) Gọi H hình chiếu vuông góc I AB 39  nên IH  d ( I , AB )   2 10 3 Mặt khác AC  BD  AI  IB Khi xét tam giác IBA ta có : 1 1    2   IB   IB  2 2 IB IA IH IB IB +) Gọi B (3t  2; t )  AB với t  , : IB   (3t  5)  (t  3)2  (loại) +) Vậy B (4; 2) , đường chéo BD qua hai điểm B (4; 2) I (3;3) nên có phương trình:  5t  18t  16   t  t  x 3 y 3 hay x  y    43 23 Nhận xét: Vì hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật hình vuông nhận giao điểm hai đường chéo tâm đối xứng cùa hình Nên đề cho điểm thuộc cạnh bạn nên nghĩ tới việc tìm điểm đối xứng điểm qua tâm hình chứa (ở tâm biết tọa độ) Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có AB // CD CD  AB Biết CD có phương trình x  y   M (1;3) thuộc đoạn AB cho AD  AM Tìm tọa độ đỉnh B, C , biết diện tích hình thang ABCD đường thẳng CB qua điểm E ( 3; 5) Giải: I B A N M D C H E Gọi H hình chiếu vuông góc M DC Ta có AD  AM , suy AD  3 1  MD  AH  d ( M , CD)   2 2 ( AB  CD).AH AB AH 2S ABCD  Diện tích hình thang S ABCD    AB   2 AH 3 Từ M kẻ đường song song với CD cắt BC N , suy phương trình MN : x  y   Gọi I giao điểm AD BC Khi AB đường trung bình tam giác IDC ( AB // CD CD  AB ) Suy AB IA 4    MN  AB  MN IM 3   13    t 1  t N  ;    32 32   2 Do N  MN  N (t ; t  2) , đó: MN   (t  1)  (t  1)     9 t    t    N   ;    3   3      Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan  13   Với N  ;  , suy phương trình BC : x  y   3  x  y   x  Tọa độ điểm C nghiệm hệ    C (5;9) 7 x  y   y  7 7      xB      x     Mặt khác CN  NB    B  B (1; 2)  yB  13    y  13   B 3 3     5  Với N   ;  , suy phương trình BC : x  y    3 x  y   x  Tọa độ điểm C nghiệm hệ    C (1;5) 5 x  y   y   1       xB       x  1    Mặt khác CN  NB    B  B (1;0)  yB  5   2 y    B 3 3    Vậy B (1; 2), C (5;9) B ( 1; 0), C (1;5) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D , có AB  AD  CD , điểm B (1; 2) , đường thẳng BD có phương trình y  Biết đường thẳng  : x  y  25  cắt đoạn thẳng AD, CD hai điểm M , N cho BM vuông góc với BC tia BN tia phân giác  MBC Tìm tọa độ điểm D biết D có hoành độ dương Giải: +) Gọi H hình chiếu vuông góc B CD , ABHD hình vuông     CBH  MBA (hai góc phụ với MBH ) Từ ta có CBH  MBA (g.c.g)  CB  MB  CBN  MBN (c.g.c), đó: Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn GV: THANH TÙNG BH  d ( B, CN )  d ( B, MN )  0947141139   25 50  http://www.facebook.com/ThayTungToan Mà tam giác DHB vuông cân H nên BD  BH  +) Gọi D (t; 2)  BD với t  , đó: BD  16  (t  1)2  16  t  t  3 (loại)  D(5; 2) II CÁC BÀI TẬP LUYỆN THÊM Bài (A – 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : x  y   đường tròn (C ) : x  y  x  y  Gọi I tâm (C ) , M điểm thuộc  Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C ) ( A , B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Bài Cho đường tròn (C ) : x  y  x  y  20  điểm A(4; 2) Gọi d tiếp tuyến A (C ) Viết phương trình đường thẳng  qua tâm I (C )  cắt d M cho tam giác AIM có diện tích 25 M có hoành độ dương 1  Bài (B – 2002) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;  , phương trình đường thẳng AB x  y   2  AB = 2AD Tìm tọa độ điểm A, B, C, D biết A có hoành độ âm Bài (B – 2009 – NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(–1;4) đỉnh B,C thuộc đường thẳng  : x  y   Xác định toạ độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , có BD nằm đường thẳng có phương trình x  y   , điểm M ( 1; 2) thuộc đường thẳng AB , điểm N (2; 2) thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết điểm B có hoành độ dương Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình AD : x  y   , điểm I ( 3; 2) thuộc đoạn BD cho IB  ID Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết D có hoành độ dương AD  AB Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A 1  3x  y   , trực tâm H ( 2; 1) M  ;  trung điểm cạnh AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác 2  ABC , biết BC  10 B có hoành độ nhỏ hoành độ C Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Biết tọa độ B (3;3), C (5; 3) Giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng  : x  y   Xác định tọa độ lại hình thang ABCD để CI  BI , tam giác ABC có diện tích 12, điểm I có hoành độ dương điểm A có hoành độ âm  Bài 9.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D có đáy lớn CD BCD  450 Đường thẳng AD BD có phương trình x  y  x  y  Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang 15 điểm B có tung độ dương Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (T ) có tâm I (0;5) Đường thẳng AI cắt đường tròn (T ) điểm M (5; 0) với M  A Đường cao từ đỉnh C cắt đường tròn (T )  17  điểm N   ;   với N  C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết B có hoành độ dương 5  Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G (2; 3) B (1;1) Đường thẳng  : x  y   qua A đường phân giác góc A cắt BC điểm I cho diện tích tam giác diện tích tam giác IAC Viết phương trình đường thẳng BC biết A có hoành độ dương IAB Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD Biết tọa độ B (3;3), C (5; 3) Giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng  : x  y   Xác định tọa độ lại hình thang ABCD để CI  BI , tam giác ABC có diện tích 12, điểm I có hoành độ dương điểm A có hoành độ âm Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6) ; đường thẳng d qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh B C , biết điểm E (1; 3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Bài 14 (A, A1 – 2012 – CB ) Cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh  11  CD cho CN = 2ND Giả sử M  ;  AN có phương trình x  y   Tìm tọa độ điểm A  2 Bài 15 Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường thẳng 1 : 3x  y   ,  : x  y   đường tròn (C ) : x  y  x  10 y   Gọi M điểm thuộc đường tròn (C ) N điểm thuộc đường thẳng 1 cho M N đối xứng qua  Tìm tọa độ điểm N Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có E , F thuộc đoạn AB , AD cho EB  EA , FA  3FD , F (2;1) tam giác CEF vuông F Biết đường thẳng x  y   qua hai điểm C , E Tìm tọa độ điểm C , biết C có hoành độ dương Bài 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 18 , đường chéo AC có phương trình x  y   , đường thẳng AB qua điểm E (5;5) , đường thẳng AD qua điểm F (5;1) Tìm tọa độ đỉnh A, B, D hình chữ nhật, biết điểm A có tung độ lớn điểm B có hoành độ lớn Bài 18 (B – 2013 – CB ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với AD  3BC Đường thẳng BD có phương trình x  y   tam giác ABD có trực tâm H ( 3; 2) Tìm tọa độ đỉnh C D Bài 19 Cho tam giác ABC vuông A , điểm B (1;1) Trên tia BC lấy điểm M cho BM BC  75 Phương trình đường thẳng AC : x  y  32  Tìm tọa độ điểm C biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 5 Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) giác MAC Hocmai.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 http://www.facebook.com/ThayTungToan Bài 20 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD A( 1; 2) Gọi M , N trung điểm AD DC , E giao điểm BN CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BME biết BN nằm đường thẳng x  y   B có hoành độ lớn Bài 21 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC có phương trình trung tuyến kẻ từ A đường thẳng chứa cạnh BC 3x  y   x  y   Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai D (2; 2) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết B có tung độ âm Bài 22 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A D có đáy lớn CD Biết BC  AB  AD , trung điểm BC điểm M (1; 0) , đường thẳng AD có phương trình x  y   Tìm tọa độ điểm A biết A có tung độ nguyên Bài 23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C1 ) có phương trình x  y  25 , điểm M (1; 2) Đường tròn (C2 ) có bán kính 10 Tìm tọa độ tâm đường tròn (C2 ) , cho (C2 ) cắt (C1 ) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ Bài 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông OABC có đỉnh A(3; 4) điểm B có hoành độ âm Gọi E , F theo thứ tự giao điểm đường tròn (C ) ngoại tiếp hình vuông OABC với trục hoành trục tung ( E F khác gốc tọa độ O ) Tìm tọa độ điểm M (C ) cho tam giác MEF có diện tích lớn Bài 25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn CB  CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE  AB Phương trình cạnh BC : x  y  13  , phương trình AC : x  y   Tìm tọa độ đỉnh A, B biết A có hoành độ nhỏ E (14;1) Bài 26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (T ) : ( x  1)  ( y  1)  hai điểm A(0; 4), B (4; 0) Tìm tọa độ hai điểm C , D cho ABCD hình thang ( AB // CD ) đường tròn (T ) nội tiếp hình thang Bài 27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm H (2;1) tâm đường tròn ngoại tiếp I (1; 0) Trung điểm BC nằm đường thẳng có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh B, C biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm E (6; 1) hoành độ điểm B nhỏ Bài 28 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tọa độ trực tâm H (2;1) tâm đường tròn ngoại tiếp I (1; 0) Trung điểm BC nằm đường thẳng có phương trình x  y   Tìm tọa độ đỉnh B, C Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC qua điểm M (6; 1) hoành độ điểm B nhỏ II GIẢI CÁC BÀI TẬP LUYỆN THÊM Sẽ cập nhật tới bạn tài liệu sau Khóa học PenC – N3 (Thầy: Lê Anh Tuấn_Nguyễn Thanh Tùng) Hocmai.vn