Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1: Phương trỡnh: 2x2 + (2m1)x + m 1= 0 (1)1. Thay m = 2 vào phương trỡnh (1) ta cú. 2x2 + 3x + 1 = 0 Cú ( a b + c = 2 3 + 1 = 0)=> Phương trỡnh (1) cú nghiệm x1 = 1 ; x2 = 122. Phương trỡnh (1) cú = (2m 1)2 8(m 1) = 4m2 12m + 9 = (2m 3)2 0 với mọi m.=> Phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm x1; x2 với mọi giỏ trị của m.+ Theo hệ thức Vi ột ta cú: + Theo điều kiện đề bài: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1 4(x1 + x2)2 6 x1x2 = 1 ( 1 2m)2 3m + 3 = 1 4m2 7m + 3 = 0 + Cú a + b + c = 0 => m1 = 1; m2 = 34 Vậy với m = 1 hoặc m = 34 thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x1; x2 thoả món: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 1 Bài 2: . Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m 2 – m + 3 =0Tỡm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất. ( a = 1 ; b = 2m => b’ = m ; c = m2 m + 3 ) Ä’ = ...= m2 1. ( m2 m + 3 ) = m2 m2 + m 3 = m – 3 ,do pt cú hai nghiệm x1 ; x 2 (với m là tham số ) Ä’ ≥ 0 m ≥ 3 .Áp dụng hệ thức Viột ta cú:x1 + x2 = 2mx1 . x2 = m2 m + 3 x12 + x22 = ( x1 + x2) 2 – 2x1x2 = (2m)2 2(m2 m + 3 )=2(m2 + m 3 ) =2(m2 + 2m + ) =2(m + )2 =2(m + )2 Do điều kiện m ≥ 3 m + ≥ 3+ = (m + )2 ≥ 2(m + )2 ≥ 2(m + )2 ≥ = 18Vậy GTNN của x12 + x22 là 18 khi m = 3Bài 3. a)Giảiphương trỡnh (1) khi m = 1: Thay m = vào phương trỡnh (1) ta được phương trỡnh: b) Xác định m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt, trong đó một nghiệm bằng bỡnh phương của nghiệm cũn lại. Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt ∆’ = m2 (m 1)3 > 0 ()Giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm là u; u2 thỡ theo định lí Viét ta có: () PT (thỏa món đk () )Vậy m = 0 hoặc m = 3 là hai giỏ trị cần tỡm.Lưu ý: Cú thể giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm, tỡm m rồi thế vào PT(1) tỡm hai nghiệm của phương trỡnh , nếu hai nghiệm thỏa món yờu cầu thỡ trả lời. Ở trường hợp trên khi m = 0 PT (1) có hai nghiệm thỏa món , m = 3 PT (1) cú hai nghiệm thỏa món .Bài 4 . Cho phương trỡnh bậc hai: x22(m1)x+2m3=0. (1)a)Chứng minh rằng phương trỡnh (1) cú nghiệm với mọi giỏ trị của m. x2 2(m1)x + 2m 3=0.Cú: ’ = = m22m+12m+3 = m24m+4 = (m2)2 0 với mọi m.Phương trỡnh (1) luụn luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m.b)Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu khi và chỉ khi a.c < 0 2m3 < 0 m < .Vậy : với m < thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu.Bài 5.: Cho phương trình (2m1)x22mx+1=0Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (1,0)Giải: Phương trình: ( 2m1)x22mx+1=0•Xét 2m1=0=> m=12 pt trở thành –x+1=0=> x=1 •Xét 2m10=> m 12 khi đó ta có = m22m+1= (m1)20 mọi m=> pt có nghiệm v
Bài tập định lý vi-ét Bài 1: Phương trỡnh: 2x2 + (2m-1)x + m - 1= (1) Thay m = vào phương trỡnh (1) ta cú 2x2 + 3x + = Cú ( a - b + c = - + = 0) => Phương trỡnh (1) cú nghiệm x1 = -1 ; x2 = - 1/2 Phương trỡnh (1) cú ∆ = (2m -1)2 - 8(m -1) = 4m2 - 12m + = (2m - 3)2 ≥ với m => Phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm x1; x2 với giỏ trị m − 2m x1 + x = + Theo hệ thức Vi ột ta cú: x x = m − 2 + Theo điều kiện đề bài: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = 4(x1 + x2)2 - x1x2 = ( - 2m)2 - 3m + = 4m2 - 7m + = + Cú a + b + c = => m1 = 1; m2 = 3/4 Vậy với m = m = 3/4 thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x 1; x2 thoả món: 4x12 + 4x22 + 2x1x2 = Bài 2: Cho phương trỡnh x2 – 2mx + m – m + =0 Tỡm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ ( a = ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + ) Ä’ = = m2 - ( m2 - m + ) = m2 - m2 + m - = m – ,do pt cú hai nghiệm x1 ; x (với m tham số ) Ä’ ≥ ⇒ m ≥ Áp dụng hệ thức Vi-ột ta cú: x1 + x2 = 2m x1 x2 = m2 - m + x12 + x22 = ( x1 + x2) – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + )=2(m2 + m - ) =2(m2 + 2m 1 12 13 13 + - ) =2[(m + )2 - ]=2(m + )2 4 4 2 Do điều kiện m ≥ ⇒ m + 1 ≥ 3+ = 2 2 (m + )2 ≥ 49 49 13 49 13 ⇒ 2(m + )2 ≥ ⇒ 2(m + )2 ≥ - = 18 2 2 2 Vậy GTNN x12 + x22 18 m = Bài a)Giảiphương trỡnh (1) m = -1: Thay m = −1 vào phương trỡnh (1) ta phương trỡnh: x2 + x − = ⇔ ( x + x + 1) − = ⇔ ( x + 1) − 32 = ⇔ ( x + + 3) ( x + − 3) = x + = x = −4 ⇔ ( x + 4) ( x − 2) = ⇔ ⇔ x − = x=2 b) Xác định m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt, nghiệm bỡnh phương nghiệm cũn lại Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt ⇔ ∆’ = m2 - (m - 1)3 > (*) Giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm u; u thỡ theo định lí Vi-ét ta có: u + u = 2m (**) u.u = (m − 1) u + u = 2m m − + ( m − 1) = 2m u + u = 2m m − 3m = ⇔ ⇔ ⇔ ( **) ⇔ 3 u = m −1 u = m −1 u = m −1 u = ( m − 1) PT m − 3m = ⇔ m ( m − 3) = ⇔ m1 = 0; m2 = (thỏa đk (*) ) Vậy m = m = hai giỏ trị cần tỡm Lưu ý: Cú thể giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm, tỡm m vào PT(1) tỡm hai nghiệm phương trỡnh , hai nghiệm thỏa yờu cầu thỡ trả lời Ở trường hợp m = PT (1) có hai nghiệm x1 = −1; x2 = thỏa x2 = x12 , m = PT (1) cú hai nghiệm x1 = 2; x2 = thỏa x2 = x12 Bài Cho phương trỡnh bậc hai: x2-2(m-1)x+2m-3=0 (1) a) Chứng minh phương trỡnh (1) cú nghiệm với giỏ trị m x2 - 2(m-1)x + 2m - 3=0 Cú: ∆ ’ = [ − ( m − 1) ] − (2m − 3) = m2-2m+1-2m+3 = m2-4m+4 = (m-2)2 ≥ với m Phương trỡnh (1) luụn luụn cú nghiệm với giỏ trị m b) Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu a.c < 2m-3 < m< Vậy : với m < thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu Bài 5.: Cho phương trình (2m-1)x2-2mx+1=0 Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Giải: Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 • Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 • Xét 2m-1≠0=> m≠ 1/2 ta có ∆, = m2-2m+1= (m-1)2≥0 m=> pt có nghiệm với m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) m − m +1 = 2m − 2m − 1 pt có nghiệm khoảng (-1,0)=> -1< >0 => 2m − =>m ⇔ (m − 2)(m + 3) > ⇔ m < −3 m < − 3 b Giải phương trình: ( m − 2) − (m + 3) = 50 x1 − x2 ⇔ 5(3m + 3m + 7) = 50 ⇔ m + m − = −1+ m1 = ⇔ m = − − 2 Bài 7: Cho phương trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2Chứng minh: a,Phương trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dương phân biệt t t2 b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 ≥ giải: Để phương trình có hai nghiệm âm thì: ( ∆ = 25 > ⇔ (m − 2)(m + 3) > ⇔ m < −3 m < − ) ∆ = ( 2m + 1) − m + m − ≥ x1 x = m + m − > x + x = 2m + < 3 b Giải phương trình: ( m − 2) − (m + 3) = 50 ⇔ 5(3m + 3m + 7) = 50 ⇔ m + m − = −1+ m1 = ⇔ m = − − 2 Bài 8: a Vì x1 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = nên ax12 + bx1 + c =0 1 Vì x1> => c + b + a = x1 x Chứng tỏ x 1 nghiệm dương phương trình: ct2 + bt + a = 0; t1 = x Vì x2 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c =0 1 1 x2> nên c + b. + a = điều chứng tỏ x nghiệm x x 2 2 dương phương trình ct2 + bt + a = ; t2 = x Vậy phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x 1; x2 phương trình : ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dương phân biệt t ; t2 1 t1 = x ; t = x b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dương nên t1 + x1 = x + x1 ≥ 1 t2 + x2 = x + x2 ≥ 2 Do x1 + x2 + t1 + t2 ≥ (1) Bài 9: Cho phương trình : x2 -2(m - 1)x + m2 - = ; m tham số a/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm Giải :a/ Phương trình (1) có nghiệm ∆ ’ ≥ ⇔ (m - 1)2 -m2 -3 ≥ ⇔ - 2m ≥ ⇔ m ≤ b/ Với m ≤ (1) có nghiệm Gọi nghiệm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta có: a + 3a = 2m − a.3a = m − m −1 m −1 ⇒ a= ⇒ 3( ) = m2 – 2 ⇔ m2 + 6m – 15 = ⇔ m = –3 ± ( thõa mãn điều kiện) Bài10: Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 Giải: Để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ∆ > (2m - 1)2 - (m - 1) > Từ suy m ≠ 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có: 2m − x1 + x = − m −1 x x = ⇔ 3x − 4x = 11 Giải phương trình 13 - 4m x1 = 7m − x1 = 26 - 8m 7m − 13 - 4m 3 − 26 - 8m = 11 13 - 4m 7m − −4 = 11 26 - 8m ta m = - m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phương trình cho có hai nghiệm phân biệt t Bài 11: Cho pt x − mx + m − = a Chứng minh pt luôn có nghiệm với ∀m b Gọi x1 , x hai nghiệm pt Tìm GTLN, GTNN bt P= x1 x + x1 + x + 2( x1 x + 1) 2 Giải : cm ∆ ≥ ∀m B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có: x1 + x = m 2m + ⇒P= (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn m +2 x1 x = m − 1 ⇒ − ≤ P ≤1 ⇒ GTLN = − ⇔ m = −2 GTNN = ⇔ m = 2 2 Bài 12: Cho phương trình 2− x - mx + a) Giải phương trình (1) với m = -1 2− m + 4m - = (1) 1 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoã mãn x + x = x1 + x2 2 giải : a) m = -1 phương trình (1) ⇔ x + x − = ⇔ x + x − = x = −1 − 10 ⇒ x = −1 + 10 b) Để phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ −8m + ≥ ⇔ m ≤ ( ) * m + 4m − ≠ ( ) + Để phương trình có nghiệm khác m1 ≠ −4 − * ⇒ m2 ≠ −4 + x1 + x = 1 + + = x1 + x2 ⇔ ( x1 + x )( x1 x − 1) = ⇔ x1 x x1 x − = m = 2 m = ⇔ ⇔ m = −4 − 19 m + 8m − = m = −4 + 19 Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta m = m = −4 − 19 ⇔ Bài 13 : Tìm tất số tự nhiên m để phương trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + = có nghiệm nguyên giải: Phương trình có nghiệm nguyên = m4 - 4m - số phương Ta lại có: m = 0; < loại m = = = 22 nhận m ≥ 2m(m - 2) > ⇔ 2m2 - 4m - > ⇔ - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + ⇔ m4 - 2m + < < m4 ⇔ (m2 - 1)2 < < (m2)2 không phương Vậy m = giá trị cần tìm Bài 14: Xác định giá trị tham số m để phương trình x2-(m+5)x-m+6 =0 Có nghiệm x1 x2 thoã mãn điều kiện sau: a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị b/ 2x1+3x2=13 ta có ∆ = (m + 5) − 4(−m + 6) = m + 10m + 25 + 4m − 24 = m + 14m + Để PT có hai nghiệm phân biệt cho m ≤ −7 − = −11 m ≥ −7 + = Giả sử x2>x1 ta có HPT x2x1=1 X1+x2=m+5 X1x2=m+6 GiảI HPT ta m=0 m=-14 TMĐK Theo giả thiết ta có 2x1+3x2 =13 X1+x2 =m+5 X1x2=-m+6 GiảI HPT ta m=0 m=1 thỏa mãn ĐK Bài 15: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1) a Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình (1) mà không phụ thuộc vào m c Tìm giá trị nhỏ P = x21 + x22 (với x1, x2 nghiệm phương trình (1)) giai : a ' ∆= m2 –3m + = (m - ) + >0 ∀ m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x1 + x2 = 2(m − 1) x1 + x2 = 2m − => x1 x2 = m − 2 x1 x2 = 2m − b Theo Viét: x1+ x2 – 2x1x2 – = không phụ thuộc vào m a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3) = (2m VậyPmin = 15 15 ) + ≥ ∀m 4 15 với m = 4 Bài 16 : Cho phương trỡnh x - ( 2m +1) x + m + = ( m tham số) (1) 1)Với giỏ trị m thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt ? 2) Với giỏ trị m thỡ phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1, x cho biểu thức M = ( x1 -1) ( x -1 ) đạt giá trị nhỏ ? Giải : 1, Để (1) có nghiệm phân biệt (2m+1)2-4(m2+ ) >0 ⇔ 4m − > ⇔ m > 2, Với m> th́ (1) có hai nghiệm phân biệt theo định lư vi ét ta có { x1 + x } =2m+1 X1.x2= m2+ 2 M = ( x1-1)(x2-1`) =x1x2-(x1+x2) +1 = m2+ - 2m -1 +1 1 Đẳng thức xảy m=1 ( thỏa măn điều kiện m> Vậy GTNN M - m=1 Bai17: Cho phương trình (2m-1)x2-2mx+1=0 Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) = (m-1)2- ≥ − Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 • Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 • Xét 2m-1≠0=> m≠ 1/2 ta có ∆, = m2-2m+1= (m-1)2≥0 m=> pt có nghiệm với m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) m − m +1 = 2m − 2m − 1 pt có nghiệm khoảng (-1,0)=> -1< >0 => 2m − =>m x + x = 2m + < ∆ = 25 > ⇔ (m − 2)(m + 3) > ⇔ m < −3 m < − 3 b Giải phương trình: ( m − 2) − (m + 3) = 50 ⇔ 5(3m + 3m + 7) = 50 ⇔ m + m − = −1+ m1 = ⇔ m = − − 2 Bài 25: Cho phương trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2Chứng minh: a,Phương trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dương phân biệt t t2 b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 ≥ giải : a Vì x1 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = nên ax12 + bx1 + c =0 1 Vì x1> => c + b + a = x1 x Chứng tỏ x nghiệm dương phương trình: ct2 + bt + a = 0; t1 = x Vì x2 nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = => ax22 + bx2 + c =0 1 1 x2> nên c + b. + a = điều chứng tỏ x nghiệm x x 2 2 dương phương trình ct2 + bt + a = ; t2 = x Vậy phương trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x 1; x2 phương trình : ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dương phân biệt t ; t2 1 t1 = x ; t = x b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dương nên t1 + x1 = x + x1 ≥ 1 t2 + x2 = x + x2 ≥ 2 Do x1 + x2 + t1 + t2 ≥ ⇔ m = ( nhận) ; m = -2 ( loại) Vậy m = Bài 26: x2 – 2mx – = (m tham số) a) Chứng minh phương trỡnh trờn luụn cú nghiệm phõn biệt Cỏch 1: Ta cú: ∆' = m2 + > với m nên phương trỡnh trờn luụn cú hai nghiệm phõn biệt Cỏch 2: Ta thấy với m, a c trỏi dấu nên phương trỡnh luụn cú hai phõn biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trỡnh trờn Tỡm m để x1 + x − x1x = Theo a) ta có với m phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt Khi ta có S = x1 + x2 = 2m P = x1x2 = –1 Do x1 + x2 − x1x2 = ⇔ S2 – 3P = ⇔ (2m)2 + = ⇔ m2 = ⇔ m = ± Vậy m thoả yờu cầu toỏn ⇔ m = ± Bài 27: a) Cho phương trỡnh x2 – 2x – = cú hai nghiệm x1 x2 Tớnh giỏ trị biểu thức x2 x1 S= x + x Giải: a) Tớnh x1 + x2 = x1.x2 = – Biến đổi: x12 + x ( x1 + x ) − x1 x2 S= = = – x1 x x1 x Bài 28: Cho phương trỡnh ẩn x: x4 – 2mx2 + m2 – = a) Giải phương trỡnh với m = b) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm phõn biệt Giải: a) m = ,phương trỡnh : x4 – 2mx2 + m2 – = trở thành: x1 = ⇔ x 2,3 = ± x = x = x4 - x = ⇔ x2 (x2 - ) = ⇔ Vậy phương trỡnh cho cú nghiệm : x1 = , x2 = x3 = - b) Đặt t = x2 , điều kiện t ≥ Phương trỡnh cho trở thành: t2 – 2mt + m2 – = (1) Phương trỡnh cho cú nghiệm phân biệt ⇔ phương trỡnh (1) cú nghiệm có nghiệm nghiệm dương *)Phương trỡnh (1) nhận t = nghiệm ⇔ m2 – = ⇔ m = ± +)Khi m = , phương trỡnh (1) trở thành: t2 - t = t1 = (thoả món) ⇔ t = v ậy m = ,là giỏ trị cần tỡm +)Khi m = - , phương trỡnh (1) trở thành : t2 + t = t1 = (khụng thớch hợp) ⇔ t = −2 Vậy m = - khụng thoả loaị Tóm lại phương trình cho có nghiệm phân biệt ⇔ m = x = Vậy hệ cú nghiệm : 25 y = Bài 29: Tỡm giá trị a để phương trỡnh : (a2 – a – 3)x2 + (a + 2)x – 3a2 = nhận x = nghiệm Tỡm nghiệm cũn lại phương trỡnh? Giải: Phương trỡnh cho nhận x1 = nghiệm ⇔ 4(a2 – a – 3) + 2(a + 2) – 3a2 = ⇔ a2 – 2a – = a = −2 ⇔ a = Khi nghiệm cũn lại phương trỡnh là: − 3a x2 = 2(a − a − 3) +) Nếu a = -2 , nghiệm cũn lại phương trỡnh x2 = -2 +) Nếu a = , nghiệm cũn lại phương trỡnh x2 = - Bài 30: Cho phương trỡnh : x2 – 2mx + m2 - =0 (1) a) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm cỏc nghiệm phương trỡnh cú giỏ trị tuyệt đối b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú nghiệm cỏc nghiệm số đo hai cạnh gúc vuụng tam giỏc vuụng cú cạnh huyền Giải: Cõu a) Giaỉ: để phương trỡnh cú nghiệm x1 , x2 thoả x1 = x => x1 = x2 x1 = - x2 a) Nếu x1 = x2 => ∆ = => ∆ = = (vụ lý) b) Nếu x1 = - x2 => x1 + x2 = => 2m = => m = => phương trỡnh cho trở thành : x2 - 1 =0 ⇔ x= ± 2 => phương trỡnh cú nghiệm cú giỏ trị tuyệt đối => m = giỏ trị cần tỡm Cõu b) Giả sử phương trỡnh cú nghiệm x1 vaứ x2 số đo cạnh góc vuông tam giác vuông có cạnh huyền => x1 > ; x2 > x12 + x22 = Bài 31: Cho phương trỡnh: (x ẩn số) a) Giải phương trỡnh a=1 b) Tỡm a để phương trỡnh cú nghiệm Khi tồn hay không giá trị lớn của: Giải : Phương trỡnh cho cú thể biến đổi thành: a) Với a=1 phương trỡnh cho trở thành: b) Mỗi phương trỡnh , có nhiều nghiệm Để phương trỡnh cho cú nghiệm thỡ phương trỡnh phải có nghiệm nghiệm khác Như vậy, để phương trỡnh ban đầu có nghiệm, điều kiện cần đủ là: *Với phương trỡnh cho cú nghiệm là: Như thế: = Tuy nhiờn không đạt giá trị nờn S khụng cú giỏ trị lớn nhất! Bài 32: Cho phương trình x - (k -1 )x + 2k – = ( ẩn x ) a Chứng minh PT có nghiệm với k b Tìm k để A = x + x 2 -2x - 2x có giá trị a Tính ∆ , = k -4k + = ( k -2 ) + > với k b Theo hệ thức Viet có x + x =2 ( k-1)= 2k -2 x x = 2k -5 A= (x + x ) - 2x x - (x + x ) = ( 2k – ) - 2( 2k -5) – 2( 2k – 2) = 4k -16k + 18 Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 33 : Tìm tất số tự nhiên m để phương trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + = có nghiệm nguyên Giải : Phương trình có nghiệm nguyên = m - 4m - số phương Ta lại có: m = 0; < (loại) m = ∆ = = 22 nhận m ≥ 2m(m - 2) > ⇔ 2m2 - 4m - > ⇔ - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + ⇔ m4 - 2m + < < m4 ⇔ (m2 - 1)2 < < (m2)2 không phương Vậy m = giá trị cần tìm a) Cho phơng trình x + x + m = (1) Với giá trị m phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt ? Khi gọi x1 x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để x12 + x2 = 31 để PT có hai nghiệm phân biệt ∆ = − 4m > ⇔ m < Khi ta có x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=31 ap dụng hệ thức vi ét ta (-3)2-2m=31 ⇔ 2m = −22 ⇔ m = −11 thỏa mãn đièu kiện m m > Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m > c) Khi m > ta co: S = x1 + x2 = 2m P = x1x2 = m2 – m + Do : A = P - S = m2 -m + - 2m = m2 -3m + = Bài 36: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x + m2 - = a, Giải phơng trình m = b, Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt a Với m = thay vào đợc x2 - 2x - = có dạng a - b + c = ( Hoặc tính ∆ = 16 ) x1 = -1 ; x2 = kết luận nghiệm − ≥– b Tính ∆' = −2m + ∆' > ⇔ −2m + > Suy m < kết luận m < phơng trình có nghiệm x + (m − 1) x − = (1) (m tham số) Bài 37.): Cho phương trỡnh ẩn x: a Tỡm cỏc giỏ trị m để phương trỡnh (1) cú nghiệm x = + b Tỡm cỏc giỏ trị m để phương trỡnh (1) cú nghiệm x1 , x2 c, c, cho biểu thức: A = ( x12 − 9)( x22 − 4) đạt giỏ trị lớn Tính ∆ = (m − 1) + 24 > 0∀m suy PT có hai nghiemj phân biệt x1x2 A =(x1.x2+6) −((2 x1 + 3x ) theo định lý vi ét ta có A =x1x2=-6 ⇒ A = −(2 x1 + 3x ) ≤ Amax=0 x1 + x = x1 x = −6 x + x = − m x1 = −3 va x = m=2 x1 = ⇔ x = −2 m=0 Vậy m =0 ; m =2 giá trị cần tìm Bài 38: Cho Phương trình bậc hai , x ẩn, tham số m: x − ( m + 1) x + 2m = 1- Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m 2- Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình Chứng tỏ M = x1 + x2 - x1x2 không phụ thuộc vào giá trị m Giải : ∆ = [-(m+1)]2-2m = m2 +2m +1 -2m = m2 + > Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m TheoViet : x1 + x = 2(m + 1) x1.x = 2m M = x1 + x - x1.x = 2(m + 1) - 2m = Nên không phụ thuộc vào giá trị m Bài 39 : Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên x − ax + a + = điều kiện đẻ phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ a − 4a − ≥ Gọi x1.x2Là hai nghiệm phương trình giả sử x1>x2 x1 + x = a ⇒ x1 x − x1 − x ⇒ ( x1 − 1)( x − 1) = x1 x = a + x1 = x1 − = −1 x1 = hoăc x − = −3 x1-1 ≥ x − ⇒ x = hoac x = −2 Theo định lý vi ét ta có : x − = ⇒ x2 − = Suy a=6 a=-2 thỏa mãn ddieuf kiện Bài 40 : Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 4x + m + = Giaỉ phương trình m = Với giá trị m phương trình có nghiêm Tìm giá trị m cho phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = 10 GiảI : Khi m = 3, phương trình cho trở thành : x 2- 4x + = ⇒ (x - 2)2 = ⇒ x = nghiệm kép phương trình Phương trình có nghiệm ⇔ ∆’ ≥ ⇔ (-2)2 -1(m + 1) ≥ ⇔ - m -1 ≥ ⇔ m ≤ Vậy với m ≤ phương trình cho có nghiệm Với m ≤ phương trình cho có hai nghiệm Gọi hai nghiệm phương trình x1, x2 Theo định lý Viét ta có : x + x2 = (1), x1.x2 = m + (2) Mặt khác theo gt : x 12 + x22 = 10 ⇒ (x1 + x2)2 - x1.x2 = 10 (3) Từ (1), (2), (3) ta :16 - 2(m + 1) = 10 ⇒ m = < 3(thoả mãn) Vậy với m = phương trình cho có nghiệm thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 10 Bài 41 : Cho PT x4-2mx2+m2-4 = A, Giải PT với m= -1 B , Tìm m để PT có nghiệm ? Giải a, Khi m = -1 ta có PT x4+2x2-3=0 đặt x2=t đ/k t ≥ Ta có PT t2+2t -3 =0 t1=1 t2 =-3 loại Giải ta x= ± B, t= x2 (t ≥ 0) t có PT : T2-2m +m2-4 =0 (2) để (1) cpos nghiệm (2) phải có nghiệm dương phân biệt ∆, = m2 − m + > m2 > ⇔{ m>0 t1t = 2m > với m>2 PT có nghiệm Bài 42 : cho PT : x2-(2m+2)x +m2+2m = A, Chứng minh PT có nghiệm với m B, gọi x1x2 hai nghiệm PT tìm m để 2x1+x2 = Giả a, PT có nhiệm với m B, x1x2 hai nghiệm PT X1+x2= 2m + (1) X1x2 = m2+2m (2) Mà 2x1+x2 = ⇔ x1 +x1+x2 =5 suy x1+2m +2 =5 suy x1= – 2m Thay x1 vào suy x2 = 2m-2 –x1 = 4m -1thay vaof (2) ta 9m2 -12m+3 = suy m1= 1, m2= 1/3 Bài 43 : cho PT x2 - (3m -1)x +2m2-m = A, GPT m = b tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x1 ,x1 mà x1 − x = GiảI a, m =1 PT trở thành x2-2x +1 = s uy (x-1)2 = Suy x = B, m ≠ Thì x1 − x = ⇔ ( x1 − x )2 = ⇔ ( x1 + x ) − x1 x = ⇔ (3m − 1) − 4(2m − m) ⇔ m − 2m − = ⇒ m1 = −1, m = Bài44 : Cho pT x2 -2(m+4) x +m2-8 = A, giải PT với m =-3 B, Tìm m để PT có nghiệm phân biệt x1,,x2 mà x12+x2 –x1x2 =121 Giai a, m = -3 ta có x2-2x+1=0 suy x = ∆, = (m + 4) − m − = 8m + 24,∆ , > ⇒ m > −3 X12+x22-x1x2= 121 ⇔ ( x1 + x ) − 3x1 x = 121 suy 4(m+4)2-3( m2-8) =121 m +32m -33=0 suy m1 = m2=-33 loại với m= PT thỏa mãn Bài 45 : Cho PT x2 +(m2+1)x +m+2 = m tham số A, Chứng minh với mọigiá trj m PT có hai nghiệm phân biệt B , Gọi x1 , x2 nghiệm PT tìm tất giá trị m cho x1 − x2 − 55 + = x1 x2 + x1 x x2 x1 GiảI a, ∆ = (m2+1)2-4(m-2)=m4+2m2+1 -4m +8= m4-2m2+1+4m2-4m +1+7=(m2-1)2+(2m-1)2+7 >0với m PT có hai nghiệm phân biệt với m B , (2x1-1)x1+(2x2-1)x2 = x12x22+55suy 2x1-x1+2x22-x2-x12x22-55=0 2(x1+x2)2-4x1x2-(x1+x2)-(x1x2)2-55 =0 (2) áp dụng định lý vi ét Ta có : x1+x2=- (m2+1) x1x2 = m-2 thay vào (2) ta có 2m4+4m2+2+8+1-4-55-4m +4m =0 suy 2m4+4m2-48 =0 đặt m2 = t ≥ 2t2+4t – 48 = 0, ∆, = 100 >0 suy t1=4 t2= -6 ( loại) Thay t = suy m2 =4 m= ± xét điều kiện suy m =- Bài 46 : Cho PT (m+1)x2 -2(m-1)x+m-3 = ẩn x m tham số (m ≠ −1) A, Chứng minh PT có nghiệm với x ?: B, Tìm m để PT có có hai nghiệm dấu : C,Tìm m để PT có nghiệm gấp đôI nghiệm ? GiảI : a, ∆, =(m-1)2-(m+1)(m-3) = m2-2m +1-m2+3m-m+3=4>0 Vởy PT có nghiệm với m B, Để PT có hai nghiệm dấu ; ∆>0 x1 x > 4>0 ⇔ m − > C, ∆ = = X2= x1 = m −1− m − = m +1 m +1 ⇒ m > với m>3 PT có hai nghiệm dấu m −1+ m +1 , x2 = =1 m +1 m +1 m−3 Giả sử : Trường hợp : 1= m + suy m+1=2m-6 ⇒ + = 2m − m ⇒ m = m−3 TH2 : 2.1= m + ⇔ 2(m + 1) = m − ⇒ 2m + = m − ⇒ 2m − m = −3 − ⇒ m = −5 Bài 46 : Cho PT : x2-2(m+1)x+2m+10 = Tìm m cho hai nghiệm x1,x2 PT thỏa mãn 10x1x2+x12+x22 đạt giá trj NN GiảI : 10x1x2+x12+x22=8x1x1+2x1x2+x2+x22=8x1x2+(x1x2)2=8(2m+10)+ [ − 2(m + 1)] =16m +80 +4m2+8m +4 = 4m2+24m+84=(2m+6)2+48 ≥ Vởy giá trj nhỏ m= -3 48 Bài 47 : Cho PT : 2x2+2(m+1)x+m2+4m +3 = Gọi x1 , x2 hai nghiệm PT : tìm GTLN A = x1 x − x1 − x GiảI : A = x1 x − 2( x1 + x ) Bài 47 : Cho PT x2-2(m+4)x+m2-8 = A, Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt ? B, tìm m để A = x22+x22-x1-x2 đạt giá trị nhỏ ? GiảI : Để PT có hai nghiệm phân biệt ∆, ≥ 0, ⇒ ∆, = (m + 4) − (m − 8) ≥ 8m+24 ≥ ⇒ m ≥ −3 B, A= (x1+x2)2-2x1x2-(x1+x2)= [ 2(m + 4)] − 2(m − 8) + 2(m + 4) = 4m2+16m+64-2m2+16+2m+8=2m2+18m+88=2 (m + ) + 95 4 95 95 95 95 =2(m+ ) + ≥ giá trị nhỏ A = x=2 2 2 Bài 48 : Cho PT x2 –(m+1)x +m2-2m+2=0 A, giảI PT với m=2 B, Tìm m để PT có hai nghiệm dấu có nghiệm x1=2 tìm nghiệm x2=? C, Gọi x1, x2là hai nghiệm PT tìm m để giá trị biểu thức A= x12+x22-x1-x1 đạt giá trị lớn ? GiảI a, với m=2 PT x2-3x+4-4+2 =0 X2-3x+2=0 ⇒ x1=1 x2=2 2 B, ∆ = −3(m − ) − > ⇔ (m − ) − < ⇔ < m < 9 để PT có hai nghiệm phân biệt x1,x2 dấu P >0 ⇔ m − 2m + ⇒ (m − 1) + > 0, ∀, m thuộc điều kiện xác định ⇔ (1 < m < / thay x1=2 vào PT ta có m2-4m+4 =0 ⇔ (m − 2) = 2 M=2 thỏa ,mãn Đ/K x1x2= =1 ⇒ x = C, ∆ > 0, (1 < m < / PT có hai nghiệm phân biệt x1,x2 A = (x12+x22-x1x2=(x1+x2) -3x1x2=(m+1)2-3(m2-2m+2) A= -2m2+8m-5=3-2(m-2) ≤ ⇔ m = Baì 49 : Cho PT ; x2-2(m+1)x+m-4 = (1) A, giảI PT với m=1 B, Chứng minh PT có nghiệm với m C, gọi x1,x2 nghiệm PT (1) CMR K=x1(!-x2)+x2(1-x1) không phụ thuộc vào m GiảI a, m=1 ta có x1=2+ x2=2- B, 19 ∆, = (m + 1) − (m − 4) = m + 2m + − m + = m + m + = (m + ) + > 0∀, m x= C, PT có hai nghiệm x1,x2 K =x1-x1x2+x2-x1x2=10 ⇔ ( x1 + x ) − x1 x = 10 ⇒ 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ 2m + − 2m + = 10 ⇒ 10 = 10 Vậy biểu thức với m Bài 50 : Cho PT x2-2mx+m2-+m+1= A, GiảI PT với m=1 B, tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt c Tìm m để biểu thức A= x1x2-x1-x2 đật GTNN GiảI : a, Với m=1 PT trở thành x2-2x+1 =0 Vậy x = B, ∆, = m − (m − m + 1) = m-1 để PT có hai nghiệm phân biệt ∆, ≥ ⇒ m − ≥ ⇒ m ≥ C, Với Đ/K m>1 áp dụng định lý vi ét ta có X1+x2= 2m x1x2=m2-m+1 A = x1x2-x1-x2=x1x2-(x1+x2)=m2-m+1-2m suy m2-3m+1 ⇔ m − 3m + 5 − ≥ ⇒ (m − ) − ≥ − 4 4 Vậy giá trị NN m=3/2 A= -5/4 Bài 51 : Cho PT x2 -2(m-1)x+2m-4 = A, GiảI PT với m=2 B, Tìm giá trị NN M = x12+x22 với x1, x2 nghiệm GiảI : a, với m=2 PT trở thành x2 -2x =0 x= x=2 B, ∆, = [ − (m − 1) ] − (2m − 4) = m − 2m + − 2m + = m − 4m + + (m-2)2+1>0 với ∀ m M= x12+x22=x12+2x1x2+x22-2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2= [ 2(m − 1)] − 2(2m − 4) 4m2-8m +4-4m +8 =4m2-12m +12= 4m2-12m +9 +3=(2m-3)2+3 ≥ Vậy để M nhỏ 2m-3 = suy m = 3/2 GTNN Bài 52 : Cho PT x2 -2mx +m2-1 = A, Chứng minh PT có nghiệm với m B, Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 PT độc lập với m x1 x2 C Tìm m để x + x = − 2 ∆, = (−m) − (m − 1) = m − m + = > GiảI : a, Vậy PT có nghiệm với moi m B, x1+x2=-(-2m)=2m = S ⇒ m = s thay vao (1) x1x2==m2-1=P (1) s − S2 − = P ⇒ −S − = 4P ⇒ S + 4P + = -( ( ) − = P ⇒ x1 x − C, x + x = ⇔ 2( x12+x22) = -5x1x2=2x12+2x2+4x1x2+x1x2=0 2 = 2(x1 +x22+2x1x2)+x1x2=0 ←⇒ 2(2m)2+m2-1 =0 ⇒ 9m2-1=0 m =± Bài 53 ; Cho PT x2-2(m1)x+2m+3= A, giảI PT với m= -3 B, Tìm m để PT có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1-x2)2= A, x1,2= − ± B, Để PT có hai nghiệm ∆, ≥ = [ − (m + 1)] − (2m + 3) = m + 2m + − 2m − M2 -2 ≥ ⇒ m ≥ m≤ − 2 2 (x1-x2) = ⇔ x1 +x2 -2x1x2=4 ⇔ x12+2x1x2+x22 = ⇒ ( x1 + x ) − x1 x = ⇔ ( x1 + x ) − x1 x ⇔ [ − 2(m + 1)] − 4( 2m + 3) = 4m2+8m+4-8m-12=4 suy 4m2-8=4 ⇒ 4m = 12 ⇒ m = ⇒ m = ± Thỏa mãn điều kiện Bài 54 : Cho PT x2-5mx -4m = A, GiảI PT với m=-1 B, trường hợp PT có hai nghiệm x1 ,x2 chứng minh X12-5mx2-4m >0 GiảI : Với m=-1 PT có hai nghiệm x1=-1 , x2=-4 B với m ≠ PT có hai nghiệm phân biệt lúc X1+x2=5m suy x2=5m-x1 X1.x2=-4m Xét x12-5mx2-4m (1) thay x2=5m –x1 vào (1) Ta có x12+5m(5m-x1)-4m = x12+25m2-5mx1-4m =(x12-5mx1-4m)+25m2 vi x1 Là nghiệm PT x12-5mx -4m =0 nên x12-5mx1-4m=0 Mà m ≠ 0, nên 25m2>0 (x1-5mx1-4m ) +25m2 >0 ta có đpcm