Đang tải... (xem toàn văn)
Khoá giải đề đặc biệt Thầy: Đặng Thành Nam Đề 50+12015 Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 1 4 x 4 − 2x2 + 2 − m (1) với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với m = 2 . 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt, và chứng minh rằng khi đó tất cả các giao điểm đều có hoành độ nhỏ hơn 3. Câu 2 (1,0 điểm). a) Cho tana + cot a = −18 7 , − π2 ⎛ < a < 0 ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ . Tính A = sina −cosa . b) Cho số phức z thoả mãn z = 5 −i 2 −i . Tìm phần thực và phần ảo của w = 5z . Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình 6log4 x + log x 8 = 10 . Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình x +1+10 3 4 + 3 3− x = 9 3 3− x − x3 + 3x2 + 2x + 4 .
Khoá giải đề đặc biệt Thầy: Đặng Thành Nam Đề 50+1/2015 x − 2x + − m (1) với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho với m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt, chứng minh tất giao điểm có hoành độ nhỏ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = Câu (1,0 điểm) 18 ⎛ π ⎞ , ⎜ − < a < ⎟ Tính A = sin a − cos a ⎝ ⎠ 5−i b) Cho số phức z thoả mãn z = Tìm phần thực phần ảo w = 5z 2−i a) Cho tan a + cot a = − Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log x + log x = 10 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x + 1+ 10 + 3 − x = 3 − x − x + 3x + 2x + Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x e x −1 + ln x x dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi M,N trung điểm SA SC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BM DN Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;2), có ! góc BAC = 60 , phương trình đường phân giác góc A x + y − = Tìm toạ độ đỉnh A viết phương trình đường thẳng BC Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng Δ có phương trình x+2 y z−4 , hai mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − = 0,(Q) : 2x + y − 2z − = Lập phương = = −1 −2 trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc Δ tiếp xúc với hai mặt phẳng (P), (Q) Câu (0,5 điểm) Có ba phong bì giống hệt nhau, phong bì đựng 10 câu hỏi khác đánh số từ đến 10 10 câu hỏi phong bì giống Người ta phát ba phòng bì cho ba học sinh Nga, Sơn Khánh người phong bì yêu cầu bạn bốc thăm phong bì lấy câu hỏi Tính xác suất để ba bạn bốc câu hỏi có nội dung giống đánh số nhỏ 2 Câu 10 (1,0 điểm) Cho biết a,b,c số thực thoả mãn (b+ 3) + (c − 4) = Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức P = (a − b) + (4− a − c) -HẾT - PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 2x + − m (1) với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho với m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt, chứng minh tất giao điểm có hoành độ nhỏ Học sinh tự giải Phương trình hoành độ giao điểm: x − 2x + − m = Đặt t = x ≥ , phương trình trở thành: t − 8t + 4(2 − m) = (*) Để (1) cắt trục Ox bốn điểm phân biệt (*) có hai nghiệm dương phân biệt < t1 < t , ⎧ Δ ' = 16 − 4(2 − m) > ⎪ ⇔ ⎨S = > ⇔ −2 < m < ⎪ P = 4(2 − m) > ⎩ Khi hoành độ bốn giao điểm x1 = − t , x2 = − t1 , x3 = t1 , x4 = t Ta có: x4 = t = + + 4m < 2 < 3,∀m ∈(−2;2) Vậy tất giao điểm có hoành độ nhỏ (đpcm) Câu (1,0 điểm) 18 ⎛ π ⎞ a) Cho tan a + cot a = − , ⎜ − < a < ⎟ Tính A = sin a − cos a ⎝ ⎠ 5−i b) Cho số phức z thoả mãn z = Tìm phần thực phần ảo w = 5z 2−i sin a cos a 18 a) Ta có: tan a + cot a = + = = = ⇒ sin 2a = cos a sin a sin a cos a sin 2a 16 Và, (sin a − cos a)2 = 1− sin 2a = 1+ = 9 ⎧sin a < π Vì − < a < ⇒ ⎨ ⇒ sin a − cos a < ⎩cos a > Do A = − − i (5 − i)(2 + i) 11+ 3i b) Ta có: z = = = ⇒ w = 5z = 11− 3i 2−i 5 Vậy w có phần thực 11, phần ảo -3 Câu (0,5 điểm) Giải phương trình log x + log x = 10 Điều kiện: < x ≠ Phương trình tương đương với: 3log x + = 10 ⇔ 3log x − 10.log x + = log x Đặt t = log x , phương trình trở thành: ⎡t = ⎡ log x = ⎡x = 3t − 10t + = ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ 1⇔⎢ ⎢t = ⎢ log x = x= 32 ⎣ ⎣ ⎣ Câu (1,0 điểm) Giải phương trình x + 1+ 10 + 3 − x = 3 − x − x + 3x + 2x + Điều kiện: x + 3x + 2x + ≥ Phương trình tương đương với: − x + 3x + 2x + − x + 10 3 − x = (1+ 3 − x ) + 10 3 + (1+ 3 − x ) (*) 10 Xét hàm số f = t + 10 3 + t ⇒ f ′(t) = 1+ > 0,∀t ∈! 3 (t + 3)2 Vậy hàm số f(t) đồng biến ! Vì phương trình (*) tương đương với: − x + 3x + 2x + + f (−x) = f (1+ 3 − x ) ⇔ f (−x) − f (1+ 3 − x ) − x + 3x + 2x + = (**) Vì x + 3x + 2x + = (x + 1)3 + − x ≥ ⇒ 3 − x ≥ −x − , hay −x ≤ 1+ 3 − x ⇒ f (−x) ≤ f (1+ 3 − x ) Do đó, VT(**) ≤ = VP(**) , dấu phải xảy ra, tương đương với: ⎧ x + 3x + 2x + = ⎪ ⇔⎨ ⇔ (x + 1)3 = x − 3 ⎪−x = 1+ − x ⎩ ⇔ (x + 1)3 − (x + 1) + = ⇔ x = −1− Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x e x 2 Ta có: I = ∫ x.e ∫ x.e x −1 +) x + ln x 18 − 321 18 + 321 − 9 dx x −1 ln x dx x dx + ∫ 2 e x −1 e − dx = ∫ d(e x −1 ) = = , 21 2 2 +) −1 2 ln 2 ln x dx = ∫ ln xd(ln x) = ln x = ∫ x 2 1 e3 − 1+ ln 2 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Gọi M,N trung điểm SA SC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BM DN Vậy I = Gọi H trung điểm AB, ta có: SH ⊥ AB Vì (SAB) vuông góc (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD) a ,SABCD = a 1 a a3 a = Nên VS.ABCD = SH SABCD = (đvtt) 3 +) Trong không gian chọn hệ trục với H(0;0;0), trục Ox trùng với AB, trục Oy qua H song song với AD, trục Oz trùng với SH đó, a a a a a A( ;0;0), B(− ;0;0),C(− ;a;0), D( ;a;0),S(0;0; ) 2 2 a a a a a ), N(− ; ; ) Vì M,N trung điểm SA SC nên M ( ;0; 4 4 Suy ra, !!!! " 3a a !!!" " 3a a a !!!! a a BM = ( ;0; ), DN = (− ;− ; ), MN = (− ; ;0) 4 4 2 ⎛ ⎞ a a 3a 3a ⎟ !!!! !!!" ⎜ " a 3a 3a 4 4 ⎟ =( ⎡ BM , DN ⎤ = ⎜ ; ; ;− ;− ) ⎣ ⎦ ⎜ 3a a ⎟ 8 a a a 3a − ⎟ − ⎜ − ⎠ 4 ⎝ Ta có, SH = SA.sin 60 = !!!! !!!" !!!! " " ⎡ BM , DN ⎤ MN ⎣ ⎦ = Ta có, d(BM; DN ) = !!!! !!!" " ⎡ BM , DN ⎤ ⎣ ⎦ a2 2a = 4 39 3a 27a 9a + + 64 64 64 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I(1;2), có ! góc BAC = 60 , phương trình đường phân giác góc A x + y − = Tìm toạ độ đỉnh A viết phương trình đường thẳng BC Gọi D giao điểm thứ hai phân giác góc A với đường tròn (ABC) Ta có D điểm cung BC ! ! ! ! ! BDC = 120 , BIC = 2BAC = 120 ⇒ BDC = BIC Do BDCI hình thoi, nên ID cắt BC trung điểm M BC Gọi H hình chiếu vuông góc I lên phân giác AD, H trung điểm AD toạ độ điểm H nghiệm hệ: ⎧x + y − = ⇒ H (0;1) ⎨ ⎩x − y + = Gọi G trọng tâm tam ABC, ta có G trọng tâm tam giác AID, !!!" !!" 1 GH = IH = (− ; ) ⇒ G( ; ) 3 3 !!!! !!! 1 " " 1 1 Gọi A(a;1-a), ta có: GM = AG = ( − a;a − ) ⇒ M ( − a; + a) 2 3 2 2 Vì M trung điểm ID nên D(-a;a-1) 3 Ta có: IA = ID ⇔ (a − 1)2 + (a + 1)2 = (a + 1)2 + (a − 3)2 ⇔ a = ⇒ A(2;−1), M (− ; ), D(−2;1) 2 !!" Suy ra, ID = (−3;−1) Đường thẳng BC qua M vuông góc ID có phương trình 3x + y + = Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng Δ có phương trình x+2 y z−4 , hai mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z − = 0,(Q) : 2x + y − 2z − = Lập phương = = −1 −2 trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc Δ tiếp xúc với hai mặt phẳng (P), (Q) Tâm mặt cầu (S) I , I ∈Δ ⇒ I ( −2 − t ; − 2t ; + 3t ) ( Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P), (Q) ⇔ d I, ( P ) Từ suy ra: I1 = (11 ; ) = d ( I ; (Q )) ⇔ ⎡t = −13 1 9t + = 10t + 16 ⇔ ⎢ 3 ⎣t = −1 26 ; − 35 ) ; I ( −1 ; ; 1) ⇒ R1 = 38 ; R2 = Vậy, có hai mặt cầu cần tìm: (S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382, (S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 =