Bất đẳng thức tam giác phần (1) Với tam giác ABC có độ dài cạnh tương ứng BC = a,CA = b, AB = c ta có cos A = b2 + c2 − a 2bc ; cos B = c2 + a − b2 2ca ; cos C = a + b2 − c2 2ab *Từ ta có ⎡ a − (b − c)2 ⎤ ⎡ (b + c)2 − a ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 2bc 2 2 2 ⎛ b2 + c2 − a ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = 4b c − (b + c − a ) = sin A = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2bc 2bc ⎝ ⎠ Các đánh giá hay sử dụng sau: cos A + cos B ≤ cos sin A + sin B ≤ 2sin *Từ dễ có cos A + cos B + cos C ≤ A+ B A+ B = 2sin = cos C C ;sin A + sin B + sin C ≤ 3 2 (2) Với số thực x, y, z ∈ (α; β) cho 2α − β ≥ tồn tam giác nhận x, y, z tương ứng độ dài ba cạnh ⎧ x + y − z > 2α − β ≥ ⎪ ⎪ ⎪ *Thật ⎪ y + z − x > 2α − β ≥ ⇒ x, y, z độ dài ba cạnh tam giác ⎨ ⎪ ⎪ z + x − y > 2α − β ≥ ⎪ ⎪ ⎩ (3) Đánh giá đại lượng m cos 2A + n cos 2B + p cos 2C *Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) ta có """ """ # # """ """ # # """ """ # # ! ! ! ! ! ! BOC = (OB,OC) = 2A;COA = (OC,OA) = 2B; AOB = (OA,OB) = 2C !!! " !!! " !!! " Xuất phát từ: (xOA + yOB + zOC)2 ≥ Khai triển rút gọn bất đẳng thức ta có: yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C ≥ − +) Nếu xyz > ta có: +) Nếu xyz < ta có: cos 2A x cos 2A x + + cos 2B y cos 2B y + + cos 2C z cos 2C z ≥− ≤− x + y2 + z x + y2 + z 2xyz x + y2 + z 2xyz ⎧cy + bz = a ⎪ ⎪ ⎪ Bài Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác số thực x, y, z thoả mãn ⎪az + cx = b ⎨ ⎪ ⎪bx + ay = c ⎪ ⎪ ⎩ Chứng minh rằng: x + y + z ≤ Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn ⎧cy + bz = a ⎪ ⎪ ⎪ Bài Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác số thực x, y, z thoả mãn ⎪az + cx = b ⎨ ⎪ ⎪bx + ay = c ⎪ ⎪ ⎩ Chứng minh rằng: − x + − y2 + − z2 ≤ 3 Bài Với x, y, z ∈ (1; 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 4− (x + y2 − z2 )2 + 4− (y2 + z2 − x )2 + 4− (x + z2 − y2 )2 x y2 y2 z Bài Với x, y, z ∈ (1; 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x + y2 − z + y2 + z − x + x2 z2 z + x − y2 xy yz zx Bài Với x, y, z ∈ (1; 4) Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x+ y− z y+ z− x + + x+ z− y xy yz xz Bài Với x, y, z ∈ (1; 4) Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x+ y− z (y + z − x)2 P= x+ y− z + 4− (y + z − x)2 4zx − (z + x − y)2 + 4− − yz xy Bài Với x, y, z ∈ (1; 4) Tìm giá trị lớn biểu thức: 3xz + 12 − 3(z + x − y)2 yz xy Bài Với x, y, z ∈ (1; 4) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 4− (x + y − z)2 (y + z − x)2 y− z− x xy yz zx Bài Với x, y, z số thực thuộc khoảng (1; 4) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 4− (x + y − z)2 + 4− (y + z − x)2 y− x− z xy yz 2xz Bài 10 Với x, y, z số thực thuộc khoảng (1; 2) Tìm giá trị lớn biểu thức P= x + y2 − z + 4− + y2 + z − x z + x − y2 xy yz zx Bài 11 Với x, y, z số thực thuộc khoảng (1; 2) Tìm giá trị lớn biểu thức P= x + y2 − z + y2 + z − x xy xy − (x + y − z) + − z + x − y2 xy yz zx Bài 12 Với x, y, z số thực thuộc khoảng (1; 4) Tìm giá trị lớn biểu thức: P= + + + yz yz − (y + z − x) + zx zx − (z + x − y) Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn (x + y − z)2 Bài 13 Với x, y, z ∈ (1; 4) số thực thoả mãn Tìm giá trị lớn biểu thức: P = y+ z− x xy + x+ z− y + + (y + z − x)2 yz + (z + x − y)2 zx (x + y − z)2 xy ≤ yz zx 2 Bài 14 Với x, y, z số thực thuộc khoảng (1; 4) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = (x + y − z)2 (y + z − x)2 (x + y − z)2 (y + z − x)2 (x + y − z)2 − (x + z − y)2 xy yz zx Bài 16 Với x, y, z số thực thuộc khoảng (1; 4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= − − (x + z − y)2 xy yz zx Bài 15 Với x, y, z số thực thuộc khoảng (1; 4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + 2(y + z − x)2 3(x + z − y)2 + + xy yz zx Bài 17 Với x, y, z số thực thuộc khoảng (1; 4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ⎞⎛ 2⎞ ⎛ (x + y − z)2 ⎞⎛ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜4 + (y + z − x) ⎟⎜4 + (z + x − y) ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜4 + P =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎟⎝ ⎟ ⎜ xy yz zx ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ ⎧ ⎪ x+ y− z >0 ⎪ ⎪ ⎪ *Theo giả thiết ta có x, y, z ∈ (1; 2) ⇒ ⎪ y + z − x > x, y, z độ dài ba cạnh ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ x+ z− y >0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ tam giác ABC cos A = x+ y− z xy , cos B = y+ z− x yz , cos C = z+ x− y zx *Khi đó: P = 64(1 + cos2 A)(1 + cos2 B)(1 + cos2 C) ⎛ A + B⎞ ⎟ ⎜ ⎟ (*) ⎜1 + cos2 *Giả sử C góc nhỏ ta có < C ≤ (1 + cos A)(1 + cos B) ≥ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ π 2 A− B ⎡ ⎤ ⎢⎣6 cos C − cos(A − B) −1⎥⎦ ≥ *Bất đẳng thức cuối cos C − cos(A − B) −1 ≥ − cos(A − B) > *Thật (*) tương đương với: sin2 ⎛ A + B⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = 16(1 + cos2 C)(3 − cos C)2 *Do đó: P ≥ 64(1 + cos C) ⎜1 + cos2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛π⎞ ⎜ ⎟ *Dễ có f (C) = 16(1 + cos2 C)(3 − cos C)2 ≥ min⎤ f (C) = f ⎜ ⎟ = 125 ⎜ ⎟ ⎛ π ⎜ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎟ ⎠ C∈⎜0; ⎥⎥ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎦⎥ Bài 18 Với a, b, c ∈ (1; 2) Tìm giá trị lớn biểu thức P= (a − (b − c)2 )2 (b2 − (a − c)2 )2 (c2 − (a − b)2 ) a3b3 c4 Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn 2 2 2⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎛ b2 + c2 − a ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜1 − a + c − b ⎟ ⎜1 − a + b − c ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ Ta có: P = 32⎜1 − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎟ ⎝ ⎟ ⎜ 2bc 2ac 2ab ⎝ ⎠ ⎠ ⎠ Theo giả thiết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ⎛ A B C⎞ ⎟ ⎜ P = 32 − cos A − cos B − cos C = 32 ⎜sin2 sin2 sin ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2⎟ ⎝ ⎠ ⎞ A B 1⎛ A− B A + B⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ≤ ⎜1 − sin C ⎟ ⎟ ⎜ Ta có: sin sin = ⎜cos − cos ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2 2⎝ 2 ⎠ 2⎟ ⎝ ⎠ ( )( )( ) 2 2 ⎡⎛ ⎤ ⎛4⎞ ⎢⎜ C⎞ C⎥ ⎟ ⎜ ⎟ Vì vậy, P ≤ 64 ⎢⎜1 − sin ⎟ sin ⎥ ≤ 64.⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢⎜ ⎜ ⎜ 27 ⎟ ⎟ ⎟ 2⎟ ⎥⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎣⎝ ⎦ Mặt khác sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 2⎜1 − sin C ⎟ + 2sin C ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ 2⎠ 2⎟ C⎟ C 1⎜ C ⎟⎜ C⎟ C 1⎜ ⎝ ⎟ ⎜ ⎟ sin = ⎜1 − sin ⎟⎜1 − sin ⎟ 2sin ≤ ⎜ ⎟ = ⎜1 − sin ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ 2⎜ ⎟⎝ 2⎟ 2⎜ 27 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎧A = B ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪sin C = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Bất đẳng thức tam giác phần Bài toán Tìm điểm vị trí điểm M cho a.MA + b.MB + c.MC đạt giá trị nhỏ *Trước hết ta có đẳng thức: !!!" !!!" !!!" " a.HA + b.HB + c.HC = với H trực tâm tam giác ABC *Khi đó: a.MA + b.MB + c.MC ≥ a.HA + b.HB + c.HC ⎛4⎞ 1024 ⎜ ⎟ Do đó: P ≤ 64.⎜ ⎟ = Dấu xảy ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 27 ⎟ 729 ⎝ ⎠ Thầy: Đặng Thành Nam (Hotline: 0976.266.202) – website: www.vted.vn