CẨM NANG CHO MÙA THI CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP w w w b ox ta ilie u ne t (LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN BÀI HỌC 1: HAI QUY TẮC ĐẾM I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Quy tắc cộng Giả sử công việc thực theo phương án A HOẶC phương án B Trong đó: Phương án A có m cách thực Phương án B có n cách thực Vậy số cách để thực công việc m + n (cách) VD1: Trong thi, Ban tổ chức công bố danh sách đề tài : đề tài thiên nhiên; đề tài lịch sử; 10 đề tài người; đề tài văn hóa Hỏi có cách chọn đề tài ? t (ĐS: có + + 10 + = 31 cách chọn) ne VD2: An cần mua áo sơ mi cỡ 39 40 Trong cỡ 39 có màu khác nhau, cỡ 40 có màu khác u Hỏi An muốn mua áo sơ mi có cách chọn ? (ĐS: An có cách chọn) ilie VD3: Tại trường học, có 41 học sinh giỏi văn; 22 học sinh giỏi toán Nhà trường muốn cử học sinh giỏi dự trại hè toàn quốc Vậy nhà trường có cách chọn ? ta (ĐS: Có 41 + 22 = 63 cách chọn) w w w b ox Quy tắc nhân Giả sử môt công việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A có n cách thực công đoạn B có m cách thực công việc thực (n m) cách VD1: Bạn An qua nhà Bình, rủ Bình qua nhà Cường chơi Biết từ nhà An đến nhà Bình có đường khác Từ nhà Bình qua nhà Cường có đường khác Hỏi bạn An muốn tới nhà Cường có cách chọn đường (ĐS: Có 3.4 = 12 cách) VD2: Để làm nhãn cho ghế, người ta quy ước nhãn gồm phần: Phần thứ chữ có 24 chữ cái, phần thứ số nguyên dương nhỏ 26 Hỏi có ghế dán nhãn khác ? (ĐS: Có 24.25 = 600 ghế dán nhãn khác nhau) I BÀI TẬP ÁP DỤNG Phương pháp giải toán : + Xác định xem công việc thực theo phương án hay công đoạn (phân biệt phương án công đoạn) + Tìm số cách thực A B + Áp dụng qui tắc cộng hay nhân Bài 1: An đến văn phòng phẩm mua quà tặng bạn Trong cửa hàng có mặt hàng: Bút, vở, thước Bút có loại, có loại, thước có loại Hỏi An có cách chọn quà gồm bút, thước ? Hướng dẫn: + Có cách chọn bút, ứng với cách chọn bút có cách chọn Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Ứng với cách chọn bút, có cách chọn thước Vậy có: 5.4.3 = 60 cách chọn Bài 2: Từ số tự nhiên, lập tờ vé số mà vé số có chữ số khác ? Hướng dẫn: + số tờ vé số có dạng: a1a2a 3a4a5a6 ; a i ∈ {0;1;2; ;10} ;i = 1;6 a1 có 10 cách chọn (được chọn chữ số đứng đầu) a có cách chọn (do không chọn lại chữ số chọn trước đó) a có cách chọn (do không chọn lại chữ số chọn trước đó) … ne t … a có cách chọn u Vậy tất có: 10.9.8.7.6.5 = 151.200 tờ vé số ilie Bài 3: Trong trường THPT, khối 11 có : 160 học sinh tham gia câu lạc toán, 140 học sinh tham gia câu lạc tin, 50 học sinh tham gia câu lạc Hỏi khối 11 có học sinh ? ta Hướng dẫn: ox Học sinh khối 12 160 + 140 − 50 = 250 học sinh (Quy tắc cộng mở rộng) b Bài 4: Một lớp có 40 học sinh, đăng ký chơi hai môn thể thao bóng đá cầu lông Có 30 thao ? Hướng dẫn: w w học sinh đăng ký bóng đá, 25 học sinh đăng ký cầu lông Hỏi có học sinh đăng ký môn thể w + Goi x số học sinh đăng ký môn thể thao, ta có: 40 = 30 + 25 − x ⇒ x = 15 Vậy có 15 học sinh đăng ký môn thể thao Bài 5: Có kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) kiểu dây (kim loại, da, vải, nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây ? Hướng dẫn: Có 3.4 = 12 (cách) Bài 6: Một người vào cửa hàng ăn, người muốn chọn thực đơn gồm ăn 10 món, loại hoa tráng miệng loại hoa loại nước uống loại nước uống Hỏi có cách chọn thực đơn cho bữa ăn ? Hướng dẫn: + Món ăn có: 10 cách chọn + Ứng với cách chọn ăn, loại hoa chọn từ loại nên có cách chọn Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Ứng với cách chọn ăn loại hoa loại nước uống chọn nên có cách chọn Vậy theo quy tắc nhân ta có: 10.5.4 = 200 cách chọn Bài 7: Trong đội văn nghệ có bạn nam bạn nữ Hỏi có cách chọn đôi song ca nam nữ ? Hướng dẫn: + Chọn nam: có cách chọn + Ứng với cách chọn nam, có cách chọn Vậy tất có 6.8 = 48 cách chọn đôi song ca Bài 8: Từ chữ số 1; 5; 6; lập số tự nhiên : a) Có chữ số ? ne t b) Có chữ số khác ? Hướng dẫn: b) Số cần tìm có dạng: a1a2a3a4 ; ∈ {1;5;6;7} + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn ilie chọn lại) ox lặp lại) + a có cách chọn (Do chữ số chọn không ta + a có cách chọn (Do chữ số giống u a) Số cần tìm có dạng: a1a2a3a4 ; ∈ {1;5;6;7} + a có cách chọn w w Vậy có 4.4.4.4 = 256 số có chữ số b + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 4.3.2.1 = 24 số có chữ số khác Hướng dẫn: w Bài 9: Có số tự nhiên có chữ số đo chữ số cách chữ số đứng giống ? + Gọi số cần tìm có dạng a1a 2a 3a4a5 ; = 0;9 ; a1 = a ;a = a + a1 có cách chọn (do không chọn chữ số 0) + a có 10 cách chọn + a có 10 cách chọn + a = a nên có cách chọn + a = a1 nên có cách chọn Vậy tất có: 9.10.10.1.1 = 900 số thỏa mãn yêu cầu Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 10: Có số tự nhiên có tính chất: a) Là số chẵn có chữ số b) Là số chẵn có chữ số khác c) Là số lẻ có chữ số d) Là số lẻ có chữ số khác Hướng dẫn: c) Số cần tìm có dạng a1a ;ai = 0;9 + a1 có cách chọn (Do không chọn chữ số 0) + a1 có cách chọn (Do không chọn chữ số 0) + a ∈ {0;2;4;6;8} số chẵn nên có cách chọn + a ∈ {1;3;5;7;9} số chẵn nên có cách chọn Vậy tất có 9.5 = 45 số chẵn có chữ số Vậy tất có 9.5 = 45 số lẻ có chữ số b) Ta tìm số chẵn có chữ số giống d) Ta tìm số lẻ có chữ số giống a1a ;a i ∈ { 2;4;6;8} a1a ;a i ∈ {1;3;5;7;9} + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn + a = a1 có cách chọn + a = a1 có cách chọn Vậy có 4.1 = chữ số chẵn có chữ số giống Vậy có 5.1 = chữ số lẻ có chữ số giống ilie + Kết hợp phần c ⇒ có 45 - = 40 số lẻ có chữ số ta + Kết hợp phần a ⇒ có 45 - = 41 số chẵn có chữ u ne t a) Số cần tìm có dạng a1a ;ai = 0;9 khác ox số khác b Bài 11: Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên bé 100 ? w w Hướng dẫn: Số tự nhiên cần tìm tối đa có chữ số * Bước 1: Tìm số tự nhiên có chữ số: Có số w * Bước 2: Tìm số tự nhiên có chữ số Số cần tìm có dạng a1a ;ai = 1;6 + a1 có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 6.6 = 36 số tự nhiên có chữ số Kết luận: Có + 36 = 42 số tự nhiên lập từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; nhỏ 100 Bài 12: Có số nguyên dương gồm không chữ số khác ? Hướng dẫn: * Bước 1: Tìm số nguyên dương có chữ số: Có số * Bước 2: Tìm số nguyên dương có chữ số khác Số cần tìm có dạng a1a ;ai = 0;9 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + a1 có cách chọn (do không chọn chữ số 0) + a có 10 - = cách chọn Vậy có 9.9 = 81 số nguyên dương có chữ số khác * Bước 3: Tìm số nguyên dương có chữ số khác Số cần tìm có dạng a1a 2a ;ai = 0;9 + a1 có cách chọn (do không chọn chữ số 0) + a có 10 - = cách chọn + a có cách chọn Vậy có 9.9.8 = 648 số nguyên dương có chữ số khác ne t Kết luận: Vậy có + 81 + 648 = 738 số nguyên dương gồm không chữ số khác Có cách chọn : ilie a) Chọn học sinh, có học sinh nữ chọn u Bài 13: Một tổ có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên chủ nhiệm chọn học sinh để trực thư viên b) Trong học sinh chọn có học sinh nữ chọn ta Hướng dẫn: ox a) + Để chọn học sinh nữ học sinh nữ có: cách b + Để chọn học sinh có: cách (chỉ chọn số học sinh nam) w w + Để chọn học sinh cuối có: cách b) w Vậy có 4.6.5 = 120 cách chọn học sinh có học sinh nữ * Trường hợp 1: Trong học sinh chọn, có học sinh nữ : Có 120 cách (theo a) * Trường hợp 2: Trong học sinh chọn có học sinh nữ: + Chọn nữ thứ nhất: có cách + Chọn nữ thứ hai: có cách + Chọn nam: có cách Vậy có: 4.3.6 = 72 cách * Trường hợp 3: Cả học sinh chọn nữ: có 4.3.2 = 24 cách chọn Kết luận: Tất có 120 + 72 + 24 = 216 cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 14: Một đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách bước lên tàu Hỏi : a) Có trường hợp cách chọn toa hành khách ? b) Có trường hợp mà toa có người lên ? c) Có trường hợp mà toa có người lên, toa có người lên hai toa lại lên ? Hướng dẫn: b) + Người thứ nhất: có cách chọn + Người thứ nhất: có cách chọn + Người thứ hai: có cách chọn + Người thứ hai: có cách chọn + Người thứ ba: có cách chọn + Người thứ ba: có cách chọn + Người thứ tư: có cách chọn + Người thứ tư: có cách chọn Vậy tất có 4.4.4.4 = 256 cách chọn Vậy tất có 4.3.2.1 = 14 cách chọn c) c) người người lại cho vào nhóm) Vậy có ilie + Chia người thành nhóm: Nhóm I: có người, u ne t a) cách chia nhóm + Sau hành khách lại lên chung toa có Cách khác: + Hành khách lên toa có cách chọn ox ta nhóm II: có người (Ta chia cách chọn cách chọn khoang: Vậy ta có 4.3 = 12 cách - Nhóm II: Có cách xếp w w - Nhóm I: Có cách xếp b + Với cách chia nhóm xếp nhóm vào + Vì vai trò hành khách nên trường hợp có tất 12.4 = 48 cách w + Như có 4.3 = 12 cách xếp cho cách chia nhóm, mà có cách chia nhóm Kết luận: Vậy tất có 12.4 = 48 cách Bài 15: Biển đăng ký xe ô tô có chữ số chữ 26 chữ (Không dùng chữ I O) Hỏi số ô tô đăng ký nhiều ? Hướng dẫn: + chữ 24 chữ nên có : 24.24 = 576 cách chọn + Chữ số khác nên có cách chọn + chữ số lại không thiết phải khác lặp lại nên có : 10.10.10.10.10 = 100.000 cách chọn Vậy tất có: 576.9.100000 = 518.400.000 số ô tô đăng ký Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 16: Cho chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Có số gồm chữ số khác viêt từ chữ số cho ? Hướng dẫn: Gọi số cần tìm a1a2a3a4 + a1 có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 7.6.5.4 = 840 số thỏa mãn + a có cách chọn + a có cách chọn ne t Bài 17: Cho số 1; 2; 5; 7; Có cách lập số gồm chữ số khác từ chữ số cho số tạo thành số chẵn ? u Hướng dẫn: ilie Gọi số cần tìm n = a1a 2a Vậy có 2.4.3 = 24 số thỏa mãn ox + a có cách chọn ta Để n chẵn a ∈ { 2;8} + a1 có cách chọn w w b + a có cách chọn Bài 18: Với chữ số từ đến 5, ta lập số chẵn mà số gồm chữ số khác ? TH1: a = có cách w Hướng dẫn: Gọi số cần tìm : n = a1a 2a 3a4a5 TH2: a ≠ có cách (Do a5 ∈ { 2;4} ) + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 1.5.4.3.2 = 120 số thỏa mãn Vậy có 2.4.4.3.2 = 192 số thỏa mãn Kết luận: Có tất 120 + 192 = 312 số thỏa mãn yêu cầu toán Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Cách khác: + Gọi số tự nhiên CÓ CHỮ SỐ KHÁC NHAU là: n = a1a 2a 3a4a5 + a1 có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 5.5.4.3.2 = 600 số tự nhiên có chữ số khác + a có cách chọn ne + Gọi số tự nhiên LẺ CÓ CHỮ SỐ KHÁC NHAU là: m = b1b 2b 3b 4b + b có cách chọn u (Do b ∈ {1;3;5} ) ilie + b1 có cách chọn (Do b1 ≠ ) t + a có cách chọn ta Vậy có 3.4.4.3.2 = 288 số tự nhiên lẻ có chữ số khác ox + b có cách chọn + b có cách chọn b + b có cách chọn w w Kết luận: Vậy số chẵn thỏa mãn yêu cầu toán : 600 - 288 = 312 số Bài 19: Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; lập số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác ? TH1: a = có cách w Hướng dẫn: Gọi số cần tìm : n = a1a 2a 3a4a5 TH2: a ≠ có cách (Do a5 ∈ { 2;4;6} ) + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 1.6.5.4.3 = 360 số thỏa mãn Vậy có 3.5.5.4.3 = 900 số thỏa mãn Kết luận: Có tất 300 + 900 = 1260 số thỏa mãn yêu cầu toán Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Cách khác: + Gọi số tự nhiên CHẴN CÓ CHỮ SỐ KHÁC NHAU là: n = a1a 2a 3a4a5 TH1: a = có cách TH2: a = có cách + a1 có cách chọn + a1 có cách chọn + a có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn + a có cách chọn Vậy có 1.6.5.4.3 = 360 số thỏa mãn + a có cách chọn ne Tương tự TH3: a = ; TH4: a = trường hợp có 300 số t Vậy có 1.5.5.4.3 = 300 số thỏa mãn u Kết luận: Vậy tất có 360 + 300.3 = 1260 số thỏa mãn yêu cầu toán ilie Bài 20: Có 100.000 vé số đánh số từ 00000 đến 99999 Hỏi có vé số gồm chữ số khác ? ta Hướng dẫn: Gọi n = a1a 2a 3a4a5 số in vé số thỏa mãn yêu cầu toán b + a có cách chọn ox + a1 có 10 cách chọn Vậy có 10.9.8.7.6 = 30.240 vé số thỏa mãn w w + a có cách chọn + a có cách chọn w + a có cách chọn Bài 21: Có số tự nhiên có chữ số thỏa mãn chữ số thứ chẵn, chữ số cuối chia hết cho 3, chữ số thứ khác ? Hướng dẫn: Gọi n = a1a 2a 3a4a5a6a7 số cần tìm + a có cách chọn (Do a ∈ {0;2;4;6;8} ) + a có cách chọn (Do a7 ∈ { 3;6;9} ) + a1 có cách chọn (Do a1 ≠ ) + a có 10 cách chọn + a có 10 cách chọn Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 7: Có tem bì thư Chọn tem để dán vào bì thư, bì thư dán tem Hỏi có cách dán ? HƯỚNG DẪN + Chọn tem có C cách + Chọn bì thư có C5 cách + Số cách dán 3! cách 3 Vậy có C8 C5 3! = 3360 cách Bài 8: Có bưu thiếp khác nhau, bì thư khác Chọn bưu thiếp bỏ vào bì thư, bì thư bưu thiếp gửi cho người bạn, người bạn bưu thiếp Hỏi có cách ? HƯỚNG DẪN ne u + Chọn bì thư từ bì thư có C6 cách + Ghép bưu thiếp với bì thư có 3! cách + Trao bì thư (đã có bưu thiếp bên trong) cho người có 3! cách 3 Vậy có C5 C6 3!.3! = 7.200 cách t + Chọn bưu thiếp từ bưu thiếp có C cách ta ilie Bài 9: Tại thi “Theo dòng lịch sử”, BTC sử dụng thẻ vàng thẻ đỏ, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi có cách xếp tất thẻ thành hàng cho thẻ màu không nằm cạnh ? w w w b ox HƯỚNG DẪN Hai thẻ màu không nằm liền tức nằm xen kẽ nhau, ta có TH sau : + TH1: Xếp thẻ vàng vị trí lẻ : - Xếp thẻ vàng thứ có cách - Xếp thẻ vàng lại có 6! cách - Xếp thẻ đỏ xen kẽ vào chỗ trống có 7! cách + TH2: Xếp thẻ đỏ vị trí lẻ : - Xếp thẻ đỏ thứ có cách - Xếp thẻ đỏ lại có 6! cách - Xếp thẻ vàng xen kẽ vào chỗ trống có 7! cách Đáp số: Vậy có 7.6!.7! + 7.6!.7! = 50.803.200 cách Bài 10: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu TB, câu khó Người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, TB, khó Hỏi lập đề kiểm tra ? HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C10 cách 20 * Bước 2: Chọn 10 câu không thỏa mãn yêu cầu, ta có TH sau: + TH1: Chọn 10 câu dễ TB 16 câu có C10 cách 16 + TH2: Chọn 10 câu dễ khó 13 câu có C10 cách 13 + TH3: Chọn 10 câu TB khó 11 câu có C10 cách 11 ( ) Kết luận: có C10 − C10 + C10 + C10 = 176451 đề kiểm tra thỏa mãn yêu cầu 20 16 13 11 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 43 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP (Chú ý: 9; 7; < 10 nên TH đề kiểm tra có loại câu hỏi) Bài 11: Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu TB câu khó Người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ - TB - khó Hỏi có cách lập đề kiểm tra ? HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn câu 20 câu ta có C7 cách chọn 20 * Bước 2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu, có trường hợp sau + TH1: câu toàn dễ có C7 cách + TH2: câu toàn TB có C7 cách ( ) 7 + TH3: câu dễ TB có C16 − C9 + C7 cách ne t (Giải thích: Sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn câu 16 câu có C16 cách B2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu có TH + TH1: câu toàn dễ có C7 cách ( u + TH2: câu toàn TB có C7 cách ) ta + TH4: câu dễ khó có C13 − C7 cách (Giải thích: Sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn câu 13 câu có C13 cách ilie 7 Vậy để chọn câu dễ TB có C16 − C9 + C7 cách ) ox B2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu chọn câu toàn dễ có C7 cách Vậy để chọn câu dễ khó có C13 − C7 cách ) w w b 7 + TH5: Chọn câu TB khó có C11 − C7 cách (Giải thích: Sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn câu 11 câu có C11 cách B2: Chọn câu không thỏa mãn yêu cầu chọn câu toàn khó có C7 cách w Vậy để chọn câu TB khó có C13 − C7 cách ) 7 7  Kết luận: có C7 − C7 + C7 + C16 − C7 + C7 + C13 − C7 + C11 − C7  = 64071 đề kiểm tra 20 9 Chú ý: Bài tập đề kiểm tra có câu (7 = 7; < 9) nên lập đề toàn câu dễ, toàn câu TB Bài 12 (KB - 2004): Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm khó, 10 TB, 15 dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, TB, dễ) số câu hỏi dễ không ? ( ) HƯỚNG DẪN + Vì đề có câu gồm đủ loại (khó, TB, dễ), số câu dễ không ⇒ số câu dễ 2; (không thể 4), ta có TH sau : 2 - TH1: Chọn câu dễ, TB, khó có C15 C10 C1 cách 2 - TH2: Chọn câu dễ, TB, khó có C15 C10 C5 cách - TH3: Chọn câu dễ, TB, khó có C15 C10 C1 cách Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 44 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 2 2 Vậy có C15 C10 C1 + C15 C10 C5 + C15 C10 C1 = 56.875 đề kiểm tra 5 Bài 13: Đội tuyển HSG trường gồm 18 em, em khối 12, em khối 11, em khối 10 Tính số cách chọn em đội tuyển dự trại hè cho khối em chọn HƯỚNG DẪN Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn em ta có: C18 cách * Bước 2: Chọn em không thỏa mãn yêu cầu, có TH sau: + TH1: em toàn khối 12 có C6 cách + TH2: em toàn khối 11 có C6 cách ( ) 6 + TH3: em toàn khối 12 khối 11 có C13 − C7 + C6 cách + TH2: em toàn khối 11 có C6 cách ( ) u ne t (Giải thích: sử dụng phương pháp phần bù B1: Chọn em có C13 cách B2: Chọn em không thỏa mãn yêu cầu có TH sau: + TH1: em toàn khối 12 có C6 cách + TH4: em toàn khối 12 khối 10 có C12 − C6 cách ta 6 + TH5: em toàn khối 11 khối 10 có C11 − C6 cách ilie 6 Vậy chọn em toàn khối 12 khối 11 có C13 − C7 + C6 cách ) 6 6 6  Kết luận: có C18 −  C6 + C6 + C13 − C6 + C6 + C12 − C6 + C11 − C6  = 15470 cách chọn 7 Bài 14: Từ nhóm gồm 30 học sinh (15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C), chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A có học sinh khối C Tính số cách chọn ? ox ) b ( w w w HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh lại tùy ý từ 25 học sinh (thuộc khối A B) có C5 C13 25 cách * Bước 2: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh lại chọn từ 25 học sinh (thuộc khối A B) không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn học sinh khối C, học sinh khối A, học sinh khối B có C5 C15 C10 cách + TH2: Chọn học sinh khối C, học sinh khối A, 10 học sinh khối B có C5 C13 C10 cách 10 (các TH chọn học sinh khối A, 11 học sinh khối B không tồn 11 > 10 …) 2 Đáp số: có C5 C13 - ( C5 C15 C10 + C5 C13 C10 ) = 51.861.950 cách 25 10 Bài 15: Từ nhóm gồm 12 học sinh (4 học sinh khối A, học sinh khối B, học sinh khối C) chọn học sinh cho khối học sinh Tính số cách chọn HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh tùy ý 12 học sinh có C12 cách * Bước 2: Chọn học sinh không thỏa mãn yêu cầu toán: + TH1: học sinh gồm khối A B có C5 cách + TH2: học sinh gồm khối A C có C5 cách Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 45 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + TH3: học sinh gồm khối B C có C5 cách Đáp số: Vậy có C12 - C5 = 624 cách Bài 16: (ĐHKD - 2006) Đội niên xung kích trưởng phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh tham gia trực tuần, cho học sinh không lớp nói Hỏi có cách chọn ? t HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 12 học sinh có C12 = 495 cách * Bước 2: Chọn học sinh không thỏa mãn yêu cầu đề (đủ lớp) có 2 C1 C1 C3 + C1 C4 C1 + C5 C1 C1 = 270 cách 5 Đáp số: Vậy có 495 - 270 = 225 cách Bài 17: Một đội văn nghệ có 20 người 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho có nam có nữ ? ilie u ne HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn người 20 người có C5 cách 20 * Bước 2: Chọn người không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn người toàn nữ có C10 cách + TH2: Chọn người toàn nam có C10 cách ta + TH3: Chọn nam nữ có C1 C10 cách 10 5 Đáp số: Vậy có C5 - ( C10 + C10 + C1 C10 ) = 12.900 cách 20 10 w w b ox Bài 18: Lớp 11A Tuấn có 11 học sinh nam 18 học sinh nữ a) Có cách chọn đội văn nghệ gồm 10 người đủ nam nữ b) Chọn đội trực nhật gồm 13 người, có tổ trưởng Hỏi có cách chọn Tuấn có mặt tổ thành viên ? HƯỚNG DẪN w a) Sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn 10 người 29 người có C10 cách 29 * Bước 2: Chọn 10 người không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn 10 người toàn nam có C10 cách 11 + TH2: Chọn 10 người toàn nữ có C10 cách 18 Đáp số: Vậy có C10 - ( C10 + C10 ) = 19986241 cách 29 11 18 b) + Chọn Tuấn có mặt đội có cách + Chọn tổ trưởng có C1 cách 28 + Chọn 11 thành viên lại có C11 27 Vậy có C1 C11 = 216332480 cách 28 27 Bài 19: Một trường trung học có thầy dạy Toán, thầy dạy Lý thầy dạy Hóa Chọn từ thầy dự đại hội Hỏi có cách chọn để có đủ môn ? HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 46 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP * Bước 1: Chọn thầy 17 thầy có C17 cách * Bước 2: Chọn thầy không thỏa mãn yêu cầu : + TH1: Chọn thầy dạy Toán + Lý có C13 cách + TH2: Chọn thầy dạy Toán + Hóa có C11 cách + TH3: Chọn thầy dạy Lý + Hóa có C10 cách + TH4: Chọn thầy dạy Toán có C5 cách + TH5: Chọn thầy dạy Lý có C5 cách 5 5 Đáp số: Vậy có C17 - ( C13 + C11 + C10 + C5 + C5 ) = 4214 cách Bài 20 (KB - 2005): Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ ? HƯỚNG DẪN 4 Vậy có ( C12 C1 ).( C12 C1 ).( C12 C1 ) = 207.900 cách ne ilie + Chọn đội niên tình nguyện cho tỉnh C có C12 C1 cách u + Chọn đội niên tình nguyện cho tỉnh B có C12 C1 cách t + Có tỉnh miền núi, ta gọi A, B, C + Tất có 15 người, chia cho tỉnh, tỉnh người + Chọn đội niên tình nguyện cho tỉnh A có C12 C1 cách b ox ta Bài 21: Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ, nhà Vật lý nam Muốn lập đoàn công tác có người gồm nam lẫn nữ, cần có nhà Toán học lẫn Vật lý Hỏi có cách thành lập đoàn công tác ? HƯỚNG DẪN + TH1: Chọn nhà Toán học nam + nhà Toán học nữ + nhà Vật lý nam có C1 C1 C1 cách + TH2: Chọn nhà Toán học nữ + nhà Vật lý nam có C2 C1 cách w w + TH3: Chọn nhà Toán học nữ + nhà Vật lý nam có C1 C4 cách Vậy có C1 C1 C1 + C2 C1 + C1 C4 = 90 cách 4 w Bài 22: Một đội văn nghệ có 15 người gồm : 10 nam nữ Hỏi có cách lập đội văn nghệ gồm người cho có nữ ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn người 15 người có C15 cách * Bước 2: Chọn người không thỏa mãn yêu cầu (tức nữ) + TH1: Chọn nữ (toàn nam) có C10 cách + TH2: Chọn nữ có C1 C10 cách + TH3: Chọn nữ có C5 C10 cách 8 Vậy có C15 - ( C10 + C1 C10 + C5 C10 ) = 3.690 cách Bài 23: Lớp 11A Tiến có 30 học sinh a) Hãy chọn lớp Tiến tổ trực nhật có 11 người có tổ trưởng, lại thành viên Hỏi có cách chọn Tiến có mặt tổ ? Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 47 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP b) Hãy chọn lớp Tiến đội văn nghệ có người, có đội trưởng, thư ký thành viên Hỏi có cách chọn Tiến có mặt đội ? HƯỚNG DẪN a) Khi Tiến có mặt tổ Tiến tổ trưởng thành viên + TH1: Nếu Tiến tổ trưởng : - Chọn Tiến làm tổ trưởng có cách - Chọn 10 thành viên lại có C10 cách 29 + TH2: Nếu Tiến thành viên : - Chọn Tiến thành viên có cách - Chọn tổ trưởng có C1 cách 29 - Chọn thành viên lại có C9 cách 28 u ne t Vậy tất có C10 + C1 C9 = 220.330.110 cách 29 29 28 b) Khi Tiến có mặt tổ Tiến tổ trưởng, thư ký thành viên + TH1: Nếu Tiến tổ trưởng : - Chọn Tiến làm tổ trưởng có cách - Chọn thư ký có C1 cách 29 ta ox w w - Chọn thư ký có C1 cách 28 b - Chọn thành viên lại có C6 cách 28 + TH3: Nếu Tiến thành viên : - Chọn Tiến thành viên có cách - Chọn tổ trưởng có C1 cách 29 ilie - Chọn thành viên lại có C6 cách 28 + TH2: Nếu Tiến thư ký : - Chọn Tiến thư ký có cách - Chọn tổ trưởng có C1 cách 29 - Chọn thành viên lại có C5 cách 27 Vậy tất có C1 C6 + C1 C6 + C1 C1 C5 = 87.403.680 cách 29 28 29 28 29 28 27 w Bài 24: Một tổ có học sinh gồm nữ nam Hỏi có cách xếp học sinh tổ đứng thành hàng dọc để vào lớp cho : a) Các bạn nữ đứng chung với b) Nam nữ không đứng chung HƯỚNG DẪN a) + Ta coi bạn nữ đứng chung với nhóm X + Ta xếp nhóm X với bạn nam coi bạn nên có 4! cách + Tuy nhiên bạn nữ nhóm X có 5! cách xếp Vậy có 4!.5! = 2880 cách b) Nam nữ không đứng chung nghĩa xếp nam trước đến nữ ngược lại + Coi bạn nam đứng riêng với nhóm Y, bạn nữ đứng riêng với nhóm X + Vậy ta coi xếp học sinh X Y nên có 2! cách + Tuy nhiên bạn nam nhóm Y có 3! cách xếp, bạn nữ nhóm X có 5! cách xếp Vậy có 2!.3!.5! = 1440 cách Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 48 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 25: Đội văn nghệ trường gồm 10 học sinh có bạn Lan, Hằng, Nga học lớp Hỏi có cách xếp đội văn nghệ thành hàng dọc cho bạn Lan, Hằng, Nga đứng cạnh ? HƯỚNG DẪN + Ta coi bạn Lan, Hằng, Nga đứng cạnh nhóm X + Vậy xếp nhóm X với học sinh lại coi học sinh nên có 8! cách + Tuy nhiên học sinh nhóm X lại có 3! cách xếp Vậy có 8!.3! = 241.920 cách Bài 26: Một đoàn tàu có toa chở khách Trên sân ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Biết toa có chỗ trống a) Hỏi có cách xếp hành khách lên tàu ? b) Hỏi có cách xếp hành khách lên tàu để có toa có vị khách ? ta ilie u ne t HƯỚNG DẪN a) Để vị khách lên tàu, ta cần chọn chỗ trống 12 chỗ trồng (do toa, toa chỗ) tàu, không liên quan đến thứ tự nên có C12 = 495 cách b) + Chọn nhóm vị khách từ vị khách ta có C4 cách chọn + Nhóm vị khách lên tàu chọn toa tàu nên có cách chọn + Vị khách lại lên tàu chọn toa tàu (không chọn toa chứa hành khách kia) nên có cách chọn Vậy có C4 3.2 = 24 cách w w b ox Bài 27: Một đoàn tàu có toa đỗ sân ga Có hành khách bước lên tàu a) Có trường hợp cách chọn toa hành khách ? b) Có trường hợp mà toa có người lên ? c) Có trường hợp mà toa có người lên, toa có người lên toa lại lên ? HƯỚNG DẪN w a) - Người thứ có cách chọn toa - Người thứ hai có cách chọn toa - Người thứ ba có cách chọn toa - Người thứ tư có cách chọn toa Vậy có 4.4.4.4 = 256 cách chọn b) - Chọn vị trí để xếp người thứ lên toa có C1 cách - Chọn vị trí để xếp người thứ hai lên toa lại có C1 cách - Chọn vị trí để xếp người thứ ba lên toa lại có C1 cách - Chọn vị trí để xếp người cuối lên toa cuối có C1 cách Vậy có C1 C1 C1 C1 = 24 cách c) + Chọn nhóm vị khách từ vị khách ta có C4 cách chọn + Nhóm vị khách lên tàu chọn toa tàu nên có cách chọn Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 49 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Vị khách lại lên tàu chọn toa tàu (không chọn toa chứa hành khách kia) nên có cách chọn Vậy có C4 4.3 = 48 cách Bài 28: Cần chia 18 học sinh lớp thành nhóm sinh hoạt (không cần đặt tên cho nhóm, không quy định thứ tự), nhóm có học sinh Hỏi có cách chia ? HƯỚNG DẪN * Nhóm I: Chọn học sinh từ 18 học sinh có C18 cách * Nhóm II: Chọn học sinh từ 12 học sinh lại có C12 u ne t * Nhóm III: Chọn học sinh từ học sinh cuối có C6 * Tuy nhiên, đề cho nhóm không đặt tên, không quy định thứ tự nên hoán đổi nhóm có 3! trường hợp lặp lại C6 C6 C6 Vậy có 18 12 = 2.858.856 cách 3! Bài 29: Trong tổ học sinh lớp 11A có nam nữ Thầy giáo muốn chọn học sinh để làm trực nhật lớp học, phải có học sinh nam Hỏi thầy giáo có cách chọn ? ox 3 Vậy có C12 - C4 = 216 cách ta * Bước 2: Chọn học sinh toàn nữ có C4 cách ilie HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 12 học sinh có C12 cách b Bài 30 (KA - 2004) : Một lớp có 30 học sinh, có cán lớp Có cách chọn em lớp để trực nhật tuần cho em có cán lớp ? w w HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 30 học sinh có C3 cách 30 * Bước 2: Chọn học sinh không cán lớp 30 - = 27 học sinh có C3 cách 27 w Vậy có C3 - C3 = 1.135 cách 30 27 Bài 31 : Ở trường tiểu học có 50 em học sinh giỏi, có cặp em sinh đôi Cần chọn học sinh số 50 em để dự trại hè Hỏi có cách chọn mà cặp sinh đôi ? HƯỚNG DẪN : sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Chọn học sinh 50 học sinh có C50 cách * Bước 2: Chọn học sinh không thỏa mãn yêu cầu : (Tức chọn học sinh có cặp sinh đôi - cặp tối đa, cặp < 4) + Chọn cặp sinh đôi có cách + Chọn học sinh lại 48 em có C1 cách 48 Vậy có C50 - C1 = 19.408 cách 48 Bài 32: Trên giá sách có 10 sách giáo khoa sách tham khảo a) Có cách lấy sách có sách giáo khoa ? b) Có cách lấy sách sách giáo khoa ? Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 50 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP HƯỚNG DẪN a) Lấy sách có sách giáo khoa có sách tham khảo nên có C10 C4 = 1575 cách b) Lấy sách sách giáo khoa lấy ; ; ; sách SGK nên ta có C10 C7 + C10 C7 + C10 C1 + C10 C0 = 14232 cách 7 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN LẬP SỐ - CHỌN SỐ Bài 1: Có thể lập thành số có chữ số, chữ số chữ số có mặt lần, chữ số 2, 3, 4, có mặt lần ? t HƯỚNG DẪN Bài tập số cần lập có chữ số lấy từ chữ số {1; 6; 2; 3; 4; 5} (không có chữ số 0) + Chọn vị trí để xếp chữ số có mặt lần có C8 cách u ne + Chọn vị trí để xếp chữ số có mặt lần có C6 cách + vị trí lại cho chữ số lại có 4! cách 2 Vậy có C8 C6 4! = 10.080 cách ox ta ilie Bài 2: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} a) Từ tập hợp A lập số có 12 chữ số cho chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, lại chữ số khác có mặt lần ? b) Từ tập hợp A lập số có chữ số cho có chữ số lặp lại lần, chữ số khác lặp lại lần chữ số khác với hai số ? HƯỚNG DẪN b a) + Chữ số có mặt lần số có 12 chữ số nên có C12 cách chọn vị trí cho chữ số w w w + Chữ số có mặt lần số 12 - = vị trí lại nên có C4 cách chọn vị trí cho chữ số + Còn chữ số cuối xếp vào vị trí nên có 5! cách Vậy có C12 C4 5! = 3.326.400 cách b) + Có C4 cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại lần Tuy nhiên chữ số lặp lại lần ta chưa biết số nên có TH xảy ra, có 7.C4 cách + Có C2 cách chọn vị trí cho chữ số lặp lại lần Tuy nhiên chữ số lặp lại lần ta chưa biết số nên có TH xảy ra, có 6.C2 cách + Còn chữ số cuối xuất lần nên có cách chọn Vậy có ( 7.C4 ).( 6.C2 ).5 = 22050 số Bài 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số ? HƯỚNG DẪN + Ta coi chữ số đứng cạnh “chữ số kép” X Bài toán trở thành có số tự nhiên có chữ số khác lập từ chữ số X, 0, 1, 4, Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 51 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Gọi số có chữ số cần tìm a1a 2a 3a4a5 - Chữ số a1 ≠ nên có cách chọn - Các chữ số lại có 4! cách + Tuy nhiên chữ số X lại có 2! cách xếp Vậy có 4.4!.2! = 192 số thỏa mãn Bài 4: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn ? HƯỚNG DẪN + Gọi số cần tìm có dạng a1a2a 3a4a5a6 + Vì a + a + a = ⇒ {a ,a4 ,a5 } ∈ {1, 2, 5} ;{1, 3, 4} nên có 2.3! cách chọn + chữ số lại có A cách t Vậy có 2.3! A = 1440 số thỏa mãn yêu cầu HƯỚNG DẪN ilie Gọi a1a 2a 3a4a5 số cần tìm u ne Bài 5: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác mà số lập nhỏ 25000 ? ta + TH1: a1 = có cách chọn, a5 ∈ {0, 2, 4,6} có cách chọn, chọn chữ số điền vào vị trí lại có A cách + TH2: a1 = có khả xảy : ox - Nếu a ≠ ⇒ a5 ∈ {0;4} có cách chọn, a < ⇒ a ∈ {0;1;3} (không chọn lại 2) có cách chọn, chọn b 2 chữ số xếp vào vị trí lại có A cách - Nếu a = có cách chọn , a < ⇒ a ∈ {0;1;3;4} (không chọn lại 2) có cách chọn, chọn chữ số xếp w w vào vị trí lại có A cách 2 Đáp số: Vậy có 1.4 A + 1.2.3 A + 1.1.4 A = 360 số thỏa mãn yêu cầu w (Chú khi làm TH2 gộp a5 ∈ {0;4;6} để xét chung số > nên rơi vào vị trí a không thỏa mãn) Bài 6: Từ chữ số 2, 3, lập số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số ? HƯỚNG DẪN Gọi số có chữ số cần tìm a1a 2a 3a4a5 Do = + + = 1+ + nên có TH sau xảy thỏa mãn yêu cầu : ( ) + TH1: số có vị trí, số lại có vị trí có: C5 C2 = 90 số (vì không xác định rõ vị trí cho số nào, mà đề ta có số, kết phải nhân 3) ( ) + TH2: số có vị trí, số lại có vị trí có C1 C1 3 = 60 Vậy có 90 + 60 = 150 số thỏa mãn yêu cầu toán Bài 7: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ? Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 52 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + TH1: Nếu chữ số thứ có cách xếp, xếp chữ số lại vào vị trí có C7 cách, vị trí lại có 5! cách xếp + TH2: Nếu chữ số thứ khác có cách chọn (do chọn từ {2, 3, 4, 5}) Xếp chữ số vào vị trí có C7 cách, xếp chữ số lại có 4! cách Đáp số: Vậy có C7 5! + C7 4! = 5880 cách Bài 8: Có số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt không lần ? HƯỚNG DẪN + Gọi số cần tìm a1a 2a 3a4a5a6a7 + Chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí có C7 cách ilie u ne t + Chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí lại có C5 cách + Còn vị trí cuối xếp chữ số cuối có 8.7 cách (2 chữ số khác chữ số chọn khác nhau) Vậy có C7 C5 8.7 = 11760 số + Ta thấy 11760 số vừa tìm “gần thỏa mãn” yêu cầu toán có chứa số tự nhiên có chữ số mà chữ số đứng đầu (tức số có chữ số), ta cần loại chúng cách xét : a1 = ⇒ Chọn vị trí cho chữ số xuất lần vị trí có C6 cách, chọn vị trí cho chữ số xuất ta 3 lần vị trí có C4 cách vị trí cuối xếp chữ số lại có cách (1; 4; 5; 6; 7; 8; 9) Vậy có ox C6 C4 = 420 số Đáp số: có 11760 - 420 = 11.340 số thỏa mãn yêu cầu b CÁCH KHÁC w w * TH1 : Số có chữ số + Đặt chữ số 0, có cách đặt + Đặt chữ số vào ô, có C6 cách đặt + Đặt chữ số vào ô, có C4 cách đặt w + Đặt chữ số số chữ số vào ô lại có C1 cách đặt Do TH1 số số thỏa mãn C6 C4 C1 = 2520 số * TH2: Số chữ số + Đặt chữ số vào ô, có C7 cách đặt + Đặt chữ số vào ô, có C5 cách đặt + Đặt chữ số số chữ số vào ô lại có A cách đặt Do TH2 số số thỏa mãn C7 C5 A = 8820 số Vậy số số thỏa mãn yêu cầu toán 2520 + 8820=11340 số Bài 9: Từ chữ số 0, 1, 2, …, lập số gồm chữ số khác cho chữ số có mặt chữ số ? Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 53 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + Chọn vị trí để xếp số có cách + Chọn tiếp vị trí để xếp số vào có cách + Còn vị trí, số Lấy số từ số để xếp vào vị trí lại có A cách Vậy có 5.5 A = 42.000 cách Bài 10: Biển số xe dãy gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau : Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, C, …, Z Các chữ số chọn từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Có biển số xe có chữ khác nhau, đồng thời có chữ số lẻ chữ số lẻ giống ? HƯỚNG DẪN + Biển số xe có dạng A1 A 2a1a 2a 3a ; A i ∈ { A, B,C, , Z} ,a i ∈ {0,1, 2, 3, , 9} u ne t + Chọn chữ khác có A cách 26 + Chọn số lẻ giống co cách (do chọn từ 1, 3, 5, 7, 9) + Chọn vị trí để đặt chữ số lẻ giống có C4 cách + Sắp xếp số chẵn từ số (0, 2, 4, 6, 8) vào vị trí lại có 5.5 cách Vậy có A C4 5.5 = 487.500 biển số xe thỏa mãn yêu cầu 26 ilie Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN ĐẾM TRONG HÌNH HỌC ta Bài 1: Xét đa giác có n cạnh, biết số đường chéo gấp đôi số cạnh Tính số cạnh đa giác b ⇒ số đường chéo n - giác Cn − n ox HƯỚNG DẪN + Chon n đỉnh n - giác ta có cạnh đường chéo ⇒ tổng số cạnh số đường chéo n - giác Cn w w + Theo đề ta có phương trình: Cn − n = 2n ⇔ n = Vậy đa giác có cạnh n ( n − 3) w (Bài dùng công thức tính số đường chéo n - giác n (n − 3) (lớp 8), ta có phương trình = 2n ⇔ n = ) Bài 2: Tính số hình chữ nhật tạo thành từ 20 đỉnh đa giác có 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O HƯỚNG DẪN + Ta thấy hình chữ nhật nội tiếp đường tròn tâm O tạo thành từ đường chéo qua tâm O đa giác 20 cạnh nói + Mà đa giác 20 cạnh nội tiếp đường tròn tâm O có 10 đường chéo qua tâm ⇒ số hình chữ nhật cần tìm C10 = 45 Bài 3: (ĐHKB - 2002) Cho đa giác A1 A A 2n ( n ≥ 2;n ∈ Z ) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 ; A ; ;A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 ; A ; ;A 2n , tìm n Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 54 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP HƯỚNG DẪN + Theo ta có số hình chữ nhật tạo thành từ đa giác 2n cạnh nội tiếp đường tròn (O) Cn + Số tam giác tạo thành từ 2n đỉnh đa giác nói C3 2n + Theo đề ta có phương trình C3 = 20.Cn ⇔ n = 2n Bài 4: Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh đa giác H có 10 cạnh a) Có tất tam giác ? Có tam giác có cạnh H ? b) Có tam giác có cạnh H ? Có tam giác cạnh H ? HƯỚNG DẪN a) + Có C10 tam giác có đỉnh đỉnh H + Tam giác có cạnh cạnh H tạo đỉnh liên tiếp đa giác H ( A1 A A A10 ) Đó ilie u ne t tam giác : ∆A1 A A ; ∆A A A ; ∆A A A ; ; ∆A A10 A1 ; ∆A10 A1 A nên có 10 tam giác b) + Tam giác có cạnh H tạo cách: chọn cạnh H (bỏ đỉnh) nối với đỉnh H Vậy ứng với cạnh H nối với đỉnh có tam giác thỏa mãn Mà H có 10 cạnh nên có 6.10 = 60 tam giác thỏa mãn + Kết hợp phần a) ta có số tam giác cạnh H : C10 − ( 10 + 60 ) = 50 tam giác ox ta Bài 5: Cho 15 điểm mặt phẳng, điểm thẳng hàng Xét tập hợp đường thẳng qua 15 điểm cho Số giao điểm khác 15 điểm cho đường thẳng tạo thành ? w w w b HƯỚNG DẪN + Số đường thẳng tạo thành từ 15 điểm C15 = 105 + Để tìm số giao điểm khác 15 điểm cho đường thẳng tạo thành ta sử dụng phương pháp phần bù : * Bước 1: Nếu coi đường thẳng có giao điểm ta có C105 giao điểm * Bước 2: Vì số giao điểm khác 15 điểm ta thấy rằng: - Chọn 15 điểm có 14 đường thẳng qua (vì điểm thẳng hàng) ⇒ Chọn điểm 15 điểm điểm phải giao C14 cặp đường thẳng 2 ⇒ 15 điểm cho có 15.C14 cặp đường thẳng ⇒ có 15.C14 giao điểm qua 15 điểm cho 2 Đáp số: Vậy có C105 − 15.C14 = 4095 số giao điểm cần tìm Bài 6: Cho họ đường thẳng cắt nhau: Họ ( L1 ) gồm 10 đường thẳng song song với nhau, họ ( L ) gồm 15 đường thẳng song song với Hỏi có hình bình hành tạo thành ( L1 ) ( L ) ? HƯỚNG DẪN + Do đường thẳng thuộc họ ( L1 ) song song, đường thẳng thuộc họ ( L ) song song, mà hình bình hành tạo cặp đường thẳng song song cắt Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 55 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP + Vậy chọn đường thẳng họ ( L1 ) đường thẳng họ ( L ) có hình bình 2 hành ⇒ có C10 C15 = 4725 hình bình hành (coi đường thẳng họ ( L1 ) không song song đường thẳng họ ( L ) ) Bài 7: Cho hình thập giác lồi Hỏi lập tam giác có đỉnh đỉnh thập giác lồi, cạnh tam giác cạnh thập giác lồi ? u ne t HƯỚNG DẪN: sử dụng phương pháp phần bù * Bước 1: Số tam giác tạo thành từ đỉnh thập giác lồi C10 * Bước 2: Ta tìm số tam giác có đỉnh thập giác lồi có cạnh cạnh thập giác lồi : + TH1: Tam giác có cạnh thập giác : - Có 10 cách chọn cạnh cạnh thập giác (chọn xong đỉnh tam giác) - Chọn đỉnh lại có cách (trừ đỉnh chọn đỉnh khác thập giác kề với đỉnh ấy) ⇒ có 10.6 = 60 tam giác có cạnh thập giác + TH2: Tam giác có cạnh thập giác : Có 10 tam giác (Xem Bài 4) Đáp số: Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu C10 - (60 + 10) = 50 (Bài chất giống Bài phần b) ilie Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN CHIA TẬP HỢP ox ta Bài 1: Cho tập hợp A gồm 15 phần tử khác a) Có cập hợp A ? b) Có tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn ? b HƯỚNG DẪN a) Số tập hợp A có 0, 1, 2, 3, …, 15 phẩn tử ⇒ số tập hợp A C15 + C1 + C15 + C15 + + C15 15 15 w w w Theo công thức đếm số tập hợp kết 215 b) Số tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn C15 + C15 + C15 + C15 + + C14 15 + Ta tính tổng cách sau : (Biến đổi tập có phần tử chẵn) * Ta có : C15 + C15 + C15 + C15 + + C14 + C15 15 15 = C15 + C14 + C15 + C12 + + C14 + C15 15 15 15 ( = C15 + C15 + C15 + C15 + + C14 15 ) ( 14 = 2.C15 + C15 + C15 + C15 + + C15 ) Từ : ⇒ C15 + C15 + C15 + + C14 = C15 + C1 + C15 + C15 + + C14 + C15 − 2.C15 15 15 15 15 ( ⇒ ( C ⇒ ( C 15 + C15 + C15 + + C14 15 15 + C15 + C15 + + C14 15 ) )=2 )=2 15 − 2.C15 15 − 2.1 ⇒ C15 + C15 + C15 + + C14 = 214 − 15 Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 56 CHINH PHỤC KIẾN THỨC HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài 2: Cho tập hợp A gồm 20 phần tử khác Có tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn ? HƯỚNG DẪN Số tập hợp khác rỗng A mà số phần tử số chẵn C2 + C4 + C6 + C8 + + C20 20 20 20 20 20 + Ta tính tổng cách sau : (Bài không tính theo cách Bài 20 - 1; 20 - 3; 20 - 5; 20 - 7; … kết không số chẵn) * Ta có : 20 C0 + C1 + C + C20 + + C19 + C20 = 220 = ( + ) 20 20 20 20 * Mặt khác ta có : 20 C0 − C1 + C20 − C20 + − C19 + C 20 = 020 = ( − 1) 20 20 20 ( )=2 20 20 (1) (2) ) * Lấy (1) cộng với (2) vế theo vế ta : C0 + C20 + C4 + C6 + C8 + + C20 = 20 20 20 20 20 20 20 ne t ( ⇒ 2.C0 + C2 + C4 + C6 + C8 + + C 20 20 20 20 20 20 20 220 − 2.C0 20 = 219 − Bài (KB - 2006): Cho tập A gồm n phần tử ( n ≥ ) Biết số tập hợp chứa phần tử A 20 lần u ⇒ C2 + C4 + C6 + C8 + + C 20 = 20 20 20 20 20 ta ilie số tập hợp chứa phần tử A Tìm số k ∈ {1, 2, 3, ,n} cho số tập hợp chứa k phần tử A lớn HƯỚNG DẪN + Theo giả thiết ta có phương trình C = 20.C ⇔ ⇔ n = 18 Vậy A có 18 phần tử n ox n k + Số tập hợp chứa k phần tử A C18 w w w b k −1  k 17 19 C18 ≥ C18 + Để số tập hợp chứa k phần tử A lớn  k ⇔ ⇔ ≤k≤ ⇒k=9 k +1 2 C18 ≥ C18  NGUYỄN HỮU BIỂN Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien Nhóm ôn thi ĐH môn toán: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Biên soạn : NGUYỄN HỮU BIỂN Trang 57