Đang tải... (xem toàn văn)
M— ĐẦU 1. TŒng quan v• hướng nghi¶n cøu và lý do chọn đ• tài Lý thuy‚t v• ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n đ¢ đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu tł r§t sớm. Đ‚n nay, nó đ¢ trở thành mºt bº ph“n quan trọng cıa Gi£i t‰ch to¡n học. Mºt trong nhœng nºi dung đưæc quan t¥m cıa ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n là nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p. Đó là mºt ph†p nh¥n đặc bi»t đưæc định nghĩa qua ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng, thường đưæc đưa vào nghi¶n cøu trong c¡c không gian hàm mà ở đó ph†p nh¥n thông thường không tồn t⁄i. C¡c t‰ch ch“p đƒu ti¶n đưæc nghi¶n cøu là t‰ch ch“p Laplace, t‰ch ch“p Fourier. N«m 1951, t‰ch ch“p suy rºng đƒu ti¶n đưæc Sneddon I.N. đ• c“p và nghi¶n là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sine và Fourier cosine. Cho đ‚n nhœng n«m 90 cıa th‚ kỷ trước, mºt vài t‰ch ch“p suy rºng đŁi với c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n kh¡c mới ti‚p tục đưæc nghi¶n cøu bởi Yakubovich S.B. Đó là c¡c t‰ch ch“p suy rºng đŁi với c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Mellin, KontorovichLebedev, ph†p bi‚n đŒi G và ph†p bi‚n đŒi H theo ch¿ sŁ. Đ‚n n«m 1998, Kakichev V.A. và N.X. Th£o đưa ra định nghĩa t‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ cıa hai hàm f và k đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n b§t kỳ T1; T2 và T3 thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa T1f ∗ γ k(y) = γ(y)T2f(y)T3k(y) và cho đi•u ki»n cƒn đ” x¡c định t‰ch ch“p khi bi‚t mºt sŁ ràng buºc cụ th” v• nh¥n cıa c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng. Nhờ kỹ thu“t này mà nhœng n«m v• sau đ¢ có mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n kh¡c đưæc x¥y dựng. Tuy nhi¶n, đ‚n nay v¤n chưa có mºt k‚t qu£ nghi¶n cøu ch‰nh thøc nào v• t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace đưæc công bŁ. Như mºt quy lu“t tự nhi¶n, khi đ¢ x¥y dựng đưæc t‰ch ch“p f ∗k(x), b‹ng c¡ch cho mºt trong hai hàm cŁ định như là nh¥n trong bi”u thøc t‰ch ch“p, chflng h⁄n cŁ định hàm k, cÆn hàm f cho bi‚n thi¶n trong mºt không gian hàm x¡c định nào đó ta s‡ nh“n đưæc ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p tương øng, gọi là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u 1t‰ch ch“p f 7 g = f ∗ k. Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p đƒu ti¶n đưæc Watson x¥y dựng và nghi¶n cøu là ph†p bi‚n đŒi li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p Mellin. TŒng qu¡t hơn, người ta có th” nghi¶n cøu ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n d⁄ng f 7 g = Df ∗ k mà D là mºt to¡n tß nào đó. Trong trường hæp D = (1 − dx d22) là mºt to¡n tß vi ph¥n c§p 2, ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine đ¢ đưæc V.K. Tu§n và Musallam thi‚t l“p và nghi¶n cøu. C¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p hoặc t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n bi‚n đŒi Fourier sine, Mellin, bi‚n đŒi KontorovichLebedev sau đó cũng đưæc nghi¶n cøu. Cho đ‚n nay c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Laplace có hàm trọng và không có hàm trọng v¤n chưa đưæc nghi¶n cøu. Khi gi£i quy‚t c¡c bài to¡n to¡nlý, nghi»m cıa c¡c bài to¡n này có th” đưæc bi”u di„n qua c¡c t‰ch ch“p tương øng. Đ” đ¡nh gi¡ c¡c nghi»m đó ta có th” dùng đ‚n b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p. Đƒu ti¶n ph£i k” đ‚n b§t đflng thøc Young và b§t đflng thøc Saitoh đŁi với t‰ch ch“p Fourier. C¡c b§t đflng thøc d⁄ng này đŁi với t‰ch ch“p Mellin, t‰ch ch“p Fourier cosine sau đó cũng đưæc thi‚t l“p nghi¶n cøu và cho nhi•u øng dụng thú vị. Tuy nhi¶n, c¡c b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace đ‚n nay v¤n chưa đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu. Tł nhœng lý do tr¶n, chúng tôi lựa chọn đ• tài đ” nghi¶n cøu là T‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace, Fourier và øng dụng. 2. Mục đ‰ch, đŁi tưæng và ph⁄m vi nghi¶n cøu Mục đ‰ch cıa lu“n ¡n là x¥y dựng và nghi¶n cøu mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace. Nghi¶n cøu t‰nh ch§t to¡n tß t‰ch ch“p, thi‚t l“p b§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p suy rºng này trong mºt sŁ không gian hàm cụ th”. X¥y dựng và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng tương øng. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa ph†p bi‚n đŒi như t‰nh unita, sự tồn t⁄i to¡n tß ngưæc trong không gian L2(R+). Tł đó, øng dụng vào vi»c gi£i mºt lớp c¡c phương tr…nh, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. 23. Phương ph¡p nghi¶n cøu Trong lu“n ¡n, chúng tôi sß dụng c¡c phương ph¡p gi£i t‰ch hàm, lý thuy‚t to¡n tß, ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n và lý thuy‚t t‰ch ch“p. Chúng tôi øng dụng b§t đflng thøc H¨older đ” đ¡nh gi¡ chun cıa c¡c to¡n tß t‰ch ch“p mới trong c¡c không gian hàm cụ th”. Đặc bi»t Định lý WienerLevy đưæc sß dụng nhi•u trong vi»c x¥y dựng công thøc nghi»m đóng cho lớp c¡c phương tr…nh, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. 4. C§u trúc và k‚t qu£ cıa lu“n ¡n Ngoài phƒn Mở đƒu, K‚t lu“n và Tài li»u tham kh£o, lu“n ¡n đưæc chia làm ba chương: Chương 1, x¥y xựng và nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Nh“n đưæc c¡c đflng thøc nh¥n tß hóa, đflng thøc ki”u Parseval, Định lý ki”u Titchmarch và mºt sŁ đ¡nh gi¡ chun trong c¡c không gian hàm L p(R+) và Lα;β p (R+). T…m đưæc mŁi li¶n h» giœa c¡c t‰ch ch“p suy rºng mới với mºt sŁ t‰ch ch“p quan trọng đ¢ bi‚t. Hơn nœa, trong c¡c không gian Lp(R+) và Lp(R+; ρ), c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace cũng đưæc thi‚t l“p và chøng minh. Chương 2, thi‚t l“p và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c ph†p bi‚n bi‚n đŒi này, ta nh“n đưæc c¡c Định lý ki”u Watson cho đi•u ki»n cƒn và đı đ” c¡c ph†p bi‚n đŒi tương øng là unita trong không gian L2(R+), hơn nœa ta cũng x¡c định đưæc đi•u ki»n đı cho sự tồn t⁄i c¡c ph†p bi‚n đŒi ngưæc. Ngoài ra Định lý ki”u Plancherel đŁi với ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng cũng đưæc chøng minh. Chương 3, mºt sŁ lớp phương tr…nh t‰ch ph¥n, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n đưæc gi£i nhờ vào t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace và ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Hơn nœa, b‹ng phương ph¡p gi£i này nghi»m nh“n đưæc tł c¡c c¡c phương tr…nh tr¶n đ•u đưæc cho dưới d⁄ng dóng. 35. Ý nghĩa cıa c¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n C¡c t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n bi‚n đŒi Laplace, c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Laplace, và mºt sŁ b§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p suy rºng tương øng lƒn đƒu ti¶n đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu trong lu“n ¡n. C¡c k‚t qu£ này có ý nghĩa khoa học và góp phƒn làm phong phú hơn v• lý thuy‚t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n, t‰ch ch“p cũng như b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p. Tł đó, đưa ra c¡ch ti‚p c“n mới và c¡c phương ph¡p gi£i phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. Mºt sŁ ý tưởng và phương ph¡p đưæc sß dụng trong lu“n ¡n có th” dùng nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng kh¡c. Nºi dung ch‰nh cıa lu“n ¡n dựa vào bŁn công tr…nh đ¢ công bŁ, đưæc li»t k¶ ở Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n, gồm ba công tr…nh tr¶n c¡c t⁄p ch‰ to¡n học QuŁc t‚ (trong đó 4 thuºc t⁄p ch‰ trong danh mục ISI) và mºt công tr…nh tr¶n t⁄p ch‰ to¡n học QuŁc gia. C¡c k‚t qu£ này đ¢ đưæc b¡o c¡o mºt phƒn hoặc toàn bº t⁄i: + Hºi nghị To¡n học Vi»tPh¡p, th¡ng 8 n«m 2012, t⁄i Hu‚. + Hºi nghị To¡n học Toàn quŁc lƒn thø 8, th¡ng 8 n«m 2013, t⁄i Nha Trang. + Hºi nghị QuŁc t‚ Gi£i t‰ch phøc hœu h⁄n và vô h⁄n chi•u và øng dụng (ICFIDCAA), th¡ng 8 n«m 2011 t⁄i Hà Nºi. + Hºi th£o To¡n học phŁi hæp Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi và Trường Đ⁄i học Heidelberg cıa Đøc, th¡ng 3 n«m 2015. + Seminar Gi£i t‰ch, Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi. + Seminar Gi£i t‰chĐ⁄i sŁ, Trường Đ⁄i học Khoa học Tự nhi¶n Hà Nºi. 4Chương 1 TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE Mục đ‰ch cıa Chương 1 là nghi¶n cøu mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c t‰ch ch“p suy rºng này trong mºt sŁ không gian hàm kh¡c nhau. Thi‚t l“p c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với c¡c t‰ch ch“p tương øng. 1.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace Định nghĩa 1.1.1 T‰ch ch“p suy rºng cıa hai hàm f và k đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ 1 k(x) = 1 π Z0 1 Z0 1 θ1(x; u; v)f(u)k(v)dudv; (1.1) trong đó θ1(x; u; v) = v v2 + (x − u)2 + v v2 + (x + u)2; x > 0: (1.2) Ta gọi Ac là không gian £nh cıa L1(R+) thông qua ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine Fc. Với chun kfkAc := kFcfkL1(R+) th… Ac là đ⁄i sŁ Banach, nghĩa là n‚u f(x); k(x) 2 Ac, th… f(x)k(x) 2 Ac và thỏa m¢n kfkkAc ≤ kfkAckkkAc. Định lý 1.1.1 Gi£ sß c¡c hàm f(x) và k(x) thuºc không gian L2(R+). Khi đó ta có f ∗ 1 k(x) 2 Ac, và thỏa m¢n đflng thøc ki”u Parseval f ∗ 1 k(x) = FcFcf(y)Lk(y)(x); 8x > 0: (1.3) Hơn nœa, ta cũng nh“n đưæc đflng thøc nh¥n tß hóa sau Fcf ∗ 1 k(y) = Fcf(y)Lk(y); 8y > 0: (1.4) BŒ đ• 1.1.1 N‚u k(x) 2 L1(R+), th… Lk(y) 2 Ac. 5Định lý 1.1.2 Gi£ sß r‹ng f(x); k(x) 2 L1(R+). Khi đó đŁi với t‰ch ch“p f ∗ 1 k(x), c¡c đflng thøc ki”u Parseval (1.3) và đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4) v¤n cÆn đúng, hơn nœa f ∗ 1 k(x) 2 L1(R+). Nh“n x†t 1.1.1 Trong bi”u thøc t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace : ∗ 1 :, n‚u thay th‚ nh¥n θ1(x; u; v) bởi nh¥n θ2(x; u; v) = v v2 + (x − u)2 − v v2 + (x + u)2; x > 0; (1.5) th… ta s‡ nh“n đưæc t‰ch ch“p suy rºng mới. Đó là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace đưæc định nghĩa bởi f ∗ 2 k(x) = 1 π Z0 1 Z0 1 θ2(x; u; v)f(u)k(v)dudv; (1.6) thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa Fsf ∗ 2 k(y) = Fsf(y)Lk(y); 8y > 0; f; k 2 L2(R+): (1.7) Định lý 1.1.3 Gi£ sß r‹ng f(x); f 0(x) 2 L2(R+) và k(x) 2 L2(R+). Khi đó, ta có c¡c đflng thøc sau d dxf ∗ 1 k(x) = f 0 ∗ 2 k(x); (1.8) d dxf ∗ 2 k(x) = f 0 ∗ 1 k(x) + rπ 2f(0) Z0 1 xyk 2 + (yy)2 dy: (1.9) Định nghĩa 1.1.2 T‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) cıa hai hàm f và k đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ γ 1 k(x) = 1 π Z0 1 Z0 1 θ1(x; u; v + µ)f(u)k(v)dudv; (1.10) trong đó θ1(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.2). 6Định lý 1.1.4 Gi£ sß f(x); k(x) 2 L1(R+). Khi đó, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 1 k(x) thuºc L1(R+), thỏa m¢n b§t đflng thøc chun kf ∗ γ 1 kk L1(R+) ≤ kfkL1(R+)kkkL1(R+); (1.11) và có đflng thøc nh¥n tß hóa Fcf ∗ γ 1 k(y) = e−µyFcf(y)Lk(y); 8y > 0: (1.12) Ngoài ra, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 1 k(x) cũng thuºc C0(R+). Định lý 1.1.5 (Định lý ki”u Titchmarch) Cho hai hàm sŁ li¶n tục k(x) 2 L1(R+) và f(x) 2 L1(R+; eαx) (α > 0). N‚u f ∗ γ 1 k(x) = 0; 8x > 0 th… hoặc f(x) = 0; 8x > 0 hoặc k(x) = 0; 8x > 0: Định lý 1.1.6 Gi£ sß p > 1; r ≥ 1; 0 < β ≤ 1; c¡c hàm f(x) 2 Lp(R+) và k(x) 2 L1(R+). Khi đó t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 1 k(x) tồn t⁄i, li¶n tục và thuºc Lα;β r (R+). Hơn nœa, ta có đ¡nh gi¡ sau kf ∗ γ 1 kk Lα;β r (R+) ≤ CkfkL p(R+)kkkL1(R+); (1.13) trong đó C = ( 2 πµ )1=pβ− α+1 r Γ1=r(α + 1) với Γ là hàm Gamma. Ngoài ra, n‚u f(x) 2 L1(R+) Lp(R+) th… t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 1 k(x) thuºc C0(R+), và thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa (1.12). Định lý 1.1.7 Gi£ sß α > −1;0 < β ≤ 1; p > 1; q > 1; r ≥ 1 thỏa m¢n 1p + 1 q = 1. Khi đó, n‚u f(x) 2 Lp(R+) và k(x) 2 Lq(R+;(1 + x2)q−1), th… t‰ch ch“p f ∗ γ 1 k(x) tồn t⁄i, li¶n tục, bị chặn trong Lα;β r (R+) và có kf ∗ γ 1 kk Lα;β r (R+) ≤ CkfkL p(R+)kkkLq(R+;(1+x2)q−1); (1.14) trong đó C = µ− 1p π − 1q β− α+1 r Γ1=r(α + 1): Hơn nœa, n‚u gi£ thi‚t th¶m f(x) 2 L1(R+) Lp(R+) và k(x) 2 L1(R+) Lq(R+;(1 + x2)q−1) th… t‰ch ch“p f ∗ γ 1 k(x) thuºc C0(R+) và thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa (1.12). 7Nh“n x†t 1.1.2 Trong t‰ch ch“p suy rºng : ∗ γ 1 :, n‚u thay th‚ nh¥n θ1(x; u; v + µ) bởi θ2(x; u; v + µ) đưæc x¡c định như (1.5), th… ta nh“n đưæc t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace : ∗ γ 2 : với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) đưæc định nghĩa bởi f ∗ γ 2 k(x) = 1 π Z0 1 Z0 1 θ2(x; u; v + µ)f(u)k(v)dudv; (1.15) và thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa Fsf ∗ γ 2 k(y) = e−µyFsf(y)Lk(y); 8y > 0; f; k 2 L1(R+): (1.16) 1.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng Định nghĩa 1.2.1 T‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ(y) = −sin y cıa hai hàm f(x) và k(x) đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine, Fourier sine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ γ 3 k(x) = 1 2π Z0 1 Z0 1 θ2(x − 1; u; v) − θ2(x + 1; u; v)f(u)k(v)dudv; (1.17) với θ2(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.5). Ta đặt H(R+) = nf(x) : Lf(y) 2 L2(R+)o: Định lý 1.2.1 Gi£ sß f(x) 2 L2(R+) và k(x) 2 H(R+). Khi đó, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 3 k(x) thuºc L2(R+) thỏa m¢n đflng thøc ki”u Parseval f ∗ γ 3 k(x) = Fc − sin yFsfLk(x); 8x > 0; (1.18) và đflng thøc nh¥n tß hóa sau Fcf ∗ γ 3 k(y) = −sin yFsf(y)Lk(y); 8y > 0: (1.19) 8Định nghĩa 1.2.2 T‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0) cıa hai hàm f và k đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine, Fourier sine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ γ 5 k(x) = 1 2π Z01 Z01 θ2(x − 1; u; v + µ) − θ2(x + 1; u; v + µ)f(u)k(v)dudv; (1.20) với θ2(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.5). Định lý 1.2.2 Gi£ sß f(x) và k(x) là hai hàm thuºc không gian L1(R+). Khi đó, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 5 k(x) thuºc không gian L1(R+), và ta có b§t đflng thøc chun kf ∗ γ 5 kk L1(R+) ≤ kfkL1(R+)kkkL1(R+): Hơn nœa, t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 5 k(x) cũng thuºc C0(R+), thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa Fcf ∗ γ 5 k(y) = −e−µy sin yFsf(y)Lk(y); 8y > 0; ; (1.21) và đflng thøc ki”u Parseval f ∗ γ 5 k(x) = Fc − e−µy sin yFsf(y)Lk(y)(x); 8x > 0: (1.22) Định lý 1.2.3 Gi£ sß r‹ng p > 1; r ≥ 1;0 < β ≤ 1, c¡c hàm f(x) 2 L p(R+) và k(x) 2 L1(R+). Khi đó t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 5 k(x) tồn t⁄i, li¶n tục và bị chặn trong Lα;β r (R+). Hơn nœa, t‰ch ch“p này thỏa m¢n b§t đflng thøc chun sau kf ∗ γ 5 kk Lα;β r (R+) ≤ CkfkL p(R+)kkkL1(R+); (1.23) ở đó C = ( 2 πµ )1=p:β− α+1 r :Γ1=r(α + 1) với Γ là hàm Gamma Euler. Ngoài ra, n‚u f(x) 2 L1(R+) Lp(R+) th… t‰ch ch“p suy rºng f ∗ γ 5 k(x) thuºc C0(R+), thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa (1.21) và đflng thøc ki”u Parseval (1.22). 9Định lý 1.2.4 Cho α > −1; 0 < β ≤ 1; p > 1; q > 1; r ≥ 1 thỏa m¢n 1p + 1 q = 1. Khi đó, n‚u c¡c hàm f(x) 2 Lp(R+) và k(x) 2 Lq(R+; e(q−1)x) th… t‰ch ch“p f ∗ γ 5 k(x) tồn t⁄i, li¶n tục và bị chặn trong Lα;β r (R+). Hơn nœa, ta có b§t đflng thøc chun kf ∗ γ 5 kk Lα;β r (R+) ≤ CkfkL p(R+)kkkLq(R+;e(q−1)x); (1.24) trong đó C = ( 2 πµ )1=q:β− α+1 r :Γ61=r(α + 1): Ngoài ra, n‚u f(x) 2 L1(R+)Lp(R+) và k(x) 2 L1(R+)Lq(R+; e(q−1)x) th… t‰ch ch“p f ∗ γ 5 k(x) cũng thuºc C0(R+) thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa (1.21) và đflng thøc ki”u Parseval (1.22). 1.3 MŁi li¶n h» giœa t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace và c¡c t‰ch ch“p kh¡c M»nh đ• 1.3.1 Cho f(x); k(x) và h(x) là c¡c hàm trong L1(R+). Khi đó, ta có c¡c đflng thøc sau a) f ∗ γ Fs k ∗ γ 2 h = f ∗ γ Fs k ∗ γ 2 h: b) f ∗ Fc k ∗ γ 1 h = f ∗ Fc k ∗ γ 1 h: c) f ∗ FsFc k ∗ γ 1 h = f ∗ FsFc k ∗ γ 1 h: d) f ∗ FcFs k ∗ γ 2 h = f ∗ FcFs k ∗ γ 1 h: M»nh đ• 1.3.2 Cho f(x) và k(x) là hai hàm trong không gian L1(R+). Khi đó, ta có c¡c đflng thøc sau a)f ∗ γ 1 k(x) = rπ 2 Z01 k(v)f(u) F ∗ c (v +vµ + )2µ + u2(x)dv: b)f ∗ γ 2 k(x) = rπ 2 Z01 k(v)f(u) Fs∗ Fc (v +vµ + )2µ + u2(x)dv: 101.4 B§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng 1.4.1 Định lý ki”u Young Định lý 1.4.1 (Định lý ki”u Young) Cho p; q; r > 1, 1 p + 1 q + 1 r = 2 và f(x) 2 Lp(R+); k(x) 2 Lq(R+; (x +µ)q−1) (µ > 0); h(x) 2 Lr(R+). Khi đó: Z0 1 f ∗ γ 1 k(x):h(x)dx ≤ µ 1− q q kfkLp(R+)kkkLq(R+;(x+µ)q−1)khkLr(R+): 1.4.2 Định lý ki”u Saitoh Định lý 1.4.2 (Định lý ki”u Saitoh) Gi£ sß ρj 2 L1(R+) (j = 1; 2) là hai hàm sŁ dương, khi đó ta có b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng sau đ¥y đúng với mọi Fj 2 Lp(R+; ρj) jj(F1ρ1) ∗ γ 1 (F2ρ2)ρ1 ∗ γ 1 ρ21=p−1jjLp(R+) ≤ jjF1jjLp(R+;ρ1)jjF2jjLp(R+;ρ2): K‚t lu“n Chương 1 X¥y dựng và nghi¶n cøu bŁn t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace: (: ∗ 1 :), (: ∗ γ 1 :), (: ∗ γ 3 :) và (: ∗ γ 5 :). Nh“n đưæc c¡c k‚t qu£ ch‰nh sau: • C¡c đ¡nh gi¡ chun cıa to¡n tß t‰ch ch“p trong mºt sŁ không gian hàm. • C¡c đflng thøc nh¥n tß hóa, đflng thøc ki”u Parseval, Định lý ki”u Titchmarch. • C¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh cho t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng. Nºi dung cıa chương này dựa vào mºt phƒn cıa mØi bài b¡o 1, 2, 3 và 4 trong Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n. 11Chương 2 PHÉP BIẾN Đ˚I TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE Mục đ‰ch cıa chương này là thi‚t l“p và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n dựa tr¶n c¡c t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace và t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng đ¢ đưæc nghi¶n cøu trong Chương 1. 2.1 Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace X†t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace (1.1): f(x) 7 g(x) = Tkf(x) = 1 − dx d22f ∗ 1 k(x); x > 0; (2.1) trong đó k là nh¥n cıa ph†p bi‚n đŒi. 2.1.1 Định lý ki”u Watson Định lý 2.1.1 Gi£ sß r‹ng k(x) 2 L2(R+), hoặc k(x) 2 H(R+) sao cho t‰ch ph¥n (1.1) hºi tụ như t‰ch ph¥n lặp. Khi đó đi•u ki»n cƒn và đı đ” ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n (2.1) unita trong L2(R+) là (1 + y2)Lk(y) = 1; y > 0: (2.2) Hơn nœa, ph†p bi‚n đŒi ngưæc tồn t⁄i và đưæc x¡c định bởi f(x) = 1 − dx d22g ∗ 1 k(x); (2.3) trong đó k là hàm li¶n hæp phøc cıa k. 12M»nh đ• 2.1.1 Gi£ thi‚t k(x) là hàm thỏa m¢n c¡c đi•u ki»n cıa Định lý 2.1.1, trong đó đi•u ki»n (2.2) đưæc thay b‹ng đi•u ki»n sau 0 < C1 ≤ (1 + y2)Lk(y) ≤ C2 < 1: (2.4) Khi đó, trong L2(R+) ta có đ¡nh gi¡ b§t đflng thøc chun sau C1kfkL2(R+) ≤ kgkL2(R+) ≤ C2kfkL2(R+): (2.5) Hơn nœa, ph†p bi‚n đŒi ngưæc tồn t⁄i và x¡c định bởi f(x) = 1 − dx d22g F ∗ c k1(x); (2.6) ở đó k1 2 L2(R+) sao cho Fck1(y) = 1 (1+y2)2Lk(y): 2.1.2 Li¶n h» giœa ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n với c¡c đ⁄o hàm Định lý 2.1.2 Gi£ sß k(x) có đ⁄o hàm đ‚n c§p hai, và k(x); k00(x) 2 L2(R+) hoặc k(x); k00(x) 2 H(R+) sao cho t‰ch ph¥n (1.1) hºi tụ đŁi với k cũng như đŁi với k00, và k(0) = 0. Khi đó, ta có đ¡nh gi¡ sau Tkf(x) = f ∗ 1 (k + k00)(x) − k0(0)f(x): (2.7) 2.2 Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng X†t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n li¶n quan đ‚n c¡c t‰ch ch“p suy rºng (1.17): f(x) 7 g(x) = Tk1;k2f(x) = 1 − dx d22nf ∗ γ 3 k1(x) + f Fc∗ Fs k2(x)o; x > 0; (2.8) trong đó k1; k2 là nh¥n cıa ph†p bi‚n đŒi. 132.2.1 Định lý ki”u Watson Định lý 2.2.1 Gi£ sß k1(x) 2 H(R+) và k2(x) 2 L2(R+), khi đó đi•u ki»n cƒn và đı đ” ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n (2.8) unita trong L2(R+) là − sin yLk1(y) + Fsk2(y) = 1 1 + y2: (2.9) Hơn nœa, ph†p bi‚n đŒi ngưæc có d⁄ng f(x) = 1 − dx d22n − g ∗ γ 4 k1(x) + k2 Fs∗ Fc g(x)o; (2.10) trong đó k1 và k2 lƒn lưæt là c¡c hàm li¶n hæp phøc cıa k1 và k2. 2.2.2 Định lý ki”u Plancherel X†t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineFourier cosineLaplace với hàm trọng f(x) 7 g(x) = 1 − dx d22nf ∗ γ 4 k1(x) + f Fs∗ Fc k2(x)o; x > 0; (2.11) Định lý 2.2.2 Gi£ sß k1 2 H(R+), k2 2 L2(R+) sao cho (2.11) unita và Θ1(x; u; v) = 1 − dx d22θ2(x − 1; u; v) − θ2(x + 1; u; v); Θ2(x; u; v) = 1 − dx d22θ1(x − 1; u; v) − θ1(x + 1; u; v); K(x) = 1 − dx d22k2(x) là c¡c hàm bị chặn. Cho f 2 L2(R+) và với mØi sŁ tự nhi¶n N, đặt gN(x) = 1 2π 1 Z 0 NZ 0 Θ2(x; u; v)f(u)k1(v)dudv + 1 p2π NZ 0 f(u)K(jx − uj) − K(x + u)du: 14Khi đó: 1) Ta có gN 2 L2(R+), và n‚u N 1 th… gN hºi tụ theo chun trong L2(R+) đ‚n hàm g 2 L2(R+) với kgkL2(R+) = kfkL2(R+): 2) Đặt gN = g:χ(0; N), th… fN(x) = − 1 2π 1 Z 0 1 Z 0 Θ1(x; u; v)gN(u)k1(v)dudv + 1 p2π 1 Z 0 gN(u)K(x + u) + sign(u − x)K(jx − uj)du; cũng thuºc L2(R+), và n‚u N 1 th… fN hºi tụ theo chun đ‚n f. K‚t lu“n Chương 2 X¥y dựng hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace Tk và Fourier cosineFourier sineLaplace Tk1;k2 với hàm trọng. Nh“n đưæc c¡c k‚t qu£ ch‰nh: • Định lý ki”u Watson v• đi•u ki»n cƒn và đı đ” c¡c ph†p bi‚n đŒi Tk và Tk1;k2 là unita trong L2(R+). • X¡c định đưæc đi•u ki»n đı đ” to¡n tß Tk bị chặn và có bi‚n đŒi ngưæc. • Định lý ki”u Plancherel v• sự tồn t⁄i c¡c d¢y to¡n tß hºi tụ theo chun v• to¡n tß t‰ch ph¥n Tk1;k2 và to¡n tß ngưæc cıa nó. Nºi dung cıa chương này dựa vào mºt phƒn cıa mØi bài b¡o 3 và 4, trong Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n. 15Chương 3 M¸T S¨ ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng ta sß dụng c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu cıa Chương 1 và Chương 2 đ” gi£i mºt sŁ lớp phương tr…nh t‰ch ph¥n, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n, phương tr…nh vit‰ch ph¥n và cho công thøc nghi»m dưới d⁄ng đóng. 3.1 Gi£i phương tr…nh và h» phương tr…nh t‰ch ph¥n Định lý 3.1.1 (Định lý WienerLevy) Gi£ sß f là bi‚n đŒi Fourier cıa mºt hàm thuºc L1(R), và ’ là hàm gi£i t‰ch trong mºt l¥n c“n cıa gŁc, chøa mi•n ff(y); 8y 2 Rg thỏa m¢n ’(0) = 0, khi đó ’(f) cũng là £nh qua ph†p bi‚n đŒi Fourier cıa mºt hàm nào đó thuºc L1(R). Nh“n x†t 3.1.1 Định lý WienerLevy v¤n đúng cho c£ ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine. 3.1.1 Gi£i phương tr…nh t‰ch ph¥n a) X†t phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i mºt có d⁄ng Z0 1 K1(x; u)f(u)du = g(x); x > 0; (3.1) trong đó K1(x; u) = 1 π Z0 1 θ1(x; u; v)k(v)dv; (3.2) với θ1(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.2). Định lý 3.1.2 Cho g(x); k(x) 2 L1(R+). Khi đó, đi•u ki»n cƒn và đı đ” phương tr…nh (3.1) có nghi»m trong L1(R+) là Fcg(y) Lk(y) 2 Ac. Hơn nœa, 16nghi»m đưæc cho dưới d⁄ng f(x) = Z01 F L ck g ((y y)) cos xydy: (3.3) b) X†t phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z01 K1(x; u)f(u)du = g(x); x > 0; (3.4) trong đó nh¥n K1(x; u) cho bởi (3.2) và k(x); g(x) là hàm cho trước trong L1(R+), và f(x) là hàm cƒn t…m. Định lý 3.1.3 Gi£ sß đi•u ki»n sau đưæc thỏa m¢n 1 + Lk(y) 6= 0; 8y > 0: (3.5) Khi đó phương tr…nh (3.4)có nghi»m duy nh§t trong L1(R+). Hơn nœa, nghi»m đưæc cho dưới d⁄ng f(x) = g(x) − q ∗ Fc g(x); (3.6) ở đó q(x) 2 L1(R+) đưæc x¡c định bởi q(x) = Fc Lk(y) 1 + Lk(y)(x): (3.7) c) X†t phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z01 K2(x; t)f(t)dt = g(x); x > 0; (3.8) ở đó K2(x; t) = 1 πp2π ZR+ 2 θ1(x; u; v + µ) (ju − tj) + (u + t)’(v)dudv; µ > 0; với θ1(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.2). 17Định lý 3.1.4 Gi£ sß r‹ng ’(x); (x) 2 L1(R+). Khi đó, đi•u ki»n cƒn và đı đ” phương tr…nh (3.8) có nghi»m duy nh§t trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuºc L1(R+) là 1+ e−µy(Fc )(y)(L’)(y) 6= 0; 8y > 0. Hơn nœa, nghi»m có th” đưæc bi”u di„n dưới d⁄ng sau f(x) = g(x) − g ∗ Fc q(x); (3.9) ở đó, hàm q 2 L1(R+) đưæc x¡c định bởi Fcq(y) = e−µy(Fc )(y)(L’)(y) 1 + e−µy(Fc )(y)(L’)(y): (3.10) d) X†t phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z0 1 K4(x; t)f(t)dt = g(x); x > 0; (3.11) trong đó K4(x; t) = 1 2πp2π ZR+ 2 θ2(x − 1; u; v + µ) − θ2(x + 1; u; v + µ) × ’(u + t) + sign(u − t)’(ju − tj) (v)dudv; (3.12) với θ2(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.5). Định lý 3.1.5 Gi£ sß g(x); ’(x); (x) 2 L1(R+). Khi đó đi•u ki»n cƒn và đı đ” phương tr…nh t‰ch ph¥n (3.11) có duy nh§t nghi»m trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuºc L1(R+) là 1 + e−µy sin y(Fc’)(y)(L )(y) 6= 0; 8y > 0. Hơn nœa, nghi»m đưæc cho dưới d⁄nh sau f(x) = g(x) + g ∗ Fc q(x); trong đó q là hàm thuºc L1(R+) sao cho Fcq(y) = −e−µy sin y(Fc’)(y)(L )(y) 1 + e−µy sin y(Fc’)(y)(L )(y); 18V‰ dụ 3.1.1 Ta chọn c¡c hàm ’(x), (x) như sau ’(x) = e−ax; (x) = e−bx (a; b > 0): Khi đó d„ th§y ’(x); (x) 2 L1(R+) và ta có Fs’(y) = rπ 2 a2 + y y2; L (y) = b + 1 y: (3.13) Tł đflng thøc nh¥n tß hóa (1.19) và (3.13), ta có Fc’ γ∗ 6 5 (y) = −e−µy sin yFs’(y)L (y) = −rπ 2e−µy sin y:(a2 + y2y)(b + y): Khi đó, ta có 1 − Fc’ γ∗ 6 5 (y) 6= 0; 8y > 0. Theo Định lý WienerLevy, tồn t⁄i hàm q(x) 2 L1(R+) sao cho Fcq(y) = −qπ 2e−µy sin y:(a2+y2 y)(b+y) 1 + qπ 2e−µy sin y:(a2+y2 y)(b+y) : (3.14) Suy ra q(x) = Fch − qπ 2e−µy sin y:(a2+y2 y)(b+y) 1 + qπ 2e−µy sin y:(a2+y2 y)(b+y) i(x) = − 2 π Z01 (a2 + y2)(y bsin + yy)ecos µy + xyqπ 2y sin ydy; và nghi»m đưæc cho bởi f(x) = g(x) + g ∗ Fc q(x): 193.1.2 Gi£i h» phương tr…nh t‰ch ph¥n a) X†t h» hai phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z01 K6(x; t)g(t)dt = p(x); g(x) + Z01 K7(x; t)f(t)dt = q(x); x > 0: (3.15) Trong đó K6(x; t) = 1 πp2π ZR+ 2 θ1(x; u; v + µ)k(ju − tj) + k(u + t)’(v)dudv; K7(x; t) = 1 πp2π ZR+ 2 θ1(x; u; v + µ)l(ju − tj) + l(u + t) (v)dudv; (3.16) với θ1(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.2). Định lý 3.1.6 Gi£ thi‚t ’(x); (x); p(x); q(x); k(x); l(x) 2 L1(R+), thỏa m¢n 1 − e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(L’)(y)(L )(y) 6= 0; 8y > 0: Khi đó h» (3.15) có nghi»m duy nh§t (f; g) trong L1(R+); L1(R+) đưæc cho bởi c¡c bi”u thøc f(x) = p(x) − q F∗ c k ∗ γ 1 ’(x) + p F∗ c ξ(x) − q F∗ c (k ∗ γ 1 ’) F∗ c ξ(x); (3.17) g(x) = q(x) − p F∗ c l ∗ γ 1 (x) + q F∗ c ξ(x) − p F∗ c (l ∗ γ 1 ) F∗ c ξ(x): (3.18) Trong đó, ξ(x) 2 L1(R+) thỏa m¢n Fcξ(y) = e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(L’)(y)(L )(y) 1 − e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(L’)(y)(L )(y): (3.19) 20b) X†t h» hai phương tr…nh t‰ch ph¥n lo⁄i hai có d⁄ng f(x) + Z01 K10(x; u)g(u)du = p(x); g(x) + Z01 K11(x; u)f(u)du = q(x); x > 0: (3.20) Trong đó K10(x; u) = 1 2π Z01 ’(v)θ2(x − 1; u; v + µ) − θ2(x + 1; u; v + µ)dv; K11(x; u) =p12π (u + x) − sign(u − x) (ju − xj); với θ2(x; u; v) đưæc x¡c định bởi (1.5). Định lý 3.1.7 Gi£ sß r‹ng ’(x); (x); p(x); q(x) 2 L1(R+) thỏa m¢n 1 − e−µy sin y(Fc )(y)(L’)(y) 6= 0; 8y > 0: Khi đó h» (3.20) có nghi»m duy nh§t (f; g) trong L1(R+); L1(R+) đưæc cho bởi f(x) = p(x) − q ∗ γ 5 ’(x) − p ∗ Fc ξ(x) + q ∗ γ 5 ’ F∗ c ξ(x); g(x) = q(x) − ∗ FsFc p(x) − q ∗ FsFc ξ(x) + Fs∗ Fc p Fs∗ Fc ξ(x): Trong đó ξ(x) 2 L1(R+) là hàm thỏa m¢n Fcξ(y) = −e−µy sin y(Fc )(y)(L’)(y) 1 − e−µy sin y(Fc )(y)(L’)(y); 3.2 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n 3.2.1 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n c§p hai X†t phương tr…nh vit‰ch ph¥n có d⁄ng f(x) − f00(x) + Tkf(x) = g(x); x > 0; (3.21) f0(0) = f(0) = 0: 21Trong đó k(x); g(x) là c¡c hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f(x) là hàm cƒn t…m. Định lý 3.2.1 N‚u 1 + Lk(y) 6= 0; 8y > 0, th… phương tr…nh (3.21) có nghi»m duy nh§t trong L1(R+). Hơn nœa, nghi»m có th” vi‚t dưới d⁄ng f(x) = rπ 2hg(t) F ∗ c e−t(x) − g(t) F ∗ c e−t F ∗ c q(x)i; (3.22) trong đó q(x) 2 L1(R+) là hàm đưæc x¡c định bởi q(x) = Fc 1+ LL k k (y() y)(x): 3.2.2 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n a)X†t phương tr…nh vit‰ch ph¥n có d⁄ng f(x) + Tkf(x) = g(x); x > 0; (3.23) f 0(0) = f(0) = 0: Trong đó k(x); g(x) là c¡c hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f(x) là hàm cƒn t…m. Định lý 3.2.2 N‚u k(x); k00(x) 2 L1(R+); k0(0) = k(0) = 0, với đi•u ki»n 1 + Lk + k00(y) 6= 0; 8y > 0 đưæc thỏa m¢n, th… phương tr…nh (3.23) có nghi»m duy nh§t trong L1(R+). Hơn nœa, nghi»m đưæc cho dưới d⁄ng f(x) = g(x) − g ∗ Fc q(x); (3.24) ở đó q(x) 2 L1(R+) là hàm đưæc x¡c định bởi q(x) = Fc 1+ LL k+ k+ k00 k 00 (y() y)(x): b) X†t phương tr…nh vit‰ch ph¥n có d⁄ng f(x) + d dxT’; f(x) = g(x); x > 0: (3.25) Trong đó, ’(x) = ’1 ∗ L ’2(x), ’1(x) 2 H(R+), ’2(x) = sin t ∗ L sin t(x) và (x) = sech t ∗ FsFc 1(x); 1(x) 2 L2(R+). Hàm g(x) cho trước trong L2(R+) và f(x) là hàm cƒn t…m. 22Định lý 3.2.3 Gi£ sß đi•u ki»n sau thỏa m¢n h1 + (y + y3) sin yL’(y) − Fs (y)i−1 < 1; 8y > 0: (3.26) Khi đó phương tr…nh (3.25) có nghi»m duy nh§t trong L2(R+). Hơn nœa, nghi»m đưæc cho dưới d⁄ng f(x) = g(x) − q ∗ FsFc g(x); ở đó q(x) 2 L2(R+) là hàm đưæc x¡c định bởi Fcq(y) = (y + y3) sin yL’(y) − Fs (y) 1 + (y + y3) sin yL’(y) − Fs (y): K‚t lu“n chương 3 Ứng dụng tł c¡c k‚t qu£ Chương 1 và Chương 2, ta nh“n đưæc: • Đi•u ki»n cƒn và đı gi£i đưæc mºt lớp c¡c phương tr…nh t‰ch ph¥n. • Đi•u ki»n đı gi£i đưæc mºt lớp h» phương tr…nh t‰ch ph¥n. • Đi•u ki»n đı gi£i đưæc mºt lớp phương tr…nh vit‰ch ph¥n. C¡c lớp phương tr…nh và h» phương tr…nh tr¶n đ•u cho nghi»m dưới d⁄ng đóng. Nºi dung ch‰nh cıa chương này dựa vào mºt phƒn cıa mØi bài b¡o 1, 2, 3 và 4, trong Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n. 23KẾT LUẬN C¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n là: 1. X¥y dựng bŁn t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine, Fourier sine và Laplace. Nh“n đưæc t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c t‰ch ch“p, đflng thøc nh¥n tß hóa, đflng thøc ki”u Parseval, Định lý ki”u Titchmarch. Thi‚t l“p c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng trong c¡c không gian Lp(R+) và Lp(R+; ρ) tương øng. 2. X¥y dựng hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace Tk và t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace Tk1;k2 với hàm trọng trong L2(R+). Nh“n đưæc Định lý ki”u Watson v• đi•u ki»n cƒn và đı đ” c¡c ph†p bi‚n đŒi là unita, đi•u ki»n đı đ” tồn t⁄i bi‚n đŒi ngưæc. Định lý ki”u Plancherel v• sự tồn t⁄i mºt d¢y hàm hºi tụ theo chun đ‚n to¡n tß Tk1;k2 cũng đưæc chøng minh. 3. Nh“n đưæc øng dụng gi£i mºt sŁ lớp phương tr…nh t‰ch ph¥n, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n, phương tr…nh vit‰ch ph¥n trong c¡c không gian hàm L1(R+); L2(R+) và cho công thøc nghi»m dưới d⁄ng đóng. 24B¸ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ˝NG ĐẠI H¯C BÁCH KHOA HÀ N¸I —————————— LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY R¸NG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN Đ˚I TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN H¯C Hà Nºi 2016B¸ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ˝NG ĐẠI H¯C BÁCH KHOA HÀ N¸I —————————— LÊ XUÂN HUY TÍCH CHẬP SUY R¸NG LIÊN QUAN ĐẾN CÁC PHÉP BIẾN Đ˚I TÍCH PHÂN LAPLACE, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN H¯C Chuy¶n ngành: To¡n gi£i t‰ch M¢ ngành: 62460102 TẬP THỂ HƯ˛NG DẪN KHOA H¯C: PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO PGS. TS. TRỊNH TUÂN Hà Nºi 2016MỤC LỤC MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 L˝I CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 L˝I CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 M¸T S¨ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . 5 M— ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 1. TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE 16 1.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace . . . . . . . . . . . 16 1.2 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 MŁi li¶n h» giœa t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace và c¡c t‰ch ch“p kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4 B§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.4.1 Định lý ki”u Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.4.2 Định lý ki”u Saitoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Chương 2. PHÉP BIẾN Đ˚I TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE 46 2.1 Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.1 Định lý ki”u Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.2 Li¶n h» giœa ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n với c¡c đ⁄o hàm . 50 2.2 Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Định lý ki”u Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 12.2.2 Định lý ki”u Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chương 3. M¸T S¨ ỨNG DỤNG 59 3.1 Gi£i phương tr…nh và h» phương tr…nh t‰ch ph¥n . . . . . . . . 59 3.1.1 Gi£i phương tr…nh t‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.2 Gi£i h» phương tr…nh t‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.1 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n c§p hai . . . . . . . . . 75 3.2.2 Gi£i phương tr…nh vit‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . 77 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 DANH MỤC C˘NG TRÌNH Đà C˘NG B¨ CỦA LUẬN ÁN . . . . 91 2L˝I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đ¥y là công tr…nh nghi¶n cøu cıa tôi, dưới sự hướng d¤n cıa c¡c thƒy PGS.TS. Nguy„n Xu¥n Th£o và PGS.TS. Trịnh Tu¥n. T§t c£ c¡c k‚t qu£ đưæc tr…nh bày trong lu“n ¡n là hoàn toàn trung thực và chưa tłng đưæc ai công bŁ trong b§t kỳ công tr…nh nào. Thay mặt t“p th” hướng d¤n T¡c gi£ PGS.TS. Nguy„n Xu¥n Th£o L¶ Xu¥n Huy 3L˝I CẢM ƠN Lu“n ¡n đưæc thực hi»n và hoàn thành dưới sự hướng d¤n nghi¶m túc cıa c¡c thƒy PGS. TS. Nguy„n Xu¥n Th£o và PGS. TS. Trịnh Tu¥n. T¡c gi£ xin đưæc bày tỏ sự k‰nh trọng và lÆng bi‚t ơn s¥u s›c đ‚n c¡c thƒy. Nhœng người đ¢ d¤n d›t t¡c gi£ tł nhœng bước đi đƒu ti¶n tr¶n con đường nghi¶n cøu, đºng vi¶n t¡c gi£ vưæt qua khó kh«n trong qu¡ tr…nh làm NCS. T¡c gi£ xin đưæc gßi lời c£m ơn ch¥n thành đ‚n c¡c thƒy cô và c¡c thành vi¶n trong Seminar Gi£i t‰ch Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi, nh§t là TS. Nguy„n Thanh Hồng và TS. Nguy„n Minh Khoa. Nhœng người luôn gƒn gũi, giúp đỡ và t⁄o đi•u ki»n thu“n læi đ” t¡c gi£ học t“p và trao đŒi chuy¶n môn. T¡c gi£ xin đưæc bày tỏ lÆng bi‚t ơn s¥u s›c đ‚n thƒy GS. TSKH. Vũ Kim Tu§n (Đ⁄i học West Georgia, Mỹ), người đ¢ luôn đºng vi¶n, và cho t¡c gi£ nhi•u ý ki‚n quý b¡u trong qu¡ tr…nh học t“p. Trong thời gian làm NCS t⁄i Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi, t¡c gi£ đ¢ nh“n đưæc nhi•u t…nh c£m cũng như sự giúp đỡ tł c¡c thƒy cô trong Bº môn To¡n cơ b£n, c¡c thƒy cô trong Vi»n To¡n øng dụng và Tin học. T¡c gi£ xin đưæc ch¥n thành bày tỏ lÆng bi‚t ơn s¥u s›c đ‚n c¡c thƒy cô. Nh¥n dịp này, t¡c gi£ cũng xin đưæc gßi lời c£m ơn ch¥n thành đ‚n Ban Gi¡m hi»u Trường Đ⁄i học Kinh t‚Kỹ thu“t Công nghi»p, cùng c¡c thƒy cô và c¡c b⁄n đồng nghi»p trong Khoa Khoa học cơ b£n đ¢ quan t¥m đºng vi¶n và t⁄o đi•u ki»n thu“n læi đ” t¡c gi£ hoàn thành vi»c gi£ng d⁄y và làm NCS. CuŁi cùng, t¡c gi£ xin đưæc bày tỏ lÆng bi‚t ơn s¥u nặng đ‚n gia đ…nh bŁ mẹ, væ con, c¡c anh chị em cùng b⁄n b–. Ni•m tin y¶u và hi vọng cıa mọi người là nguồn đºng vi¶n và là đºng lực to lớn đ” t¡c gi£ vưæt qua mọi khó kh«n trong suŁt qu¡ tr…nh học t“p, nghi¶n cøu và hoàn thành lu“n ¡n. T¡c gi£ 4M¸T S¨ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN a. Mºt sŁ ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n và t‰ch ch“p • L là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace Lf(y) = Z0 1 f(x)e−yxdx; Re y > 0: • Fc là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine Fcf(y) = rπ 2 Z0 1 f(x) cos xydx; y > 0: • Fs là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier sine Fsf(y) = rπ 2 Z0 1 f(x) sin xydx; y > 0: • (: ∗ 1 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace. • (: ∗ 2 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace. • (:∗ γ 1 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0). • (: ∗ γ 2 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0). • (: ∗ γ 3 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng γ(y) = − sin y. 5• (: ∗ γ 4 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineFourier cosineLaplace với hàm trọng γ(y) = sin y. • (: ∗ γ 5 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sineLaplace với hàm trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0). • (: ∗ γ 6 :) là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineFourier cosineLaplace với hàm trọng γ(y) = e−µy sin y (µ > 0). b. Mºt sŁ không gian hàm • R+ = fx 2 R; x > 0g. • L p(R+); 1 ≤ p < 1 là không gian c¡c hàm sŁ f(x) x¡c định tr¶n R+ sao cho Z0 1 jf(x)jpdx < 1; trong đó chun cıa hàm f đưæc k‰ hi»u và x¡c định bởi kfkLp(R+) = Z0 1 jf(x)jpdx p 1: • L p(R+; ρ); ρ > 0; 1 ≤ p < 1 là không gian c¡c hàm sŁ f(x) x¡c định tr¶n R+ sao cho Z0 1 jf(x)jpρ(x)dx < 1; trong đó chun cıa hàm f đưæc k‰ hi»u và x¡c định bởi kfkLp(R+ρ) = Z0 1 jf(x)jpρ(x)dx p 1: Đặc bi»t, khi ρ(x) = xαe−βx th… ta nh“n đưæc không gian hàm hai tham sŁ α; β và k‰ hi»u Lα;β p (R+). 6• L1(R+) là không gian c¡c hàm sŁ f(x) x¡c định tr¶n R+ sao cho sup x2R+ jf(x)j < 1; trong đó chun cıa hàm f đưæc k‰ hi»u và x¡c định bởi kfkL1(R+) = sup x2R+ jf(x)j: • Ac là không gian £nh cıa L1(R+) qua ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine Fc, với chun kfkAc = kFcfkL1(R+): • C0(R+) là không gian c¡c hàm sŁ li¶n tục tr¶n R+ và tri»t ti¶u ở 1. • H(R+) = nf(x) : Lf(y) 2 L2(R+)o. 7M— ĐẦU 1. TŒng quan v• hướng nghi¶n cøu và lý do chọn đ• tài Lý thuy‚t v• ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n đ¢ đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu tł r§t sớm. Cho đ‚n nay, nó đ¢ trở thành mºt bº ph“n quan trọng cıa Gi£i t‰ch to¡n học. Nhœng ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n đƒu ti¶n ph£i k” đ‚n là ph†p bi‚n đŒi Fourier (xem 6, 24, 33), ph†p bi‚n đŒi Laplace (xem 6, 33, 56), ph†p bi‚n đŒi Mellin (xem 22, 33), ph†p bi‚n đŒi Hankel (xem 6, 47), ph†p bi‚n đŒi Stieltjes (xem 6, 32), ph†p bi‚n đŒi Hilbert (xem 6, 10), ... Mºt trong nhœng v§n đ• đưæc quan t¥m cıa ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n là nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p. Đó là mºt ph†p nh¥n đặc bi»t đưæc định nghĩa thông qua ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng, thường đưæc đưa vào nghi¶n cøu trong c¡c không gian hàm mà ở đó ph†p nh¥n thông thường không tồn t⁄i. Gi£ sß U(X) là không gian tuy‚n t‰nh, V (Y ) là đ⁄i sŁ, ta x†t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n T : U(X) V (Y ) x¡c định như sau ’ e(t) = T’(t) = Z X K(t; τ)’(τ)dτ 2 V (Y ): (0.1) Khi đó t‰ch ch“p cıa hai hàm f và k đŁi với ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n T là to¡n tß ∗ : U(X) × U(X) V (Y ) (f; k) 7 f ∗ k sao cho thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa T (f ∗ k)(t) = (Tf)(t)(Tk)(t); 8t 2 X: (0.2) Nhœng t‰ch ch“p đƒu ti¶n ph£i k” đ‚n là t‰ch ch“p Laplace và t‰ch ch“p Fourier (xem 6, 33). N«m 1951, Sneddon I.N. x¥y dựng t‰ch ch“p đŁi với 8ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine (xem 33). Đ‚n n«m 1958, t‰ch ch“p với hàm trọng đŁi với ph†p bi‚n đŒi MehlerFox lƒn đƒu ti¶n đưæc Vilenkin Y. Ya. đ• c“p và nghi¶n cøu (xem 50). Sự ra đời cıa t‰ch ch“p có hàm trọng đ¢ mở ra tri”n vọng ph¡t tri”n th¶m hướng nghi¶n cøu v• lý thuy‚t t‰ch ch“p. D¤u v“y, n«m 1967 Kakichev V.A. mới đưa ra định nghĩa t‰ch ch“p với hàm trọng γ(y) cıa hai hàm f và k đŁi với mºt ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n T b§t kỳ dựa tr¶n đflng thøc nh¥n tß hóa (xem 15) Tf ∗ γ k(y) = γ(y)Tf(y)Tk(y): (0.3) Nhờ vào ý tưởng và kỹ thu“t cıa phương ph¡p này mà nhi•u t‰ch ch“p có hàm trọng đưæc t…m ra, ti¶u bi”u là t‰ch ch“p với hàm trọng γ(y) = sin y đŁi với ph†p bi‚n đŒi Fourier sine (xem 15) f ∗ γ Fs k(x) = 1 2p2π 1 Z 0 f(y)sign(x + y − 1)k(jx + y − 1j) −k(x + y + 1) + sign(x − y + 1)k(jx − y + 1j) − sign(x − y − 1)k(jx − y − 1j)dy; x > 0; (0.4) n‚u f; k 2 L1(R+) th… t‰ch ch“p này thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa Fsf ∗ γ Fs k(y) = sin yFsf(y)Fsk(y); 8y > 0: (0.5) N«m 1951, lƒn đƒu ti¶n Sneddon I.N. đ¢ x¥y dựng đưæc mºt t‰ch ch“p mà trong đflng thøc nh¥n tß hóa có chøa hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n kh¡c nhau tham gia. Đó là t‰ch ch“p suy rºng đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi Fourier sine và Fourier cosine (xem 33, 49) f ∗ FsFc k(x) = p1 2π 1 Z 0 f(y)k(jx − yj) − k(x + y)dy; x > 0; (0.6) n‚u f; k 2 Lp(R+) (p = 1; 2) th… t‰ch ch“p này thỏa m¢n Fsf ∗ FsFc k(y) = Fsf(y)Fck(y); 8y > 0: (0.7) 9Cho đ‚n nhœng n«m 90 cıa th‚ kỷ trước, Yakubovich S.B. cũng đ¢ x¥y dựng đưæc mºt vài t‰ch ch“p suy rºng theo ch¿ sŁ đŁi với c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Mellin, KontorovichLebedev, ph†p bi‚n đŒi G và ph†p bi‚n đŒi H (xem 51, 55). N«m 1998, Kakichev V.A. và N.X. Th£o đ¢ đưa ra định nghĩa t‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng γ cıa hai hàm f và k đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n b§t kỳ T1; T2 và T3 thỏa m¢n đflng thøc nh¥n tß hóa T1f ∗ γ k(y) = γ(y)T2f(y)T3k(y); (0.8) và cho đi•u ki»n cƒn đ” x¡c định t‰ch ch“p khi bi‚t mºt sŁ ràng buºc cụ th” v• nh¥n cıa c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng (xem 17). K‚t qu£ này đóng vai trÆ quan trọng trong lý thuy‚t t‰ch ch“p cũng như ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n. Nhờ đó mà nhœng n«m v• sau đ¢ có nhi•u t‰ch ch“p suy rºng đŁi với ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin, Hartley, KontorovichLebedev đưæc x¥y dựng, nghi¶n cøu và cho nhi•u øng dụng thú vị (xem 15, 18, 37, 38, 39, 43, 45, 54). Mặc dù, có mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng đŁi với ph†p bi‚n đŒi Laplace đ¢ đưæc đ• xu§t tł nhœng n«m 1998. Chflng h⁄n t‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Hankel và Laplace, t‰ch ch“p suy rºng với hàm trọng đŁi với ba ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace, Fourier cosine và Hankel (xem 17). Tuy nhi¶n, đ‚n nay v¤n chưa có mºt k‚t qu£ nghi¶n cøu ch‰nh thøc nào v• t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace đưæc công bŁ. Như mºt quy lu“t tự nhi¶n, khi đ¢ x¥y dựng đưæc t‰ch ch“p f ∗ k(x), b‹ng c¡ch cho mºt trong hai hàm cŁ định như là nh¥n trong bi”u thøc t‰ch ch“p, chflng h⁄n cŁ định hàm k, cÆn hàm f cho bi‚n thi¶n trong mºt không gian hàm x¡c định nào đó ta s‡ nh“n đưæc ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p tương øng, gọi là ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p f 7 g = f ∗ k. Ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p đƒu ti¶n đưæc Watson x¥y dựng và nghi¶n cøu là ph†p bi‚n đŒi li¶n quan đ‚n t‰ch ch“p 10Mellin (xem 44) f(x) 7 g(x) = 1 Z 0 k(xy)f(y)dy: (0.9) TŒng qu¡t hơn, người ta có th” nghi¶n cøu ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n d⁄ng f 7 g = Df∗k mà D là mºt to¡n tß nào đó. Trong trường hæp D = (1−dx d22) là mºt to¡n tß vi ph¥n c§p 2, ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p Fourier cosine đ¢ đưæc V.K. Tu§n và Musallam thi‚t l“p và nghi¶n cøu (xem 49) f(x) 7 g(x) = (1 − d2 dx2)f F∗ c k(x) (0.10) = (1 − d2 dx2)p1 2π 1 Z 0 f(y)k(x + y) + k(jx − yj)dy; x > 0: Với kỹ thu“t đó, c¡c t¡c gi£ này ti‚p tục x¥y dựng và nghi¶n cøu ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineFourier sine (xem 2). C¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p hoặc t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n bi‚n đŒi Mellin, bi‚n đŒi KontorovichLebedev sau đó cũng đưæc nghi¶n cøu (xem 14, 19, 20, 53, 55). Nhưng t§t c£ c¡c công tr…nh này đ•u ch¿ dłng l⁄i nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p và t‰ch ch“p suy rºng không có hàm trọng. Với c¡c t‰ch ch“p và t‰ch ch“p suy rºng có hàm trọng, vi»c x¥y dựng c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p tương øng thường là v§n đ• phøc t⁄p hơn (xem 40, 41, 42). Cho đ‚n nay c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Laplace có hàm trọng và không có hàm trọng v¤n chưa đưæc nghi¶n cøu. Vi»c nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p và c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n có ý nghĩa quan trọng trong nhi•u lĩnh vực khoa học và kỹ thu“t. Nhờ đó, c¡c ph†p to¡n gi£i t‰ch phøc t⁄p như đ⁄o hàm, t‰ch ph¥n đưæc đơn gi£n hóa thành c¡c ph†p t‰nh đ⁄i sŁ. V… v“y, nó đặc bi»t hœu ‰ch trong vi»c gi£i c¡c phương tr…nh vi ph¥n, phương tr…nh đ⁄o hàm ri¶ng, phương tr…nh t‰ch ph¥n, nhœng phương tr…nh thường xu§t hi»n trong c¡c bài to¡n v“t lý, trong lý thuy‚t 11m⁄ch, h» cơ học, bài to¡n ngưæc, bài to¡n xß lý £nh và xß lý t‰n hi»u (xem 3, 6, 9, 10, 8, 22, 30, 31, 33, 36, 46, 48, 52). Trong nhi•u trường hæp, nghi»m nh“n đưæc tł c¡c bài to¡n tr¶n có th” đưæc bi”u di„n qua c¡c t‰ch ch“p tương øng. Đ” đ¡nh gi¡ c¡c nghi»m đó ta có th” dùng đ‚n mºt công cụ, đó ch‰nh là b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p. B§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p, ngoài øng dụng đ” đ¡nh gi¡ nghi»m cıa phương tr…nh, b£n th¥n nó cũng đ¢ là mºt v§n đ• thú vị trong vi»c nghi¶n cøu t‰ch ch“p. Đƒu ti¶n ph£i k” đ‚n b§t đflng thøc Young đŁi với t‰ch ch“p Fourier (xem 1, 35). N‚u p; q; r > 1 thỏa m¢n 1 p + 1 q = 1+ 1 r và f(x) 2 Lp(R); k(x) 2 Lq(R) th… ta có kf ∗ F kkLr(R) ≤ kfkLp(R)kkkLq(R): (0.11) B§t đflng thøc này cho ta đ¡nh gi¡ chun cıa t‰ch ch“p Fourier trong không gian hàm Lr(R), tuy nhi¶n nó không cÆn đúng trong trường hæp f; k 2 L2(R). N«m 2000, trong mºt bài b¡o cıa Saitoh S. (xem 26), b‹ng c¡ch x†t c¡c không gian hàm Lp(R; jρjj) có trọng ρj 2 L1(R) (j = 1; 2) là c¡c hàm không tri»t ti¶u và Fj 2 Lp(R; jρjj) (p > 1), t¡c gi£ đ¢ nh“n đưæc đ¡nh gi¡ sau, gọi là b§t đflng thøc Saitoh cho t‰ch ch“p Fourier k(F1ρ1) F ∗ (F2ρ2)ρ1 F ∗ ρ2 p 1−1kLp(R) ≤ kF1kLp(R;jρ1j)kF2kLp(R;jρ2j): (0.12) Cũng trong n«m đó, Saitoh S., V.K. Tu§n và Yamamoto M. đ¢ thi‚t l“p đưæc b§t đflng thøc ngưæc ki”u Saitoh cho t‰ch ch“p Fourier (xem 27). Kh¡c với b§t đflng thøc Young, b§t đflng thøc Saitoh (0.12) cÆn đúng trong c£ trường hæp p = 2. Do có nhi•u øng dụng thú vị, đặc bi»t là trong vi»c đ¡nh gi¡ nghi»m cıa c¡c phương tr…nh to¡nlý, b§t đflng thøc Saitoh sau khi xu§t hi»n đ¢ thu hút đưæc nhi•u sự quan t¥m cıa c¡c nhà to¡n học. V• sau, b§t đflng thøc này đ¢ đưæc c¡c t¡c gi£ Đ.T. Đøc và N.D.V. Nh¥n mở rºng cho không gian hàm trọng nhi•u chi•u Lp(Rn; jρjj) (xem 7). N«m 2002, Saitoh S., V.K. Tu§n và Yamamoto M. ti‚p tục x¥y dựng b§t đflng thøc ngưæc đŁi với t‰ch ch“p Laplace và sß dụng vào vi»c gi£i bài to¡n 12truy•n nhi»t ngưæc (xem 31). Đ‚n n«m 2008, N.D.V. Nh¥n và Đ.T. Đøc cũng đ¢ thi‚t l“p và nghi¶n cøu thành công b§t đflng thøc ki”u Saitoh cho t‰ch ch“p Laplace trong không gian nhi•u chi•u Lp(Rn +; jρjj) (xem 23). C¡c b§t đflng thøc d⁄ng tr¶n đŁi với t‰ch ch“p Mellin, t‰ch ch“p Fourier cosine sau đó cũng đưæc thi‚t l“p nghi¶n cøu và cho nhi•u øng dụng thú vị (xem 7, 13, 23, 27, 28, 29, 31). Tuy nhi¶n, c¡c b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi Laplace đ‚n nay v¤n chưa đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu. Tł nhœng lý do tr¶n, chúng tôi lựa chọn đ• tài đ” nghi¶n cøu là T‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace, Fourier và øng dụng. 2. Mục đ‰ch, đŁi tưæng và ph⁄m vi nghi¶n cøu Mục đ‰ch cıa lu“n ¡n là x¥y dựng và nghi¶n cøu mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace. Tøc c¡c t‰ch ch“p suy rºng mà trong đflng thøc nh¥n tß hóa chøa ph†p bi‚n đŒi Laplace cùng với mºt hoặc hai ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine, Fourier sine. Nghi¶n cøu t‰nh ch§t to¡n tß t‰ch ch“p, thi‚t l“p b§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p suy rºng này trong mºt sŁ không gian hàm cụ th”. X¥y dựng và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng tương øng. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa ph†p bi‚n đŒi như t‰nh unita, sự tồn t⁄i to¡n tß ngưæc cıa ph†p bi‚n đŒi trong không gian L2(R+). Tł đó, øng dụng vào vi»c gi£i mºt lớp c¡c phương tr…nh, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. 3. Phương ph¡p nghi¶n cøu Trong lu“n ¡n, chúng tôi sß dụng c¡c phương ph¡p gi£i t‰ch hàm, lý thuy‚t to¡n tß, ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n và lý thuy‚t t‰ch ch“p. Chúng tôi øng dụng b§t đflng thøc H¨older đ” đ¡nh gi¡ chun cıa c¡c to¡n tß t‰ch ch“p mới trong c¡c không gian hàm cụ th”. Đặc bi»t Định lý WienerLevy đưæc sß dụng nhi•u trong vi»c x¥y dựng công thøc nghi»m đóng cho lớp c¡c phương tr…nh, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. 134. C§u trúc và k‚t qu£ cıa lu“n ¡n Ngoài phƒn Mở đƒu, K‚t lu“n và Tài li»u tham kh£o, lu“n ¡n đưæc chia làm ba chương: Chương 1, x¥y xựng và nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Nh“n đưæc c¡c đflng thøc nh¥n tß hóa, đflng thøc ki”u Parseval, Định lý ki”u Titchmarch và mºt sŁ đ¡nh gi¡ chun trong c¡c không gian hàm Lp(R+) và Lα;β p (R+). T…m đưæc mŁi li¶n h» giœa c¡c t‰ch ch“p suy rºng mới với mºt sŁ t‰ch ch“p quan trọng đ¢ bi‚t. Hơn nœa, trong c¡c không gian Lp(R+) và L p(R+; ρ), c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace cũng đưæc thi‚t l“p và chøng minh. Chương 2, thi‚t l“p và nghi¶n cøu c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c ph†p bi‚n bi‚n đŒi này, ta nh“n đưæc c¡c Định lý ki”u Watson cho đi•u ki»n cƒn và đı đ” c¡c ph†p bi‚n đŒi tương øng là unita trong không gian L2(R+), hơn nœa ta cũng x¡c định đưæc đi•u ki»n đı cho sự tồn t⁄i c¡c ph†p bi‚n đŒi ngưæc. Ngoài ra Định lý ki”u Plancherel đŁi với ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n tương øng cũng đưæc chøng minh. Chương 3, mºt sŁ lớp phương tr…nh t‰ch ph¥n, h» phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n đưæc gi£i nhờ vào t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace và ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng FourierLaplace. Hơn nœa, b‹ng phương ph¡p gi£i này nghi»m nh“n đưæc tł c¡c c¡c phương tr…nh tr¶n đ•u đưæc cho dưới d⁄ng dóng. 5. Ý nghĩa cıa c¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n C¡c t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n bi‚n đŒi Laplace, c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n ki”u t‰ch ch“p suy rºng Laplace, và mºt sŁ b§t đflng thøc đŁi với c¡c t‰ch ch“p suy rºng tương øng lƒn đƒu ti¶n đưæc đ• c“p và nghi¶n cøu trong lu“n ¡n. C¡c k‚t qu£ này có ý nghĩa khoa học và góp phƒn làm phong phú hơn v• lý thuy‚t ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n, t‰ch ch“p cũng như b§t đflng thøc đŁi với t‰ch ch“p. Tł đó, đưa ra c¡ch ti‚p c“n mới và c¡c phương ph¡p 14gi£i phương tr…nh t‰ch ph¥n và phương tr…nh vit‰ch ph¥n. Hơn nœa, mºt sŁ ý tưởng và phương ph¡p đưæc sß dụng trong lu“n ¡n có th” dùng đ” nghi¶n cøu c¡c t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n c¡c ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n kh¡c. Nºi dung ch‰nh cıa lu“n ¡n dựa vào bŁn công tr…nh đ¢ công bŁ, đưæc li»t k¶ ở Danh mục công tr…nh đ¢ công bŁ cıa lu“n ¡n, gồm ba công tr…nh tr¶n c¡c t⁄p ch‰ to¡n học QuŁc t‚ (trong đó 4 thuºc t⁄p ch‰ trong danh mục ISI) và mºt công tr…nh tr¶n t⁄p ch‰ to¡n học QuŁc gia. C¡c k‚t qu£ này đ¢ đưæc b¡o c¡o mºt phƒn hoặc toàn bº t⁄i: + Hºi nghị To¡n học Vi»tPh¡p, th¡ng 8 n«m 2012, t⁄i Hu‚. + Hºi nghị To¡n học Toàn quŁc lƒn thø 8, th¡ng 8 n«m 2013, t⁄i Nha Trang. + Hºi nghị QuŁc t‚ Gi£i t‰ch phøc hœu h⁄n và vô h⁄n chi•u và øng dụng (ICFIDCAA), th¡ng 8 n«m 2011 t⁄i Hà Nºi. + Hºi th£o To¡n học phŁi hæp Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi và Trường Đ⁄i học Heidelberg cıa Đøc, th¡ng 3 n«m 2015. + Seminar Gi£i t‰ch, Trường Đ⁄i học B¡ch khoa Hà Nºi. + Seminar Gi£i t‰chĐ⁄i sŁ, Trường Đ⁄i học Khoa học Tự nhi¶n Hà Nºi. 15Chương 1 TÍCH CHẬP SUY R¸NG FOURIERLAPLACE Mục đ‰ch cıa Chương 1 là x¥y dựng và nghi¶n cøu mºt sŁ t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Laplace. Nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t to¡n tß cıa c¡c t‰ch ch“p suy rºng này trong mºt sŁ không gian hàm kh¡c nhau. Thi‚t l“p và chøng minh c¡c b§t đflng thøc ki”u Young, ki”u Saitoh đŁi với c¡c t‰ch ch“p tương øng. 1.1 T‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace Trước h‚t ta nghi¶n cøu t‰ch ch“p suy rºng li¶n quan đ‚n hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine và Laplace không có trọng. Định nghĩa 1.1.1. T‰ch ch“p suy rºng cıa hai hàm f và k đŁi với hai ph†p bi‚n đŒi t‰ch ph¥n Fourier cosine và Laplace đưæc định nghĩa như sau f ∗ 1 k(x) = 1 π 1 Z 0 1 Z 0 θ1(x; u; v)f(u)k(v)dudv; (1.1) trong đó θ1(x; u; v) = v v2 + (x − u)2 + v v2 + (x + u)2; x > 0: (1.2) Ta gọi Ac là không gian £nh cıa L1(R+) thông qua ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine Fc. Với chun kfkAc := kFcfkL1(R+) th… không gian đó là mºt đ⁄i sŁ Banach, nghĩa là n‚u f(x); k(x) 2 Ac, th… f(x)k(x) 2 Ac và thỏa m¢n kfkkAc ≤ kfkAckkkAc. 16C¡c định lý sau đ¥y cho ta sự tồn t⁄i cıa c¡c t‰ch ch“p (1.1) và đflng thøc nh¥n tß hóa cıa t‰ch ch“p này trong c¡c không gian hàm tương øng. Định lý 1.1.1. Gi£ sß c¡c hàm f(x) và k(x) thuºc không gian L2(R+). Khi đó ta có f ∗ 1 k(x) 2 Ac, và thỏa m¢n đflng thøc ki”u Parseval f ∗ 1 k(x) = FcFcf(y)Lk(y)(x); 8x > 0: (1.3) Hơn nœa, ta cũng nh“n đưæc đflng thøc nh¥n tß hóa sau Fcf ∗ 1 k(y) = Fcf(y)Lk(y); 8y > 0: (1.4) Chøng minh. Tł gi£ thi‚t f(x); k(x) 2 L2(R+), ta có Fcf(y); Lk(y) 2 L2(R+), suy ra Fcf(y)Lk(y) 2 L1(R+) và FcFcf(y)Lk(y)(x) 2 Ac. Mặt kh¡c, ta b›t đƒu với vi»c đặt f(x) 2 L1(R+) L2(R+) và k(x) = k(x)χ;1)(x) 2 L2(R+), ở đó χE(x) là hàm đặc trưng cıa E, và > 0. Ta có đ¡nh gi¡ sau 1 Z 0 1 Z 0 1 Z 0 e−vy cos(x − u)y + cos(x + u)y jf(u)k(v)j dydudv ≤2 1 Z 0 1 Z 0 1 Z 0 e−vy jf(u)k(v)j dydudv = 2 1 Z 1 Z 0 jf(u)j jk(v)j v dudv < 1: (1.5) Tł (1.5), ¡p dụng Định lý Fubini ta có FcFcf(y)Lk(y)(x) = rπ 2Z 1 0 Fcf(y)Lk(y)cos xydy = 2 π 1 Z 0 h 1 Z 0 f(u) cos yuduih 1 Z 0 k(v)e−vydvi cos xydy = 2 π 1 Z 0 1 Z 0 h 1 Z 0 e−vy cos yx: cos yudyif(u)k(v)dudv 17= 1 π 1 Z 0 1 Z 0 h 1 Z 0 e−vy cos(x − u)y + cos(x + u)y dyif(u)k(v)dudv: (1.6) Tł (1.6), sß dụng công thøc (2.13.5) trong 6 1 Z 0 e−vt cos ytdt = v v2 + y2; v > 0; (1.7) ta có FcFcf(y)Lk(y)(x) = 1 π 1 Z 0 1 Z 0 v2 + (x v − u)2 + v2 + (x v + u)2 f(u)k(v)dudv = f ∗ 1 k(x): (1.8) Ta chú ý r‹ng, n‚u f(x) 2 L2(R+) th… kLfkL2(R+) ≤ pπkfkL2(R+); (1.9) Khi đó, ¡p dụng b§t đflng thøc H¨older và sß dụng đ¡nh gi¡ (1.9) ta có FcFcf(y)Lk(y)(x) L1(R+) ≤ rπ 2 Fcf(y)Lk(y) L1(R+) ≤ rπ 2 kFcfkL2(R+) kLkkL2(R+) ≤ p2 kfkL2(R+) kkkL2(R+) : V“y, n‚u cho 0+ và L1(R+) L2(R+) trù m“t trong L2(R+), b‹ng c¡ch th¡c tri”n li¶n tục ta nh“n đưæc đflng thøc ki”u Parseval (1.3) đŁi với f(x); k(x) 2 L2(R+). B‹ng c¡ch t¡c đºng ph†p bi‚n đŒi Fourier cosine Fc l¶n hai v‚ cıa đflng thøc (1.3) ta nh“n đưæc đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4). Định lý đ¢ đưæc chøng minh. 2 Ta đặt H(R+) = nf(x) : Lf(y) 2 L2(R+)o: (1.10) 18Khi đó d„ th§y r‹ng H(R+) là không gian hàm rºng hơn L2(R+), nghĩa là L2(R+) ⊂ H(R+): Trong mºt sŁ trường hæp, vi»c nghi¶n cøu t‰ch ch“p : ∗ 1 : có th” đưæc nhúng li¶n tục vào H(R+). Nh“n x†t 1.1.1. Gi£ thi‚t r‹ng f(x) 2 L2(R+), và k(x) 2 H(R+) sao cho t‰ch ph¥n (1.1) hºi tụ như t‰ch ph¥n lặp. V‰ dụ, t‰ch ch“p (1.1) tồn t⁄i như t‰ch ph¥n lặp với k(x) = cos x 62 L2(R+), nhưng k(x) 2 H(R+) khi đó Lk(y) = y2y +1 2 L2(R+). Trong trường hæp này, ta có đ¡nh gi¡ sau FcFcf(y)Lk(y)(x) L1(R+) ≤ rπ 2 Fcf(y)Lk(y) L1(R+) ≤ rπ 2 kFcfkL2(R+) kLkkL2(R+) = rπ 2 kfkL2(R+) kLkkL2(R+) ≤ p2 kfkL2(R+) kkkL2(R+) : Chøng tỏ r‹ng c¡c k‚t qu£ trong Định lý 1.1.1 v¤n cÆn đúng dưới gi£ thi‚t này. Đ” nghi¶n cøu t‰ch ch“p suy rºng : ∗ 1 : trong không gian hàm L1(R+) ta cƒn đ‚n sự hŒ træ cıa bŒ đ• sau. BŒ đ• 1.1.1. N‚u k(x) 2 L1(R+), th… Lk(y) 2 Ac. Chøng minh. Đặt k(x) = k(x)χ;1)(x). Ta có đ¡nh gi¡ 1 Z0 1 Z0 e−vyj cos(xv)k(y)jdydv ≤ 1 Z0 1 Z0 e−vyjk(y)jdvdy = 1 Z jk(y)j y dy < 1: Khi đó, sß dụng Định lý Fubini ta có 1 Z0 FcLk(x) dx = rπ 2 Z1 0 1 Z0 cos xv 1 Z0 e−vyk(y) dy dv dx = rπ 2 Z1 0 1 Z0 k(y) 1 Z0 e−vy cos xv dv dy dx = rπ 2 Z1 0 1 Z0 k(y) y x2 + y2 dy dx 19≤ rπ 2 Z1 0 y jk(y)j 1 Z 0 1 x2 + y2 dx dy = rπ 2 1 Z 0 jk(y)j dy: Suy ra kFcLkkL1(R+) ≤ pπ 2kkkL1(R+). Cho 0+ ta nh“n đưæc kFcLkkL1(R+) ≤ rπ 2kkkL1(R+): Suy ra FcLk(x) 2 L1(R+). V“y Lk(y) li¶n tục và thuºc Ac. 2 BŒ đ• tr¶n là công cụ quan trọng giúp ta chøng minh t‰ch ch“p f ∗ 1 k(x) thuºc không gian L1(R+) và trong không gian tương øng c¡c đflng thøc ki”u Parseval (1.3) và đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4) v¤n cÆn đúng. Ta có định lý sau. Định lý 1.1.2. Gi£ sß r‹ng f(x); k(x) 2 L1(R+). Khi đó đŁi với t‰ch ch“p f ∗ 1 k(x), c¡c đflng thøc ki”u Parseval (1.3) và đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4) v¤n cÆn đúng, hơn nœa f ∗ 1 k(x) 2 L1(R+). Chøng minh. Vi»c chøng minh đflng thøc ki”u Parseval (1.3) và đflng thøc nh¥n tß hóa (1.4) là tương tự như trong phƒn chøng minh Định lý 1.1.1, v… v“y ở đ¥y ta không chøng minh nœa. N‚u k(x) 2 L1(R+), th… tł BŒ đ• 1.1.1 ta có Lk(y) 2 Ac. Tł đi•u ki»n f(x) 2 L1(R+) ta cũng nh“n đưæc Fcf(y) 2 Ac. V… Ac là mºt đ⁄i sŁ Banach, suy ra Fcf(y)Lk(y) cũng thuºc Ac. Tł đflng thøc (1.3) ta cũng suy ra f ∗ 1 k(x) 2 L1(R+). Định lý đ¢ đưæc chøng minh. 2 Nh“n x†t 1.1.2. Trong bi”u thøc t‰ch ch“p suy rºng Fourier cosineLaplace : ∗ 1 :, n‚u thay th‚ nh¥n θ1(x; u; v) bởi nh¥n θ2(x; u; v) = v v2 + (x − u)2 − v v2 + (x + u)2; x > 0; (1.11) 20th… ta s‡ nh“n đưæc t‰ch ch“p suy rºng mới. Đó là t‰ch ch“p suy rºng Fourier sineLaplace đ
MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Lý thuyết phép biến đổi tích phân đề cập nghiên cứu từ sớm Đến nay, trở thành phận quan trọng Giải tích toán học Một nội dung quan tâm phép biến đổi tích phân nghiên cứu tích chập Đó phép nhân đặc biệt định nghĩa qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường đưa vào nghiên cứu không gian hàm mà phép nhân thông thường không tồn Các tích chập nghiên cứu tích chập Laplace, tích chập Fourier Năm 1951, tích chập suy rộng Sneddon I.N đề cập nghiên tích chập suy rộng Fourier sine Fourier cosine Cho đến năm 90 kỷ trước, vài tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân khác tiếp tục nghiên cứu Yakubovich S.B Đó tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G phép biến đổi H theo số Đến năm 1998, Kakichev V.A N.X Thảo đưa định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng γ hai hàm f k ba phép biến đổi tích phân T1 , T2 T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử γ hóa T1 f ∗ k (y) = γ(y) T2 f (y) T3 k (y) cho điều kiện cần để xác định tích chập biết số ràng buộc cụ thể nhân phép biến đổi tích phân tương ứng Nhờ kỹ thuật mà năm sau có số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân khác xây dựng Tuy nhiên, đến chưa có kết nghiên cứu thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace công bố Như quy luật tự nhiên, xây dựng tích chập f ∗ k (x), cách cho hai hàm cố định nhân biểu thức tích chập, chẳng hạn cố định hàm k, hàm f cho biến thiên không gian hàm xác định ta nhận phép biến đổi tích phân liên quan đến tích chập tương ứng, gọi phép biến đổi tích phân kiểu tích chập f → g = f ∗ k Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Watson xây dựng nghiên cứu phép biến đổi liên quan đến tích chập Mellin Tổng quát hơn, người ta nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng f → g = D f ∗ k mà D toán tử Trong trường hợp D = (1 − d2 dx2 ) toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier cosine V.K Tuấn Musallam thiết lập nghiên cứu Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Fourier sine, Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau nghiên cứu Cho đến phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng hàm trọng chưa nghiên cứu Khi giải toán toán-lý, nghiệm toán biểu diễn qua tích chập tương ứng Để đánh giá nghiệm ta dùng đến bất đẳng thức tích chập Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young bất đẳng thức Saitoh tích chập Fourier Các bất đẳng thức dạng tích chập Mellin, tích chập Fourier cosine sau thiết lập nghiên cứu cho nhiều ứng dụng thú vị Tuy nhiên, bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến chưa đề cập nghiên cứu Từ lý trên, lựa chọn đề tài để nghiên cứu "Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier ứng dụng" Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích luận án xây dựng nghiên cứu số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace Nghiên cứu tính chất toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức tích chập suy rộng số không gian hàm cụ thể Xây dựng nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng Nghiên cứu tính chất toán tử phép biến đổi tính unita, tồn toán tử ngược không gian L2 (R+ ) Từ đó, ứng dụng vào việc giải lớp phương trình, hệ phương trình tích phân phương trình vi-tích phân Phương pháp nghiên cứu Trong luận án, sử dụng phương pháp giải tích hàm, lý thuyết toán tử, phép biến đổi tích phân lý thuyết tích chập Chúng ứng dụng bất đẳng thức H¨lder để đánh giá chuẩn toán tử tích o chập không gian hàm cụ thể Đặc biệt Định lý Wiener-Levy sử dụng nhiều việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớp phương trình, hệ phương trình tích phân phương trình vi-tích phân Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia làm ba chương: Chương 1, xây xựng nghiên cứu tích chập suy rộng FourierLaplace Nhận đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch số đánh giá chuẩn không gian hàm Lp (R+ ) Lα,β (R+ ) Tìm mối liên hệ tích chập suy rộng p với số tích chập quan trọng biết Hơn nữa, không gian Lp (R+ ) Lp (R+ , ρ), bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh tích chập suy rộng Fourier-Laplace thiết lập chứng minh Chương 2, thiết lập nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace Nghiên cứu tính chất toán tử phép biến biến đổi này, ta nhận Định lý kiểu Watson cho điều kiện cần đủ để phép biến đổi tương ứng unita không gian L2 (R+ ), ta xác định điều kiện đủ cho tồn phép biến đổi ngược Ngoài Định lý kiểu Plancherel phép biến đổi tích phân tương ứng chứng minh Chương 3, số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân phương trình vi-tích phân giải nhờ vào tích chập suy rộng Fourier-Laplace phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng FourierLaplace Hơn nữa, phương pháp giải nghiệm nhận từ các phương trình cho dạng dóng Ý nghĩa kết luận án Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, số bất đẳng thức tích chập suy rộng tương ứng lần đề cập nghiên cứu luận án Các kết có ý nghĩa khoa học góp phần làm phong phú lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập bất đẳng thức tích chập Từ đó, đưa cách tiếp cận phương pháp giải phương trình tích phân phương trình vi-tích phân Một số ý tưởng phương pháp sử dụng luận án dùng nghiên cứu tích chập suy rộng khác Nội dung luận án dựa vào bốn công trình công bố, liệt kê "Danh mục công trình công bố luận án", gồm ba công trình tạp chí toán học Quốc tế (trong [4] thuộc tạp chí danh mục ISI) công trình tạp chí toán học Quốc gia Các kết báo cáo phần toàn tại: + Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng năm 2012, Huế + Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng năm 2013, Nha Trang + Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn vô hạn chiều ứng dụng (ICFIDCAA), tháng năm 2011 Hà Nội + Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Trường Đại học Heidelberg Đức, tháng năm 2015 + Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội + Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội Chương TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE Mục đích Chương nghiên cứu số tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace Nghiên cứu tính chất toán tử tích chập suy rộng số không gian hàm khác Thiết lập bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh tích chập tương ứng 1.1 Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Định nghĩa 1.1.1 Tích chập suy rộng hai hàm f k hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine Laplace định nghĩa sau f ∗ k (x) = π ∞ ∞ θ1 (x, u, v)f (u)k(v)dudv, (1.1) θ1 (x, u, v) = v v + , x > v + (x − u)2 v + (x + u)2 (1.2) Ta gọi Ac không gian ảnh L1 (R+ ) thông qua phép biến đổi Fourier cosine Fc Với chuẩn f Ac := Fc f L1 (R+ ) Ac đại số Banach, nghĩa f (x), k(x) ∈ Ac , f (x)k(x) ∈ Ac thỏa mãn f k Ac ≤ f Ac k Ac Định lý 1.1.1 Giả sử hàm f (x) k(x) thuộc không gian L2 (R+ ) Khi ta có f ∗ k (x) ∈ Ac , thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval f ∗ k (x) = Fc Fc f (y) Lk (y) (x), ∀x > (1.3) Hơn nữa, ta nhận đẳng thức nhân tử hóa sau Fc f ∗ k (y) = Fc f (y) Lk (y), ∀y > Bổ đề 1.1.1 Nếu k(x) ∈ L1 (R+ ), Lk (y) ∈ Ac (1.4) Định lý 1.1.2 Giả sử f (x), k(x) ∈ L1 (R+ ) Khi tích chập f ∗ k (x), đẳng thức kiểu Parseval (1.3) đẳng thức nhân tử hóa (1.4) đúng, f ∗ k (x) ∈ L1 (R+ ) Nhận xét 1.1.1 Trong biểu thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace ∗ , thay nhân θ1 (x, u, v) nhân θ2 (x, u, v) = v v − , x > 0, v + (x − u)2 v + (x + u)2 (1.5) ta nhận tích chập suy rộng Đó tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace định nghĩa f ∗ k (x) = π ∞ ∞ θ2 (x, u, v)f (u)k(v)dudv, (1.6) 0 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs f ∗ k (y) = Fs f (y) Lk (y), ∀y > 0, f, k ∈ L2 (R+ ) (1.7) Định lý 1.1.3 Giả sử f (x), f (x) ∈ L2 (R+ ) k(x) ∈ L2 (R+ ) Khi đó, ta có đẳng thức sau d f ∗ k (x) = f ∗ k (x), dx d f ∗ k (x) = f ∗ k (x) + dx (1.8) f (0) π ∞ yk(y) dy x2 + y (1.9) Định nghĩa 1.1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) hai hàm f k hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine Laplace định nghĩa sau γ f ∗ k (x) = 1 π ∞ ∞ θ1 (x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, 0 θ1 (x, u, v) xác định (1.2) (1.10) Định lý 1.1.4 Giả sử f (x), k(x) ∈ L1 (R+ ) Khi đó, tích chập suy rộng γ f ∗ k (x) thuộc L1 (R+ ), thỏa mãn bất đẳng thức chuẩn γ f ∗k ≤ f L1 (R+ ) L1 (R+ ) k L1 (R+ ) , (1.11) có đẳng thức nhân tử hóa γ Fc f ∗ k (y) = e−µy Fc f (y) Lk (y), ∀y > (1.12) γ Ngoài ra, tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ) Định lý 1.1.5 (Định lý kiểu Titchmarch) Cho hai hàm số liên tục γ k(x) ∈ L1 (R+ ) f (x) ∈ L1 (R+ , eαx ) (α > 0) Nếu f ∗ k (x) = 0, ∀x > f (x) = 0, ∀x > k(x) = 0, ∀x > Định lý 1.1.6 Giả sử p > 1, r ≥ 1, < β ≤ 1, hàm f (x) ∈ Lp (R+ ) γ k(x) ∈ L1 (R+ ) Khi tích chập suy rộng f ∗ k (x) tồn tại, liên tục thuộc Lα,β (R+ ) r Hơn nữa, ta có đánh giá sau γ f ∗k C = ( πµ )1/p β − α+1 r Lα,β (R+ ) r ≤C f Lp (R+ ) k L1 (R+ ) , (1.13) Γ1/r (α + 1) với Γ hàm Gamma Ngoài ra, γ f (x) ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.12) Định lý 1.1.7 Giả sử α > −1, < β ≤ 1, p > 1, q > 1, r ≥ thỏa mãn p + q = Khi đó, f (x) ∈ Lp (R+ ) k(x) ∈ Lq (R+ , (1 + x2 )q−1 ), γ tích chập f ∗ k (x) tồn tại, liên tục, bị chặn Lα,β (R+ ) có r γ f ∗k 1 Lα,β (R+ ) r C = µ− p π − q β − α+1 r ≤C f Lp (R+ ) k Lq (R+ ,(1+x2 )q−1 ) , (1.14) Γ1/r (α + 1) Hơn nữa, giả thiết thêm f (x) ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) k(x) ∈ L1 (R+ ) ∩ Lq (R+ , (1 + x2 )q−1 ) tích chập γ f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.12) γ Nhận xét 1.1.2 Trong tích chập suy rộng ∗ , thay nhân θ1 (x, u, v + µ) θ2 (x, u, v + µ) xác định (1.5), ta nhận γ tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace ∗ với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0) định nghĩa ∞ f ∗ k (x) = π γ ∞ θ2 (x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv, (1.15) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ Fs f ∗ k (y) = e−µy Fs f (y) Lk (y), ∀y > 0, f, k ∈ L1 (R+ ) 1.2 (1.16) Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng Định nghĩa 1.2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = − sin y hai hàm f (x) k(x) ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine Laplace định nghĩa sau ∞ ∞ f ∗ k (x) = 2π γ θ2 (x − 1, u, v) − θ2 (x + 1, u, v) f (u)k(v)dudv, 0 (1.17) với θ2 (x, u, v) xác định (1.5) Ta đặt H(R+ ) = f (x) : Lf (y) ∈ L2 (R+ ) Định lý 1.2.1 Giả sử f (x) ∈ L2 (R+ ) k(x) ∈ H(R+ ) Khi đó, tích chập γ suy rộng f ∗ k (x) thuộc L2 (R+ ) thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval γ Lk (x), ∀x > 0, (1.18) Fc f ∗ k (y) = − sin y Fs f (y) Lk (y), ∀y > (1.19) f ∗ k (x) = Fc − sin y Fs f đẳng thức nhân tử hóa sau γ Định nghĩa 1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0) hai hàm f k ba phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine Laplace định nghĩa sau f ∗ k (x) = 2π ∞ γ ∞ θ2 (x − 1, u, v + µ) 0 − θ2 (x + 1, u, v + µ) f (u)k(v)dudv, (1.20) với θ2 (x, u, v) xác định (1.5) Định lý 1.2.2 Giả sử f (x) k(x) hai hàm thuộc không gian L1 (R+ ) γ Khi đó, tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc không gian L1 (R+ ), ta có bất đẳng thức chuẩn γ f ∗k ≤ f L1 (R+ ) L1 (R+ ) k L1 (R+ ) γ Hơn nữa, tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa γ Fc f ∗ k (y) = −e−µy sin y Fs f (y) Lk (y), ∀y > 0, , (1.21) đẳng thức kiểu Parseval γ f ∗ k (x) = Fc − e−µy sin y Fs f (y) Lk (y) (x), ∀x > (1.22) Định lý 1.2.3 Giả sử p > 1, r ≥ 1, < β ≤ 1, hàm f (x) ∈ γ Lp (R+ ) k(x) ∈ L1 (R+ ) Khi tích chập suy rộng f ∗ k (x) tồn tại, liên tục bị chặn Lα,β (R+ ) Hơn nữa, tích chập thỏa mãn bất r đẳng thức chuẩn sau γ f ∗k C = ( πµ )1/p β − α+1 r Lα,β (R+ ) r ≤C f Lp (R+ ) k L1 (R+ ) , (1.23) Γ1/r (α + 1) với Γ hàm Gamma Euler γ Ngoài ra, f (x) ∈ L1 (R+ ) ∩ Lp (R+ ) tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ), thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) đẳng thức kiểu Parseval (1.22) Định lý 1.2.4 Cho α > −1, < β ≤ 1, p > 1, q > 1, r ≥ thỏa mãn p + q = Khi đó, hàm f (x) ∈ Lp (R+ ) k(x) ∈ Lq (R+ , e(q−1)x ) γ tích chập f ∗ k (x) tồn tại, liên tục bị chặn Lα,β (R+ ) Hơn r nữa, ta có bất đẳng thức chuẩn γ f ∗k Lα,β (R+ ) r C = ( πµ )1/q β − α+1 r ≤C f k Lp (R+ ) Lq (R+ ,e(q−1)x ) , (1.24) Γ6 1/r (α + 1) Ngoài ra, f (x) ∈ L1 (R+ )∩Lp (R+ ) k(x) ∈ L1 (R+ )∩Lq (R+ , e(q−1)x ) γ tích chập f ∗ k (x) thuộc C0 (R+ ) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (1.21) đẳng thức kiểu Parseval (1.22) 1.3 Mối liên hệ tích chập suy rộng FourierLaplace tích chập khác Mệnh đề 1.3.1 Cho f (x), k(x) h(x) hàm L1 (R+ ) Khi đó, ta có đẳng thức sau γ γ γ γ Fs Fs γ a) f ∗ k ∗ h = f ∗ k ∗ h Fc γ c) f ∗ γ k ∗ h = f ∗ k ∗ h d) f ∗ Fs Fc γ b) f ∗ k ∗ h = f ∗ k ∗ h Fs Fc Fc Fs Fc γ γ k ∗ h = f ∗ k ∗ h Fc Fs Mệnh đề 1.3.2 Cho f (x) k(x) hai hàm không gian L1 (R+ ) Khi đó, ta có đẳng thức sau γ a) f ∗ k (x) = γ b) f ∗ k (x) = 2 π π ∞ k(v) f (u) ∗ Fc ∞ k(v) f (u) ∗ v+µ (x)dv (v + µ)2 + u2 Fs Fc 10 v+µ (x)dv (v + µ)2 + u2 Lk (y) π Fc g(t) ∗ e−t (y) − Fc + Lk (y) = (3.55) Theo Bổ đề 1.1.1, k(x) ∈ L1 (R+ ) nên Lk (y) ∈ Ac Từ điều kiện + Lk (y) = 0, ∀y > Định lý Wiener-Levy, suy Lk (y) 1+ Lk (y) Lk (y) 1+ Lk (y) ∈ Ac Hay biến đổi Fourier cosine Fc hàm q(x) ∈ L1 (R+ ), cho Fc q (y) = Lk (y) + Lk (y) (3.56) Từ (3.55) (3.56), ta có Fc f (y) = = π Fc g(t) ∗ e−t (y) − Fc q (y) Fc π Fc g(t) ∗ e−t (y) − Fc g(t) ∗ e−t ∗ q (y) Fc Fc Fc (3.57) Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine Fc (3.57) ta nhận (3.51).2 3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân a)Xét phương trình vi-tích phân có dạng f (x) + Tk f (x) = g(x), x > 0, (3.58) f (0) = f (0) = Trong k(x), g(x) hàm cho trước không gian L1 (R+ ) f (x) hàm cần tìm Định lý 3.2.2 Nếu k(x), k (x) ∈ L1 (R+ ), k (0) = k(0) = 0, với điều kiện + L k + k (y) = 0, ∀y > thỏa mãn, phương trình (3.58) có nghiệm L1 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − g ∗ q (x), Fc 77 (3.59) q(x) ∈ L1 (R+ ) hàm xác định q(x) = Fc L k+k 1+L k+k (y) (y) (x) Chứng minh Phương trình (3.58) viết lại dạng d2 f (x) + − f ∗ k (x) = g(x), dx f (0) = f (0) = (3.60) Tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên hai vế phương trình (3.60) sử dụng (1.3), ta có Fc f (y) + (1 + y ) Fc f (y) Lk (y) = Fc g (y) Suy Fc f (y) + (1 + y ) Lk (y) = Fc g (y) (3.61) Từ (3.61) giả thiết Định lý 3.2.2, ta có (1 + y ) Lk (y) Fc f (y) = Fc g (y) − + (1 + y ) Lk (y) = Fc g (y) − L k + k (y) + L k + k (y) (3.62) Lập luận tương tự chứng minh Định lý 3.2.1, suy tồn hàm q(x) ∈ L1 (R+ ) cho Fc q (y) = L k + k (y) + L k + k (y) (3.63) Từ (3.62) (3.63), ta có Fc f (y) = Fc g (y) − Fc g (y) Fc q (y) = Fc g (y) − Fc g ∗ q (y) (3.64) Fc Suy nghiệm cho dạng (3.59) Định lý chứng minh 78 b) Xét phương trình vi-tích phân có dạng f (x) + d Tϕ,ψ f (x) = g(x), x > dx Trong đó, ϕ(x) = ϕ1 ∗ ϕ2 (x), ϕ1 (x) ∈ H(R+ ), ϕ2 (x) = L ψ(x) = (3.65) sin t ∗ sin t (x) L sech t ∗ ψ1 (x), ψ1 (x) ∈ L2 (R+ ) Hàm g(x) cho trước Fs Fc L2 (R+ ) f (x) hàm cần tìm Định lý 3.2.3 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) −1 < ∞, ∀y > (3.66) Khi phương trình (3.65) có nghiệm L2 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − q ∗ g (x), Fs Fc q(x) ∈ L2 (R+ ) hàm xác định (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Chứng minh Trước hết, ta viết lại phương trình (3.65) dạng tương đương sau f (x) + d d3 − dx dx γ f ∗ ϕ (x) + f ∗ ψ (x) = g(x) Fc Fs (3.67) Bằng cách sử dụng đẳng thức kiểu Parseval (1.34) (1.48), ta có d d3 − dx dx3 d d3 f ∗ ϕ (x) = − Fc − sin yFs f Lϕ (x) dx dx3 = Fs (y + y ) sin y Fs f Lϕ (x), (3.68) d d3 − dx dx3 d d3 f ∗ ψ (x) = − F s Fs f Fc Fs dx dx3 γ = −Fs (y + y ) Fs f 79 Fs ψ (x) Fs ψ (x) (3.69) Từ (3.67), (3.68) (3.69), ta có f (x) + Fs (y + y ) sin y Fs f Lϕ (x) − Fs (y + y ) Fs f Fs ψ (x) = g(x) Suy Fs f (y) + (y + y ) sin y Fs f (y) Lϕ (y) − Fs f (y) Fs ψ (y) = Fs g (y), hay Fs f (y) + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) = Fs g (y) (3.70) Từ (3.70) điều kiện (3.66), ta có (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) (3.71) Fs f (y) = Fs g (y) − + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Mặt khác, sử dụng (1.7) [34] đẳng thức nhân tử hóa tích chập Laplace, ta có Lϕ (y) = Lϕ1 (y) Lϕ2 (y) = Lϕ1 (y)L sin t (y)L sin t (y) Lϕ1 (y) = (1 + y )2 (3.72) Hơn nữa, từ công thức (1.9.1) [4] Fc sech t (y) = π πy sech , 2 công thức (1.9.4) [4] cho trường hợp n = √ 2π πy (1 + y ) sech = Fc sech3 t (y), kết hợp với đẳng thức nhân tử hóa (0.7), ta có Fs ψ (y) = Fc sech t (y) Fs ψ1 (y) = F sech3 t (y) Fs ψ1 (y) c 1+y 80 (3.73) Từ (3.72) (3.73), ta có (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) y Lϕ1 (y) − 2yFc sech3 t Fs ψ1 (y) = sin y 1+y Khi đó, sử dụng công thức (2.13.6) [6] Fs e−t (y) = y , + y2 lấy tích phân phần, dễ dàng chứng minh công thức sau yFc sech3 t (y) = −3Fs sinh t sech4 t (y), kết hợp với đẳng thức nhân tử hóa (1.29) (1.48), ta có (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) π sin y Fs e−t (y) Lϕ1 (y) + 6Fs sinh t sech4 t Fs ψ1 (y) γ π = Fc e−t ∗ ϕ1 (y) + 6Fc sinh t sech4 t ∗ ψ1 (y) Fc Fs π −t γ = Fc e ∗ ϕ1 + sinh t sech4 t ∗ ψ1 (y) ∈ L2 (R+ ) Fc Fs = (3.74) Từ (3.74) điều kiện (3.66), suy tồn hàm q(x) ∈ L2 (R+ ) cho (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) − Fs ψ (y) (3.75) Từ (3.71) (3.75), sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (0.7), ta có Fs f (y) = Fs g (y) − Fs g (y) Fc q (y) = Fs g (y) − Fs q ∗ g (y) Fs Fc Suy f (x) = g(x) − q ∗ g (x), f (x) ∈ L2 (R+ ) Fs Fc Định lý chứng minh 81 Tương tự phép biến đổi Tk1 ,k2 , ta ứng dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace để giải lớp phương trình vi-tích phân có dạng d3 d − f (x) + dx dx3 γ f ∗ ϕ (x) + f ∗ ψ (x) = g(x) Fs Fc (3.76) Ở thông số xác định toán (3.65) Bằng kỹ thuật biến đổi tương tự chứng minh Định lý 3.2.3 ta nhận kết sau Hệ 3.2.1 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn + (y + y ) sin y Lϕ (y) + Fs ψ (y) −1 < ∞, ∀y > Khi phương trình (3.76) có nghiệm L2 (R+ ) Hơn nữa, nghiệm cho dạng f (x) = g(x) − q ∗ g (x), Fc q(x) ∈ L2 (R+ ) hàm xác định (y + y ) sin y Lϕ (y) + Fs ψ (y) Fc q (y) = + (y + y ) sin y Lϕ (y) + Fs ψ (y) Kết luận chương Ứng dụng từ kết Chương Chương 2, ta nhận được: • Điều kiện cần đủ giải lớp phương trình tích phân • Điều kiện đủ giải lớp hệ phương trình tích phân • Điều kiện đủ giải lớp phương trình vi-tích phân Các lớp phương trình hệ phương trình cho nghiệm dạng đóng Nội dung chương dựa vào phần báo [1], [2], [3] [4], Danh mục công trình công bố luận án 82 KẾT LUẬN Các kết luận án là: Xây dựng bốn tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine Laplace Nhận tính chất toán tử tích chập, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch Thiết lập bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng không gian Lp (R+ ) Lp (R+ , ρ) tương ứng Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sineLaplace Tk1 ,k2 với hàm trọng L2 (R+ ) Nhận Định lý kiểu Watson điều kiện cần đủ để phép biến đổi unita, điều kiện đủ để tồn biến đổi ngược Định lý kiểu Plancherel tồn dãy hàm hội tụ theo chuẩn đến toán tử Tk1 ,k2 chứng minh Nhận ứng dụng giải số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân không gian hàm L1 (R+ ), L2 (R+ ) cho công thức nghiệm dạng đóng Luận án mở số hướng nghiên cứu sau: • Nghiên cứu tích chập suy rộng Laplace rời rạc, bất đẳng thức tích chập ứng dụng • Nghiên cứu tích chập Laplace, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Laplace bất đẳng thức tích chập Time scales • Nghiên cứu tích chập Laplace hữu hạn, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, bất đẳng thức tích chập ứng dụng 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adams R.A and Fournier J.J.F (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Academic Press, 300pp [2] Al-Musallam F and Tuan V.K (2000), Integral transforms related to a generalized convolution, Results in Mathematics, 38, No.3-4, pp.197-208 [3] Anh P.K., Tuan N.M and Tuan P.D (2013), The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.397, pp.537–549 [4] Baterman H and Erdelyi A (1954), Tables of Intergral Transforms, Vol 1, McGraw - Hill, New York, Toronto, London [5] Britvina L.E (2005), A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Intergral Transforms and Special Funtions, 16, No.56, pp.379-389 [6] Debnath L., Bhatta D (2007), Integral Transforms and Their Applications, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton [7] Duc D.T and Nhan N.D.V (2008), On some convolution norm inequalities in weighted Lp (Rn ; ρ) spaces and their applications, Math Inequal Appl., 11(3), pp.495-505 [8] Gakhov F.D and Cherskii Yu.I (1948), Equation of Convolution Type, Nauka, Moscow [9] Giang B.T., Mau N.V and Tuan N.M (2010), Convolutions for the 84 Fourier transforms with geometric variables and applications, Math Nachr., Vol.283, No.12, pp.1758-1770 [10] Glaeske J and Tuan V.K (1995), Some applications of the convolution theorem of the Hilbert transform, Intergral Transforms and Special Funtions, p.263-268 [11] Hai N.T and Yakubovich S.B (1992), The double Mellin-Barners type integrals and their applications to convolution theory, World Sci Inter Publ Singapore [12] Hirchman I.I and Widder O.V (1955), The convolution Transform, Princeton, New Jersey [13] Hong N.T.(2010), Inequalities for Fourier cosine convolution and applications, Intergral Transforms and Special Funtions, Vol.21, No.10, pp.755763 [14] Hong N.T., Tuan T and Thao N.X (2013), On the Fourier cosineKontorovich-Lebedev generalized convolution transforms, Applications of Mathematics, 58, No.4, pp.473-486 [15] Kakichev V.A (1967), On the convolution for integral transforms, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., (2), pp.53-62 (In Russian) [16] Kakichev V.A., Thao N.X and Hai N.T (1996), Composition method to construting convolutions for intergral transforms, Intergral Transforms and Special Funtions, No.3, pp.235-242 [17] Kakichev V.A and Thao N.X (1998), On the design method for the generalized integral convolutions, Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., (1), pp.31-40 (In Russian) 85 [18] Kakichev V.A., Thao N.X and Tuan V.K (1998), On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms, East-West Journal of Mathematics, Vol.1 (1), pp.85-90 [19] Kryzhniy V.V (2003), Regularized inversion of integral transformations of Mellin convolution type, Inverse Problems, Vol.19, pp.1227-1240 [20] Luchko Y (2008), Integral transforms of the Mellin convolution type and their generating operators, Integral Transforms and Special Functions Vol.19(11), pp.809-851 [21] Naimark S (1993), Inequalities in the most simple Sobolev space and Convolution of L2 Functions with weight, Proc Amer Math Soc, 118, pp 515-520 [22] Nair V.C., Samar M.S (1975), A relation between the Laplace transform and the Mellin transform with applications, Sociedade Portuguesa de Matemática, Vol.34 (3) pp.149-155 [23] Nhan N.D.V and Duc D.T (2008), Fundamental inequalities for the iterated Laplace convolution in weighted Lp spaces and their applications, Integr Transform and Special Funct., Vol.19, No.9, pp.655 - 664 [24] Paley R.C and Wiener N (1949), Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer Math Soc., New York [25] Ryzhik I.M and Gradshteyn I.S (1951), Tables of Integrals, Sum, Series and Products, Moscow [26] Saitoh S (2000), Weighted Lp -norm inequalities in convolution, Survey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Pulishers, Amsterdam, Vol.517, pp.225-234 86 [27] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2000), Reverse weighted Lp norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems, J of Ineq in Pure and App Math., Vol.1(1), pp.1-7 [28] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2002), Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems, J of Ineq in Pure and App Math., 3, No.5, pp.1-11 [29] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2003), Convolution inequalities and applications, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol.4(3), pp.1-8 [30] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2001), Conditional stability of a real inverse formula for the Laplace transform, Zeitschrift f¨r Analysis u und ihre Anwendungen, 20, No.1, pp.131-142 [31] Saitoh S., Tuan V.K and Yamamoto M (2002), Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problem, J of Inequal Pure and Appl Math., 3(5), Article 80 [32] Sirvastava H.M and Tuan V.K (1995), A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral equations, Arch Math., 64, No.2, pp.144-149 [33] Sneddon I.N (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York [34] Schiff J.L (1999), The Laplace Transforms: Theory and Applications, Springer-Verlag, New York, Inc [35] Stein E.M and Weiss G (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton, N.J [36] Thao N X and Hai N.T (1997), Convolutions for integral transform and 87 their application, Computer Centre of the Russian Academy, Moscow, 44 pp (In Russian) [37] Thao N.X and Khoa N.M (2005), On the generalized convolution with a weight function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms, Vietnam Journal of Mathematies, Vol.33, No.4, pp.421-436 [38] Thao N.X and Virchenko N.O (2012), On the generalized convolution for Fc , Fs , and K-L integral transforms, Ukrainian Mathematical Journal, Vol.64, (1), pp.89-101 [39] Thao N.X., Tuan V.K and Khoa N.M (2004), A generalized convolution with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms, Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol.7, No.3, pp.323-337 [40] Thao N.X., Tuan V.K and Hong N.T (2007), Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type, Int J Math Math Sci., Vol.2007, pp.1-11 [41] Thao N.X., Tuan V.K and Hong N.T (2008), Integral transforms related to the Fourier sine convolution with a weight function, Vietnam J Math., (1), pp.83-101 [42] Thao N.X., Tuan V.K and Hong N.T (2012), A Fourier generalized convolution transform and applications to integral equations, Fractional Calculus and Applied Analysis, 15, No.3, pp.493-508 [43] Thao N.X and Anh H.T.V (2014), On the Hartley-Fourier sine generalized convolution, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol.37 (15), pp.2308-2319 [44] Titchmarch E.C (1986), Introduction the Theory of Fourier Intergrals, Third Edition Chelsea Publishing Co., New York 88 [45] Tuan T., Thao N.X., Mau N.V (2010), On the generalized convolution for the Fourier sine and the Kontorovich-Lebedev transforms, Acta Math Vietnam., Vol.35 (2), pp.303-317 [46] Tuan V.K (1990), Modified Laplace transforms and a multidimensional H-transform, Dokl Akad Nauk USSR, 313, No.6, pp.1299-1302 (In Russian) [47] Tuan V.K and Saigo M (1995), Convolution of Hankel transform and its application to an integral involving Bessel function of first kind, Internat J Math Math Sci., 18, No.3, pp.545-550 [48] Tuan V.K and Tuan T (2012), A real-variable inverse formula for the Laplace transform, Intergral Transforms and Special Funtions, Vol.23, No.8, pp.551-555 [49] Tuan V.K (1999), Integral transforms of Fourier cosine convolution type, J Math Anal Appl., 229, pp.519-529 [50] Vilenkin Y.Ya (1958), Matrix elements of midecomsale unitary representations for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized Mehler-Fox transforms, Dokl Akad Nauk USSR, Vol.118(2), pp.219222 (In Russian) [51] Yakubovich S.B (1990), On the construction method for construction of integral convolution, DAN BSSSR, 34(7), pp.588-591 [52] Yakubovich S.B (2006), Certain isometrics related to the bilaterral Laplace transforms, Modeling and Analysis, Vol.11, No.3, pp.331-346 [53] Yakubovich S.B (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolution type, Collect Math., Vol.54(2), pp.99-110 89 [54] Yakubovich S.B and Britvina L.E (2010), Convolution related to the Fourier and Kontorovich-Lebedev transforms revisited, Int Trans and Spec Func., Vol.21 (4), pp.259-276 [55] Yakubovich S.B and Moshinskii A.I (1993), Integral equations and convolutions related to the Kontorovich-Lebedev type integral transforms, Differentzial’nye uravneniya, 29, No.7, pp.1272-1284 (in Russian) [56] Widder D.V.(1941), The Laplace Transforms,Princeton University Press 90 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2013), The Fourier-Laplace generalized convolutions and applications to integral equations, Vietnam Journal of Mathematics, Vol.41, pp.451-464 Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2014), The generalized convolutions with a weight function for Laplace transform, Nonlinear Functional Analysis and Applications, Vol.19, No.1, pp.61–77 Le Xuan Huy and Nguyen Xuan Thao (2014), On the Laplace generalized convolution transform, Annales Univ Sci Budapest Sect Comp., Vol.43, pp.303–316 Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan, Le Xuan Huy and Nguyen Thanh Hong (2015), On the Fourier–Laplace convolution transforms, Integral Transforms and Special Functions, Vol.26 (4), pp.303-313 (ISI) 91